Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.

1. Cap´
ıtulo 8
Series num´ricas
e
8.1. Definici´n y primeras propiedades
o
Informalmente, una serie es “una suma de infinitos sumandos” (ver antecedentes hist´ricos o
y comentarios en [Apostol, cap. 10] y en [Duran, p´g. 184 y siguientes]). Tales sumas se usan
´ a
impl´ ıcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los n´meros reales:
u
7
as´ la igualdad = 2, 333 . . . significa
ı,
3
7 3 3 3
=2+ + + + ...,
3 10 100 1000
3
suma con “infinitos sumandos” de la forma , n ∈ N. En general, consideraremos una sucesi´n
o
∞
10n
cualquiera (an ) y “su suma” n=1 an . ¿Qu´ sentido habr´ que darle a tal suma? La respuesta se
e a
m
∞
impone de modo natural: n=1 an “tiene que ser” l´
ım an .
m→∞
n=1
Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la “sucesi´n de sumandos”
o
(an ) una nueva sucesi´n “de sumas” (sm ) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar
o
el l´
ımite (si existe) de esta ultima sucesi´n. Esquem´ticamente:
´ o a
lugar 1 2 3 4 ... n ...
t´rmino
e a1 a2 a3 a4 ... an ...
suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + · · · + an ... →?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesi´n,o
¿qu´ novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en
e
el punto de partida: tomando como “dato” la sucesi´n de sumandos (an ), nos planteamos determinar
o
propiedades de la sucesi´n de sumas (sn ) bas´ndonos en propiedades de los t´rminos an . Pasemos
o a e
a formalizar estas ideas.
8.1.1. Series: t´rminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y
e
oscilantes
Definici´n 8.1.1. Una serie ∞ an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (sn )) relacionadas
o n=1
por la condici´n de que para cada n ∈ N es
o
sn = a1 + a2 + · · · + an .
El t´rmino n-´simo de la primera sucesi´n, an , recibe el nombre de t´rmino n-´simo de la serie ;
e e o e e
el t´rmino n-´simo de la segunda sucesi´n, sn , recibe el nombre de suma parcial n-´sima de la
e e o e
serie .
143

2. 144 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
∞
Se dice que la serie n=1 an es convergente si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales es
o
convergente, es decir, si
m
∃ l´ sm = l´
ım ım an ∈ R.
m m
n=1
Diremos que la serie ∞ an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesi´n
n=1 o
de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.
Si una serie ∞ an es convergente, se llama suma de dicha serie al l´
n=1 ımite de la sucesi´n
o
de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞,
respectivamente. Con un abuso de notaci´n que no suele conducir a error, se denota la suma con
o
el mismo s´ımbolo que la serie. Es decir, se escribe
∞ m
an = l´
ım an ,
m
n=1 n=1
cuando este l´
ımite existe.
Nota. A veces es c´modo considerar series de la forma ∞ an , donde m es un n´mero entero:
o n=m u
las sumas parciales ser´n entonces s1 = am , s2 = am + am+1 ,. . . , sn = am + · · · + am+n−1 , . . .
a
Se utiliza tambi´n la notaci´n am + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∞ an y, cuando no da
e o n=m
lugar a confusi´n, se abrevia en
o an .
Ejemplo (series geom´tricas). Una serie ∞ an es una serie geom´trica si existe un r ∈ R
e n=1 e
tal que para todo n ∈ N es an+1 = r · an (o an+1 /an = r si a1 = 0); de otro modo, si es de la forma
∞ n
n=0 a r . Si sn es su suma parcial n-´sima, se tendr´
e a
n
n−1 a 1−r
1−r si r = 1
sn = a + a r + · · · + a r = .
an si r = 1
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
∞
a
a) si |r| < 1, la serie arn es convergente y la suma es ;
1−r
n=0
b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);
c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´n acotadas;
a
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo (serie arm´nica). Se denomina as´ la serie
o ı
∞
1
.
n
n=1
Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-´sima, denotada habitualmente por Hn , cumple
e
n n k+1 n+1
1 dx dx
Hn = ≥ = = log(n + 1),
k k x 1 x
k=1 k=1
1
luego la serie arm´nica diverge a +∞ a pesar de que l´
o ım = 0.
n n
El “car´cter” de una serie no cambia si se prescinde de un n´mero finito de sumandos (aunque
a u
s´ puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma m´s precisa,
ı a

3. ´
8.1. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 145
∞
Proposici´n 8.1.2. Dada una serie
o n=1 an y un entero m > 1, se tiene:
∞ ∞
a) n=1 an converge si y solo si converge n=m an . Si convergen, entonces
∞ m−1 ∞
an = an + an .
n=1 n=1 n=m
∞ ∞
b) n=1 an diverge a +∞ si y solo si n=m an diverge a +∞.
∞ ∞
c) n=1 an diverge a −∞ si y solo si n=m an diverge a −∞.
∞ ∞
d) n=1 an es oscilante si y solo si n=m an es oscilante.
Demostraci´n. Basta observar que para todo p > m es
o
p m−1 p
an = an + an ,
n=1 n=1 n=m
m−1
donde n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados
conocidos para sucesiones.
8.1.2. Linealidad de la convergencia de series
Proposici´n 8.1.3. Sean ∞ an , ∞ bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la
o n=1 n=1
∞
serie n=1 (αan + βbn ) es convergente y se tiene
∞ ∞ ∞
(αan + βbn ) = α an + β bn .
n=1 n=1 n=1
Demostraci´n. Basta tener en cuenta que
o
N N N
(αan + βbn ) = α an + β an .
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
Corolario 8.1.4. Si n=1 an converge y n=1 bn no es convergente, entonces n=1 (an + bn ) no
es convergente.
∞
Demostraci´n. Si la serie
o n=1 (an + bn ) convergiera, entonces la serie
∞ ∞
bn = (an + bn ) + (−1)an
n=1 n=1
tambi´n converger´ seg´n la proposici´n anterior.
e ıa, u o
Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n ) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´
ı.
Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como
ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.
no convergente: exam´

4. 146 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
8.1.3. Series telesc´picas
o
Proposici´n 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de n´meros reales tales que para todo n ∈ N
o u
se cumple
an = bn − bn+1 .
Entonces la serie ∞ an (denominada serie telesc´pica) es convergente si y solo si la sucesi´n
n=1 o o
(bn ) tiene l´
ımite real, en cuyo caso tenemos
∞
an = b1 − l´ bn .
ım
n
n=1
∞
Demostraci´n. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie
o n=1 an son
N
sN = an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN −1 − bN ) + (bN − bN +1 ) = b1 − bN +1 .
n=1
1 1 1
Ejemplo. Si an = = − , entonces la suma parcial N -´sima es simplemente
e
n(n + 1) n n+1
N N
1 1 1 1
SN = = − =1− ,
n(n + 1) n n+1 N +1
n=1 n=1
∞
con lo que l´ SN = 1. Es decir, la serie
ım n=1 an converge y su suma es 1:
N
∞
1
= 1.
n(n + 1)
n=1
1
Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + . La suma parcial de orden N es
n
N N N
1
an = log 1 + = log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1)
n
n=1 n=1 n=1
∞
1
y tiende a +∞. Es decir, la serie log 1 + diverge a +∞.
n
n=1
∞
Nota. Toda serie n=1 an se puede ver trivialmente como una serie telesc´pica: basta poner
o
b1 = 0, bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N),
lo que no a˜ade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos ob-
n
tenido s´lo es util cuando la sucesi´n (bn ) es una sucesi´n conocida, cuyo comportamiento sabemos
o ´ o o
de antemano.
Ejercicio. Escribi´ndolas como series telesc´picas, estudiar las siguientes series:
e o
∞
1 n+2 n+2
a) n n(n + 1)
(descomponer en fracciones simples).
2 n(n + 1)
n=1
∞
a x x
b) 3n sen3 n
(obs´rvese que sen x = 3 sen − 4 sen3 ).
e
3 3 3
n=1
x
∞ 2 tg
a a 2 ).
c) 2n−1 tg2 n tg n−1 (utilizar que tg x =
2 2 1 − tg 2 x
n=1
2
∞
1 3 1
d) sen cos n (tener en cuenta que cos x sen y = [sen(x + y) − sen(x − y)]).
2n 2 2
n=1

5. ´
8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 147
8.1.4. Condici´n necesaria para la convergencia de una serie. Condici´n general
o o
de convergencia de Cauchy
Proposici´n 8.1.6 (condici´n necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie
o o
∞
n=1 an converge, necesariamente
l´ an = 0.
ım
n
Demostraci´n. Si (sN ) es la sucesi´n de las sumas parciales, es decir,
o o
N
sN = an ,
n=1
entonces
∃ l´ sN ∈ R.
ım
N
Como aN = sN − sN −1 , se deduce que
l´ aN = l´ sN − l´ sN −1 = 0.
ım ım ım
N N N
Esta condici´n no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos
o
de series no convergentes cuya sucesi´n de t´rminos tiende a 0; el m´s sencillo es quiz´ la serie
o e a a
arm´nica
o
∞
1 1 1 1
= 1 + + + ··· + + ··· ,
n 2 3 n
n=1
ya estudiada.
Teorema 8.1.7 (condici´n de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie
o
∞
n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que para cualesquiera
m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple
m
ak < ε.
k=n
Demostraci´n. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales, lo
o o
que equivale a que (sn ) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0
exista un N = N (ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero
m n−1 m
sm − sn−1 = ak − ak = ak .
k=1 k=1 k=n
8.2. Series de t´rminos no negativos
e
8.2.1. Convergencia de una serie de t´rminos no negativos. Criterios de com-
e
paraci´n
o
El estudio del car´cter de una serie se simplifica cuando ´sta es de t´rminos no negativos.
a e e
Proposici´n 8.2.1. Sea ∞ an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces ∞ an
o n=1 n=1
converge si y solo si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales est´ acotada superiormente. En caso
o a
contrario, la serie diverge a +∞.
Demostraci´n. Puesto que para cada n ∈ N es
o
sn+1 − sn = an+1 ≥ 0,
la sucesi´n (sn ) es mon´tona no decreciente. Luego o bien est´ acotada superiormente y converge,
o o a
o bien no est´ acotada superiormente y diverge a +∞.
a

6. 148 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a
partir del car´cter de otra serie conocida.
a
Teorema 8.2.2 (criterio de comparaci´n por mayoraci´n). Sean ∞ an y ∞ bn dos
o o n=1 n=1
series y n0 ∈ N de modo que para n ≥ n0 es 0 ≤ an ≤ bn . Si ∞ bn converge, tambi´n converge
n=1 e
∞ ∞ ∞
n=1 an . En consecuencia, si n=1 an diverge, n=1 bn es asimismo divergente.
Demostraci´n. Sabemos que ∞ an tiene el mismo car´cter que ∞ 0 an , y que ∞ bn tiene
o n=1 a n=n n=1
el mismo car´cter que ∞ 0 bn . Denotando por (sn ) la sucesi´n de sumas parciales de ∞ 0 an
a n=n o n=n
y por (tn ) la de ∞ 0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) est´ acotada
n=n a
superiormente, (sn ) estar´ acotada superiormente. Y si (sn ) no est´ acotada superiormente, (tn )
a a
tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora la proposici´n anterior.
o
Otra forma de comparar dos series es estudiar el cociente de sus t´rminos:
e
∞ ∞
Teorema 8.2.3 (criterio de comparaci´n por paso al l´
o ımite). Sean n=1 an , n=1 bn series
de t´rminos no negativos. Supongamos que existe
e
an
l´
ım = ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.
n bn
∞ ∞
a) Si < +∞ y la serie n=1 bn converge, entonces la serie n=1 an tambi´n converge.
e
∞ ∞
b) Si 0 < y la serie n=1 bn diverge, entonces la serie n=1 an tambi´n diverge.
e
∞ ∞
c) Si 0 < < +∞, entonces las dos series n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´cter.
a
Demostraci´n. a) Sea C ∈ ( , +∞) (por ejemplo C = + 1). Entonces existe alg´n n0 ∈ N tal
o u
que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bnn=1
converge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞ an
e n=1 n=1
converge.
b) Sea C ∈ (0, ). Existe alg´n n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ n0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0
u
para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bn diverge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn diverge y, por
n=1 e n=1
el criterio anterior, la serie ∞ an diverge.
n=1
c) Basta aplicar a) y b).
∞ ∞
Corolario 8.2.4 (series de t´rminos equivalentes). Sean
e n=1 an , n=1 bn dos series de
∞ ∞
t´rminos no negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces
e n=1 an y n=1 bn tienen el mismo
car´cter.
a
Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma.
La comparaci´n con las series geom´tricas proporciona dos criterios muy utiles en la pr´ctica:
o e ´ a
el criterio de la ra´ y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones m´s generales de
ız a
los mismos para series de t´rminos cualesquiera, as´ que dejamos la demostraci´n para entonces.
e ı o
∞
Proposici´n 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´
o ız). Sea n=1 an una serie de t´rminos no
e
√
negativos tal que existe R = l´ n an .
ım
n→∞
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente.
∞
Proposici´n 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea
o n=1 an una serie de
an+1
t´rminos no negativos tal que existe R = l´
e ım .
n→∞ an
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente.

7. ´
8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 149
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente.
Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe.
∞
Proposici´n 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea
o n=1 an una serie de t´rminos no negativos tal
e
an+1
que existe R = l´ n (1 −
ım ). Entonces:
n→∞ an
∞
a) Si R > 1, la serie n=1 an es convergente.
∞
b) Si R < 1, la serie n=1 an diverge a +∞.
Demostraci´n. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, p´gs. 101–102].
o a
8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de t´rminos no negativos
e
Proposici´n 8.2.8 (criterio integral). Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente. Entonces:
o
+∞ ∞
a) La integral impropia f es convergente si y solo si la serie f (n) converge.
1 n=1
n n
b) Existe C = l´
ım f (k) − f ∈ [0, +∞).
n 1
k=1
n n
c) Para cada n ∈ N se tiene f (k) = f + C + εn , con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
1 x→+∞
k=1
Demostraci´n. Para cada n ∈ N, pongamos
o
n n
sn = f (k), tn = f, dn = sn − tn .
k=1 1
Entonces
n n−1 k+1 n−1 k+1
dn = f (k) − f = f (n) + f (k) − f (x) dx
k=1 k=1 k k=1 k
n−1 k+1
= f (n) + [f (k) − f (x)] dx ≥ 0.
k=1 k
Como
n+1
dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 = f (x) dx − f (n + 1)
n
n+1
= [f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0,
n
se sigue que (dn ) es mon´tona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C =
o
l´ dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) ser´n simult´neamente convergentes o divergentes.
ım a a
n
+∞
Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral 1 f , luego esta
integral converge si y solo si converge la serie ∞ f (n). Con esto hemos demostrado a) y b).
n=1
En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = sn − tn − C = dn − C; lo
que hay que probar es que
0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
x→+∞

8. 150 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
Observemos que
n+1 n+1
0 ≤ dn − dn+1 = f (x) dx − f (n + 1) ≤ f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1).
n n
Reiterando, para cualquier n´mero natural m > n resulta:
u
0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1),
0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2),
...
0 ≤ dm−1 − dm ≤ f (m − 1) − f (m).
Al sumar las desigualdades resulta que
0 ≤ dn − dm ≤ f (n) − f (m).
Pasando al l´
ımite en m, y teniendo en cuenta que l´ f (x) existe por ser f mon´tona no creciente,
ım o
x→+∞
obtenemos
0 ≤ dn − C ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
x→+∞
Como εn = dn − C, hemos terminado la demostraci´n.
o
Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler . Aplicando los resultados que acabamos de obtener
a la funci´n f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que
o
n
1
dx = log n,
1 x
podemos escribir la suma parcial n-´sima de la serie arm´nica como
e o
n
1
Hn = = log n + γ + εn ,
k
k=1
donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y
n
1
γ = l´
ım − log n = 0, 5772156649 . . .
n k
k=1
es un n´mero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funci´n Γ, definida tambi´n por ´l.
u o e e
Euler obtuvo sus diecis´is primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calcul´ 3.566 cifras.
e o
No se sabe todav´ si es un n´mero racional o irracional (ver [Le Lionnais, p´g. 28]).
ıa u a
2.- La funci´n ζ de Riemann . El criterio integral permite comprobar f´cilmente que la serie
o a
∞
1
ns
n=1
converge si y solo si s > 1. La funci´n
o
∞
1
ζ(s) = , s > 1,
ns
n=1
se denomina funci´n zeta de Riemann y tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´
o ıa
de n´meros). Hay expresiones m´s o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores.
u a
π2 π4
Se sabe por ejemplo que ζ(2) = , ζ(4) = . Hasta fechas recientes (R. Ap´ry, 1978) no se hab´
e ıa
6 90
podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, p´g. 36].
a

9. ´
8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 151
3.- Series logar´
ıtmicas . Tambi´n mediante el criterio integral se prueba que la serie
e
∞
1
n(log n)s
n=2
converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol, p´g. 486]).
a
Por comparaci´n con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de
o
convergencia.
∞
Proposici´n 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea
o n=1 an una serie de t´rminos no negativos
e
tal que para alg´n α ∈ R existe el l´
u ımite
l´ nα an = ∈ [0, +∞].
ım
n→∞
Entonces:
∞
a) Si α > 1 y < +∞, la serie n=1 an converge.
∞
b) Si α ≤ 1 y > 0, la serie n=1 an diverge (a +∞).
Proposici´n 8.2.10 (criterios logar´
o ıtmicos). Sea ∞ an una serie de t´rminos no negativos
n=1 e
− log an − log(n an )
tal que existe alguno de los dos l´
ımites A = l´
ım , B = l´
ım . Entonces:
n→∞ log n n→∞ log(log n)
∞
a) Si A > 1, la serie n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞.
∞
b) Si B > 1, la serie n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.
8.3. Series de t´rminos cualesquiera
e
8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz
Proposici´n 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞ xn una serie alternada, es decir, una serie
o n=1
tal que para cada n ∈ N es xn = (−1)n+1 an con an ≥ 0. Si (an ) es una sucesi´n no creciente con
o
∞ ∞ n+1 a es convergente. Adem´s, denotando con s
ımite 0, entonces la serie n=1 xn = n=1 (−1)
l´ n a n
la suma parcial n-´sima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades
e
0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , (8.1)
n
0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 . (8.2)
Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesi´n no decreciente y las sumas
o
de orden impar una sucesi´n no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente
o
modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que
an+1 , de modo que si (an ) converge “r´pidamente” a 0 obtenemos una buena aproximaci´n de la
a o
suma mediante una suma parcial de “pocos” t´rminos.
e
Demostraci´n. Obs´rvese que dado k ∈ N, la diferencia
o e
−(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1
es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que
da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es
s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 ,

10. 152 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
que an´logamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba
a
de (8.1) para todos los casos. Adem´s, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesi´n no decreciente.
a o
Como
s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 ,
(s2k ) est´ acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´
a ımite. Puesto que
s2k−1 = s2k + a2k
y a2k → 0, resulta que
l´ s2k−1 = l´ (s2k + a2k ) = l´ s2k + l´ a2k = s + 0 = s.
ım ım ım ım
k k k k
Es decir: tanto la subsucesi´n de t´rminos pares como la de t´rminos impares de (sn ) son con-
o e e
vergentes con l´
ımite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con l´
ımite s, es decir, que
+∞
n=1 xn = s.
Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es
+∞ +∞
s = x1 + · · · + xn + xk = sn + (−1)k+1 ak ,
k=n+1 k=n+1
se sigue que
+∞
n
(−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − an+2 + l´ [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )]
ım
m
≥ an+1 − an+2 ≥ 0
y que
+∞
n
(−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − l´ [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )]
ım
m
≤ an+1 ,
lo que prueba (8.2).
Ejemplo. La serie arm´nica alternada
o
∞
(−1)n−1
n
n=1
es convergente. Adem´s, su suma se calcula f´cilmente utilizando la constante de Euler. En efecto:
a a
para cada n ∈ N, sumando y restando t´rminos, se tiene
e
2n
(−1)k+1 1 1 1 1 1
= 1 − + − + ··· + −
k 2 3 4 2n − 1 2n
k=1
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + + ··· + + −2 + + ··· +
2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n
= H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn .
Como sabemos ya que la serie arm´nica alternada es convergente, podemos escribir:
o
+∞ m 2n
(−1)k+1 (−1)k+1 (−1)k+1
= l´
ım = l´
ım = log 2.
k m k n k
k=1 k=1 k=1

11. ´
8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 153
Ejemplo. La serie
∞
(−1)n log n
n
n=2
log x
es convergente. En efecto, es f´cil comprobar que la funci´n f (x) =
a o es decreciente en [3, +∞)
x
log n log n
(por ejemplo, calculando f ). Adem´s, a ≥ 0 y → 0. De aqu´ se deduce que la serie
ı
n n
∞
(−1)n log n
converge.
n
n=3
8.3.2. Series absolutamente convergentes
∞ ∞
Definici´n 8.3.2. Una serie
o n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie n=1 |an |
es convergente.
El ejemplo m´s sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie arm´nica
a o
alternada.
Observaci´n. Si ∞ an y ∞ bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, enton-
o n=1 n=1
ces la serie ∞ (ran +sbn ) tambi´n es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad
n=1 e
|ran + sbn | ≤ |r||an | + |s||bn | y el criterio de mayoraci´n.
o
Definici´n 8.3.3. Para un n´mero real cualquiera x, escribamos
o u
x+ = m´x{x, 0},
a x− = m´x{−x, 0}.
a
Es f´cil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0.
a
Proposici´n 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si
o
∞
n=1 |an | converge, entonces la serie ∞ an tambi´n converge. Y en ese caso,
n=1 e
∞ ∞
an ≤ |an |.
n=1 n=1
Demostraci´n. Con la notaci´n anterior,
o o
0 ≤ a+ ≤ |an |,
n 0 ≤ a− ≤ |an |,
n
luego las dos series ∞ a+ y ∞ a− convergen. Como an = a+ − a− , la serie
n=1 n n=1 n n n
∞
n=1 an tambi´n
e
converge. Adem´s, para cada n ∈ N
a
n n
ak ≤ |ak |,
k=1 k=1
por la desigualdad triangular. Pasando al l´
ımite (una vez que ya sabemos que las dos series con-
vergen),
∞ ∞
ak ≤ |ak |.
k=1 k=1

12. 154 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la ra´ y de D’Alembert (del cociente)
ız)
Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de t´rminos no negativos se traducen de
e
manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de t´rminos cualesquiera. As´
e ı:
∞
Proposici´n 8.3.5 (criterio de la ra´ o de Cauchy). Sea
o ız n=1 an una serie tal que existe
R = l´ n |an |.
ım
n→∞
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
o a u
n
|an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto,
0 ≤ |an | ≤ cn , n ≥ n0 .
Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie ∞ 0 |an | converge,
e n=n n=n
y la serie ∞ |an | tambi´n converge.
n=1 e
b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo
a u
tanto,
|an | ≥ 1, n ≥ n0 .
∞
Entonces, an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
∞
Proposici´n 8.3.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea
o n=1 an una serie tal que
|an+1 |
existe R = l´
ım .
n→∞ |an |
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
o a u
|an+1 |
|an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto,
|an+1 | ≤ c|an |, n ≥ n0 .
De aqu´ es f´cil deducir por inducci´n que
ı a o
|an0 | n
0 ≤ |an | ≤ c , n ≥ n0 .
cn0
Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie
e n=n
∞
n=n0 |an | converge,
y la serie ∞ |an | tambi´n converge.
n=1 e
|an+1 |
b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
a u |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo
tanto,
|an+1 | ≥ |an |, n ≥ n0 .
∞
Entonces, la sucesi´n |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an → 0 y la serie
o n=1 an no es
convergente.

13. 8.4. PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA SERIES 155
8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente.
Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta a˜adimos los m´s
n a
conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “f´rmula de sumaci´n por partes”.
o o
Lema 8.3.7 (f´rmula de sumaci´n parcial de Abel). Sean (an )∞ , (bn )∞ dos sucesiones
o o n=1 n=1
arbitrarias, y llamemos, para cada n,
n
An = ak
k=1
∞
(suma parcial n-´sima de la serie
e n=1 an ) Entonces
n n
ak bk = An bn+1 + Ak (bk − bk+1 )
k=1 k=1
cualquiera que sea n ∈ N.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 497].
o a
Proposici´n 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona y acotada, y
o n=1 o o
∞ ∞
n=1 bn es una serie convergente, la serie n=1 an bn es convergente.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 498].
o a
Proposici´n 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona que converge
o n=1 o o
a 0, y ∞ bn es una serie cuya sucesi´n de sumas parciales est´ acotada, la serie ∞ an bn es
n=1 o a n=1
convergente.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´gs. 497–498].
o a
8.4. Propiedad conmutativa para series
¿Qu´ sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las
e
unicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues,
´
las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos.
Definici´n 8.4.1. Dada una serie ∞ an , se dice que otra serie ∞ bn es una reordenaci´n
o n=1 n=1 o
suya si existe una aplicaci´n biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,
o
bn = ar(n) .
∞ ∞
N´tese que, rec´
o ıprocamente, n=1 an es una reordenaci´n de
o n=1 bn , pues la inversa r−1 es
igualmente una biyecci´n.
o
Informalmente, una serie es una reordenaci´n de otra si tiene exactamente los mismos t´rminos,
o e
pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significar´, as´ que tenga suma
a ı,
y que cualquier reordenaci´n suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las
o
series convergentes con la propiedad conmutativa.
Definici´n 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente
o
y si toda reordenaci´n suya es asimismo convergente, y con la misma suma.
o
Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondi-
cionalmente convergente, de modo que alguna reordenaci´n suya o bien no es convergente o converge
o
a una suma distinta.

14. 156 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
∞ ∞
Lema 8.4.3. Dada una serie n=1 an de t´rminos no negativos y una reordenaci´n suya
e o n=1 bn ,
se tiene:
∞ ∞
a) si n=1 an es convergente con suma s, tambi´n
e n=1 bn es convergente con suma s.
∞ ∞
b) si n=1 an es divergente a +∞, tambi´n
e n=1 bn es divergente a +∞.
Demostraci´n. a) Sea r : N → N tal que bn = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos
o
m(n) = m´x{r(1), r(2), . . . , r(n)}.
a
∞
Denotando con tn la suma parcial n-´sima de
e n=1 bn ser´ entonces
a
tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s,
lo que prueba que ∞ bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞ an
n=1 n=1
es una reordenaci´n de ∞ bn , por el mismo motivo su suma ser´ menor o igual que la suma de
o n=1 a
∞
n=1 bn , lo que implica la igualdad entre ambas sumas.
b) En caso contrario, ∞ bn ser´ convergente y entonces ∞ an , reordenaci´n suya, tambi´n
n=1 ıa n=1 o e
converger´ ıa.
Proposici´n 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente.
o
Demostraci´n. Si la serie ∞ |an | converge, aplicamos el lema anterior a las series
o n=1
∞ +
n=1 an y
∞ − (que tambi´n convergen) y por ultimo recordamos que a = a+ − a− .
n=1 an e ´ n n n
El rec´
ıproco tambi´n es cierto: m´s a´n, una serie convergente que no converja absolutamente
e a u
posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente
prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un
c´lebre teorema de Riemann.
e
Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente,
para cada ∈ [−∞, +∞] existe una reordenaci´n suya con suma ; en general, dados 1 , 2 , . . . ,
o
k , existe una reordenaci´n cuya sucesi´n de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen
o o
a 1, 2, . . . , k .
Demostraci´n. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, p´g. 105], [Ortega, teorema 9.20, p´g. 303].
o a a
Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo
si es absolutamente convergente.
8.5. Ap´ndice: sumaci´n de series
e o
Resumimos las ideas fundamentales sobre el c´lculo de las sumas de algunos tipos particulares
a
de series.
Series telesc´picas
o
∞
Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie an converge si y solo si es convergente
n=1
∞
la sucesi´n (bn ), y si este es el caso,
o an = b1 − l´ bn .
ım
n
n=1

15. ´ ´
8.5. APENDICE: SUMACION DE SERIES 157
Series geom´tricas
e
∞ ∞
a
Si a = 0, entonces la serie a rn−1 converge si y solo si |r| < 1; si converge, a rn−1 = .
1−r
n=1 n=1
Series aritm´tico-geom´tricas
e e
∞
Si P es un polinomio no constante, la serie P (n) rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando
n=0
∞ ∞
S a su suma, (1 − r)S = P (0) + [P (n) − P (n − 1)]rn = P (0) + Q(n)rn , donde Q es un
n=1 n=1
polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geom´trica.
e
Series hipergeom´tricas
e
∞
an+1 αn + β
Son de la forma an con = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con
an αn + γ
n=1
γa1
suma γ−α−β
Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’
P (n)
Series del tipo , donde P y Q son polinomios (el nombre no es est´ndar). Cuando
a
Q(n)
convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando
la suma parcial n-´sima, relacion´ndola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las
e a
siguientes:
• Serie arm´nica
o
1 1 1
Hn := 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ n εn = 0
ım
2 3 n
• Funci´n ζ de Riemann
o
∞
1
ζ(s) := , s > 1 (funci´n zeta de Riemann). En particular
o
ns
n=1
∞ ∞
1 π2 1 π4
ζ(2) = = , ζ(4) = = .
n2 6 n4 90
n=1 n=1
Reordenadas de la serie arm´nica alternada
o
En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en t´rmi-
e
nos de Hn , y deducir as´ el comportamiento de la serie.
ı
Series que se reducen a la exponencial
∞
xn
Partiendo de que para todo x ∈ R es = ex , se pueden sumar series de la forma
n!
n=0
P (n) n
x , donde P es un polinomio de grado m, sin m´s que reescribir
a
n!
P (n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am

16. 158 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que
n(n − 1) · · · (n − k) 1
= ,
n! (n − k − 1)!
si n > k.

17. Bibliograf´
ıa
[Apostol] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona,
o e
1989. Citado en la(s) p´gina(s) 143, 151, 155
a
[Duran]
´ Dur´n, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´lculo. Alian-
a a
za, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´gina(s) 143
a
[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´n al c´lculo infi-
o a
nitesimal. Edici´n de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´gina(s)
o a
149, 156
[Le Lionnais] Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado
en la(s) p´gina(s) 150
a
[Ortega] Ortega, J. M.: Introducci´n al An´lisis Matem´tico. Labor, Barcelona,
o a a
1995. Citado en la(s) p´gina(s) 156
a
159