A TRAVÉS DE ESTA PRESENTACIÓN PODRÁS SABER MÁS ACERCA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y PODRÁS APRENDER COMO RECONOCER SI ES O NO ES EXACTA.

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES
TECNOLOGÍAS DE LA PRODUCCIÓN
ALUMNA: ANAHÍ GERALDINE DAZA ZAMORA
MATEMÁTICAS APLICADAS
PROFESOR: LIC. EDGAR MATA
7° “A”

2. Ecuaciones Diferenciales
 Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función desconocida y
sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
 Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.

3.  Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:
• Y´ significa derivada de Y.
• Y¨ significa segunda derivada.
 Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una función
desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en
un intervalo y es una función y que satisface la ecuación
diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0

4. Ejemplo
Tenemos la ecuación Y= sen2x + cos2x y queremos comprobar
si la solución de la misma es: Y¨+ 4y = 0
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
-4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

5. Notablemente podemos ver que si es la solución porque al
hacer la comprobación nos da como resultado 0. A esta
solución se le llama particular.
Pero cuando no tenemos la solución tenemos que obtenerla a
través de el método de solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x

6. EJEMPLO 2
 Comprobar de la siguiente ecuación:
Y= x2 – 1
 Si la es solución es:
(y´)4 + y2 = - 1
Y´= 2x
 Comprobación
(2x)4 + ( x2 – 1 )2 = 16x4 + x4 - 2x2 +1
 Despejamos y obtenemos el resultado de: 17x4 - 2x2 +1
No es la
solución porque
no es igual a -1

7.  Y = e2x
Solución : y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
 Comprobación :
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0

8.  Y = e-2x + e3x
Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

9.  Y = x2 + ex + e-2x
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 x2 -2 ex -2 e-2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2)

10.  Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0
U=x du=1dx
V=e2x dv=2e2x Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
U=x du=1dx
V=e2x dv=2e2x Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x +
C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

11. Ecuaciones diferenciales por
separación de variables
 Ecuaciones diferenciales con variables separables:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
푑푦
푦
=
푑푥
푥
ln 푦 = ln 푥 + ln 퐶푖
ln 푦 = ln 퐶푖 x
 Aplicando anti-logaritmo
푦 = 퐶푖푥

12.  Comprobación:
푦 = 퐶푖푥
푑푦
푑푥
= 퐶푖
Sustituyendo:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
퐶푖 =
퐶푖푥
푥
퐶푖 = 퐶푖
푑푦
푑푥
=
푥
푦
푦푑푦 = 푥푑푥
푦2
2
=
푥2
2
+
퐶1
2
2
푦2 = 푥2 + 퐶1

13. ECUACIONES
DIFERENCIAL
EXACTAS

14. Ecuaciones diferenciales
exactas
 푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2dy = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥 푁 = 푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
No es posible separar las variables, por lo que es
necesario buscar otro método.
Formula :
∂ 푀
∂ 푦
=
∂ 푁
∂ 푥

15.  푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푁
= 4
=4
∂ 푦
∂ 푥
Si es una ecuación
diferencial exacta por
que :
∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4

16. Ejercicio 1
1.- 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + (푥푦)푑푦 = 0
No es posible separar las variables por lo que debemos
determinar si es una ecuación diferencial exacta.
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푁
= 2푦
=푦
∂ 푦
∂ 푥
No es exacta porque no coinciden los resultados

17.  A veces es posible encontrar un factor (factor
integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación
diferencial la convierte en exacta. Para encontrar
este factor integrante podemos utilizar la siguiente
formula:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
 Sustituimos nuestros valores en la formula anterior:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−푦
푥푦
=
푦
푥푦
=
ퟏ
풙
Este resultado lo integraremos
atreves de la sig. fórmula

18.  Utilizaremos este resultado para obtener el factor integrante
por medio de la expresión:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥
푒
1
푥
푑푥 푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥 Factor integrante
 Multiplicaremos la ecuación diferencial original por este factor
integrante, y el resultado de la multiplicación será una
ecuación diferencial exactas.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푁
=2푥푦
∂ 푦
∂ 푥
= 2푥푦

19. A continuación aplicamos el método de solución de
ecuaciones diferenciales exactas, (el primer
paréntesis se resuelve con respecto a “X”)
 Integramos: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
 Solo falta determinar el valor g(y)

20.  Para determinar el valor g(y) derivamos
la función f encontrada respecto a “Y”.
휕푓
휕푦
= 2푦
푥2
2
+ 푔´ 푦 ∴
휕푓
휕푦
= 푥2푦 + 푔 푦
Este resultado se iguala con la segunda N
que obtuvimos:
푥2푦 + 푔 푦 = 푥2푦
 Simplificando:
푔´ 푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔´ 푦 =0
Si 푔´ 푦 =0 entonces 푔 푦 = C1

21.  Por lo tanto la función buscada es :
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1
 Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1 = 퐶2
 Simplificamos
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶

22.  2.- 3푥2 + 푦2 푑푥 (−2푥푦)푑푦 = 0
푀 = 3푥2 + 푦2 푁 = −2푥푦푑푦
휕푀
휕푦
= 2y
휕푁
휕푋
= −2y
No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar
el factor integrante:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−(−2푦)
−2푥푦
=
2푦+2푦
−2푥푦
=
4푦
−2푦
=
−2
푥
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
푒
−2
푥
푑푥 푒−2
푑푥
푥 푒푙푛푥
−
2
= 푥−2 =
1
푥2
3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
1
푥2
3 +
푦2
푥2 푑푥 −
2푦
푥
푑푦 = 0

23. 푀 = 3 +
푦2
푁 = −2푦
푥2 푥

휕푀
휕푦
=
2푦
푥2 푢 = −2푦 푣 = 푥
푣
푑푢
푑푥
−푢
푑푣
푑푥
푣2
푑푢
푑푥
= 0
푑푣
푑푥
= 1
휕푁
휕푥
=
푥 0 − 2 −2푦 (1)
(푥)2
휕푁
휕푥
= 2푦
푥2

24.  Integramos : 3 +
푦2
푥2 dx
3 +
푦2
푥2 dx =3 푑푥 + 푦2
푑푥
푥2 = 3푥 + 푦2 푥−2
푓 = 3푥 + 푦2 푥−1
−1
+ 푔 푦
푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 푔 푦
Determinar : 푔 푦
휕푓
휕푦
= −
2푦
푥
+ 푔´ 푦
−
2푦
푥
+ 푔´ 푦 =−
2푦
푥
푔´ 푦 =−
2푦
푥
+
2푦
푥
= 푔´ 푦 =0

25. 푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 퐶1 푠표푙푢푐푖표푛: 3푥 −
푦2
푥
+ C1 = C2
3푥 −
푦2
푥
= C 푥
3푥2 − 푦2 = 퐶푥