2. Ανάλυση λαθών – Τι είναι
• Διαχείριση του λάθους στα πλαίσια της
γενικότερης διδακτικής πράξης.
• Τα αποτελέσματα της διδακτικής πράξης
εξαρτώνται άμεσα από τα χαρακτηριστικά
της επικοινωνίας μεταξύ των μελών της
σχολικής τάξης.
3. Διαφορά λάθους - αστοχίας
• Mistake = Λάθος που προκύπτει από
προβλήματα γνωστικής κατάστασης
• Miscue = Λανθασμένα στοιχεία που
προκύπτουν από λανθασμένη επεξεργασία
4. Διδακτικό συμβόλαιο και λάθη
• Η διδακτική πράξη εξαρτάται από το
πλέγμα των σχέσεων που αναπτύσσονται
μεταξύ μαθητών και εκπαιδευτικού.
• Διδακτικό Συμβόλαιο
• Οι μαθητές είναι «υποχρεωμένοι» να
δίνουν απάντηση στα προβλήματα που
τους δίνονται.
5. Ανάλυση λάθους - Διαδικασία
• Συμπεράσματα από την εύρεση των
λαθών.
• Εύρεση μοτίβων λαθών
• Αποτύπωση της χρήσης στρατηγικών που
χρησιμοποίησε ο μαθητής όταν έκανε το
λάθος (Ερμηνεία)
• Ανάπτυξη διδακτικών παρεμβάσεων και
διαφοροποίηση αντιστάθμισης.
8. Συστηματικά λάθη
• Λάθη που γίνονται συνεχώς ή τουλάχιστον
έχουν μεγαλύτερη συχνότητα από άλλα.
• Έχουν διδαχθεί και θα έπρεπε να έχουν
εμπεδωθεί.
• Δεν είναι αποτέλεσμα παρορμητικότητας
και έλλειψης προσοχής
9. Παράδειγμα
3–5=2
•Υπάρχει γνώση αλλά είναι ανεπαρκής
•Οφείλεται σε διδακτικό εμπόδιο (π.χ. ο
εκπαιδευτικός δίδαξε αποκλειστικά
αποκλειστικά με απτά υλικά)
•Ανάγκη εξοικείωσης με αρνητικούς
αριθμούς
•Επόμενο στάδιο: Διδασκαλία «Χρωστάω»
10. Τυπολογία λαθών
• Λάθη στις βασικές έννοιες και δεξιότητες
• Δυσκολίες στη θεσιακή αξία
• Λάθη κατά την εύρεση Βασικών
Αριθμητικών Δεδομένων (ΒΑΔ)
• Λάθη κατά την εφαρμογή των αλγορίθμων
των πράξεων
11. Λάθη στις βασικές έννοιες και δεξιότητες
• Η έννοια του αριθμού
• Θεσιακή αξία
• Διάκριση – ανάγνωση – γραφή αριθμού
• Μέτρηση - απαρίθμηση
12. Θεσιακή αξία (τι κάνω)
• Οι αριθμοί παρουσιάζονται όχι μόνο ως
αυθαίρετα σύμβολα αλλά ως γραπτή
απόδοση και συμβολική αναπαράσταση.
35. Δυσκολίες στην ανάκληση ΒΑΔ
Προαπαιτούμενα
1. «Ανεβαίνει - κατεβαίνει» από έναν δεδομένο
αριθμό
2. Μετρά μέχρι το 20 ανά 2,3, κλπ. ευθεία κι
αντίστροφα
3. Δηλώνει τον αριθμό που είναι 1,2,3 μικρότερος
ή μεγαλύτερος από δεδομένο αριθμό
4. Έχει αναπτύξει αίσθηση των σχέσεων των
αριθμών μέχρι το 20
5. Χρήση παραδειγμάτων και μνημονικών
βοηθημάτων π.χ. 2+2 τα πόδια ενός σκύλου
36. 1. Προσθέσεις με το 0 5. Προσθέσεις με το 9
2. Προσθέσεις με το 1 6. Προσθέσεις με άθροισμα το 10
3. Προσθέσεις με το 2 7. Προσθέσεις γνωστών με το 1
4. Προσθέσεις διδύμων 8. Ξεχωριστές Προσθέσεις
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
37. Αφαιρέσεις
• Αφαιρέσεις με 0 • Μειωτέος+1 /
• Αφαιρέσεις αριθμών Αποτέλεσμα + 1
με τον εαυτό τους • Αφαιρέσεις με
• Αφαιρέσεις με το 1 ενδιάμεσο σταθμό 10
• Αφαιρέσεις με το 2 • Αφαιρέσεις με
υπόλοιπο το 10
• Αφαιρέσεις με το 3
• Αφαιρέσεις διδύμων • Διψήφιος πλην
μονοψήφιος
• Αφαιρέσεις από το 10
• Αφαιρέσεις του 9
38. Γνωστικές προϋποθέσεις πράξεων
1. Εκτίμηση και τελικό έλεγχος (Νοεροί
υπολογισμοί – αναπαραστάσεις)
2. Εξοικείωση με τα σύμβολα και τη σημασία
τους
Σύμβολο Όνομα Πράξη Ενέργειες Αποτέλεσμα
+ και, 56 + 8 Προσθέτω, Άθροισμα
συν βάζω,
μεγαλώνω
39. Γνωστικές προϋποθέσεις πράξεων
3. Κατάκτηση και εξοικείωση με το
μαθηματικό λεξιλόγιο, π.χ. ρήματα
πράξεων (αφαιρώ), ειδικές ονομασίες
αποτελεσμάτων (άθροισμα, διαφορά,
υπόλοιπο) και αριθμών (προσθετέοι,
μειωτέος).
4. Κατανόηση της σημασίας των πράξεων
στην καθημερινή ζωή
40. Βασικές υπολογιστικές στρατηγικές
1. Εύρεση αθροίσματος με συνέχιση της
απαρίθμησης από το μεγαλύτερο
π.χ. 25 + 7 =
2. Ανάλυση ενός αριθμού σε γνωστό
άθροισμα που έχει αυτοματοποιηθεί
π.χ. 5+8 = 5 + (5 + 3)= 10 + 3 = 13
5+3
41. Βασικές υπολογιστικές στρατηγικές
3. Ανάλυση αριθμού σε ν+1 μορφή για
αξιοποίηση ήδη αυτοματοποιημένων ΒΑΔ
π.χ. 6 + 7 = 6 + (6 + 1) = (6+6) +1 = 12+1
=13
4. Χρήση αντιμεταθετικότητας και
αντιστροφή πράξεων
46. Πρόσθεση και αφαίρεση.
Η πρόσθεση χωρίς κρατούμενο.
Η πρόσθεση με κρατούμενο.
Η αφαίρεση χωρίς κρατούμενο.
Η αφαίρεση με κρατούμενο.
47. •• Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες (( Μ ).
Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες Μ ).
7+1=8
7+1=8
•• Γράφουμε το 8 κάτω από τις μονάδες (( Μ ).
Γράφουμε το 8 κάτω από τις μονάδες Μ ).
•• Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες (( Δ ).
Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες Δ ).
3+2=5
3+2=5
•• Γράφουμε το 5 κάτω από τις δεκάδες. (( Δ ).
Γράφουμε το 5 κάτω από τις δεκάδες. Δ ).
48. •• Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες (( Μ ).
Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες Μ ).
•• Γράφουμε το 4 κάτω από τις μονάδες (( Μ ).
Γράφουμε το 4 κάτω από τις μονάδες Μ ).
•• Η δεκάδα από το 14 πηγαίνει στις δεκάδες σαν
Η δεκάδα από το 14 πηγαίνει στις δεκάδες σαν
κρατούμενο.
κρατούμενο.
•• Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες (( Δ ).
Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες Δ ).
•• Γράφουμε το 8 κάτω από τις δεκάδες. (( Δ ).
Γράφουμε το 8 κάτω από τις δεκάδες. Δ ).
κρατούμενο
κρατούμενο
49. •• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες (( Μ ).
Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες Μ ).
6 -- 4 = 2
6 4=2
•• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες (( Μ ).
Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες Μ ).
•• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες (( Δ ).
Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες Δ ).
8 -- 7 = 1
8 7=1
•• Γράφουμε το 1 κάτω από τις δεκάδες. (( Δ ).
Γράφουμε το 1 κάτω από τις δεκάδες. Δ ).
50. •• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες (( Μ ).
Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες Μ ).
4 – 8 δεν αφαιρείται
4 – 8 δεν αφαιρείται
•• Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε ::
Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε
•• Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες (( Μ ).
Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες Μ ).
•• Το κρατούμενο κατεβαίνει στις 6 δεκάδες και λέμε ::
Το κρατούμενο κατεβαίνει στις 6 δεκάδες και λέμε
•• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες (( Δ ).
Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες Δ ).
9 --7 = 2
9 7=2
•• Γράφουμε το 2 κάτω από τις δεκάδες. (( Δ ).
Γράφουμε το 2 κάτω από τις δεκάδες. Δ ).
51. •• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες (( Μ ).
Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες Μ ).
4 – 8 δεν αφαιρείται
4 – 8 δεν αφαιρείται
•• Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε ::
Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε
•• Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες (( Μ ).
Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες Μ ).
•• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες (( Δ ).
Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες Δ ).
8–6=2
8–6=2
•• Γράφουμε το 2 κάτω από τις δεκάδες. (( Δ ).
Γράφουμε το 2 κάτω από τις δεκάδες. Δ ).
52. Ιδιότητες της αφαίρεσης
• α – β = (α+γ) – (β+γ) όπου β≤α
α – β = (α-γ) – (β-γ) όπου β≤α
(Αν από έναν φυσικό αριθμό αφαιρέσουμε το
γ και στη διαφορά προσθέσουμε το γ,
βρίσκουμε πάλι τον ίδιο αριθμό)
• Ιδιότητα της διαγραφής
με γ ≤α α=βα-γ=β-γ
(α-γ)+γ=(β-γ)+γ α=β
53. Αλγόριθμος «Πρόσθεση ίσων ποσών»
43
• 8 από 3 δε βγαίνει
1 • Προσθέτω μια δεκάδα =
10 μονάδες στο μειωτεό
-28
και γίνεται 13.
1 • Προσθέτω μια δεκάδα
στις δεκάδες του
15 αφαιρετέου.
• Αλλαγές στο μειωτέο και
αφαιρετέο
54. Αλγόριθμος «Μετατροπή του μειωτέου»
3 13 • Βασίζεται στη
43 μετατροπή στο
δεκαδικό σύστημα
μιας μονάδας μιας
-28 τάξης σε δέκα
μονάδες μικρότερης
τάξης
15 • Αλλαγές μόνο στο
μειωτέο
55. Νοεροί υπολογισμοί
67 – 29= • Αρχίζουμε από τον
αριθμό μονάδων που
(67+1)-(29+1)= βρίσκεται πιο κοντά
στο δέκα.
68-30=
38 • Προσθέτουμε και
στους δύο όρους τον
ίδιο αριθμό (το 1 στο
παράδειγμα)
57. Ως συμπλήρωμα
• Υπάρχει μια μεγάλη ποσότητα (πληθικός
αριθμός Α), ένα μικρότερο μέρος αυτής
(πληθικός αριθμός Β, Β⊆Α) και ζητείται
το συμπλήρωμα Βc
• Π.χ. ο Γιώργος έχει 23 γραμματόσημα.
Πόσα πρέπει να μαζέψει για να τα κάνει
50;
• 23+=50 και +23=50
58. Ως υπόλοιπο
• Υπάρχει μια αρχική ποσότητα από την
οποία βγάζουμε ένα μέρος και ζητείται να
βρεθεί αυτό που έμεινε, το υπόλοιπο.
• Π.χ. ο Γιώργος είχε 50 γραμματόσημα και
χάρισε τα 23. Πόσα γραμματόσημα θα του
μείνουν;
• 50 – 23 =
59. Ως διαφορά
• Υπάρχουν δύο ποσότητες που τις
συγκρίνουμε μεταξύ τους και βρίσκουμε τη
διαφορά τους.
• Π.χ. ο Γιώργος έχει 50 γραμματόσημα και
η Άννα 23. Πόσα περισσότερα έχει ο
Γιώργος
• 50 – 23 =