SlideShare a Scribd company logo
1 of 8
Download to read offline
Integrais Duplas Polares

                      β r2 ( θ )

 ∫∫ f ( r ,θ )dA = α ∫θ )f ( r ,θ ).r dr dθ
    R
                   ∫ (   r1



∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ f ( r cosθ , rsenθ ).r dr dθ
R                 R
1) Calcule a integral iterada :
π   1+ cos ( θ )       π        1+ cos ( θ )
                           r 
                            2

∫
0
         ∫ rdrdθ = ∫
         0             0
                              
                            2 0
                                               dθ =

π
     1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ ) 
∫
0
    
    
                2
                                 dθ =
                                 
                                 
                      u sen( 2u )
como : ∫ cos ( u )du = +
                   2

                      2    4
θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ ) 
                                               π

  +        + +           =
2     2     4    8 0
π π 3π
  + =
2 4     4
1) Calcule a integral iterada(2ª maneira) :
π   1+ cos ( θ )   π        1+ cos ( θ )
                       r 
                        2

∫
0
         ∫ rdrdθ = ∫
         0         0
                          
                        2 0
                                           dθ =

π
   1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ ) 
∫ 
0
  
              2
                               dθ =
                               
                               
                      1 cos( 2u )
Temos cos 2 ( u ) = +
                      2          2
   1 2 cos(θ ) 1 cos( 2u ) 
π

∫  2 + 2 + 4 + 4 dθ
0                                  
θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ ) 
                                           π

  +        + +           =
2     2     4    8 0
π π 3π
  + =
2 4     4
Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida
pela rosácea de três pétalas r = sen ( 3θ )
                                       θ = π/3




                                        R

                                                 θ=0




      Calcularemos a área da pétala R no primeiro quadrante e
      multiplicaremos por três
π                    π
         3   sen ( 3θ )       3
                            3
3∫∫ dA =3∫      ∫ r dr dθ = 2 ∫ sen ( 3θ ) dθ =
                                   2

 R       0      0             0

                    du
u = 3θ → du = 3dθ →    = dθ
                     3
 π
 3                        π
3                   3            du
  ∫ sen ( 3θ ) dθ = 2 ∫ sen ( u ) 3 =
       2                   2

20                    0

1  u sen( 2u ) 
                     π
                   1 π  π
22 − 4  = 2  2  = 4
                0    
π                             π
         3       sen ( 3θ )            3
                               3
3∫∫ dA =3∫          ∫ r dr dθ = ∫ sen 2 ( 3θ ) dθ =
 R       0          0
                               20
                 1 cos( 2u )
Temos sen ( u ) = −
             2

                 2    2
  π                              π

3 3
                     3  1 cos( 6θ ) 
                                 3

  ∫ sen 2 ( 3θ ) dθ = ∫  −          dθ =
20                   2 0 2   2 
  π                                               π
3  1 cos( 6θ ) 
  3
                  3 θ sen( 6θ )                 3
 ∫  2 − 2 dθ = 2  2 − 12  0 =
20                            
   π       6π                              
        sen                 
3  3       3                   0 sen( 0 ) 
                              − −
                                                  3π 0  π
      −                                        =  − =
2  2      12                  2    12        2  6 12  4
                                             
                                             
Calcule a área no 1° quadrante compreendida fora do círculo r = 2 e
dentro da cardióide r = 2(1 + cos(θ ) )




     r=2

                                                      r = 2.( 1 + cos(θ))
π                                 π
          2   ( 2+ 2 cos ( θ ) )            2    2 2 + 2 cos ( θ )
                                                r
∫∫ dA = ∫
R         0
                     ∫ r dr dθ = ∫
                      2                     0
                                                 2
                                                                     dθ =
                                                     2
π                                                              π
     4 + 8 cos(θ ) + 4 cos 2 (θ ) 4 
                                                                     [          ]
2                                                              2

∫                                − dθ = ∫ 2 + 4 cos(θ ) + 2 cos 2 (θ ) − 2 dθ =
0                2                2     0
π                                                                           π
                                                θ sen( 2θ ) 
∫ [                                    ]
2                                                                           2
      4 cos(θ ) + 2 cos (θ ) dθ = 4sen(θ ) + 2. +
                                   2
                                                              =
0                                              2     4 0
                                       π
               sen( 2θ )                        π
4sen(θ ) + θ +
                                       2
                                           = 4+
                  2                    0        2

More Related Content

What's hot

Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soal
Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soalPowerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soal
Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soalAlfi Nurfazri
 
Teknik integrasi
Teknik integrasiTeknik integrasi
Teknik integrasiindirahayu
 
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertama
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertamaPersamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertama
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertamadwiprananto
 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleksUHN
 
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebihTuruna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebihMono Manullang
 
Barisan dan deret kompleks
Barisan dan deret kompleksBarisan dan deret kompleks
Barisan dan deret komplekspramithasari27
 
4. INTEGRAL Trigonometri.pptx
4. INTEGRAL Trigonometri.pptx4. INTEGRAL Trigonometri.pptx
4. INTEGRAL Trigonometri.pptxSitiHalimaSiregar
 

What's hot (20)

Runge kutta new
Runge kutta newRunge kutta new
Runge kutta new
 
Integral parsial
Integral parsialIntegral parsial
Integral parsial
 
Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soal
Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soalPowerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soal
Powerpoint Kalkulus Tentang Integral tentu beserta contoh dan soal soal
 
Teknik integrasi
Teknik integrasiTeknik integrasi
Teknik integrasi
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
 
Limit
LimitLimit
Limit
 
Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2
 
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertama
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertamaPersamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertama
Persamaan diferensial biasa: Persamaan diferensial orde-pertama
 
Confluent hypergeometricfunctions
Confluent hypergeometricfunctionsConfluent hypergeometricfunctions
Confluent hypergeometricfunctions
 
Determinan es
Determinan esDeterminan es
Determinan es
 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleks
 
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebihTuruna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
 
Barisan dan deret kompleks
Barisan dan deret kompleksBarisan dan deret kompleks
Barisan dan deret kompleks
 
Pertemuan 8 bentuk koordinat
Pertemuan 8   bentuk koordinatPertemuan 8   bentuk koordinat
Pertemuan 8 bentuk koordinat
 
Met num 10
Met num 10Met num 10
Met num 10
 
4. INTEGRAL Trigonometri.pptx
4. INTEGRAL Trigonometri.pptx4. INTEGRAL Trigonometri.pptx
4. INTEGRAL Trigonometri.pptx
 
6. interpolasi polynomial newton
6. interpolasi polynomial newton6. interpolasi polynomial newton
6. interpolasi polynomial newton
 
Tabla de integrales
Tabla de integralesTabla de integrales
Tabla de integrales
 
Tabela de Integrais
Tabela de  IntegraisTabela de  Integrais
Tabela de Integrais
 
Polar Coordinates & Polar Curves
Polar Coordinates & Polar CurvesPolar Coordinates & Polar Curves
Polar Coordinates & Polar Curves
 

Int.coord.polares

  • 1. Integrais Duplas Polares β r2 ( θ ) ∫∫ f ( r ,θ )dA = α ∫θ )f ( r ,θ ).r dr dθ R ∫ ( r1 ∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ f ( r cosθ , rsenθ ).r dr dθ R R
  • 2. 1) Calcule a integral iterada : π 1+ cos ( θ ) π 1+ cos ( θ ) r  2 ∫ 0 ∫ rdrdθ = ∫ 0 0  2 0 dθ = π  1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ )  ∫ 0    2 dθ =   u sen( 2u ) como : ∫ cos ( u )du = + 2 2 4 θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ )  π + + +  = 2 2 4 8 0 π π 3π + = 2 4 4
  • 3. 1) Calcule a integral iterada(2ª maneira) : π 1+ cos ( θ ) π 1+ cos ( θ ) r  2 ∫ 0 ∫ rdrdθ = ∫ 0 0  2 0 dθ = π  1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ )  ∫  0   2 dθ =   1 cos( 2u ) Temos cos 2 ( u ) = + 2 2  1 2 cos(θ ) 1 cos( 2u )  π ∫  2 + 2 + 4 + 4 dθ 0   θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ )  π + + +  = 2 2 4 8 0 π π 3π + = 2 4 4
  • 4. Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida pela rosácea de três pétalas r = sen ( 3θ ) θ = π/3 R θ=0 Calcularemos a área da pétala R no primeiro quadrante e multiplicaremos por três
  • 5. π π 3 sen ( 3θ ) 3 3 3∫∫ dA =3∫ ∫ r dr dθ = 2 ∫ sen ( 3θ ) dθ = 2 R 0 0 0 du u = 3θ → du = 3dθ → = dθ 3 π 3 π 3 3 du ∫ sen ( 3θ ) dθ = 2 ∫ sen ( u ) 3 = 2 2 20 0 1  u sen( 2u )  π 1 π  π 22 − 4  = 2  2  = 4 0  
  • 6. π π 3 sen ( 3θ ) 3 3 3∫∫ dA =3∫ ∫ r dr dθ = ∫ sen 2 ( 3θ ) dθ = R 0 0 20 1 cos( 2u ) Temos sen ( u ) = − 2 2 2 π π 3 3 3  1 cos( 6θ )  3 ∫ sen 2 ( 3θ ) dθ = ∫  − dθ = 20 2 0 2 2  π π 3  1 cos( 6θ )  3 3 θ sen( 6θ )  3 ∫  2 − 2 dθ = 2  2 − 12  0 = 20      π  6π    sen  3  3  3  0 sen( 0 )  − −  3π 0  π  −   =  − = 2  2 12  2 12  2  6 12  4      
  • 7. Calcule a área no 1° quadrante compreendida fora do círculo r = 2 e dentro da cardióide r = 2(1 + cos(θ ) ) r=2 r = 2.( 1 + cos(θ))
  • 8. π π 2 ( 2+ 2 cos ( θ ) ) 2 2 2 + 2 cos ( θ ) r ∫∫ dA = ∫ R 0 ∫ r dr dθ = ∫ 2 0 2 dθ = 2 π π  4 + 8 cos(θ ) + 4 cos 2 (θ ) 4  [ ] 2 2 ∫  − dθ = ∫ 2 + 4 cos(θ ) + 2 cos 2 (θ ) − 2 dθ = 0  2 2 0 π π  θ sen( 2θ )  ∫ [ ] 2 2 4 cos(θ ) + 2 cos (θ ) dθ = 4sen(θ ) + 2. + 2  = 0 2 4 0 π sen( 2θ ) π 4sen(θ ) + θ + 2 = 4+ 2 0 2