1. SOLUÇÕES
16
R EPRESENTAÇÃO DE F IGURA S P L ANA S III
180.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pelas
suas projecções, em função dos dados – o plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os
seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto de hα, que é
uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A recta h, horizontal (de nível),
com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar
as projecções do ponto B. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção,
pelo que o triângulo [A BC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-
A
ção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A
é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de
traçados optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a char-
neira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da
charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para
tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-
mento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à per-
pendicular à charneira que passa por F1). Os traços do plano α são concorrentes num
ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao com-
passo, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à per-
pendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal do plano α em
rebatimento (fαr) passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X (fαr está definido por
f f
dois pontos). A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas horizontais de um plano
são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – hr está definida
por um ponto e uma direcção. Por B1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém
o arco do rebatimento de B) e determinou-se Br sobre hr (B é um ponto de h, pelo que Br tem de se situar sobre hr). A partir de Ar e Br, cons-
B
truiu-se o triângulo [A BC] em V.G., em rebatimento, determinando-se Cr. Para determinar as projecções do triângulo, inverteu-se o rebatimento
A
do plano α, invertendo o rebatimento de C. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelo ponto C – a recta f, frontal (de frente). A recta fr
passa por Cr e é paralela a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espa-
ço, em projecções e em rebatimento). A recta fr é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f e é um ponto da charneira, pelo que se
determinaram imediatamente as projecções de H (H1 ≡ Hr e H2 está no eixo X). Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas
H
de f (que é paralela a fα). Em seguida conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém o arco do rebatimento de C) – o ponto em que esta intersecta f1 é C1. C2 situa-se sobre f2, na linha de chamada de C1. A partir das pro-
jecções de C, construíram-se as projecções do triângulo [A BC].
A
181.
Em primeiro lugar representou-se o plano ψ, pelos seus traços, e os
pontos A e O, pelas suas projecções, em função dos dados. O pon-
to A é um ponto de f ψ, que é uma recta frontal (de frente) do plano
com afastamento nulo. A recta f, frontal (de frente), com 3 cm de
afastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu
para determinar as projecções do ponto O. O plano ψ não é paralelo
a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado [A B CD] A
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez
que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção, no sentido
de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ψ
para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr),
pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da char-
neira. Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço horizontal,
o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto H
(traço horizontal da recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H,
o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento
(note que se omitiu a representação do plano mas que este corres-
ponde à perpendicular à charneira que passa por H2). Os traços do
plano ψ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que
é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo
centro nesse ponto e raio até H1, transportou-se essa distância até à
perpendicular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr. O traço
horizontal do plano ψ em rebatimento (h ψ r ) passa por H r e é
h
(Continua na página seguinte)
59

2. SOLUÇÕES
concorrente com f ψr no eixo X (hψr está definido por dois pontos). A recta f r passa por Hr e é paralela a f ψr (rectas frontais de um plano são
h
paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – f r está definida por um
ponto e uma direcção. Por O2 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre f r (O é um ponto de f, pelo que Or tem de se situar sobre f r). Com centro em Or e raio até
O
A r desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções
do quadrado, inverteu-se o rebatimento do plano ψ, invertendo o rebatimento de B, C e D. Para inverter o rebatimento de C conduziu-se, em
rebatimento, uma recta por C – a recta h, horizontal (de nível). A recta hr passa por Cr e é paralela a hψr (rectas horizontais de um plano são
paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta hr é con-
corrente com f ψr em Fr – F é o traço frontal de h e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projecções de F
(F2 ≡ Fr e F1 está no eixo X). Pelas projecções de F conduziram-se as projecções homónimas de h (que é paralela a hψ). Em seguida condu-
F
ziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C) – o
ponto em que esta intersecta h2 é C2. C1 situa-se sobre h1, na linha de chamada de C2. Para inverter o rebatimento de B e D conduziu-se, em
rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta r. A recta r r passa por Br e Dr e é concorrente com hψr em H’r (H’ é o traço horizontal de r)
H
e é concorrente com f ψr em F’r (F’ é o traço frontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-
F
mente – F’2 ≡ F’r e F’1 está no eixo X). Por H’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se H’2 no eixo X – H’1 situa-se sobre hψ. Pelas projecções de F’ e H’ conduziram-se as
projecções homónimas da recta r. Por Br e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à char-
neira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de B e D, sobre as projecções homónimas da recta
r. A partir das projecções de B, C e D, construíram-se as projecções do quadrado [A B CD]. Note que a inversão do rebatimento de B e D se
A
poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, à semelhança do efectuado para inverter o reba-
timento do vértice C. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a duas rectas para inverter o rebatimento
(uma recta por ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois a recta r contém os dois pontos.
182.
Em primeiro lugar representou-se o plano µ, pelos seus traços, e o ponto
O, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta h, horizontal
(de nível), com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se
recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano µ não é para-
lelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se
projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano µ
para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hµ – hµ ≡ e1 ≡ hµr).
Para rebater o plano µ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por
exemplo. Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que
contém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação do
plano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passa
por F1). Os traços do plano µ são concorrentes num ponto fixo (um ponto
do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso,
fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até
à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal
do plano µ em rebatimento (fµr) passa por Fr e é concorrente com hµr no
f
eixo X (f µr está definido por dois pontos). A recta hr passa por Fr e é para-
f
lela a hµr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas
ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento)
– hr está definida por um ponto e uma direcção. Por O1 conduziu-se uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre hr (O é O
um ponto de h, pelo que Or tem de se situar sobre hr). Uma vez que um
dos vértices do polígono tem cota nula (situa-se sobre hµ) e o seu lado de maior cota é horizontal (paralelo a hµ), infere-se que a circunferência
circunscrita ao pentágono é tangente a hµ. Assim, com centro em Or desenhou-se uma circunferência tangente a hµr – um dos vértices do polí-
gono (o vértice A, por exemplo) é o ponto de tangência da circunferência com hµr. Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebati-
mento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente
A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. Para inverter o rebatimento de C e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta h’,
horizontal (de nível). A recta h’r passa por Cr e Dr e é paralela a hµr e a hr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao
traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta h’r é concorrente com f µr em F’r – F’ é o traço frontal de h’. Por
F’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e
determinou-se F’1 no eixo X – F’2 situa-se sobre f µ. Pelas projecções de F’ conduziram-se as projecções homónimas de h’ (que é paralela a hµ
e a h). Em seguida, por Cr e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm
os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta h’. O processo
repetiu-se para os pontos B e E. A recta h’’ é a recta horizontal (de nível) a que se recorreu para inverter o rebatimento dos dois pontos, e F’’ é
o seu traço frontal. A partir das projecções dos cinco pontos desenharam-se as projecções da figura. Note que a inversão do rebatimento de B,
C, D e E se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano, conforme exposto no relatório do exercí-
cio 180. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a quatro rectas para inverter o rebatimento (uma recta por
ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois cada recta contém dois pontos.
60

3. SOLUÇÕES
183.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o
pontos P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é
um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com
cota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] do qua-
P
drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um
ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais preci-
samente, está contido no plano α e não é possível representá-lo direc-
tamente em projecções. O plano α não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Hori-
zontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados
optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a
charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1,
pois P é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater
o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto A (A é um ponto qualquer de f α, escolhido aleatoriamente,
A
para rebater f α). Para tal conduziu-se, por A 1, uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém
o arco do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes
num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) –
com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que
passa por A 1 e obteve-se A r. O traço frontal do plano α em rebatimento (f αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X (f αr está definido
f f
por dois pontos). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] faz com hα – 30°) e determinou-se Qr
P
sobre f αr (o ponto Q tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f α). A partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento,
obtendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento de S conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Sr – a recta f, frontal (de frente). A recta f r pas-
sa por Sr e é paralela a f αr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecções
e em rebatimento). A recta f r é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f. H é um ponto da charneira, pelo que as suas projec-
ções se determinam imediatamente – H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas de f
(que é paralela a f α). Em seguida, por Sr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém os arcos do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta f O processo repetiu-
-se para o ponto R. A recta f é a recta frontal (de frente) a que se recorreu para inverter o rebatimento de R e H’ é o seu traço horizontal.
A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do quadrado.
184. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os
pontos A e C, pelas suas projecções, em função dos dados – o plano α
é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao
eixo X. A recta f, frontal (de frente), com 2 cm de afastamento e pertencente
ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do
ponto A. A recta f ’, frontal (de frente), com 5 cm de afastamento e perten-
cente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto C. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G. em ne-
A
nhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal
de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para rebater o plano α há
que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto P (P é um ponto qualquer de fα, escolhido aleatoriamente,
P
para rebater f α). Para tal conduziu-se, por P1, uma perpendicular à char-
neira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes no ponto M,
que é fixo (é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazen-
do centro em M e raio até P2, transportou-se M2P2 para a perpendicular à
charneira que passa por P1 e obteve-se Pr. O traço frontal do plano α em
rebatimento (f αr ) passa por P r e é concorrente com h α r no ponto M r
f
(f αr está definido por dois pontos). Para rebater o ponto A, é necessário re-
f
bater uma recta a que o ponto pertença – a recta f, por exemplo. H, o tra-
ço horizontal de f é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Hr ≡ H1.
A recta f em rebatimento, fr, passa por Hr e é paralela a f αr (rectas frontais
de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no
espaço, em projecções e em rebatimento) – fr está definida por um ponto
e uma direcção. Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do
rebatimento de A) e determinou-se A r sobre fr (A é um ponto de f, pelo que A r tem de se situar sobre fr). O processo repetiu-se em relação à
A
recta f ’ (a recta que contém o ponto C), obtendo-se Cr sobre f ’r (H’ é o traço horizontal da recta f ’). A partir de A r e Cr construiu-se o quadrado
H
(Continua na página seguinte)
61

4. SOLUÇÕES
em VG., em rebatimento, obtendo Br e Dr. Para inverter o rebatimento de D conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Dr – a recta r (note que
a recta r é a recta suporte do lado [CD] do quadrado). A recta rr passa por Cr e Dr e é concorrente com f αr em Fr (F é o traço frontal de r) e é
C F
concorrente com hαr em H’’r (H’’ é o traço horizontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-
H
mente – H’’1 ≡ H’’r e H’’2 está no eixo X). Por Fr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F1 no eixo X – F2 situa-se sobre f α. Pelas projecções de F e H’’ conduziram-se as pro-
jecções homónimas da recta r (note que as projecções de r têm necessariamente de passar pelas projecções homónimas do ponto C, pois C
é um ponto da recta r). Por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de D, sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de B con-
duziu-se, em rebatimento, uma recta por Br – a recta s (note que a recta s é a recta suporte do lado [A B] do quadrado e é paralela à recta r). A
A
recta rr passa por A r e Br e é paralela à recta rr (o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em rebatimento). As projecções da recta
s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto A (que é um ponto da recta s) e são paralelas às projecções
homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas). Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal
à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de B, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir
das projecções dos quatro vértices do polígono, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento de B e D se poderia
ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, conforme exposto no relatório do exercício 182.
185.
Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto Q,
pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β2/4,
pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta h, horizontal (de nível), com
5 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para deter-
minar as projecções do ponto Q. O plano δ não é paralelo a nenhum dos pla-
nos de projecção, pelo que o hexágono não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a
charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço
frontal da recta h), por exemplo. Sobre o rebatimento de F, de fδ e de Q, ver
relatório do exercício 182, uma vez que os dois exercícios são semelhantes.
Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 4 cm de raio (o raio da cir-
cunferência circunscrita ao hexágono é igual ao comprimento do lado do
hexágono) desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e cons-
truiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento. Dois dos lados do hexágono
são horizontais (de nível), pelo que são paralelos ao traço horizontal do plano
(ou seja, em rebatimento são paralelos a hδr, pois rectas horizontais de um
plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no
espaço, em projecções e em rebatimento). Para inverter o rebatimento recor-
reu-se a rectas horizontais (de nível) do plano (as rectas suporte dos lados
horizontais do hexágono) – ver exercício 182. A partir das projecções de
todos os vértices do hexágono, desenharam-se as suas projecções.
186.
Em primeiro lugar representaram-se os planos δ e ρ, pelos respectivos
traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano δ, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β1/3, pelo que os
seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto
de f δ, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O
ponto B é um ponto de hδ, que é uma recta horizontal (de nível) do pla-
no com cota nula. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projec-
ção e que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao
nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do
plano δ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de
Projecção. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr), pelo que se tem imediata-
mente Br ≡ B1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano δ
há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto A, que é um ponto de f δ (ver relatório do exer-
cício 175). A partir de A r e de Br construiu-se o quadrado em V.G., em
(Continua na página seguinte)
62

5. SOLUÇÕES
rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se às rectas suporte de dois lados do quadrado – o lado [A B] e o lado
A
[CD]. A recta r r é a recta suporte do lado [A B], em rebatimento – as projecções de r determinaram-se imediatamente, a partir das projec-
C A
ções homónimas de A e B. Por Cr e Dr conduziu-se uma recta sr, que é a recta suporte do lado [CD] em rebatimento – sr é paralela a r r,
C
pois os dois lados em questão são paralelos. Hr é o ponto de concorrência de sr com hδr – H é o traço horizontal da recta s e é um ponto da
charneira, pelo que é fixo (H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X). Uma vez que as rectas r e s são paralelas, as suas projecções homónimas são
H
também paralelas entre si – as projecções da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta r e pas-
sando pelas projecções homónimas de H, o seu traço horizontal (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr
e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos
arcos do rebatimento), determinaram-se C1 e D1 sobre s1 – C2 e D2 situam-se sobre s2, nas respectivas linhas de chamada. A partir das pro-
jecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado
com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 182) ou com o recurso a recta frontais (de
frente) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 180), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que
se processou com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados. Para determinar as projecções
do segmento [R S], o segmento resultante da intersecção do plano ρ com o quadrado [A B CD] (que está contido no plano δ), é necessário
R A
determinar a recta de intersecção dos dois planos – a recta i. A recta i determinou-se a partir dos seus traços (trata-se do caso geral da
intersecção entre planos). F é o traço frontal da recta i e H’ é o seu traço horizontal. A recta i intersecta o lado [A D] do quadrado no ponto R
A
e intersecta o lado [CD] do quadrado no ponto S – o segmento [R S] é, assim, o segmento da recta i que se situa no quadrado [A B CD].
C R A
187. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções
de A e B conduziram-se as projecções homónimas da recta r, a
recta que passa por A e B, e determinaram-se os seus traços nos
planos de projecção – F e H. Uma vez que, de acordo com o
enunciado, a recta r é uma recta de maior inclinação do plano α,
por F (o traço frontal da recta r) conduziu-se fα, perpendicular a r2
– hα é concorrente com fα no eixo X e passa por H, o traço hori-
zontal da recta r. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Uma vez que F é um ponto do Plano Frontal
de Projecção e que H é um ponto do Plano Horizontal de Projec-
ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o reba-
timento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção ou para
o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para
o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr),
pelo que se tem imediatamente Hr ≡ H1, pois H é um ponto da
charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço fron-
tal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto
F, que é um ponto de fα (ver relatório do exercício 175). A recta rr
(a recta r em rebatimento) fica definida por Hr e Fr e o traço fron-
tal do plano, em rebatimento (fαr) é concorrente com hαr no eixo
f
X e passa por Fr (note que fαr é perpendicular a rr, pois r é uma
recta de maior inclinação do plano). Conduzindo, por A 1 e por
B1, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que
correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os
respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se Ar e Br so-
bre rr. A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em V.G., em re-
batimento, obtendo Cr e Dr. Após a construção do quadrado em
rebatimento, constata-se que dois dos lados do quadrado são
paralelos a fαr – este facto tem uma justificação científica, que em
seguida se apresenta. Recorde que rectas de maior inclinação de
um plano são perpendiculares ao traço frontal do plano (e a to-
das as rectas frontais do plano) – o lado [A B] do quadrado está contido numa recta de maior inclinação do plano (bem como o lado [CD], que é
A C
paralelo a [A B]). Uma vez que os lados [B C] e [AD] do quadrado são perpendiculares aos outros dois lados (que estão contidos em rectas de
A B A
maior inclinação do plano), então os lados [B C] e [AD] estão necessariamente contidos em rectas frontais (de frente) do plano e, por isso, são
B A
paralelos a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecção e em rebatimen-
to). Assim, por Ar e Dr conduziu-se uma recta fr, que é paralela a fαr – f é uma recta frontal (de frente) do plano e é a recta suporte do lado [AD]. A
A
recta fr é concorrente com hαr em H’r – H’ é o traço horizontal da recta f e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no
H
eixo X). As projecções da recta f determinaram-se imediatamente, pois f é paralela a fα (a recta f está definida por um ponto e uma direcção).
Note que as projecções da recta f passam pelas projecções homónimas de A, que é um ponto da recta f. Conduzindo, por Dr, uma perpendicu-
lar à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinou-se D1 sobre f1 – D2 situa-se
sobre f2, na respectiva linha de chamada. O processo repetiu-se para o ponto C – f ’ é a recta frontal (de frente) que é a recta suporte do lado
[B C] e H’’ é o seu traço horizontal. As projecções da recta f ’ passam pelas projecções homónimas de B, que é um ponto da recta f ’. A partir das
B
projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono. Note que a projecção frontal do lado [CD] do quadrado
C
é perpendicular a fα (pois é o outro lado do quadrado que também está contido numa recta de maior inclinação do plano α).
63

6. SOLUÇÕES
188.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados. Uma vez que A tem afastamento nulo e B tem cota nula, sabe-se imedia-
tamente que A é um ponto do traço frontal do plano e que B é um ponto do traço
horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar f ρ e hρ. O triângulo não se projecta
em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum
dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um ponto do
Plano Frontal de Projecção e que B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no
sentido de uma maior economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano
Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se, no entanto,
por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ρ), pelo que se
tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há
que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto B (que é um ponto de hρ). Para tal conduziu-se, por B, o plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil e, na pre-
sente situação, é o próprio plano YZ). O ponto B rebateu-se através do seu triângulo do
rebatimento. O é o ponto de intersecção do plano YZ com a charneira (note que não se
identificou o ponto O) e é o centro do arco do rebatimento de B. O triângulo do rebati-
mento de B é [OBB2], que é rectângulo em B2, e o comprimento da sua hipotenusa
O
([OB]) é a distância que nos permite rebater B. Construiu-se o triângulo do rebatimento
O
de B em V.G. (pelo rebatimento do plano YZ) – numa paralela à charneira (ou seja, no
próprio eixo X) representou-se o afastamento de B, obtendo Br1. O triângulo do rebati-
mento de B em V.G. é [OBr1B2] (recorde que não se identificou o ponto O, apesar de
O
se lhe fazer referência). Com centro em O transportou-se OBr1 para a perpendicular à
charneira que passa por B2 (que é Y ≡ Z), obtendo Br – hρr passa por Br e é paralelo ao
eixo X (e a f ρr). A partir de A r e Br construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de-
terminando Cr. Para determinar as projecções do triângulo inverteu-se o rebatimento do plano ρ, invertendo o rebatimento de C. Para tal con-
duziu-se, em rebatimento, uma recta r, do plano, passando por C – por economia de traçados optou-se por fazer com que a recta r seja a recta
suporte do lado [B C] do triângulo. Assim, a recta r, em rebatimento (rr), passa por Cr e Br. A recta rr é concorrente com f ρr no ponto Fr – F é o
B
traço frontal da recta r. F é um ponto da charneira (é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente Fr ≡ F2 – F1 situa-se no eixo X.
O ponto B é o próprio traço horizontal da recta r – as projecções da recta r desenharam-se imediatamente, passando pelas projecções homó-
nimas de F e B (a recta r está definida por dois pontos). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogo-
nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta r.
A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
189.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas suas projecções,
em função dos dados. Uma vez que A tem cota nula, sabe-se imediatamente
que A é um ponto do traço horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar hρ.
Por O e A conduziu-se uma recta r e determinou-se o seu traço frontal – F.
Por F conduziu-se f ρ, o traço frontal do plano. Note que A é, imediatamente, o
traço horizontal da recta r. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um
ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia
de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Pro-
jecção (a charneira é hρ), pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1, pois A é
um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é
um ponto de f ρ). Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil). O ponto F
rebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. M é o ponto de intersec-
ção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do
rebatimento de F (note que não se identificou o ponto M no desenho) – M é o
centro do arco do rebatimento de F. O triângulo do rebatimento de F é
[MFF1], que é rectângulo em F1, e o comprimento da sua hipotenusa ([MF])
M M
é a distância que nos permite rebater F. Construiu-se o triângulo do rebati-
mento de F em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém o arco
do rebatimento de F) – numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X)
representou-se a cota de F, obtendo Fr1. O triângulo do rebatimento de F em
V.G. é [MFr1F1] (recorde que não se identificou o ponto M, apesar de se lhe
M
(Continua na página seguinte)
64

7. SOLUÇÕES
fazer referência). Note que, devido a se ter efectuado o rebatimento do plano de perfil para a direita, Fr 1 ficou coincidente com A 2, mas que
tal não se verificaria caso se tivesse rebatido o plano de perfil para a esquerda. Com centro em M transportou-se M Fr 1 para a perpendicular
à charneira que passa por F1 (que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de F), obtendo Fr – f ρr passa por Fr e
é paralelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e A r conduziu-se uma recta, que é r r – a recta r em rebatimento. Por O1 conduziu-se uma perpendicular
à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre r r (O é um O
ponto de r, pelo que Or se situa sobre r r). Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita
ao quadrado em V.G., em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, em rebatimento. Note que o vértice Cr, do qua-
drado em rebatimento, se situa sobre a recta r r (a recta r é a recta suporte de uma diagonal do quadrado). Para inverter o rebatimento de C
conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento)
– o ponto em que esta intersecta r 1 é a projecção horizontal de C (C1), o que nos permitiu determinar C2, em seguida, sobre r 2. Para inverter
C
o rebatimento de B e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta s, do plano, passando pelos dois pontos – a recta s é a recta suporte da
diagonal [BD] do quadrado. Assim, a recta s, em rebatimento (sr), passa por B r e Dr – uma vez que s é a recta suporte da diagonal [BD], ve-
B B
rifica-se que sr passa por Or. A recta sr é concorrente com hρr no ponto H’r – H’ é o traço horizontal da recta s. H’ é um ponto da charneira
(é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’r ≡ H’1 – H’2 situa-se no eixo X. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto
F’r – F’ é o traço frontal da recta s. Para determinar as projecções de F’ conduziu-se, por F’r, uma perpendicular à charneira (que corresponde
ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 sobre o eixo X – F’2 determinou-se em seguida,
sobre f ρ (F’ é um ponto de f ρ). A partir das projecções de H’ e de F’ desenharam-se as projecções da recta s (note que as projecções da
F
recta s passam necessariamente pelas projecções homónimas de O). Conduzindo, por B r e Dr, as perpendiculares à charneira que por
eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) determinaram-se as
projecções de B e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se
as suas projecções.
190.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, e o pon-
to P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é um
ponto de hρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com
cota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] do qua-
P
drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um
ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisa-
mente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directa-
mente em projecções. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Pro-
jecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por
rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ
– hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1, pois P é um
ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A
(A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente, para rebater f ρ).
A
O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício anterior
para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo
X). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo
que o lado [PQ] faz com hρ – 30°) e determinou-se Qr, a 4 cm de Pr. A
P
partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, ob-
tendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do
plano – as rectas r e s, que são as rectas suporte de dois lados do qua-
drado. A recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado [PS] – Fr é o
P
ponto de concorrência entre r r e f ρr (F é o traço frontal da recta r). As
F
projecções de F determinaram-se conduzindo, por F r , uma perpen-
dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) – F1 situa-se no eixo X e F2 situa-se sobre f ρ. As projecções da recta r determinam-se imediatamente,
a partir das projecções homónimas de F e de P (P é o traço horizontal da recta r). Para determinar as projecções do ponto S conduziu-se,
P
por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – as projec-
ções de S estão sobre as projecções homónimas da recta r (o ponto S é um ponto da recta r). A recta sr é, em rebatimento, a recta suporte
do lado [Q R] – as rectas r r e sr são paralelas entre si. H’r é o ponto de concorrência da recta sr com hρr – H’ é o traço horizontal da recta s e
Q
é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no eixo X. F’r é o
ponto de concorrência entre sr e f ρr (F’ é o traço frontal da recta s). As projecções de F’ determinaram-se de forma semelhante à exposta
F
para o ponto F. As projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de F’ e de H’. Para determinar
as projecções dos pontos Q e R conduziram-se, por Qr e por R r, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem
aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) – as projecções de Q e R estão sobre as projecções
homónimas da recta s (Q e R são dois pontos da recta s). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas
Q
projecções. Note que o ponto F’ não é fundamental para a determinação das projecções da recta s, pois esta poderia estar definida por um
ponto (H’ o seu traço horizontal) e por uma direcção (a direcção da recta r, pois as duas rectas são paralelas).
H
65

8. SOLUÇÕES
191. Um plano de rampa paralelo ao β2/4 é necessariamente ortogonal ao β1/3,
pelo que o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Com
base no raciocínio acima apresentado, em primeiro lugar representou-se o pla-
no ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida constatou-se que
não é dada a medida do lado da figura. No entanto, sendo dado que o lado
[A B] pertence ao Plano Frontal de Projecção, sabe-se imediatamente que
A
[A B] tem afastamento nulo, pelo que A e B são dois pontos de fρ. Por outro
A
lado, uma vez que o lado [DE] pertence ao Plano Horizontal de Projecção,
D
sabe-se imediatamente que [DE] tem cota nula, pelo que D e E são dois pon-
D
tos de hρ. Por outro lado, ainda, sabendo que as diagonais [AE] e [BD] são de
A B
perfil, é possível, de forma imediata, representar os pontos A e E pelas respec-
tivas projec-ções, pois os dois pontos têm a mesma abcissa – não é possível
representar os pontos B e D, pois não é conhecida a medida do lado do hexá-
gono. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto
A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e o ponto E é um ponto do Plano
Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados é in-
distinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano
Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizon-
tal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediata-
mente Er ≡ E1, pois E é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que
rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto A (A é um ponto de fρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no
A
relatório do exercício 189 para o rebatimento de F. Por Ar conduziu-se fρr, pa-
ralelo a hρr (e ao eixo X). Em rebatimento, já temos dois pontos do hexágono
em V.G. – Ar e Er são dois extremos de uma das diagonais menores do hexá-
gono, pelo que a construção do hexágono requer um raciocínio particular. Esse raciocínio é que a diagonal [AE] do hexágono faz, com a diago-
A
nal [AD], um ângulo de 30o (a diagonal [AD] contém dois vértices diametralmente opostos do hexágono e, por isso mesmo, contém o centro da
A A
figura). Por outro lado, sabe-se que D é um ponto de hρ. Assim, a partir de Ar mediram-se 30o em V.G. e obteve-se Dr sobre hρr – uma vez que a
diagonal [BD] é de perfil e B é um ponto de fρ, a determinação de Br, sobre fρr é imediata. As diagonais [AD] e [BE] bissectam-se no centro do
B A B
O
hexágono (que é o centro da circunferência circunscrita ao hexágono), o que nos permitiu determinar Or (O é o centro da figura). Com o
compasso, fazendo centro em Or e raio até Ar (ou até Br ou até Dr ou até Er, pois todos estes pontos estão equidistantes de Or), desenhou-se a
circunferência circunscrita ao hexágono (a circunferência passa pelos quatro pontos). Em seguida, construiu-se o hexágono em V.G., em rebati-
mento, obtendo Cr e Fr. Para determinar as projecções da figura, há que inverter o rebatimento, o que se processa invertendo o rebatimento de
cada um dos pontos. A inversão do rebatimento dos pontos D e B é imediata, com o recurso a uma perpendicular à charneira que contém os
dois pontos (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém os respectivos arcos do rebatimento, que é o mesmo plano). D1 ≡ Dr,
pois D é um ponto da charneira e D2 situa-se no eixo X. B 1 situa-se no eixo X, pois B é um ponto de f ρ (tem afastamento nulo) e B 2 situa-se
sobre f ρ. Os pontos C e F situam-se numa recta fronto-horizontal do plano ρ – essa recta é a recta g, que passa pelo centro da figura – (O). O
Assim, determinaram-se as projecções da diagonal [BE] (poderia ter-se recorrido à diagonal [AD]) e por O conduziu-se uma perpendicular à
B A
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), o que nos permitiu determinar as projec-
ções de O sobre as projecções da diagonal [BE]. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas da recta g – g está defini-
B
da por um ponto (o ponto O) e uma direcção (é fronto-horizontal). Por Cr e Fr conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam
(que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e
F sobre as projecções homónimas da recta g (recorde que C e F são dois pontos da recta g). A partir das projecções dos seis vértices da figura,
desenharam-se as suas projecções.
192.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos da-
dos. Note que não é possível, de forma imediata, determinar as projecções do ponto
O, o centro da circunferência, pois apenas se sabe que a figura é tangente ao dois
planos de projecção – O está necessariamente equidistante dos dois traços do pla-
no. Este raciocínio permitir-nos-ia determinar as projecções de O com alguns traça-
dos auxiliares, mas optou-se por determinar o ponto O previamente em
rebatimento. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebati-
mento do plano para o Plano Horizontal de Projecção (ao nível da economia de tra-
çados, é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o
Plano Frontal de Projecção), pelo que a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr. Para rebater o
plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto A (A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente,
A
para rebater f ρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício
189 para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo X). Em
rebatimento, determinou-se Or, equidistante de f ρr e de hρr (optou-se por localizar
Or no plano de perfil que contém A, mas tal não é essencial – tem vantagens ape-
nas ao nível da economia de traçados). Com centro em Or, desenhou-se a circunfe-
rência em V.G., em rebatimento, tangente a f ρr e a hρr (note que a circunferência é
(Continua na página seguinte)
66

9. SOLUÇÕES
tangente a f ρr em A r. As duas projecções da circunferência serão e l i p s e s, cujo desenho requer, no mínimo, oito dos seus pontos, para além
do paralelogramo envolvente e, de preferência, os seus dois eixos. Note que o diâmetro que não sofre deformação em projecção frontal é o
mesmo que também não sofre deformação em projecção horizontal (é o diâmetro fronto-horizontal da circunferência) – esse diâmetro é aque-
le que nos dará os eixos maiores das duas elipses. Por outro lado, o diâmetro da circunferência que sofre a deformação máxima em projec-
ção frontal é o mesmo que também sofre a deformação máxima em projecção horizontal (é o diâmetro de perfil da circunferência) – esse
diâmetro é aquele que nos dará os eixos menores das duas elipses. O eixo de homologia é a charneira, que é hρ. Assim, inscreveu-se a cir-
cunferência num quadrado de lados paralelos a hρ (o quadrado [PQRS]) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais (que se
P
bissectam duas a duas em Or). Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado dão-nos, imediatamente, os extremos dos
dois eixos das elipses – a mediana fronto-horizontal é o diâmetro cujas projecções são os eixos maiores das duas elipses, enquanto que a
mediana de perfil é o diâmetro cujas projecções são os eixos menores das duas elipses. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos vértices
do quadrado e determinaram-se as duas projecções da figura (o quadrado), a partir dos seus vértices – um dos lados do quadrado está con-
tido em hρ e outro lado está contido em f ρ. Note que as duas projecções do quadrado são rectângulos. Em seguida, desenharam-se, em pro-
jecções, as medianas e das diagonais do quadrado (as diagonais e as medianas dos dois rectângulos). Os pontos em que as medianas do
quadrado se apoiam nos seus lados (em projecções) são, imediatamente, quatro pontos de cada uma das elipses e são, também, os pontos
de tangência das elipses aos lados do quadrado (dos rectângulos que são as projecções do quadrado). Já temos quatro pontos para o dese-
nho de cada uma das elipses. Os outros quatro pontos são os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado – es-
tes transportaram-se para as projecções das diagonais através das perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos
planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento). A partir dos oito pontos assim determinados, desenharam-
-se as duas elipses que são as projecções da circunferência pedida, atendendo às situações de tangência atrás referidas.
193. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço hori-
zontal (o único que é dado, uma vez que o plano ρ está definido
pela sua orientação), bem como o ponto A, pelas suas projec-
ções, em função dos dados – A é um ponto de hρ, que é uma
recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma
vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por
rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a char-
neira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1,
pois A é um ponto da charneira. Note ainda que não seria possí-
vel rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, pois não
é conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, a
charneira). Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, mesmo sem este ser conhecido. Para rebater fρ é neces-
sário rebater um dos seus pontos – considerou-se um ponto P,
qualquer, pertencente a fρ. Uma vez que P será um ponto com
afastamento nulo, sabe-se imediatamente que P1 se situa no eixo
X. No sentido de uma maior economia de traçados, optou-se por
se situar o ponto P no plano de perfil que contém A, pelo que
se tem P1 ≡ A2. O plano de perfil que contém os dois pontos é o
plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento
de P e, por conseguinte, também contém o triângulo do rebati-
mento de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o
triângulo [APP1] (note que A é o ponto de intersecção da char-
A
neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que A é
o centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [APP1] é rec-
A
tângulo em P1 e a hipotenusa [A P] está contida numa recta de
A
perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de
perfil que contém o triângulo). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude
que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Horizontal de Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa
[A P] faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 60o, sendo que P se situa no SPFS. Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento
A
de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com vértice em Ar mediu-se o ângulo de 60o com hfr, obtendo Pr1 no eixo X. Pr1
é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso,
A
fazendo centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se con-
duziu fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebati-
mento de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P, em V.G.), desenhou-se um
arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
obtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. A partir de todos os procedimentos efectuados, que consistiram em rebater o plano ρ que estava definido por
uma recta e pela sua orientação, passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das projecções do quadrado [A BCD]. Note
A
que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] do quadrado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um ângulo em projec-
A
ções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções.
Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restante resolução com a leitura daquele relatório.
67

10. SOLUÇÕES
194.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço
horizontal (o único dado concreto, uma vez que é referido
que os traços do plano distam, entre si, 9 cm, e essa medida
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-
ção), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados – A é um ponto de h ρ, que é uma recta
horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo
que é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-
liar. O ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
pelo que se rebateu o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr) – tem-se imedia-
tamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Note que
não seria possível rebater o plano ρ para o Plano Frontal de
Projecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que se-
ria, nessa situação, a charneira). Para rebater o plano ρ há
que rebater o seu traço frontal, mesmo sem este ser conheci-
do. Para rebater fρ é necessário rebater um dos seus pontos
– considerou-se um ponto P, qualquer, pertencente a fρ. Uma
vez que P será um ponto com afastamento nulo, sabe-se
imediatamente que P1 se situa no eixo X. No sentido de uma
maior economia de traçados, optou-se por se situar o ponto
P no plano de perfil que contém A, pelo que se tem P1 ≡ A2.
O plano de perfil que contém os dois pontos é o plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P e,
por conseguinte, também contém o triângulo do rebatimento
de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o triân-
gulo [APP1] (note que A é o ponto de intersecção da char-
A
neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que
A é o centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [APP1] é rectângulo em P1 e a hipotenusa [A P] está contida numa recta de perfil (que é a
A A
recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo) – [A P] mede 9 cm, que é a distância entre os dois traços do plano.
A
Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com o recurso ao compasso,
fazendo centro em Ar e com 9 cm de raio (a distância entre os dois traços do plano) determinou-se Pr1 no eixo X (Pr1 está a 9 cm de Ar). Pr1 é o
P
ponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso, fazen-
A
do centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se conduziu
fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebatimento
de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (o raio é 9 cm, que é a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P), desenhou-se um
arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
obtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] do triângulo faz com o traço horizontal do plano) é um ân-
A
gulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível
representá-lo directamente em projecções. Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restan-
te resolução com a leitura daquele relatório. Após a construção do triângulo [A BC] em V.G., em rebatimento, para determinar as projecções da
A
figura é necessário inverter o rebatimento, invertendo o rebatimento dos pontos B e C. Para tal recorreu-se a uma recta r, que contém os dois
pontos – a recta r é a recta suporte do lado [B C] do triângulo. A recta rr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [B C]. Hr é o ponto de concor-
B B
rência da recta rr com hρr – H é o traço horizontal da recta r e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem
imediatamente H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Fr é o ponto de concorrência entre rr e fρr (F é o traço frontal da recta r). As projecções de F
F
determinaram-se de forma semelhante à exposta para o ponto F no relatório do exercício 189. As projecções da recta r determinam-se imediata-
mente, a partir das projecções homónimas de F e de H. Para determinar as projecções dos pontos B e C conduziram-se, por Br e por Cr, as
perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do
rebatimento) – as projecções de B e C estão sobre as projecções homónimas da recta r (B e C são dois pontos da recta r). A partir das projec-
B
ções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
195.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Para
determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Na presente situa-
ção, não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de
traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto P
recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento. Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P (note que não se identificou o ponto O, que é o
ponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P). O triângulo do rebatimento de
P é [OPP1], que é rectângulo em P1, e o comprimento da sua hipotenusa ([OP]) é a distância que nos permite rebater P. Construiu-se o triân-
O O
gulo do rebatimento de P em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco
(Continua na página seguinte)
68

11. SOLUÇÕES
do seu rebatimento) – numa paralela à charneira que passa por P1
representou-se a cota de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento
de P em V.G. é [OPr1P1]. Com centro em O transportou-se OPr 1 para
O
a perpendicular à charneira que passa por P1, obtendo Pr. A partir de
Pr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, de acordo com
os dados – Qr está no eixo X (Q é um ponto do eixo X), à direita de P,
Q
tal que Pr Qr = 6 cm (que é a medida do lado do polígono). A constru-
ção do quadrado em rebatimento permitiu-nos determinar também R r
e Sr. Para determinar as projecções do quadrado, há que inverter o
rebatimento e determinar as projecções de Q, R e S. Q é um ponto
da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suas
projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento
de S recorreu-se a uma recta do plano – a recta r, que é a recta su-
porte do lado [PS] do quadrado. A recta rr é a recta r em rebatimento
P
e passa por Pr e por Sr. A recta rr é concorrente com o eixo X (que é a
charneira) num ponto, que é fixo (roda sobre si próprio) – as projec-
ções da recta r determinaram-se imediatamente, a partir do seu ponto
de concorrência com o eixo X e das projecções do ponto P. Condu-
zindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas
da recta r. Para inverter o rebatimento do ponto R recorreu-se a outra
recta do plano – a recta s, que é a recta suporte do lado [QR] do quadrado. A recta s é paralela à recta r. A recta sr passa por Qr e por R r e é
Q
paralela a rr. Q é o ponto de concorrência da recta s com o eixo X, e é fixo – as projecções da recta s desenharam-se imediatamente, pois a
recta está definida por um ponto (o ponto Q) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por R r, uma perpendicular à charneira (que
corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de R sobre as projecções
homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.
196.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que
estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto A . Para
determinar as projecções do triângulo, há que rebater previamente o
plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano
ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Nesta situação
não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual
se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de
traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o
ponto A recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento, o que consiste
no processo exposto no relatório do exercício anterior para o rebati-
mento do ponto P, pelo que se aconselha a leitura do respectivo rela-
tório. A partir de A r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,
de acordo com os dados – B r está no eixo X (B é um ponto do eixo X),
B
à direita de A , tal que A r B r = 7 cm (que é a medida do lado do polígo-
no). A partir de A r e de B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebati-
mento, e determinou-se C r . Para determinar as projecções do
triângulo, há que inverter o rebatimento e determinar as projecções de B e C. B é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é
fixo), pelo que as suas projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de C recorreu-se a uma recta do plano – a
recta s. A recta s é uma recta do plano ρ, paralela a uma outra recta do plano ρ – a recta r, que é a recta suporte do lado [A B] do triângulo.
A
A recta r r é a recta r em rebatimento e passa por A r e por B r. As projecções da recta r determinam-se imediatamente, a partir das projecções
homónimas de A e B (note que a recta r é apenas uma recta auxiliar, essencial à determinação das projecções da recta s). A recta sr passa
por Cr e é paralela a r r. A recta sr é concorrente com o eixo X num ponto que é fixo – as projecções da recta s determinam-se imediatamente,
a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X, sendo paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas e
a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta s.
A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
69

12. SOLUÇÕES
197.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão
coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Os dados do
enunciado permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal do ponto
A. Para determinar a projecção horizontal de A recorreu-se a uma recta r,
do plano, passando por P e por A – as projecções da recta r (que é uma
recta passante) desenharam-se a partir da sua projecção frontal, que pas-
sa por P2 e por A2. A1 situa-se sobre r1, na linha de chamada de A2. Para
determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o pla-
no ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não
se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é
paralelo a nenhum dos planos de projecção). Mais uma vez não há qual-
quer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá reba-
ter o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se
por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é fρ,
que é o próprio eixo X). Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P
(note que não se identificou o ponto O, que é o ponto de intersecção da
charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebati-
mento de P). O triângulo do rebatimento de P é [OPP2], que é rectângulo
O
em P2, e o comprimento da sua hipotenusa ([OP]) é a distância que nos
O
permite rebater P. Construiu-se o triângulo do rebatimento de P em V.G.
(pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogo-
nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – numa paralela à
charneira que passa por P2 representou-se o afastamento de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento de P em V.G. é [OPr1P2]. Com centro
O
em O transportou-se OPr1 para a perpendicular à charneira que passa por P2, obtendo Pr. A partir de Pr rebateu-se a recta r – rr fica definida por
Pr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo. Conduzindo, por A2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano or-
togonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Ar sobre rr (A é um ponto da recta r). Note que o ângulo dado (o ân-
A
gulo que o lado [A B] do triângulo faz com o eixo X) é um ângulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais
A
precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. Assim, em rebatimento, a partir de A r,
mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] faz com o eixo X – 60o) e determinou-se Br, a 5 cm (a medida do lado do quadrado) de Ar.
A
A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do
plano – as rectas a e b, que são as rectas suporte de dois lados do quadrado. A situação exposta é, assim, semelhante à utilizada para inverter o
rebatimento do plano ρ no exercício 195, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório.
198.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços
(que estão coincidentes com o eixo X). Uma vez que é dada a
orientação do plano ρ, não nos é possível determinar as pro-
jecções do ponto A – os dados do enunciado permitiram-nos,
apenas, determinar a projecção horizontal do ponto A. Para
determinar as projecções do triângulo, há que rebater previa-
mente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebati-
mento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum
dos planos de projecção). Mais uma vez não há qualquer dife-
rença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá
rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traça-
dos. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para reba-
ter o plano ρ é necessário rebater o ponto A , para o que é
necessário o recurso ao seu triângulo do rebatimento. O triân-
gulo do rebatimento de A, no espaço, é o triângulo [OAA1] – O
O
é o centro do arco do rebatimento de A e é o ponto de inter-
secção da charneira com o plano de ortogonal à charneira
que contém o triângulo do rebatimento de A . O triângulo
[OAA1] é rectângulo em A 1 e a hipotenusa [OA] está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de
O O
perfil que contém o triângulo do rebatimento de A). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa (um plano passante é um plano de rampa)
faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Frontal de
(Continua na página seguinte)
70