6.probabilidadecondicionada

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 6

PROBABILIDADE
CONDICIONADA
ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

Conceptos

1. Probabilidade condicionada.
2. Sucesos dependentes e
independentes.
3. Probabilidade composta.
4. Probabilidade total.
5. Probabilidade a posteriori. Teorema
de Bayes.

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

1. Probabilidade condicionada.

Chámase probabilidade do suceso B condicionada polo suceso A, ao
cociente:
p ( B ∩ A)
p ( B / A) =
p ( A)

Analogamente, a probabilidade condicionada de A respecto de B é:
p( A ∩ B )
p( A / B ) =
p( B )
Das dúas definicións anteriores obtemos as seguintes relacións
chamadas principios de probabilidade composta:

p ( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p ( B / A)
p( A ∩ B ) = p( B ) ⋅ p( A / B )


1. Probabilidade condicionada

Exemplo:
Unha comisaría de policía metropolitana está formada
por 1200 axentes: 960 homes e 240 mulleres. Ó longo
dos dous últimos anos foron ascendidos 324 axentes.
Na seguinte táboa amósase o reparto específico dos
ascensos para axentes masculinos e femininos:

Ascendidos Non Total
ascendidos
Homes 288 672 960
Mulleres 36 204 240
Total 324 876 1200


a. Calcula a probabilidade de que, escollido un
axente da comisaría ó chou, este sexa unha
muller e fose ascendida.

b. Calcula a probabilidade de que, escollido un
axente da comisaría ó chou, sexa unha muller.

c. Calcula a probabilidade de que, escollido un
axente da comisaría ó chou, este fose ascendido
sabendo que é unha muller.



a. Calcula a probabilidade de que, escollido un
axente da comisaría ó chou, este sexa unha
muller e fose ascendida.

Solución: casos favorables
Empregando a regra de Laplace p ( A) =
casos posibles

p(“sexa muller” e “fose ascendido”)=
36
p(“sexa muller” ∩ “fose ascendido”)=
1200
• Casos favorables = 36 axentes femininas foron
ascendidas
• Casos posibles = 1200 axentes da comisaría



axente da comisaría ó chou, sexa unha muller.

Empregando a regra de Laplace:

240
p(“ser muller”) =
1200

casos favorables = 240 mulleres axentes na
comisaría de policía
casos posibles = 1200 axentes da comisaría de
policía


axente da comisaría ó chou, este fose ascendido
sabendo que é unha muller.

Neste apartado temos unha información previa sobre
o resultado do experimento, sabemos que o axente
escollido ó chou foi unha muller. Pídennos, por tanto,
a probabilidade de que o axente escollido fose
ascendido coa condición de que se trata dunha muller.



c. Empregando de novo a regra de Laplace :

36
p(“fose ascendido”/”muller”)= 240
casos favorables= 36 axentes femininas foron ascendidas
casos posibles= 240 axentes femininas na comisaría

Por outra banda :
p(“fose ascendida”/”ser muller”)=
36
36 1200 p (" fose ascendida"∩" ser muller" )
= = =
240 240 p (" ser muller" )
1200


Exemplo2:
Vexamos agora un exemplo moi gráfico.

Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.


Exemplo3. Tedes agora un segundo exemplo gráfico:

Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.


Exemplo:
A táboa seguinte amosa o número de alumnos dun
centro escolar matriculados en cada un dos niveis da
ESO.
1º ESO 2º ESO 3º ESO 4º ESO Total

Rapaces 88 76 92 50 306

Rapazas 125 103 97 73 398



1. Calcula a probabilidade de que, escollido un
escolar do centro ó chou, este sexa unha
rapaza que curse 3º da ESO.

escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza.

escolar do centro ó chou, este curse 3º da
ESO sabendo que é unha rapaza.


Solución:
Calcula a probabilidade de que, escollido un
escolar do centro ó chou, este sexa unha rapaza
que curse 3º da ESO.
casos favorables
Empregando a regra de Laplace ( A) =
p
casos posibles
p(“sexa rapaza” e “curse 3º ESO”)=
p(“sexa rapaza” ∩ “curse 3º ESO”)= 97
704
casos favorables = 97 rapazas estudan 3º ESO
casos posibles = 306+398=704 alumnos do centro
escolar


escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza.

Empregando a regra de Laplace:

398
p(“ser rapaza”)=
704

casos favorables = 398 alumnas no centro escolar
casos posibles = 704 alumnos/as no centro escolar



escolar do centro ó chou, este curse 3º da ESO
sabendo que é unha rapaza.

Neste apartado temos unha información previa sobre
o resultado do experimento, sabemos que o alumno
escollido ó chou foi unha rapaza. Pídennos, por tanto,
a probabilidade de que o alumno escollido curse 3º
da ESO coa condición de que se trata dunha rapaza.



c. Empregando de novo a regra de Laplace :

p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)= 97
398
casos favorables= 97 rapazas estudan 3º ESO
casos posibles= 398 rapazas no centro

Por outra banda :
p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)=
97
97 704 p (" cursar 3º ESO"∩" ser rapaza" )
= = =
398 398 p (" ser rapaza" )
704

2. Sucesos dependentes e independentes.

Dous sucesos A e B son independentes se

p(B)=p(B/A)

Dous sucesos A e B son dependentes se

p(B)≠p(B/A)

2. Sucesos dependentes e independentes

Exemplo 1:
Dunha urna que contén 9 bólas vermellas e 5
bólas negras extraemos sucesivamente 2
bólas. Acha a probabilidade de que :
– As dúas bólas sexan negras.
– As dúas bólas sexan vermellas.
– A primeira sexa vermella e a segunda sexa
negra.
– Unha sexa vermella e a outra negra.



9 bólas vermellas
5 bólas negras



A probabilidade condicionada aparece en experimentos
compostos (varios exp. simples encadeados) onde o
resultado dun experimento simple vese afectado polo
resultado do experimento simple anterior.

No noso caso trátase dun experimento composto de
dous experimentos simples consistentes na extracción
dunha bóla.

Sacamos unha bóla da urna e, sen devolvela sacamos
unha segunda bóla. O resultado do segundo
experimento vese condicionado polo resultado do
primeiro experimento, pois a composición da urna xa
non é a mesma.



Definamos os sucesos:

N1=“sacar bóla negra na 1ª extracción”
V1=“sacar bóla vermella na 1ª extracción”

E fagamos un diagrama de árbore da situación.


Sucesos dependentes e independentes

vermellas

negras

bólas
14
9

5

N1
V1
vermellas

vermellas
negras

negras
bólas

bólas
13

13
8

5

9

4
N2

N2
V2
V2



P(N2/N1)=4/13
N2
P(N1)=5/14 13
bólas

N1 4
negras
9
vermellas

V2
P(V2/N1)=9/13
14
bólas
5
negras
9
vermellas
P(N2/V1)=5/13
N2
P(V1)=9/14
13
bólas

V1 5
negras
8
vermellas

V2
P(V2/V1)=8/13



Solución:
a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan
negras.

p(“as dúas bólas sexan negras”)=

p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla
negra na 2ª extracción”)=
5 4
p(N1 ∩ N2) = p(N1).p(N2/N1) = ⋅
14 13



b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan
vermellas.

p(“as dúas bólas sexan vermellas”)=

p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla
vermella na 2ª extracción”)=

p(V1 ∩ V2) = p(V1).p(V2/V1) =
9 8
⋅
14 13



c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa
vermella e a segunda sexa negra.

p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)=

9 5
p(V1 ∩N2) = p(V1).p(N2/V1) = ⋅
14 13



d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella
e a outra negra.
p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)=
P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla
negra e 2ª bóla vermella”)=

p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) +
+ p(“1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)=

p(V1 ∩N2) + p(N1∩ V2)=
9 5 5 9
p(V1).p(N2/V1) + p(N1).p(V2/N1)= 14 ⋅ 13 + 14 ⋅ 13



Exemplo 2:
Tomemos agora a mesma urna con 9 bólas vermellas e 5
bólas negras e saquemos dúas bólas pero con
devolución; é dicir, extraemos unha bóla, devolvémola á
urna, e extraemos a segunda bóla.

Acha a probabilidade de que :
– As dúas bólas sexan negras.
– As dúas bólas sexan vermellas.
– A primeira sexa vermella e a segunda sexa negra.
– Unha sexa vermella e a outra negra.


Temos agora un experimento composto de dous
experimentos simples consistentes na extracción dunha
bóla da urna dada, igual que no caso anterior.

Pero a situación é ben distinta, os resultados do
segundo experimento non se ven afectados polos
resultados do primeiro experimento pois a composición
da urna non sofre variación algunha.



Igual que fixemos no exemplo 1, definamos os sucesos:


E fagamos un diagrama de árbore da situación.



P(N2/N1)=p(N2)=5/14
N2
14
bólas

N1 5
negras
9
P(N1)=5/14 vermellas

V2
P(V2/N1)=P(V2)=9/14
14
bólas
5
negras
9
vermellas

P(N2/V1)=P(N2)=5/14
N2
P(V1)=9/14 14
bólas

V1 5
negras
9
vermellas

V2
P(V2/V1)=P(V2)=9/14


2.Sucesos dependentes e independentes

Solución:
a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan
negras.

p(“as dúas bólas sexan negras”)=

p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla
negra na 2ª extracción”)=
5 5
p(N1 ∩ N2) = p(N1).p(N2/N1) = p(N1).p(N2) = ⋅
14 14



b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan
vermellas.

p(“as dúas bólas sexan vermellas”)=

p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla
vermella na 2ª extracción”)=

9 9
p(V1 ∩ V2) = p(V1).p(V2/V1) = p(V1).p(V2) = ⋅
14 14



c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa
vermella e a segunda sexa negra.

p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)=

9 5
p(V1∩N2) = p(V1).p(N2/V1) = p(V1).p(N2) = ⋅
14 14



d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella e a
outra negra.
p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)=

P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla negra e 2ª
bóla vermella”)=

p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) + p(“1ª bóla negra e 2ª
bóla vermella”)=

p(V1∩N2) + p(N1 ∩ 2)=
V
p(V1).p(N2/V1) + p(N1).p(V2/N1)=
9 5 5 9
⋅ + ⋅
p(V1).p(N2)+ p(N1).p(V2)= 14 14 14 14


No primeiro exemplo, “extracción de dúas bólas sen
devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos
correspondentes á segunda parte do experimento
(N2,V2) vense afectadas polo resultado da primeira
parte do experimento. De feito que:
p(N2)≠p(N2/N1)≠p(N2/V1)
p(V2)≠p(V2/N1)≠p(V2/V1)

Os sucesos N2 e N1, N2 e V1 , V2 e N1, V2 e V1 son o que
se chama sucesos dependentes.



No segundo exemplo, “extracción de dúas bólas con
devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos
correspondentes á segunda parte do experimento
(N2,V2) non se ven afectadas polo resultado da primeira
parte do experimento. De feito:
p(N2)=p(N2/N1)=p(N2/V1)
p(V2)=p(V2/N1)=p(V2/V1)

Os sucesos N2 e N1, N2 e V1 , V2 e N1, V2 e V1 son o que
se chama sucesos independentes.


3.Probabilidade composta ou de integración de
sucesos.

Sucesos independentes.
Se A e B son independentes, entón p(B)=p(B/A),
por tanto p(A ∩ B)=p(A).p(B/A)
convértese en p(A ∩ B)=p(A).p(B)
Sucesos dependentes.
Se A e B son dependentes, entón
p(A ∩ B)=p(A).p(B/A)
Se A, B e C son dependentes, entón
p(A ∩ B ∩ C)=p[(A ∩ ∩ C]=
B)
=p (A ∩ B). p(C/A ∩ B)=p(A).p(B/A).p(C/A ∩ B)


4. Probabilidade total

Sexan n-sucesos A1,A2,….,An incompatibles dous a dous,
e tales que A1UA2U…UAn=E é dicir, un sistema
completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un
deles é distinta de cero.
Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as
probabilidades de B condicionadas a cada un dos
sucesos Ai i=1,…,n (p(B/Ai)).
Entón a probabilidade do suceso B vén dada pola
seguinte expresión:
p ( B ) = p( A1 ) ⋅ p ( B / A1 ) + p ( A2 ) ⋅ p( B / A2 ) + ... + p ( An ) ⋅ p ( B / An ) =
n
= ∑ p ( Ai ) ⋅ p ( B / Ai )
i =1


4. Probabilidade Total

Exemplo:
Os alumnos de secundaria dun instituto
están repartidos da seguinte maneira: 40%
en primeiro, 25% en segundo, 15% en
terceiro e o resto en cuarto. A porcentaxe
de aprobados de cada un está no 30% en 1º,
o 40% en 2º, 60% en 3º e 70% en 4º . Elixido
ó chou un alumno de secundaria deste
centro, pídese:
– A probabilidade de que aprobara.



Para o experimento aleatorio “elixir un alumno de
secundaria do centro ó chou” os sucesos :
A1=“cursar 1º ESO” p(A1)=40/100
Son incompatibles dous a dous pois un alumno de
secundaria non pode cursar dous niveis
simultaneamente.
Ademais A1UA2UA3UA4=E pois a unión dos catro
sucesos abarca todos os alumnos de secundaria do
centro.
Forman, polo tanto, unDepartamento de matemáticas: Métodos estatísticos e sucesos.
IES Isidro Parga Pondal.
sistema completo de numéricos.


Por outra banda temos o suceso
B=“o alumno aproba o curso “
E coñecemos as probabilidades condicionadas:
p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 1ºESO”)
=p(B/A1)=30/100
=p(B/A2)=40/100
=p(B/A3)=60/100
=p(B/A4)=70/100



De acordo co Teorema da Probabilidade Total:

p(B)=p(A1).p(B/A1)+p(A2).p(B/A2)+p(A3).p(B/A3)+p(A4).p(B/A4)

40 30 25 40 15 60 20 70
p( B) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
100 100 100 100 100 100 100 100
1200 1000 900 1400 4500 9
= + + + = =
10000 10000 10000 10000 10000 20



Pero, vexamos agora de onde sae dito
resultado.

Fagamos un diagrama de árbore onde vexamos
reflectida toda a situación:


B=
“aprobar”
A1= P(B/A1)=30/100
“cursar 1ºESO”

P(A1)=40/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A1)=
70/100
B=
“aprobar”
A2= P(B/A2)=40/100
“cursar 2ºESO”
P(A2)=25/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A2)=
Exp. Aleat.:
”elixir un alumno 60/100
de
Secundaria B=
ó chou” “aprobar”

A3= P(B/A3)=60/100
“cursar 3ºESO”
P(A3)=15/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A3)=
40/100
B=
“aprobar”
A4= P(B/A4)=70/100
“cursar 4ºESO”
P(A4)=20/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A4)=
30/100

B=
“aprobar”

4. Probabilidade Total A 1=
“cursar 1ºESO”
P(B/A1)=30/100

P(A1)=40/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A1)=
70/100

B=
“aprobar”

A2 = P(B/A2)=40/100
“cursar 2ºESO”

P(A2)=25/100 Non B=
“ non aprobar”
Exp. Aleat.: P(No B/A2)=
”elexir un alumno 60/100
de
Secundaria
B=
ó chou”
“aprobar”

A3= P(B/A3)=60/100
“cursar 3ºESO”

P(A3)=15/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A3)=
40/100

B=
“aprobar”

A4 = P(B/A4)=70/100
“cursar 4ºESO”

P(A4)=20/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A4)=
30/100



Se non coñecésemos o Teorema da Probabilidade Total
e á vista deste diagrama, poderiamos razoar do
seguinte xeito:

p(B)=p(“o alumno aproba”)=

=p(“cursa 1º e aproba” ou “cursa 2º e aproba” ou “cursa
3º e aproba”ou “cursa 4º e aproba”)=

=p((A1 ∩ B)U(A2 ∩ B)U(A3 ∩ B)U(A4 ∩B))=

como son sucesos incompatibles



=p(A1 ∩ B)+p(A2 ∩ B)+p(A3 ∩ B)+p(A4 ∩B)=

fíxate que estes sucesos corresponden ás ramas do
diagrama de árbore que rematan no suceso B, e polo
principio da probabilidade composta:

=p(A1).p(B/A1)+p(A2).p(B/A2)+p(A3).p(B/A3)+
+p(A4).p(B/A4)

Observa que acabamos de chegar á fórmula do
Teorema da Probabilidade Total.

5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes.

Sexan n-sucesos A1,A2,….,An incompatibles dous a dous,
e tales que A1UA2U…UAn=E é dicir, un sistema
completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un
deles é distinta de cero.
Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as
probabilidades de B condicionadas a cada un dos
sucesos Ai i=1,…,n (p(B/Ai)).
Cúmprese :
p( Ai ) ⋅ p( B / Ai )
p( Ai / B ) = n i=1,2,…,n
∑ p( A ) ⋅ p( B / A )
i =1
i i



Nota:
O Teorema de Bayes esixe as mesmas condicións ca o
Teorema da Probabilidade Total. Cando se cumpre un
tamén se cumpre o outro.

Exemplo:
No exercicio anterior, pídennos agora:
Sabendo que aprobou, cal é a probabilidade de
que curse 4º da ESO.

Lembremos a situación, mediante o diagrama de árbore:


B=
“aprobar”

A 1=
5. Teorema de Bayes.
P(B/A1)=30/100
“cursar 1ºESO”

P(A1)=40/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A1)=
70/100

B=
“aprobar”

A 2= P(B/A2)=40/100
“cursar 2ºESO”

P(A2)=25/100 Non B=
“ non aprobar”
Exp. Aleat.: P(No B/A2)=
”elexir un alumno 60/100
de
Secundaria B=
ó chou” “aprobar”

A3= P(B/A3)=60/100
“cursar 3ºESO”

P(A3)=15/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A3)=
40/100

B=
“aprobar”

A 4= P(B/A4)=70/100
“cursar 4ºESO”

P(A4)=20/100 Non B=
“ non aprobar”
P(No B/A4)=
30/100



Pídennos:
p(“curse 4ºESO”/” aproba o curso”) =

p ( A4 ∩ B )
Polo principio de probabilidade

= p( A4 / B ) =
pola definición de composta e T. da probabilidade
probabilidade =
p( B )
total
condicionada

p( A4 ) ⋅ p( B / A4 )
= =
p( A1 ) ⋅ p( B / A1 ) + p( A2 ) ⋅ p( B / A2 ) + p( A3 ) ⋅ p( B / A3 ) + p( A4 ) ⋅ p( B / A4 )

observa que
obtivemos a 20 70 1400
fórmula de Bayes ⋅
100 100 1400 14
= = 10000 = =
40 30 25 40 15 60 20 70 4500 4500 45
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
100 100 100 100 100 100 100 100 10000


6.probabilidadecondicionada

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais de German Mendez

Mais de German Mendez (14)

6.probabilidadecondicionada