La Derivada

Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada

3
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA
TANGENTE.
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OBJETIVOS:
• Definir derivada.
• Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas
normales a una curva.
• Realizar demostraciones formales de derivada.
• Calcular derivadas.

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Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue
resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da
inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM
LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por
describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo
una trayectoria, después veremos que es el mismo problema.

Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1.

y

y = f ( x)

y0

x
x0

Fig. 3.1

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 )

Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.

Observe la Fig. 3.2

76


y y = f ( x)

f ( x0 + h )

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

f ( x0 )
h

x
x0 x0 + h

Fig. 3.2

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x0 , f ( x0 ) ) y
f ( x0 + h) − f ( x0 )
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

f ( x0 + h) − f ( x0 )
mtg = lím
h→0 h

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y
que sea función del tiempo; es decir e = f (t ) . Suponga ahora que se quiere

determinar la velocidad media vm en un intervalo de tiempo [t0 , t0 + h] , esta
estaría dada por:
Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 )
vm = =
Δt t0 + h − t 0
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:

77


Δe f ( t0 + h ) − f ( t 0 )
v = lim vm = lim = lim
Δt →0 Δt →0 Δt h →0 h
Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea x0
un punto del dominio de f . La derivada de
f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define
como:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
f ´(x0 ) = lím
h →0
h
Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ".

Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y´ o Dx y .
dy
Leibniz utilizó la notación .
dx
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ( x + h) − f ( x )
f ´( x) = lím
h →0 h

78


3.4 FORMA ALTERNATIVA

Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para
algunos casos resulta muy útil.

En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím = lím
h →0 h x→ x0 x − x0
f ( x) − f ( x0 )
= lím
x→ x0 x − x0

Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3.

y y = f ( x)

f ( x)

f ( x ) − f ( x0 )

f ( x0 )
x − x0

x x
x0

Fig. 3.3

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:
f ( x) − f ( x0 )
msec = . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada
x − x0
por:

f ( x) − f ( x0 )
mtg = lím
x→ x0 x − x0

79


Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1
SOLUCIÓN:

f ( x + h) − f ( x )
f ´( x) = lím
h →0 h
⎡ 2 ( x + h ) + 1⎤ − [ 2 x + 1]
⎣ ⎦
= lím
h→0 h
2 x + 2h + 1 − 2 x − 1
= lím
h→0 h
2h
= lím
h→0 h

= lím 2
h→0

f ´( x) = 2

Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím
x → x0 x − x0
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1)
= lím
x → x0 x − x0
2 x + 1 − 2 x0 − 1
= lím
x → x0 x − x0
2 x − 2 x0
= lím
x → x0 x − x0
2 ( x − x0 )
= lím
x → x0 ( x − x0 )
= lím 2
x → x0

f ´( x0 ) = 2

Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2
SOLUCIÓN:

f ( x + h) − f ( x )
f ´(x) = lím
h →0 h

= lím
(x + h )2 − x 2
h→0 h
x + 2 xh + h 2 − x 2
2
= lím
h→0 h
h(2 x + h )
= lím
h→0 h
= lím (2 x + h )
h→0
f ´(x) = 2 x

80


f ( x) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím
x → x0 x − x0
x 2 − x0 2
= lím
x → x0 x − x0
( x − x0 )( x + x0 )
= lím
x → x0 x − x0
= lím ( x + x0 )
x → x0

= x0 + x0
f ´( x0 ) = 2 x0

Ejercicios propuestos 3.1
1. Sea f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2)
a) Calcule el valor de
0.5
f (2.3) − f (2)
b) Calcule el valor de
0.3
f (2.1) − f (2)
c) Calcule el valor de
0.1

d) Calcule el valor de .
f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

2. Hallar f ´(3) , considerando la gráfica:

y = f ( x)

3. Empleando la definición, determine la derivada de:
a) f ( x) = 3x + 2 d) f ( x) = −2 x 2 + x − 1
b) f ( x) = −2 x + 1 e) f ( x) = 2 x 3
1
c) f ( x) = x 2 + 2 x − 3 f) f ( x ) =
3x + 2

81


3.5 DIFERENCIABILIDAD

Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una
función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será
derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a
derivabilidad para funciones de una variable real.

3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.

Si f es diferenciable en " x0 ", es decir
f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en
" x0 "

Demostración.
Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 ,
tenemos:
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) = (x − x0 ) + f ( x0 )
x − x0
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
f ( x) − f ( x0 )
lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0

f ( x) − f ( x0 )
La expresión lím es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es
x → x0 x − x0
derivable en x 0 . Entonces:
cons tan te
f ( x) − f ( x0 )
lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0

f ´( x0 ) 0 f ( x0 )

= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 )
= 0 + f ( x0 )
lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0

Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.

82


Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en
" x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ".

También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable.

Ejemplo
Hallar f ´(1) para f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN:

Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ( x) − f (1)
f ´(1) = lím
x→1 x −1
x −1 − 0
= lím
x→1 x − 1
x −1
= lím
x→1 x − 1

El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:
x −1
1. lím+ = lím 1 = 1
x →1 x − 1 x →1+
−(x − 1)
2. lím = lím (− 1) = −1
x →1 − x −1 x →1−
x −1
Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím no existe.
x→1 x −1

Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4

Fig. 3.4

Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de
x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es
continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica
diferenciabilidad.

83


3.5.2 DERIVADAS LATERALES.

Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla
unilateralmente.

3.5.2.1 Derivada por derecha

La derivada por derecha del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
+
f ´(x0 ) = lím
h →0 +
o por la forma
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 + ) = lím
x→ x x − x0 0
+

3.5.2.2 Derivada por izquierda.

La derivada por izquierda del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
−
f ´(x0 ) = lím
h →0 −
o por la forma
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 − ) = lím
x→ x x − x0 0
−

Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales
+ −
existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es
derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto.

Ejemplo
⎧2 x − 1; x < 2
⎪
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
⎪ 2
⎩ x − 1; x ≥ 2
SOLUCIÓN:
Primero veamos si que es continua en x = 2 .
( )
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 -
x→2− x →2+

Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición
a la izquierda y la derecha de x = 2 .

84


f ´(2 − ) = lim−
(2 x − 1) − (2(2) − 1) = lim
2x − 4
= lim
2(x − 2)
=2
x →2 x−2 x→2− x − 2 x →2− x − 2

f ´(2 + ) = lim+
(x 2
) (
−1 − 2 2 −1)= lim+
x2 − 4
= lim+
(x + 2)(x − 2) = 4
x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x−2
− +
( )
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe

Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en
un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.

Ejemplo
Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0)
SOLUCIÓN:
f ( x) − f (0)
f ´(0) = lím
x→0 x−0
3
x −0
= lím
x→0 x
1
= lím 2
x→0 x 3
f ´(0) = ∞ (no existe)

Lo que ocurre es que la recta tangente, en x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5

Fig. 3.5

Por tanto, si una función es diferenciable
en un punto " x0 " ocurren tres cosas:
1. Es continua en ese punto
2. Es suave en ese punto
3. La recta tangente no es vertical en
ese punto

85


Un problema de diseño

Ejemplo
⎪mx + b ; x < 2
⎧
Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio.
⎪x
⎩ ;x ≥ 2
SOLUCIÓN:
Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en
todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que
debemos centrarnos en dos cosas:
1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )
x → 2− x→2

2m + b = 4

2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )

f ´(2+ ) = lím
f ( x) − f (2)
= lím
x2 − 4
= lím
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4
x→2+ x−2 x→2+ x − 2 x→2+ x−2 x →2+

f ´(2 − ) = lím
f ( x ) − f ( 2)
= lím
(mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m
x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x − 2
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4

Ejercicios Propuestos 3.2
⎧2 x + 1; x < 1
1. Hallar f ´(1) para f ( x) = ⎨
⎩2 + x ; x ≥ 1
2

⎧
⎪− x 2 + 10; x < 3
2. Hallar f ´(3) para f ( x ) = ⎨
⎪− 6 x + 17; x ≥ 3
⎩
⎧2 x + 1 ; x < −2
⎪
3. Hallar f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2
⎪ x − 7; x ≥ −2
⎩
⎧
⎪x2 + 2x ; x ≤ 2
4. Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨ .
⎪
⎩ax + b ; x > 2
Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2

⎧3ax + b
⎪ ; x ≤1
5. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 2
⎪ax − 3bx + 2 ; x > 1
⎩
Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.

⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1
⎪
6. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 1 .
⎪ ; x >1
⎩x
Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.

86


3.6 DERIVACIÓN

El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este
trabajo se dispone de técnicas y reglas.

3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.

Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las
fórmulas siguientes:

1. Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R
2. Dx ( x) = 1
3. Dx ( x n ) = n(x n −1 )
4. D x (e x ) = e x
5. Dx (a x ) = a x ln a
1
6. Dx (ln x) =
x
1
7. D x (log a x) =
x ln a
8. Dx (sen x) = cos x
9. D x (cos x) = − sen x
10. Dx (tan x) = sec 2 x
11. Dx (cot x) = − csc 2 x
12. Dx (sec x) = sec x tan x
13. Dx (csc x) = − csc x cot x

Demostraciones:
Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:

f ( x + h) − f ( x )
1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím
h→0 h
k −k 0
Dx (k ) = lím = lím = 0 (La derivada de una constante es cero)
h→0 h h →0 h

87


2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím
( x + h ) − x = lím h = 1
h →0 h h→0 h

( x + h) − xn
n

3. Sea f ( x ) = x n
entonces: Dx ( x ) = lím n
. Consideraremos n ∈ . Desarrollando el
h →0 h
binomio y simplificando:
⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n
( x + h) − xn
n

Dx ( x ) = lím
n
= lím ⎣ ⎦
h →0 h h→0 h
n ( n −1)
nx n −1h + x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n
= lím 2
h →0 h
n ( n −1)
h ⎡ nx n −1 +
/ x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤
= lím ⎣ ⎦
2

h →0 h/
⎡ n ( n −1)
⎤
= lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎥
h →0
⎢
⎣ 0
0 0 0 ⎥
⎦
Dx ( x n ) = n ( x n −1 )

4. Sea f ( x ) = e x entonces:

ex+h − ex e x eh − e x e x ( eh − 1) ( eh − 1) = e x
Dx (e ) = lím
x
= lím = lím = e lím
x
h →0 h h →0 h h→0 h h→0 h
1

6. Sea f ( x ) = ln x entonces:
⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞
ln⎜ ⎟ ln⎜1 + ⎟
ln (x + h ) − ln x
1
⎛ h⎞ h
= lím ⎝
x ⎠
= lím ⎝
x⎠
Dx (ln x) = lím = lím ln⎜1 + ⎟
h →0 h h →0 h h →0 h h→0 ⎝ x⎠
1
⎡ 1 ⎤x
⎛ h⎞ ⎥ = ln⎛ e x ⎞
h 1
= ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ x
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎢h →0⎝ x⎠ ⎥ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
1
Dx (ln x) =
x
8. Sea f ( x ) = sen x entonces:

Dx (sen x) = lím
sen( x + h) − sen x
= lím
[sen x cosh + senh cos x] − sen x
h→0 h h →0 h
sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x
= lím = lím + lím
h →0 h h→0 h h →0 h
(cosh − 1)
= (sen x )(0) + (cos x )(1)
senh
= sen x lím + cos x lím
h →0 h h →0 h
Dx (sen x) = cos x

La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.

88


Ejemplo 1
Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0 (FORMULA 1)

Ejemplo 2
Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x (FORMULA 3)

Ejemplo 3
1
Si f ( x ) = x = ( x ) entonces f ´( x ) = ( x)
1 1 −1
2 1
2
2
= (FORMULA 3)
2 x

Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1
SOLUCIÓN:
Observe la Fig. 3.6

Recta tangente

f ( x) = x 3

Fig. 3.6

La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:
y − y 0 = m( x − x 0 )
El punto sería:
x0 = 1 y0 = f ( x0 ) = (1) = 1
3
y
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2 =3
x =1

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen
comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos
casos.

89


3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una
constante, entonces:
1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante)
dx
2. d
( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma)
dx
3. d
( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta)
dx
4. d
( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto)
dx
d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x)
5. ⎜ ⎟= (Cociente)
[ g ( x)]
2
dx ⎝ g ( x) ⎠

Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
d kf ( x + h) − kf ( x)
(kf ( x)) = lím
dx h→0 h
k [ f ( x + h) − f ( x ) ]
= lím
h →0 h
f ( x + h) − f ( x )
= k lím
h →0 h
= kf ´( x)
2.
d
( f ( x) + g ( x)) = lím
[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ]
dx h →0 h

= lím
[ f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ]
h→0 h

= lím
[ f ( x + h) − f ( x ) ]
+ lím
[ g ( x + h) − g ( x ) ]
h→0 h h →0 h
= f ´( x) + g´( x)
3.
d
( f ( x) g ( x)) = lím
[ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ]
dx h→0 h
Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h )
f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )
lím
h →0 h
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:

90


⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤ + ⎡ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) ⎤
lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
h →0 h
⎡ f ( x + h ) − f ( x ) ⎤ g ( x + h) + ⎡ g ( x + h ) − g ( x ) ⎤ f ( x )
lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
h →0 h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ g ( x + h) + lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤ f x
lím ⎣ ⎣ ⎦
( )
h →0 h h→0 h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ lim g ( x + h) + f x lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤
lím ⎣ ( ) h→0 ⎣ ⎦
h →0 h h →0 h
f ´( x ) ⎣ g ( x ) ⎦ + f ( x ) ⎣ g´( x ) ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤

La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.

Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)

Si f ( x ) = 3
4
x
= 4x−
1
3
entonces f ´( x ) = 4
dx
(
d − 13
x ) ( − 1 −1 4 4
= 4 − 1 x 3 = − x− 3
3
3
)

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)
2
Si f ( x ) = 4 x − + 3 entonces
x
⎛ 1 ⎞
f ´( x ) =
d
dx
(
4 x −
d
dx
) d
( )
2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜
dx ⎝2 x⎠
−2
⎟ + 2x + 0

Ejemplo 3 (Derivada del producto)
⎡d ⎤ ⎡d ⎤
Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x )
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦

( )(
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: )
⎡d ⎤ ⎡d ⎤
f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
= ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 )
= 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2
= 5x4 + 6x2 + 2 x

91


Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

d
[ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x)
dx

¡Generalícela!

Si f ( x ) = e x senx ln x entonces
⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤
f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
⎛1⎞
= e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟
⎝ x⎠

Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
x2 + 2
Si f ( x ) = entonces
x3 + 1
⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤
⎢ dx ( x + 2 ) ⎥ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢ dx ( x + 1) ⎥ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 )
2

f ´( x ) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
( x3 + 1) ( x3 + 1)
2 2

2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2 − x4 − 6 x2 + 2 x
= =
(x + 1) (x + 1)
3 2 3 2

Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.

Ejemplo 7
Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) .

SOLUCIÓN:
La derivada de f sería

f ´( x ) = ⎡(1)( x + 1)( x + 2 ) ( x + 100 ) ⎤ + ⎡ x (1)( x + 2 )
⎣ ⎦ ⎣ ( x + 100 )⎤ + ⎡ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤ +
⎦ ⎣ ⎦ Ahor
a evaluamos la derivada en cero:
f ´( 0 ) = ⎡(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )
⎣ ( 0 + 100 )⎤ + ⎡0 (1)( 0 + 2 ) ( 0 + 100 )⎤ + ⎡ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤ +
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0

f ´( 0 ) = (1)( 2 ) (100 ) = 100!

92


Ejemplo 8
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes
a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x .
SOLUCIÓN:
Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7

f ( x ) = x2 + 4 x

( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )

Fig. 3.7
( −2, −5)

Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que
hay dos).
La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir

mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4
0

La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:

y0 − ( − 5 ) y0 + 5
mtg = =
x0 − ( −2 ) x0 + 2

El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al
reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5
mtg = =
x0 + 2 x0 + 2

Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :

x0 2 + 4 x0 + 5
2 x0 + 4 =
x0 + 2
2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5
x0 2 + 4 x0 + 3 = 0
( x0 + 3)( x0 + 1) = 0
x0 = −3 ∨ x0 = −1

93


Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :

y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3
2

y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3
2

Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) .

Las respectivas pendientes serían:

mtg = 2 ( −3) + 4 = −2
mtg = 2 ( −1) + 4 = +2
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:

y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) )
y + 3 = −2 ( x + 3 ) y y + 3 = 2 ( x + 1)
y = −2 x − 9 y = 2x −1

Ejemplo 9
f ( x) g ( x)
Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (1) = 3 , g (1) = −3 ,
2 f ( x) + 3 g ( x)
f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .
Solución:
La derivada de h sería:
⎡ f ( x ) g ( x) ⎤
h´( x) = Dx ⎢ ⎥
⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦
D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
= x
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
2

=
[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)]
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
2

Ahora evaluando en 1:

h´(1) =
[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)]
[ 2 f (1) + 3g (1)]
2

=
[(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)]
[ 2(3) + 3(−3)]
2

=
[6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3]
[ 6 − 9]
2

=
[9][ −3] + 9 [ −1]
[ −3]
2

−36
=
9
h´(1) = −4

94


Ejemplo 10
Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo
recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤ π
2
SOLUCIÓN:
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: 2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene
π
tg x = 1 , lo cual quiere decir que x = 4

Fig. 3.8

Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son
perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8
Si f ( x ) = 2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos:
⎛ 2⎞
m1 = 2 cos π = 2 ⎜
4
⎟
⎜ 2 ⎟ =1
⎝ ⎠
Si g ( x ) = 2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos:
⎛ 2⎞
m 2 = − 2 sen π
4
= − 2⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ = −1
⎝ ⎠
Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.

1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x xe x
e) f ( x) =
senx + 1
(
b) f ( x ) = x + 2
3
)( x 2
+ 1)
1 2 x
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) f) f ( x) = x e ln x
2
x2 + 1
d) f ( x ) =
x senx

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación f ( x ) = x2 + 2 x + 2 en el

punto (1,5) .
3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .

95


4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( 2,5) y que son tangentes a la curva definida

por la ecuación y = 4x − x 2
.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y
3 2
5.
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 .

6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
8. Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)

f ( x) g ( x )
9. Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 ,
3 f ( x ) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.

3.6.2.1 Regla de la Cadena

Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es
diferenciable en " x0 " y f diferenciable
en " g ( x0 ) " entonces la función
compuesta (f g )( x ) = f ( g ( x ) ) es
diferenciable en " x 0 " y
d
( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )]
dx x = x0

O lo que es lo mismo
dy dy du
=
dx du dx u=g( x)

Ejemplo 1

( )20
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2
Si tenemos y = f (u ) = u 20 de donde
dy du
= 20u 19 y = 2x .
du dx

96


Por tanto
dy dy du
=
dx du dx
( )
= 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta
dy
dx
( (
= 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2
19
) )
19
( )

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para
observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de
la cadena puede ser aplicada de manera rápida.

Ejemplo 2
( ) (
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3) [ ( )][ ]
u

Ejemplo 3
30
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
Si y = ⎢ ⎥ entonces
⎢ x −1 ⎥
2
⎣ ⎦
u
29
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥
⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦
2 2

⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥
29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤
= 30 ⎢ ⎥ ⎢
⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎥
2 2

⎣ ⎦

Para el caso de funciones de la forma y = f ( g (h( x) ) haciendo que
v = h( x ) tenemosy = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v ) tenemos
dy dy du dv
y = f ( u ) ; entonces = .
dx du dv dx

O más simplemente y´= ⎡ f ´( g (h( x)) ) ⎤ [ g´(h( x))][ h´( x)]
⎣ ⎦

Ejemplo 4
4
⎡ ⎤
Si y = cos 3 x
4
( ) 2
= ⎢cos 3 x 2 ( ) ⎥ entonces:
⎢
⎣ v ⎥
⎦
u

97


[ ( )] D [cos(3x )]
y´= 4 cos 3 x 2
3
x
2

= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x )
2 3 2
x
2

= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]
2 3 2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:

Ejercicio Resuelto 1
Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar:

a)
d
[ f (x)]3 en x = 2 b) ( f f )´(2)
dx
SOLUCIÓN:
a)
d
[ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería:
dx
3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96

⎡ 4 ⎤
b) ( f f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12
⎢ ⎥
⎣ ⎦


y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine
f g
Si H =
h
H ′(2) .
SOLUCIÓN:
f g
Como H ( x) = entonces:
h

⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x)
H ´(x) = D x ⎢ ⎥=
⎣ h( x ) ⎦ [h( x)]2
=
[ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x)
[h( x)]2
que en x = 2 sería:

⎡ 3 ⎤
⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2)
⎢ ⎥
⎣ ⎦
H ´(2) =
[h(2)]2
=
[ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2)
(−1) 2
(5)(−3)(−1) − (2)(−2)
=
1
H ´(2) = 19

98


Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
[ f ´(− x)](− 1) = f ´(x )
miembros de la igualdad tenemos:
− f ´(− x) = f ´(x)
f ´(− x ) = − f ´(x )

La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

Sea u = u (x) , entonces:
1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´
2. Dx (e u ) = e u u´
3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´
1
4. D x (ln u ) = u´
u
1
5. D x (log a u ) = u´
u ln a
6. D x (sen u ) = (cos u ) u´
7. D x (cos u ) = (− sen u )u´
8. Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´
9. Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´
10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´
11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´

99


1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

f ( x ) = x2 − 2x + 2
3
a) ⎛ senx ⎞
e) f ( x ) = ⎜ ⎟
⎝ cos 2 x ⎠
1
f ( x) =
b)
2x − 3 (
f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤
⎣
2
)⎦
e −e
x −x
1 ⎛ x ⎞ 2
1
c) f ( x) = g) f ( x ) = ln ⎜ 2 ⎟− 2
e x + e− x 4 ⎝ x −4⎠ x −4
x2 − 1
d) f ( x) =
x2 + 1

2. Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:

∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par)

()
g )′ (x ) , si f u = e u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
2
Hallar ( f
u
3. y

4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:

g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 .

h(a) = a, h´(a ) = 4
En x = a determine el valor de:

a) (g f )´ b) (g h )´ c) (h g )´

′
⎛ f h g −h g ⎞
d) (f h g )´ e) ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ g f ⎠

5. Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .

6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )

Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .
2
7.

p ( x ) = ⎡ c ( x ) ⎤ ( ax + b ) y derívelo.
2
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ⎣ ⎦

100


3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de
esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea y = f ( x) una función " n " veces
derivable, entonces:
La primera derivada es:
dy f ( x + h) − f ( x)
y´= f ´(x) = = Dx y = lím
dx h→0 h

La segunda derivada es:
d2y f ´(x + h) − f ´(x)
Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) = 2
= Dx2 y = lím
dx h →0 h

La tercera derivada es:
d3y f ´´(x + h) − f ´´(x)
Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx y = lím
3

dx h →0 h

En fin, La n − ésima derivada es:
dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x)
y n = f n ( x) = = Dxn y = lím
dx n h→0 h

Ejemplo 1
⎛ 1 ⎞
Hallar D x ⎜
n
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
SOLUCIÓN:

= (1 − 2 x ) .
1 −1
Aquí tenemos: y=
1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:

y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21
y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2
y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3
y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4

y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
−6
Directamente la quinta derivada sería

− (n +1)
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )
n
2n

101


Ejemplo 2
⎛ 1 ⎞
Hallar Dxn ⎜ ⎟
⎝ 1 + 3x ⎠
SOLUCIÓN:
1
= (1 + 3x ) .
−1
Aquí tenemos: y =
1 + 3x
Obteniendo derivadas:

y´= − (1 + 3 x ) ( 3)
−2

y´´= +2 (1 + 3 x )
−3
(3 )
2

y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )
−4
(3 )
3

y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 )
−5

Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x )
−6
(3 )
5

Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)
n
( n !)(1 + 3x ) (
− n +1)
(3 ) n

Ejemplo 3
( )
Demuestre que D x x n = n! ; n ∈
n

SOLUCIÓN:

Como y = x n entonces:

y´= nx n −1
y´´= n ( n − 1) x n − 2
y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3

y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) ( n − ( n − 1) ) x n−n

= n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) (1)
= n!

Ejercicio Propuesto 3.5
1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

a.
d4
dx 4
[cos (x )]
2 d. Dx ⎜
n⎛ 5 ⎞
⎟
⎝4− x⎠
d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ 30 ⎡1 + x⎤
b. ⎢ ⎥ e. Dx ⎢1 − x ⎥
dx 2 ⎢ 1 + x ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c.
dn
dx n
[xe ]
x f.
d 35
dx35
[xsenx]

102

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