Preguntas tc

PREGUNTA: Sea L el lenguaje definido por el conjunto de cadenas del alfabeto Σ = {a,
b, c} que contienen al menos una a y al menos una b. Indicar cuál de las siguientes
afirmaciones es VERDADERA:
a) L es un lenguaje independiente del contexto no regular
b) L es un lenguaje regular y por tanto, es posible encontrar una expresión regular que lo
reconozca
c) La definición del lenguaje impone restricciones acerca del número de c's que deben
contener las cadenas del lenguaje
RESPUESTA: la opción correcta es la b).
Vamos a tratar de plantear un autómata finito que represente el lenguaje. Si lo logramos,
ya sabremos que es una expresión regular.
Partimos de un estado inicial q0. Si en dicho estado se lee una c, el autómata se mantiene
en q0. Si se lee una a el autómata pasa al estado q1 y si se lee una b el autómata pasa al
estado q2. Si estando en q1 se lee una c ó una a, el autómata permanece en q1, mientras
que si se lee una b el autómata pasa al estado de aceptación q3. Si estando en q2 el
autómata lee una b ó una c, el autómata permanece en q2, mientras que si lee una a pasa
al estado de aceptación q3. En q3 la lectura de a, b ó c hacen que se permanezca en q3.
Si queremos estar más seguros lo dibujamos y lo probamos con diferentes cadenas.
Analizamos las opciones: a) es falsa porque dice que es un lenguaje no regular.
b) es verdadera pues como hemos visto es un lenguaje regular.
c) es falsa porque la definición del lenguaje no dice nada acerca del número de c´s que
deben contener las cadenas del lenguaje.
« última modificación: 18 de Diciembre 2013, 09:58 de nosferacento »
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gramática y símbolo inicial de una gramática
« Respuesta #21 : 05 de Diciembre 2013, 08:12 »
PREGUNTA: Dada la siguiente gramática, donde A es el símbolo inicial de la gramática:
S -- > A1B
A -- > 0A | λ
B -- > 0B | 1B | λ
Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA:
a) La gramática genera el lenguaje representado por la expresión regular 0*
b) La gramática genera el lenguaje representado por la expresión regular 0*1 (0 + 1)*
c) La gramática genera un lenguaje con un número finito de cadenas
d) Ninguna de las anteriores afirmaciones es verdadera
RESPUESTA: la opción correcta es la a)
Tenemos que prestar atención a cuál es el símbolo inicial de la gramática, normalmente S
pero en este caso nos indican específicamente que es A. Por ello vamos a reescribir la
gramática comenzando con la regla asociada al no terminal A para evitar confundirnos.
A -- > 0A | λ
B -- > 0B | 1B | λ

S -- > A1B
Al analizar la gramática con A como símbolo inicial vemos que B y S son símbolos
inalcanzables, por tanto la gramática se reduce a esta regla: A -- > 0A | λ
Esta gramática es recursiva por la derecha y admite la cadena vacía λ dentro del lenguaje
que genera. El lenguaje generado es λ, 0, 00, 000, 0000… que es lo mismo que la
expresión regular 0*
Analizamos las posibles respuestas:
a) es verdadera
b) es falso, el símbolo 1 no aparece dentro del lenguaje
c) es falso, el número de cadenas que genera es infinito
d) es falso
Pregunta sencilla pero donde mucha gente cometerá la equivocación de usar S como
símbolo inicial de la gramática. ¡Prestar atención!
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examen autómatas gramáticas y lenguajes
Con las últimas diez preguntas hemos completado un examen, que normalmente consta de
diez preguntas tipo test. Es conveniente que se trate de resolver el examen haciendo una
simulación de examen real, controlando el tiempo empleado y respondiendo todas las
preguntas a la vez sin consultar ningún tipo de documentación, y luego comprobar cómo
nos hubiera ido en ese caso supuesto "real" y qué nota habríamos sacado. Para quien
quiera intentarlo, dejo el examen con enunciados completos en el archivo adjunto a este
post (archivo jun13_1a_sem_A.pdf, pulsar sobre el nombre o icono para descargarlo
estando logeado). Y continuamos...

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máquina más simple para reconocer un lenguaje
PREGUNTA: Sea el lenguaje L = {xn
ym
zn
: con n y m > 0, y con n ≠ m}. ¿Cuál es la
máquina más simple que puede reconocer este lenguaje?
a) Un autómata finito.
b) Un autómata a pila determinista.
c) Un autómata a pila no determinista.
d) Una máquina de Turing.
RESPUESTA: la opción correcta es la d).
El lenguaje implica que el número de x´s ha de ser igual al número de z´s, y con al menos
una y entre las x´s y las z´s. El número de x´s y z´s tiene que ser distinto al número de
y´s. El número mínimo de cualquier símbolo es 1.
Con estas premisas xyz no se acepta porque el número de y´s tiene que ser distinto que el
número de x´s y de z´s. Se aceptarían las siguientes cadenas:
xyyz, xyyyz, xyyyyyy…yyyyyyz, xxyzz, xxxyzzz, xx…xxyzz..zz, xxxyyzzz, etc.
Necesitamos contar, con lo cual ya sabemos que los autómatas finitos no podrán

representar este lenguaje.
Ahora nos preguntamos, ¿podrá un autómata a pila reconocer este lenguaje? Necesitamos
comprobar las siguientes restricciones:
a) Que el número de z´s sea distinto al número de x
b) Que el número de x´s sea igual al número de z´s
c) Que tanto el número de x´s como de y´s sea al menos 1
Con un autómata a pila podemos contar algo añadiendo a la pila y comprobar la
coincidencia con otra cosa desapilando, pero aquí esto no es suficiente, necesitaríamos
contar dos cosas: las x´s y las y´s, luego desapilar con las z´s y verificar que las x´s están
en distinto número que las y´s. Esta capacidad de computación podríamos decir que
necesita “2 pilas” y está por encima de las posibilidades de un autómata a pila, sea
determinista o no determinista, por lo que concluimos que la máquina más simple para
reconocer este lenguaje ha de ser una máquina de Turing.
Otra vía para tratar de responder esta pregunta es usar el lema de bombeo para lenguajes
independientes del contexto. El lenguaje xn
y2n
zn
sería un subconjunto del lenguaje y por
tanto debería ser un LIC si el lenguaje propuesto fuera un LIC. Supongamos que este
lenguaje es un LIC. Entonces existe un valor constante n de forma que para z = xn
y2n
zn
se
cumpliría que:
z = uvwxy
|vwx| <= n
v ≠ λ, x ≠ λ
Si |vwx| <= n significa que vwx ha de estar formado en nuestro caso por símbolos y´s,
mientras que x ha de contener símbolos x´s y posiblemente y´s , y z ha de estar formado
posiblemente por símbolos y´s y por símbolos z´s.
Según el lema de bombeo uvkwxky ha de pertenecer al lenguaje para todo k>=0, pero si
hacemos k=0 tenemos que la parte central de la cadena estaría formada por como mucho
n símbolos y, mientras que necesitamos 2n símbolos y. La cadena no pertenecería al
lenguaje y no se cumple el lema de bombeo para lenguajes LIC, por lo que podemos
concluir que el lenguaje no es un LIC.
Conclusión: será necesaria una máquina de Turing para reconocer el lenguaje.

Esta pregunta es menos simple de lo que parece.
« última modificación: 06 de Febrero 2014, 09:27 de g42roram »
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lema de bombeo aplicado a los lenguajes regulares
PREGUNTA: El lema del bombeo aplicado a los lenguajes regulares nos demuestra que
para todo autómata finito no determinista existe un autómata finito determinista que
reconoce el mismo lenguaje.
a) Verdadero.
b) Falso.
RESPUESTA: la opción correcta es la b). El lema de bombeo aplicado a los lenguajes
regulares nos demuestra que si un lenguaje no cumple el lema de bombeo no es un
lenguaje regular. En caso de cumplirse, no es garantía de que el lenguaje sea regular ni de
que no lo sea. No tiene nada que ver con lo que indica el enunciado de la pregunta, por lo
tanto la respuesta es la b), Falso.
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forma normal de chomsky para una gramática
PREGUNTA: Dado el lenguaje L = {xn
ym
: n, m > 0} definido por la gramática
S -- > xX
X -- > xX
X -- > yY
Y -- > yY
Y -- > λ
¿Podríamos construir su forma normal de Chomsky?
a) Si.
b) No.
RESPUESTA: la opción correcta es la a).
Recordar que la FNC implica estas condiciones:
a) El lenguaje no genera la cadena vacía
b) Toda producción es de tipo A -- > BC ó A -- > a
c) La gramática no tiene producciones λ ni producciones unitarias ni símbolos inútiles.
¿Genera este lenguaje la cadena vacía? S ha de derivar en xX. Dado que X ha de derivar en
xX ó yY llegamos a xxX ó xyY. Si derivamos Y a la cadena vacía tenemos que la cadena
más corta que se puede generar es xy. Por tanto el lenguaje no contiene la cadena vacía.
Nota: puede despistar el que haya una producción que lleve a la cadena vacía, pero esto no
significa que el lenguaje genere la cadena vacía.
Vamos a intentar ponerla en forma normal de Chomsky. Para ello en primer lugar

eliminamos las producciones λ. Reemplazamos las producciones λ haciendo el reemplazo
por todas las producciones alternativas posibles. La gramática queda:
S -- > xX
X -- > xX
X -- > y
Y -- > yY
Y -- > y
En segundo lugar eliminaríamos producciones unitarias tipo A -- > B pero como no tenemos
pasamos al siguiente paso.
En tercer lugar eliminaríamos símbolos inútiles pero como no tenemos pasamos al siguiente
paso.
Nos falta dejar la gramática en la forma adecuada. Para ello introducimos variables
adicionales como F -- > x así como G -- > y. La gramática queda:
S -- > FX
X -- > FX
F -- > x
X -- > y
Y -- > GY
Y -- > y
G -- > y
Esta gramática está en forma normal de Chomsky y genera el mismo lenguaje que la
gramática inicial, por tanto la respuesta es la a), sí se puede construir la FNC.
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lenguaje expresado con una gramática y autómata a pila
PREGUNTA: Dado el lenguaje L definido por la siguiente gramática:
S -- > xX
S -- > Sy
S -- > xy
L es reconocido por el siguiente automáta a pila:
Podemos asegurar que el lenguaje es un lenguaje independiente del contexto no regular
a) Verdadero.
b) Falso.
RESPUESTA: La opción correcta es la opción b).
Veamos cadenas que genera el lenguaje: no se admite la cadena vacía. Genera: xy, xxy,
xxxy, xxx…xxxy, xyy, xyyy, xyyy…yyy, xxx…xxxxyyyy…yyy
El lenguaje permite tantas x antes y tantas y después como se quiera, obligando a que
aparezca una xy central.
Vamos a tratar de encontrar una expresión regular que describa el lenguaje: x*(xy)y*
permite que haya tantas x antecesoras como se quiera, obliga a que haya una xy central y

permite tantas y posteriores como se quiera. También podemos escribir el lenguaje como
xx*yy*. Además si nos fijamos en el autómata a pila propuesto, podemos transformarlo en
un autómata finito determinista que parte de qo y pasa a q1 cuando recibe una x, admite
tantas x como se desee en q1 mediante un lazo y pasa a q2 (aceptación) al recibir una y.
Además en q2 admite tantas y como se desee mediante un lazo.
Por tanto se trata de un lenguaje regular, con lo cual es falso que sea un lenguaje
independiente del contexto no regular. Respondemos la opción b).
Nota: el hecho de que el lenguaje se describa con un autómata a pila tal y como se plantea
en el enunciado significa que es un LIC, pero no dice nada respecto de si el lenguaje es
regular o no regular ya que los lenguajes regulares son un subconjunto de los LIC.
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lenguaje intersección y sus propiedades
PREGUNTA: Dado el lenguaje L1 = {xn
yn
: n > 0} y el lenguaje L2 = {xn
y2n
: n > 0}.
a) El lenguaje L = L1 ∩ L2 no es reconocido por un autómata finito.
b) El lenguaje L = L1 ∩ L2 no es reconocido por un autómata a pila determinista.
c) El lenguaje L = L1 ∩ L2 no es reconocido por un autómata a pila no determinista.
d) Ninguna de las anteriores

RESPUESTA: la opción correcta es la d)
el lenguaje L1 comprende las cadenas: xy, xxyy, xxxyyy … siendo reconocible por un
autómata a pila al que le basta apilar x´s y desapilarlas con y´s hasta vaciar la pila.
El lenguaje L2 comprende las cadenas xyy, xxyyyy, xxxyyyyyy … siendo reconocible por un
autómata a pila al que le basta apilar dos x´s cada vez que reciba una x y desapilar una x
cada vez que reciba una y hasta vaciar la pila.
Por tanto, L1 y L2 son lenguajes independientes del contexto. Ahora nos preguntan acerca
de la intersección de estos dos lenguajes, es decir, el lenguaje que representa las cadenas
comunes entre ambos. Sin embargo, ambos lenguajes no tienen cadenas en común
(prueba a buscar alguna y verás que no hay), con lo que el lenguaje intersección es el
lenguaje vacío. El lenguaje vacío es reconocido por cualquier autómata que simplemente
tiene un estado de aceptación y no tiene transiciones. Por tanto, sí es reconocido por un
autómata finito, a pila determinista o a pila no determinista, lo que hace las respuestas a),
b) y c) falsas. Respondemos por tanto la opción d).
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gramáticas y forma normal de chomsky
PREGUNTA: ¿Es posible construir la forma normal de Chomsky de la gramática
siguiente?
S -- > AB
A -- > aAc
A -- > λ

B -- > bBc
B -- > λ
a) Si.
b) No.
El símbolo inicial, dado que no nos indican otra cosa, es S. Con la producción S -- > AB
podemos alcanzar la cadena vacía, ya que A deriva a la cadena vacía y B deriva a la cadena
vacía. Por tanto, la cadena vacía forma parte del lenguaje generado por la gramática.
Recordar que la FNC implica estas condiciones:
a) El lenguaje no genera la cadena vacía
b) Toda producción es de tipo A -- > BC ó A -- > a
c) La gramática no tiene producciones λ ni producciones unitarias ni símbolos inútiles.
En este caso el lenguaje genera la cadena vacía por lo que respondemos la opción b), no es
posible generar la forma normal de chomsky de esta gramática.
Nota: si se nos preguntara, ¿es posible generar una gramática que genere un lenguaje
igual al lenguaje de esta gramática, excluida la cadena vacía, en forma normal de
chomsky? La respuesta sería que podríamos responder que sí siguiendo el siguiente
proceso (indicado a continuación PARA QUIEN LE INTERESE HACERLO COMO EJERCICIO).
Primero, eliminar las producciones que llevan a la cadena vacía:
S -- > AB
S -- > A
S -- > B
A -- > aAc
A -- > ac
B -- > bBc

B -- > bc
Segundo, eliminar las producciones unitarias. Para ello se utiliza el método de pares
unitarios:
(S, S) | (S, A) | (S, B)
(A, A)
(B, B)
S -- > AB | aAc | ac | bBc | bc
A -- > aAc | ac
B -- > bBc | bc
Hacemos estos cambios: X -- > a, Y -- > b, Z -- > c con lo que la gramática queda:
S -- > AB | XAZ | XZ | YBZ | YZ
A -- > XAZ | XZ
B -- > YBZ | YZ
Nos faltaría transformar las producciones que contienen tres no terminales en producciones
con 2 no terminales. Para ello hacemos T -- > AZ, M -- > BZ y la gramática queda:
S -- > AB | XT | XZ | YM | YZ
A -- > XT | XZ
B -- > YM | YZ
T -- > AZ
M -- > BZ
Que ya está en forma normal de chomsky y representa el lenguaje inicial excepto la cadena
vacía, es decir, L – { λ }
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reconocer un lenguaje con automata finito, a pila o MT
PREGUNTA: Sea el lenguaje L = {xn
ym
zn
: con n > 0 y m par}. ¿Cuál es la máquina
más simple que puede reconocer este lenguaje?
Planteamos en primer lugar ejemplos de cadenas que pertenecen al lenguaje. El lenguaje
no admite la cadena vacía. Admite xyyz, xyyyyz, xyy..yyz, x…xyy…yyz…z. Al hacer la
referencia m par podemos preguntarnos si el 0 es considerado par. Vamos a considerar que
sí. El cero cumple con la definición de número par: es un entero múltiplo del dos, 0 × 2 =
0. Entonces la cadena xz también sería admitida, así como xxyy, xxxyyy, etc.
Para reconocer este lenguaje podríamos apilar x´s y desapilar y´s, lo cual puede ser
realizado por un autómata a pila. Sin embargo, adicionalmente necesitamos verificar que el
número de y´s sea par. Esto podríamos hacerlo con un autómata a pila que apila con cada
y que recibe y desapila con la siguiente. Vamos a tratar de representar el autómata.
Primero lo dibujamos de forma aproximada y luego lo vamos perfeccionando a medida que
vamos haciendo pruebas.
Para permitir la posibilidad de que vengan y´s o no vengan y´s podríamos pensar en usar
no determinismo (transiciones basadas en la cadena vacía, “espontáneas”), pero tenemos
que estudiar si podemos evitar el no determinismo. Vamos a intentarlo, puesto que la
máquina determinista es más simple que la no determinista.

Ahora le pasamos las cadenas al autómata y comprobamos el comportamiento:
xz: acepta
xxzz: acepta
xx…xxzz…zz: acepta
xyyz: acepta
xyyyyz: acepta
xxyyzz: acepta
Conclusión: podemos reconocer el lenguaje con un autómata a pila determinista y la
respuesta correcta es la b).
Nota: la posibilidad de un autómata finito la descartamos desde el momento en que
necesitamos contar para reconocer el lenguaje.
Nota: este ejercicio quizás se pueda resolver de forma intuitiva teniendo en cuenta que las
x´s se pueden contrarrestar con las z´s y que las y´s al ser pares se pueden contrarestar a
sí mismas. No obstante, consideramos preferible representar el autómata y hacer
comprobaciones antes que basarnos en una visión rápida.
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lenguaje definido por una gramática
PREGUNTA: Sea el lenguaje L definido por la gramática
S -- > AB
A -- > aAc
A -- > λ
B -- > bBc
B -- > λ
¿Cuál es la máquina más simple que puede reconocer este lenguaje?
Analicemos qué cadenas genera la gramática.
El símbolo inicial, dado que no nos indican otra cosa, es S. Con la producción S -- > AB
podemos alcanzar la cadena vacía, ya que A deriva a la cadena vacía y B deriva a la cadena
vacía. Por tanto, la cadena vacía forma parte del lenguaje generado por la gramática.
Las producciones A nos permiten generar cadenas con el mismo número de a´s que de c´s,
por ejemplo ac, aacc, aaaccc, etc.
Las producciones B nos permiten generar cadenas con el mismo número de b´s que de c´s,
por ejemplo bc, bbcc, bbbccc, etc.

La producción AB permite que se puedan concatenar cero o muchos pares de (ac) con cero
o muchos pares de (bc).
Vamos a tratar de escribir una expresión regular que represente el lenguaje:
(ac)*(bc)*
¿Esta expresión regular representa el lenguaje? (incluido la cadena vacía). La respuesta es
que no, esta expresión regular permite cadenas como ac, acac, acacac … ó bc, bcbc,
bcbcbc… o la concatenación de ambas, pero esto no es el lenguaje que queremos
representar.
Si nos fijamos necesitamos contar el número de a´s y verificar que el número de c´s que
vengan a continuación sea igual, ó contar el número de b´s y verificar que el número de
c´s que venga a continuación sea igual. Si necesitamos contar vamos a necesitar al menos
un autómata a pila. Vamos a tratar de construir un autómata a pila que reconozca el
lenguaje.
Podríamos pensar en este autómata, pero la transición λ desde q1 introduce no-
determinismo.
Para hacerlo determinista eliminamos la transición con cadena vacía desde q1 y a cambio
hacemos q0 estado de aceptación.

Con este autómata tenemos el problema de que obliga a recibir al menos ac una vez,
mientras que el lenguaje permite que ac aparezca cero o muchas veces.
Vamos a corregir esto y redibujar el autómata:
Ahora parece que sí está correcto. Es un autómata a pila determinista. Le pasamos
cadenas:
λ : acepta

ac: acepta
aacc: acepta
aaa…ccc… : acepta
Nota: el autómata ha resultado relativamente complejo debido a la cantidad de variantes
que admite. ¿Podíamos haber respondido sin dibujar el autómata? Posiblemente sí,
teniendo en cuenta que el autómata “simplemente” tiene que apilar y desapilar en dos
etapas puede “intuirse” que es un autómata a pila determinista, pero esto depende de “la
capacidad de visión” que tenga cada uno. Esta pregunta es menos sencilla de lo que
parece...
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lenguaje con capacidad de contar y diferenciar par e impar
PREGUNTA: Dado el lenguaje L = {xn
yn
zm
: donde se cumplen las siguientes condiciones, n
> 0, si n es par m es igual a 2 o si n es impar m es igual a 3}
¿Cuál es la máquina más simple que puede reconocerlo?
a) Un autómata finito
b) Un autómata a pila determinista
c) Un autómata a pila no determinista
d) Ninguna de las anteriores

Veamos algunas de las cadenas que reconoce el lenguaje:
Con n=1, n es impar, reconoce xyzzz
Con n=2, n es par, reconoce xxyyzz
Con n=3, n es impar, reconoce xxxyyyzzz
Con n=4, n es par, reconoce xxxxyyyyzz
Con n=5, n es impar, reconoce xxxxxyyyyyzzz
Necesitamos contar las apariciones de las x´s para luego comprobar que las apariciones de
las y´s sean coincidentes en número. Desde el momento en que necesitamos contar
descartamos los autómatas finitos, requeriremos como mínimo un autómata a pila. En este
caso, si logramos diferenciar cuándo el número de x´s es impar, sabemos que podemos
llegar a aceptación desapilando las x´s y añadiendo dos z´s. Si logramos diferenciar
cuándo el número de x´s es par, sabemos que podemos llegar a aceptación desapilando las
x´s y añadiendo tres z´s.
Vamos a tratar de plantear un autómata a pila que resuelva el problema. A priori no
tenemos del todo claro si va a ser posible resolverlo con un autómata a pila determinista o
no. Después de varias pruebas y tanteos planteamos el siguiente autómata:

Este es un autómata a pila determinista. Pasamos las cadenas que habíamos planteado a
este autómata. Vemos que las resuelve bien, y vemos que la generalización no plantea
problemas. Hemos representado el lenguaje con un autómata a pila determinista, por tanto
la opción correcta es la b).
Nota: el autómata resuelve bien porque logra diferenciar par / impar mediante transiciones
y porque una vez detectado si el caso es par o impar tiene que añadir un número finito de
símbolos.
Los estados se pueden interpretar de la siguiente manera:
q2: se ha reconocido un número impar de x´s
q3: se ha reconocido un número par de x´s
q6: se acepta la cadena de entrada
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tipo de autómata para reconocer un lenguaje
« Respuesta #32 : 13 de Enero 2014, 10:09 »
PREGUNTA. Sea el lenguaje L = {xn
ym
zn
: con n y m > 0, y con n = m}. ¿Cuál es la
máquina más simple que puede reconocer este lenguaje?
RESPUESTA: la opción correcta es la d).
Al indicarnos que n = m el lenguaje es equivalente a xnynzn : con n > 0, es decir, cadenas
con el mismo número de x´s, y´s y z´s que aparecen en este orden. Un autómata finito no
puede recordar el número de x´s que han aparecido para compararlo con el número de y´s
y el número de z´s. Con un autómata finito podríamos reconocer ciclos simples xyz pero no
cadenas del tipo xxxyyyzzz donde necesitamos recordar los caracteres que han aparecido
previamente.
Pensemos ahora en un autómata a pila. Podríamos pensar en apilar con las x´s, luego
desapilar con las y´s, pero ya no podríamos comprobar las z´s.
Supongamos ahora que apilamos dobles x´s cada vez que encontramos una x, luego
hacemos una transición a otro estado al encontrar una y y desapilamos una x simple por
cada y, luego hacemos una transición con una z a otro estado y desapilamos una x simple
por cada z. Una cadena como xxyyzz nos llevaría a aceptación pero una cadena como

xxyzzz también porque no sabemos al desapilar con las z´s quién ha puesto el símbolo, si
se debe a una x ó se debe a una y.
Un autómata a pila no determinista nos permite explorar múltiples vías, pero tampoco nos
permite recordar la información que necesitamos recordar.
Una máquina de Turing con varias cintas puede almacenar la información que desee (y
puede reducirse a una máquina de Turing de una cinta si se quiere). Por tanto
respondemos la opción d) Máquina de Turing.
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enunciado examen resuelto autómatas, gramáticas y lenguajes
Con lo visto hasta ahora hemos completado un examen, que normalmente consta de diez
preguntas tipo test. Es conveniente que se trate de resolver el examen haciendo una
simulación de examen real, controlando el tiempo empleado y todas las preguntas a la vez
sin consultar ningún tipo de documentación, y luego comprobar cómo nos hubiera ido en
ese caso supuesto "real" y qué nota habríamos sacado. Para quien quiera intentarlo, dejo el
examen con enunciados completos en el archivo adjunto a este post (archivo
jun12_2a_sem_A.pdf, pulsar sobre el nombre o icono para descargarlo estando logeado). Y
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generar un autómata a partir de una gramática
PREGUNTA: Dada la siguiente gramática regular no determinista, donde A es su
símbolo inicial:
A -- > xA
A -- > yA
A -- > xB
B -- > xA
B -- > yA
B -- > xB
B -- > xC
C -- > yD
C -- > xB
D -- > λ
D -- > xB
D -- > yA
Podemos construir un autómata finito determinista con solo 2 estados que
reconozca el mismo lenguaje.
a) Verdadero.
b) Falso.
RESPUESTA:
Tenemos que prestar atención al enunciado:
a) Nos dice que es una gramática regular no determinista con símbolo inicial A
b) Nos pregunta si podemos construir un autómata finito determinista que reconozca el
mismo lenguaje
Por tanto no nos pide ni siquiera transformar la gramática en un autómata, sino ver si

podemos construir un autómata que reconozca el mismo lenguaje.
Lo primero que haremos será reflexionar sobre el lenguaje y las cadenas que genera el
lenguaje.
Si transformamos la gramática en autómata finito no determinista obtenemos esto:
Este autómata finito es indeterminista, pero sabemos que un AFN se puede transformar en
un AFD. Ahora trataremos de encontrar algunas de las cadenas aceptadas por el autómata:
xxy: es la cadena más corta que acepta, podríamos representarla con un AFD de dos
estados, uno inicial que acepta indefinidamente x y otro final al que se llega con una y. Sin
embargo, aparte de ser la cadena más corta que acepta es la secuencia final obligatoria
para llegar a aceptación y se permiten expresiones del tipo x(intercarlar x´s e y´s)xxy. Si
usamos un estado inicial que acepta indefinidamente x´s e y´s que nos lleve a aceptación
con una y, no podemos asegurar que el final será xxy. Para asegurar este final, con un AFD
necesitaremos más de dos estados.
Respondemos entonces b) Falso.
Otro razonamiento: cuando se pasa de AFD a AFN se definen nuevos estados a partir del
conjunto potencia de los estados del AFN. En el paso de AFD a AFN nos podemos
encontrar:
a) Caso peor: se generan 2n
estados en el AFD
b) Caso mejor: se mantienen los n estados del AFN

Por tanto el AFD no tendrá menos de 4 estados y respondemos la opción b) Falso.
Aunque con lo dicho ya no es necesario, vamos a construir el AFD usando la técnica de
subconjuntos a modo de ejercicio. Para ello partimos del estado inicial y vamos
representando los conjuntos de estados alcanzables (y las transiciones desde cada uno de
ellos) mediante cierres ε. En este caso como no tenemos transiciones ε simplemente
tenemos que fijarnos en los estados alcanzables directamente en base al símbolo leído.
Estado x y Observaciones
{A} {A, B} {A} Estado inicial
{A, B} {A, B, C} {A}
{A, B, C} {A, B, C} {A,D}
{A, D} {A, B} {A} De aceptación
Nos queda este autómata:
En este caso estamos en el caso “mejor”: no se ha incrementeado el número de estados
respecto del AFN.
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lema de bombeo aplicado a los autómatas a pila
PREGUNTA: El lema del bombeo aplicado a los autómatas a pila demuestra que el
lenguaje L = {xn
yn
zn
: n > 0} no puede ser reconocido por ninguna máquina.
a) Verdadero.
b) Falso.
Falso. Este lenguaje puede ser reconocido por una máquina de Turing. El lema de bombeo
aplicado a los autómatas a pila demuestra que un lenguaje no es un LIC, y por tanto no
puede ser reconocido por un autómata a pila, pero no demuestra que un lenguaje no pueda
ser reconocido por ninguna máquina.
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relación entre lenguajes de un autómata y de una gramática
PREGUNTA: Dado el lenguaje L1 reconocido por el autómata

y el lenguaje L2 definido por la gramática
S -- > xSy
S -- > λ
Podemos afirmar:
a) L1 = L2
b) L1 ≠ L2
c) L1 ⊂ L2
d) L2 ⊂ L1
RESPUESTA: la opción correcta es la b)
Hay que tener en cuenta que la gramática, lenguaje L2, obliga a que por cada x se añada
una y, es decir, obliga a que el número de x y el número de y sean iguales. En cambio el
lenguaje L1 permite que venga cualquier número de x y cualquier número de ys sin
necesidad de que sean iguales. El lenguaje L1 está representado por un autómata finito
determinista, por tanto es un lenguaje regular.
El lenguaje L2 será L2 = {xn
yn
| n >= 0}. Este lenguaje requiere contar el número de x
para verificar que el número de y´s sean iguales. Los autómatas finitos no tienen capacidad
para contar. Por tanto este lenguaje necesita de un autómata a pila para apilar con las x y
desapilar con las y´s y se trata de un LIC.

Vemos que el lenguaje L2 se diferencia además de L1 en que L1 no acepta la cadena vacía
y L2 sí acepta la cadena vacía.
Por tanto la opción a) es falsa: no son lenguajes iguales.
La opción b) significa que los lenguajes son distintos, lo cual es cierto pero vamos a repasar
las otras opciones.
La opción c) significaría que todas las cadenas de L1 pertenecen a L2. ¿Es cierto? No,
porque en L1 estaría por ejemplo xxxy que no está en L2 por no coincidir el número de x
con el número de ys.
La opción d) significaría que todas las cadenas de L2 estarían en L1, lo cual no es cierto
porque la cadena vacía no está en L1.
Respondemos la opción b), son lenguajes distintos. No es difícil de ver pero requiere
razonar meticulosamente y sin perder de vista detalles como la aceptación o no de la
cadena vacía.
« última modificación: 20 de Enero 2014, 11:55 de nosferacento »
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lenguaje libre de contexto no regular con número finito de palabras
PREGUNTA: ¿Existe algún lenguaje independiente del contexto no regular
compuesto por un número finito de palabras?
a) Sí.
b) No.

RESPUESTA: la opción correcta es la b)
Si el lenguaje estuviera compuesto por un número finito de palabras sería representable
por un autómata finito y por tanto sería un lenguaje regular. Para ser un LIC no regular
debe admitir infinitas palabras, por tanto respondemos la opción b).
Adicionalmente indicaremos que: todo lenguaje con un número finito de palabras es
regular. Es cierto que con muchas palabras quizás nos salieran autómatas finitos
gigantescos, pero seguiría siendo un lenguaje regular.
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lenguaje reconocido por una máquina de Turing
PREGUNTA: Sea L2 = {xn
yn
zn
| n > 0}. Y sea L1 el lenguaje reconocido por la
siguiente máquina de Turing.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) L1 = L2
b) L1 ≠ L2
c) L1 ⊂ L2
d) L2 ⊂ L1
RESPUESTA: hay dos opciones que podrían considerarse correctas, la b y la d. Nosotros nos
decantamos por responder la d) (ver el razonamiento seguido a continuación)
Nota: fijarse que el símbolo B o blanco de la máquina de Turing aquí lo representan con un
espacio vacío. Es decir, la transición de q1 a q2 es B;B, -->, etc. En otras ocasiones
también se representa con un cuadradito vacío.
Tratemos de ver qué es lo que hace la máquina de Turing propuesta. Vemos que en la
transición de q0 a q1 requiere una x, en la transición de q2 a q3 requiere una y, y en la

transición de q4 a q5 requiere una z.
Nos preguntamos ¿admite la MT la cadena zyx? Para esta cadena tenemos est as
transiciones: q0zyx ├ zq0yz ├ zyq0x ├ zq1yx ├ q1zyx ├ q1Bzyx ├ q2zyx ├ zq2yx ├ q3zyx ├
q3Bzyx ├ q4zyx ├ q5Bzyx
Efectivamente la máquina admite esta cadena. La máquina parece admitir cualquier cadena
que contenga al menos una x, una y y una z sin requerir un orden específico.
Si tratamos de ver lo que hace, en primer lugar se mueve a derechas hasta encontrar una
x. Luego vuelve al principio de la cadena, hasta encontrar el blanco inicial. Luego se mueve
a derechas hasta encontrar una y, y seguidamente vuelve al principio de la cadena, hasta
encontrar el blanco inicial. Luego se mueve a derechas hasta encontrar una z y acepta.
Hemos visto que admite zyx y esta cadena no pertenece al lenguaje L2, por tanto
descartamos tanto la opción de que L1 = L2 como la opción de que L1 sea un subconjunto
de L2.
La opción b podemos decir que es verdadera, pero nos preguntamos si la opción d es
también verdadera.
L1 reconoce cualquier cadena que contenga al menos una x, una y una z, por tanto
reconoce todas las cadenas en el lenguaje L2 que han de tener obligatoriamente una x, una
y y una z. Por tanto es cierto que L2 es subconjunto de L1.
Respondemos la opción d) porque es la que mejor describe la situación, aunque dado que
la opción b) puede considerarse cierta y por tanto generar dudas, recomendamos escribir
un comentario al respecto en el examen, en una hoja aparte.
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concepto de gramática regular y gramática independiente del contexto
PREGUNTA: La siguiente gramática con símbolo inicial S:
S -- > AB
A -- > Aa
A -- > a
B -- > Bb
B -- > b
a) Es una gramática regular.
b) Es una gramática independiente del contexto.
c) Ninguna de las anteriores.
RESPUESTA: la opción correcta es la b) (esta pregunta tiene “truco”, ver la explicación).
Trataremos de analizar qué cadenas genera la gramática. No hay derivaciones a la cadena
vacía, por tanto la cadena vacía no forma parte del lenguaje. A puede derivar a una cadena
con un mínimo de una a y un máximo de infinitas a´s. B puede derivar a una cadena con
un mínimo de una b y un máximo de infinitas b´s. El símbolo inicial puede derivar a como
mínimo ab, y a cualquier cadena con cualquier número de a´s antecediendo a cualquier
número de b´s. Esto equivale a la expresión regular aa*bb*. ¿Siempre que una gramática
representa un lenguaje regular es una gramática regular? Intuitivamente quizás
respondamos que sí, pero lo cierto es que no, ahí está el truco o sutileza de esta pregunta.
Por ello nos tenemos que remitir a la definición de gramática regular. Una gramática es
regular si cumple estos requisitos:
a) En el lado izquierdo de las reglas de producción solo aparece un símbolo
b) El lado derecho de las normas sólo puede contener dos cosas: un símbolo terminal (se
acepta también la cadena vacía) ó un símbolo terminal seguido de un símbolo no terminal.
Por tanto no se aceptan reglas como A -- > Aa porque el símbolo no terminal no puede
aparecer como primer símbolo en el lado derecho.
Tampoco se aceptan reglas como A -- > AB porque tiene dos símbolos no terminales

seguidos en el lado derecho de la regla, por tanto la gramática propuesta no es regular.
Dado que los lenguajes regulares son un subconjunto de los lenguajes independientes del
contexto y dado que las gramáticas independientes del contexto aceptan que en el lado
derecho haya cualquier sucesión de símbolos (terminales o no terminales) concluimos que
la gramática es una gramática independiente del contexto que genera un lenguaje regular.
Pregunta que parecía sencilla pero que ha resultado bastante más complicada de responder
de lo que aparentaba.

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