Flexión

1. FLEXIÓN

2. Introducción
• Flexión pura: Cuando únicamente actúan
momentos flectores.
• Flexión simple: Cuando además de los momentos
flectores se adicionan fuerzas cortantes.

3. Fuerzas cortantes y momentos
flectores, diagramas y relaciones
Convenciones de signos

4. Fuerzas cortantes y momentos
flectores, diagramas y relaciones

5. Fuerzas cortantes y momentos
flectores, diagramas y relaciones
• Diagramas
Consideremos el cuerpo de la figura
Al trasladar las fuerzas externas
a la distancia x, se tiene:
Por lo tanto, para que exista equilibrio,
internamente se tiene:

6. Fuerzas cortantes y momentos
flectores, diagramas y relaciones
Teniendo en cuenta la convención de signos

7. Fuerzas cortantes y momentos
flectores, diagramas y relaciones
• Relaciones: las fuerzas cortantes y los momentos flectores
no son independientes sino que están relacionadas entre si.
Consideremos
Estableciendo el equilibrio
Despreciando la derivada de 2° orden

8. Haciendo los diagramas

9. Ejemplo

11. • b) análisis por tramos
Fuerza cortante
0<x<L
Momento flector
0<x<L

13. Ejemplo 2

14. Ejemplo 2

16. Ejemplo 3

17. Ejemplo 3

20. Flexión Pura

21. Flexión Pura

22. Flexión Pura
• Como las líneas permanecen perpendiculares
no existen deformaciones angulares

23. Flexión Pura
• Con respecto a las deformaciones normales
El alargamiento es
Entonces la deformación es:

24. Flexión Pura
• Por semejanza de triángulos
Entoncesydn 

25. Flexión Pura
• Deformaciones transversales. muestra la forma que tiene una
sección inicialmente rectangular al ser sometida a flexión. La
tensión uniaxial σx es causante de la deformación longitudinal 𝜀 𝑥 y
de las deformaciones transversales 𝜀 𝑦 y 𝜀 𝑧, que de acuerdo a la
definición de la relación de Poisson son iguales a:
R
y
zy
xzy





26. Flexión Pura
• Utilizando la primera ecuación del equilibrio
interno

27. Flexión Pura
• Cuando solo actúa un momento flector
• Utilizando el equilibrio de momentos
Se define momento de inercia de flexión
del eje z
Finalmente el esfuerzo es: Siendo máximo

28. Flexión Pura: distribución de esfuerzos
Momento flector solo en el eje z Momento flector solo en el eje y

29. Momentos de inercia principales y
centro de gravedad
• El los momentos de inercia de una sección
rectangular es:
3
3
3
3
1
12
1
12
1
hbJ
bhI
hbI
z
y


 Todo eje de simetría
corresponde a un
dirección principal de
inercia.

30. Momentos de inercia principales y
centro de gravedad
• Secciones compuestas
Para el centro de área
Con Ai como el área de cada cuerpo,
yi la posición del centro de cada figura
tomada desde una referencia común
para todo el cuerpo.
Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3

31. Momentos de inercia principales y
centro de gravedad
• Secciones compuestas
– Teorema de Steiner
I es la inercia individual, A el área
individual, d la distancia que se
mueve el eje individual al eje del
centro total (línea neutra)

32. Ejemplo
• Para la barra mostrada en la figura, determine
el momento máximo sin que se sobrepase el
límite elástico del material, σ0=2800 𝑘𝑔/𝑐m2 .
Dimensiones de la sección en cm.

33. Ejemplo
• Solución:
– Para conocer la ubicación del eje neutro es
necesario determinar el centro de gravedad de la
sección, ya que en éste pasa por ese punto.

34. Ejemplo
• Como el esfuerzo máximo se produce en las
fibras más alejadas medidas desde el eje
neutro, y no debe sobrepasar el valor σ0

35. Flexión Compuesta
• Cuando la dirección del momento flector solicitante representado
vectorialmente, no coincide con la dirección de uno de los ejes principales
de inercia, se presenta lo que se conoce como flexión compuesta

36. Flexión Compuesta
• Si las direcciones 𝑦,𝑧 son ejes principales de inercia, entonces la
fórmula de flexión no es aplicable directamente a 𝑀𝑠, pero sí por
separado a las componentes 𝑀𝑦, 𝑀𝑧. Así, por ejemplo, para
determinar el esfuerzo de flexión en un punto P cualquiera de la
sección de coordenadas 𝑦, 𝑧, superponemos las tensiones
calculadas en forma independiente para 𝑀𝑦 y 𝑀𝑧.

37. Flexión Compuesta
• Para las componentes 𝑀𝑦,𝑀𝑧, al considerar su acción en
forma separada, los ejes neutros son las direcciones 𝑦,𝑧
respectivamente, sin embargo el eje neutro para la situación
compuesta, en general no coincide con la dirección de 𝑀𝑠.
• La ecuación de la recta que tiene la dirección de 𝑀𝑠 es
• La ecuación del eje neutro, por definición se obtiene con la
condición σx=0.

38. Finalmente, el ángulo 𝜃 que el eje neutro
forma con la dirección 𝑦, queda definido
como:
Remplazando tenemos
y
z
z
y
M
M
I
I
tan

39. • Las pendientes de las dos rectas difieren por la relación 𝐼𝑦/ 𝐼𝑧.
• Sólo cuando 𝐼𝑦/ 𝐼𝑧=1, las direcciones del momento y el eje neutro
coinciden como es el caso de sección circular, cuadrada y otras.
• Para determinar en este caso de flexión compuesta, el esfuerzo
máximo, es necesario conocer el punto más alejado del eje neutro.
•La determinación de este punto dependerá de
la forma de la sección, pero se puede
determinar gráficamente trazando una
paralela al eje neutro hasta hacerla coincidir
con el punto más alejado del contorno.
•En la figura en el punto de coordenadas
𝑦1, 𝑧1 actúa el esfuerzo máximo dado por:

40. Ejemplo 1
Una barra de sección rectangular está
solicitada en sus extremos por un momento de
flexión como se indica en la figura
Determine la distribución de
esfuerzos en una sección
transversal cualquiera. Dimensión
𝑏=6 𝑐𝑚.

41. Ejemplo 1
Para la geometría dada se tiene:
La posición de eje neutro

42. Ejemplo 1
En este caso particular se puede apreciar que la superposición de las flexiones
producidas en forma independiente por las componentes 𝑀𝑦,𝑀𝑧, hace que el punto con
un mayor esfuerzo de tracción sea el punto Q.
El esfuerzo máximo de tracción en el punto Q, que es igual al esfuerzo de compresión en
el punto R.

43. Ejemplo 2
Una viga de sección circular esta sometida a un
esfuerzo de flexión Ms
Calcular el esfuerzo máximo.

44. Ejemplo 2
• En este caso por ser 𝐼𝑦=𝐼𝑧, la dirección del eje neutro coincide con la
dirección del momento 𝑀𝑠, luego:
Como en el eje neutro, en este caso, es
también un eje principal de inercia, no es
necesario tratar el problema como flexión
compuesta, sino como una flexión simple
alrededor del eje neutro.