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Comunicação Matemática                           Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Um...
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Comunicação Matemática                           Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Um...
RACIOCÍNIOHá autores que incluem o raciocínio numa outra categoria, a do pensamentomatemático.        Profundo            ...
Em suma…Capacidade transversal que todos os alunos precisam de desenvolver,independentemente dos ciclos de ensino em que s...
Comunicação Matemática                         Fundamentação TeóricaRaciocínio Matemáticonum contexto de resolução de prob...
Números às avessasPensa num número de dois algarismos. Escreve o número que se obtémlendo-o da direita para a esquerda. Su...
53- 35 = 18;   54 – 45 = 9;   92 – 29= 63; 84 – 48= 36;72 – 27 =45; 63 -36= 27;      91 – 19= 72; 42 – 24= 18             ...
• A diferença entre os algarismos tem influencia no múltiplo ode  9 que se obtém, vamos ver…. 75 -57 = 18                 ...
O que prova a conjetura!!
Prova:
Os cacifosNuma escola há mil alunos e mil cacifos.•Passa o 1.º aluno e abre todos os cacifos;•Passa o 2.º aluno e “muda o ...
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Posição do Quadrado     Coordenadas do Centro                       X                    y         1             2        ...
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  1. 1. Curso de FormaçãoCapacidades Transversais no Ensino da Matemática Sessão IV Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior) 1
  2. 2. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Área de Especialização de MatemáticaRaciocínio Matemático
  3. 3. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das CiênciasPara que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de MatemáticaA meu ver são principalmente o sentido crítico e a autonomia mental asqualidades que um professor de matemática se deve esforçar por desenvolvernos seus alunos.Os alunos não precisam, em geral, de ser investigadores, mas precisam deter espírito de investigação. Intuição, experiência, lógica indutiva, lógicadedutiva - todos estes meios se alternam constantemente na investigaçãocientífica, numa cadeia sem fim em que é difícil destrinçar uns dos outrosUm dos objectivos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no alunohábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os automatismos de leitura,de escrita e de cálculo. Mas trata-se aí, manifestamente, de meios, não defins.
  4. 4. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das CiênciasPara que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de MatemáticaO que é preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com oenciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vãodesde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bemdizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado numsistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismossuperficiais.A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto aprogramas, mas também quanto a métodos de ensino. O professor deveabandonar, tanto quanto possível, o método expositivo tradicional, em que opapel dos alunos é quase cem por cento passivo, e procurar, pelo contrário,seguir o método activo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando aimaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, àredescoberta
  5. 5. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das CiênciasPara que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de MatemáticaO professor não deve forçar a conclusão: deve deixá-la formar-seespontaneamente no espírito do aluno.(...) o ensino de qualquer assunto deve (...) começar pela fase intuitiva. Mas afase racional, que se lhe segue, é igualmente indispensável. Especialmenteem matemática, nenhum resultado pode merecer inteira confiança, enquantonão for sancionado pela razão, isto é, demonstrado logicamente. Por isso, seé muito importante estimular no aluno a intuição e a imaginação criadora, nãomenos importante é desenvolver nele o espírito crítico, o hábito da análiselógica e do raciocínio rigoroso.O que se pretende acima de tudo é levar o aluno a compreender o porquê dosprocessos matemáticos, em vez de lhe paralisar o espírito, automatizando-odesde logo. (...) No ensino tradicional o aluno é tratado, precisamente, comose fosse uma máquina, enquanto no ensino moderno se procura, por todos osmeios, levá-lo a reflectir e a reencontrar por si as ideias fundamentais queestão na base da Matemática
  6. 6. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das CiênciasPara que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de MatemáticaQUEM TERÁ AFIRMADO TUDO ISTO? José Sebastião e Silva (1914-1972)Em 12 de Dezembro de 1994 completaram-se 80 anos que nasceu em Mértolao matemático e pedagogo português José Sebastião e Silva, um dos maiores,se não mesmo o maior vulto português na área da Matemática e do Ensino daMatemática neste século XX.
  7. 7. Fundamentação Teórica O que se entende por Raciocínio Matemático?CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  8. 8. Raciocínio Matemático – Importância Fundamentação TeóricaNo ensino da Matemática, o grande objectivo é o desenvolvimentoda capacidade dos alunos pensarem matematicamente. Trata-se, noentanto, de um objectivo ambicioso. A simples aprendizagem deconceitos, algoritmos e procedimentos rotineiros é insuficiente paralevar os alunos a perceber a Matemática como uma disciplina lógicae coerente (ME, 2007). Para que exista compreensão efectiva dosprocedimentos pelo aluno, é necessário o desenvolvimento doraciocínio. Esta compreensão dos procedimentos passa não só pelasua aplicação, mas também por compreender porque funcionam,como podem ser utilizados e como os seus resultados podem ser CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICAinterpretados (NCTM, 2009).
  9. 9. Raciocínio Matemático – Importância Fundamentação TeóricaOs actuais documentos curriculares de Matemática um pouco por todo omundo, e inclusivamente em Portugal, apontam o desenvolvimento doraciocínio matemático como um objectivo central do ensino da Matemática ealertam para a necessidade de desenvolver essa capacidade nos alunos deforma consistente, recorrendo-se à sua utilização sistemática numadiversidade de contextos. Efectivamente, o documento Princípios e Normaspara a Matemática Escolar (2007) e o NPMEB destacam a importância detodos os alunos reconhecerem o raciocínio e a demonstração como aspectosfundamentais da matemática; formularem e investigarem conjecturasmatemáticas; desenvolverem e avaliarem argumentos e provas matemáticos;bem como seleccionarem e usarem diversos tipos de raciocínios e métodos CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICAde demonstração.
  10. 10. Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  11. 11. Fundamentação TeóricaCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  12. 12. Fundamentação Teórica RaciocínioComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Matemático• Formulação de conjecturas; • Explicação;• Generalização; • Justificação;• Caso particular; • Construção de cadeias• Contra exemplos; argumentativas;• Distinguir raciocínio indutivo de • Demonstração; dedutivoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  13. 13. Raciocínio Matemático – Actividades de conjecturar e provar Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoConjecturar• Negociar significados;• Valorizar;• Formular testes;• Investir na partilha e avaliação colectiva Provar • Justificar, compreender, convencer (a si próprio; a um amigo a um inimigo) • Produzir para avaliar; • Não basta verificar com exemplos;
  14. 14. Comunicação Matemática Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização
  15. 15. Comunicação Matemática Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização Que valores pode ter k para que k + 5 seja um múltiplo de 5?Com esta tarefa espera-se que os alunos conjecturem sobre os valoresque k pode tomar e que testem e verifiquem a sua conjectura. Para a suaresolução é necessário ter presente a noção de múltiplo de um número etambém um modo de o representar.
  16. 16. Comunicação Matemática Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização Resolução de Maria A aluna apresenta de imediato uma resposta ao problema, sem explicitar o seu raciocínio, levando menos de 10 segundos entre a leitura da tarefa e a sua resposta: A partir desta resposta, e quando solicitada a explicar o seu raciocínio, apresenta o seguinte: Como a aluna usa apenas um exemplo para explicar o seu raciocínio, surge a necessidade de a levar a explorar um pouco mais a tarefa:
  17. 17. Comunicação Matemática Fundamentação TeóricaRaciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalizaçãoEntrevistadora: Isto é para um número, conseguimos fazer para maisnúmeros? (apontando para o exemplo dado).Maria: Sim.E.: Sim? Então diz-me lá.M.: (hesita) não sei… Com números muito grandes… Sei lá…E.: E não podemos representar esses números por qualquer coisa? Oque é que eu sei que o k é?M.: k é… Ah, sim! (escreve “5x + 5”)E.: O que é que me garante que isso é um múltiplo de cinco?M.: Porque se… Este de certeza que vai dar um múltiplo de cinco (aponta para5x) e se somar mais cinco vai dar cinco de certeza (corrige), vai dar múltiplode cinco.
  18. 18. RACIOCÍNIOHá autores que incluem o raciocínio numa outra categoria, a do pensamentomatemático. Profundo Competências gerais de Cooperação conhecimento matemático raciocínioO pensamento matemático envolve uma variedade de competências Persistência, Competências Estratégias organização, de heurísticas confiança comunicação Capacidade de colocar questões 18
  19. 19. Em suma…Capacidade transversal que todos os alunos precisam de desenvolver,independentemente dos ciclos de ensino em que se encontram; os alunospodem apresentar processos de raciocínio distintos e, por vezes, bastantediversificados.Também na perspectiva de Boavida (2008), o raciocínio sempre esteveassociado à Matemática e constitui um aspecto central no ensino damesma, independentemente do tema ou do ano de escolaridade. Contudo,refere que não basta a proposta de tarefas com determinadas características,mas também a ajuda no desenvolvimento de um hábito de pensamento quetem a ver com o “porquê das coisas”. Assim, “é importante que os alunos seenvolvam em actividades de formulação, teste e prova de conjecturas…”.Ponte, Branco e Matos (2008) afirmam que raciocinar “envolve sobretudoencadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento” .
  20. 20. Comunicação Matemática Fundamentação TeóricaRaciocínio Matemáticonum contexto de resolução de problemas:Actividades de generalização (indutivo e dedutivo) – Uma experiência com alunos do 9.º ano O tipo de raciocínio utilizado por Maria é pouco claro, dado que apresenta a sua resposta ao problema antes de explicar o seu raciocínio. Contudo, atendendo ao tempo que Maria demora a responder ao problema e à apresentação imediata de uma generalização para o valor de k, é plausível supor o recurso ao raciocínio dedutivo. Por outro lado, na justificação dada posteriormente, Maria usa um exemplo para iniciar a sua explicação, tenta justificar a sua resolução de modo indutivo. Apenas a hesitação em usar mais casos particulares para justificar a sua resposta e a facilidade com que representa o valor geral de k sugere que Maria utiliza efectivamente o raciocínio dedutivo desde o início da sua resolução.
  21. 21. Números às avessasPensa num número de dois algarismos. Escreve o número que se obtémlendo-o da direita para a esquerda. Subtrai o maior do menor. Que diferençaobténs?Faz mais experiências com outros números. Observa as diferenças.Consegues encontrar um padrão?Formula uma conjectura baseada nas experiencias feitas.A conjectura será válida? Prova-a
  22. 22. 53- 35 = 18; 54 – 45 = 9; 92 – 29= 63; 84 – 48= 36;72 – 27 =45; 63 -36= 27; 91 – 19= 72; 42 – 24= 18 ….53- 35 = 18; 54 – 45 = 9; 92 – 29= 63; 84 – 48= 36;72 – 27 =45; 63 -36= 27; 91 – 19= 72; 42 – 24= 18 …. Mas há mais regularidades….
  23. 23. • A diferença entre os algarismos tem influencia no múltiplo ode 9 que se obtém, vamos ver…. 75 -57 = 18 Conjetura: A diferença entre dois números 7- 5 = 2, logo 2 x 9 = 18 deste tipo é sempre um múltiplo de nove, que corresponde ao produto de nove pela diferença entre os algarismos de qualquer 83 -38 = 45 dos números em causa 8 – 3 = 5, logo 5 x 9 = 45 Prova: • Chamemos a ao algarismo das dezenas e b ao algarismo das unidades. • Então ab será o nosso número, ou seja, 10a+b • O número às avessas será ba, ou seja, 10b+a; • Fazendo a diferença entre os dois vamos ter:
  24. 24. O que prova a conjetura!!
  25. 25. Prova:
  26. 26. Os cacifosNuma escola há mil alunos e mil cacifos.•Passa o 1.º aluno e abre todos os cacifos;•Passa o 2.º aluno e “muda o estado” (se está aberto fecha e se está fechado abre) dos cacifos de ordem múltiplo de 2;•Passa o 3.º aluno e “muda o estado” Passa o 4.º aluno e “muda o estado”•Quando passar o 1000.º aluno quantos cacifos ficam abertos? Cacifos: 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 Quadrados perfeitos Porquê?
  27. 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2512345678910111213141516171819202122232425
  28. 28. Posição do Quadrado Coordenadas do Centro X y 1 2 2 2 5 3 3 8 4 4 11 5 … 20 59 21 … n 3n-1 n+1

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