Atelier ALGO : présentation de la séance du 22/10/2009.

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Raisonnements et algorithmes: Exemples
tirés des procédures pour extraire la racine
carrée dans la littérature mathématique en
Sanskrit
Agathe Keller
(SPHère, CNRS-Université Denis Diderot )
ANR Algo
Lille
22 octobre 2009
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Un algorithme qui utilise les ressources de la numération
positonelle décimale
105 104 103 102 101 100
1 8 6 6 2 4
186624 = 1 × 105 + 8 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100
L’objectif de l’algorithme d’extraction de racine carrée, nous pouvons le
comprendre comme une tentative pour retrouver dans ce dévelopement, le
dévelopement d’un carré du type:
a2 + 2ab + b2
Par conséquent, l’algorithme comportera de nombreuses soustraction de
carré et de division par 2.
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Sources utilisées
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Sources utilisées
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
¯
La règle compacte d’Aryabhata
.
¯ . ¯ . . ¯ ¯
bhagam hared avargan nityam dvigunena vargamulena| vargad varge
´ ¯ ¯ ¯
suddhe labdham sthanantare mulam
.
One doit diviser, sans cesse, la place non-carré par deux fois la
racine-carré| Lorque le carré à été soustrait de la place carré, le
résultat est une racine dans une autre place
¯ ¯
Shukla, K. S. (1976) Aryabhat¯ya of Aryabhata, with the commentary of
.ı .
¯
Bhaskara I and Some´ vara. Delhi: Indian National Science Academy.
s
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
´ ı
La règle “pratique” de Sr¯dhara
¯ ¯ ¯ ¯
visamat padas tyaktyva vargam sthanacyutena mulena| dvigunena
. . .
. . . ˙
bhajec chesam labdham vinive´ ayet panktau tadvargam
s .
. ´ ¯
samsodhya dvigunam kurv¯t purvaval labdham| utsarya tato vibhajec
. . ı
´ . .
sesam dvigun¯krtam dalayet
.ı . .
PG.24. Ayant retiré le carré du terme impair, on doit diviser le reste
par deux fois la racine qui a goutté à sa place|
On dispose le reste sur la ligne
PG.25. Ayant soustrait le carré de celà, on doit diviser le résultat
précédent|
Qui à été doublé au préalable . Ainsi, encore et encore.
Finalement on doit diviser la moitié du reste.
´ ı
Shukla, K. S. (1959) The Patiganita of Sr¯dhara with an anonymous
. .
commentary, edited, translanted with notes. Lucknow, University of Lucknow
Publications.
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Utiliser différentes ressources de la notation positionelle
avarga varga avarga varga avarga varga
sa vi sa vi sa vi
105 104 103 102 101 100
1 8 6 6 2 4
186624 = 1 × 105 + 8 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100
ˇ
Figure: La disposition telle qu’elle apparaTt dans l’édition d’ APG
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
¯
Soustraire le carré du carré: le point de vue d’ Aryabhata et
.
¯
Bhaskara
∗105 104 103 102 101 100
4/2 6 6 2 4
186624 = 42 × (102 )2 + 2 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Soustraire le carré du carré: le point de vue d’APG
2 6 6 2 4
8
186624 = 42 × (102 )2 + 2 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
On doit diviser par deux fois la racine carrée
¯
Suryadeva
. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .
tena dvigunenanantarad avargasthanad bhagam haret
On doit diviser la prochaine position/place non-carée par deux fois
cette racine .
¯
Bhaskara
∗ 103 102 101 100
4 3/2 6 2 4
186624 =
42 ×(102 )2 +2×(4×102 )(3×101 )+2×103 +6×102 +2×101 +4×100
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Quand doit on doubler la racine (en suivant APG)?
. t¯ ¯ ˙
ca tena tatraiva sthitena uparis. at bhagam apaharet labdham panktau
.
vinive´ ayet
s
Et l’on doit diviser ce qui se tient au dessus par deux fois cela, à cet endroit.
Le quotient doit être inséré sur une ligne.
¯ ¯ ˙ ¯. s ¯.
adho bhagalabdhakas trayaste panktyam nive´ yah
En dessous le quotient est trois. Ayant entré ces trois unités sur une ligne-
il doivent être placés sous la place fait de six unités .
∗2 6 6 2 4
8 3
186624 = 42 ×(102 )2 +2×(4×102 )(3×101 )+2×102 +2×101 +4×100
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Itération
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Bhaskara etat eva sutram punar punar avartate yavat parisamaptam
ganitakarma iti Précisemment cette règle est itérée encore et encore
.
jusqu’à ce que le processus mathématique parviennent à sa fin.
¯ . ¯ ¯ ¯ s´ . ¯ . ¯ ¯ ¯
Suryadeva evam tavad kuryad yavan ni´ sesani vargavargasthanani
bhavanti De cette manière, on doit effectuer le processus jusqu’à ce
qu’il n’y ait plus aucune place carrée ou non-carrée .
¯ ˙
APG tam utsarayet tato vibhajet labdham panktau vinive´ ayed ity adi
. s ¯
¯ ¯
purvavat yavat utsarpanasambhavah On doit répêter ce processus ,
. .
ainsi on doit diviser, on doit insérer le quotient sur une ligne, etc.
comme auparavant que cette progression serpentine est possible.
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Soustraire le carré de nouveau
¯
Bhaskara
∗ 103 102 101 100
4 3/1 7 2 4
186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102 )(3 × 101 ) + 32 × (101 )2 + 1 ×
103 + 7 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Quand doit-on doubler la racine (d’après APG)/2?
tatas tad vargam uparis. ac chodhayet tac ca dvigun¯kuryat /
. t¯ .ı ¯
Ensuite, on doit soustraire son carré de ce qui se tient au dessus, et ceci doit
être doublé.
(...)
¯ ¯ ¯. . t¯ . . . ´
satkasyadhah sthapyah etasya vargo nava tad uparis. at sadvimsateh
. . . .
´
sodhaytiva te (1724) trayo dvigunitah sat kartvyah, adhah soda´ ¯tir jayate /
¯ . ¯. . . ¯. . . . sı ¯
. ¯s . ˙ ¯.
esa ra´ ih sarpati panktyam dvayor adhah (satkam) bhavati, as. akam
. . . . .t .
¯ ¯ .
saptadhah / nyasah
.
Son carré est neuf. On doit le soustraire de vingt-six au-dessus, ceux-ci
(1724) sont placés au-dessus , trois est multiplié par deux, six doit être fait.
En-dessous, quatre vingt six est produit. Cette quantité glisse/serpente sur la
ligne en-dessous (de?) deux, (il y à six), en-dessous de sept, huit .
1 7 2 4
Disposition:
8 6
186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102Raisonnements 1 ) + 32 × (101 )2 + 1 ×
Keller )(3 × 10 et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Division de la racine, soustraction du carré
Considering the next place on the right, 172, divide it by twice the
partial square root, 86: the quotient is 2 and there is no remainder.
The square root is 432.
¯
Bhaskara style:
APG style:
4
∗ 100 8 6 2
4 3 2 4
186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102 )(3 × 101 ) + 32 × (101 )2 + 2 × (3 ×
100 )(4 × 102 + 3 × 101 ) + 4 × 100 = (4 × 102 + 3 × 101 + 2 × 100 )2
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Extracting de la racine carré de 187724 (fin)
¯ ¯
le style d’ Aryabhata et Bhaskara :
.
le style d’APG:
8 6 4
4 3 2
186624 = (432)2
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Le processus tel que je le reconstruit
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Les différents pas donnés par Ab
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Les différents pas donnés par BAB
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison d’Ab avec BAB
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Les différents pas donnés par PG
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison d’Ab avec PG
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Les différents pas donnés par APG
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison de PG avec APG
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Les différents pas donnés par SYAB
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison d’Ab avec SYAB
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison de SYAB avec BAB
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Comparaison de PG avec SYAB
Keller Raisonnements et algorithmes

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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Choisir des pas
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Règles et algorithmes
• sutra “règle” BAB, APG, SYAB
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• anayana “calcul” BAB, SYAB
¯
• ganitakarma “processus mathématique” BAB
.
• karanasutra “règle algorithmique” APG
. ¯
Keller Raisonnements et algorithmes

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