1. Rinnovare la didattica
per una nuova immagine della
Matematica:
L a proposta del RA L L Y
MA TE MA TIC O TRA NSA L PINO
Daniela Medici & Maria Gabriella Rinaldi
17 ottobre 2011

2. Rally Matematico Transalpino

3. Che cos’è il Rally Matematico
Transalpino
È una gara di matematica per classi.
È rivolta agli alunni delle classi dalla terza,
elementare alla seconda superiore
È nato nel 1992 in Svizzera su idea di François
Jaquet, ricercatore presso l’IRDP (Institut de
recherche et de documentation pédagogique)
di Neuchâtel

4. Che cos’è il Rally Matematico
Transalpino
Ben presto si è esteso ad altri Paesi (Italia,
Francia, Belgio, Lussemburgo, Quebec,
Israele, Argentina, Algeria).
In Italia ci sono varie sezioni dell’ “Associazione
Rally Matematico Transalpino” (ARTM).
Attualmente le sezioni del Rally sono 23.
Informazioni su:
http://www.math.unipr.it/~rivista/RALLY/19_RMT.html
http://maachmath.web.myschool.lu/

5. ARMT
Associazione Rally Matematico
Transalpino
L'ARMT è un'associazione culturale (ai sensi degli
articoli 60 e seguenti del codice civile svizzero)
il cui obiettivo è “promuovere la risoluzione di
problemi per migliorare l'apprendimento e
l'insegnamento della matematica tramite un
confronto fra classi.
L'associazione non persegue obiettivi lucrativi.
Le attività dell'associazione possono svolgersi
ovunque nel mondo”.

6. Obiettivi principali del Rally

7. • fare matematica nel risolvere “buoni” problemi
(insoliti, interessanti, motivanti);
• sviluppare le capacità, oggi essenziali, di lavorare
in gruppo nel farsi carico dell’intera
responsabilità di una prova;
• apprendere le regole elementari del dibattito
scientifico nel discutere e risolvere le diverse
soluzioni proposte;
• imparare ad argomentare spiegando per iscritto
le procedure risolutive e i ragionamenti scaturiti
dal gruppo.

8. AUTOMAT FÜR LECKERMÄULER (Kat. 31, 32)
©ARMT 2011 - 19° - II prova
Martina hat eine 20 Cent-Münze, eine 50 Cent-Münze und eine 1 €-Münze.
Sie will sich eine Schleckerei aus dem Automaten holen und merkt, dass es
sechs verschiedene Sorten zu folgenden Preisen gibt:
Waffel Chips Erdnüsse Schokorie Tüte mit Packung
gel Bonbons mit Keksen
€ 0,70 € 1,00 € 1,20 € 1,40 € 1,70 € 2,00
Leider funktioniert der Automat nur, wenn man die Münzen so auswählt, dass
der Preis der Schleckerei genau stimmt.
Martina entscheidet sich für eine der Schleckereien, welche sie sehr mag.
Sie stellt fest, dass sie zwar genug Geld hat, aber mit ihren Münzen schafft sie es
nicht, den genauen Betrag in den Automaten zu werfen.
Welche Schleckerei will Martina kaufen?
Erklärt genau wie ihr eure Antwort gefunden habt.

9. IL DISTRIBUTORE DI MERENDINE (Cat. 3, 4)
Marta ha in tasca una moneta da 20 centesimi, una da 50 centesimi
ed una da 1 euro.
È davanti ad un distributore automatico che propone sei tipi di
merendine ai prezzi seguenti:
Salatini Patatine Noccioline Barretta di Sacchetto di Pacchetto di
cioccolato caramelle biscotti
€ 0,70 € 1,00 € 1,20 € 1,40 € 1,70 € 2,00
Il distributore funziona solo se si mettono monete che danno
esattamente il prezzo indicato.
Marta sceglie una delle sei merendine di cui è molto golosa.
Ella si accorge di avere abbastanza soldi per comprare la
merendina desiderata, ma di non poter inserire nel distributore il
prezzo richiesto con le monete che ha.
Qual è la merendina che Marta vorrebbe acquistare?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

10. ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: calcoli con monete
Analisi del compito
Comprendere che si deve tener conto delle quattro condizioni indicate nell’enunciato: Marta ha
scelto una delle sei merendine, ha sufficiente denaro per prenderla, il distributore richiede
l’importo esatto, Marta non ha l’importo esatto.
Partire dai prezzi delle merendine e cercare di formare ciascun prezzo con le monete possedute da
Marta:
Salatini Patatine Noccioline Barretta di Sacchetto di Pacchetto di
cioccolato caramelle biscotti
0,70 = 0,20+0,50 1=1 1,20 = 1+0,20 1,40 1,70 = +0,50+0,20 2
SI SI SI impossibile SI impossibile
Concludere che Marta desidera acquistare una barretta di cioccolato al prezzo di € 1,40. Il
pacchetto di biscotti è da escludere perché Marta non ha abbastanza soldi per arrivare a € 2.
Oppure: partire dalle monete di Marta e formare le sette possibili somme:
0,20; 0,50; 0,70 (0,20 + 0,50); 1; 1,20 (1 + 0,20); 1,50 (1 + 0,50) e 1,70 (1 + 0,20 + 0,70).
Arrivare alla conclusione che Marta desidera acquistare una barretta di cioccolato al prezzo di €
1,40 e che non ha soldi sufficienti per il pacchetto di biscotti che costa € 2 (tale importo non
figura tra le somme possibili ed è superiore alla somma di denaro che possiede Marta).

11. Attribuzione dei punteggi
4 Risposta esatta (barretta di cioccolato) con
spiegazione o lista esaustiva dei calcoli
3 Risposta errata (barretta di cioccolato o pacchetto di
biscotti) senza tener conto della condizione che
Marta deve avere abbastanza soldi, con spiegazione
2 Risposta esatta con lista non esaustiva dei calcoli
1 Risposta esatta senza spiegazione
0 Incomprensione del problema
Livello: 3, 4
Origine: Genova

12. Media
Categoria 3 3.58
N. classi 53
Media 2,95
Categoria 4
N. classi 68

13. 18. IMMER MEHR QUADRATE (Kat. 8)
Charles zeichnet eine Folge von Quadraten.
Er beginnt mit einem Quadrat der
Seitenlänge
1 cm. Beim zweiten Quadrat fällt eine der
Seiten zusammen mit einer Diagonalen des
ersten Quadrates, (siehe Abbildung), beim 6e
dritten Quadrat fällt wieder eine Seite
zusammen mit einer Diagonalen des 4e
zweiten Quadrates usw. Auf der Abbildung
2e
seht ihr die 6 ersten Quadrate, welche
1
Charles zeichnete. 3e 5e
Welches ist die Seitenlänge von Charles’
11. Quadrat ?
Wenn Charles weiterzeichnen würde,
welches wäre dann die Seitenlänge des
100. Quadrates?
Erklärt wie ihr eure Antworten
gefunden habt.

14. 18. LA SAGA DEI QUADRATI (Cat. 8, 9, 10)
Carlo si diverte a disegnare dei quadrati.
A partire da un quadrato di lato 1 cm, disegna il
secondo in modo che abbia un lato coincidente
con una delle diagonali di questo quadrato, il
terzo con un lato coincidente con la diagonale
del secondo e così via. La figura mostra i primi
sei quadrati disegnati da Carlo.
6o
Quale é la lunghezza del lato dell’undicesimo
quadrato che ha disegnato Carlo? 4o
Quale sarebbe quella del lato del centesimo 2o
quadrato se Carlo potesse disegnarlo? 1
3o 5o
Spiegate come avete trovato le vostre risposte.

15. ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: quadrato e sue proprietà; diagonale del quadrato e Teorema di Pitagora
- Aritmetica: progressione geometrica
- Algebra: calcolo letterale
Analisi del compito
- Osservare come sono formati i quadrati successivi: il primo, il terzo, il quinto, etc, cioè quelli
di posto “dispari”, si susseguono nella stessa posizione del primo, mentre il secondo, il quarto,
il sesto, etc., cioè quelli di posto pari, si susseguono nella stessa posizione del secondo,
“obliquamente”.
- Per trovare la lunghezza del lato del 2° quadrato, calcolare la lunghezza della diagonale del
primo e trovare quindi che misura cm con il Teorema di Pitagora, oppure ricordarsi la relazione
tra lato l e diagonale d di un quadrato:
d=l .
- Per trovare la lunghezza del lato del 3° quadrato, si può procedere sia con l’applicazione del
Teorema di Pitagora (o direttamente con la relazione lato e diagonale di un quadrato) per
arrivare a trovare × cioè 2 (in cm), sia con una quadrettatura della figura (quadretto unità
coincidente con il primo quadrato) dalla quale si evince che il terzo quadrato è costituito da
quattro quadrati di lato 1 cm. In sostanza il lato del terzo quadrato è il doppio del lato del
primo quadrato.
- Per trovare la lunghezza del lato del quarto quadrato, si può sia moltiplicare il lato del terzo per
, oppure, tramite la quadrettatura della figura, capire che il quarto quadrato è formato da otto
quadrati unità e che quindi la lunghezza del lato vale cm = 2cm.
…

16. Oppure: comprendere che le misure delle lunghezze dei lati dei
quadrati “dispari” sono in una progressione geometrica di
ragione 2, di primo termine 1 (ovvero, la lunghezza del lato di
un quadrato “dispari” di rango 2k + 1 è ottenuta moltiplicando
2 per se stesso k volte). Tenendo presente tale progressione, la
lunghezza del lato dell’undicesimo quadrato si può esprimere
come: 25 = 32 (in cm).
- Osservare poi come si “comportano” i lati dei quadrati “pari”.
In effetti capire che la successione delle misure delle lunghezze
dei lati dei quadrati “pari” sono in progressione geometrica di
ragione 2, di primo termine la lunghezza della diagonale del
primo quadrato (ovvero, la lunghezza del lato di un quadrato di
lato «pari» di rango 2k è ottenuta moltiplicando la lunghezza
della diagonale del quadrato unitario per il prodotto di 2 per se
stesso k-1 volte).
- Calcolare la lunghezza del lato del centesimo quadrato: × 249
cm.

17. Attribuzione dei punteggi
4 Le due risposte corrette (32 cm e × 249 cm) con spiegazione
chiara (tabelle, descrizione della procedura, …) (si può
ammettere come risposta corretta per la 100-esima figura una
scrittura ottenuta con la calcolatrice del tipo: 7,961…× 1014)
3 Le due risposte corrette ma senza spiegazione o senza
l’esplicitazione delle varie fasi che portano alla soluzione
oppure la risposta corretta per l’11° quadrato con spiegazione,
e la risposta 7,961…E14 (copia del display della calcolatrice)
per la seconda richiesta o, ancora per la seconda richiesta, la
risposta 249)
2 La prima risposta corretta con spiegazione
oppure la prima risposta corretta con spiegazione incompleta e
inizio di ricerca per la seconda richiesta
1 La prima risposta corretta senza alcuna spiegazione
0 Incomprensione del problema

18. risultati
21
sections
18. La saga dei quadrati 18RMT II /sezioni
points Occ 0 Occ 1 Occ 2 Occ 3 Occ 4 Total m
Cat. 8 219 76 100 19 31 445 1,03
Cat. 9 71 17 36 12 8 144 1,09
Cat. 10 46 14 26 8 15 109 1,38
tot 290 93 136 31 39 589 1,04

19. VICTOR UND SEINE SCHOKO-RIEGEL (Kat. 31, 32)
©ARMT 2011 - 19° - I prova
Victor hat verschiedene Schoko-Riegel: vier Riegel
Milch-Schokolade, zwei Riegel weiße Schokolade und
einen Riegel Nuss-Schokolade.
Er will ab Montag an jedem Tag der Woche einen Riegel
Schokolade essen. Er will jedoch nicht an zwei
aufeinander folgenden Tagen dieselbe Sorte
Schokolade essen.
Welche Sorte Schokolade kann er an den einzelnen
Wochentagen essen?
Gebt alle Lösungen an, die ihr gefunden habt.

20. LE TAVOLETTE DI CIOCCOLATO (cat. 3, 4)
©ARMT 2011 - 19° - I prova
Vittorio ha ricevuto quattro tavolette di cioccolato nero,
due di cioccolato bianco e una di cioccolato con le
mandorle.
Decide di mangiare una tavoletta ogni giorno della
settimana, a partire da lunedì;
ma non vuole mangiare lo stesso tipo di cioccolato per
due giorni di seguito.
Dite che tipo di cioccolato potrà mangiare ogni
giorno della settimana.
Indicate tutte le soluzioni che avete trovato.

21. Che cosa intendiamo per “problema”
(F.Jaquet)
Una situazione per la quale non si disponga di
una soluzione immediata e che ci obbliga a
inventare una strategia, a fare dei tentativi, a tornare
sui propri passi, a verificare.
Una situazione è un problema solo la prima volta
che la si affronta.
Quando se ne è trovata la soluzione, diventa parte
delle conoscenze organizzate e riconoscibili in classi
di "problemi risolti".

22. L’ immagine della matematica
• Evitare che la matematica sia vista come una
successione di regole, più o meno sensate, da imparare a
memoria,
ricette dettate dall’insegnante e inventate da chissà chi e
chissà perché,
algoritmi da applicare acriticamente
• Evitare che ci si abitui a non capire:
paradossalmente, si rinuncia ad usare la propria testa,
proprio in matematica, più che nelle altre materie.
A volte anche chi ama la matematica non ne ha una
immagine corretta

23. Beatrice, di una terza elementare di Genova
scrive
Le mie impressioni sul Rally.
• A me piace il Rally matematico perché, secondo me
è bello lavorare in gruppo e provare tante soluzioni,
sapere i pareri di tutti i componenti del gruppo e
aiutarsi a vicenda.
• In questo modo ci si esercita con la matematica e
soprattutto si impara ad aiutarsi. A me piacciono i
problemi del Rally perché non sono i soliti problemi
da risolvere con le operazioni, ma in quelli bisogna
usare la logica e si possono trovare tante soluzioni
differenti. Lavorando in gruppo si riesce a
confrontare le proprie idee con quelle degli altri e in
questo modo si riescono a risolvere i problemi fra
bambini, senza l'aiuto dell'insegnante.

24. Il Rally offre agli gli insegnanti
l’opportunità di:
• rinnovare la didattica
• valutare i propri allievi durante le prove
di allenamento, in un contesto informale e
insolito
• collaborare e confrontarsi con i colleghi
nella valutazione delle prove

25. L’insegnante ricopre un ruolo essenziale nell’attività di
risoluzione di problemi.
Nell’attività connessa al Rally dovrebbe:
• riprendere l’analisi dei problemi con gli allievi
• rilanciare in caso di difficoltà non superate
• validare e valutare,
• generalizzare, istituzionalizzare, per assicurarsi
che l’attività sia utile per costruire o rafforzare
conoscenze matematiche.

26. Cosa dicono gli insegnanti
Il Rally matematico è un momento importante per
riflettere e ragionare assieme,
nella convinzione comune che tutti siamo tessere
“diverse”, ma ugualmente indispensabili, di un
meraviglioso puzzle.
Un grazie sincero ai miei alunni per aver condiviso con
me questa bellissima esperienza didattica,
metodologica e soprattutto educativa.
Maestra Rossella

27. Commenti liberi, anonimi, in un
questionario sul Rally:
Insegnanti di scuola elementare:
• I problemi sono stati di stimolo per una metodologia
più “nuova”, dinamica e meno tradizionalista
• Ho rinnovato il modo di fare matematica. Ho potuto
approfondire e riflettere su temi matematici
• Ho avuto la possibilità di offrire agli alunni
esperienze coinvolgenti, piacevoli e divertenti

28. • Argomentare per esprimere le proprie idee è difficile,
tuttavia con le prove del Rally i bambini si stanno
avviando ad acquisire tale capacità
• Il Rally ha favorito l’acquisizione di un metodo per la
risoluzione dei problemi
• Gli alunni vengono stimolati ad intervenire, a fare
osservazioni, trovare regole e a comunicarle agli
altri
• Dopo aver fatto l’esperienza del Rally mi sembra di
aver acquisito una maggior tolleranza dell’errore e
una maggior disponibilità alla spiegazione

29. Insegnanti di scuola media
• Sono venuta a contatto con un modo più coinvolgente di
affrontare i concetti matematici, che agli studenti appaiono
spesso “freddi”
• Dall’analisi a posteriori ho capito meglio quali sono i
ragionamenti degli alunni
• Ho cambiato l’ottica di proporre la matematica in aula, ho
utilizzato spesso problemi del RMT per “fare” lezione o per
giocare (come dicevano i ragazzi)
• Spesso, anche per argomenti del programma, è nato un
dibattito scientifico nella classe
• Si crea un avvicinamento fra insegnante e studente perché
l’uno e l’altro si trovano di fronte a situazioni nuove da
risolvere

30. Regolamento della gara
L a gara preved e d iverse tappe:
• una prova di allenamento, in novem bre o
d icem bre
• una prima prova, in gennaio o febbraio,
second o le sezioni
• una seconda prova in m arzo o aprile
• una finale, a cui acced ono le classi d i una
stessa sezione che hanno ottenuto i punteggi
pi ù alti nelle d ue prove preced enti

31. regole
• L a d urata d ella prova è d i 50 minuti
• la sorveglianza d eve essere
obbligatoriamente assicurata da una
persona " neutrale" , d iversa d al titolare d ella
classe
• gli allievi possono utilizzare tutto il materiale
che reputano necessario: forbici, colla, righello,
com passo, carta, m atite, calcolatrice, etc.

32. valutazione
• Un numero di punti da 0 a 4 è attribuito a
ciascun problema da una commissione della
sezione, secondo i criteri determinati a livello
internazionale.
• Le correzioni vengono effettuate
collegialmente.
• Le classifiche sono per categoria.

33. premi
• O gni allievo riceverà un attestato d i partecipazione e
un regalino particolarizzato con la scritta propria
d ella ed izione d el Rally, a ricord o d ella
partecipazione
• Ai partecipanti alla finale sarà consegnato un
ulteriore gad get e alle classi vincitrici (una per
categoria), una coppa.
• A second a d elle ed izioni sarà regalato alla scuola o
agli insegnanti responsabili qualche buona
pubblicazione o l’abbonam ento ad una rivista
m atem atica.

34. “collaborazione”
Parola chiave del Rally ad ogni livello:
• Tra gli allievi
• Tra gli insegnanti
• Tra gli ideatori di problemi e gli
organizzatori della gara

35. Incontri internazionali
• 1997 : 1° incontro internazionale a Brigue
(CH)
Dal 1998: Brigue, Siena, Neuchatel, Parma,
Lussemburgo, Bourg-en-Bresse, Nivelles,
Besancon, Aosta, Riva del Garda
2011 (28-30 ottobre): 15° Incontro a
BARLETTA

36. organizzazione
• Comitato internazionale
• Responsabili di sezione
• Collaboratori di sezione
• Insegnanti responsabili di scuola

37. DIE ZUGFAHRT (Kat. 42, 71, 81)
In Mathepolis fährt jede volle Stunde (00
Minuten) ein Zug ab in Richtung Geocity.
Ein anderer Zug fährt ebenfalls jede volle Stunde
in Geocity ab in Richtung Mathepolis.
Die Fahrtzeit dauert genau 10 h für jeden Zug.
Wie viele entgegenkommende Züge kreuzt
jeder Zug auf der gesamten Fahrstrecke?
Erklärt eure Überlegungen.

38. VIAGGIO IN TRENO
A Transalpinia, ci sono treni che, allo scoccare di ogni ora
(00 minuti), lasciano la stazione di Matepolis in
direzione di Geocity. Altri treni lasciano Geocity in
direzione di Matepolis, anch’essi allo scoccare di ogni
ora.
La durata del viaggio è esattamente di 10 ore per tutti i
treni.
Durante il suo tragitto, quanti treni che fanno il
percorso in senso inverso, incrocerà ciascun treno?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

39. ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Logica
Analisi del compito
- Trovare un modo per modellizzare la situazione (tabella, riga graduata, disegno, … ).
Per esempio per un treno che parte da Matepolis alle 12.00, il primo treno che
incontra è quello che è partito da Geocity alle 3.00 (non incrocia quello che è partito
alle 2.00, che arriva proprio alle 12.00):
GEOCITY
MATEPOLIS
2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h
Si contano 19 incroci sul grafico, tutte le mezz’ore, dalle 12.30 alle 21.30.
Oppure, distinguere tre «tipi» di treni:
- quelli che sono già in viaggio, vale a dire i treni partiti da 9 ore, 8 ore, …e 1 ora,
che sono 9
- quello che parte nello stesso momento, ma dall’altra stazione
- quelli che partiranno dopo il treno considerato, cioè quelli che partiranno dopo 1
ora, 2 ore, …, 9 ore, che sono ancora 9.
In tutto ci sono dunque 9 + 1 + 9 = 19 treni incrociati.

40. Attribuzione dei punteggi
3 Risposta completa (ogni treno incontra 19 altri treni) con spiegazione chiara
3 Risposta corretta con spiegazione incompleta
oppure risposta 21 treni che non tiene conto del fatto che i treni si
incontrano lungo il tragitto (e non nelle stazioni di partenza e di arrivo) con
spiegazione chiara
oppure risposta 18 treni, che non tiene conto del treno che parte nello stesso
momento, ma dall’altra stazione
2 Risposta corretta senza spiegazione
oppure risposta 21 treni dovuta al non rispetto della condizione che i treni
partono simultaneamente (allo scoccare delle ore) dalle due stazioni
1 Risposta errata (9 o 10 treni) che tiene conto solo di uno o due «tipi» di
treno
oppure inizio di ricerca coerente
0 Incomprensione del problema
Livello: 6, 7, 8
Origine: Luxembourg

41. FOTO AUS AFRIKA (Kat. 31, 32)
©ARMT 2011 - 19° - I prova
Clara sieht sich ein großes Foto mit Tieren aus
Afrika an.
Sie zählt die Zebras und die Giraffen.
Im Ganzen zählt sie 36 Tiere. Die Anzahl der
Zebras ist doppelt so groß wie die Anzahl der
Giraffen.
Wie viele Giraffen sind es?
Wie viele Zebras sind es?
Erklärt wie ihr eure Antworten gefunden
habt.

42. UNA FOTO AFRICANA (cat. 3, 4)
©ARMT 2011 - 19° - I prova
Clara osserva una grande fotografia di un
paesaggio africano.
Conta le zebre e le giraffe.
Ce ne sono 36 in tutto e il numero delle zebre è il
doppio del numero delle giraffe.
Quante sono le giraffe?
Quante sono le zebre?
Spiegate come avete trovato le vostre risposte.