Integraalrekening 2 DT 1415 les 5 GvAlst

1. Integraalrekening 2
Les 5 DT
Gerard van Alst
Juni 2015

2. Doelen
• Paragraaf 7.8: oneigenlijke integralen.

3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over
standaardafgeleiden en standaardintegralen
• 1. Wat is de afgeleide van tan(𝑥) ?
• 2. Waar of niet: ln 8 = 3 ln 2 ?
• 3. Waar of niet : sin 2𝑥 = 2sin(𝑥)cos 𝑥 ?
• 4. Wat is de primitieve van
1
(𝑥−1)2?
• 5. Bereken de primitieve van
cos 𝑥 sin2
(𝑥).

4. Paragraaf 7.5.
Kunnen
afleiden
Kunnen
afleiden, met
a=1 kennen
Kunnen
afleiden

5. Paragraaf 7.5 (2)
• 1. Vereenvoudig of schrijf anders.
Bijvoorbeeld: 𝑥( 𝑥 + 1)𝑑𝑥 of
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
• 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen.
Bijv.
2𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
• 3. Kijk naar de vorm:
–
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 waarbij 𝑃(𝑥) en 𝑄(𝑥) polynomen zijn:
volg de procedure uit paragraaf 7.4.

6. Paragraaf 7.5 (3)
• Vervolg “kijk naar de vorm”:
– 𝑠𝑖𝑛 𝑛
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑥 𝑑𝑥 : volg de procedure uit
paragraaf 7.2 (blz. 473)
– Indien er 𝑎2 − 𝑥2 in de integraal staat en
substitutie is niet mogelijk: probeer dan 𝑥 = 𝑎 sin(𝑡)
– Kijk of partiële integratie mogelijk is.
• Indien het niet gelukt is, kan “herschrijven,
anders schrijven” misschien helpen. Zie
voorbeelden boek.
• P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet
integreerbaar zijn!

7. Huiswerkopgaven.
• §7.4: 21, 23, 29, 64

8. Huiswerkopgaven.
• §7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45

9. Oneigenlijke integralen (type 1)
• Oneindige intervallen:
• Bijvoorbeeld: 1
∞ 1
𝑥2 𝑑𝑥 en 1
∞ 1
𝑥
𝑑𝑥.
• Nu is 1
∞ 1
𝑥2 𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞ 1
𝑡 1
𝑥2 𝑑𝑥 =
• lim
𝑡→∞
1 −
1
𝑡
= 1.
• En 1
∞ 1
𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞ 1
𝑡 1
𝑥
𝑑𝑥 =
• lim
𝑡→∞
ln 𝑡 − 0 = ∞.

10. Opgaven.
2
∞
𝑒−5𝑝
𝑑𝑝
1
∞
ln(𝑥)
𝑥
𝑑𝑥

12. Verticale asymptoten.

13. Voorbeeld verticale asymptoot.

14. Verticale asymptoot (2)
• Conclusie: we moeten ALTIJD splitsen bij
een verticale asymptoot!
• Voorbeeld: 0
2 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 .
• Er is een verticale asymptoot:
• x=1, dus we moeten splitsen en
• de beide integralen onderzoeken:
• 0
1 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 en 1
2 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥

15. Verticale asymptoot (3)
• 0
1 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 en 1
2 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥:
• 0
1 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 = lim
𝐴→1− 0
𝐴 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 =
• lim
𝐴→1−
−
1
𝐴−1
+
1
−1
= ∞
• Net zo is 1
2 1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥 = ∞

16. Opgaven verticale asymptoot.

17. Opgaven en huiswerk
• §7.8: 1, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27, 29,
31, 35, 41