aanalyse mathematique s1

1. Chapitre 5
Limites et continuit´e des fonctions
num´eriques
1 Limites de fonctions num´eriques
1.1 Limite d’une fonction de variable r´eelle `a l’infini
Dans un chapitre pr´ec´edent, on a d´efini ce qu’´etait la limite d’une suite. Intuitivement,
une suite r´eelle ou complexe un tend vers une limite l r´eelle ou complexe lorsque : ”un
est aussi pr`es qu’on veut de l quand n est suffisamment grand” (interpr´eter de mˆeme ”un
tend vers +∞” et ”un tend vers −∞” pour une suite r´eelle). La notion de limite d’une
fonction de variable r´eelle en +∞ est tout `a fait analogue.
D´efinition 1.1.1 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[
ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R (on dit alors qu’on peut ´etudier f au
voisinage de +∞) . On dit que f(x) tend vers l ∈ R quand x tend vers +∞ lorsque pour
tout ε > 0, on peut trouver A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε.
Remarques :
1. On peut remplacer x > A ⇒ |f(x) − l| < ε par f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[
(pourquoi ?).
2. On peut aussi dire : ”|f(x) − l| < ε si x est assez grand”. Peut-on dire que plus x
est grand, plus f(x) est pr`es de l ?
Exemples :
1. Soit la fonction f(x) = 1√
x
(rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) ≤
10−n} puis {x ; f(x) < 10−n} pour n ∈ N fix´e.
2. Soit la fonction g(x) =
x + 1
x
(rappeler son domaine de d´efinition). Si x > 102n,
trouver deux d´ecimaux entre lesquels se trouve g(x).
3. Interpr´eter graphiquement.
4. V´erifier avec la d´efinition que f(x) et g(x) ont une limite quand x tend vers +∞.
77

2. 78 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par
des in´egalit´es larges sans en changer le sens ?
D´efinition 1.1.2 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[
ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R. On dit que f(x) tend vers +∞ (resp
−∞) quand x tend vers +∞ lorsque pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que
x > A ⇒ f(x) > B (resp. x > A ⇒ f(x) < B).
Remarque : On dit aussi ”pour tout B ∈ R, on a f(x) > B si x est assez grand”, ou
bien que pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[, ou
encore que pour A assez grand, on a f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[.
Exemples :
1. Soit la fonction f(x) =
√
x (rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) >
10n} puis {x ; f(x) ≥ 10n} pour n ∈ N fix´e.
2. Interpr´eter graphiquement.
Exercice.
1. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par des
in´egalit´es larges sans en changer le sens ?
2. Par quoi peut-on remplacer ”pour tout B ∈ R” ?
3. Peut-on dire que plus x est grand, plus f(x) est grand ?
Autre exercice.
1. Imaginer les d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞.
2. Imaginer d’autres d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞ en con-
sid´erant g(x) = f(−x).
Proposition 1.1.3 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x
tend vers +∞ (resp. −∞).
D´emonstration – Supposons d’abord que f(x) tende vers l et l ∈ C quand x → +∞, et
q’on ait l = l . Posons ε = 1
2 |l − l|. On peut donc trouver A ∈ R tel que x > A ⇒
|f(x) − l| < 1
2 |l − l|, et A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l | < 1
2 |l − l|. Alors pour
x > max{A, A }, on a
|l − l| ≤ |l − f(x)| + |f(x) − l| < (
1
2
+
1
2
)|l − l|
ce qui est absurde. Les autres cas sont laiss´es en exercice.
Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim
x→+∞
f(x) (resp lim
x→−∞
f(x)) car c’est
une valeur bien d´efinie.
Th´eor`eme 1.1.4 (crit`ere par les suites)– Une fonction f admet une limite (finie ou
infinie) quand x tend vers +∞ si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a valeurs
dans Df et tendant vers +∞, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini.

3. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 79
D´emonstration : Cas d’une limite finie. Soit l = lim
x→+∞
f(x), et soit (un) tendant vers +∞.
On se donne ε > 0 quelconque et il faut montrer que les f(un) sont tous dans ]l−ε, l+ε[ sauf
un nombre fini d’entre eux. Or on sait qu’il existe A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε,
et que les un sont tous sup´erieurs `a A sauf un nombre fini d’entre eux, d’o`u la conclusion.
R´eciproquement, notre hypoth`ese est que f ne tend pas vers l. C’est `a dire qu’il existe un
ε > 0 tel que pour tout A ∈ R, f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[. On va construire une suite
(un) tendant vers +∞ telle que f(un) ne tende pas vers l.
Pour chaque n ∈ N, on peut choisir un > n tel que f(un)) ∈]l−ε, l+ε[, car f(]n, +∞[∩D) ⊂
]l − ε, l + ε[. Aucun des f(un) n’est dans ]l − ε, l + ε[.
Les autres cas sont laiss´es en exercice.
Ce crit`ere s’utilise le plus souvent, dans le sens direct pour prouver par la contrapos´ee (?)
l’absence de limite d’une fonction, pour d´eterminer des limites de suites, et dans l’autre
sens pour d´emontrer des r´esultats de cours.
exemples :
1. Red´emontrer l’unicit´e de la limite ´eventuelle d’une fonction quand x tend vers +∞.
2. Montrer que la fonction sinus n’a pas de limite en +∞.
3. D´eterminer lim
n→+∞
ea2n+1
en fonction de a ∈ R.
1.2 Limite d’une fonction en un point
On peut s’int´eresser au comportement d’une fonction f ”pr`es” d’un r´eel a d`es qu’il y a
une suite de r´eels dans Df qui tend vers a. Dans ce cours, on va exiger une hypoth`ese plus
forte qui est que Df contient un intervalle de la forme ]b, a[ (b < a), ou ]a, b[ (a < b) (ou
les deux, bien sˆur). On dira qu’on peut ´etudier f au voisinage de a, ou plus pr´ecis´ement,
on dira qu’on peut ´etudier f `a gauche ou `a droite de a.
D´efinition 1.2.1 – Soit a ∈ R, soit f, une fonction de variable r´eelle et `a valeurs dans
R, telle qu’on puisse ´etudier f au voisinage de a, et soit l ∈ R. On dit que f(x)tend vers
l quand x tend vers a lorsque pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que pour tout
x ∈ Df {a}, on ait |x − a| < η ⇒ |f(x) − l| < ε.
Remarques :
1. On dit aussi ”pour tout ε > 0, on a |f(x)−l| < ε si x est assez proche de a”, ou bien
que pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l−
ε, l+ε[, ou encore que pour η assez petit, on a f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l−ε, l+ε[.
2. Il est possible que a ne soit pas dans le domaine de d´efinition de f.
3. Peut-on dire que plus x est proche de a, plus f(x) est proche de l ?
4. On peut toujours se ramener au cas a = 0 en posant g(x) = f(x+a), et c’est souvent
ce qu’on fait en pratique.

4. 80 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Imaginer la d´efinition de ”f(x) tend vers +∞ (resp. −∞) quand x tend vers
a”.
Exemple : Montrer que
√
x tend vers 1 quand x tend vers 1.
Dans ce cas et comme pour beaucoup de fonctions usuelles, la limite est la valeur de la
fonction au point consid´er´e (ici en 1), et on peut mˆeme dire que plus x est pr`es de 1, plus
√
x est pr`es de 1. Il y a bien sˆur des cas moins ´evidents, par exemple lorsque la fonction
n’est pas ”naturellement” d´efinie en a, comme dans le cas d’un quotient
f(x)
g(x)
en un point
o`u g s’annule.
Proposition 1.2.2 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x
tend vers a.
La preuve est calqu´ee sur celle de la proposition 1.1.3.
Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim
x→a
f(x) car c’est une valeur bien
d´efinie.
De mˆeme, le crit`ere par les suites 1.1.4 est encore valable :
Th´eor`eme 1.2.3 – Une fonction f qu’on peut ´etudier au voisinage de a admet une limite
(finie ou infinie) quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a
valeurs dans Df et tendant vers a, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini.
Preuve : s’inspirer de celle de 1.1.4.
Exercice. Montrer que la fonction f(x) = sin( 1
x ) n’a pas de limite quand x → 0(on
consid`erera des suites prenant leurs valeurs dans{ 2
kπ , k ∈ Z∗}).
Parfois il est bienvenu d’´etudier s´epar´ement le comportement d’une fonction `a gauche et
`a droite d’un point a ∈ R. On introduit donc les notions de limite `a gauche et de limite `a
droite :
D´efinition 1.2.4 – Une fonction f admet une limite (finie ou infinie) `a gauche de a ∈ R
lorsque Df contient un intervalle Ig de la forme ]b, a[ (b < a), et que la restriction de f `a
Ig admet cette mˆeme limite en a.
On note alors cette limite lim
x→a−
f(x).
Exercice. D´efinir de mˆeme la limite `a droite, et v´erifier que si on pose g(x) = f(a − x),
on a lim
x→a+
f(x) = lim
x→0−
g(x) lorsque l’une des deux existe.
Remarques
1. Si f admet en a une limite `a gauche et une limite `a droite, alors si ces limites sont
´egales, c’est la limite de f en a; et si elles sont diff´erentes, alors f n’admet pas de
limite en a.
2. Si on peut ´etudier f `a gauche (resp.`a droite) de a et que f n’admet pas de limite `a
gauche (resp. `a droite) en a, alors f n’admet pas de limite en a.

5. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 81
Exemple : Etudier f(x) = 1
E(x) au voisinage de 0.
Proposition 1.2.5 fonctions croissantes et major´ees– Toute fonction f d´efinie sur
un intervalle ]a, b[, croissante et major´ee admet une limite finie en b.
Cela vous rappelle-t-il un autre r´esultat ? La preuve est sous forme d’exercice :
1. Montrer que si f est constante sur un intervalle de la forme ]b−η, b[, on a le r´esultat.
Dans ce qui suit, on supposera que ce n’est pas le cas.
2. Soit M, un majorant de f(]a, b[), soit c ∈]a, b[, posons I0 = [f(c), M] = [r0, s0]. On
pose t0 =
r0 + s0
2
. Montrer que pour η assez petit, l’un exactement des intervalles
[r0, t0] et [t0, s0] contient f(]b − η, b[). On appelle I1 = [r1, s1] celui des deux qui a
cette propri´et´e.
3. Construire une suite d’intervalles emboˆıt´es (In) ayant la propri´et´e pr´ec´edente et dont
la largeur tend vers 0 (dichotomie sur l’ensemble d’arriv´ee).
4. Montrer que le nombre commun `a tous les In est la limite de f(x) quand x tend vers
b.
1.3 R`egles de calcul
Des r`egles de calcul pour les suites, on tire les r`egles suivantes :
Proposition 1.3.1 – On se place dans l’un des trois cas suivants :
• les fonctions f et g sont d´efinies pour x assez grand et x tend vers +∞.
• les fonctions f et g sont d´efinies pour −x assez grand et x tend vers −∞.
• Soit I, un intervalle non r´eduit `a un point tel que a ∈ I et soit f et g telles que
Df ∩ Dg contienne I {a}, et x tend vers a ∈ R.
On a alors (l et l d´esignent des r´eels) :
(i) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (f + g)(x) tend vers l + l .
(ii) Dans R, si f(x) tend vers l ou tend vers +∞ (resp. −∞) et g(x) tend vers +∞ (resp.
−∞) alors (f + g)(x) tend vers +∞ (resp. −∞).
(iii) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (fg)(x) tend vers ll .
(iv) Si f(x) tend vers l > 0 ou tend vers +∞ et g(x) tend vers +∞ alors (fg)(x) tend
vers +∞.
(v) Si f(x) tend vers l = 0 alors 1
f(x) tend vers 1
l .
(vi) Si f(x) tend vers ±∞ alors 1
f(x) tend vers 0.
(vii) Dans R, si f(x) tend vers 0 par valeurs strictement sup´erieures (resp. inf´erieures)
alors 1
f(x) tend vers +∞ (resp. −∞).
Preuve de (i) quand x tend vers a: Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Df ∩ Dg et qui
tend vers a. Alors la suite (f(un)) converge vers l et la suite (g(un)) converge vers l , donc
la suite ((f + g)(un)) converge vers l + l . Le th´eor`eme 1.2.3 permet de conclure.

6. 82 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Preuve de (iv) lorsque f(x) tend vers l = 0 quand x tend vers +∞ : Remarquons qu’il
existe un intervalle de la forme ]β, +∞[ sur lequel 1
f est d´efinie . Soit maintenant (un)n∈N,
une suite `a valeurs dans D1
f
et qui tend vers +∞. Alors la suite 1
f(un) n∈N
est bien
d´efinie.
Etc.
Application : Si f(x) tend vers l < 0 et g(x) tend vers −∞ quand x tend vers a, que
peut-on dire de
g
f
?
Exercice. Soit a ∈ R, soit f, g, h et ϕ quatre fonctions d´efinies sur R v´erifiant :
lim
x→a
f(x) = l, lim
x→a
g(x) = +∞, h et ϕ n’ont pas de limite en a. Que peut-on dire des
´eventuelles limites en a de f + h, g + h et h + ϕ ?
Proposition 1.3.2 passage `a la limite dans les in´egalit´es Les fonctions f, g et h
sont `a valeurs r´eelles, et ont mˆeme domaine de d´efinition pour simplifier l’´enonc´e. On
consid`ere successivement les cas o`u x tend vers ±∞ ou a ∈ R.
(i) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = +∞ alors lim g(x) = +∞.
(ii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim g(x) = −∞ alors lim f(x) = −∞.
(iii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = l, lim g(x) = l alors l ≤ l .
(iv) Si ∀x , f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) et lim f(x) = lim g(x) = l alors limn→+∞ h(x) = l.
Ceci se prouve ais´ement par le crit`ere des suites. Le (iv), appel´e parfois lemme des gen-
darmes a pour variante l’´enonc´e suivant :
Lemme 1.3.3 Soit f et g d´efinies sur le mˆeme ensemble. On suppose que pour tout x,
0 ≤ |f(x)| ≤ g(x), et lim g(x) = 0. Alors lim f(x) = 0.
Lorsque le comportement de g est connu, on dit que c’est une fonction de r´ef´erence.
Exercice.
1. Montrer que ces deux ´enonc´es sont effectivement ´equivalents.
2. Montrer directement le nouvel ´enonc´e avec la d´efinition de la limite.
Application : Calculer lim
x→0
x sin(1/x).
Enfin, un r´esultat qui n’a pas d’analogue pour les suites :
Th´eor`eme 1.3.4 composition des limites– Soit a, b et c, trois r´eels, soit I un inter-
valle tel que a ∈ I, et soit f et g, deux fonctions r´eelles telles que Dg ◦ f contienne I {a}.
On suppose qu’on a : lim
x→a
f(x) = b et lim
x→b
g(x) = c. Alors on a lim
x→a
g ◦ f(x) = c.
Preuve : Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Dg ◦ f et qui tend vers a. Alors (f(un))n∈N
est bien d´efinie et est `a valeurs dans Dg (pourquoi ?), et tend vers b. Donc (g ◦ f(un))n∈N
tend vers c.
On imagine les nombreuses variantes lorsqu’on remplace des valeurs finies par des valeurs
infinies pour a, b, ou c. Elles sont toutes vraies d`es qu’on peut ´etudier g ◦ f au voisinage
de a ∈ R ∪ {±∞}.

7. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 83
Exemple : Calculer lim
x→+∞
sin
1
x
.
Un exercice classique : On se propose de montrer que
sin x
x
tend vers 1 quand x tend
vers 0.
1. Soit x ∈]0, π
2 [. Dessiner dans C le secteur S d´ecrit par les λeiθ, avec 0 ≤ θ ≤ x et
0 ≤ λ ≤ 1. Quelle est l’aire de S sachant qu’elle est proportionnelle `a x ?
2. En comparant le rectangle de sommets 0, i sin x, eix, cos x avec S, montrer que sin x ≤
x.
3. A l’aide d’une autre comparaison d’aires, montrer qu’on a x ≤ tan x.
4. Montrer : lim
x→0
sin x = 0, puis montrer le r´esultat cherch´e.
1.4 ´Equivalents
On vient de montrer que lorsque x tend vers 0, sin x ressemble beaucoup `a x : Si on regarde
au microscope le graphe de sin x autour du point (0, 0), plus on augmente le grossissement,
moins on voit la diff´erence avec le graphe de x. On dit que x est un ´equivalent de sin x
quand x → 0.
D´efinition 1.4.1 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et
g sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a− (resp. +∞)lorsqu’on peut ´etudier
f et g `a gauche de a (resp. au voisinage de +∞) et qu’il existe une fonction h telle
pour tout x < a suffisamment proche de a (resp. pour tout x suffisamment grand), on ait
f(x) = g(x)h(x) et lim
x→a−
h(x) = 1.
Exercice. Trouver la d´efinition de deux fonctions ´equivalentes au voisinage de a+ et de
−∞.
D´efinition 1.4.2 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et g
sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a lorsqu’on est dans l’un des trois cas
suivants :
(i) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ et de a−;
(ii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ mais ne sont pas d´efinies sur un certain
intervalle de la forme ]b, a[ (b < a);
(iii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a− mais ne sont pas d´efinies sur un certain
intervalle de la forme ]a, b[ (b > a).
Remarques :
• la notion d’´equivalent n’a pas d’int´eret pour une limite finie, non nulle,car la notion
de limite est alors suffisante et ´equivalente.
• Si on a lim
x→a
f(x)
g(x)
= 1 alors f ∼ g quand x tend vers a.
• Lorsque a = ±∞, plus on ”regarde de loin”, moins on voit la diff´erence entre les
graphes de f et de g.

8. 84 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exemples fondamentaux :
1. Soit f, une fonction polynomiale d´efinie par f(x) =
n
i=m
aixi
, avec 0 ≤ m ≤ n, am et
an non nuls. Alors on a f(x) ∼ amxm au voisinage de 0 et f(x) ∼ anxn au voisinage
de ±∞ (le prouver).
2. De sin x ∼ x (x → 0), on d´eduit tan x ∼ x (x → 0).
3. ln(1 + x) ∼ x (x → 0) (vu en terminale).
Proposition 1.4.3 r`egles ´el´ementaires– Au voisinage de a+ (resp. a−), (resp. +∞),
(resp. −∞), on a :
1. Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2, alors f1 g1 ∼ f2 g2.
2. Si f1 ∼ f2, alors
1
f1
∼
1
f2
.
3. Si f1 ∼ f2, et n ∈ N, alors f1
n
∼ f2
n
.
4. Si f1 ∼ f2 et si f2 ∼ f3, alors f1 ∼ f3.
D´emonstration imm´ediate.
Proposition 1.4.4 – On a f1(x) ∼ f2(x) (x → 0+) si et seulement si f1(1/y) ∼ f2(1/y)
(y → +∞).
Preuve : Soit h ]0, η[→ R telle que f1 = f2h sur ]0, η[ et que lim
x→0+
h(x) = 1. Alors on a
lim
y→+∞
h(
1
y
) = 1.
Exemple : Donner un ´equivalent de sin(1/x) quand x → +∞.
Exercice.
1. Montrer que
√
1 + x − 1 ∼ x/2 (x → 0).
2. En d´eduire que 1 − cos x ∼ x2/2 (x → 0).
3. (ind´ependant) Soit a et b ∈ R∗. calculer lim
x→0
sin ax
bx
.
En revanche on peut avoir f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 sans avoir f1 + g1 ∼ f2 + g2 ni ef1 ∼ ef2 .
Donner des exemples.
Exercice. Donner un ´equivalent de
√
x4 + x3 − x2 au voisinage de +∞.

9. 2. CONTINUIT´E 85
2 Continuit´e
2.1 Continuit´e en un point
D´efinition 2.1.1 – Soit f une fonction num´erique et a ∈ Df , qui est une r´eunion
d’intervalles non r´eduits `a un point. On dit que f est continue en a lorsqu’ on a lim
x→a
f(x) =
f(a),
exemple : Montrer que sin(a + b) → sin a quand b → 0, en d´eduire que la fonction sinus
est continue en tout a ∈ R.
Intuitivement, il est peut-ˆetre plus facile de comprendre ce qu’est la non-continuit´e ou
discontinuit´e en a : il existe une suite (un)n∈N tendant vers a et `a valeurs dans Df ne
convergeant pas vers f(a). Cela vient du r´esultat important qui suit :
Th´eor`eme 2.1.2 – Soit f : D → R et soit a ∈ D. Il y a ´equivalence entre :
(i) f est continue en a
et
(ii) pour toute suite (un) `a valeurs dans D et de limite a, la suite (f(un)) converge vers
f(a).
Preuve : On suppose toujours que D est une r´eunion d’intervalles non r´eduits `a un point.
D’apr`es 1.2.3 et la d´efinition, le r´esultat est clair.
Exemple : En quels points de R la fonction x − E(x) est-elle continue ?
Exercice. Calculer lim 1 + 1
n
n
.
Rappelons quelques propri´et´es bien connues :
Proposition 2.1.3 (i) La somme et le produit de deux fonctions continues en a sont des
fonctions continues en a.
(ii) Si f est continue en a et si f(a) = 0, alors
1
f
est continue en a.
(iii) Si f est continue en a et si g est continue en f(a), alors g ◦ f est continue en a.
La preuve de (i) et (ii) d´ecoule directement du th´eor`eme 2.1.2 et des r´esultats sur les
suites. Montrons (iii)`a l’aide de ce mˆeme th´eor`eme : Soit (un)n∈N, une suite tendant vers
a. Alors la suite (f(un))n∈N tend vers f(a), et la suite (g(f(un)))n∈N tend vers g(f(a)).
2.2 Continuit´e `a droite et `a gauche
Savoir qu’une fonction f est continue en un point a aide `a connaˆıtre le comportement
(existence ou non d’une limite) d’une suite ou d’une fonction o`u intervient f. Il arrive que
la restriction de f `a Df ∩] − ∞, a] ou Df ∩ [a, +∞[ suffise `a nous informer, d’o`u l’int´erˆet
de la notion de continuit´e de f `a droite ou `a gauche d’un r´eel a.
D´efinition 2.2.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle et a ∈ Df . On dit que
f est continue `a gauche (resp. `a droite) en a lorsque f|(Df ∩]−∞,a]) (resp.f|(Df ∩[a,+∞[)) est
continue en a.

10. 86 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Etudier la continuit´e de la fonction partie enti`ere `a droite et `a gauche de 0.
Remarques.
• Si f est continue `a droite et `a gauche en a, alors f est continue en a. La r´eciproque
est-elle vraie ?
• Bien sˆur, les affirmations (i) et (ii) de la proposition 2.1.3 restent vraies pour la
continuit´e `a gauche et `a droite.
• Soit f(x) = sin x et g(x) = E(x). Etudier la continuit´e `a droite de g ◦ f en
π
2
.
2.3 Continuit´e d’une fonction sur un intervalle
D´efinition 2.3.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle d´efinie sur un intervalle
I. On dit que f est continue lorsqu’elle est continue en tout x ∈ I.
On peut g´en´eraliser cette d´efinition `a une r´eunion d’intervalles (non ponctuels). Nous
avons imm´ediatement les propri´et´es suivantes :
Proposition 2.3.2 – Soit I, un intervalle. Alors :
(i) La somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues
sur I.
(ii) Si f est continue sur I et ne s’annule pas, alors
1
f
est continue sur I.
(iii) Si f est continue sur I, si g est continue sur J, et si f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est continue
sur I.
Exercice. Soit f : R → R d´efinie par f(x) = x2 + 1 si x < 0 et f(x) =
1
1 + x
si x ≥ 0.
Montrer que f est continue sur R (utiliser la continuit´e `a gauche et `a droite en 0). Montrer
que si on change la valeur de f(0) (et seulement elle), alors f ne sera plus continue en 0.
Voici un crit`ere simple pour montrer qu’une fonction est continue :
Proposition 2.3.3 –Soit a < b < c ∈ R, soit f :]a, c[→ R, une fonction continue sur
]a, b[ et sur ]b, c[. Alors f est continue sur ]a, c[ si et seulement si lim
x→b−
f(x) = lim
x→b+
f(x) =
f(b).
C’est ´evident.
Proposition 2.3.4 prolongement par continuit´e– Soit f d´efinie sur un intervalle I
priv´e d’un point a, et continue sur I {a} (qui n’est pas forc´ement un intervalle). Si on a
lim
x→a
f(x) = l ∈ R alors f admet un unique prolongement continu `a I en posant f(x) = l.
Toujours aussi ´evident.

11. 2. CONTINUIT´E 87
2.4 Th´eor`emes fondamentaux sur les fonctions continues
T.P. En tra¸cant le graphe de la fonction sinus sur [0, π/2], on voit que celle-ci vaut 1/4
en un point. Au moyen d’une calculatrice, on va chercher une valeur approch´ee d’un
r´eel x0 ∈ [0, π/2], tel que sin x0 = 1/4. Plutˆot que de chercher au hasard, on adopte la
m´ethode suivante : On calcule que sin(π/4) > 1/4, on recherche alors x0 dans [0, π/4] ;
on compare sin(π/8) et 1/4, si sin(π/8) = 1/4, on a fini, si sin(π/8) < 1/4, on recherche
x0 dans [π/8, π/4], et si sin(π/8) > 1/4, on recherche x0 dans [0, π/8], et ainsi de suite
(dichotomie sur l’ensemble de d´epart).
1. A la ke ´etape, avec quelle pr´ecision connaˆıt-on x0 ?
2. V´erifier que les valeurs calcul´ees sont assez vite proches de 1/4.
3. ”Passage `a la limite”. Supposons que le proc´ed´e n’a pas de fin. On construit par
la pens´ee (c’est `a dire par r´ecurrence) une suite d’intervalles emboˆıt´es [an, bn] avec
sin an < 1/4 < sin bn et bn − an = (1/2n)(π/2). Montrer que le r´eel commun `a tous
les [an, bn] est une solution de notre probl`eme.
On a montr´e dans un cas particulier mais sans perdre de g´en´eralit´e le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 2.4.1 des valeurs interm´ediaires– Soit f, une fonction continue sur un
intervalle [a, b] (a < b) telle que f(a) = f(b). Tout r´eel compris strictement entre f(a) et
f(b) admet au moins un ant´ec´edent dans ]a, b[.
Remarque : Contrairement `a l’exemple ´etudi´e, c n’est pas forc´ement unique. La m´ethode
donne en pratique la valeur apprch´e d’une seule des solutions.
Corollaire 2.4.2 –L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Preuve : Soit f, une fonction continue sur un intervalle I, montrons que f(I) est un inter-
valle. Rappelons qu’un intervalle est une partie J de R qui v´erifie que si α et β sont des
´el´ements (distincts) de J, alors tout r´eel compris entre α et β appartient `a J. Soit α et β,
´el´ements de f(I), soit γ entre α et β, alors il existe a, b ∈ I tels que f(a) = α et f(b) = β.
D’apr`es 2.4.1, il existe c entre a et b, donc dans I, tel que f(c) = γ, on a donc γ ∈ f(I).
Exercice. Donner un exemple o`u :
• l’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ferm´e,
• l’image d’un intervalle ferm´e par une fonction continue est un intervalle ouvert,
• l’image d’un intervalle born´e par une fonction continue est un intervalle non born´e,
• l’image d’un intervalle non born´e par une fonction continue est un intervalle born´e.
Corollaire 2.4.3 –Si f est continue et strictement croissante (resp. d´ecroissante) sur
[a, b], alors c’est une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)] (resp. [f(b), f(a)]) et f −1 est stricte-
ment croissante (resp. d´ecroissante) et continue.

12. 88 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Preuve dans le cas croissant : On sait d´eja que f est injective et que f−1 existe sur
Im(f) et est strictement croissante. D’apr`es 2.4.2, Im(f) = [f(a), f(b)]. Nous avons
donc une bijection croissante f−1 de [f(a), f(b)] sur [a, b]. Il suffit donc de montrer que
toute bijection croissante g d’un intervalle [c, d] sur un intervalle [r, s] est continue, ce qui
est un r´esultat int´eressant en soi. Montrons que g est continue `a droite en tout point
de [c, d[. Soit x ∈ [c, d[, soit ε > 0, posons m = min{g(x) + ε, s}. On a ”clairement”
g−1([g(x), m]) = [x, g−1(m)], et il existe η > 0 tel que x + η < g−1(m). Alors on a
g([x, x + η]) ⊂ [g(x), g(x) + ε] ⊂ [g(x) − ε, g(x) + ε].
De mˆeme(?), g est continue `a gauche en tout point de ]c, d], donc g est continue.
On peut par exemple en d´eduire simplement l’existence et la continuit´e des fonctions racine
ni`eme sur R+ (n ∈ N∗).
Enfin, le r´esultat le plus important pour ce qui suivra :
Th´eor`eme 2.4.4 – Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b], alors il existe c ≤ d ∈ R tels
que f([a, b]) = [c, d].
Preuve : Montrons que f([a, b]), not´e I0, admet un plus grand ´el´ement d. Une fois de plus
on recourt `a la dichotomie (cette fois sur l’ensemble de d´epart). On compare les ensembles
E0 = f([a, a+b
2 ]) et F0 = f([a+b
2 , b]) de la mani`ere suivante : Etant donn´ees deux parties
A et B de R, on dira que A domine B quand tout {y} ⊂ B est major´e par un x ∈ A. On
a forc´ement A qui domine B ou B qui domine A ou les deux (exercice), on remarque aussi
que c’est une relation transitive (mais pas une relation d’ordre). De plus si A domine B,
alors A domine A ∪ B.
Si E0 domine F0, alors on pose I1 = [a, a+b
2 ], sinon, on pose I1 = [a+b
2 , b] et on remarque
que f(I1) domine f(I0) = E0 ∪ F0. Par r´ecurrence, on construit une suite d’intervalles
emboˆıt´es In dont la largeur tend vers 0 : Soit In = [an, bn], En = f([an, an+bn
2 ]) et
Fn = f([an+bn
2 , bn]) etc. Soit δ, l’intersection de tous les In, alors f(δ) est le maximum
de f. En effet, soit x ∈ [a, b] alors pour tout n il existe δn ∈ In tel que f(δn) ≥ f(x) car
f(In) domine f(I0) (par transitivit´e), mais on a f(δ) = lim f(δn) car δn → δ et parce que
f est continue.
De mˆeme on montre que f([a, b]) admet un plus petit ´el´ement c, et on conclut par 2.4.2.
Remarques :
• En g´en´eral, on a c = f(a) et d = f(b) (trouver des exemples).
• Les valeur c et d peuvent ˆetre atteintes un nombre infini de fois, par exemple si f
est constante.
• La m´ethode ci-dessus ne permet pas concr`etement de d´eterminer c et d en l’absence
d’hypoth`eses suppl´ementaires.
• Montrer par un exemple que l’hypoth`ese de la continuit´e de f est n´ecessaire, toutes
choses ´etant ´egales par ailleurs.
3 Exercices
ce que vous devez savoir faire :

13. 3. EXERCICES 89
• avoir au moins une intuition de la notion de limite (en termes de ”pour x assez
proche de... f(x) est aussi proche que l’on veut de...”), soutenue par le crit`ere en
termes de suite, et le graphisme.
• utiliser (correctement) la notion d’´equivalence pour d´eterminer des limites.
• utiliser des changements de variables pour passer d’une limite quand x → 0 `a une
limite quand x → a, ou quand x → ∞, etc.
• trouver le domaine de continuit´e d’une fonction donn´ee.
• d´eterminer si une fonction d´efinie par morceaux est continue.
• connaˆıtre et comprendre l’´enonc´e des th´eor`emes fondamentaux.
3.1 On consid`ere deux fonctions f et g et x0 un nombre r´eel tels que limx→x0 f(x) = l et
limx→x0 g(x) = l . Montrer en utilisant la d´efinition que limx→x0 (f(x) + g(x)) = l + l .
3.2 Soit f une fonction d´efinie sur R telle que limx→+∞ f(x) = 1.Montrer qu’il existe un
r´eel A tel que f soit positive sur l’intervalle [A, +∞[.
3.3 Montrer qu’une fonction p´eriodique d´efinie sur R admettant une limite finie en +∞
est constante.
3.4 Etudier la limite quand x tend vers +∞ de x
√
x + cos x, de
1
x
− 2 sin x.
3.5 Etudier la limite quand x tend vers 0 de sin x sin(
1
x
).
3.6 Etudier lim
x→0
x2
1 − cos x
, lim
x→0
sin(sin x)
x2
et lim
x→+∞
x sin(
1
x
).
3.7 D´eterminer les limites ´eventuelles suivantes:
lim
x→1
x2 − 1
|x| − 1
lim
x→1
x3 + 1
x2 − 1
lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
lim
x→1
xn − 1
xp − 1
n, p ∈ N∗
lim
x→−∞
x + 1 −
√
x2 + 2
x − 3
lim
x→+∞
x2 + x + 2 − x − m m ∈ R
lim
x→+∞
x + ln x
2x + sin x
lim
x→0
x sin(1/x)
lim
x→+∞
(
x − 1
2x + 1
)x2
lim
x→0
sin x
ln(1 + x)
3.8

14. 90 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
1. Par deux ´etudes de fonctions, montrer qu’on a
pour tout x ∈]0, π[ 1 −
x2
2
< cos x.
puis montrer qu’on a
pour tout x ∈]0, π[ x −
x3
6
< sin x.
2. En d´eduire la valeur de lim
x→0+
(1/ sin x − 1/x).
3.9 Soit f une fonction continue sur R admettant des limites finies en +∞ et −∞. Montrer
que f est born´ee.
3.10 Soit f une fonction continue sur [0, +∞[ telle que limx→+∞ f(x) = l (l ∈ R).
Montrer que f est born´ee sur [0, +∞[.
3.11 Soit f une fonction num´erique continue sur un intervalle I =]a, b[ de R. On suppose
qu’il existe x0 appartenant `a I tel que f(x0) > 0. Montrer qu’alors il existe un intervalle
J ⊂ I tel que f soit strictement positive sur J.
3.12 Donner l’exemple d’une fonction f non continue sur un intervalle et telle que f2 soit
continue sur cet intervalle.
3.13 Etudier la continuit´e de la fonction f d´efinie sur R par :
f(x) =
1
xe
−1
x2 si x = 0
0 si x = 0
3.14 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 la fonction h d´efinie sur R∗ par:
h(x) =
sin(1/x)
exp(1/x) + 1
3.15 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 les fonctions d´efinies sur [−1, 0[∪]0, 1] par
x ln |x|, x ln | sin x|?
3.16 Peut-on prolonger par continuit´e la fonction la fonction f(x) = e−( 1
sin x )
2
?
3.17 P est un polynˆome impair non nul.
1. Montrer que l’´equation eP(x)
+ P(x) = 0 admet au moins une solution r´eelle.
2. Lorsque P(x) = x, montrer que la solution est unique et en donner une valeur
approch´ee `a 0, 1 pr`es.

15. 3. EXERCICES 91
3.18 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer que f admet au moins un
point fixe, c’est-`a-dire qu’il existe α dans [0, 1] tel que f(α) = α (On pourra consid´erer la
fonction h(x) = f(x) − x) .
Montrer que l’hypoth`ese de continuit´e est n´ecessaire.
Si l’on remplace [0, 1] par [0, 1[ le r´esultat est-il encore vrai?
3.19 Montrer que la fonction d´efinie par h(x) =
ln(1 + sin x)
cos x
, r´ealise une bijection de
[0,
π
2
[ dans [0, +∞[.
3.20 On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f(x) =
x
1 + |x|
. Montrer que c’est une
bijection de R sur ] − 1, 1[ et d´eterminer son application r´eciproque f−1.
3.21 Montrer que pour tout λ appartenant `a [0, +∞[ le polynome x3 + λx + 1 admet une
unique racine r´eelle. On la note f(λ).
Montrer que la fonction f ainsi d´efinie est strictement croissante sur [0, +∞[.
Montrer que f r´ealise une bijection de [0, +∞[ dans [−1, 0[ et d´eterminer f−1.
3.22 Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que pour tout x ∈ [a, b] f(x) >
g(x).
Montrer qu’il existe m > 0 tel que pour tout x ∈ [a, b] f(x) > g(x) + m.
Le r´esultat reste-t-il vrai si l’on remplace dans l’exercice, [a, b] par R?
3.23 Julien a parcouru six kilom`etres en une heure. Montrer qu’il a forc´ement parcouru
trois kilom`etres pendant une p´eriode de trente minutes.
On supposera que la distance parcourue est une fonction continue du temps, ce qui semble
raisonnable.