Divisão harmônica

3.109 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.109
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
9
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
25
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Divisão harmônica

  1. 1. DIVISÃO HARMÔNICAGabriel Doria
  2. 2. DEFINIÇÃO Dado um segmento AB e outro CD, ocorre uma divisão harmônica em AB por CD, quando a razão dos segmentos determinados por C (CA e CB) for igual à razão dos segmentos determinados por D (DA e DB):
  3. 3. PROPRIEDADES1)Em uma divisão harmônica, existe a relação:2)Sendo O o ponto médio de AB, temos: (OA)²=(OB)²=(OM).(ON)
  4. 4. VALORES PARA K Se k=1, D estará no infinito e C será o ponto médio de AB (O) Se k>1, os segmentos que C e D determinam com A são maiores que os segmentos que C e D determinam com B Caso 0<k<1, o contrário da preposição anterior ocorre.
  5. 5. DISTÂNCIA ENTRE DIVISORES HARMÔNICOS a b x Sejam C e D conjugados harmônicos de AB(=l). Assim, Se tivéssemos k<1, e fossemos pelo mesmo raciocínio chegaríamos Ao resultado:
  6. 6.  Sejam A,B,C e D: se C e D são divisores harmônicos de A e B, então o contrário será válido também e teremos: Pelo slide anterior (supondo k>1 e 0<k’<1):
  7. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Sejam A,B e C nesta ordem sobre uma reta tais que AB = 12 e BC = 3. Seja D conjugado harmônico de B em relação ao segmento AO. Então, BD mede quanto? Conjugado harmônico: AB/BC=AD/CD Seja CD=x 12/3=(15 + x)x 4x = 15 + x 3x=15 x=5 BD = BC + CD BD = 5 + 3 =8
  8. 8.  2)Os pontos A,M,B,N de uma reta formam uma divisão harmônica de razão MA/MB=NA/NB=k. Se J é ponto médio de MN a razão JA/JB vale: Representam a)2K as abscissas. b)K/2 c)K² d)3K e)K/3 substituindo Solução: Na última expressão fazemos as substituições
  9. 9. 3)Sejam C e D conjugados harmônicos em relação a A e B, e O o ponto médio de AB.a) Prove que (OA)² = (OC)(OD)b) Prove que 2/AB = 1/AC + 1/AD (relação que se usa em física no estudo dos espelhos)Essa relação mostra que AB é média harmônica entre AC e AD. b) Esse eu deixo pra você!
  10. 10.  4)(IME-RJ): Considere as equações do 2° grau ax² + bx + c = 0 e ax² + bx + c = 0. Suas raízes reais são respectivamente iguais a x1;x2 e x3;x4. Determine a condição entre os coeficientes das equações para que o segmento de extremidades com abscissas x1 e x2 seja dividido harmonicamente pelos pontos de abscissas x3 e x4.
  11. 11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
  12. 12.  1)Dada uma reta, com os pontos A,B,C e D dispostos nessa ordem, e com os seguintes comprimentos: AB=x; BC=6; CD=x+1, determine x para que os pontos abaixo formem uma divisão harmônica.
  13. 13. 2)Determinar a coordenada x do ponto M que divide o segmento M1M2, limitado pelas abscissas x1 e x2, numa razão λ, tal que
  14. 14. 3) Tomam-se sucessivamente sobre uma reta os pontos A,B,C e D sendo, AB=5, BC=1 e CD=3. Considera-se o ponto M exterior ao segmento AC de modo que MA/MC=5/3, e o ponto M’ interior ao segmento BC de modo que M’B/M’C=5/3. Sendo O e O’ os pontos médio de AB e CD, calcule as razões: MO/MO’ e M’O/M’O’.
  15. 15. 4) Generalize o Teorema de Chasles para n pontos distintos numa reta orientada, ou seja.
  16. 16. GABARITOS1)142)3)5/34)Demonstração
  17. 17. FONTES BIBLIOGRÁFICAS Questões do fórum PIR2, das apostilas da turma IME-ITA do colégio Poliedro e espalhadas na Internet. Livro: Morgados A.C. Geometria II: métrica plana /A.C. Morgado, E. Wagner, M. Jorge – Rio de Janeiro: F.C. Araújo da Silva, 2002Resolução da questão proposta 2 por “Euclides”, mantenedor do fórum PIR2 que se encontra no livro do Morgado.Resolução da questão do IME que se encontra no livro de Sergio Lima NettoWikipedia

×