Aula 007
Fundamentos da
Informática
PRONATEC
Programa Nacional de Acesso ao
Ensino Técnico e Emprego
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ao Ensino Técnico e Emprego
1. Derivação de Expressões Booleanas
• Dada uma função Booleana, descrita por sua
tabela verdade, derivar uma expressão Bo...
2. Derivação por Soma de Produtos
• Uma função Booleana de n variáveis (n
entradas), tem 2n combinações possíveis de valor...
3. Tabela de Mintermo no SdP
• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as
combinações e resultados de uma função
booleana...
4. Exemplo de Derivação SdP
• Encontre a função booleana representada pela
seguinte tabela verdade:
• Observando a tabela ...
5. Exercícios para aula
• Derive as funções das seguintes tabelas verdade
usando a Soma de Produtos (SdP)
A B F1
0 0 0
0 1...
6. Derivação por Produto de Somas
• Uma função Booleana de n variáveis (n entradas),
tem 2n combinações possíveis de valor...
7. Tabela de Maxtermo no PdS
• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as
combinações e resultados de uma função
booleana...
8. Exemplo de Derivação PdS
• Encontre a função booleana representada pela
seguinte tabela verdade:
• Observando a tabela ...
9. Exercícios para aula
• Derive as funções das seguintes tabelas verdade
usando a Produto de Somas (PdS)
A B F1
0 0 0
0 1...
10. Formas: Canônica e Padrão
• A representação de uma função booleana em
soma de produtos ou produto de somas é
denominad...
11. Representação Canônica
• Associando cada termo soma (SdP) ou produto
(PdS) da expressão por seu respectivo
decimal, ch...
12. Simplificação de Expressões
• A forma canônica é melhor entendida por
humanos mas para criação de circuitos precisamos...
13. Exemplo de Simplificação
• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC
• A simplificação requer o uso das propriedade...
14. Melhor Simplificação = Equação Mínima
• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC
• Pela propriedade 3: A + A = A, ...
15. Forma Mínima e Fatorada
• A forma mínima é quando a expressão não
pode mais ser simplificada com redução no
número de ...
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  1. 1. Aula 007 Fundamentos da Informática PRONATEC Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego
  2. 2. PRONATEC Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego
  3. 3. 1. Derivação de Expressões Booleanas • Dada uma função Booleana, descrita por sua tabela verdade, derivar uma expressão Booleana para esta função é encontrar uma equação que a descreva. Logo, a derivação de expressões Booleanas é o problema inverso da avaliação de uma expressão Booleana • Duas formas de derivação: Soma de Produtos (SdP) ou Produto de Somas (PdS) • Soma de Produtos (SdP): descrever todas as situações das variáveis de entrada para as quais a função vale 1 • Produto de Somas (PdS): descrever todas as situações das variáveis de entrada para as quais a função vale 0
  4. 4. 2. Derivação por Soma de Produtos • Uma função Booleana de n variáveis (n entradas), tem 2n combinações possíveis de valores de entrada • Para cada conjunto de valores de entrada a função gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os valores de entrada e todos os resultados possíveis chama-se “espaço” da função • Para cada combinação de entrada deve-se associar um “mintermo” da seguinte forma: se a variável vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve aparecer normal
  5. 5. 3. Tabela de Mintermo no SdP • Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as combinações e resultados de uma função booleana com 2 entradas • O mintermo é 1 somente para os valores de entrada a que está relacionado, para outros valores será sempre 0 • Para derivarmos a função fazemos um OU entre os mintermos que resultam 1 na função. A B Mintermo 0 0 A B 0 1 A B 1 0 A B 1 1 A B
  6. 6. 4. Exemplo de Derivação SdP • Encontre a função booleana representada pela seguinte tabela verdade: • Observando a tabela de mintermos para duas entradas verificamos que a função resulta 1 para: (A.B) e (A.B) sendo assim fazemos um OU (soma lógica) entre eles • A função é: F = (A.B) + (A.B) A B Resultado 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  7. 7. 5. Exercícios para aula • Derive as funções das seguintes tabelas verdade usando a Soma de Produtos (SdP) A B F1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A B F2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B C F3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 A B C F4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
  8. 8. 6. Derivação por Produto de Somas • Uma função Booleana de n variáveis (n entradas), tem 2n combinações possíveis de valores de entrada • Para cada conjunto de valores de entrada a função gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os valores de entrada e todos os resultados possíveis chama-se “espaço” da função • Para cada combinação de entrada deve-se associar um “maxtermo” da seguinte forma: se a variável vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve aparecer normal
  9. 9. 7. Tabela de Maxtermo no PdS • Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as combinações e resultados de uma função booleana com 2 entradas • O maxtermo é 0 somente para os valores de entrada a que está relacionado, para outros valores será sempre 1 • Para derivarmos a função fazemos um E entre os maxtermos que resultam 0 na função. A B Maxtermo 0 0 A + B 0 1 A + B 1 0 A + B 1 1 A + B
  10. 10. 8. Exemplo de Derivação PdS • Encontre a função booleana representada pela seguinte tabela verdade: • Observando a tabela de maxtermos para duas entradas verificamos que a função resulta 0 para: (A+B) e (A+B) sendo assim fazemos um E (produto lógico) entre eles • A função é: F = (A+B) . (A+B) A B Resultado 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  11. 11. 9. Exercícios para aula • Derive as funções das seguintes tabelas verdade usando a Produto de Somas (PdS) A B F1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A B F2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B C F3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 A B C F4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
  12. 12. 10. Formas: Canônica e Padrão • A representação de uma função booleana em soma de produtos ou produto de somas é denominada “Forma Padrão” • Uma particularidade da forma padrão é quando em todos os termos soma (SdP) ou produtos (PdS) aparecem todas as variáveis de entrada e nesse caso temos a “Forma Canônica” e podem ser apresentadas de modo simplificado para melhorar no entendimento matemático.
  13. 13. 11. Representação Canônica • Associando cada termo soma (SdP) ou produto (PdS) da expressão por seu respectivo decimal, chamando os “mintermos” de “m” e os maxtermos de “M”, com 3 variáveis teríamos: • A função: A.B.C + A.B.C pode • ser representada com a soma dos • mintermos: m7 + m6 = Σ(7,6) • A função: (A+B+C)(A+B+C) pode • ser representada com produto dos • maxitermos: M0 . M1 = П(0,1) A B C m M 0 0 0 m0 M0 0 0 1 m1 M1 0 1 0 m2 M2 0 1 1 m3 M3 1 0 0 m4 M4 1 0 1 m5 M5 1 1 0 m6 M6 1 1 1 m7 M7
  14. 14. 12. Simplificação de Expressões • A forma canônica é melhor entendida por humanos mas para criação de circuitos precisamos de saber mais detalhes • A forma padrão é melhor entendida para fabricar circuitos porém ela apresenta muita redundância de operações e muitas das vezes isso implica em desperdício de recursos como transistores, capacitores e resistores • A simplificação elimina as redundâncias de uma expressão diminuindo os recursos eletrônicos necessários para compor o circuito • A simplificação funciona eliminando os “literais” que são somas lógicas entre a variável e sua negação: A + A, resultado sempre 1 (ligado)
  15. 15. 13. Exemplo de Simplificação • Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC • A simplificação requer o uso das propriedades das expressões algébricas já vistas antes • O primeiro passo é identificar os mintermos que se diferenciam por apenas um literal. No exemplo: ABC e ABC possuem os mesmos literais exceto pelo termo C e C. Usando a propriedade distributiva (14) podemos então representar: ABC+ABC = AB(C+C), mas pela propriedade (4) C+C=1, logo ABC+ABC=AB • Substituindo: F = AB + ABC + ABC
  16. 16. 14. Melhor Simplificação = Equação Mínima • Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC • Pela propriedade 3: A + A = A, podemos dizer que: ABC = ABC + ABC , substituindo temos: • F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC • Os termos envolvidos de vermelho possuem literais comuns e poderão ser simplificados usando a propriedade 14 (distributiva), assim: • ABC+ABC=AB como já vimos antes e • ABC+ABC=BC pelo mesmo princípio, então • Então: F = AB + ABC + BC é a equação mínima
  17. 17. 15. Forma Mínima e Fatorada • A forma mínima é quando a expressão não pode mais ser simplificada com redução no número de operações lógicas • Sendo a equação mínima anterior: • F = AB + ABC + BC podemos ainda colocar em evidência o termo B e a equação seria: • F = B.(A+C) + ABC que não é uma forma de mintermos nem maxtermos, logo ela é chamada de forma “fatorada” mesmo assim não resultou em redução de operações

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