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Luoghi geometrici




    F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                       ı

      Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma


Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia
Indice



  1   Luogo geometrico:definizione


  2   Asse del segmento


  3   Circonferenza


  4   Parabola




                 F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                    ı   Luoghi geometrici
Luogo Geometrico definizione




  Si dice luogo geometrico, dal latino locus, la figura formata
  dall’insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una
  medesima propriet` . a
  Nel piano Cartesiano dicesi luogo geometrico l’insieme dei punti del
  piano le cui coordinate (x, y) soddisfano la medesima equazione
  f (x, y) = 0, detta equazione del luogo.




                F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                   ı   Luoghi geometrici
Nota Storica




  Euclide nel I libro dei suoi Elementi impieg` il termine luogo (in
                                                  o
  greco t´ pos) per indicare tutti e solo i punti che godono di una
         o
  determinata propriet` .
                       a




                F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                   ı   Luoghi geometrici
Esempi notevoli di luoghi geometrici




     F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                        ı   Luoghi geometrici
Asse del segmento: definizione




  Dicesi asse di un segmento AB quella retta r perpendicolare al
  segmento medesimo nel suo punto medio M. I punti appartenenti ad r
  godono della propriet` di essere equidistanti dagli estremi A e B.
                       a




               F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                  ı   Luoghi geometrici
Asse del segmento: costruzione



                                                            Tracciare un segmento AB.
                                                            Puntare il compasso in A con
                                                            raggio r AB tracciare un
                                                            arco di circonferenza.
                                                            Puntare il compasso in B con
                                                            raggio r AB tracciare un
                                                            arco di circonferenza.
                                                            Le intersezioni P e P1 degli
                                                            assi saranno i punti per i quali
                                                            passer` l’asse del segmento
                                                                   a
                                                            AB.



             F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                ı   Luoghi geometrici
Asse del segmento: equazione

                                                   Dalla condizione


                                                             (x − xA )2 + (y − yA )2
                                                              = (x − xB )2 + (y − yB )2   (1)

                                                   si ha l’equazione Cartesiana
                                                   dell’asse

                                                                   ax + by + c = 0        (2)
                                                   con

                                                             a = 2 (xB − xA )
                                                             b = 2 (yB − yA )
                                                             c = xA + y2 + xB + y2
                                                                  2
                                                                       A
                                                                            2
                                                                                 B

            F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                               ı   Luoghi geometrici
Circonferenza: definizione




  Dicesi circonferenza il luogo dei punti di un piano equidistanti da un
                                                    `
  punto fisso C detto centro. La distanza r costante e detta raggio.




                F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                   ı   Luoghi geometrici
Circonferenza per tre punti: costruzione



                                                    Siano dati tre punti M, N e P, non
                                                    allineati e distinti.
                                                    Congiungere M con N e N con P.
                                                    Tracciare gli assi a e b dei segmenti
                                                    MN e NP, rispettivamente.
                                                    Sia il punto C l’intersezione di a e b.
                                                    Tracciare la circonferenza puntando
                                                    il compasso in C (centro) ed apertura
                                                    di raggio r CM CN CP




             F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                ı    Luoghi geometrici
Circonferenza: equazione



                                                   Dalla condizione

                                                        r2 = (x − xC )2 + (y − yC )2   (3)

                                                   si ha l’equazione Cartesiana della
                                                   circonferenza


                                                   x2 +y2 −2xC x−2yC y+xC +y2 −r2 = 0
                                                                        2
                                                                            C
                                                                                  (4)




            F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                               ı   Luoghi geometrici
Parabola: definizione




  Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti da un punto F, detto
  fuoco, e da una retta d, detta direttrice.




                F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                   ı   Luoghi geometrici
Parabola: costruzione


                                                Tracciare una retta d (direttrice) e un
                                                punto F(fuoco) non appartenente a d.
                                                Si scelga un punto H sulla direttrice d.
                                                Unire i punti F e H.
                                                Tracciare l’asse k del segmento FH.
                                                Tracciare la retta h ⊥ d.
                                                                          `
                                                P, intersezione tra h e k e il generico
                                                punto della parabola.
                                                I rimanenti punti della parabola si
                                                ottengono variando la posizione di H su
                                                d.



             F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                                ı   Luoghi geometrici
Parabola: equazione


                                     Senza perdita di generalit` scegliamo la
                                                                a
                                     direttrice d ⊥ asse ascisse e ad una distanza
                                     p
                                        da quello delle ordinate. Al fuoco F
                                     2
                                                                        p
                                     vengono assegnate le coordinate , 0 .
                                                                        2
                                     Imponendo la condizione FP2 = HP2 si ha

                                                             p   2            p   2
                                                      x+               = x−           + y2   (5)
                                                             2                2
                                     da cui discende l’equazione della parabola:

                                                                  y2 = 2px                   (6)



            F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
                                               ı   Luoghi geometrici

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Luoghi geometrici

  • 1. Luoghi geometrici F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia
  • 2. Indice 1 Luogo geometrico:definizione 2 Asse del segmento 3 Circonferenza 4 Parabola F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 3. Luogo Geometrico definizione Si dice luogo geometrico, dal latino locus, la figura formata dall’insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una medesima propriet` . a Nel piano Cartesiano dicesi luogo geometrico l’insieme dei punti del piano le cui coordinate (x, y) soddisfano la medesima equazione f (x, y) = 0, detta equazione del luogo. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 4. Nota Storica Euclide nel I libro dei suoi Elementi impieg` il termine luogo (in o greco t´ pos) per indicare tutti e solo i punti che godono di una o determinata propriet` . a F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 5. Esempi notevoli di luoghi geometrici F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 6. Asse del segmento: definizione Dicesi asse di un segmento AB quella retta r perpendicolare al segmento medesimo nel suo punto medio M. I punti appartenenti ad r godono della propriet` di essere equidistanti dagli estremi A e B. a F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 7. Asse del segmento: costruzione Tracciare un segmento AB. Puntare il compasso in A con raggio r AB tracciare un arco di circonferenza. Puntare il compasso in B con raggio r AB tracciare un arco di circonferenza. Le intersezioni P e P1 degli assi saranno i punti per i quali passer` l’asse del segmento a AB. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 8. Asse del segmento: equazione Dalla condizione (x − xA )2 + (y − yA )2 = (x − xB )2 + (y − yB )2 (1) si ha l’equazione Cartesiana dell’asse ax + by + c = 0 (2) con a = 2 (xB − xA ) b = 2 (yB − yA ) c = xA + y2 + xB + y2 2 A 2 B F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 9. Circonferenza: definizione Dicesi circonferenza il luogo dei punti di un piano equidistanti da un ` punto fisso C detto centro. La distanza r costante e detta raggio. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 10. Circonferenza per tre punti: costruzione Siano dati tre punti M, N e P, non allineati e distinti. Congiungere M con N e N con P. Tracciare gli assi a e b dei segmenti MN e NP, rispettivamente. Sia il punto C l’intersezione di a e b. Tracciare la circonferenza puntando il compasso in C (centro) ed apertura di raggio r CM CN CP F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 11. Circonferenza: equazione Dalla condizione r2 = (x − xC )2 + (y − yC )2 (3) si ha l’equazione Cartesiana della circonferenza x2 +y2 −2xC x−2yC y+xC +y2 −r2 = 0 2 C (4) F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 12. Parabola: definizione Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 13. Parabola: costruzione Tracciare una retta d (direttrice) e un punto F(fuoco) non appartenente a d. Si scelga un punto H sulla direttrice d. Unire i punti F e H. Tracciare l’asse k del segmento FH. Tracciare la retta h ⊥ d. ` P, intersezione tra h e k e il generico punto della parabola. I rimanenti punti della parabola si ottengono variando la posizione di H su d. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici
  • 14. Parabola: equazione Senza perdita di generalit` scegliamo la a direttrice d ⊥ asse ascisse e ad una distanza p da quello delle ordinate. Al fuoco F 2 p vengono assegnate le coordinate , 0 . 2 Imponendo la condizione FP2 = HP2 si ha p 2 p 2 x+ = x− + y2 (5) 2 2 da cui discende l’equazione della parabola: y2 = 2px (6) F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Luoghi geometrici