teoremi sulla circonferenza e sezione aurea

1. Teoremi della Similitudine sulla Circonferenza
•Teorema delle due secanti.
•Teorema della tangente e della secante.
.Sezione aurea di un segmento.
.Ulteriore proprietà della sezione aurea .
•Teorema delle due corde.
.Applicazione della sezione aurea .

2. Teorema delle due corde
Se due corde di una circonferenza si intersecano le parti di
una sono i medi e le parti dell’altra sono gli estremi di una
proporzione.
A
B
C
D
E
Ipotesi: AB, CD corde Tesi: AE : EC = ED : EB
Si considerano i due triangoli:
AED e CEB. 1clic
Essi hanno: AED ~ CEB, perché angoli
opposti al vertice. 1 clic
EAD ~ ECB perché angoli alla crf.nza
che insistono sullo stesso arco DB. 1clic
Per il primo criterio di similitudine sono simili, da cui
segue la tesi: AE : EC = ED : EB.

3. Teorema delle due secanti:
Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano
due semirette secanti, i due segmenti, individuati tra il
punto esterno e le intersezioni con la crf., sono i medi
P
A
C
B
D
mentre i due segmenti dell’altra secante sono gli
estremi di una proporzione”
(in parole semplici: l’intera secante e la parte esterna
di una semiretta sono i medi di una proporzione che
ha per estremi l’altra secante e la sua parte esterna)
PD : PB = PA : PC

4. P
A
C
B
D
PD : PB = PA : PC
sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli
in quanto hanno due angoli congruenti:
•PDA ~ PBC perché angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco di crf, AC. 1clic
.Inoltre hanno l’angolo BPD in comune.
Da ciò segue la tesi.
I due triangoli PAD e PCB 1clic

5. Teorema della tangente e della secante:
Se da un punto esterno ad una circonferenza si
tracciano una semiretta tangente e una semiretta
secante, il segmento di tangente (tra il punto
esterno e quello di tangenza) è medio proporzionale
tra i segmenti individuati dal punto esterno e i punti
d’intersezione della secante (l’intera secante e la
sua parte esterna).
P
B
A
T
PB : PT = PT :PA
Segue dimostrazione

6. P
B
A
T
Per il primo criterio di similitudine sono simili. Quindi
hanno i lati omologhi (i lati opposti agli angoli uguali) in
proporzione:
PB : PT = PT :PA
A questo punto segue la trattazione della sezione aurea di un
segmento.
…… sono simili in quanto:
•ABT ~ ATP perché angoli
alla crf. che insistono sullo
stesso arco AT.
• Hanno BPT in comune. 1clic
Dimostrazione: I triangoli BPT e APT ….. 1clic

7. Asse radicale di due circonferenze

8. Date due circonferenze secanti, si traccia la retta passante per
i loro punti di intersezione. 1clic
Da un qualunque punto P della secante, si tracciano le due
semirette tangenti alle crf.nze. Siano T ed S i punti di tangenza.
1clic
P
S T
A
B
Si applica il teorema della
tangente e della secante alle
due crf.nza:
PA : PT = PT : PB,
PA : PS = PS : PB
Applicando la proprietà delle
proporzioni, secondo la quale il
prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi, di ottiene:
PT2
= PA*PB e PS2
= PA*PB
Da cui: PT2
= PS2
.
La quantità PT2
si chiama potenza del punto P
rispetto alle 2 crf.nze.

9. I punti della retta secante, comune alle due circonferenze ed
esterni ad esse, costituiscono l’insieme dei punti del piano
equipotenti rispetto alle due crf.nze.
A
B

10. Sezione aurea di un segmento
Definizione
E
Costruzione grafica

11. Dato il segmento AB, si definisce sezione aurea di
AB la parte del segmento che è media proporzionale
tra l’intero segmento AB e la parte rimanente:
A C B
AB : AC = AC : BC
Definizione di sezione aurea di un segmento

12. COSTRUZIONE GRAFICA DELLA SEZIONE
AUREA DI UN SEGMENTO

13. A BC
O
Con centro in O e raggio r = ½AB
traccio la circonferenza, che
risulta tangente al segmento AB.
(1CLIC)
Dall’estremo B del segmento traccio,
perpendicolarmente ad esso, il segmento OB ~ ½ AB
(1CLIC)
Da A traccio la retta
secante passante per il
centro O della crf.
Siano E e D i punti di
intersezione (1CLIC)
E
D
Con il compasso centro in A e riporto il segmento AE su AB, si
ottiene il segmento AC. Dico che AC è la sezione aurea del
segmento dato AB. (1 CLIC)

14. BC
E
D
A
O
Dimostrazione:
Per il teorema della corda e della
secante: ”se da un punto esterno ad una
crf. si tracciano una retta tangente e
una retta secante, il segmento di
tangente risulta medio proporzionale
tra l’intero segmento di secante e la
sua parte esterna”, risulta:
AD: AB = AB : AE,
Ma, per costruzione: AE ~ AC,
quindi:
AD : AB = AB : AC,
Applico la proprietà dello scomporre: (AD- AB):AB = (AB-AC):AC.
Siccome CD ~ AB (diametri della crf.) (AD- AB) ~ AE ~ AC,
e AB – AC ~ BC;
la proporz. diventa: AC : AB = BC : AC,
da cui: AB : AC = AC : BC. c.v.d.
½AB

15. C BA
a
x a - x
Calcolo della sezione aurea di un segmento.
Sia a la misura del segmento dato AB. Indichiamo con x
la misura della sua sezione aurea.
La proporzione che definisce la sezione aurea:
AB : AC = AC : CB
diventa:
a : x = x : (a-x)
Per la proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medi
e uguale al prodotto degli estremi) si ha l’equazione di
secondo grado: x 2
= a(a – x)

16. Sviluppando i calcoli:
x 2
+ ax - a 2
= 0
L’equazione ammette due soluzioni, una delle quali
negativa e quindi non accettabile. Rimane la soluzione:
a
x = ( √5 -1)
2
Applicazioni:
•Il lato del decagono regolare inscritto in una
circonferenza è la sezione aurea del raggio della crf.
•Il lato del pentagono regolare inscritto in una crf.
Costituisce l’ipotenusa di un triangolo rettangolo
avente per cateti il raggio e la sua sezione aurea.

17. Ulteriore proprietà della sezione aurea.

18. Dato il segmento AB, sia AC la sua sezione aurea e CB la
parte rimanente (cioè la differenza tra il segmento e la
sua parte aurea)
Calcoliamo la misura della parte rimanente del segmento
(tolta la sua sezione aurea).
A C B
AB: AC = AC : CB
a
CB = a - ( √5 – 1)
2
Da cui si ottiene:
a
CB = (3 - √5 )
2
a

19. Proprietà:
Se si calcola la sezione aurea della sezione
aurea, si ottiene come risultato la parte
rimanente CB del segmento AB.
Cioè il segmento CB risulta essere la sezione
aurea di AC (sezione aurea di AB).

20. La dimostrazione si ottiene applicando la formula della
sezione aurea al segmento AC.
Per ottenere la misura della sezione aurea di un segmento, si
sostituisce la sua misura a nell’espressione:
Quindi, in questo caso, inserendo questa espressione nella
formula che dà la sezione aurea, si ha:
a
( √5 – 1)
2
a
( √5 – 1)
2
( √5 – 1)
2

21. Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:
a
(3 - √5 )
2
a
( √5 – 1) 2
4
Che, come si constata, coincide con la misura di CB

22. Applicazioni della Sezione Aurea
Lato del decagono regolare

23. 36°
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la
sezione aurea del raggio della crf.
Premessa
Teorema: In un triangolo isoscele con l’angolo al vertice ampio
36° (= π/5 rad), la base è la sezione aurea del lato.
A D
C
B
Si traccia la bisettrice CD dell’angolo
alla base C 1clic
Si applica il teorema della
bisettrice:
AD : DB = AC : BC 1clic
Considerazione sugli angoli: siccome l’angolo al vertice A è
ampio 36°, ciascuno degli angoli alla base è ampio
½(180°-36°) = 72°. 1clic
72°
72°
Ma AC ~ AB, quindi AD : DB = AC : BC

24. 36°
A D
C
B
72°
36° 36°
La proporzione AD : DB = AB : BC diventa AD : DB = AB : AD
Invertendo i termini della proporzione:
AB : AD = AD : DB
Siccome AD è la bisettrice dell’angolo C, ampio 72°, risulta:
ACD ~ BCD = 36°. Ma allora l’angolo BDC risulta ampio 72°. 1clic
Ciò significa che il triangolo DBC è anch’esso
isoscele con base DB. Si hanno le seguenti
congruenze tra i lati: BC ~ CD. 1clic
Ma anche il triangolo ADC è isoscele
con base AC. Quindi CD ~ AD, per la
proprietà transitiva della congruenza si
ha: BC ~ AD 1clic

25. I vertici del decagono regolare suddividono la crf.nza circoscritta in
archi tra loro congruenti e tutti ampi 360°: 10 = 36° (= π/5 rad).
Quindi i triangoli individuati dai raggi e dalle corde sono tutti
triangoli isosceli aventi l’angolo al vertice ampio 36°.
Applicando il teorema del triangolo
isoscele, con angolo al vertice di 36°, si
deduce che la base AB, lato del
decagono regolare, risulta essere la
sezione aurea del raggio della
circonferenza circoscritta.
R
l10 = ( √5 -1)
2
36°O
B
A
36°
36° R
R
R
R