Conceitoseaplicacoes

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Conceitoseaplicacoes

  1. 1. MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A NEGÓCIOS Paulo Afonso Bracarense Ubiratan Vieira Guimarães Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  2. 2. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  3. 3. Paulo Afonso Bracarense Ubiratan Vieira Guimarães Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios Edição revisada IESDE Brasil S.A. Curitiba 2012 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  4. 4. © 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ ________________________________________________________________________________ B788m Bracarense, Paulo Afonso, 1957- Métodos quantitativos aplicados a negócios / Paulo Afonso Bracarense, Ubiratan Vieira Guimarães. - 1.ed., rev. - Curitiba, PR : IESDE Brasil, 2012. 320p. : 24 cm Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-3091-0 1. Negócios 2. Investimentos 3. Investimentos - Análises. I. Guimarães, Ubiratan Vieira. I. Título. 12-6746. CDD: 332.6 CDU: 336.76 17.09.12 02.10.12 039220 ________________________________________________________________________________ Capa: IESDE Brasil S.A. Imagem da capa: Shutterstock Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR 0800 708 88 88 – www.iesde.com.br Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  5. 5. Paulo Afonso Bracarense Doutor em Engenharia de Produção com con-centração em Inteligência Artificial pela Univer-sidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Estatística e Experimentação Agrícola pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP). Bacharel em Estatística pela Uni-versidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR. Diretor Superintendente da Fundação da Universidade Federal do Paraná (Funpar). Ubiratan Vieira Guimarães Mestre em Administração com concentração em Sistemas de Informação para Tomada de Deci-são pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Especialista em Estatística Aplicada e Qualidade e Produtividade pelo Instituto Bra-sileiro de Qualidade Nuclear (IBQN). Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Foi diretor executivo do Ibmec Educacio-nal em Curitiba e Coordenador Acadêmico dos Programas Executivos – MBA e CBA do Ibmec MG. Atuou na consultoria de grandes empresas e insti-tuições, tais como: Electrolux S/A, Grupo Positivo, Renault, Volvo, Spaipa, Banco Mundial, BID, V&M, entre outras. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  6. 6. ssuummááriroio sumário Introdução – conceitos e aplicações 9 9 | Público-alvo 10 | Linguagem matemática 11 | Modelagem matemática dos fenômenos reais 12 | Os papéis da teoria de probabilidades e da análise de dados amostrais 13 | Organização dos capítulos do livro Análise de dados 19 19 | Problema 23 | Conceitos fundamentais 26 | Variáveis categorizadas 29 | Variáveis quantitativas 36 | Medidas estatísticas Probabilidades e distribuições de probabilidades 61 61 | Problema 63 | Conceitos fundamentais 67 | Axiomas e regras de probabilidades 70 | Probabilidades conjunta, marginal, condicional e independência 73 | Teorema de Bayes 75 | Distribuições de probabilidades discretas 80 | Variáveis aleatórias discretas Amostragem 95 95 | Problema 96 | Conceitos fundamentais 99 | Tipos de amostragem 103 | Tabela de números aleatórios 105 | Principais técnicas de amostragem 111 | Tamanho da amostra Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  7. 7. Estimação 129 129 | Problema 130 | Conceitos fundamentais 133 | A distribuição normal 143 | Distribuição amostral das médias 146 | Distribuição amostral das proporções 148 | Estimação por ponto 151 | Intervalo de confiança 156 | Testes de hipóteses 156 | Hipótese nula versus hipótese alternativa Análise de regressão e de correlação 173 173 | Problema 174 | Conceitos fundamentais 179 | Construindo a reta de regressão 188 | Verificação da bondade do modelo 201 | Predição e intervalos de predição Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  8. 8. ssuummááriroio sumário Teoria da decisão 213 213 | Problema 214 | Conceitos fundamentais 216 | Critérios de escolha utilizando distribuição a priori 221 | Representação através de diagrama de decisão 223 | Estabelecimento de distribuições de probabilidades 229 | Tomada de decisões baseada na utilidade esperada 230 | Tomada de decisão com probabilidades a posteriori Análise de séries temporais 249 249 | Problema 250 | Conceitos fundamentais 254 | Método dos mínimos quadrados ordinários 260 | Modelo de médias móveis 273 | Outros métodos de previsão Anexos 289 Referências 319 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  9. 9. Apresentação Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios Este livro foi escrito com o objetivo de fornecer elementos teóricos e técnicos para profissionais que necessitam tomar decisões tendo como material essencial conjuntos de dados que pre-cisam ser analisados. Um conjunto de dados, por si só, não passa de um conjunto de dados. É necessário dominar uma série de técnicas para que esses dados possam gerar alguma informação. O patamar superior da análise de dados é a aquisição do conheci-mento. E ela só estará disponível se ao domínio teórico do campo de atuação, à experiência pro-fissional e de vida e à intuição do tomador de decisões forem trabalhadas as técnicas quanti-tativas necessárias para agregar a esses atribu-tos informações provenientes de dados correta-mente adquiridos. O livro foi organizado de forma a cobrir toda a base que compõe o campo de conhecimento da Estatística. Começando por técnicas de estatísti-ca descritiva e de análise exploratória de dados, passando pela medição da incerteza através da teoria de probabilidades e pela compreensão das possibilidades indutivas da teoria clássica da Estatística no trato com amostras. Três técnicas úteis e bastante utilizadas na área de negócios foram apresentadas em detalhes balanceando-se a complexidade com a explora-ção da intuição. O trato conceitual foi priorizado em relação ao trabalho matemático extensivo. Optamos por trabalhar com toda a conceituação básica até o quinto capítulo, buscando ajudar o leitor a desenvolver sua sensibilidade com re-lação aos conceitos abordados. Tratamos cada técnica com exemplos específicos e ilustrativos na área de Negócios. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  10. 10. A ciência busca compreender os fenômenos reais através de modelos, muitas vezes de modelos matemáticos muito próprios para estudos realizados em ambiente de incer-teza. A teoria de probabilidades e a teoria estatística clássica são ferramentas muito úteis para ajudar o tomador de decisões em sua opção por diferentes ações diante de cenários postos. Esperamos que o conteúdo do livro, acom-panhado das aulas, possa ser de grande valia para os leitores. Estamos certos, no entanto, que navegar por essas águas fará com que cada um se sinta mais confortável em viver e trabalhar em um mundo cercado de incer-tezas e que vale mais a pena compreender o mundo dessa forma do que viver seguro, acorrentado e míope na ilusão das coisas certas e absolutas. Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  11. 11. Introdução – conceitos e aplicações Por que escrever mais um livro de Estatística? De fato a literatura já forne-ce incontáveis livros desse ramo da matemática. Alguns mais teóricos, outros mais práticos. Há tentativas inclusive de se escrever livros de estatística sem matemática. Há outros que se utilizam fartamente de um referencial comple-xo na matemática para a discussão dos conceitos e das técnicas estatísticas. A grande preocupação dos autores foi oferecer à comunidade estatística e principalmente à não estatística elementos que as auxiliassem na tarefa da tomada de decisões. Público-alvo Os livros de estatística são bem diferentes, pois tratam a mesma questão com abordagens diversas. O que leva um autor a escolher o tipo de abordagem, a profundidade das discussões e o quanto de ferramental matemático utilizará depende fundamentalmente de seu público-alvo. Esta é a chave da questão. Muito bem, dessa forma devemos então localizar nosso livro em razão do nosso público-alvo. Este livro foi escrito para profissionais das mais diferen-tes áreas do mundo dos negócios: economistas, contadores, engenheiros de produção, administradores ou qualquer outro profissional chamado a tomar decisões e que esteja no nível de gerência ou pretenda alcançá-lo. E mais, es-peramos que o nosso público esteja realmente disposto a utilizar as técnicas oferecidas no livro em seu dia a dia. O livro foi composto para um curso esbelto, no sentido de que pretende fornecer os elementos mínimos necessários para a utilização de seu conteúdo em poucas horas. Por isso, a seleção dos assuntos oferecidos, que são somen-te uma amostra do vastíssimo campo da Estatística, foi feita rigorosamente, com as técnicas mais utilizadas na ação gerencial. Mas há de ficar muito claro que não se trata de um manual de aplicações simplificado e essencialmente prático. O grande destaque é o rigor conceitual na aplicação das técnicas que foram apresentadas sempre através de aplicações em problemas corriquei-ros da administração. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 9 mais informações www.iesde.com.br
  12. 12. Introdução – conceitos e aplicações 10 Esse último destaque norteou toda a redação do livro e é fundamental para que o tomador de decisões consiga empregar as técnicas expostas no seu trabalho com a segurança necessária para que os resultados obtidos possam efetivar mudanças de conduta ou aprofundamento de condutas já empregadas. Para que a compreensão conceitual seja de fato um facilitador da compreensão das técnicas, ousamos acreditar que seja possível aproxi-mar do sentimento do leitor o conteúdo técnico da intuição. Por isso, além das técnicas, “abusamos” das analogias e não economizamos nas explicações. Evitamos o uso extensivo da matemática. Ou, de outra forma, utilizamos a mínima matemática necessária para a apresentação dos conceitos e para a solução dos problemas. Sempre que possível mantivemos o nível de exi-gência matemática em patamares mais rudimentares possível. Lembrando, no entanto, que o livro é dirigido para profissionais que buscam um nível de especialização superior ao dos cursos de terceiro grau e, portanto, certas resistências ao uso da matemática precisarão ser ultrapassadas. Mas preten-demos tornar essa tarefa quase indolor. Linguagem matemática Toda ciência tem sua linguagem própria, assim, a Estatística tem a sua e a Matemática também. Navegaremos por esses mares nem sempre sem turbu-lências. Duas questões devem ser colocadas a respeito dessas linguagens. A primeira é o reconhecimento de que o emaranhado de notações, no-tadamente na Estatística, muitas vezes conduzem a confusões. Procuramos amenizar um pouco essa dificuldade apresentando uma notação única para todas as técnicas, expondo o significado de cada uma delas e mantendo-as sempre mais próximas do que é o mais usual, de forma que estudos comple-mentares nas bibliografias sugeridas não se tornem mais um entrave para o aprofundamento do conhecimento dos assuntos tratados. A segunda questão de linguagem, e isso agora diz mais respeito à mate-mática, é que procuramos evitar a retirada de conclusões através de concei-tos puramente matemáticos. O caminho de usar a própria matemática para induzir ou deduzir conclusões é sim muito fértil para quem tem o domínio dessa linguagem. O que você enxerga quando olha a expressão a2 = b2 + c2? Se isso quer dizer mais ou menos a mesma coisa do que esta sequência de símbolos Д Й Ж, você não deve se preocupar muito. Essas letras não são do alfabeto grego nem são runas, são letras do alfabeto cirílico. Um mate- Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  13. 13. Introdução – conceitos e aplicações mático ou uma pessoa habituada com a linguagem matemática enxergará prontamente na expressão a2 = b2 + c2 um triângulo retângulo. Mas esse nível de exigência não será cobrado neste livro. Naturalmente, esse conhecimento pode facilitar em certos momentos a leitura do texto que estamos apresentando, mas o que o diferenciará da maioria dos textos estatísticos possivelmente já encontrados pelo leitor é que neste livro não será necessário o domínio dessa linguagem. O que seria bastante, não se pode deixar de dizer, mais confortável para quem escreve. Mas esse desafio foi extremamente estimulante na redação do texto. 11 Modelagem matemática dos fenômenos reais Os fenômenos que estudaremos estão no contexto do mundo da admi-nistração e dos negócios. Não só eles, mas praticamente todos os fenômenos naturais ou não naturais estão eivados de incerteza. Segundo o estatístico alemão Schumacher, quando Deus fez o mundo e desejou colocar nele um ser inteligente ele pensou em duas situações. A primeira, de fazer o mundo completamente determinístico. Depois de muito refletir, concluiu que neste mundo não haveria espaço para o homem porque tudo já estaria pré-deter-minado e a inteligência não seria de nenhuma utilidade. Pensou então em um mundo completamente aleatório. Verificou também que não havia porque colocar o homem inteligente neste mundo em que nada pode ser determina-do, em que tudo ocorre devido ao acaso. Concluiu então por um mundo que tivesse os dois componentes: um determinístico e outro aleatório. O papel da Estatística é o de ajudar a compreender este mundo, particularmente no comportamento aleatório dos fenômenos. A ciência tem procurado compreender os fenômenos da natureza através de modelos que possam ajudar o pesquisador a construir uma certa raciona-lidade para a sua compreensão e muitas vezes para a sua intervenção nos fenômenos em foco. Boa parte deles é construída sob pilares matemáticos, notadamente quando se utilizam de técnicas estatísticas. Todo modelo cons-truído dessa forma implica fazer algumas restrições ao comportamento do fenômeno. O que se faz então são simplificações para que se possa domar a complexidade do mundo real. Isso tem que ficar absolutamente claro. Quanto mais complexo for o fenômeno em estudo, mais complexo será o instrumen-tal racional para compreendê-lo. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  14. 14. Introdução – conceitos e aplicações 12 Esse limite tem que ser compreendido para não correr o risco de pensar que o modelo possa substituir a realidade. E mais, a grande maioria dos com-pêndios estatísticos alerta para o fato de que ela, a Ciência Estatística, é um servidor leal quando usada com prudência e sem arrogância. Ela compõe o espectro das peças de evidência na solução de problemas que devem auxi-liar o tomador de decisões aliada ao conhecimento teórico da matéria em estudo, da experiência extraestatística e mesmo da intuição de quem deseja administrar bem ou praticar a boa ciência. Como peça de evidência, ela serve mais para dar suporte do que fazer descobertas. Na fábula descrita pelo es-critor escocês Andrew Lang, ele recomenda usar a Estatística como o bêbado usa o poste, mais para apoio do que para iluminação. A forma básica dos modelos construídos para os fenômenos que compor-tam incerteza e são tratados através de modelagem matemática é: Y = f(x) + ε. Nesse modelo, f(x) é a componente determinística e ε, a componente aleatória. A tarefa do tomador de decisões é verificar, com base em alguma teoria que envolva o assunto pesquisado, quais podem ser as alternativas para f(x) que expliquem variações de Y, e fazer suposições sobre o comportamento de ε que o auxiliem no entendimento das variações devidas ao acaso. Os papéis da teoria de probabilidades e da análise de dados amostrais A componente aleatória, ε, é chamada de erro estatístico ou resíduo. Nela estão todas as variáveis menos importantes que podem explicar as variações de Y e também aquela parte genuinamente devida a oscilações ocorridas ao mero acaso. Quando se fala de incerteza, de acaso, fala-se tradicionalmente de proba-bilidade. Mais recentemente, outras formas de se medir incerteza têm sido propostas, como a lógica “fuzzy”, por exemplo, que ultrapassa os limites da lógica clássica por admitir outros resultados, que não somente o dicotômi-co sim ou não, base aristotélica de toda a lógica clássica a partir da qual foi construída a teoria de probabilidades. Mas para efeito do estudo das técni-cas apresentadas neste livro, construiremos toda a metodologia baseando- -nos na probabilidade como medida de incerteza. Dessa forma, a probabilidade pode ser definida como uma medida racional de crença. Ela é definida como um número entre 0 e 1 e busca medir o grau Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  15. 15. Introdução – conceitos e aplicações de incerteza associada a um fenômeno que no geral pode ser compreendi-do como alguma espécie de jogo em que fazemos apostas. As decisões são então tomadas com base em quanto estamos dispostos a pagar no caso de perdermos a aposta realizada. Naturalmente, se as consequências de nossa decisão errada forem muito graves, optaremos por apostar menos ou so-mente 13 apostar com um certo grau mínimo de incerteza. As técnicas estatísticas utilizam-se fartamente de levantamento de dados para a compreensão do fenômeno em estudo. Esses dados podem ser relati-vos a toda uma população ou a uma parte dela chamada de amostra. Deseja-mos, obviamente, que a amostra represente a população como um todo. Fa-remos observações na amostra e a partir delas desejaremos fazer inferências para a população. Veremos fartamente como isso pode ser feito, com rigor científico, de forma a nos assegurarmos de que podemos compreender um comportamento da população a partir do comportamento da amostra. Organização dos capítulos do livro Convém, no entanto, antes de buscarmos fazer ilações sobre a popula-ção com base na amostra, explorar ao máximo as informações que os dados podem fornecer. Esta tarefa pode ser facilitada com o emprego de técnicas de estatística descritiva e de análise exploratória de dados. Esses assuntos serão tratados no capítulo 2 deste livro. Estudaremos as melhores formas de tabular dados, de apresentá-los em gráficos adequados e de construir medi-das que sintetizem as informações necessárias para compreensão do fenô-meno. Construir essas medidas tem por objetivo verificar o comportamen-to dos dados, que valores podem representar o comportamento geral dos dados e como eles estão distribuídos em torno de valores centrais e assim por diante. Quando falamos em amostragem, estamos de antemão reconhecendo que um grau de incerteza está associado às medidas realizadas na amos-tra como candidatas a facilitadoras da compreensão do comportamento da população. Essa incerteza, como já especificado, será tratada tendo como base a teoria de probabilidades, que será o tema do capítulo 3. Este capítulo é, entre todos, o que necessitará de maior trabalho matemático. Entretanto, essa talvez não seja a maior dificuldade do conteúdo do capítulo, mas sim a compreensão dos limites dos cálculos que faremos. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  16. 16. Introdução – conceitos e aplicações 14 No lance de uma moeda honesta, a probabilidade de sair cara em um lance pode ser ½ ou um outro valor qualquer dependendo do que estamos medindo. Se atirarmos a moeda cinco vezes, a probabilidade de sair cara exa-tamente no quinto lance é sempre ½? Depende de como olhamos o proble-ma. Se olharmos somente para o quinto lance como um lance isolado, não há dúvidas do valor ½ para a probabilidade de sair cara. Mas se por outro lado estivermos interessados em calcular qual a probabilidade de sair cara no quinto lance, após quatro coroas, a probabilidade de sair cara não será mais igual a ½, com certeza será um valor muito menor, conforme veremos quando estudarmos o capítulo de probabilidades. Esse fato não é intuitiva-mente tão fácil de ser percebido. E mostrar isso intuitivamente é mais difícil do que o simples cálculo dessa probabilidade. Aqui, a linguagem matemá-tica facilitaria enormemente a compreensão do que está ocorrendo. Vamos tentar compor essas duas formas de encarar o problema. Tendo então a noção da probabilidade, poderemos voltar ao trabalho de destrinchar o comportamento dos dados através do estudo da forma de produzi-los. Uma vez que nos deteremos fundamentalmente em retirar de uma população uma amostra de seus indivíduos para quando estivermos estudando-os, compreenderemos o comportamento da população. Tere-mos que verificar quais são as melhores formas de se retirar esses dados e de que tamanho deverá ser essa parte da população para que tenhamos alguma segurança, medida através de probabilidades, em fazer afirmações sobre a população. Na matéria que será tratada no capítulo 4, estudaremos técnicas simples mas eficientes de buscarmos amostras representativas da população. Não temos dúvidas que após esse estudo o leitor aceitará o fato de que as pes-quisas podem representar bem a opinião de eleitores ou de consumidores quando falarmos de pesquisa de mercado. No momento pode ainda parecer intuitivamente incorreto que uma amostra de tamanho 400 possa represen-tar os eleitores de um município, mas que talvez uma amostra de 1 000 não represente bem os eleitores de um bairro da cidade. A nossa pretensão de falar da população com base em elementos da amostra passa pela compreensão de que descreveremos tanto a população como a amostra através de medidas estatísticas e da forma de comportamen-to dos dados que serão descritos através de distribuições de probabilidades. Rigorosamente, essas medidas estatísticas serão medidas da própria distri-buição dos dados. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  17. 17. Introdução – conceitos e aplicações Essa parte da estatística é chamada de inferência estatística ou de esta-tística indutiva. Ela será tratada no capítulo 5, sobre estimação, em que três procedimentos serão estudados. O primeiro deles é a chamada estimação por pontos, na qual calculamos um valor na amostra, por exemplo, a média de uma variável, que deverá servir como uma estimativa da média da po-pulação. O segundo procedimento, chamado de estimação por intervalos ou construção de intervalos de confiança, consiste em criar em torno do valor do estimador pontual um intervalo em que esse valor possa estar contido; associaremos esse intervalo a um certo nível de confiança, rela-cionado com uma medida de probabilidade. E o terceiro procedimento é o de se fazer alguma afirmação sobre o valor de uma medida na popula-ção através do estabelecimento de uma hipótese e então realizar um teste sobre essa declaração associado a uma certa probabilidade de estar-se er-rando na decisão. Esse procedimento é conhecido como teste de hipóteses 15 estatísticas. O conteúdo até esse ponto do livro é o mínimo obrigatório a qualquer livro que pretenda apresentar o principal da teoria que envolve a enormi-dade de procedimentos estatísticos que podem servir de auxílio na tomada de decisões. É a partir desse ponto que os autores de livros de estatística devem decidir, de acordo com as necessidades do público que querem atin-gir, quais são as técnicas úteis para cumprir o seu objetivo. Optamos por tra-balhar com três técnicas que podem ser amplamente utilizadas no auxílio à tomada de decisões gerenciais para profissionais interessados nos chama-dos “negócios”. Não pretendemos com essa opção sugerir que essas técnicas sejam su-ficientes. Muito pelo contrário, gostaríamos de poder estimular os leitores a buscarem um maior aperfeiçoamento com a pesquisa na literatura de outras técnicas também úteis. Contamos que esse marco introdutório, disponível até o capítulo 5, forneça instrumentos ao leitor para novas aventuras. No en-tanto, a nossa prática no trabalho de aplicação de métodos estatísticos aplica-dos a negócios nos leva a apresentar essas técnicas neste livro por compreen-dermos que cobrem bem uma possível lacuna no gerenciamento. Elas são apresentadas nos capítulos de 6 a 8. No capítulo 6 discutiremos Análise de Regressão e Correlação, no capítulo 7 a Teoria de Decisão Estatís-tica e no capítulo 8 a Análise de Séries Temporais e Modelos para Previsão de Demanda. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  18. 18. Introdução – conceitos e aplicações 16 Outras técnicas estatísticas são bastante úteis dependendo do ramo de atuação de cada leitor. Técnicas como: Controle Estatístico de Qualidade; Análise de Confiabilidade e de Sobrevivência; Análise de Credit Score; Plane-jamento de Experimentos; Análise de Dados Categorizados; Análise de Dados Longitudinais; Números Índices; Matemática Atuarial; Processos Estocásticos e Teoria de Filas; Análise Multivariada; Análise de Variância; Testes Não Para-métricos; Geoestatística; Estatística Espacial; Processos Estocásticos; e mais uma infinidade de técnicas estatísticas estão disponíveis para aplicações. Para cada um desses tópicos há uma enormidade de livros específicos, da mesma forma que há uma enormidade de outros livros para cada um dos capítulos que estamos apresentando. A abordagem de cada um desses livros, o grau de complexidade dos conceitos e da matemática envolvidos é que fazem de cada obra uma obra única. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  19. 19. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  20. 20. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  21. 21. Análise de dados Problema O departamento de Recursos Humanos da empresa ABC deseja reade-quar os salários de seus funcionários a partir de uma nova política de cargos e salários. A primeira providência do coordenador do departamento foi verifi-car o perfil dos funcionários da empresa. Solicitou para um estudo preliminar a relação dos funcionários em que deveria constar algumas variáveis para esse primeiro estudo: ordem de con-tratação, sexo, idade, salário e setor. Um auxiliar administrativo apresentou o seguinte quadro como resultado: Número de ordem Nome Sexo Idade Salário (R$) Setor 1 A. L. Ferraz M 49 1.714,00 Oper. 2 R. Abreu M 48 1.701,00 Oper. 3 R. S. Reis M 64 1.589,00 Oper. 4 N. Farias F 37 1.418,00 Oper. 5 J. L. Jansen F 42 1.000,00 Aux. Adm. 6 U. S. Machado M 40 3.732,00 Téc. 7 F. Nogueira F 21 1.330,00 Oper. 8 M. Pinheiro F 33 1.307,00 Oper. 9 M. A. da Silva M 39 1.282,00 Oper. 10 P. A. B. Costa F 42 1.260,00 Oper. 11 H. F. Minho F 39 975,00 Aux. Adm. 12 N. M. de Lima M 32 1.256,00 Oper. 13 C. F. Loureiro M 22 1.185,00 Oper. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 19 mais informações www.iesde.com.br
  22. 22. Análise de dados 20 Número de ordem Nome Sexo Idade Salário (R$) Setor 14 M. E. M. Ferreira M 21 3.535,00 Téc. 15 J. A. Isaias F 37 2.956,00 Téc. 16 J. Martins F 24 1.179,00 Oper. 17 A. P. Ribeiro M 28 966,00 Aux. Adm. 18 L. C. Batista M 32 3.204,00 Adm. 19 A. F. dos Santos M 31 881,00 Aux. Adm. 20 C. A. Brandão F 38 3.080,00 Adm. 21 D. J. Feltrin M 23 2.872,00 Téc. 22 L. S. Prestes M 22 826,00 Aux. Adm. 23 J. L. Campos M 46 1.010,00 Oper. 24 S. I. Magalhães F 34 708,00 Aux. Adm. 25 P. R. Gonçalves M 47 2.960,00 Adm. 26 M. I. Machado M 42 2.797,00 Téc. 27 M. Paraná F 32 1.001,00 Oper. 28 U. V. Guimarães F 29 2.315,00 Adm. 29 E. M. Moreira M 41 5.572,00 Ger. 30 A. P. de Andrade M 30 2.372,00 Téc. 31 L. R. de Souza F 51 4.829,00 Ger. 32 R. T. Moraes F 23 1.826,00 Adm. 33 J. Pilloto M 20 540,00 Oper. 34 F. C. Lopes F 27 489,00 Oper. 35 C. A. Meier F 33 479,00 Oper. 36 H. O. Silveira F 22 1.904,00 Téc. 37 K. D. Almeida M 41 659,00 Aux. Adm. 38 M. J. D. Colares F 34 1.827,00 Téc. 39 R. F. L. Silvério M 24 472,00 Oper. 40 M. N. Messias F 20 640,00 Aux. Adm. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  23. 23. Análise de dados Os dados apresentados foram organizados de forma a oferecer ao coorde-nador do departamento de Recursos Humanos as informações que revelassem a distribuição dos salários segundo as variáveis: (I) número de ordem, no sen-tido que o mais antigo na casa recebeu o número 1 e o mais novo o número 40, não importando muito o tempo de contratação, uma vez que a empresa foi constituída há pouco tempo, (II) o sexo, (III) a idade, (IV) o salário e (V) o setor, dividindo os funcionários segundo as funções: operacional (Oper.), auxiliar administrativo (Aux. Adm.), técnico (Téc.), administrativo (Adm.) e ge-rência 21 (Ger.), sendo uma gerência técnica e outra administrativa. O coordenador analisou a tabela e verificou imediatamente que os funcio-nários mais antigos eram na sua maioria do setor operacional, exceto dois auxi-liares administrativos. Observou também que poucos funcionários ganhavam menos do que R$1.000,00 e que havia uma pequena predominância de funcio-nários do sexo masculino. Viu que o Reis de fato era o funcionário mais velho, com 64 anos, e que a empresa não tinha nenhum funcionário com menos de 20 anos. Verificou também que ele próprio era o décimo oitavo contratado como também que entre os administradores era o mais antigo e que o seu salário era o maior comparado com seus pares, R$3.204,00. Concluiu, finalmente, que da forma como os dados foram apresentados estava com dificuldade de tirar maiores informações sobre a distribuição de cargos e salários. Chamou um dos administradores e pediu que ele organizasse um pouco melhor os dados e que em termos gerais não importava o nome das pessoas. Foi prontamente atendido e recebeu o seguinte novo quadro: Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial M 41 Ger. 29 5.572,00 F 51 Ger. 31 4.829,00 5.200,50 M 40 Téc. 6 3.732,00 M 21 Téc. 14 3.535,00 F 37 Téc. 15 2.956,00 M 23 Téc. 21 2.872,00 M 42 Téc. 26 2.797,00 M 30 Téc. 30 2.372,00 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  24. 24. Análise de dados 22 Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial F 22 Téc. 36 1.904,00 F 34 Téc. 38 1.827,00 2.749,38 M 32 Adm. 18 3.204,00 F 38 Adm. 20 3.080,00 M 47 Adm. 25 2.960,00 F 29 Adm. 28 2.315,00 F 23 Adm. 32 1.826,00 2.677,00 M 49 Oper. 1 1.714,00 M 48 Oper. 2 1.701,00 M 64 Oper. 3 1.589,00 F 37 Oper. 4 1.418,00 F 21 Oper. 7 1.330,00 F 33 Oper. 8 1.307,00 M 39 Oper. 9 1.282,00 F 42 Oper. 10 1.260,00 M 32 Oper. 12 1.256,00 M 22 Oper. 13 1.185,00 F 24 Oper. 16 1.179,00 M 46 Oper. 23 1.010,00 F 32 Oper. 27 1.001,00 M 20 Oper. 33 540,00 F 27 Oper. 34 489,00 F 33 Oper. 35 479,00 M 24 Oper. 39 472,00 1.130,12 F 42 Aux. Adm. 5 1.000,00 F 39 Aux. Adm. 11 975,00 M 28 Aux. Adm. 17 966,00 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  25. 25. Análise de dados 23 Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial M 31 Aux. Adm. 19 881,00 M 22 Aux. Adm. 22 826,00 F 34 Aux. Adm. 24 708,00 M 41 Aux. Adm. 37 659,00 F 20 Aux. Adm. 40 640,00 831,88 Com o novo quadro pôde verificar uma série de novas informações, tais como média salarial e número de funcionários por categoria, e também que havia uma certa coerência dentro de cada categoria com relação ao tempo de serviço e salário, ou seja, funcionários mais antigos da mesma categoria recebiam salários maiores. Mas sobre sexo e idade e as suas relações com as demais informações ainda havia muita dificuldade em tirar conclusões. Esse tipo de problema é colocado no dia a dia do tomador de decisões. Os dados individuais, por mais bem organizados que estejam, trazem poucas informações. É necessário que sejam sintetizados através de tabelas, gráficos e medidas que possam resumir a informação de uma forma agregada. Conceitos fundamentais A Estatística Descritiva, que mais modernamente, com a incorporação de novas técnicas, é chamada de Análise Exploratória de Dados, pode suprir a necessidade de uma primeira organização dos dados de forma a transfor-má- los verdadeiramente em informação. As técnicas utilizadas na exploração dos dados tiveram uma evolução muito grande com o advento da computação e particularmente de progra-mas que facilitam essas tarefas. Para o senso comum, a Estatística resume-se a esse trabalho. Veremos nos capítulos seguintes que esse é somente um primeiro importante passo na organização das informações para aquisição do conhecimento de modo a auxiliar a tomada de decisões. Fundamentalmente, a análise de dados compreende três frentes: orga-nização de tabelas, construção de gráficos e síntese dos dados através do cálculo de medidas estatísticas. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  26. 26. Análise de dados 24 Variáveis quantitativas e categorizadas Associadas a cada indivíduo, temos medidas e atributos que o definem. As medidas são características de variáveis quantitativas e os atributos são características de variáveis categorizadas ou qualitativas. As variáveis quantitativas podem ser contínuas ou discretas. Elas são contí-nuas quando entre dois quaisquer valores possam estar novos valores. As va-riáveis quantitativas contínuas são frutos de medidas que podem ser expres-sas pelos números reais. O salário dos empregados de uma empresa pode ser considerado uma variável contínua. As variáveis são discretas quando são fruto de contagem e podem ser expressas através de números inteiros, como a idade dos funcionários. Uma outra característica importante das variáveis quantitativas é que podemos fazer operações matemáticas com seus valores, como soma, subtração, multiplicação e divisão. As variáveis categorizadas ou qualitativas são expressas em escalas ordinais, como é o caso da ordem em que os funcionários foram contratados, ou expres-sas em categorias ou escalas nominais, como o sexo do funcionário ou o setor em que ele trabalha. Não se pode, nesse caso, fazer operações matemáticas. Valor discrepante ou outlier Um valor discrepante ou outlier é um valor que destoa do conjunto prin-cipal dos dados. Tabelas e quadros estatísticos Existe uma pequena diferença entre quadro estatístico e tabela estatística. A tabela estatística é o resultado de alguma forma de resumo dos dados. As linhas à esquerda e à direita de uma tabela estatística nunca devem ser fechadas segundo as normas da ABNT. Elas são utilizadas para apresentação de resultados estatísticos e também como ferramenta de desenvolvimento de operações. Uma tabela bastante importante utilizada em estatística é a distribuição de frequências. Já o quadro serve para apresentação de dados, como os do exemplo, ou para apresentação de resultados-resumo, como um quadro de médias, por exemplo. O quadro pode ter seus limites à esquerda e à direita fechados por linhas. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  27. 27. Análise de dados 25 Apresentação gráfica Os dados de uma tabela estatística podem ser apresentados através de gráficos estatísticos, devendo o tipo de gráfico ser compatível com a natureza dos dados. Os principais gráficos são: o gráfico de colunas ou de barras, o gráfico de setores ou pizza, o gráfico de bastões, o gráfico de linhas e o histograma. Existem, na análise exploratória de dados, algumas apresentações grá-ficas que auxiliam a compreensão do comportamento dos dados, como o ramo e folhas, o esquema de cinco números e o diagrama de caixas ou Box-plot. O detalhamento da utilização de cada tipo de gráfico será ainda assunto deste capítulo. Medidas estatísticas A utilização de medidas estatísticas serve para resumir os dados através de valores representativos. Existem quatro tipos de medidas utilizadas: medidas de posição, de dispersão, de assimetria e as de achatamento ou de curtose. As medidas de posição objetivam verificar pontos que representem o con-junto de dados. Elas podem ser medidas de tendência central, como a média, por exemplo, que mostra em torno de que ponto os dados se concentram ou as separatrizes, que informam o valor em que os dados se dividem em quatro, dez ou cem partes. As medidas de dispersão mostram a intensidade de concentração dos dados em torno de medidas de tendência central. As principais medidas de dispersão são a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. As medidas de assimetria são utilizadas para verificar se os dados são simé-tricos em relação a um valor central, e as de curtose para verificar se o gráfico de dados concentra-se em valores próximos ao eixo X ou se distanciam dele. Essas últimas medidas de achatamento são de menor interesse na análise de dados, e não serão tratadas neste livro. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  28. 28. Análise de dados Variáveis categorizadas 26 As variáveis categorizadas são medidas de atributos, como sexo, grau de instrução, setor de trabalho, categoria profissional, preferência eleitoral etc. Os indivíduos estão relacionados a alguma categoria dentro de cada variá-vel, como sexo e categoria dos empregados da empresa ABC. Distribuição por sexo A tabela e os gráficos abaixo apresentam a distribuição por sexo dos indi-víduos da empresa ABC. Tabela 1 – Sexo dos empregados da empresa ABC Sexo Número Perc. Fem. 19 47,5% Masc. 21 52,5% Total 40 100,0% Um gráfico estatístico objetiva dar a impressão visual da representação dos dados. Os gráficos adequados para a representação dessa tabela são os de colunas ou de barras e o gráfico de setores. Gráfico de colunas Distribuição por sexo Fem. Masc. 20 15 10 5 0 Sexo Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  29. 29. Análise de dados 27 Gráfico de barras Masc. Fem. 0 5 10 15 20 Sexo Distribuição por sexo Número Gráfico de setores Distribuição por sexo 48% Fem. Masc. 52% O gráfico de setores é útil quando queremos observar o valor relativo da participação de cada categoria no total. Distribuição por categoria profissional A tabela e os gráficos apresentam a distribuição dos indivíduos por cate-goria profissional na empresa: Tabela 2 – Categoria dos empregados da empresa ABC Categoria Número Perc. Gerência 2 5,0% Adm. 5 12,5% Téc. 8 20,0% Aux. Adm. 8 20,0% Oper. 17 42,5% Total 40 100,0% Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  30. 30. Análise de dados 28 Gráfico de colunas 18 16 8 6 4 2 0 Categoria dos empregados da Empresa ABC Gerência 14 12 10 Adm. Téc. Aux. Adm. Oper. Números Gráfico de setores Categoria dos empregados da Empresa ABC 20% Gerência 42% Adm. Téc. Aux. Adm. Oper. 5% 13% 20% Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  31. 31. Análise de dados 29 Variáveis quantitativas As variáveis quantitativas, sejam elas discretas ou contínuas, são apre-sentadas através da chamada distribuição de frequências. Nos dois casos po-demos construir distribuições de frequências, que, como o próprio nome indica, informam, através de tabelas, quais são os valores da variável e qual a frequência de ocorrência de dados para cada um desses valores. No caso de variável contínua, ou mesmo de variável discreta com um grande número de possibilidades, é comum a construção de classes em que mais de um valor é contemplado. Distribuição de frequências Vamos estudar inicialmente o caso de uma variável discreta através da verificação da distribuição de frequências das idades dos funcionários. Pode ser de interesse saber qual é a distribuição de idade dos funcionários com menos de trinta anos. A tabela da distribuição de frequências corresponden-te a esses dados será: Distribuição de frequências dos funcionários com menos de 30 anos Idade Freq. 20 2 21 2 22 3 23 2 24 2 25 0 26 0 27 0 28 1 29 1 Total 13 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  32. 32. Análise de dados 30 O gráfico correspondente à distribuição de frequências dessas idades é o gráfico de bastões: 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Diagrama ramo e folhas Uma outra forma de representação gráfica utilizando as próprias idades é o chamado diagrama ramo e folhas, em que o ramo representa os algarismos relativos às dezenas e as folhas os algarismos relativos à unidade. Ramo e folhas das idades dos 40 funcionários: 2 00112223344789 3 01222334477899 4 0112226789 5 1 6 4 Observe o aspecto da informação gráfica do diagrama ramo e folhas em analogia ao histograma apresentado na sequência. A vantagem de sua uti-lização é que ele mostra o desenho da distribuição sem perder a informação detalhada. Poderíamos, eventualmente, considerar a idade como uma variável ale-atória contínua cuja representação está aproximada para os valores inteiros das idades. A rigor, a variável idade é mesmo contínua, porque podería-mos medir o tempo de vida em anos, dias e mesmo segundos. Nesse caso, poderíamos construir classes entre certas idades de tal forma que elas repre-sentassem um contínuo. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  33. 33. Análise de dados 31 Histograma A representação gráfica da tabela da distribuição de frequências, quando organizada em classes, recebe o nome de histograma. É um gráfico de colu-nas adjacentes representando um contínuo. Distribuição de frequência das idades Idade Freq. Perc. 20 a 29 14 35,0% 30 a 39 14 35,0% 40 a 49 10 25,0% 50 a 59 1 2,5% 60 ou + 1 2,5% Total 40 100,0% Histograma Distribuição de frequência das idades Idade 20 a 29 anos 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Freq. 30 a 39 anos 40 a 49 anos 50 a 59 anos 60 anos ou mais 1 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  34. 34. Análise de dados 32 Distribuição dos salários Salário (R$) Freq. Freq. rel. Até 1.000,00 11 0,27 De 1.000,00 a 1.999,00 17 0,43 De 2.000,00 a 2.999,00 6 0,15 De 3.000,00 a 3.999,00 4 0,10 Acima de 4.000,00 2 0,05 Total 40 1,00 Histograma Distribuição salarial Até 100 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Freq. De 1.000 a 1.999 De 2.000 a 2.999 De 3.000 a 3.999 Acima de 4.000 1 Salários (R$) 18 Elementos de uma distribuição de frequências A distribuição de frequências, como apresentada, é útil não só para apre-sentação de dados, mas para análises um pouco mais aprofundadas. Vamos reapresentar a distribuição de frequências dos salários de uma maneira mais matematicamente formal. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  35. 35. Análise de dados 33 Salário (R$) Freq. Freq. rel. X < 1.000,00 11 0,27 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 0,43 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 0,15 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 0,10 X ≥ 4.000,00 2 0,05 Total 40 1,00 Observe agora que a distribuição é apresentada como um contínuo. Não há descontinuidade entre R$1.999,00 e R$2.000,00, podemos, assim, ter a representação de qualquer valor como R$1.999,85, por exemplo. Definimos cinco classes. O número de classes de uma distribuição de fre-quências não deve ser muito grande. Em torno de cinco a oito classes é um número bastante razoável e elas devem ter igual amplitude. No nosso caso, como temos poucos valores acima de R$4.000,00 agregaremos todos esses valores na última classe. Cada uma delas tem um limite inferior de classe e um limite superior. A diferença entre o limite superior e o limite inferior chama-mos de amplitude do intervalo de classe. Podemos ainda definir o ponto médio de cada classe. Esse valor será útil para a determinação das medidas estatísticas quando não tivermos os dados brutos. O ponto médio representará todos os valores da classe. Entre R$1.000,00 e R$2.000,00 temos 17 valores. Todos eles serão considerados como R$1.500,00. Perdemos um pouco em informação, mas ganhamos em poder de síntese. A frequência relativa será uma aproximação de probabilidades. A proba-bilidade de sortearmos um dos 40 funcionários e que esse sorteado per-ceba um salário entre R$3.000,00 e R$4.000,00 será de 4/40 ou de 0,10. Formalmente, temos que P(3.000 ≤ X < 4.000) = 0,10. Podemos dizer, sem perder muito o rigor, que essa probabilidade é de 10%. A probabilidade de sortearmos um funcionário que ganhe menos do que R$2.000,00 pode ser definida como P(X < 2.000) = 28/40 = 0,70. Também P(X ≥ 2.000) = 12/40 = 0,30. Observe que P(X < 2.000) + P(X ≥ 2.000) = 1, sempre que isso ocorre; dizemos que essas probabilidades são complementares. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  36. 36. Análise de dados 34 Se considerarmos a amplitude do intervalo de classe como a unidade, a probabilidade pode ser calculada como a área de cada retângulo, que terá como base o valor 1 e como altura a frequência relativa. Esse cálculo de pro-babilidades através de áreas será fundamental quando tratarmos da inferên-cia estatística. Outro elemento importante em uma distribuição de frequências é a cha-mada frequência acumulada. Até R$2.000,00, temos 28 elementos, como acabamos de ver. Até R$3.000,00, temos 34 elementos e assim por diante. Abaixo apresentamos a tabela completa da distribuição de frequências: Salário (R$) Freq. Freq. rel. Ponto médio Freq. acumulada X < 1.000,00 11 0,27 500 11 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 0,43 1.500 28 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 0,15 2.500 34 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 0,10 3.500 38 X ≥ 4.000,00 2 0,05 4.500 40 Total 40 1,00 Uma outra aproximação que podemos fazer é suavizar a apresentação do histograma, construindo um novo gráfico que una os pontos médios das classes. Esse novo gráfico é chamado de polígono de frequências e estará pos-sivelmente mais próximo dos dados reais. Veja que com esse polígono de frequências podemos determinar através do cálculo de áreas as probabili-dades de qualquer intervalo, como, por exemplo, P(1.022,34 ≤ X < 3.087,53). O polígono de frequências é apresentado na figura a seguir. Observe que a área abaixo do polígono é também igual à unidade e toda área que é re-tirada do histograma é recolocada. Podemos verificar isso através de seme-lhança de triângulos: Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  37. 37. Análise de dados 35 Distribuição salarial Até 100 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Freq. De 1.000 a 1.999 De 2.000 a 2.999 De 3.000 a 3.999 Acima de 4.000 Salários (R$) 18 Série temporal Muitas variáveis são medidas a intervalos de tempo. O gráfico de linhas é a maneira mais adequada de apresentar a evolução de uma variável no tempo. O eixo X sempre será correspondente a uma escala de tempo. Quando não há um número demasiadamente grande de pontos, a liga-ção entre os pontos por segmentos de retas ajuda a visualizar o padrão de variação ao longo do tempo. Suponha que no exemplo da empresa ABC os dados tivessem sido apre-sentados pelo tempo de casa de cada funcionário. Uma possível organiza-ção dos dados seria verificar quantos funcionários a empresa tinha em cada um de seus quatro anos de existência, conforme a tabela abaixo: Número de funcionários por ano Anos Funcionários Ano 1 15 Ano 2 20 Ano 3 32 Ano 4 40 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  38. 38. Análise de dados 36 Gráfico de linhas Número de empregados por ano 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ano 1 45 Ano 2 Ano 3 Ano 4 . Medidas estatísticas O objetivo de sintetização das informações tem sido realizado até aqui atra-vés de apresentação tabular e gráfica dos dados originais ou brutos. A forma de completar essa tarefa se dá através do cálculo das medidas estatísticas. Trataremos de três tipos de medidas: (I) as de posição, (II) as de dispersão e (III) as de assimetria. Medidas de posição Trabalharemos aqui com dois tipos de medidas, as de tendência central e as separatrizes. As medidas de tendência central resumem os dados no centro da distri-buição. São medidas de tendência central a média aritmética, a mediana e a moda. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  39. 39. Análise de dados 37 A média aritmética A média aritmética ou simplesmente média é uma das medidas mais im-portantes da Estatística. Além de resumir os dados, ela servirá enormemente para os propósitos de estimação de características da amostra para a popu-lação, pois possui as melhores propriedades de um estimador. Ela é a soma dos dados dividida pelo número de observações, e sua ex-pressão matemática é: 1 + +... + = = 1 2 ån i=1 n i x x x x x n n Quando não houver conflito com outras expressões, apresentaremos ån =1 i i x simplesmente como Σ X. A média aritmética representa o centro de gravidade dos dados. Alguns cuida-dos, no entanto, devem ser tomados quando desejamos resumir os dados pelo valor de sua média. Ela é muito sensível a valores extremos. Um único valor muito grande ou muito pequeno pode mudar substancialmente o valor da média, po-dendo ela perder sua representatividade. Esses valores extremos são chamados de valores discrepantes ou outliers e quando eles aparecem em um conjunto de dados devem receber um tratamento muito especial. No nosso exemplo temos como valor da média das idades dos emprega-dos da empresa ABC o valor 34 anos e a média dos salários é de R$1.791,20. Se considerarmos a idade de 64 anos como um outlier a nova média será de 33,2 anos, e se considerarmos os salários R$4.829,00 e R$5.572,00 como valores muito acima dos demais, teremos uma média salarial de R$1.611,76, quase R$200,00 de diferença com relação à primeira média. No primeiro caso a diferença parece não ter sido de grande significância, mas para a média salarial essa diferença pode ser considerada importante, mesmo porque será um elemento importante na análise de cargos e salários. Retirar o salário dos dois gerentes no cálculo da média pode ser útil para a construção da nova política de cargos e salários. Essa sensibilidade da média a valores extremos pode ser bem compreen-dida com a seguinte ilustração. “Se coloco os pés próximos a uma área gelada e a cabeça próxima a uma área quente, a temperatura média do corpo será agradável”. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  40. 40. Análise de dados 38 A média ponderada Se tivermos o seguinte conjunto de dados: (2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4) e que-remos calcular a sua média, a soma dos dados pode ser realizada da seguinte forma: (2 . 5) + (3 . 2) + (4 . 3) = 10 + 6 +12 = 28. Isso porque a frequência do 2 é 5, a do 3 é 2 e a do 4 é 3. Observe que a soma das frequências é 10 (5 + 2 + 3), igual ao número de observações. Podemos expressar esse fato por: = å å Xf X f Em que f é a frequência de cada X. Essa expressão representa a chamada média aritmética ponderada ou simplesmente a média ponderada. Os ponde-radores são as frequências. Esse cálculo é muito útil quando os dados são apresentados em uma dis-tribuição de frequências em que X será o ponto médio de cada classe e a frequência será o ponderador. Se observarmos que a frequência relativa é igual à frequência dividida pelo número de observações, isto é freq f . , f rel = å podemos representar a média como: = å . rel X X f No cálculo da média ponderada das idades e dos salários, encontramos os seguintes valores para as médias, com o auxílio das tabelas a seguir. Idade média 34,75 anos e salário médio R$1.735,00. Idade Ponto médio (X) frel ΣX frel 20 --- 30 24,5 0,35 8,575 30|--- 40 34,5 0,35 12,075 40|--- 50 44,5 0,25 11,125 50|--- 60 54,5 0,025 1,3625 60|---| 70 64,5 0,025 1,6125 34,75 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  41. 41. Análise de dados 39 Salário (R$) Ponto Médio (X) frel ΣX frel X < 1.000,00 500 0,28 140 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 1.500 0,43 645 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 2.500 0,15 375 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 3.500 0,1 350 X ≥ 4.000,00 4.500 0,05 225 1.735 Os valores encontrados para os dados brutos foram idade média de 34 anos e salário médio de R$1.791,20. Os valores obtidos a partir da distribui-ção de frequências sofreram pequenas alterações, principalmente o valor do salário médio, em razão de considerarmos o valor dos salários dos gerentes como R$4.500,00 na distribuição de frequências, quando de fato eles tinham valores bem superiores ao considerado. Essas distorções costumam desaparecer quando retiramos os outliers do cálculo ou quando o número de observações for grande. A mediana A mediana é o valor que divide o rol em duas partes iguais. O rol é de-finido como a sequência ordenada de dados. Por exemplo, para o seguinte conjunto de dados (2, 3, 7, 7, 9) a mediana é o número 7 que divide o rol em duas partes iguais. Quando o número de dados é muito grande convém definir a posição da mediana antes de sua determinação. A posição da mediana será definida por PMed = (n + 1)/2. No exemplo acima, a posição da mediana será PMed = (5 + 1)/2 = 6/2 =3, portanto, a mediana será o terceiro elemento do rol. O valor da media-na será o do elemento que ocupa a terceira posição, nesse caso Med = 7. No caso de “n” ser par, o procedimento é semelhante, define-se a posição da mediana e depois calcula-se a média aritmética dos dois números imedia-tamente inferior e superior do valor da posição da mediana. No exemplo da empresa ABC, em que n = 40, teremos PMed = (40 +1)/2 = 41/2 = 20,5. A mediana será então a média entre os valores que ocupam a vigésima e a vigésima pri-meira posições da variável em consideração. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  42. 42. Análise de dados 40 No nosso exemplo a idade mediana será Med = 33, porque X20 = X21 = 33. O salário mediano será Med = R$1.318,50, porque X20 = 1.307,00 e X21 = 1.330,00. A mediana para dados agrupados Uma forma aproximada de determinação da mediana para dados agru-pados consiste em localizar inicialmente a classe que contém a mediana, com o auxílio da distribuição de frequências acumulada. Em seguida, tomar o ponto médio da classe mediana como um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana. Observe na tabela a seguir que o vigésimo e o vigésimo primeiro va-lores estão na segunda classe que contém do décimo segundo ao vigési-mo oitavo elementos. Podemos, por simplicidade, determinar o valor da mediana como aproximadamente R$1.500,00, o valor do ponto médio da classe mediana. Essa aproximação para esse caso foi bastante razoável, como podemos observar pela comparação do valor obtido nesse cálculo e o valor real deter-minado pelos dados do rol. Quando a posição da mediana estiver muito pró-xima de alguma dos limites da classe, uma interpolação deve ser realizada. Salário (R$) Freq. Ponto médio Freq. acumulada X < 1.000,00 11 500 11 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 1.500 28 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 2.500 34 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 3.500 38 X ≥ 4.000,00 2 4.500 40 Total 40 A moda A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para o conjunto de dados (2, 3, 3, 3, 4), a moda será o valor 3. Quando um conjunto tem uma só moda, ele é chamado de unimodal. Se tiver duas modas, de bimodal, e poli-modal se tiver três modas, ou mais. Se o conjunto não tiver nenhuma moda será chamado de amodal. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  43. 43. Análise de dados 41 Separatrizes As separatrizes são medidas que dividem um rol em duas partes pro-porcionais a certos valores. A medida que separa os dados em duas partes iguais, ou em 50% e 50% é a mediana, como vimos a pouco. Uma série de três medidas pode separar o rol em quatro partes iguais. Elas são chamadas de quartis. O primeiro quartil (Q1) separa o rol em 25% e 75%, o segundo quartil (Q2) é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) divide o rol em 75% e 25%. Da mesma forma que a mediana, para os quartis devemos inicialmente calcular a sua posição para depois determinar o seu valor. A posição do quar-til de ordem i, com i = 1..., 3 é dada por ( +1) P = . i n 4 Qi No nosso exemplo, se desejamos verificar o valor dos quartis para os sa-lários, teremos PQ1 = (40 + 1)/4 = 10,25 e PQ13 = 3(40 +1 )/4 = 30,75, lembran-do que o segundo quartil é a própria mediana. Então, verificando no rol de dados, teremos Q1 = R$987,50 e Q3 = R$2.584,50, uma vez que o décimo salá-rio é de R$975,00 e o décimo primeiro de R$1.000,00 e que o trigésimo é de R$2.372,00 e o trigésimo primeiro de R$2.797,00. Esses são valores aproxima-dos, mas podemos verificar que são aproximações bastante razoáveis. Podemos tambem definir um conjunto de nove medidas que separam o rol em 10 partes, chamadas de decis, e um conjunto de 99 medidas que separam o rol em 100 partes, chamadas de percentis. Bastando, para isso, determinar as posições de cada decil pela expressão i.(n + 1)/10 e de cada percentil por i.(n + 1)/100. É fácil verificar que o vigésimo quinto percentil, por exemplo, é o primeiro quartil. Com base nas separatrizes, podemos construir duas representações que fazem parte também da chamada análise exploratória de dados, que são: o esquema de cinco números e o diagrama de caixa ou Box-plot. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  44. 44. Análise de dados 42 Esquema de cinco números O esquema de cinco números consiste em apresentar os valores extre-mos, os quartis e a mediana, conforme desenho a seguir: Q1 Med Q3 Xmín Xmáx Diagrama de caixa ou Box-plot O Box-plot, como é corriqueiramente conhecido, constitui-se de uma caixa ou um retângulo cujo valor à esquerda na caixa é o primeiro quartil, e o valor à direita na caixa é o terceiro quartil. Um traço no centro da caixa representa a mediana e os pontos extremos são mostrados fora da caixa. +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No exemplo acima, o primeiro quartil (Q1) é 7, a mediana é 8,5 e o terceiro quartil (Q3) é 9. Essas três medidas são utilizadas para a construção da caixa. A diferença entre o terceiro e o primeiro quartis é chamada de amplitude in-terquartílica (Aiq). Qualquer valor abaixo de Q1 – 1,5 Aiq e acima de Q3 + 1,5 Aiq é considerado como outlier. No exemplo em foco Aiq = 9 – 7 = 2, então valores menores do que 7 – 2(1,5) = 4 e maiores que 7 + 2(1,5) = 10 são outliers. O valor 5 no diagrama é o menor valor dos dados que não é outlier, e o valor 10 é o maior valor dos dados que também não é outlier. Marcamos esses dois pontos e os unimos à caixa por um traço. Podemos também definir outlier extremo como valores abaixo de Q1 – 3 Aiq e acima de Q3 + 3 Aiq . O valor 3,5 é um outlier, por ser menor do que 4 e o valor 0,5 é um outlier extremo por ser menor do que 7 – 3(2) = 1. Não temos valores de outlier à direita. Marcamos então o outlier com um asterisco (*) e o outlier extremo com uma circunferência (°). Esse diagrama indica que temos um conjunto de dados com uma certa assimetria negativa. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  45. 45. Análise de dados 43 Medidas de dispersão Essas medidas são úteis para que possamos verificar o quanto os dados se dispersam, ou, mais comumente, o quanto eles se dispersam em torno da média. São medidas de variabilidade. Podemos dizer que dados com grande variabilidade representam um conjunto heterogêneo. As três principais medidas de variabilidade são (I) a variância, (II) o desvio-padrão e (III) o coeficiente de variação. A variância A variância mede a variabilidade média dos desvios dos valores em torno da média ao quadrado. Pode ser representada por VAR(X) ou σ2. O quadrado é utilizado porque a média tem sempre a propriedade que a soma dos desvios em torno de si é igual a zero, ou seja, Σ(X – μ) = 0. Dessa forma, a variância pode ser definida como: σ2 = Σ(X – μ)2 N Quando tratamos de amostra em vez de população, N é substituído por (n – 1), cuja justificativa será apresentada no capítulo referente à Estimação, quando tratarmos de distribuições amostrais. Nesse caso substituímos σ2 por S2. Então, para o caso de amostra, teremos: S2 = Σ(X – X)2 n – 1 Uma forma alternativa de determinar o valor da variância, derivada da expressão acima, é dada por: S2 = ΣX2 – nX2 n – 1 ou S2 = ΣX2 – (ΣX)2 n n – 1 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  46. 46. Análise de dados 44 A variância para dados agrupados pode ser determinada pela expressão: S2 = Σ(X – X)2 . f n – 1 Em que f é a frequência de cada classe, X o ponto médio de cada classe e X a média aritmética dos dados. Ou de forma alternativa por: S2 = ΣX2 . f – (ΣX . f )2 n – 1 n O desvio-padrão Como a unidade da variância é sempre ao quadrado, a forma de represen-tar uma medida de dispersão na mesma unidade dos dados é calculando a raiz quadrada da variância. Essa medida é chamada de desvio-padrão e é, como veremos, uma das medidas mais importantes da Estatística. O coeficiente de variação O desvio-padrão tem várias utilidades em Estatística. Uma delas é com-parar a variabilidade entre dois conjuntos que têm a mesma média. Como o desvio-padrão não tem um significado físico mais bem definido, o seu valor será grande ou pequeno dependendo da dimensionalidade dos dados. Um desvio-padrão pode ser irrisório ou imenso dependendo da dimen-são dos dados que estamos tratando. Existe, no entanto, uma possibilidade de comparação da variabilidade entre dois conjuntos padronizando o valor do desvio-padrão pelo valor da média do conjunto de dados. Ou seja, se igualarmos a média a 100 e fizermos uma regra de três simples, obteremos: X 100 S CV Então, CV = S . 100% X Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  47. 47. Análise de dados CV é conhecido como o coeficiente de variação dos dados. Seu valor é dado em percentagem, o que possibilita uma informação mais intuitiva da variabilidade, e é a forma de comparar-se a heterogeneidade entre dois con-juntos 45 com médias diferentes. Observe que os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {11, 12, 13} e C = {111, 112, 113} têm o mesmo desvio-padrão. Nos três casos o seu valor é igual a 1. No entanto, os valores dos coeficientes de variação são: CVA = 50%, CVB = 8,3% e CVC = 0,9%. Verifique que esses resultados estão mesmo de acordo com a intuição. Se cada medida dessas for uma medida de distância aferida por algum apa-relho, é muito menor o erro entre as medidas do conjunto C do que do conjunto A. Medidas de assimetria Existem várias medidas para verificar se os dados são simétricos em torno de um valor central (a média) de um conjunto. A mais usual é a apre-sentada abaixo: A = 3 (média – mediana) S Se A < 0, dizemos que os dados têm assimetria negativa, caso contrário as-simetria positiva. Se A = 0, o conjunto de dados é simétrico. O aspecto gráfico de dados simétricos e assimétricos é dado abaixo: X = Md = Mo Mo Md X X Md Mo assimetria positiva simétrico assimetria negativa Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  48. 48. Análise de dados Atividades de aplicação 46 1. Uma pesquisa realizada com fornecedores de uma determinada indús-tria tinha por objetivo atualizar alguns dados importantes para o contro-le financeiro e administrativo. As seguintes variáveis foram observadas: a) Nome da empresa b) Idade da empresa c) Faturamento anual d) Número de funcionários e) Localização (UF) f) Área construída Indique, para as variáveis acima, qual o tipo de cada uma delas. 2. Indique a letra adequada à coluna de acordo com as afirmativas abaixo: a) Processo utilizado para selecionar elementos numa pesquisa ou estudo. b) Uma das formas de apresentação de dados. c) Medida observada a partir de uma característica da amostra. d) Característica observada em estudos ou pesquisas. e) Medida observada a partir de uma característica da população. (( Distribuição de frequências. (( Estatística. (( Amostragem. (( Parâmetro. (( Variável. 3. A diretoria de uma empresa, preocupada com a participação de seus membros nas reuniões ordinárias, fez um levantamento do número de faltas no último semestre. Os dados obtidos para os 48 membros participantes estão apresentados a seguir: 2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  49. 49. Análise de dados a) Especifique o tipo de variável estudada, classificando-a. b) Construa um diagrama de bastões. c) Construa uma tabela de frequências. d) Qual a proporção de membros que faltou no máximo a duas 47 reuniões? e) Determine as frequências relativas. 4. A distribuição de frequências abaixo apresenta os salários dos 120 fun-cionários da empresa “A” . Salários (em S. M.) fi (n.o de funcionários) 0 ---- 5 52 5 |--- 10 38 10|--- 15 17 15|--- 20 8 20|---| 50 5 Total 120 Determine: a) A amplitude observada entre a 2.a e a 4.a classe. b) O salário médio da 4.a classe de frequências. c) A frequência acumulada da 3.a classe de frequências. d) Quantos funcionários que recebe entre 5 e 15 salários mínimos? e) Quantos funcionários que recebe pelo menos 10 salários mínimos? 5. Pesquisando-se o preço médio de fornos micro-ondas de diversas marcas em 28 lojas e pontos de venda em Curitiba, observou-se a se-guinte distribuição: Preço (R$) 192,00 220,00 240,00 255,00 262,00 280,00 Lojas 1 7 11 6 2 1 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  50. 50. Análise de dados 48 a) Calcule o preço médio do produto. b) Calcule o preço mediano. 6. Os dados abaixo apresentam as vendas semanais em classes de salá-rios mínimos de vendedores de gêneros alimentícios: Vendas semanais n.º de vendedores 20 – 30 2 30 – 40 10 40 – 50 18 50 – 60 50 60 – 70 70 70 – 80 30 80 – 90 18 90 – 100 2 Total 200 a) Determine o número médio de vendas semanais. b) Determine o desvio-padrão e o coeficiente de variação das vendas semanais. 7. Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas. Os pesos, após convenientemente agrupados, fornece-ram a seguinte distribuição de frequências (em gramas): Xi 31,5 32,5 33,5 34,5 35,5 36,5 fi 1 5 11 8 3 2 Determine: a) A média da distribuição dos pesos das embalagens. b) A mediana dos pesos. c) A moda dos pesos. d) A variância dos dados. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  51. 51. Análise de dados 8. A tabela abaixo apresenta as taxas de juros do rotativo, cobradas pelos Dinheiro. 49 cartões de crédito, em determinado mês. American Express 10,95 30 Horas Visa Gold 11,90 Federal Card Nac. 9,80 Disponível em: Folha de São Paulo/Caderno Credicard Nac. 9,20 30 Horas Visa Int. 11,90 Federal Card Int. 9,80 Credicard Intern. 9,04 Ourocard Intern. 8,50 Federal Card Gold 9,50 Diners 10,70 BFB Gold 9,90 HSBC Open Card 10,50 Bradesco Nac. 10,32 BFB Intern. 9,90 HSBC Gold 5,90 Bradesco Intern. 10,22 Sudameris Classic 10,20 Bradesco Gold 9,53 Sudameris Gold 10,20 a) Qual a taxa média cobrada no mercado? b) Qual a taxa mediana? c) Qual o valor do desvio-padrão das taxas? O comportamento das taxas é homogêneo? d) Existe algum cartão que possa ser considerado um outlier, supon-do uma variação de 2 desvios da média? 9. A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiço-amento sempre foi baixa, na ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender a todas as idades, decidiu-se fazer uma cam-panha de divulgação. Para verificar se a campanha foi ou não eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos à última promoção, e os resultados estão apresentados na tabela abaixo: Idade Número de candidatos 18 – 20 18 20 – 22 12 22 – 26 10 26 – 30 8 30 – 36 2 Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha produziu algum efeito (isto é, a idade média aumentou)? Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  52. 52. Análise de dados 50 10. Os salários dos empregados da empresa “A” são 20% maiores que os da empresa “B”, para todos os empregados comparados individualmente. Com base nessa informação, podemos afirmar que: a) O desvio-padrão dos empregados é o mesmo para ambas as empresas. b) O desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “A” é 20% maior do que o dos salários da empresa “B’. c) O desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “A” é igual ao desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “B”, multiplicado pelo quadrado de 1,20 . d) Não há elementos para se comparar o desvio-padrão dos salários dessas empresas. Gabarito 1. a) Qualitativa nominal. b) Quantitativa contínua. c) Quantitativa contínua. d) Quantitativa discreta. e) Qualitativa nominal. f) Quantitativa contínua. 2. b, c, a, e, d. 3. a) Variável quantitativa discreta, pois o número de faltas é dado por um valor inteiro. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  53. 53. Análise de dados 51 b) 30 25 20 15 10 5 Membros Diagrama de Bastões Faltas 0 0 1 2 3 4 c) Distribuição de frequências Número de faltas Número de membros (f) 0 28 1 12 2 5 3 2 4 1 Total 48 d) No máximo duas reuniões é o mesmo que duas ou menos reuniões, logo será a soma das frequências de 0 + 1 + 2 dividido pelo total de casos. Proporção de no máximo 2 reuniões = 28 + 12 + 5 48 = 0,9375 ou 93,75% Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  54. 54. Análise de dados 52 e) Distribuição das frequências relativas Número de faltas Frequência relativa (fr) 0 0,583 1 0,250 2 0,104 3 0,042 4 0,021 Total 1 4. a) A amplitude entre a 2.ª e a 4.ª classes varia entre 5 (limite inferior da 2.ª classe) e 20 (limite superior da 4.ª classe), logo a Amplitude = 20 – 5 = 15. b) O salário médio da 4.ª classe é dado pela média entre 15 e 20, por-tanto, o valor é 17,5. c) A frequência acumulada da 3.ª classe será: 52 + 38 +1 7 = 107. d) O número de funcionários que recebem entre 5 e 15 salários míni-mos será dado pela soma dos que ganham entre 5 e 10 mais os que recebem entre 10 e 15 s.m., portanto, 38 + 17 = 55 funcionários. e) Pelo menos 10 s.m. é o mesmo que no mínimo 10 s.m. Sendo as-sim, será a soma das frequências das classes a partir de 10 s.m. O resultado será 17 + 8 + 5 = 30. Outra forma de cálculo seria subtrair do total os que ganham menos de 10 s.m., ou seja, 120 – 90 = 30. 5. a) Este é um caso de média ponderada, sendo assim a fórmula para a resolução é: = Σ Σ Xf X f = (192).1 + (220).7 + (240).11 + (255).6 + (262).2 + (280).1 28 = 6.706 28 X = 239,50. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  55. 55. Análise de dados b) Para obter o preço mediano do produto, é necessário verificar a 53 posição da mediana, ou seja: = n + Med = + = Med P , então a mediana será P , logo a (28 1) 14,5 ( 1) 2 2 a média entre os valores ordenados correspondentes às posi-ções 14 e 15. Verificando na distribuição, temos os valores; XPos14 = 240,00 e XPos15 = 240,00. Portanto, como a média entre os valores será de 240,00, a mediana será 240,00. 6. a) Calcula-se o ponto médio das classes e obtém-se o resultado da média por meio da expressão: Σ = 12 480 Σ = = 62,4 200 Xf X f Vendas (X) Freq (f) X.f 25 2 50 35 10 350 45 18 810 55 50 2 750 65 70 4 550 75 30 2 250 85 18 1 530 95 2 190 TOTAL 200 12 480 Ou, de outra forma, utilizando a frequência relativa: X =Σ ∴X = 25.(0,01)+ 35.(0,05)+ ... + 95.(0,01) = 62,4 rel X.f Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  56. 56. Análise de dados 54 Vendas (X) Freq (f) X.f F relativa X. Freq rel 25 2 50 0,01 0,25 35 10 350 0,05 1,75 45 18 810 0,09 4,05 55 50 2 750 0,25 13,75 65 70 4 550 0,35 22,75 75 30 2 250 0,15 11,25 85 18 1 530 0,09 7,65 95 2 190 0,01 0,95 TOTAL 200 12 480 1 62,4 b) Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, então pode-mos calcular a variância através da expressão: S2 = Σx2 . f – (Σx . f )2 n – 1 n , em que precisamos obter os valores de Σx2 . f X2 X2.f 625 1 250 1 225 12 250 2 025 36 450 3 025 151 250 4 225 295 750 5 625 168 750 7 225 130 050 9 025 18 050 Σ 813 800 Logo, temos que a variância será: Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  57. 57. Análise de dados 55 S2 = 813 800 – (12 480)2 200 199 = 176,12 e dessa forma o resultado do desvio-padrão será obtido por meio de: S = 176,12 =13,27 O coeficiente de variação será determinado por: = .100% S CV X , onde 13,27 CV = = .100% 21,3% 62,4 7. a) X = Σxf Σf 30 = (31,5).1 + (32,5) 5 + (33,5).11 + (34,5).8 + (35,5).3 + (36,5).2 = = 1018 X = 33,93. 30 = + = + Med b) ( 1) (30 1) 2 2 n P = 15,5, logo, a mediana será a média entre os valores de X na posição 15 e na posição 16. O resultado da mediana 33,5 + 33,5 será dado por Md = = 33,5 2 . c) A moda é representada pelo valor de maior frequência, e nesse caso a Mo = 33,5. d) A variância será expressa por: S2 = ΣX2 . f – (ΣX . f )2 n – 1 n , em que obtemos os valores dos somatórios na tabela: Xi i Xi.fi X2 X2.fi 31,5 1 31,5 992,25 992,25 32,5 5 162,5 1 056,25 5 281,25 33,5 11 368,5 1 122,25 12 344,75 34,5 8 276,0 1 190,25 9 522,00 35,5 3 106,5 1 260,25 3 780,75 36,5 2 73,0 1 332,25 2 664,50 1 018,00 34 585,50 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  58. 58. Análise de dados 56 Logo: S2 = 34 585,5 – 29 (1 018)2 30 = 1,43 8. a) x = 1 n Σn i = 1 xi , em que x = 1 19 (10,95 + 9,20 + 9,04 + ... + 10,50 + 5,90) = 187,96 19 = 9,89. b) Após a ordenação dos valores, encontramos a posição da mediana = + = + Med dada por ( 1) (19 1) 2 2 n P = 10, em que o valor de X na posição 10 corresponde a uma mediana igual a 9,9. c) O desvio-padrão será obtido pela raiz quadrada da variância, logo, a variância é: S2 = n – 1 ΣX2 – (Σx)2 n e obtendo os somatórios através da tabela a seguir: Taxas (X) X2 10,95 119,9025 9,2 84,64 9,04 81,7216 10,7 114,49 10,32 106,5024 10,22 104,4484 9,53 90,8209 11,9 141,61 Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  59. 59. Análise de dados 57 Taxas (X) X2 11,9 141,61 8,5 72,25 9,9 98,01 9,9 98,01 10,2 104,04 10,2 104,04 9,8 96,04 9,8 96,04 9,5 90,25 10,5 110,25 5,9 34,81 187,96 1 889,486 Temos: S2 = 1 889,49 – (187,96)2 18 19 = 1,67, logo o desvio-padrão será dado pela 1,67 =1,29. Para verificarmos se o grupo de dados é homogêneo, calcula-mos o coeficiente de variação (CV). Normalmente, grupos com dispersão relativa até 30% são considerados homogêneos. O cálculo do coeficiente de variação é dado por: = S CV .100% X ∴ 1,29 CV = = .100% 13,07% 9,89 Logo, as taxas cobradas no mercado são homogêneas. d) Será considerado um cartão outlier aquele em que a taxa cobrada do rotativo exceda os limites de X ± 2S, ou seja, 9,89 ± 2.(1,29). Sendo assim, os limites estarão entre 7,31 e 12,47. Dessa forma, o único valor fora desse intervalo corresponde a 5,90 do cartão HSBC Gold. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  60. 60. Análise de dados 58 9. Utiliza-se o ponto médio das classes como valor de X na classe (obser-ve que as classes têm amplitudes diferentes) e através da expressão X = Σxf Σf obtém-se a média das idades. Então, X = 19.(18) + 21.(12) + 24.(10) + 28.(8) + 33.(2) 50 = 22,48 Logo, a campanha não surtiu efeito, pois a idade média permanece em torno de 22 anos. 10. B Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  61. 61. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  62. 62. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  63. 63. Probabilidades e distribuições de probabilidades Problema A Companhia de Seguros ABC deseja acionar uma empresa de ônibus para indenizar a viúva de um cliente, que foi morto em um acidente com um dos ônibus da empresa. Deseja, para isso, construir peças de evidências que demonstrem imperícia do motorista e, portanto, culpabilidade da empresa. Entre as peças de evidências, a Companhia ABC pretende demonstrar que a chance de quatro testemunhas que depuseram a favor do motorista mora-rem em casas do mesmo quarteirão dele e estarem no ônibus no evento do acidente é muito pequena. O acidente ocorreu no meio da tarde de um dia de semana. Um casal de pessoas idosas desceu do ônibus em um determinado ponto do itinerário e o homem foi atropelado pelo próprio ônibus. A viúva garantiu que o ônibus arrancou antes que o seu esposo tivesse alcançado a calçada. O motorista alegou que esse fato não ocorreu e apresentou em sua defesa o depoimento de quatro testemunhas que teriam acompanhado o acidente por estarem no ônibus naquele momento. O advogado da companhia de seguros tinha ouvido falar que as empre-sas de transporte coletivo só contratavam motoristas se os mesmos apresen-tassem juntamente com os documentos pessoais uma relação de pessoas que deporiam a seu favor em caso de acidentes, uma vez que as empresas estavam tendo um prejuízo muito grande com causas judiciais. Diante das circunstâncias, o advogado levantou o endereço das testemu-nhas e do motorista e constatou que todos moravam em um mesmo quar-teirão do bairro para o qual o ônibus se dirigia. Como então determinar a probabilidade de as testemunhas de fato não serem forjadas? O advogado procurou um consultor estatístico e solicitou a ele que determinasse essa probabilidade, mesmo que fosse de forma aproximada. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., 61 mais informações www.iesde.com.br
  64. 64. Probabilidades e distribuições de probabilidades 62 Depois de alguma reflexão, o estatístico pensou que poderia aproximar essa situação através de um procedimento clássico em Estatística: o de tirar bolas coloridas de uma caixa. O experimento aleatório consiste em misturar em uma caixa bolas de duas cores. Por exemplo, colocar seis bolas azuis em uma caixa com 20 bolas brancas, misturar bem e retirar dessa caixa, sem olhar, uma amostra de quatro bolas. Calcular então a probabilidade que duas dessas quatro bolas sejam azuis. Essa probabilidade pode ser calculada da seguinte forma: de quantas ma-neiras pode-se retirar quatro bolas sem reposição de um total de 26? Esse número é igual a C26,4. Dentre todas essas combinações, de quantas manei-ras pode-se retirar duas bolas brancas das 20 contidas na caixa? Da mesma forma, C20,2. E as outras duas azuis de seis? C6,2. Então, a probabilidade de se retirar duas bolas azuis na situação exposta é dada por: P (X = 2) = C6,2C20,2 C26,4 O cálculo dessa probabilidade resulta em P(X = 2) = 190 . 15 14 950 = 0,1906, então a probabilidade de se retirar duas bolas azuis em uma amostra sem reposição de uma caixa com 26 bolas, sendo 20 brancas e 6 azuis, é de 0,19 ou 19%. Se o bairro em que mora o motorista e suas testemunhas for a caixa que contém um número N de moradores, o número de habitantes do quarteirão for N1, correspondentes ao número de bolas azuis na caixa e a lotação do ônibus for a amostra n, qual é a probabilidade que dessa amostra n, n1 sejam de moradores do quarteirão? A expressão geral para o cálculo dessa probabilidade é: P (X = n1) = CN1,n1 C(N – N1), (n – n1) CN,n Resta, então, verificar os valores de N, N1, n e n1. Depois de um trabalho intenso de levantamento de dados, o estatístico chegou às seguintes informa-ções. O bairro é composto por 112 quarteirões, os quarteirões têm em média 20 casas e cada casa uma média de quatro moradores, portanto, o número de habitantes do bairro era de N = 8 960. No quarteirão em que moravam o mo-torista e suas testemunhas havia 20 casas com também quatro moradores em cada casa, um total de N1 = 80 moradores no quarteirão. A lotação do ônibus Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  65. 65. Probabilidades e distribuições de probabilidades é de 30 lugares sentados, ou seja, n = 30, e queremos calcular a probabilidade de que cinco moradores do mesmo quarteirão (o motorista e as quatro teste-munhas) 63 estivessem juntos no ônibus, isto é, P(X = n1) = P(X = 5). O cálculo dessa probabilidade é então: P (X = 5) = C80,5C8880,35 C8960,40 = 0,00002 Ou seja, uma chance em 50 000. De fato, muito pequena. Na avaliação feita, todos os benefícios de aproximação foram feitos a favor do motorista. O ônibus tinha lotação completa, quando se pode verificar que nesse horário da tarde ela nunca está completa. O número de pessoas que o ônibus servia era maior do que somente o seu bairro terminal. O número de pessoas por residência em bairros da periferia é normalmente maior do que a média de um casal com dois filhos. Todos esses fatores foram colocados a favor do motorista. E ademais, há que se supor que todos os quatro passa-geiros estivessem prestando atenção ao acidente. Esse é um problema típico de modelagem com probabilidades. Há muitos outros tipos de exemplo. Mas, talvez mais importante do que a aplicação direta de probabilidades na solução de problemas seja a sua grande utilidade como instrumento para se trabalhar com inferência estatística e com as técnicas de tomada de decisões aplicadas nos últimos três capítulos do livro. Conceitos fundamentais A teoria de probabilidades foi desenvolvida para solucionar jogos de azar durante o século XVII, mas somente no início do século XX, graças ao mate-mático russo A. Komolgorov, que formulou toda a teoria a partir de axiomas básicos, a teoria de probabilidades ganhou status próprio como um ramo autônomo da matemática. Existem várias propostas de como medir a incer-teza. Entre elas, a mais desenvolvida é a da teoria de probabilidades. Mesmo assim, há diferentes escolas que propõem diferentes meios de acessar valores de probabilidades. Há, portanto, alguma controvérsia sobre os fundamentos da teoria. Discutiremos três enfoques conceituais diferentes, mas que, inde-pendentemente das diferentes definições, usam as mesmas regras matemá-ticas como medidas objetivas de incerteza. Os três enfoques são o da proba-bilidade clássica, o da frequência relativa de ocorrências e o da probabilidade Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  66. 66. Probabilidades e distribuições de probabilidades 64 subjetiva, que apesar do nome trata a probabilidade como uma medida ob-jetiva, embora a forma de sua determinação seja subjetiva. Aqui a palavra objetiva significa uma medida exata que se submete ao corpo axiomático da teoria de Komolgorov. Esses três enfoques foram apresentados porque serão usados indistinta-mente na solução dos problemas colocados no livro. As diferenças possíveis decorrentes da diferença de enfoques serão discutidas toda vez que pude-rem causar algum tipo de dúvida ou desconforto. Iniciaremos com a apresentação de uma série de definições básicas que ajudarão na construção de toda a teoria de probabilidades necessária para a solução dos problemas apresentados nos demais capítulos. Experimento aleatório Experimento aleatório é um experimento no qual sabe-se que resultados podem ocorrer, mas não se sabe de antemão que resultado ocorrerá. Pode-se, no entanto, determinar a probabilidade associada a cada resultado. Por exem-plo, no lance de um dado honesto sabe-se que os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 na face superior, cada resultado com probabilidade 1/6. Como determinar a probabilidade de sair um número par? Pela teoria clássica de probabilidades verificamos que há seis resultados possíveis. A pro-babilidade de sair um número par é determinada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, ou seja, 3 casos favoráveis sobre 6 casos possíveis, então essa probabilidade é de 3/6 ou ½. Do ponto de vista frequentista, essa probabilidade pode ser calculada com o lance de um dado 1 000 vezes, verificando-se quantas vezes saiu um número par e dividindo-se esse valor por 1 000. Também se pode determinar intuitivamente, através de probabilidade subjetiva, que o resultado “sair um número par no lance de um dado” é equi-valente a “sair cara no lance de uma moeda”, e que, portanto, pela experiência do tomador de decisões, ele pode concluir que essa probabilidade seja ½. Evento Eventos são cada um dos resultados possíveis de um experimento alea-tório. O evento de sair cara no lance de uma moeda é chamado de evento Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  67. 67. Probabilidades e distribuições de probabilidades simples, porque estamos interessados em um resultado singular do experi-mento aleatório. O evento “sair um número par no lance de um dado” é um evento composto, porque o resultado está associado a três possíveis eventos simples. Aos eventos no geral associa-se um conjunto, e a notação utilizada será a da teoria dos conjuntos, que estabelece denotar o conjunto com letras maiús-culas, e quando necessário, os elementos do conjunto com letras minúscu-las. Então o evento sair um número par pode ser representado pelo conjunto 65 A = {2, 4, 6}. Também podemos pensar no caso da moeda, que o resultado do lance pode ser 1 no caso de sucesso em sair uma cara e 0 no caso de fracasso em sair uma coroa. Assim, se X é o resultado do lance de uma moeda, X = 1 re-presenta cara e X= 0 representa coroa. Espaço amostral Podemos definir de forma simples o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório ou de outra forma o conjunto de todos os eventos simples de um experimento aleatório. No geral, o espaço amostral é denominado por S (space, em inglês) ou pela letra grega Ω (ômega). No lance de um dado o espaço amostral será o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No lance de uma moeda o espaço amostral será S = {C, K}, em que C re-presenta cara e K, coroa. Em muitos livros traduzidos encontramos o espaço amostral para esse experimento aleatório como S = {H,T}. Aqui H representa cara e T coroa, porque o jogo cara ou coroa em inglês é chamado de head or tail, cabeça ou rabo. Observe que o espaço amostral é o conjunto de todos os elementos, ou o conjunto universo da teoria de conjuntos. Evento certo e eventos mutuamente exclusivos Um evento é dito certo quando não há possibilidade de ocorrência de outro evento. Também evento impossível é aquele que não tem qualquer possibilidade de ocorrência. No lance de um dado, um número de 1 a 6 apa-recer na face superior do dado é um evento certo. No lance de dois dados, a Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  68. 68. Probabilidades e distribuições de probabilidades 66 soma das faces superiores ser 15 é um evento impossível. Essa definição será útil um pouco mais tarde quando tratarmos de probabilidades. Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cujos elementos não podem pertencer a dois conjuntos ao mesmo tempo. Segue um exemplo de eventos não mutuamente exclusivos com relação ao número que aparece na face superior do lançamento de um dado. Seja o evento A sair um número par e o evento B um número menor do que 4. Então A e B não são mutuamente exclusivos porque o evento 2 ocorre em ambos os conjuntos. A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3}. Eventos complementares Dois eventos são complementares quando os seus elementos pertencem a eventos mutuamente exclusivos e a reunião de todos os elementos é igual ao espaço amostral. Por exemplo, no lance de um dado o evento A = {1, 2} é complementar ao evento B = {3, 4, 5, 6}. Também o evento sair um número par na face superior no lançamento de um dado é complementar ao evento sair um número ímpar. É usual denotar o evento complementar de A como Ā ou Ac. Probabilidade Probabilidade é uma medida de incerteza que pode assumir valores entre 0 e 1. Não existe probabilidade negativa nem maior do que 1. A probabilidade de sair cara no lance de uma moeda é igual a ½ ou 0,5 e não 50%. Embora probabilidade e percentagem sejam medidas de naturezas di-ferentes, não é incomum que se utilize percentagem com o sentido de pro-babilidade. Quando isso não nos atrapalhar, utilizaremos indistintamente as duas acepções. A probabilidade de um evento A pode ser definida como o número de elementos favoráveis sobre o número de elementos possíveis. O cardinal do conjunto A, denotado por #A, representa o número de elementos favoráveis do evento A e o #S o número de elementos do espaço amostral, então: P (A) = #A #S Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  69. 69. Probabilidades e distribuições de probabilidades No evento número par no lance de um dado, A = {2, 4, 6}, cujo número de 67 elementos é dado por #A = 3 e S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} com #S = 6, então: P (A) = #A #S = 36 = 12 = 0,5 Probabilidade, chance e verossimilhança Esses três termos são muitas vezes utilizados indistintamente, mas de fato representam fenômenos de natureza distinta. Dizemos que a chance de se ganhar na mega-sena é de aproximadamente 1 para 50 milhões se jogarmos um bilhete com 6 números. A ideia de chance está relacionada a jogo. É curioso notar que a teoria de probabilidade em seus primórdios era denominada nos meios acadêmicos como a teoria das chances, somente mais tarde se distinguiu chance de probabilidade, tendo sido reservada para essa última a primazia de denominar a teoria que se en-carrega de medir incerteza. Por outro lado, a palavra verossimilhança também não tem o mesmo sig-nificado de probabilidade. Por exemplo, é bem sabido que se em uma noite de inverno o frio for intenso e o céu estiver estrelado, a possibilidade de ocorrência de geada na manhã do dia seguinte é bastante grande. Devemos dizer que é verossímil e não que é provável a ocorrência de geada. Essa pala-vra é muito pouco utilizada coloquialmente em português e por isso falamos em provável ou verossímil indistintamente. Na língua inglesa, a palavra correspondente à verossimilhança é likelihood, bastante comum no uso coloquial. Então, em muitos livros de estatística tra-duzidos do inglês para o português, o tradutor prefere utilizar probabilida-de nos locais em que aparece likelihood e isso pode trazer alguma confusão conceitual. Forçaremos um pouco o uso correto e distinto de probabilidade e verossimilhança quando for necessário no texto. Axiomas e regras de probabilidades As regras para o uso de probabilidades, muitas vezes apresentadas como teoremas, partem de um conjunto de princípios que leva em conta a natu-reza da medida de probabilidade. Esse conjunto de princípios é conhecido Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  70. 70. Probabilidades e distribuições de probabilidades 68 como os Axiomas de Kolmogorov, o matemático russo que as estabeleceu no início do século XX. Axiomas de Kolmogorov Seja A um evento e S o espaço amostral de um experimento aleatório, então: (I) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (II) P(S) = 1; (III) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B), se A e B não são eventos mutuamente exclusivos. O primeiro axioma define probabilidade como uma medida não nega-tiva e não maior que a unidade. Então, é um número definido no intervalo de 0 a 1 e não uma percentagem. Ela pode ser apresentada em forma de fração 4/10, com o numerador sempre menor ou igual ao denominador, ou em forma decimal 0,4. Não teremos preferência neste livro na forma de apresentação final das probabilidades calculadas, mas sempre convém fazer as operações através de frações para não haver acúmulo de erros devido a arredondamentos. O segundo axioma informa que a probabilidade do espaço amostral é sempre 1. O espaço amostral pode ser tomado como o evento composto certo. Por outro lado, o evento complementar a S é o conjunto vazio, denota-do por { } ou ø. O terceiro axioma diz que a probabilidade da união de dois eventos é a soma das probabilidades dos eventos menos a probabilidade de sua inter-seção. Se A e B são mutuamente exclusivos, então A B = ø. Vejamos um exemplo de eventos não mutuamente exclusivos. No lance de um dado, seja A o evento sair um número par e B o evento sair um número menor que 4. Então, A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3}, a união dos dois eventos A B = {1, 2, 3, 4, 6} e a interseção e A B = {2}. Então P (A B) = 1/2 + 1/2 – 1/6 = 5/6, uma vez que P (A) = 1/2; P (B) = 1/2 e P(A B) = 1/6. Verifique que de fato o cardinal de A B é #(A B) = 5. É necessário fazer a subtração porque caso contrário o elemento 2 en-traria duas vezes, enquanto na união ele só entra uma vez, apesar de ser elemento dos conjuntos A e B. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
  71. 71. Probabilidades e distribuições de probabilidades 69 Regras de probabilidades Algumas regras úteis derivadas dos axiomas de probabilidades serão apresentadas sem prova. Em um contexto formal elas poderiam ser apre-sentadas como teoremas com as devidas provas, mas esse não é o interesse neste texto. Eventos complementares Se A é um evento e Ā é o seu evento complementar, então P(A) + P(Ā) = 1, ou ainda P(Ā) = 1 – P(A). Um caso particular ocorre para o caso do conjun-to vazio, sabidamente complementar ao conjunto universo. P(ø) = 1 – P(S), então como P(S) = 1, P(ø) = 0. Regra da adição Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, A B = ø , então P(A B) = P(A) + P(B), haja vista que P(ø) = 0. Sejam os eventos A ={2, 4} e B { 3, 5} e S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então P(A B) = P(A) + P(B) = 2/6 +2/6 = 4/6, verifique que A B = {2, 3, 4, 5}, cujo cardinal e #( A B) = 4. 2 1 6 S A B 4 3 5 Regra da diferença Se A e B são dois conjuntos quaisquer, podemos definir a diferença entre os dois conjuntos, AB como o conjunto de todos os elementos que perten-cem a A e que não pertencem a B. Então P(AB) = P(A) – P(A B). Sejam os eventos A ={2, 4} e B { 2, 3, 5} e S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então P(AB) = P(A) – P(A B) = 2/6 – 1/6 = 1/6. Verifique que AB = {4} cujo cardinal é #(AB) = 1. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

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