1. LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Y DEL ESPACIO
Presentación:
Indiscutiblemente, la Geometría, es la ciencia más antigua con que el hombre haya
llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan
que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas
antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron
transformándose en abstractas.
Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren
formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un edificio son vistas imperfectas
de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón
de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono.
Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un
origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de
hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. Del análisis de estos
hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos, para someterlos
también a estudio y comparación.
A partir de estas consideraciones, intentaremos en este fascículo alcanzarte algunas
ideas que faciliten el estudio de la geometría.
En primer lugar, una breve descripción histórica del camino recorrido por la
Geometría, nos permitirá tener una visión panorámica de esta ciencia, así como
también, fundamentar el por qué empezar con un estudio intuitivo antes que un
estudio hipotético – deductivo o racional.
En segundo lugar, se tratará de analizar el carácter abstracto de las figuras
geométricas. A través de ejemplos, se mostrará cómo deducir propiedades de
figuras y las relaciones se dan entre ellas. Otro aspecto importante de la geometría
es la clasificación de figuras a partir de ciertos criterios establecidos, pero también lo
es el proceso inverso: dada una clasificación enunciar el criterio de clasificación.
Por último, veremos el estudio de la Geometría como una cadena de deducciones.
CAPACIDADES:
• Reconoce la geometría como medio de describir el mundo físico.
• Identifica, describe, compara y clasifica figuras geométricas.
• Representa situaciones de problema con modelos geométricos y utiliza las
propiedades de las figuras.
• Clasifica figuras en términos de congruencia y semejanza, y aplica estas
relaciones.
• Deduce propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir
de postulados previos.
• Adquiere las estructuras conceptuales de un sistema axiomático.
1

2. CONTENIDOS:
• Interpretar figuras geométricas.
• Deducir propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir
de postulados previos.
• Clasificar figuras usando la congruencia y la semejanza, y aplicar estas
relaciones.
• Adquirir las estructuras conceptuales de un sistema axiomático.
Angulos. Polígonos. Sólidos geométricos.
Las primeras consideraciones geométricas del hombre son incuestionablemente muy
antiguas, y parecería que tienen su origen en las observaciones simples que
provienen de la habilidad humana para reconocer la forma física y para comparar
formas y tamaños.
Hubo muchas circunstancias en la vida, aun del hombre más primitivo, que le
conduciría a cierta cantidad de descubrimientos geométricos subconscientes. La
noción de distancia fue sin duda alguna uno de los primeros conceptos geométricos
que se descubrieron. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje
condujo originalmente a la observación de que la recta constituye la trayectoria más
corta de un punto a otro; en efecto, la mayoría de animales instintivamente se dan
cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos condujo a la noción de figuras
geométricas simples, tales como rectángulos, cuadrados y triángulos. De hecho
parece natural, cuando se pone una barda a un terreno, fijar primero las esquinas y
luego unirlas por rectas. Otros conceptos geométricos simples, tales como la noción
de una vertical, de una paralela y de una perpendicular, hubieran sido sugeridos por
la construcción de paredes y viviendas.
Muchas observaciones de la vida diaria de los primeros hombres debieron haber
conducido al concepto de curvas, superficies y sólidos. Los casos de circunferencias
fueron numerosos, por ejemplo, la periferia del Sol o de la Luna, el arco iris y las
cabezas de semillas de muchas flores. Las sombras arrojadas por el Sol o una
lámpara presentarían circunferencias y secciones cónicas. Una piedra que se tira
describe una parábola; una cuerda no estirada cuelga formando una catenaria; una
2

3. cuerda arrollada tiene la forma de una espiral; las telarañas ilustran polígonos
regulares. Los anillos de crecimiento de un árbol, las ondas circulares que se forman
al lanzar un guijarro a una laguna y las figuras sobre ciertas conchas sugieren la
idea de familias de curvas. Muchas frutas y guijarros son esféricos, y las burbujas
sobre el agua son hemisféricas; algunos huevos de pájaros son aproximadamente
elipsoides de revolución; un anillo es un toro; los troncos de los árboles son cilindros
circulares. En la naturaleza se ven frecuentemente las formas cónicas. Los alfareros
primitivos hicieron muchas superficies y sólidos de revolución. Los cuerpos de los
hombres y animales, la mayoría de las hojas y flores, y algunas conchas y cristales
ilustran la noción de simetría. La idea de volumen viene de inmediato al considerar
receptáculos para contener líquidos y otros artículos de consumo simples.
Ejemplos como los anteriores pueden multiplicarse casi indefinidamente. Las formas
físicas que tienen un carácter ordenado, contrastando como lo hacen con las formas
desorganizadas y al azar de la mayoría de los cuerpos, atraen necesariamente la
atención de una mente reflectiva, y algunos conceptos geométricos elementales se
aclaran, o se iluminan. Dicha geometría puede, para llamarse de una forma mejor,
denominarse geometría subconsciente. Esta geometría subconsciente se empleó
por el hombre primitivo al hacer ornamentos decorativos y modelos, y es
probablemente bastante correcto decir que el arte primitivo ayudó mucho a preparar
la forma para el desarrollo posterior geométrico. La evolución de la geometría
subconsciente en los niños es bastante conocida y se observa fácilmente.
Ahora, al principio, el hombre consideró sólo los problemas geométricos concretos,
que se presentaron en forma individual y sin interconexiones observadas. Cuando la
inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una
relación abstracta general que contiene a la primera como un caso particular, la
geometría se volvió una ciencia. En esta capacidad, la geometría tiene la ventaja de
ordenar problemas prácticos en grupos tales que los problemas de uno puedan
resolverse por el mismo procedimiento general. Se llega pues a la noción de una ley
o regla geométrica. Por ejemplo, cuando se comparan las longitudes de los
recorridos circulares con sus diámetros, se llega después de algún tiempo, a la ley
geométrica de que la razón de la circunferencia a su diámetro es una constante.
No hay evidencia que nos permita estimar el número de siglos que pasaron antes de
que el hombre fuera capaz de llevar la geometría al estado de una ciencia, pero
todos los escritores de la antigüedad que trataron con este tema, coinciden
unánimemente en que el valle del Nilo del Egipto antiguo fue el lugar en el que la
geometría subconsciente se convirtió por primera vez en geometría científica.
Así pues, la manera de contar tradicional ve los principios de la geometría como una
ciencia en las prácticas primitivas de la agrimensura egipcia; en efecto, la palabra
“geometría” significa “medición de la tierra”. Aunque no podemos tener seguridad de
este origen, parece seguro suponer que la geometría científica surgió de la
necesidad práctica, apareciendo varios miles de años antes de nuestra era en
ciertas áreas del oriente antiguo, como una ciencia para ayudar a quienes se
ocupaban de ingeniería y agricultura. Hay evidencia histórica de que esto tuvo lugar
no sólo en el río Nilo de Egipto, sino también en otras cuencas de grandes ríos, tales
como el Tigris y el Eufrates de Mesopotamia, el Indus y el Ganges de Asia sur-
central, y el Hwang Ho y el Yangtze del este de Asia. En estas cuencas de ríos
3

4. tuvieron origen las formas avanzadas de la sociedad conocidas por sus hazañas de
ingeniería en el drenaje de terrenos fangosos, irrigación, control de inundaciones y la
construcción de grandes edificios y estructuras. Tales proyectos exigieron el
desarrollo de la geometría práctica o científica.
Los cambios económicos y políticos de los últimos siglos del segundo milenio a. de
C. provocaron que el poder de Egipto y de Babilonia decayera, nuevas personas se
pusieron al frente y sucedió que el desarrollo posterior de la geometría pasó a los
griegos, quienes transformaron la materia en algo bastante diferente del conjunto de
conclusiones empíricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron
en que los hechos geométricos deben establecerse, no por procedimientos
empíricos, sino por razonamiento deductivo; debe llegarse a conclusiones
geométricas por demostraciones lógicas más bien que por experimentación de
tanteos. En breve, los griegos transformaron la geometría empírica o científica de los
antiguos egipcios y babilonios en lo que ahora podría llamarse geometría sistemática
o matemática.
La geometría griega parece haber principiado en una forma esencial con el trabajo
de Tales de Mileto en la primera mitad del siglo VI a. de C. Este genio de amplios
conocimientos, fue un fundador valioso de la geometría sistemática, y el primer
individuo conocido a quien se le asocia la utilización de los métodos deductivos en la
geometría. Tales fue quien empezó a aplicar a esta materia los procedimientos
deductivos de la filosofía griega, esto es, razonamiento lógico en lugar de intuición y
experimento. El siguiente matemático sobresaliente es Pitágoras, a quien se le
atribuye haber continuado con la sistematización de la geometría que empezó unos
cincuenta años antes por Tales. Pitágoras nació en 572 a. de C. aproximadamente,
en la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo cerca de la ciudad de Mileto,
donde nació Tales, y es bastante posible que haya sido su alumno. En el puerto
griego de Crotona, fundó la escuela pitagórica, una fraternidad unida a ritos secretos
y cabalísticos y costumbres, y se dedicó al estudio de la filosofía, matemática y
ciencia natural. A pesar de la naturaleza mística de la escuela, sus miembros
contribuyeron, durante los doscientos años que siguieron a la creación de su
organización, con gran cantidad de matemáticas. En geometría dieron las
propiedades de las paralelas y las utilizaron para demostrar que la suma de los
ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Contribuyeron en forma
notoria al álgebra geométrica. Tenían conocimiento de la existencia, al menos, de
tres de los sólidos poliédricos regulares1. Aunque mucha de esta información ya era
conocida por los babilonios de épocas más antiguas, el aspecto deductivo de la
matemática se piensa que ha sido considerablemente aprovechado y avanzado en
este trabajo de los pitagóricos. Empezaron a emerger cadenas de proposiciones en
las que proposiciones sucesivas se dedujeron de las anteriores de la cadena. A
medida que las cadenas aumentaron, y algunas se unieron a otras, se sugirió la idea
global del desarrollo de toda la geometría en una sola cadena larga. Se sostiene que
un pitagórico, Hipócrates de Chíos, fue el primero en intentar, al menos con éxito
parcial, una presentación lógica de la geometría en la forma de una sola cadena de
proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y suposiciones iniciales.
Hicieron mejores intentos Leon, Teudio y otros. Y luego, aproximadamente 300 a. de
C. Euclides produjo el esfuerzo de su época, los Elementos, una sola cadena
1
Son cinco los poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octoedro, dodecaedro, icosaedro.
4

5. deductiva de 465 proposiciones claras y elegantes que comprende la geometría
plana y del espacio, teoría de los números y álgebra geométrica griega. El efecto de
este trabajo sobre el desarrollo posterior de la geometría ha sido inmenso. A
continuación comentaremos el contenido de este magnífico trabajo:
En algún tiempo entre Tales en 600 a. de C. y Euclides en 300 a. de C. se
desarrolló la noción de un discurso lógico como una sucesión de principios obtenidos
por razonamiento deductivo de un conjunto de principios iniciales supuestos al
principio del discurso. Efectivamente, si se va a presentar un argumento por
procedimientos deductivos, cualquier principio del argumento tendrá que deducirse
de principios previos o de principios del argumento, y dicho principio previo debe él
mismo deducirse aún de principios o postulados más anteriores. Evidentemente,
esto no puede continuarse hacia atrás indefinidamente, ni deberá recurrir a una
circularidad ilógica deduciendo un principio B de uno A, y luego deducir el principio A
del B. La única forma para salir de esta dificultad es fijar, al principio de un
argumento, una colección de principios primarios cuyas verdades sean aceptables al
lector, y luego proseguir, puramente por razonamiento deductivo, a deducir todos los
otros principios del discurso. Ahora bien, tanto los primarios como los principios
deducidos del discurso son principios que se refieren a la materia técnica de dicho
discurso, y por tanto contienen términos especiales o técnicos. Estos términos
necesitan definirse. Como los términos técnicos deben definirse por medio de otros
términos técnicos, y estos otros términos por medio aún de otros, uno se enfrenta
con una dificultad semejante a la hallada con los principios del discurso. Para
empezar, y para evitar la circularidad de la definición, en que se define el término y
por medio del término x, y posteriormente el x por medio del y, uno está obligado
nuevamente a fijar al principio del discurso una colección de términos técnicos
básicos cuyos significados deban aclararse al lector. Todos los términos técnicos
subsiguientes del discurso deben definirse, finalmente, por medio de estos términos
técnicos iniciales.
Un argumento que se lleva a cabo según el plan anterior se dice actualmente que se
desarrolla por axiomática material. En efecto, la contribución más sobresaliente de
los antiguos griegos a las matemáticas fue la formulación de un patrón de axiomática
material y la insistencia de que las matemáticas deberían sistematizarse según este
patrón. Los Elementos de Euclides es el ejemplo del desarrollo primitivo extenso del
uso del patrón que se nos ha dado. En épocas más recientes, el patrón de la
axiomática material ha sido generalizado muy significativamente para proporcionar
una forma más abstracta del argumento conocido como axiomática formal. Ahora,
resumiremos el patrón de axiomática material como sigue:
• Se dan explicaciones iniciales de ciertos términos técnicos básicos del
discurso, siendo la intención sugerir al lector lo que quieren decir estos
términos básicos.
• Algunos principios primarios relacionados con los términos básicos, y que se
suponen aceptables como verdades en la base de las propiedades sugeridas
por las explicaciones iniciales, se enumeran. Estos principios primarios se
llaman axiomas o postulados del discurso.
• Todos los otros términos técnicos del discurso se definen por medio de los
básicos.
5

6. • Todos los otros principios del discurso se deducen lógicamente de los axiomas
o postulados. Estos principios deducidos se llaman teoremas del discurso.
Algebra geométrica: Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los
babilonios (métodos puramente algebraicos) para la resolución de ecuaciones,
desarrollaron métodos geométricos para resolverlas y comprobar diversas
propiedades.
En el libro II de los Elementos, de Euclides, hay 14 proposiciones que permiten
resolver problemas algebraicos. Actualmente nuestra álgebra simbólica los resolverá
rápidamente, pero el valor didáctico del álgebra geométrica es importante.
Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y resolver
ecuaciones.
AD . AC = AD . AB + AD. BC
b(a +c) = ba + bc
Como podemos ver, es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la
adición. De forma análoga se demuestran las propiedades asociativa y conmutativa
de la multiplicación. ¡Inténtalo!
Con la misma habilidad eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas de los
tipos ax – x2 = b2 y ax + x2 = b2.
La representación geométrica de estas situaciones viene dada por la construcción
sobre un segmento a, de un rectángulo cuya altura desconocida x debe ser tal que
el área del rectángulo considerado exceda del área dada en el cuadrado de lado x,
en el primer caso ax – x2 = b2 con los segmentos a y b verificando la relación
a>2b.
y en el segundo ax + x2 = b2, que se quede corto respecto del área A.
6

7. De esta forma, los griegos consiguieron resolver las ecuaciones cuadráticas por
medio de los procedimientos conocidos como de “aplicación de áreas”.
Veamos, cómo se resuelve la ecuación de segundo grado ax – x2 – b2 = 0. En
primer lugar, completemos la figura con otro cuadrado de lado a/2, CBFE.
Se deduce, que el cuadrado CBFE de área (a/2)2 excede del rectángulo ADHK de
área ax – x2 = b2, en el cuadrado LHGE de lado a/2 – x; es decir,
2 2
⎛a ⎞ ⎛a⎞
⎜ − X ⎟ = ⎜ ⎟ −b
2
⎝2 ⎠ ⎝2⎠
que permite solucionar la ecuación dada ax – x2 = b2, con
2
a ⎛a⎞
X = − ⎜ ⎟ − b2
2 ⎝2⎠
Nota: Los segmentos a y b verifican la relación a>2b. ¿Por qué?
Aritmética geométrica: Los pitagóricos antiguos tienen el crédito del origen de los
llamados números figurados. Estos números, considerados como el número de
puntos en ciertas configuraciones geométricas, representan un enlace entre la
geometría y la aritmética. Las siguientes figuras explican la nomenclatura geométrica
de los números triangulares, números cuadrados y números pentagonales.
7

8. ACTIVIDAD
Muchos teoremas interesantes relacionados con los números figurados pueden
establecerse en forma puramente geométrica. Por ejemplo, demuéstrese el siguiente
teorema: “El número pentagonal n–ésimo es igual a n más tres veces el número triangular (n–1)”.
Estos comentarios que acabamos de hacer tienen una intención doble: De un lado,
dar una visión panorámica del camino recorrido por la Geometría a través de la
historia y, de otro, nos sirvan para establecer algunas pautas para su estudio.
Indiscutiblemente, es la Geometría, la ciencia más antigua con que el hombre haya
llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan
que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas
antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron
transformándose en abstractas.
Empezaremos comentando el porqué de un desarrollo intuitivo de la geometría,
antes de iniciar un estudio abstracto, formal de base hipotético–deducitvo (geometría
racional).
Pero, ¿por qué insistir en un enfoque intuitivo? ¿por qué no empezar la secundaria,
con un estudio racional de la geometría? Toda Ciencia, aún la más abstracta como
la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias
primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a
nuestra consideración. Del análisis de estos hechos suscita el deseo de crear
artificialmente otros nuevos, para someterlos también a estudio y comparación.
Esto inspira la tesis que sostiene que el ente geométrico2 se forma en la mente
humana por abstracción, a partir de objetos reales y de experiencias sobre éstos.
2
Otros sostienen que el ente geométrico es una construcción de la mente humana, independiente y preexistente a la
consideración de objetos reales.
8

9. Este aspecto puede ser aprovechado por la didáctica, haciendo preceder, a las
nociones formales cuestiones intuitivas (experimentales) donde los axiomas
encuentren sus raíces naturales.
Desde esta perspectiva, veamos algunas cuestiones sobre: ángulos, polígonos y
sólidos.
Imaginemos entrar en una clase, el tema de hoy: ángulos.
Es muy fácil escoger una definición de ángulo y exponerla con cuidado a los
alumnos, acompañándola con muchos ejemplos, con variados ejercicios y
experiencias prácticas, pero también es muy raro que junto con la explicación verbal,
con el dibujo y con la definición, el concepto de ángulo sea comprendido y asimilado
perfecta y rápidamente. Sin embargo, habiendo dado como definición de ángulo,
por ejemplo, aquella que dice: "ángulo es la parte de un plano comprendida entre
dos semirrectas que tiene origen común (Arnaud – 1667)", cuando se le pide a un
alumno que dibuje un ángulo más grande que otro, previamente dado, simplemente
prolongue los lados que habían sido dados como segmentos.
Quizá sea útil, antes de imponer una definición, aprovechar la idea que los alumnos
tienen ya del ángulo; es decir, de la idea que se han formado a través de una
experiencia personal o a través del sentido que el lenguaje común da al vocablo
"ángulo", o más todavía a través de las pocas explicaciones sobre ángulos que a
veces se dan en primaria.
A la pregunta: ¿encuentras ángulos en los objetos que te rodean?,
probablemente se tengan respuestas como, los ángulos del plano
rectangular de la mesa; los ángulos formados por los lados de un marco en
un cuadro; los ángulos de un techo de dos aguas de una casa; el ángulo
formado por una escalera de tijera por los lados donde se apoya; el ángulo
que la cubierta de un libro forma con la primera página, cuando se levanta
la cubierta; etc. Como puedes ver, los alumnos se inspiran en los objetos que tienen
delante de ellos y ponen ejemplos de ángulos planos y ángulos diedros.
Podemos seguir preguntando: ¿Pueden describir un ángulo con un movimiento
de sus extremidades?. Las respuestas serán más interesantes, porque aquí el
ángulo es descubierto y construido por los mismos alumnos. He aquí algunas
respuestas: "el antebrazo describe un ángulo en torno al codo; dos dedos contiguos
de una mano forman un ángulo que puede agrandarse o empequeñecerse abriendo
más o menos los dedos; también con una pierna, teniendo firme la rodilla, puede
describirse un ángulo". Es notorio que a ninguno escapa el ejemplo del codo.
9

10. Ahora, esta otra: ¿Es posible medir un ángulo con el metro?.
Probablemente, la mayor parte responda que no se puede medir con el
metro pero si "con el grado", confundiendo evidentemente la unidad de
medida con el instrumento. Pero, habrá siempre más de uno que dirá que
el "metro sirve para medir un ángulo porque basta con medir los lados"; y
algunos dirán que basta medir "la distancia entre los dos segmentos que
forman el ángulo", y que estas mediciones se pueden hacer con el metro.
Entonces, ¿Qué cosa es un ángulo?. Algunos dirán que "un ángulo es el punto
donde se encuentran dos rectas"; otros, que "un ángulo es la parte del plano
comprendida entre dos segmentos que parten del mismo punto" y no faltara alguien
que de una definición exacta, como "parte de un plano comprendida entre dos
semirrectas que tienen un mismo origen", o a menudo, como "la inclinación de una
recta sobre la otra" (definición dada por Euclides).
La respuesta dada como "ángulo es un punto", corresponde a una sensación táctil
y al significado que en lenguaje común se da a la palabra; un objeto anguloso es
un objeto que tiene punta, con esquinas, como se dice generalmente.
Etimológicamente, el vocablo ángulo proviene del griego, que significa codo y que
sugiere la idea de punta, esto es, de la construcción del ángulo con una rotación.
De ahí, que ningún alumno escapa responder a la segunda pregunta, con el
ejemplo del movimiento del antebrazo en torno al codo.
No se puede hablar del concepto, si primero no se conocen las ideas que el alumno
tiene sobre él, y que tales ideas no pueden ser erradicadas de un momento a otro, ni
aún por la más clara exposición del maestro.
Si ahora, mostramos un conjunto de triángulos equiláteros,
insertados uno en el otro, de modo que sea bien visible que uno es
la forma reducida del otro; entonces la noción de ángulo se tomará
"por abstracción": es el elemento común de estos triángulos, es la
invariante de este conjunto.
El carácter estático del dibujo constituye una desventaja didáctica. Es cierto que un
objeto movible atrae más la atención de un alumno. Un simple
dispositivo como el mostrado en la figura nos servirá de material
didáctico para ir introduciendo más observaciones y
experiencias sobre los ángulos. Se trata de una liga que pasa
por dos clavos, fijados en una tablilla de madera, y con el otro
extremo en el punto medio de ellos y en dirección perpendicular.
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11. Se construye así, un triángulo isósceles, variable por continuidad, y que al
agrandarse o reducirse en sus ángulos, llama la atención de cualquiera. En estas
variaciones, el alumno estará particularmente atraído por dos casos “límite”, cuando
el ángulo en el vértice tiende a tornarse plano y cuando al contrario tiende a ser más
pequeño.
Supongo que habrás notado cómo la noción de ángulo, de generalidad concreta,
llegará a “refinarse”, siempre más, hasta asumir un carácter matemático. Pero debo
aclarar que esta serie de experiencias y observaciones no se desarrollan en una o
dos lecciones, sino que deben prolongarse por un buen tiempo; interrumpirse; volver
a repetirse uniéndose a otros temas. No se trata de exigir una definición
inmediatamente3, aunque parezca que el concepto esté claro. Vayamos de manera
gradual, en forma cíclica, dejemos que las nociones se consoliden, ganemos
precisión poco a poco, ¡construyamos el conocimiento!.
En Matemáticas, una definición es una convención que aclara el significado preciso
que debe atribuirse a una palabra, expresión o símbolo, durante el tiempo en que
esta definición permanezca vigente. Lograr establecer una definición correcta de un
concepto a partir de unas aproximaciones vagas e intuitivas; lograr aplicar unas
definiciones sabiendo distinguir cuando se aplica correctamente o no; trabajar
definiciones implícitas o explícitas; llegar a definiciones inductivamente …, son
situaciones que merecen una atención especial en clase de matemáticas.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Una demostración intuitiva que se da
en general a este teorema, está
basada en la experiencia hecha
valiéndose de un triángulo de
cartón que esté convenientemente
plegado de modo que podamos
reunir en un mismo punto los tres
vértices.
Una experiencia inicial, para demostrar este teorema, lo constituye la siguiente
actividad: “Con la ayuda de un transportador, mide los ángulos del triángulo de la
figura y comprueba que suman 180° “. Puede ocurrir que por errores de precisión no
te salga 180°; entonces te recomendamos que recortes las puntas del triángulo y las
adjuntes en posición de suma de ángulos.
Puedes notar que, en ambas actividades se sugiere al alumno lo que tiene que
hacer. Busquemos una forma de llamar la atención sobre los ángulos del triángulo.
Usemos nuestro dispositivo de liga, clavos y tablilla de madera. Como recordarás, al
jalar la liga con un hilo en el punto medio y en dirección perpendicular a la unión de
los clavos, se obtiene un número infinito de triángulos isósceles que tiene por base
el segmento que une los dos clavos.
3
En su conocida tesis doctoral, I. Lakatos realizó un maravilloso estudio sobre cómo a partir de una discusión dirigida pero
abierta, abundante en ejemplos, contraejemplos, deducciones y refutaciones, era posible ir perfilando conceptos clave hasta
culminar con una definición clarificadora. Nótese que la tendencia en muchas clases de matemáticas acostumbra a ser la
contraria: anticipando a priori definiciones, se centra el trabajo en actividades posteriores a la definición.
11

12. Ahora, pide a los alumnos que observen estos triángulos y que escriban sus
observaciones. Te encontrarás con respuestas sorprendentes, como esta: “Al jalar la
liga lo más posible obtengo el triángulo más grande posible sobre la tabla; después
disminuyo la tensión poco a poco y tengo triángulos isósceles siempre más
pequeños hasta que este triángulo isósceles se aplasta sobre la base. En este punto
ya no tenemos un triángulo, pero un instante antes sí. Durante el movimiento he
observado que varía los lados del triángulo, pero la base es siempre la misma; he
visto que varía la altura y el área, y cambia también la forma de los triángulos; por un
instante aparece el triángulo equilátero y luego también el rectángulo”.
“Lo que más me interesa de todo es que cambian los ángulos; cuando el vértice se
desplaza hacia la base, el ángulo en él aumenta y los de la base disminuyen. Y
disminuyen siempre más, hasta reducirse a cero, y en aquel momento, el ángulo en
el vértice se torna en ángulo plano. Después vuelvo a levantar un poco el vértice; el
ángulo en el vértice se torna un poco más pequeño que un ángulo plano y los de la
base existen, pero son pequeñísimos. Entonces pienso que lo que ganaron se ha
perdido en el ángulo del vértice y me parece que es así porque si el vértice va muy
lejos, el ángulo se torna siempre más pequeño y los de la base se tornan casi rectos,
y dos ángulos rectos hacen un ángulo plano. La suma de los ángulos de un triángulo
deben ser siempre de un ángulo llano”.
He aquí lo que describe otro alumno: “Si imaginamos partir del triángulo más grande
que es posible hacer sobre la tabla y aflojamos poco a poco el cordel, el ángulo en el
vértice se torna siempre más grande y los ángulos en la base más pequeños. En un
instante dado, tenemos un triángulo equilátero y, después, cuando el ángulo en el
vértice es recto, tenemos un triángulo rectángulo; para este triángulo es válido el
teorema de Pitágoras; para los otros no”.
Conviene hacer algunas precisiones al respecto. No es posible creer que al escribir
esta frase el alumno se haya dado cuenta del valor de su descubrimiento; toca a
nosotros llamar su atención sobre esta propiedad para que ocupe así su verdadero
lugar en su aprendizaje.
Dos aspectos interesantes de la geometría euclidiana plana –la suma de los ángulos
internos de un triángulo y el teorema de Pitágoras–, vienen así a encontrarse unidos por este
simple dispositivo.
Bisectriz de un ángulo. La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama
bisectriz.
El trazado de la bisectriz de un ángulo, mediante regla y
compás, se muestra en la figura adjunta, donde el punto C
se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y
en B. Al unir O con C obtenemos la bisectriz del ∠AOB .
Tu mismo puedes comprobar, haciendo uso del
transportador, que la recta OC es la bisectriz de dicho ángulo.
12

13. Continuando con un tratamiento informal e
intuitivo de la geometría, decimos que la línea
ABCDE de la figura se llama línea poligonal.
¿Puedes precisar una definición de ésta?
Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, tal como muestran las
figuras.
Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra
polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos).
Con frecuencia, observarás que muchos de los términos utilizados en geometría
proceden del griego, este hecho no te debe extrañar, recuerda que fue en la Antigua
Grecia donde la geometría alcanzó un gran relieve.
ACTIVIDAD
En la figura adjunta observarás los
elementos básicos de un polígono:
vértices, lados, diagonales, ángulos
interiores y exteriores. Define con tus
propias palabras cada uno de ellos.
Otro elemento básico de todo polígono es
su perímetro. El perímetro de un polígono es
la suma de las longitudes de sus lados.
Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos,
decágonos, undecágono, dodecágono, …, icoságono (20 lados), …
El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un
polígono regular. En éstos, y sólo en éstos, aparecen los nuevos elementos: centro y
apotema.
El centro de un polígono regular es el punto interior
que se halla a igual distancia de sus vértices, y la
apotema es el segmento perpendicular desde el
centro a uno cualquiera de los lados. También
podemos decir que la apotema es el segmento
determinado por el centro y el punto medio de uno
13

14. cualquiera de los lados.
¡Un polígono muy particular: la circunferencia! El número de lados de un polígono puede ser
tan grande como se quiera; así, por ejemplo, es posible construir polígonos regulares
de 20 lados (icoságono), de 100 lados, de 1000 lados, etc. Al aumentar el número de
lados, éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos
regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un
segmento, sino un punto, con lo cuál habríamos construido un polígono muy
particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos
están a igual distancia del centro.
Reconocemos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los
polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes. El radio de la
circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la
circunferencia al perímetro de éste.
El círculo es la porción de plano interior a la
circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia
con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo
es una superficie.
El anillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de
círculo.
El Tangram: Si te gustan los puzzles, te gustará el tangram.
Es un juego de origen chino formado por siete piezas básicas
(cinco triángulos isósceles, un cuadrado y un paralelogramo)
con las cuales se pueden hacer infinidad de figuras: letras,
barcos, chinos con gorro, casas, ...
El objetivo es, como en todos los puzzles, rehacer la figura que
se muestra. ¡Su única regla es que tienen que intervenir todas las piezas!
¿Cómo hacer un tangram? Las figuras elementales nacen de una división del
cuadrado (ver la figura). Así que basta coger un cuadrado de cartón o madera y
recortarlo.
ACTIVIDAD: Construye:
– un triángulo.
– una flecha.
Observa las siguientes figuras:
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15. ¿Pueden ser consideradas línea poligonal y
polígono, respectivamente?
En particular, notarás que los segmentos AE
y CD del polígono no se cortan en un
vértice. De otro lado, las definiciones dadas,
¿son satisfactorias?.
“Hacer una buena” definición requiere pericia y es difícil. Pero, aún siendo muy
interesante obtener una definición, es muchísimo más rentable, de cara al
aprendizaje, el proceso a seguir para establecerla. En muchas ocasiones, el principio
de “autoridad” matemática de una definición tradicionalmente aceptada y transmitida
durante años, hace que no sintamos la “necesidad” de analizarla e intentar
“redescubrirla” por nosotros mismos, tal y como lo hicieron sus descubridores.
Si una línea poligonal no se cruza con ella misma, se denomina simple; y si lo hace
se dice que es no simple. Llamaremos polígono “estrellado” a la línea poligonal
cerrada no simple.
Definición de polígono: Figura plana formada por una línea poligonal (S1, S2, … , Sn) tal
que el extremo de S1 no común a S2 se confunda con el extremo de Sn no común
con Sn-1. Los segmentos S1, S2, … , Sn se denominan lados del polígono y sus
extremos se llaman vértices. (Diccionario de Matemáticas, Ed. Akal, Madrid, 1984).
Polígonos convexos y no convexos
(cóncavos o entrantes). Da
las definiciones adecuadas
para caracterizar ambos tipos
de polígonos, utilizando las
siguientes figuras
geométricas.
Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos
que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un
edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de
conservas y una tiza a un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un
cucurucho de helado a un cono.
Definición 1: Un poliedro es un sólido cuya superficie consta de caras
poligonales.
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16. Esta definición nos permite claramente diferenciar entre una forma geométrica
sugerida por una caja de fósforos y una sugerida por un cucurucho de helado:
poliedros y no poliedros.
Considérese un par de cubos, uno de los dos está dentro del
otro, sin tocarse entre sí (El monstruo de Lhuilier). Considérese
el sólido limitado por ambos. ¿Es un poliedro? Esta pregunta
pone de manifiesto la duda acerca de si un poliedro debe tener
“huecos” o, planteada de modo más general, si el poliedro es el “sólido” o es la
“superficie”.
Definición 2. Un poliedro es una superficie formada por un número finito de polígonos.
Esta definición es perfectamente aceptada por los topólogos. Se usó en la Academia
Francesa para refutar al monstruo de Lhuilier.
Tomemos dos tetraedros unidos por un vértice o por
una arista (Siameses de Hessel). Ambos
siameses están unidos; ambos constituyen una
superficie. ¿Forman un poliedro? Parece claro
que no, se trata de dos poliedros unidos.
Entonces, ¡hay que modificar la definición!
Definición 3. Un poliedro es una superficie formada por polígonos colocados de forma
que en cada arista se encontrasen exactamente 2 polígonos y que fuese posible ir
del interior de un polígono al interior de otro, siguiendo un camino que no cruce
nunca una arista por un vértice.
¿Quedan excluidos los 2 siameses? ¿Qué sucederá con el monstruo de Lhuilier y
con los siameses de Hessel?
Esta situación “incómoda” que se presenta al dar una definición de poliedro nos
debe llevar a la siguiente reflexión: el profesor nunca debe definir a priori un
concepto; debe evitar la ansiedad de llegar a establecer pronto una definición.
Se debe aprovechar las ideas previas que los alumnos tienen para decidir en cada
caso lo que es un poliedro y lo que no lo es, procurando que construyan el
conocimiento ya que tan importante como la definición en sí, lo son los procesos
mentales de los que aprenden, el esfuerzo que deben hacer para comunicarse,
entenderse y hacerse entender.
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17. Consideremos la siguiente figura geométrica: el erizo de Kepler. Tiene 12 caras
pentagonales estrelladas, 12 vértices y 30 aristas.
Sus caras son polígonos estrellados, que se "cruzan" en "seudovértices" (puntos
comunes que no son los vértices). Por lo tanto, éste no sería un poliedro según la
tercera definición.
Si no se aceptasen las intersecciones en los lados de los polígonos, es decir, que los
polígonos estrellados no son polígonos, entonces el erizo de Kepler sería un
poliedro. En este caso, ¿cuántas caras triangulares, aristas y vértices tendría este
poliedro?
¡De nuevo se nos ha quedado corta la definición de poliedro! Como podrás observar,
es todo un reto obtener una buena definición.
Definición 4. Un poliedro es el lugar geométrico formada por los puntos del espacio que
pertenecen a una superficie poligonal dispuesta de tal forma que:
– En cada arista se encuentren exactamente dos caras.
– Es posible ir desde el interior de un polígono al interior de otro siguiendo un
camino que no cruce nunca una arista a través de un vértice.
– Las caras sólo se cortan a lo largo de las aristas.
¿Y qué se puede decir de la figura siguiente? ¿Es o no un poliedro?
Tómense 4 pirámides truncadas de base cuadrada colocadas de
modo que formen el marco de un cuadro. Se quitan las caras
comunes y queda en medio un túnel o espacio para colocar el cuadro
(túnel de Lhuilier). La idea intuitiva que se tiene de poliedro hace que
pensemos en que no tengan “huecos”. ¡Habría que pensar en otra definición!
¿Puedes dar una definición de poliedro de manera que los túneles no sean
poliedros?
Este es sólo una muestra de cómo dar una definición satisfactoria de poliedro.
Interpretar figuras geométricas.
Un aspecto importante de la geometría, es que ésta usa un lenguaje que es más
próximo al usual. En ella se habla de puntos, de rectas, de planos, y todos más o
menos conocen el significado de esas palabras; se hace referencia a situaciones
concretas y se utilizan imágenes que son suficientemente familiares.
En sus inicios, se ve a la geometría como una técnica de agrimensura, un arte para
proceder a operaciones de medición de los terrenos; de lo que quedó huella en su
mismo nombre, la palabra geometría. Herodoto, el historiador (aproximadamente
485–424 a. de C.) precisará las circunstancias que habían dado lugar a su
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