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Naturaleza de las actividades matemáticas

        Resolver un problema implica
Naturaleza de las actividades matemáticas

     tres grandes tipos de actividades
Matemáticas


tres grandes categorías de objetos figuran en el programa escolar:



   K                                          




                           ^
  Los números                                            ej.: ½, 145; 0,45


 Las operaciones                                         +, - x, :


  Las relaciones                            =, , , ≠           x, y, z...
Dos maneras de considerar las matemáticas


^                                        ^




    Los objetos matemáticos son estructuras de sentido que van
              comprendiéndose muy progresivamente


Los enunciados matemáticos escolares deben ser considerados como




               Legalización: depende de la demostración
                     (no entra en el campo escolar)
Dos enfoques para la actividad matemática




    Cuatro etapas para resolver un problema externo


                                        W




         D
El aprendizaje por la resolución de problemas necesita alternancias:


      




                




                          




              Alternancias reguladas en la práctica pedagógica
Comprender el enunciado y construir la representación de un
                            problema


Problema                Situación                 la confrontación de un
                                                  sistema cognitivo a una
                                                  tarea


       “la representación que un sistema cognitivo construye a partir de una
       tarea, sin disponer de forma inmediata de un procedimiento admitido
       para lograr el objetivo”


                      representación
La construcción

                                                         
                      procedimiento
Enunciados canónicos

   Un álbum contiene 85                           El fin de semana largo del 18 de
                                                  julio, tres muchachos van a pasar
   figuritas. Pablo tiene ya 81
                                                  a Las Termas del Dayman. El
   figuritas. ¿Cuántas le faltan                  viaje les cuesta $870, la comida $
   para completar la página?                      924 y el camping $45. Ellos
                                                  habían previsto un gasto total de
                                                  $ 2400 para esta estadía.
                                                  Si reparten los costos de manera
                                                  equitativa, ¿cuál será la parte de
                        linguísticas              cada uno?
Representaciones                                  ¿Qué cantidad quedará del
   cognitivas           icónicas                  dinero previsto?
                       ligadas al escrito matemático
Cómo mejorar las competencias de los alumnos
   en lo que refiere a la lectura y comprensión de enunciados de
                              problemas:



               Haciendo sistemática esta actividad


 Variando constantemente los enunciados, con preguntas, sin
preguntas; con datos de más, con datos faltantes, con los datos
       en desorden respecto al uso que deberán darles



    Desarrollando un aprendizaje de la representación y de la
                        matematización




Haciendo menos solitario el ejercicio de resolución de problemas
Competencias a poner en práctica en la lectura/comprensión
                 de enunciados de problemas


Utilizar sus conocimientos pragmáticos en la resolución de problemas, pero
saber también tomar distancia de ellos.
Relacionar la pregunta con los datos significativos extraidos
Descartar los datos no pertinentes
Descubrir eventualmente los datos que faltan
Representar la estructura de un problema:
- por una representación icónica (RI)
- por una representación gráfica (RG)
- por una representación simbólica (RS)
Modelizar el problema con escrituras específicamente matemáticas
Establecer correspondencias entre diferentes representaciones
Disponer los datos de otra manera (Ej.: cuadro)
Categorizar los problemas
Utilizar sus competencias lógicas
Matematizar y poner signos: la modelización del problema



Estrategia de resolución           Construcción de un procedimiento


                      d                            s




                                                              
                              Puesta en relación
Elías juega a las bolitas con Emiliano. Al iniciar el juego, Elías tiene 132
bolitas y Emiliano 85. Julieta tiene 104 bolitas. Ella observa el juego de sus
amigos. Al final de la partida, Elías tiene 94 bolitas. ¿Quién tiene más
bolitas al final del juego?




                           x = 94 – 132

                           x + 94 = 132

                           132 + 94 = x

                           132 – x = 94

                           94 = 132 – x etc...
Correspondencia entre el escrito matemático y el enunciado


          Uso de álgebra             Nombrar lo que buscan




Representar matemáticamente un problema consiste en encontrar una o
dos expresiones matemáticas que le correspondan
x + 94 = 132           132 – 94 = x




               a+b=c
1) Parte-parte-todo
Voy a comprar una
heladera a $5660 y
una
aspiradora a $3150.
¿Cuánto debo
abonar?
2) Transformación de estados
Un piloto de avión vuela a una altitud
de 750m. Decide aumentar su altitud
en 360m.
¿A qué altura pasará a volar?
3) Comparación de estados
Tengo dos diccionarios, uno pequeño y uno grande.
El pequeño contiene la definición de 35 000
palabras.
El grande de 47 000 palabras.
¿Cuántas palabras más define el 2º diccionario?
Pasos de hormiga         Pasos de león


                               240                 3                     :3
      X3
                                x                  1




                          Pasos de zorro       Pasos de león


     X3                        10                      3                  :3
                                y                      1




y x 3 = 10   10 : 3 = y      y + y + y = 10      (3 + 1/3) x 3 = 9 + 3/3 = 9 + 1 = 10
2) Proporcionalidad simple
Un corredor puede cubrir 60 m en 12 segundos.
Si recorre todos los días 180 m a una velocidad
estable, ¿cuánto tiempo pone en este
entrenamiento?
Las representaciones gráficas


José    Luis     compra   4          Daniel gasta $42 en sobres
bizcochos a $ 18. ¿Cuánto            de figuritas. Cada sobre
paga Alejandro que compró 7          cuesta $ 3,50. ¿Cuántos
bizcochos del mismo tipo?            sobres podrá comprar?



 Bizcochos       precio                 Sobres de     precio
                                        figuritas
     4             18                       1          3,50


     7             x                        x           42
Representaciones icónicas y gráficas


Estela compró los textos de Historia, Geografía y Ciencias de la
Naturaleza que necesita para el liceo. Pagó en total $ 740. El libro de
Historia costó $ 30 más que el de Geografía y éste, 25 más que el de
Ciencias. ¿Cuál es el precio de cada uno?
Pedro tiene un nuevo juego de autos. Él puede manejarlos por un
tele comando. Por ejemplo, el auto está en el punto de salida. La
primer orden que da Pedro es Av 83 y el auto avanza 83 cm;
enseguida ordena Re 37 y el auto retrocede 37 cm. ¿A qué distancia
quedó el auto del punto de salida?




                                 x + 37 = 83          83 – 37 = x
El terrible gigante Tneïtok
La leyenda cuenta que, en las grandes llanuras de Rusia, el terrible
gigante Tneïtok era tan grande que solo podía desplazarse por brincos de
24 verstas (versta: medida rusa que vale 1 km). Estando a 5940 verstas
de su castillo, ¿cuántos brincos debe dar para llegar hasta allí?
Otros posibles representaciones gráficas



Recta numérica                              Sistema de transformación
Otros posibles representaciones gráficas


Las representaciones
                                          Barras y cuadrados
tipo conjuntistas
Los cuadriculados
La invención y redacción de enunciados matemáticos

      Inventar un enunciado de un problema correspondiente a la escritura
                           matemática: (4x3) + 10.

  Compré un paquete de pastillas a $ 10 y 3 caramelos a $ 4 cada uno.
  ¿Cuánto gasté? $ 22

 Voy a la panadería. Al llegar, pido 4 bizcochos rellenos, luego le vuelvo a
 pedir tres veces más y 10 bombones. ¿Cuál será el precio?

 En mi biblioteca tengo cuatro estantes con 3 libros cada uno. Me han
 prestado 10 libros. ¿Cuántos libros tengo? Tengo 22

 Una señora quiere comprar 4 manzanas y 3 peras. Todo eso cuesta $ 22.
 ¿Tendrá suficiente dinero?

 Mi tío compra 4 autitos a $3 cada uno y 10 camiones. ¿Le alcanzará el
 dinero? Tiene en su billetera $ 22


Compré una planta de 10 cm y cada mes crece 3 cm. ¿Cuánto medirá en 4 meses?
1995 + x = 2010

Mi perro nació en 1995. Murió en el 2010. ¿Cuánto tiempo vivió?
Paco nació en 1995. ¿Qué edad tendrá en el 2010?

El Sr. González compra una computadora a $ 1995. Agrega también un mousse
para el equipo. Si paga $ 2010, ¿cuánto costó el mousse?

Un apostador apuesta a dos caballos. Uno de ellos ganó y el otro llegó 5º.
Sabiendo que el primero le permitió ganar $ 1995 y que al final él recibe $ 2010,
¿cuánto ganó por el segundo caballo?

                                z + x = 99

Fui a la frutería y compré peras y manzanas. Pagué $ 99. ¿Cuánto costaron las
peras y cuánto las manzanas?

Mi hermano tiene 86 figuritas en el álbum. El álbum se completa con 99
figuritas. ¿Cuántas figuritas le faltan?

Un niño tiene $ 99. Va a una juguetería y ve algunos juguetes que le gustan: un
autito a $ 29, un avión a $ 35, una moto a $ 64 y un bote a $ 60. ¿cuántos
juguetes podrá comprar con $ 99?
Producción de enunciados




    Dos conceptos centrales




              reescritura

                              



          W
Elaborar estrategias y procedimientos de resolución

 Sujeto                   Construcción
cognitivo



       Sistemas de representación y tratamiento (S.R.T.)
Los procedimientos de resolución

                            Tiene lugar en un SRT

                              “Sistema de operaciones definido por un
                              dispositivo y una tarea dada, en la que la
procedimiento
                              ejecución tiene por objetivo hacer pasar de un
                              estado inicial a un estado final.”

                                Transformaciones


                                  Identificación de propiedades de
    Tres operaciones              estado

                                     Selección de tratamiento


                            heurísticos

    Clasificación
                            algorítmico
                            s
La verdad en las matemáticas...

                                        ..hay que buscarlas en ellas mismas

 Los objetos matemáticos son estructuras de sentido, con entidad propia

 No confundir con las estructuras intelectuales y cognitivas


                                                     D


Iniciar tempranamente un esbozo de
separación entre 2 tipos de actividad
Comprender
                                                      




  Razonar




La actividad cognitiva de la resolución de problemas necesita:


     regulación             Seleccionar tareas y ordenarlas en el tiempo



      control                Planificación y evaluación
“(la enseñanza) busca desarrollar las
posibilidades de abstracción. Aporta
una exigencia de rigor en el
pensamiento y de justeza en la
expresión. Hace adquirir conocimientos
y competencias en el dominio numérico
y geométrico, siempre ayudando al niño
a forjarse de métodos de trabajo.
Estimula la imaginación”

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Mónica Pena

  • 1. ^ W W W W
  • 2. Z Z Procedimientos Z personales Z Procedimiento experto
  • 3. Z • •D •h
  • 4. D • • •
  • 5. ^ s ,
  • 6. Naturaleza de las actividades matemáticas Resolver un problema implica
  • 7. Naturaleza de las actividades matemáticas tres grandes tipos de actividades
  • 8. Matemáticas tres grandes categorías de objetos figuran en el programa escolar: K ^ Los números ej.: ½, 145; 0,45 Las operaciones +, - x, : Las relaciones =, , , ≠ x, y, z...
  • 9. Dos maneras de considerar las matemáticas ^ ^ Los objetos matemáticos son estructuras de sentido que van comprendiéndose muy progresivamente Los enunciados matemáticos escolares deben ser considerados como Legalización: depende de la demostración (no entra en el campo escolar)
  • 10. Dos enfoques para la actividad matemática Cuatro etapas para resolver un problema externo W D
  • 11. El aprendizaje por la resolución de problemas necesita alternancias: Alternancias reguladas en la práctica pedagógica
  • 12. Comprender el enunciado y construir la representación de un problema Problema Situación la confrontación de un sistema cognitivo a una tarea “la representación que un sistema cognitivo construye a partir de una tarea, sin disponer de forma inmediata de un procedimiento admitido para lograr el objetivo” representación La construcción procedimiento
  • 13. Enunciados canónicos Un álbum contiene 85 El fin de semana largo del 18 de julio, tres muchachos van a pasar figuritas. Pablo tiene ya 81 a Las Termas del Dayman. El figuritas. ¿Cuántas le faltan viaje les cuesta $870, la comida $ para completar la página? 924 y el camping $45. Ellos habían previsto un gasto total de $ 2400 para esta estadía. Si reparten los costos de manera equitativa, ¿cuál será la parte de linguísticas cada uno? Representaciones ¿Qué cantidad quedará del cognitivas icónicas dinero previsto? ligadas al escrito matemático
  • 14. Cómo mejorar las competencias de los alumnos en lo que refiere a la lectura y comprensión de enunciados de problemas: Haciendo sistemática esta actividad Variando constantemente los enunciados, con preguntas, sin preguntas; con datos de más, con datos faltantes, con los datos en desorden respecto al uso que deberán darles Desarrollando un aprendizaje de la representación y de la matematización Haciendo menos solitario el ejercicio de resolución de problemas
  • 15. Competencias a poner en práctica en la lectura/comprensión de enunciados de problemas Utilizar sus conocimientos pragmáticos en la resolución de problemas, pero saber también tomar distancia de ellos. Relacionar la pregunta con los datos significativos extraidos Descartar los datos no pertinentes Descubrir eventualmente los datos que faltan Representar la estructura de un problema: - por una representación icónica (RI) - por una representación gráfica (RG) - por una representación simbólica (RS) Modelizar el problema con escrituras específicamente matemáticas Establecer correspondencias entre diferentes representaciones Disponer los datos de otra manera (Ej.: cuadro) Categorizar los problemas Utilizar sus competencias lógicas
  • 16. Matematizar y poner signos: la modelización del problema Estrategia de resolución Construcción de un procedimiento d s Puesta en relación
  • 17. Elías juega a las bolitas con Emiliano. Al iniciar el juego, Elías tiene 132 bolitas y Emiliano 85. Julieta tiene 104 bolitas. Ella observa el juego de sus amigos. Al final de la partida, Elías tiene 94 bolitas. ¿Quién tiene más bolitas al final del juego? x = 94 – 132 x + 94 = 132 132 + 94 = x 132 – x = 94 94 = 132 – x etc...
  • 18. Correspondencia entre el escrito matemático y el enunciado Uso de álgebra Nombrar lo que buscan Representar matemáticamente un problema consiste en encontrar una o dos expresiones matemáticas que le correspondan
  • 19. x + 94 = 132 132 – 94 = x a+b=c
  • 20. 1) Parte-parte-todo Voy a comprar una heladera a $5660 y una aspiradora a $3150. ¿Cuánto debo abonar?
  • 21. 2) Transformación de estados Un piloto de avión vuela a una altitud de 750m. Decide aumentar su altitud en 360m. ¿A qué altura pasará a volar?
  • 22. 3) Comparación de estados Tengo dos diccionarios, uno pequeño y uno grande. El pequeño contiene la definición de 35 000 palabras. El grande de 47 000 palabras. ¿Cuántas palabras más define el 2º diccionario?
  • 23. Pasos de hormiga Pasos de león 240 3 :3 X3 x 1 Pasos de zorro Pasos de león X3 10 3 :3 y 1 y x 3 = 10 10 : 3 = y y + y + y = 10 (3 + 1/3) x 3 = 9 + 3/3 = 9 + 1 = 10
  • 24. 2) Proporcionalidad simple Un corredor puede cubrir 60 m en 12 segundos. Si recorre todos los días 180 m a una velocidad estable, ¿cuánto tiempo pone en este entrenamiento?
  • 25. Las representaciones gráficas José Luis compra 4 Daniel gasta $42 en sobres bizcochos a $ 18. ¿Cuánto de figuritas. Cada sobre paga Alejandro que compró 7 cuesta $ 3,50. ¿Cuántos bizcochos del mismo tipo? sobres podrá comprar? Bizcochos precio Sobres de precio figuritas 4 18 1 3,50 7 x x 42
  • 26. Representaciones icónicas y gráficas Estela compró los textos de Historia, Geografía y Ciencias de la Naturaleza que necesita para el liceo. Pagó en total $ 740. El libro de Historia costó $ 30 más que el de Geografía y éste, 25 más que el de Ciencias. ¿Cuál es el precio de cada uno?
  • 27. Pedro tiene un nuevo juego de autos. Él puede manejarlos por un tele comando. Por ejemplo, el auto está en el punto de salida. La primer orden que da Pedro es Av 83 y el auto avanza 83 cm; enseguida ordena Re 37 y el auto retrocede 37 cm. ¿A qué distancia quedó el auto del punto de salida? x + 37 = 83 83 – 37 = x
  • 28. El terrible gigante Tneïtok La leyenda cuenta que, en las grandes llanuras de Rusia, el terrible gigante Tneïtok era tan grande que solo podía desplazarse por brincos de 24 verstas (versta: medida rusa que vale 1 km). Estando a 5940 verstas de su castillo, ¿cuántos brincos debe dar para llegar hasta allí?
  • 29. Otros posibles representaciones gráficas Recta numérica Sistema de transformación
  • 30. Otros posibles representaciones gráficas Las representaciones Barras y cuadrados tipo conjuntistas
  • 32. La invención y redacción de enunciados matemáticos Inventar un enunciado de un problema correspondiente a la escritura matemática: (4x3) + 10. Compré un paquete de pastillas a $ 10 y 3 caramelos a $ 4 cada uno. ¿Cuánto gasté? $ 22 Voy a la panadería. Al llegar, pido 4 bizcochos rellenos, luego le vuelvo a pedir tres veces más y 10 bombones. ¿Cuál será el precio? En mi biblioteca tengo cuatro estantes con 3 libros cada uno. Me han prestado 10 libros. ¿Cuántos libros tengo? Tengo 22 Una señora quiere comprar 4 manzanas y 3 peras. Todo eso cuesta $ 22. ¿Tendrá suficiente dinero? Mi tío compra 4 autitos a $3 cada uno y 10 camiones. ¿Le alcanzará el dinero? Tiene en su billetera $ 22 Compré una planta de 10 cm y cada mes crece 3 cm. ¿Cuánto medirá en 4 meses?
  • 33. 1995 + x = 2010 Mi perro nació en 1995. Murió en el 2010. ¿Cuánto tiempo vivió? Paco nació en 1995. ¿Qué edad tendrá en el 2010? El Sr. González compra una computadora a $ 1995. Agrega también un mousse para el equipo. Si paga $ 2010, ¿cuánto costó el mousse? Un apostador apuesta a dos caballos. Uno de ellos ganó y el otro llegó 5º. Sabiendo que el primero le permitió ganar $ 1995 y que al final él recibe $ 2010, ¿cuánto ganó por el segundo caballo? z + x = 99 Fui a la frutería y compré peras y manzanas. Pagué $ 99. ¿Cuánto costaron las peras y cuánto las manzanas? Mi hermano tiene 86 figuritas en el álbum. El álbum se completa con 99 figuritas. ¿Cuántas figuritas le faltan? Un niño tiene $ 99. Va a una juguetería y ve algunos juguetes que le gustan: un autito a $ 29, un avión a $ 35, una moto a $ 64 y un bote a $ 60. ¿cuántos juguetes podrá comprar con $ 99?
  • 34. Producción de enunciados Dos conceptos centrales reescritura W
  • 35. Elaborar estrategias y procedimientos de resolución Sujeto Construcción cognitivo Sistemas de representación y tratamiento (S.R.T.)
  • 36. Los procedimientos de resolución Tiene lugar en un SRT “Sistema de operaciones definido por un dispositivo y una tarea dada, en la que la procedimiento ejecución tiene por objetivo hacer pasar de un estado inicial a un estado final.” Transformaciones Identificación de propiedades de Tres operaciones estado Selección de tratamiento heurísticos Clasificación algorítmico s
  • 37. La verdad en las matemáticas... ..hay que buscarlas en ellas mismas Los objetos matemáticos son estructuras de sentido, con entidad propia No confundir con las estructuras intelectuales y cognitivas D Iniciar tempranamente un esbozo de separación entre 2 tipos de actividad
  • 38. Comprender Razonar La actividad cognitiva de la resolución de problemas necesita: regulación Seleccionar tareas y ordenarlas en el tiempo control Planificación y evaluación
  • 39. “(la enseñanza) busca desarrollar las posibilidades de abstracción. Aporta una exigencia de rigor en el pensamiento y de justeza en la expresión. Hace adquirir conocimientos y competencias en el dominio numérico y geométrico, siempre ayudando al niño a forjarse de métodos de trabajo. Estimula la imaginación”