Critriosdeparalelismo

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Critriosdeparalelismo

  1. 1. Critérios de paralelismoe de perpendicularidade
  2. 2. Critério  de  paralelismo  entre  rectas  e  planos   Como construir uma recta paralela ao plano β ? Traçamos  uma  recta  qualquer  no  plano  β      .        Imaginamos  outro  plano  dis2nto  de  β             Nesse  plano,  traçamos  uma  recta  r  paralela  a  s.  que  contenha  a  recta    s.       β Então:      r  //  
  3. 3.   Critério  de  paralelismo  entre  rectas  e  planos  Assim,  podemos  enunciar  o  seguinte  critério:     uma  recta  r  não  con2da  num  plano    β  ,  é  paralela  a  uma  recta  s,  Se      desse  plano,  então  é  paralela  ao  plano.   r s β Se r // s e s ⊂ β então r // β Também  é  verdade  que:   Se  uma  recta  r  (não  con2da  no  plano  beta)  é  paralela  a  esse   plano,  existe  pelo  menos  uma  recta,  s,    paralela  a  r.  
  4. 4. Exercício: B   A  figura  representa  um  paralelepípedo  rectângulo.   Jus2fica  que  a  recta  EF  é  paralela  à  face  [ABCD].   C  
  5. 5. Critério  de  paralelismo  entre  planos  Como construir um plano paralelo a um plano dado? Há uma infinidade de planos que contêm r. Então: γ // δ Traça-se uma recta paralela ao plano γ . Mas, só um deles é paralelo a γ .γ − gama É aquele que contém outra recta, s, também paralela a γ e concorrente com r.δ − delta
  6. 6. Critério  de  paralelismo  entre  planos  Dois planos distintos α e β são paralelos se numdeles existem duas rectas concorrentes e paralelas aooutro plano. r α s β Se r ⊂ α , s ⊂ α , r é concorrente com s e r // β e s // β então α // β
  7. 7. É fácil verificar que: Se um plano é paralelo a outro, todas as rectas de um deles são paralelas ao outro. α β
  8. 8. Exercício:A figura representa o tronco de uma pirâmide.As rectas AB e CD contidas no plano CAB sãoparalelas ao plano EFG.Podes concluir que os planos considerados sãoparalelos?
  9. 9. Observa a figura A recta r está contida no plano β , é paralela ao plano α e, no entanto os planos alfa e beta não são paralelos. As rectas r e s são paralelas, estão contidas no plano β , cada uma delas é paralela ao plano α e, no entanto, os planos alfa e beta não são paralelos. As rectas AB e BC são concorrentes em B, estão contidas no plano γ e são paralelas ao plano π . Os planos γ e π são paralelos.
  10. 10. Critério  de  perpendicularidade     entre  recta  e  plano.   r Se uma recta é perpendicular a duas s t rectas concorrentes de um plano, então é perpendicular ao plano. α s ⊂ α, t ⊂ α e s e t são concorrentes. Se r ⊥ t e r ⊥ s então r ⊥ αPara que uma recta seja perpendicular a um plano basta queseja perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano quepassem pelo seu pé (ponto   onde   a   recta   encontra   um   plano  chama-se pé  da  recta).
  11. 11. Critério  de  perpendicularidade     entre  recta  e  plano.  
  12. 12. Exemplo:   A recta AC é perpendicular à recta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria que ser perpendicular a duas rectas concorrentes e não a uma só. Podemos afirmar que a recta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano: BE e BC.
  13. 13. Critério  de  perpendicularidade     entre  planos.  Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, entãoos dois planos são perpendiculares. Reparem que estes dois planos dividem o espaço em 4 regiões. A cada uma chama-se DIEDRO. DIEDRO é cada uma das quatro regiões em que fica dividido o espaço quando dois planos se intersectam.     Se os quatro diedros forem iguais , os planos dizem-se PERPENDICULARES. Caso contrário, os planos são OBLÍQUOS. Se r ⊂ β e r ⊥ α então β ⊥ α
  14. 14. Na figura está representado um prisma hexagonal recto e regular. Justifica as afirmações: a) A recta AB é paralela ao plano CDE da base. b) A recta BC é perpendicular aos planos das bases. c) O plano BCD é perpendicular ao plano CDE. d) O plano ABC é paralelo ao plano EFG.
  15. 15. Os  planos  β    ,    γ      e    δ  ,    são  perpendiculares  ao  plano  α                  

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