Solucoes ex (dragged)

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Solucoes ex (dragged)

  1. 1. SOLUÇÕES18R EPRESENTAÇÃO DE S ÓLIDOS III338.Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e ospontos A e C, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, emfunção dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seustraços são simétricos em relação ao eixo X. A é um ponto de hα,que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A e Csituam-se no mesmo plano de perfil (situam-se na mesma recta deperfil), pelo que têm a mesma abcissa e C é um ponto de f α, que éuma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Umavez que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum Ados planos de projecção, para construir as suas projecções dabase da pirâmide, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal deProjecção – a charneira foi hα e tem-se imediatamente A r ≡ A 1. Noteque, em termos de economia de traçados, seria indistinto o rebati-mento para qualquer dos dois planos de projecção, pois o ponto Cé um ponto do Plano Frontal de Projecção. O ponto C foi o pontoque nos permitiu rebater f α. Em rebatimento, construiu-se o quadra-do [A BCD] em V.G. e determinou-se Or, o centro do quadrado em Arebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectasfrontais (de frente) do plano, obtendo-se as projecções de B e D(ver exercício 180) – note que se omitiram as notações referentes àsrectas frontais (de frente) que nos permitiram inverter o rebatimentode Br e Dr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resoluçãográfica apresentada. A partir das projecções dos quatro vértices doquadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecçõesdo sólido). As projecções de O determinaram-se directamente a partir do desenho das projecções das diagonais do quadrado. Em seguida,pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide.Note que a recta p é uma recta passante nesta situação particular. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 6 cm de O. Como a recta p éoblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o Orecurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano γ) para o Plano Horizontal deProjecção – a charneira foi hγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrênciacom o eixo X (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). A recta pr fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X(note que Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 6 cm (a altura dapirâmide), obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as pro-jecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o con-torno aparente frontal é [A 2B2V2C2D2] e o contorno aparente horizontal é [A 1V1B1C1D1]. Em projecção frontal, todos os vértices integram o A Acontorno aparente frontal. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [B CV] pelo que a aresta [B C] da base é a única B Baresta invisível em projecção frontal (as restantes arestas são todas visíveis). Também em projecção horizontal se tem que todos os vérticesintegram o contorno aparente horizontal. Também nesta projecção a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [A BV] pelo que a Aaresta [A B] da base é a única aresta invisível em projecção horizontal (as restantes arestas são todas visíveis). A339.Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos da-dos. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 2 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-ções do ponto O. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dosplanos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde aoplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano δ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixoX, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até àperpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – f δr passa por Fr e é concorrente com hδr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é para-lela a hδr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebati-mento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seurebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Uma vez que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hδ, com centro em Or dese-nhou-se uma circunferência tangente a hδr – o vértice A do polígono, porque tem cota nula, é o ponto de tangência da circunferência com hδr.Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A éum ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos B, C, D e E (Continua na página seguinte) 127
  2. 2. SOLUÇÕES processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano que por eles passam, obtendo-se as suas projec- ções (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentes às rectas horizontais (de ní- vel) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfi- ca apresentada. A partir das projecções dos cinco pontos, desenharam-se as projecções do pentágono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer- cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas pro- jecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a δ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm (a altura da pirâmide) de O. Como a recta p é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se pro- O jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante frontal da recta p (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu traço horizontal, H. A recta pr fica definida por Or1 (Or1 é o ponto O no seu segundo rebati- O mento – o rebatimento do plano γ) e por Hr. Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo- se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contor- nos aparentes – o contorno aparente frontal é [A2V2D2E2] e A o contorno aparente horizontal é [B1V1E1D1C1]. Em projec- B ç ã o f r o n t a l, há dois vértices que não integram o contorno aparente – C e D. Estes são os vértices de menor afastamento do sólido, pelo que são invisíveis (bem como todas as ares- tas que neles convergem). A base do sólido é invisível, bem como as faces laterais [A BV], [B CV] e [CDV]. A aresta lateral [EV] é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces late- A B C E rais [AEV] e [DEV]. Em projecção horizontal, o vértice A é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal – este é invisível (por A D ser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, a base do sólido é invisível, tal como as faces laterais [A BV] e [AEV]. As restantes faces laterais são visíveis, bem como as restantes arestas. A A 340. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas pro- jecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção (A tem afastamento nulo), pelo que é um ponto de f α. O ponto B é A B um ponto do Plano Horizontal de Projecção (B tem cota nula), pelo que é um ponto de hα. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coinci- dentes – estes estão coincidentes na recta que passa por A 2 e por B1. O triân- gulo [A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção A (o plano que o contém – o plano α – é oblíquo a ambos os planos de projec- ção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Em termos de economia de traçados, é indistinto o plano de projecção para o qual se processe o rebatimento do plano α, pois temos um ponto de cada plano de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Hori- zontal de Projecção – a charneira é hα e B r ≡ B 1, pois B é um ponto da char- neira. É necessário rebater f α, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A . Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati- mento) – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos tra- ços do plano e raio até A 2, transportou-se essa distância para a perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo A r. O traço frontal do plano rebatido (f αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r cons- f truiu-se o triângulo [A B C] em V.G., em rebatimento e, com vista à determina- A ção das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto O. A inversão do rebatimento dos pontos O e C processou-se com (Continua na página seguinte)128
  3. 3. SOLUÇÕESo recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo relatório. A recta f é a recta frontal (de frente)que nos permitiu determinar as projecções de C. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de O. Apartir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliarpara o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimasde uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem cota nula, é o traço ho-rizontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partirdas projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [B2V2C2] e o Bcontorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A . Este é Ao vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisí-vel, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV]. Em projecção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, as A Afaces laterais [A BV] e [B CV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [BV] (a aresta que separa aquelas faces) é invisível. Já a aresta [A C] da A B B Abase é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – a base e a face lateral [ACV]. A341.Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seustraços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencenteao plano, em função dos dados. O plano α tem os seustraços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h,horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm decota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinaras projecções do ponto O. O plano α não é paralelo a ne-nhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo nãose projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção– é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-liar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizon-tal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Pararebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o quese processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F(traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu--se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corres-ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento). Os traços do plano α são concorren-tes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um pontoda charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-tro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distân-cia até à perpendicular à charneira que passa por F1 eobteve-se Fr – f αr passa por Fr e é concorrente com hαr noeixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectashorizontais de um plano são paralelas entre si e paralelasao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções eem rebatimento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charnei-ra que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio,desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e deacordo com os dados – o lado [A B] é horizontal (é paralelo a hαr), sendo A o vértice de maior afastamento e C o vértice de menor cota A(o vértice que se situa mais próximo de hαr). Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectashorizontais (de nível) do plano que por eles passam (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentesàs rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolu-ção gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata--se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-seas projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porquetem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qual-quer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contornoaparente frontal é [B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno B Aaparente – o vértice A . Este é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem).A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV] (a face lateral [B CV] é a única face invisível em projecção frontal). Em A A Bprojecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que éinvisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face lateral [A BV] é a única face visível em projecção horizontal – a base e as Arestantes faces são invisíveis. 129
  4. 4. SOLUÇÕES 342. Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas respectivas projecções, em função dos dados, e desenharam-se as projecções da recta r. Em seguida, uma vez que A é o traço frontal da recta r, foi possível desenhar imediatamente f ψ, passando por A 2 e perpendicular a r 2. Para determinar hψ poder-se-ia determinar o traço horizon- tal da recta r, mas optou-se por conduzir, por O, uma recta frontal (de frente) f, do plano (paralela a f ψ) – H é o traço horizontal da recta f. O traço horizontal do plano, hψ, passa por H1 e é concorrente com f ψ no eixo X. O plano ψ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geo- métrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Pla- no Frontal de Projecção, com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por rebater o plano ψ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr e tem- -se imediatamente A r ≡ A 2). Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebaten- do um dos seus pontos – o ponto H (traço horizontal da recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto- gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano ψ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até H1, transportou-se essa distância até à perpendi- cular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr – hψr passa por Hr e é concorrente com f ψr no eixo X. A recta f r passa por Hr e é paralela a f ψr. Conduzindo, por O2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto- gonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento) determinou-se Or sobre f r. A recta r r fica definida por A r e por Or. Note que não se- ria possível rebater o ponto O exclusivamente através do rebatimento da recta r, o que justifica o facto de se ter recorrido a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por O. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A inversão do rebatimento dos pontos B e D efec- tuou-se com o recurso à recta frontal (de frente) f, que passa por O, pois os dois pontos pertencem à mesma recta. A inversão do rebati- mento do ponto C processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano, passando por C – note que se omitiram as notações referentes à projecção frontal da recta horizontal (de nível) que nos permitiu inverter o rebatimento de Cr, com vista a não sobre- carregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Omitiu-se a representação da projecção horizontal da recta horizontal (de nível), pois C é um ponto da recta r e, assim, as projecções de C situam-se sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do polígono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o quadrado [A B CD] é uma base de um prisma situado no 1o Diedro, A pelo que se infere que se trata da base inferior do sólido. Assim, em seguida conduziu-se, por C, uma recta p, ortogonal ao plano ψ – a recta p é a recta suporte da aresta lateral [CC’] do prisma, que mede 5 cm (a altura do prisma). Como a recta p é oblíqua aos dois planos de projec- C ção, o segmento [CC’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo- C métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e H’, o seu traço horizontal. A recta pr fica definida por Cr 1 e H’r (note que Cr 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre pr, a partir de Cr 1, medi- ram-se os 5 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1º Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se as projecções de C’, sobre as projecções homónimas da recta p. As projecções de A’, B’ e D’, os restantes vértices da base superior, deter- minaram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os A A seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ψ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de C’, conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta suporte da B aresta lateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de C’, e ainda para A’, a partir de B B’ ou de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente f r o n t a l é [B 2C2D2D’2A’2B’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1D1C1C’1B’1A’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não in- B A tegram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). A base [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a base [A B CD] é invisível em ambas as A A projecções.130
  5. 5. SOLUÇÕES343.Em primeiro lugar representou-se o plano λ, pelos seustraços, e os pontos R e S, pelas suas projecções e perten-centes ao plano, em função dos dados. O ponto R é umponto de h λ, pois tem cota nula. A recta h , horizontal(de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi arecta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-ções do ponto S. O plano λ não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção, pelo que o triângulo não se projectaem V.G. em nenhum dos planos de projecção – é neces-sário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Comvista a uma maior economia de traçados, e uma vez que oponto R é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,optou-se por rebater o plano λ para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hλ – hλ ≡ e1 ≡ hλr e tem-se imedia-tamente Rr ≡ R1). Para rebater o plano λ há que rebater oseu traço frontal, o que se processa rebatendo um dosseus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), porexemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicularà charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-neira que contém o arco do seu rebatimento). Os traçosdo plano λ são concorrentes num ponto fixo (um ponto doeixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso aocompasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2,transportou-se essa distância até à perpendicular à char-neira que passa por F1 e obteve-se Fr – fλr passa por Fr eé concorrente com hλr no eixo X. A recta hr passa por Fr e éparalela a hλr. Por S1 conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Sr sobre hr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,obtendo Tr. A inversão do rebatimento de T processou-se com o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por T (recta f). A partirdas projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo doexercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o triângulo [R’S’T’] é a base superior do prisma, pelo que se Rinfere que o triângulo [RST] é sua base inferior. Por outro lado, sabe-se que o vértice S’, da base superior, tem afastamento nulo – assim, em Rseguida conduziu-se, por S, uma recta p, ortogonal ao plano λ (a recta p é a recta suporte da aresta lateral [SS’] do prisma). O ponto S’ é ime- Sdiatamente o traço frontal da recta p. As projecções de R’ e T’, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que oslados do triângulo [R’S’T’] são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST] e que os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais R Ra λ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de S’ conduziram-se as projecções da recta suportedo segmento [R’S’], paralelas às projecções homónimas de [RS], até encontrarem as projecções homónimas da recta p’ (a recta suporte da R Raresta lateral [R R ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é R’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de S’ (a recta suporte da aresta Rlateral [T T’] é a recta p’’). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno Taparente frontal é [R 2S2S’2T’2R’2] e o contorno aparente horizontal é [S1T1T’1R’1S’1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não R Sintegra o contorno aparente – o vértice T’, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas quenele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice demenor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base [RST] é visível em projecção frontal e invisível em Rprojecção horizontal. A base [R’S’T’] é visível em projecção horizontal (a aresta [S’T’] da base é visível) e invisível em projecção frontal (a R Saresta [R’S’] da base é invisível). R344.Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dosdados. O plano γ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cmde cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano γ não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hγ – hγ ≡ e1 ≡ hγr). Para rebater o plano γhá que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo.Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do pla-no (que é um ponto fixo) e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo-se Fr. O tra-ço frontal do plano rebatido, f γr, passa por Fr e é concorrente com hγr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hγr (rectas horizontaisde um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira e determi-nou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo econstruiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de acordo com os dados – o lado [A B] é frontal (é paralelo a Af γr), sendo A o vértice de maior cota. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas frontais(de frente) do plano que por eles passam (ver exercício 187 e respectivo relatório). A partir das projecções dos três vértices do triângulo,desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do (Continua na página seguinte) 131
  6. 6. SOLUÇÕES sólido) – note que o lado [A B ] é frontal A (paralelo a f γ), o lado [B C ] é horizontal B (paralelo a h γ) e o lado [A C] é de perfil. A Em seguida conduziu-se, por C, uma recta c, ortogonal ao plano γ – a recta c é a rec- ta suporte da aresta lateral [CC’] do pris- C ma, que mede 4 cm (a altura do prisma). Como a recta c é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [C C ’ ] não se C projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o re- curso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta c (o plano α) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α (recta e’). A recta c rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e F’, o seu traço frontal. A recta c r fica definida por C r 1 e F’ r (note que C r 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre c r, a partir de C r 1, mediram-se os 4 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’ r (garantindo que C’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o re- batimento de α, obtendo-se as projecções de C’ sobre as projecções homónimas da recta c. As projecções de A’ e B’, os ou- tros dois vértices da base superior, deter- minaram-se atendendo a que os lados do triângulo [A’B’C’] são paralelos aos lados A correspondentes do triângulo [A B C] e que A os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a γ (paralelas à recta c) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projec- ções de C’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a rec- B ta suporte da aresta lateral [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para A’ – pelas projecções de C’ B conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta a (a recta suporte A da aresta lateral [A A ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é A’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam- A se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2A’2B’2B 2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1B’1C’1C1]. Em A A projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’, que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contor- no aparente – o vértice A’, que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. A base [A’B’C’] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal. A base [A B C] é visível em projecção frontal e invisível em A A projecção horizontal – a aresta [A B] da base é visível em projecção frontal e a aresta [B C] da base é invisível em projecção horizontal. A B 345. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas projecções, em fun- ção dos dados. O ponto A é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto B é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto B é um pon- to do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que re- bater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A , que é um ponto de f α. Para tal conduziu-se, por A 1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) e raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo-se A r. O traço frontal do plano rebatido, f αr, passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o re- batimento dos pontos C e D, recorreu-se à recta suporte do lado [CD] do quadrado – a recta s. A recta sr passa por Cr e Dr e é paralela à C recta r r, que é a recta que passa por A r e B r (a recta r é a recta suporte do lado [A B] do quadrado). As projecções da recta r determinam-se A imediatamente – estão definidas pelas projecções homónimas de A e B. A recta sr é concorrente com hαr no ponto Hr – H é o traço horizon- tal da recta s. As projecções de H determinam-se imediatamente, pois H é um ponto da charneira (é fixo). A recta s fica definida por um pon- to (H) e por uma direcção (é paralela à recta r ), o que nos permitiu desenhar as projecções da recta s – passam pelas projecções H homónimas de H e são paralelas às projecções homónimas da recta r. Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por (Continua na página seguinte)132
  7. 7. SOLUÇÕESeles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-seas projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam--se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Emseguida conduziu-se, por A , uma recta a, ortogonal ao plano α – a recta a é a recta suporte da aresta [A A ’] do cubo, cujo comprimento será Aigual ao lado do quadrado [A r B r Cr Dr]. Como a recta a é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [A A ’] não se projecta em V.G. A Aem nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano pro-jectante horizontal da recta a (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta a rebateu-se com o recursoa dois dos seus pontos – o ponto A (que é o seu traço frontal) e um ponto P, qualquer, da recta. A recta ar fica definida por A r 1 e Pr (noteque A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Transportou-se a medida do lado do quadrado [A r B r Cr Dr] Apara ar, a partir de A r 1, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecçõesde A’ sobre as projecções homónimas da recta a. As projecções de B’, C’ e D’, os outros três vértices da face superior do cubo, determina-ram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os seus A Avértices estão sobre as rectas ortogonais a α (paralelas à recta a) que contêm as respectivas arestas. Assim, pelas projecções de A’ condu-ziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a recta suporte da Aaresta [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’ – pelas projecções de A’ conduziram-se as Bprojecções da recta suporte do segmento [A’D’], até encontrarem as projecções homónimas da recta d (a recta suporte da aresta [DD’]) e o A Dponto de concorrência das duas rectas é D’. Por fim, repetiu-se uma vez mais o processo descrito para C’ – pelas projecções de B’ (ou de D’)conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’] (ou do segmento [C’D’]), até encontrarem as projecções homónimas da B Crecta c (a recta suporte da aresta [CC’]) e o ponto de concorrência das duas rectas é C’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, Cdesenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [B 2B’2A ’2D’2D2C2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é B[A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de Amaior afastamento do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menorafastamento do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existemdois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota do cubo, pelo que é visível bem como todasas arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas quenele convergem). A face [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a face [A B CD] é invisível em ambas as projecções. A A 133
  8. 8. SOLUÇÕES 346. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e T, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, dese- nharam-se os traços do plano ρ – T tem cota nula, pelo que hρ passa por T1, e R tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa por R 2. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto R é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto T é um ponto do Plano Horizontal de Projec- ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Tr ≡ T1, pois T é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto R (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal conduziu-se, por R , uma perpen- dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – com o compasso, fazendo centro em R 1 e raio até R 2 (o raio é a cota de R ) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de R em V.G. e determinar Rr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por R r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de R r e Tr construiu-se o quadrado em V.G., em reba- timento, determinando Sr e Ur, bem como Or (O é o centro da O circunferência circunscrita ao quadrado). Para inverter o reba- timento de Sr conduziu-se, por Sr , uma recta sr, paralela à recta r r – a recta r é a recta que passa por R e T, cujas projec- ções se determinaram imediatamente. O traço horizontal da recta s é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente (note que não se identificou o traço horizontal da recta s, nem em projecções nem em rebatimento, de forma a não sobrecarregar visual- mente a resolução gráfica apresentada). A recta s, em projecções, fica definida por um ponto (o seu traço horizontal) e por uma direcção (é paralela à recta r), o que nos permitiu desenhar imediatamente as suas projecções, paralelas às projecções homónimas da recta r. Condu- zindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), de- terminaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta s. Repetiu-se o processo para o ponto U – a recta m é a recta paralela à recta r que passa por U e está igualmente definida por um ponto e uma direcção (as projecções do ponto U determinaram-se a partir das projecções da recta m). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções do ponto O determina- ram-se a partir das duas diagonais do quadrado – O2 é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas diagonais do quadrado e O1 é o ponto de concorrência das projecções horizontais das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O, conduzi- ram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] O não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e ’ ). A recta i r fica definida por Fr e Hr. Note que o ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do O plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir de Or 1, mediram-se os 8 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [S2T2U2V2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é S [R 1S1V1U1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de menor afastamento R do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice T, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. A aresta lateral [TV] é visível em projecção frontal, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces laterais [STV] T S e [TUV]. A aresta lateral [R V] é visível em projecção horizontal, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – as faces laterais T R [RSV] e [RUV]. R R134
  9. 9. SOLUÇÕES347.Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relaçãoao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções de A e B – A tem cota nula, pelo que é umponto de hρ e B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f ρ. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pelo que se situam na mesmalinha de chamada. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projec-ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e queo ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ parao Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou--se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projec-ção – a charneira foi hρ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se proces-sa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por B, uma perpendicular àcharneira – com o compasso, fazendo centro em B 1 e raio até B 2 (a cota de B) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permi-tiu construir o triângulo do rebatimento de B em V.G. e determinar B r (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passapor B r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando Cr (garantindo queC é o vértice de menor abcissa, ou seja, o vértice que se situa mais à direita) e Or (O é o centro do triângulo). Para inverter o rebatimento de OOr conduziu-se, por Or e por B r, uma recta r r – r r é concorrente com hρr no ponto Hr (H é o traço horizontal da recta r e B é o seu traço fron- Htal). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente, o que nos permitiu, em seguida, determinaras projecções da recta r, passando pelas projecções homónimas de H e B. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determina-ram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de r. Cr situa-se na recta fronto-horizontal que passa por Or e cujas projecçõesse determinaram a partir das projecções homónimas de O – conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram--se as pro-jecções de C sobre as projecções homónimas da recta fronto-horizontal. A partir das projecções dos três vértices do triângulo,desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções dosólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixoda pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é orto-gonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersec-ção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H’). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e arecta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 7 cm de O(a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o Orecurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foif π (recta e’). A recta i r fica definida por Fr e H’r. Note que o ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o Oponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partirde Or 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projec-ções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente fron-tal é [A 2B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno A Aaparente – no entanto, a base é invisível em projecção frontal, tal como a face lateral [B CV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta B[B C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos Bos vértices da pirâmide integram também o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral[ACV]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na A Aparte visível do sólido). 135
  10. 10. SOLUÇÕES 348. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. A recta r é a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções do ponto Q (a recta r está definida pelos seus traços, H e F). Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que o ân- gulo dado (o ângulo que um dos lados do triângulo faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência directa em projecções, pois o pla- no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de pro- jecção. Ao nível da economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizon- tal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da recta r) é um ponto da char- neira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma per- pendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou- -se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é para- lelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e Hr conduziu-se r r – conduzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Qr sobre r r. Com centro em Qr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângu- lo e construiu-se o polígono, em V.G., inscrito na circunferência e de acordo com os dados. O ângulo que um lado do triângulo faz com hρ pode, agora, em rebatimento, ser medido em V.G. – o lado [A B] é o lado do triângulo que faz, com hρ, um ângulo de 20o e o vértice C será, A assim, o vértice de menor cota do triângulo. Note que caso se tratasse da outra situação possível, em que C seria o vértice de maior cota do polígono, C não se situaria no espaço do 1o Diedro, o que implica que a situação apresentada é a única solução do problema. Para inverter o rebatimento de A r e Cr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta sr – sr é concorrente com hρr em H’r (H’ é o traço horizontal da recta s) e é H concorrente com f ρr em F’r (F’ é o traço frontal da recta s). A recta s é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. H’ é um ponto da charneira, F A pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente. As projecções de F’ determinaram-se conduzindo, por F’r uma perpendicular à charneira – F’ é um ponto de f ρ. A partir das projecções de F’ e H’, desenharam-se as projecções da recta s. Conduzindo, por A r e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e C sobre as projecções homónimas de s. Para in- verter o rebatimento de B r conduziu-se, por A r e B r, uma recta mr – mr é concorrente com f ρr em F’’r (F’’ é o traço frontal da recta m). A recta F m é a recta suporte do lado [A B] do triângulo. As projecções de F’’ determinaram-se conduzindo, por F’’r uma perpendicular à charneira – F’’ A é um ponto de f ρ. A partir das projecções de A e F’’, desenharam-se as projecções da recta m. Conduzindo, por B r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas de m. A partir das projecções dos três vértices do triângu- lo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação das projecções de V, o vértice da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2C2B 2V2] e o contorno apa- A rente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a base é in- A visível em projecção frontal, tal como a face lateral [A BV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta [A B] da base é invisível (as restantes A A arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram tam- bém o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral [ACV]. Assim, em projecção hori- A zontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). A136
  11. 11. SOLUÇÕES349.Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar asprojecções de B – o lado [A B] é fronto-horizontal e projecta-se em V.G. em ambos os planos de projecção. A recta g é a recta fronto-hori- Azontal que passa por A e B. O plano está definido por um ponto (o ponto A ) e pela sua orientação (é dada a amplitude do diedro que o pla-no faz com o Plano Horizontal de Projecção). O primeiro problema que o exercício nos coloca é a determinação dos traços do plano, o quepoderia ser resolvido com o recurso a uma recta de perfil do plano, passando por A , e com o rebatimento do plano de perfil que contivessea recta. No entanto, optou-se por uma situação diferente – o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ numplano de topo. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) por um novo plano de projecção (plano 4), ortogonal ao plano ρ p p– o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projecção, que se manteve) com o plano 4 e é per-pendicular ao eixo X. As projecções de A e B no plano 4 determinaram-se em função da sua cota (que é a mesma), que se manteve, o quenos permitiu, também, determinar a projecção da recta g no plano 4 – a recta g, no novo diedro de projecção, é uma recta de topo, razãopela qual se assinalou g4 entre parêntesis. O plano ρ, no novo diedro de projecção, é um plano de topo e o diedro que o plano faz com oPlano Horizontal de Projecção projecta-se em V.G. no plano 4 – assim, o traço do plano ρ no plano 4 (f 4ρ) passa por A 4 (e por B 4) e faz, fcom o eixo X’, um ângulo de 40o (o ângulo dado). Uma vez que os dois traços do planos são concorrentes no eixo X’, pelo ponto em que f 4ρintersecta o eixo X conduziu-se uma paralela ao eixo X inicial, que é hρ. Em seguida, recorrendo a um ponto M, do plano (e com afastamen-to nulo no diedro de projecção inicial), determinou-se f ρ (o traço frontal do plano ρ no diedro de projecção inicial) – M é um ponto de f ρ. Otriângulo não se projecta em V.G., pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Aproveitando a mudança do diedro de projecção efectuada, procedeu-se ao rebatimento do plano ρ como plano projec-tante (no novo diedro de projecção, o plano ρ é um plano de topo). A charneira foi hρ (hρ ≡ e1 ≡ hρr) que, no novo diedro de projecção, é huma recta de topo – a projecção da charneira no plano 4 é um ponto (e4), que se assinalou devidamente entre parêntesis. Para rebater o ftraço frontal do plano (f ρ) efectuou-se o rebatimento do ponto M (que é um ponto de f ρ), pelo rebatimento do plano de topo (sugere-se queo aluno ponha a folha de papel com o eixo X’ na horizontal, para melhor entendimento deste processo), obtendo M r – f ρr passa por M r e éparalelo a hρr. Também através do rebatimento do plano de topo se rebateram os pontos A e B. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo[A B C], em V.G., em rebatimento, e determinou-se ainda Or, o centro do triângulo. Para determinar as projecções de C conduziu-se, por Cr Auma recta r r – a recta r é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H é o traço horizontal da recta r) A H (Continua na página seguinte) 137
  12. 12. SOLUÇÕES e é concorrente com f ρr em Fr (F é o traço frontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram ime- F diatamente. As projecções de F determinaram-se conduzindo, por Fr, uma perpendicular à charneira – F é um ponto de f ρ. A partir das pro- jecções de F e H, desenharam-se as projecções da recta r (note que as projecções da recta r passam pelas projecções homónimas do ponto A , que é um ponto da recta – bastaria o traço horizontal da recta e o ponto A para desenhar as projecções da recta). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas de r. Para inverter o rebatimento de Or conduziu-se, por Or, uma recta mr, fronto-horizontal – mr é concorrente com r r num ponto Pr, cujas projecções se determinaram ime- diatamente, sobre as projecções homónimas da recta r. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas de m. Conduzin- do, por Or , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de m. A partir das projecções dos três vértices do triângulo [A B C], desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o A objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O problema seguinte consiste em determinar as projecções do vértice D (o quarto vértice do tetraedro), pois não é conhecida a altura do sólido – apenas se sabe que as suas arestas têm todas o mesmo comprimento. Assim, o ponto D situa-se numa recta ortogonal ao plano ρ que passa por O, estando equidistante dos outros três vértices do sólido. A recta ortogonal ao plano ρ que passa por O é uma recta de perfil (recta p) e a aresta [CD] também é de perfil, pelo que é possível resolver o exer- C cício em rebatimento, recorrendo ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas (a recta p e a recta suporte da aresta [CD]). C No entanto, atendendo à mudança do diedro de projecção efectuada, há que reconhecer que o plano 4 é paralelo à aresta [CD], pelo que C esta se projecta em V.G. no plano 4. Por outro lado, na mudança do diedro de projecção efectuada, o plano ρ é um plano de topo e a orto- gonalidade entre a recta p e o plano ρ também é directa. Assim, o processo mais simples consiste, efectivamente, em recorrer à mudança do diedro de projecção, para concluir o exercício. Em primeiro lugar, determinaram-se as projecções de O e C no plano 4, através das linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’) que passam por O1 e C1 – O4 e C4 situam-se sobre f 4ρ, pois no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal. A projecção da recta p, no plano 4, passa por O4 e é perpendicular a f 4ρ. Com o compasso, fazendo centro em C4 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do tetraedro, que é a medida do lado do triângulo [A B C]), determinou-se D4 sobre p4. D1 teve A determinação directa, a partir de D4, e D2 determinou-se através da cota de D (que se manteve). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2B 2D2] e o contorno aparente horizontal é A [A 1C1B 1D1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é o vértice de menor afastamento A do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a face [A B D] é a única face visível em projecção A frontal. Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a face [A B C] é invisível em pro- A jecção horizontal, tal como a face [A B D]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A B] é invisível. A A 350. Resolução (Relatório na página seguinte)138
  13. 13. SOLUÇÕES350. RelatórioEm primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se o traço hori-zontal do plano ρ – B tem cota nula, pelo que hρ passa por B1. Por A e B conduziu-se uma recta r, do plano, e determinou-se o seu traçofrontal – f ρ passa por F2. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas pro-jecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,ao nível da economia de traçados é preferível efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (economiza-se o re-batimento de um ponto). Rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. B r ≡ B 1, pois B é um ponto dacharneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que éum ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raioaté F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e de-terminar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta r r está de-finida por B r e por Fr. Conduzindo, por A 1, uma perpendicular à charneira, determinou-se A r sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se oquadrado em V.G., em rebatimento, determinando Cr e Dr. Para inverter o rebatimento de Cr e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma rectasr, paralela à recta r r. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s). Note que o traço horizontal da recta s se Fsitua fora dos limites do desenho. Conduzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um pon-to de f ρ. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e são paralelas às projec-ções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneiraque por eles passam, determinaram-se as projecções de C e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dosquatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – arecta p é a recta suporte da aresta lateral [A A ’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é orto- Agonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π edeterminou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F’’ e H). A recta i contém o ponto A (que éum ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto A . Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobrep, a 7 cm de A (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [A A ’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, Arecorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta i r fica definida por F’’r e Hr.Note que o ponto A r 1 tem também de se situar sobre i r, pois A é um ponto da recta i (A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no Arebatimento do plano π). A recta pr passa por A r 1 e é perpendicular a i r em A r 1. Sobre pr, a partir de A r 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-seA’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’desenharam-se as projecções do quadrado [A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A BCD] – B’, C’ e D’ A Aestão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de A’ conduziram-se as projec-ções homónimas da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contém a aresta Alateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e ainda para C’, a partir de B’ ou Bde D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é[A 2B 2C2C’2D’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o A Acontorno aparente – o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem)e o vértice D (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecçãoh o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que évisível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todasas arestas que nele convergem). Note que a base [A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a base [A’B’C’D’] é visível em ambas A Aas projecções. Em projecção horizontal, as faces laterais [CC’D’D] e [AA’D’D] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção C Afrontal. Já as faces [A A ’ B ’ B] e [BB’C’C], são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal. A B 139
  14. 14. SOLUÇÕES 351. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas suas projec- ções, em função dos dados. Por R e S conduziu-se uma recta r, do plano, e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – pelos traços da recta conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da recta r) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r, que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o com- passo, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, fρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta rr está definida por Hr e por Fr. Conduzindo, por R 1 e por S1, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se R r e Sr sobre rr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo equilátero [R rSrTr] R em V.G., em rebatimento, determinando Tr. Para inverter o rebatimento de Tr conduziu-se, pelo ponto, uma recta sr, paralela à recta rr. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s) e é con- F corrente com hρr no ponto H’r (H’ é o traço horizontal da recta s). Condu- H zindo, por F’ r , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um ponto de f ρ. H’r ≡ H’1, pois H’ é um ponto da charneira. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e H’ (e são paralelas às pro- jecções homónimas da recta r). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de T sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triân- gulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de R conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta lateral [RR’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – R – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das projec- R ções do ponto R’, o extremo superior da aresta lateral [RR’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto A’. R O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i (definida por F’’ e por H’’) é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – ir fica definida por F’’r e por H’’r (e passa por R r1). A recta pr é perpendicular a ir em R r1. R’r situa-se sobre pr a 6 cm de R r1 (a altura do prisma). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R’. A partir das projecções de R’ desenharam-se as projecções do triângulo [R’S’T’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST] R R – S’ e T’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm S e T, respectivamente. Assim, pelas projecções de R’ conduziram-se as projec- ções homónimas da recta suporte do segmento [R’S’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contem a aresta lateral R [SS’] – o ponto de concorrência das duas rectas é S’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de R’. A partir das projecções de todos os vértices S do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [S2S’2R’2T’2T2] e o contorno aparente horizontal é S R [R 1S1S’1T’1T1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de menor afasta- mento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não inte- gra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [RST] é invisível em ambas as projecções e que a base [R’S’T’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces R R laterais [RR’S’S] e [RR’T’T] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção frontal. Já a face lateral [S S’T’T] é visível em R R S projecção frontal e invisível em projecção horizontal. 352. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que a circunferência circunscrita ao rectângulo [A BCD] é tangente aos dois planos de projec- A ção, sabe-se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que a diagonal [A C] do plano é de perfil e que A A tem cota nula, sabe-se que a circunferência será tangente a hρ em A. É possível, imediatamente, determinar as projecções de A (que é um ponto de hρ). Por outro lado, atendendo a que C será o outro extremo da diagonal, C terá de ser o ponto em que a circunferência será tangente a f ρ – este raciocínio permite-nos, imediatamente, determinar as projecções de C (que é um ponto de f ρ com a mesma abcissa de A). Só é pos- sível desenhar a circunferência em V.G., com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que C é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Pro- jecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto C, por exemplo. Para tal, conduziu-se, por C, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em C1 e raio até C2 (Continua na página seguinte)140
  15. 15. SOLUÇÕES(a cota de C), transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nospermitiu construir o triângulo do rebatimento de C em V.G. e determinarCr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr,passa por Cr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). Em rebatimento, deter-minou-se o ponto médio de [A r Cr] (com o recurso à construção da Amediatriz de um segmento de recta) e, com centro nesse ponto e raioaté A r (ou Cr), desenhou-se a circunferência circunscrita ao rectângulo,em V.G., em rebatimento (note que a circunferência é tangente a f ρrem Cr e é tangente a hρr em A r). Em rebatimento, efectuou-se a cons-trução do rectângulo, inscrito na circunferência, de acordo com osdados. Tenha em conta que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] Ado rectângulo faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondênciadirecta em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção. O ângulo que [A B] faz com hρ pode, em rebati- Amento, ser medido em V.G. – com vértice em A r, mediram-se os 25ocom hρr, com abertura para a direita, garantindo que o vértice B se si-tua à direita de A (note que Br tem de se situar sobre a circunferência).A partir de B r , determinou-se D r , sobre a circunferência e noextremo oposto do diâmetro que passa por Br. Para inverter o rebati-mento de Br e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta rr (a recta ré a recta suporte da diagonal [BD]). A recta rr é concorrente com f ρr no Bponto Fr (F é o traço frontal da recta r) e é concorrente com hρr no ponto FHr (H é o traço horizontal da recta r). Conduzindo, por Fr, uma perpen- Hdicular à charneira, determinaram-se as projecções de F – F é um pontode f ρ. Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. As projecções da rectar determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homóni-mas de F e H. Conduzindo, por Br e Dr, as perpendiculares à charneiraque por eles passam, determinaram-se as projecções de B e D sobreas projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos quatrovértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções (a traçoleve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de Aconduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [A A ’] (sendo [A’B’C’D’] a face superior A Ado paralelepípedo) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação dasprojecções do ponto A’, o extremo superior da aresta [AA’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 350. O plano π é o plano Ade perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (note que a recta i está definida por A e por C, quesão os seus traços nos planos de projecção – A é o traço horizontal de i e C é o seu traço frontal). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontalde Projecção – ir fica definida por A r1 e por Cr1 (note que A r1 e Cr1 são, respectivamente, os pontos A e C rebatidos pelo seu segundo rebati-mento – o rebatimento do plano π). A recta pr é perpendicular a ir em A r1. A’r situa-se sobre pr a 4 cm de A r1 (a altura do sólido). Invertendo orebatimento, determinaram-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do rectângulo [A’B’C’D’], cujos Alados são paralelos aos lados correspondentes do rectângulo [A BCD] – B’, C’ e D’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, Arespectivamente (ver relatório do exercício 350). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes – o contorno aparente frontal é [A 2B2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [C1D1D’1A’1B’1B1]. Em projecção frontal, A Cexistem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem comotodas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestasque nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que éo vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota,pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a Aface [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces [CC’D’D] e [BB’C’C] são visíveis – no entanto, estas faces A C Bsão invisíveis em projecção frontal. Já as faces [AA’B’B] e [AA’D’D] são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal. A A353.Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto A . Uma vez que o triângulonão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X).O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 195 e respectivo relatório). Em rebatimento, construiu-se o triângulo equi-látero [A B C] em V.G., em função dos dados. O ângulo que o lado [A B] faz com o eixo X é o ângulo r e a l, no espaço, e não em projecções, A Apelo que só À

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