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Ami0004

  1. 1. Carlos Tenreiro tenreiro@mat.uc.ptApontamentos deMedida e Integra¸˜o caCoimbra, 2000
  2. 2. tenreiro@mat.uc.ptVers˜o de Dezembro de 2004 a
  3. 3. tenreiro@mat.uc.ptNota pr´via e Os presentes apontamentos tˆm por base o curso de Medida ee Integra¸˜o leccionado no primeiro semestre dos anos lectivos de ca1998/99, 1999/00 e 2000/01, a alunos do Ramo Cient´ ıfico, especi-aliza¸˜o em Matem´tica Pura, do terceiro ano da licenciatura em ca aMatem´tica da Universidade de Coimbra. a Na elabora¸˜o deste texto, tal como na lecciona¸˜o do curso, as- ca casumimos, naturalmente, que o estudante tem conhecimentos s´lidoso ´sobre as mat´rias leccionadas nas disciplinas de Algebra Linear e de eAn´lise Infinitesimal dos dois primeiros anos da licenciatura. De en- atre estas, real¸am-se as relativas ao integral de Riemann, quer num ccontexto univariado quer multivariado. No entanto, como a aborda-gem ao integral de Riemann seguida nessas disciplinas de An´lise,aprivilegia a vertente calculat´ria em detrimento duma constru¸˜o o carigorosa da entidade matem´tica, op¸˜o essa a que n˜o ´ estranha a ca a ea morosidade desta ultima abordagem, apresentamos num cap´ ´ ıtulopreliminar, mas de forma muito sucinta, as diversas etapas da cons-tru¸˜o do integral de Riemann em IRd bem como os principais re- casultados e limita¸˜es deste integral. co No presente texto, surgem tamb´m t´picos, como os do teorema e o pda representa¸˜o de Riesz em L , do teorema da diferencia¸˜o de ca caLebesgue, ou da transformada de Fourier de medidas finitas emIRd , que n˜o foram abordados durante o curso em qualquer dos aanos lectivos referidos.Carlos Tenreiro
  4. 4. tenreiro@mat.uc.pt
  5. 5. ´Indice tenreiro@mat.uc.pt0 Integral de Riemann e medida de Jordan 1 0.1 Rectˆngulos em IRd . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Integral duma fun¸˜o definida num rectˆngulo . . . ca a . . . . . . . . . . . . 2 0.3 Conjuntos mensur´veis e medida de Jordan . . . . a . . . . . . . . . . . . 2 0.4 Integral duma fun¸˜o definida num mensur´vel . . ca a . . . . . . . . . . . . 3 0.5 C´lculo de integrais m´ltiplos: Teorema de Fubini a u . . . . . . . . . . . . 4 0.6 Integrais param´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 4 0.7 Um teorema de convergˆncia . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 5 0.8 Integral impr´prio de Riemann . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 5 0.9 Insuficiˆncias do integral de Riemann . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 6 0.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Conjuntos e classes de conjuntos 9 1.1 Opera¸˜es com conjuntos . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Classes de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 σ-anel gerado por uma classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 σ-´lgebras de Borel . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Medidas e prolongamento de medidas 19 2.1 Fun¸˜es de conjunto e medidas . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Propriedades das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Medida exterior e medida induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Constru¸˜o de medidas exteriores . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Prolongamento de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Unicidade do prolongamento e aproxima¸˜oca . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 Completamento de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.8 Medida de Lebesgue em IRd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 i
  6. 6. ii Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜ 2.9 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Fun¸˜es mensur´veis co a 41 3.1 Defini¸˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Fun¸˜es mensur´veis com valores em IR . . . . . co a . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Convergˆncia pontual duma sucess˜o de fun¸˜es . e a co . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Convergˆncia quase em todo o ponto . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 45 tenreiro@mat.uc.pt 3.5 Convergˆncia em medida . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 48 3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Integra¸˜o relativamente a uma medida ca 53 4.1 O integral duma fun¸˜o escalonada n˜o-negativa ca a . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 O integral duma fun¸˜o mensur´vel n˜o-negativa ca a a . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Fun¸˜es integr´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . co a . . . . . . . . . . . . . 55 4.4 Teoremas de convergˆncia . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Integra¸˜o e completamento . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 Integrais de Lebesgue e de Riemann em IRd . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.8 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 Os espa¸os Lp e Lp de Lebesgue c 63 5.1 Fun¸˜es convexas e desigualdade de Jensen co . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 Os espa¸os Lp e Lp . . . . . . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Desigualdades de H¨lder e de Minkowski . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 Convergˆncia em L e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5 Propriedades dos espa¸os Lp . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Medidas produto 71 6.1 σ-´lgebra produto . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 Medida produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3 F´rmulas integrais para a medida produto o . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.4 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.5 Medida produto e completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
  7. 7. ´Indice iii7 Transforma¸˜o de medidas ca 81 7.1 Medidas imagem e pondera¸˜o . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . 81 7.2 Integra¸˜o relativamente `s medidas µg−1 e f µ . . ca a . . . . . . . . . . . . 82 7.3 Mudan¸a de vari´vel no integral de Lebesgue . . . c a . . . . . . . . . . . . 82 7.4 Demonstra¸˜o do teorema da mudan¸a de vari´vel ca c a . . . . . . . . . . . . 85 d 7.5 O produto de convolu¸˜o em IR . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . 87 7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 tenreiro@mat.uc.pt 7.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 Medidas com sinal 93 8.1 Defini¸˜o e primeiras propriedades . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2 Decomposi¸˜o de Hahn . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.3 Decomposi¸˜o de Jordan . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.4 Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.5 Continuidade absoluta das medidas reais e finitas . . . . . . . . . . . . . 101 8.6 Decomposi¸˜o de Lebesgue . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.7 Teorema da representa¸˜o de Riesz em Lp ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089 O teorema da diferencia¸˜o de Lebesgue ca 109 9.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2 Desigualdade maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3 Teorema da diferencia¸˜o de Lebesgue . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.4 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210 A transformada de Fourier 113 10.1 Integra¸˜o de fun¸˜es complexas . ca co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2 Defini¸˜o e primeiras propriedades ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.3 Injectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.4 F´rmula de invers˜o . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Bibliografia Geral 119´Indice Remissivo 121
  8. 8. tenreiro@mat.uc.pt
  9. 9. Cap´ ıtulo 0 tenreiro@mat.uc.ptIntegral de Riemann e medida deJordanNeste cap´tulo preliminar passamos em revista as no¸oes de integral de Riemann e de ı c˜ dmedida de Jordan em IR bem como algumas das suas propriedades. F´-lo-emos de aforma muito sucinta. Aconselha-se por isso a consulta das monografias referidas nofinal deste cap´tulo. ı0.1 Rectˆngulos em IRd a Chamamos rectˆngulo em IRd a todo o subconjunto de IRd da forma A = I1 ×. . .×Id aonde, para i = 1, . . . , d, Ii ´ um intervalo real e limitado, isto ´, um intervalo da e eforma [ai , bi ], ]ai , bi [, ]ai , bi ] ou [ai , bi [, com ai , bi ∈ IR e ai < bi . O rectˆngulo A adir-se-´ fechado, aberto, semi-aberto ` esquerda ou semi-aberto ` direita se todos os a a aintervalos Ii forem fechados, abertos, semi-abertos ` esquerda, ou semi-abertos ` direita, a arespectivamente. Se as diferen¸as bi − ai , para i = 1, . . . , d, n˜o dependerem de i, c a ddizemos que A ´ um cubo em IR de aresta b1 − a1 . Ao n´mero real e u d v(A) = (bi − ai ), i=1chamamos volume do rectˆngulo A. a Uma parti¸˜o do rectˆngulo fechado A ´ um conjunto P do tipo P = P1 × . . . × Pd , ca a eonde cada Pi , para i = 1, . . . , d, ´ uma parti¸˜o de [ai , bi ], isto ´, um subconjunto finito e ca ede [ai , bi ] contendo ai e bi . Uma parti¸˜o P do rectˆngulo fechado A determina uma ca a ′ ′ ′decomposi¸˜o de A em sub-rectˆngulos fechados da forma I1 × . . . × Id , onde cada Ii ´ ca a eum subintervalo fechado da decomposi¸˜o que Pi determina em [ai , bi ]. Designaremos capor R(P ) o conjunto de tais sub-rectˆngulos. a 1
  10. 10. 2 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜0.2 Integral duma fun¸˜o definida num rectˆngulo ca a Dadas uma fun¸˜o f : A ⊂ IRd → IR limitada no rectˆngulo fechado A e P uma ca aparti¸˜o de A, sejam mB (f ) = inf{f (x) : x ∈ B} e MB (f ) = sup{f (x) : x ∈ B}, para caB ∈ R(P ). Consideremos ainda as somas s(f ; P ) = mB (f )v(B) e s(f ; P ) = MB (f )v(B), B∈R(P ) B∈R(P ) tenreiro@mat.uc.pta que chamamos somas inferior e superior de Darboux, respectivamente. Ao supremodas somas inferiores e ao ´ ınfimo das somas superiores tomados sobre todas as parti¸˜es code A, chamamos integral inferior e integral superior de f em A e denot´-los-emos por a − −A f dx e A f dx, respectivamente.Defini¸˜o 0.2.1 (Riemann) Dizemos que f : A ⊂ IRd → IR limitada no rectˆngulo ca a −fechado A ´ integr´vel em A se −A f dx = A f dx. O valor comum das quantidades e aanteriores diz-se integral (de Riemann) de f em A e ´ denotado por A f (x)dx. e0.3 Conjuntos mensur´veis e medida de Jordan aDefini¸˜o 0.3.1 (Jordan) Dizemos que um subconjunto limitado E de IRd ´ mensur´- ca e avel a Jordan quando tomando-se um rectˆngulo fechado A que contenha E a fun¸ao in- ` a c˜dicatriz em A, 1 E : A → IR, definida por I 1 se x ∈ E 1 E (x) = I 0 se x ∈ A − E´ integr´vel em A. Denotaremos por J(IRd ) a classe de tais conjuntos. Ao n´mero reale a uv(E) = A 1 E (x)dx chamamos volume de E. I Um subconjunto limitado E de IRd ´ assim mensur´vel ` Jordan quando e s´ quando e a a osupP B∈R(P ):B⊂E v(B) = inf P B∈R(P ):B∩E=∅ v(B), ou, por outras palavras, o “volu-me interior de E” ´ igual ao “volume exterior de E”. Assim, o volume de E n˜o ´ mais e a ede que o valor comum dos volumes interior e exterior de E. Os conjuntos mensur´veis ` Jordan podem ser caracterizados a partir da respectiva a afronteira. Uma tal caracteriza¸ao baseia-se na no¸˜o de conjunto de medida de Lebesgue c˜ ca dnula. Dizemos que um subconjunto M de IR tem medida de Lebesgue nula se paratodo o ǫ > 0 existirem rectˆngulos fechados A1 , A2 , . . . em IRd tais que M ⊂ ∞ Ai e a i=1 ∞ i=1 v(Ai ) ≤ ǫ.Teorema 0.3.2 (de Lebesgue) Um conjunto limitado E ⊂ IRd ´ mensur´vel a Jor- e a `dan sse f r(E) tem medida de Lebesgue nula.
  11. 11. 0 Integral de Riemann e medida de Jordan 3 Conjuntos “simples” podem n˜o ser mensur´veis ` Jordan. Por exemplo, o conjunto a a ados racionais do intervalo [0, 1] n˜o ´ mensur´vel ` Jordan. a e a a A aplica¸˜o v : J(IRd ) → [0, +∞[ que a cada subconjunto mensur´vel de IRd associa ca ao seu volume diz-se medida de Jordan e satisfaz as propriedades: v1 ) v(∅) = 0; ∞ v2 ) Para E1 , E2 , . . . ∈ J(IRd ), com Ei ∩ Ej = ∅ para i = j, e i=1 Ei ∈ J(IRd ),tem-se v ( ∞ Ei ) = ∞ v(Ei ). i=1 i=1 tenreiro@mat.uc.pt Como veremos no Cap´ ıtulo 2 as propriedades v1 ) e v2 ) justificam a designa¸˜o de ca“medida”.0.4 Integral duma fun¸˜o definida num mensur´vel ca aDefini¸˜o 0.4.1 Dizemos que f : E ⊂ IRd → IR limitada em E ∈ J(IRd ) ´ integr´vel a ca e a `Riemann em E quando tomando-se um rectˆngulo fechado A que contenha E a fun¸ao a c˜ ¯ f (x) se x ∈ E f (x) = 0 se x ∈ A − Efor integr´vel em A. Neste caso, o integral de f em E, que denotamos por a E f (x)dx ¯´ dado por A f (x)dx.eTeorema 0.4.2 (de Lebesgue) f : E ⊂ IRd → IR limitada em E ∈ J(IRd ) ´ integr´vel e aa Riemann em E sse o conjunto dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.` Um exemplo cl´ssico duma fun¸˜o n˜o integr´vel ` Riemann ´ o da fun¸˜o de a ca a a a e caDirichelet definida no intervalo [0, 1] por f (x) = 1, se x ´ racional, e f (x) = 0, se x ´ e eirracional.Teorema 0.4.3 Sejam f, g : E ⊂ IRd → IR limitadas e integr´veis em E ∈ J(IRd ) e aα ∈ IR. Ent˜o: a a) f + g ´ integr´vel e e a E (f + g)(x)dx = E f (x)dx + E g(x)dx; b) αf ´ integr´vel e e a E (αf )(x)dx =α E f (x)dx; c) Se f (x) ≥ 0 para todo o x ∈ E, ent˜o a E f (x)dx ≥ 0; d) |f | ´ integr´vel e | e a E f (x)dx| ≤ E |f |(x)dx. Notemos que a integrabilidade de |f | n˜o implica a de f . A fun¸˜o f : [0, 1] → IR a cadefinida por f (x) = 1, se x ´ racional, e f (x) = −1, se x ´ irracional, n˜o ´ integr´vel e e a e amas o seu m´dulo ´-o. o e
  12. 12. 4 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜0.5 C´lculo de integrais m´ ltiplos: Teorema de Fubini a u No caso real, o c´lculo do integral duma fun¸˜o limitada e integr´vel f : [a, b] → IR ´ a ca a ehabitualmente efectuado utilizando o teorema fundamental do c´lculo: Se f ´ limitada a ee integr´vel, e possui uma primitiva F : [a, b] → IR, isto ´, se existe F diferenci´vel com a e aF ′ = f , ent˜o b f (x)dx = F (b) − F (a). a a No caso multivariado, o c´lculo do integral duma fun¸˜o definida num rectˆngulo a ca a p qA × B ⊂ IR × IR pode reduzir-se ao c´lculo de dois integrais, um sobre A e o outro a tenreiro@mat.uc.ptsobre B. A aplica¸˜o sucessiva duma tal regra permite-nos concluir que o integral duma cafun¸˜o real de n vari´veis se reduz ao c´lculo de n integrais simples. ca a aTeorema 0.5.1 (de Fubini) Seja f : A × B → IR integr´vel com A ⊂ IRp e B ⊂ IRq arectˆngulos fechados. Para x ∈ A e y ∈ B sejam fx : B → IR e f y : A → IR as sec¸oes a c˜de f em x e y definidas por fx (y) = fy (x) = f (x, y), respectivamente. Ent˜o a − f d(x, y) = fx (y)dy dx = fx (y)dy dx A×B A −B A B − = f y (x)dx dy = f y (x)dx dy. B −A B A ınua em A × B, as suas sec¸˜es s˜o cont´ Em particular, se f ´ cont´ e co a ınuas e a f´rmula oanterior reduz-se a f d(x, y) = fx (y)dy dx = f y (x)dx dy. A×B A B B A A extens˜o do resultado anterior a dom´ a ınios mensur´veis ` Jordan n˜o rectangulares a a a´ simples. Notemos que a existˆncia de algum dos integrais iterados de f n˜o implicae e aa integrabilidade de f . Para f : [0, 1] × [0, 1] → IR definida por f (x, y) = 2y, se x ´e 1 1irracional, e f (x, y) = 1, se x ´ racional, temos 0 ( 0 f (x, y)dy)dx = 1 mas f n˜o ´ e a eintegr´vel. a0.6 Integrais param´tricos e Se f : A×B → IR ´ cont´ e ınua em A×B com A ⊂ IRp e B ⊂ IRq rectˆngulos fechados, o ateorema de Fubini garante a integrabilidade do “integral param´trico” x → B f (x, y)dy. eOs resultados seguintes d˜o conta da continuidade e diferenciabilidade desta fun¸˜o. a caTeorema 0.6.1 Se f : A × B → IR, com A ⊂ IRp e B ⊂ IRq rectˆngulos fechados, ´ a econt´nua ent˜o x → B f (x, y)dy, para x ∈ A, ´ uma fun¸ao cont´nua. ı a e c˜ ı
  13. 13. 0 Integral de Riemann e medida de Jordan 5Teorema 0.6.2 (Regra de Leibniz) Seja f : A × B → IR, com A ⊂ IRp e B ⊂ IRq ∂frectˆngulos fechados, cont´nua com derivada parcial ∂xi cont´nua em A×B, para algum a ı ıi ∈ {1, . . . , p}. Ent˜o x → B f (x, y)dy, para x ∈ A, admite derivada parcial cont´nua a ıem ordem a xi e ∂ ∂f f (x, y)dy = (x, y)dy. ∂xi B B ∂xi0.7 Um teorema de convergˆncia e tenreiro@mat.uc.pt O limite (simples) duma sucess˜o de fun¸˜es integr´veis ` Riemann n˜o ´ necessaria- a co a a a emente integr´vel ` Riemann mesmo que uma tal sucess˜o seja uniformemente limitada. a a a´ esse o caso da sucess˜oE a 1 se x = rk , k = 1, . . . , n fn (x) = 0 se x ∈ [a, b]{r1 , . . . , rn }onde r1 , r2 , . . . ´ uma enumera¸˜o dos racionais do intervalo [a, b]. (fn ) ´ uma sucess˜o e ca e a bcrescente de fun¸˜es integr´veis ` Riemann em [a, b] com a fn (x)dx = 0 e lim fn (x) = co a af (x), para todo o x ∈ [a, b], onde f ´ a fun¸˜o de Dirichelet que sabemos n˜o ser e ca aintegr´vel ` Riemann. a a A integrabilidade da fun¸˜o limite ´ preservada se a convergˆncia for uniforme. Re- ca e e dcordemos que uma sucess˜o de fun¸˜es (fn ) de A ⊂ IR em IR converge uniformemente a copara f em B ⊂ A, se ∀ǫ > 0 ∃n0 ∈ IN ∀n ≥ n0 ∀x ∈ B |fn (x) − f (x)| < ǫ.Teorema 0.7.1 Se uma sucess˜o de fun¸oes integr´veis fn : A ⊂ IRd → IR definidas a c˜ aem A J-mensur´vel, convergir uniformemente para f : A → IR, ent˜o f ´ integr´vel a a a e a `Riemann e lim fn (x)dx = f (x)dx. n→+∞ A A0.8 Integral impr´prio de Riemann o A no¸˜o de integral de Riemann duma fun¸˜o f : E ⊂ IRd → IR exige, ` partida, ca ca aque sejam satisfeitas duas condi¸˜es: o dom´ co ınio de integra¸˜o E deve ser mensur´vel ` ca a aJordan (sendo em particular limitado) e f ´ limitada em E. e Vejamos agora como podemos extender a no¸˜o de integral de Riemann a um con- cajunto mais vasto fun¸˜es. Comecemos pelas fun¸˜es n˜o-negativas. co co aDefini¸˜o 0.8.1 Seja f : E ⊂ IRd → IR+ uma fun¸ao definida num dom´nio E para o ca c˜ ı d ∞qual existe uma sucess˜o E1 ⊂ E2 ⊂ . . . em J(IR ) com E = i=1 Ei sendo f limitada e a
  14. 14. 6 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜integr´vel em cada Ei , i = 1, 2, . . .. Chamamos integral impr´prio de f em E ao limite a o E f (x)dx = limi→+∞ Ei f (x)dx (possivelmente +∞). A escrita duma fun¸˜o f : E ⊂ IRd → IR como diferen¸a de duas fun¸˜es n˜o- ca c co a-negativas, f = f + − f − , onde f + (x) = max(f (x), 0) e f − (x) = max(−f (x), 0) parax ∈ IRd , permite-nos generalizar a no¸˜o de integral impr´prio para fun¸˜es cujo sinal ca o con˜o ´ constante. a e tenreiro@mat.uc.ptDefini¸˜o 0.8.2 Seja f : E ⊂ IRd → IR uma fun¸ao definida num dom´nio E nas ca c˜ ıcondi¸oes da defini¸ao anterior. Dizemos que f ´ integr´vel em E (sentido impr´prio) c˜ c˜ e a ose E f + (x)dx < +∞ e − (x)dx < +∞. O integral impr´prio de f em E ´ dado Ef o epor E f (x)dx = E f + (x)dx − − (x)dx. Ef Se f ´ limitada e integr´vel ` Riemann em E ∈ J(IRd ), ent˜o f ´ integr´vel no e a a a e asentido impr´prio e os integrais pr´prio e impr´prio coincidem. As propriedades do o o ointegral de Riemann apresentadas no Teorema 0.4.3 valem para o integral impr´prio. o0.9 Insuficiˆncias do integral de Riemann e At´ finais do s´culo XIX a utiliza¸˜o do integral de Riemann foi revelando algu- e e camas insuficiˆncias que n˜o permitiam uma utiliza¸˜o satisfat´ria deste instrumento e a ca omatem´tico: a — Fun¸˜es muito simples podem n˜o ser integr´veis ` Riemann (caso, por exemplo, co a a ada fun¸˜o de Dirichelet definida em §0.4). ca — Para uma fun¸˜o integr´vel ` Riemann no rectˆngulo [a, b] × [c, d] a f´rmula ca a a a o b dcl´ssica [a,b]×[c,d] f (x, y)dxdy = a ( c f (x, y)dy)dx n˜o ´ verdadeira pois um dos in- a a etegrais simples do segundo membro pode n˜o ter sentido ` Riemann. Tal ´ o caso da a a efun¸˜o f : [0, 1] × [0, 1] → IR definida por f (x, y) = 0, se x = 1/2, e f (x, y) = 1 Q (y), se ca Ix = 1/2. — A mais importante limita¸˜o do integral de Riemann tem a ver com as opera¸˜es ca code passagem ao limite. Podemos ter uma sucess˜o (fn ) de fun¸˜es integr´veis e “bem a co acomportadas” em [a, b] com lim fn (x) = f (x), para todo o ponto x ∈ [a, b], e no entanto b b ba igualdade lim a fn (x)dx = a lim fn (x)dx = a f (x)dx n˜o ser v´lida (ver §0.7). a a As insuficiˆncias anteriores foram finalmente superadas com a introdu¸˜o duma e canova no¸˜o de integral devida a Lebesgue. O ponto de partida de Lebesgue ´ a no¸˜o ca e cade medida introduzida por Emile Borel em 1898. Seguindo esta mesma abordagem, de-senvolveremos nos pr´ximos cap´ o ıtulos a teoria geral da medida e integra¸˜o ` Lebesgue. ca a dO integral de Lebesgue em IR surgir´ como caso particular dessa teoria geral. a
  15. 15. 0 Integral de Riemann e medida de Jordan 70.10 BibliografiaChae, S.B. (1980). Lebesgue Integration, Marcel Dekker, New York.Dieudonn´, J. (1978). Int´gration et mesure, In: Abr´g´ d’Histoire des Math´matiques e e e e e1700-1900, Vol. 2, Hermann, Paris.Gomes, R.L., Barros, L. (1946). Medida de Jordan, Junta de Investiga¸˜o Ma- catem´tica. a tenreiro@mat.uc.ptLima, E.L. (1989). Curso de An´lise, Vol. 2, 3a ed., IMPA, Rio de Janeiro. aWeinholtz, A.B. (1996). Integral de Riemann e de Lebesgue em IRn , Textos de Ma-tem´tica, Universidade de Lisboa. a
  16. 16. tenreiro@mat.uc.pt
  17. 17. Cap´ ıtulo 1 tenreiro@mat.uc.ptConjuntos e classes de conjuntosNeste cap´tulo estudamos determinadas classes de subconjuntos dum conjunto arbitr´rio ı aX que desempenhar˜o um papel fundamental na primeira parte do curso. Relevo par- aticular ser´ dado as no¸oes de σ-anel gerado por uma classe e de σ-´lgebra de Borel. a ` c˜ a1.1 Opera¸˜es com conjuntos co Com o intuito principal de fixar nota¸˜o, referimos neste par´grafo algumas opera¸˜es ca a cocom conjuntos que usaremos durante o curso. Todas elas, com excep¸˜o possivelmente cada no¸˜o de limite duma sucess˜o de conjuntos, s˜o j´ do nosso conhecimento tendo ca a a asido usadas no cap´ ıtulo preliminar anterior. Salvo indica¸˜o em contr´rio, denotaremos por X um conjunto arbitr´rio n˜o-vazio ca a a ae por P(X) o conjunto das partes de X, isto ´, o conjunto de todos os subconjuntos de eX. Chamaremos classe a um qualquer conjunto de subconjuntos de X. Uma classe´ assim um subconjunto de P(X) (a palavra “classe” tem, em algumas abordagens `e ateoria dos conjuntos, um significado distinto do que aqui lhe atribu´ ımos). Dados A, B ∈ P(X) denotaremos por A ∩ B ou AB a intersec¸˜o de A e B, e por caA ∪ B a reuni˜o de A e B. Sendo A e B disjuntos, i.e., A ∩ B = ∅, a reuni˜o de A e B a a´ tamb´m denotada por A + B.e e O complementar de A ´ denotado por Ac e a diferen¸a entre A e B ´ denotada por e c eA−B = A∩B c . Se B est´ contido em A, B ⊂ A, a diferen¸a A − B diz-se pr´pria. a c oAo conjunto A△B = (A − B) + (B − A) chamamos diferen¸a sim´trica de A e B. c e Dada uma fam´ Ai , i ∈ I, de subconjuntos de X indexada por um conjunto ıliaarbitr´rio I, denotaremos por i∈I Ai a sua intersec¸˜o e por i∈I Ai a sua reuni˜o. a ca aSendo os conjuntos Ai , i ∈ I, disjuntos dois a dois, i.e., Ai ∩ Aj = ∅, para todo o i = j,a sua reuni˜o ´ tamb´m denotada por i∈I Ai . a e e 9
  18. 18. 10 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜ A intersec¸˜o, a reuni˜o e a complementa¸˜o est˜o relacionadas pelas leis de De ca a ca aMorgan: c c Ai = Ac i e Ai = Ac . i i∈I i∈I i∈I i∈I Se (An ) ´ uma sucess˜o de subconjuntos de X, chamamos limite inferior da sucess˜o e a aao conjunto ∞ ∞ Ai ≡ lim inf An , tenreiro@mat.uc.pt n=1 i=ne limite superior da sucess˜o ao conjunto a ∞ ∞ Ai ≡ lim sup An . n=1 i=n Notemos que lim inf An ´ o conjunto dos pontos x ∈ X que pertencem a todos os eAn com excep¸˜o dum n´mero finito deles, enquanto que lim sup An ´ o conjunto dos ca u epontos x que pertencem a uma infinidade de conjuntos An (ver Exerc´ 1.5.3). Por ıcioisso, o conjunto lim sup An ´ tamb´m denotado por An i.o. (do inglˆs, infinitely often). e e e Sempre que lim sup An = lim inf An , dizemos existe o limite da sucess˜o (An ). Um atal limite, que denotaremos por lim An , ´ definido por lim An = lim sup An = lim inf An . e A sucess˜o (An ) diz-se crescente se An ⊂ An+1 para todo o n ∈ IN e decrescente ase An+1 ⊂ An para todo o n ∈ IN. No primeiro caso indicaremos (An ) ↑ e no segundo(An ) ↓. Diz-se mon´tona uma sucess˜o que ´ crescente ou decrescente. Sendo (An ) o a e ∞crescente, vale a igualdade lim An = n=1 An . Se (An ) ´ decrescente, temos lim An = e ∞ n=1 An .1.2 Classes de conjuntos No que se segue, denotamos por C uma classe n˜o-vazia de subconjuntos de X. a C diz-se um semi-anel se ´ est´vel para a intersec¸˜o finita (se A, B ∈ C ent˜o e a ca aA ∩ B ∈ C; dizemos neste caso que C ´ um π-sistema), e se dados A, B ∈ C ent˜o e a mA − B = i=1 Ci para algum m ∈ IN e C1 , . . . , Cm ∈ C. C diz-se um anel se ´ est´vel para a reuni˜o finita (se A, B ∈ C ent˜o A ∪ B ∈ C) e e a a apara a diferen¸a (se A, B ∈ C ent˜o A − B ∈ C). c a C diz-se um σ-anel se ´ est´vel para a diferen¸a e para a reuni˜o numer´vel (se e a c a a ∞A1 , A2 , . . . ∈ C ent˜o n=1 An ∈ C). a Notemos que se C ´ um semi-anel ent˜o ∅ ∈ C. Al´m disso, um anel ´ um semi-anel e a e e(A∩B = A∪B−((A−B)+(B−A))) e um σ-anel ´ um anel (A∪B = A∪B∪∅∪· · ·). Um eσ-anel ´ ainda est´vel para a intersec¸˜o numer´vel ( +∞ Ai = A1 − +∞ (A1 − Ai )). e a ca a i=1 i=1
  19. 19. 1 Conjuntos e classes de conjuntos 11 Um σ-anel (resp. semi-anel, anel) que contenha X diz-se uma σ-´lgebra (resp. asemi-´lgebra, ´lgebra). a a Uma classe C diz-se mon´tona se ´ est´vel para os limites mon´tonos (se (An ) ´ o e a o emon´tona ent˜o lim An ∈ C). Uma classe mon´tona que contenha X e seja est´vel para o a o aa diferen¸a pr´pria (se A, B ∈ C e B ⊂ A ent˜o A − B ∈ C), diz-se um d-sistema (ou c o asistema de Dynkin). Uma σ-´lgebra ´ um d-sistema e um σ-anel ´ uma classe mon´tona. a e e o tenreiro@mat.uc.ptExemplos: 1. {∅, X} e P(X) s˜o σ-´lgebras. a a 2. A classe C de subconjuntos de IR definida por C = {]a, b] : −∞ < a ≤ b < +∞},´ semi-anel (ver Exerc´ 1.5.9). A classe S dos subconjuntos de IR obtidos por reuni˜oe ıcio afinita de elementos de C ´ anel. e 3. A classe C de todos os subconjuntos de IR que admitem uma das formas ]− ∞, a],]a, b] ou ]b, +∞[, com a, b ∈ IR, ´ semi-anel mas n˜o ´ anel. A classe S dos subconjuntos e a ede IR obtidos por reuni˜o finita de elementos de C ´ ´lgebra. a ea 4. Sejam X infinito e C a classe de todos os subconjuntos A de X tais que A ou Ac´ finito. C ´ ´lgebra mas n˜o ´ σ-´lgebra.e ea a e a1.3 σ-anel gerado por uma classe Veremos de seguida que a partir duma classe C de partes de X, ´ poss´ construir e ıvelclasses mais “ricas” que gozam das propriedades anteriores. Tal como para conjuntos,definimos a intersec¸˜o i∈I Ci e a reuni˜o i∈I Ci duma fam´ de classes Ci , i ∈ I, ca a ıliapor i∈I Ci = {A ∈ P(X) : A ∈ Ci , para todo o i ∈ I} e i∈I Ci = {A ∈ P(X) : A ∈Ci , para algum i ∈ I}. Diremos que C est´ contida numa classe D de partes de X se atodo o elemento de C (subconjunto de X) ´ elemento de D, e indicaremos C ⊂ D. eProposi¸˜o 1.3.1 A intersec¸ao duma qualquer fam´lia de σ-an´is ´ um σ-anel. ca c˜ ı e eProposi¸˜o 1.3.2 Se Ψ ´ a fam´lia de todos os σ-an´is de partes de X que contˆm ca e ı e eC, ent˜o B∈Ψ B, ´ o menor (no sentido da inclus˜o) σ-anel que cont´m C. Um tal a e a eσ-anel, que denotaremos por s(C), diz-se σ-anel gerado pela classe C. As proposi¸˜es anteriores permanecem v´lidas para todas as classes de conjuntos co aconsideradas atr´s. A defini¸˜o anterior pode assim ser extendida a tais classes. Em a caparticular denotaremos por σ(C), d(C) e m(C), a σ-´lgebra, d-sistema e classe mon´tona a ogerados por C, respectivamente. Duma forma geral, se C ´ uma classe de partes de X, s˜o v´lidas as inclus˜es e a a o m(C) ⊂ d(C) ⊂ σ(C) e m(C) ⊂ s(C) ⊂ σ(C).
  20. 20. 12 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜ Sob certas condi¸˜es sobre a classe C s˜o tamb´m v´lidas as inclus˜es contr´rias. co a e a o aTeorema 1.3.3 (de Dynkin) Se C ´ um π-sistema ent˜o d(C) = σ(C). e aDemonstra¸˜o: Atendendo ao Exerc´ ca ıcio 1.5.8, basta mostrar que d(C) ´ π-sistema. ePara B ∈ P(X), consideremos a classe K(B) = {A ∈ P(X) : A ∩ B ∈ d(C)}. Notemosque: i) A ∈ K(B) sse B ∈ K(A); ii) K(B) ´ d-sistema, para B ∈ d(C); iii) d(C) ⊂ K(A), epara todo o A ∈ C (pois C ´ π-sistema); e iv) C ⊂ K(B), para todo o B ∈ d(C). Assim, e tenreiro@mat.uc.ptd(C) ⊂ K(B), para todo o B ∈ d(C), o que permite concluir. O resultado seguinte estabelece-se de forma an´loga. aTeorema 1.3.4 Se C ´ um anel ent˜o m(C) = s(C). e aCorol´rio 1.3.5 Se C ´ uma algebra ent˜o m(C) = d(C) = s(C) = σ(C). a e ´ a1.4 σ-´lgebras de Borel a Por topologia em X entendemos uma classe TX de subconjuntos de X, a que chama-mos abertos, satisfazendo as seguintes propriedades: T1. O conjunto vazio e o pr´prio oX s˜o abertos; T2. A intersec¸˜o finita de abertos ´ um aberto; T3. A reuni˜o ar- a ca e abitr´ria de abertos ´ um aberto. O conjunto X munido duma topologia TX diz-se um a eespa¸o topol´gico. Os complementares dos conjuntos abertos dizem-se fechados. A c oclasse dos conjuntos fechados satisfaz as seguintes propriedades: F1. O conjunto vazioe o pr´prio X s˜o fechados; F2. A reuni˜o finita de fechados ´ um fechado; F3. A o a a eintersec¸˜o arbitr´ria de fechados ´ um fechado. ca a e Um exemplo bem nosso conhecido de espa¸o topol´gico ´ o do conjunto IRd onde c o e dpor aberto entendemos todo o subconjunto A de IR tal que para todo o ponto x ∈ Aexiste uma bola aberta de centro x contida em A. Mais geralmente, um espa¸o m´trico, isto ´, um conjunto X onde podemos definir c e euma aplica¸˜o, d, dita distˆncia, que a cada par de pontos x e y de X associa um n´mero ca a ureal d(x, y), dito distˆncia entre x e y, e que satisfaz: D1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 sse ax = y, D2. d(x, y) = d(y, x), D3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), para todo o x, y, z ∈ X, ´ e dtamb´m um espa¸o topol´gico. A no¸˜o de aberto ´ an´loga ` de IR , entendendo-se e c o ca e a apor bola aberta de centro x e raio r > 0 o conjunto dos pontos y de X cujas distˆncias aa x ´ inferior a r, isto ´, d(y, x) < r. e e d Para x = (x1 , . . . , xd ) e y = (y1 , . . . , yd ) em IRd , a aplica¸˜o d(x, y) = ca i=1 (xi − yi ) 2´, como sabemos, uma distˆncia, dita distˆncia euclideana. IRd munido da distˆnciae a a aeuclideana ´ assim um espa¸o m´trico. O conjunto das fun¸˜es reais e limitadas defini- e c e co ddas num subconjunto A de IR munido da distˆncia do supremo d(f, g) = supx∈A |f (x)− a
  21. 21. 1 Conjuntos e classes de conjuntos 13g(x)|, e o conjunto das fun¸˜es reais e cont´ co ınuas definidas num subconjunto J-mensur´vel a dA de IR munido da distˆncia d(f, g) = A |f (x) − g(x)|dx, s˜o outros exemplos de a aespa¸os m´tricos. c e Sendo X um espa¸o topol´gico chamamos σ-´lgebra de Borel ` σ-´lgebra gerada c o a a apela classe dos abertos de X. Denot´-la-emos por B(X). Os seus elementos dizem-se aborelianos. tenreiro@mat.uc.ptTeorema 1.4.1 Se F ´ a classe de todos os fechados de X ent˜o B(X) = σ(F). e a No caso particular em que X = IRd , a σ-´lgebra de Borel B(IRd ) al´m de ser gerada a e dpelos abertos de IR (e pelos fechados) ´ tamb´m gerada por outras classes de conjuntos. e eAntes de apresentarmos tais classe necessitamos de obter uma decomposi¸˜o b´sica dos ca a dabertos de IR . Se d = 1 sabemos que qualquer aberto de IR pode ser escrito comoreuni˜o numer´vel de rectˆngulos abertos (intervalos abertos) disjuntos dois a dois (ver a a aLima, 1995, pg. 132). Um tal resultado falha para d > 1. Vale, no entanto, o seguinteresultado.Teorema 1.4.2 Todo o aberto de IRd ´ reuni˜o numer´vel (disjunta) de cubos semi- e a a-abertos a esquerda. `Demonstra¸˜o: Para k ∈ IN, seja Ck a classe dos subconjuntos de IRd da forma ca ji ji + 1 (x1 , . . . , xd ) : k < xi ≤ , para i = 1, . . . , d , 2 2konde j1 , . . . , jd s˜o inteiros. Ck ´ uma parti¸˜o numer´vel de IRd constitu´ por cubos a e ca a ıdasemi-abertos ` esquerda. Para k1 < k2 , cada elemento de Ck2 est´ contido nalgum a aelemento de Ck1 . Dado um aberto A em IRd , consideremos a classe D1 de todos os elementos de C1contidos em A; a classe D2 de todos os elementos de C2 contidos em A que n˜o est˜oa acontidos em nenhum elemento de D1 ; a classe D3 de todos os elementos de C3 contidosem A que n˜o est˜o contidos em nenhum elemento de D1 ∪ D2 ; duma forma geral seja a aDk a classe de todos os elementos de Ck contidos em A que n˜o est˜o contidos em a a k−1 ∞nenhum elemento de n=1 Dn . Finalmente, seja D = n=1 Dn . Mostremos que A = B∈D B, o que atendendo ` numerabilidade de D permitir´ a aconcluir. Claramente B∈D B ⊂ A. Reciprocamente, sejam x ∈ A e Ck (x) o elementode Ck que cont´m x. Sendo A aberto, existe k0 ∈ IN tal que Ck (x) ⊂ A para k ≥ k0 e eCk (x) ⊂ A para k < k0 . Assim Ck0 (x) ∈ Dk0 e x ∈ B∈D B. O resultado anterior permanece v´lido para cubos fechados. No entanto, a reuni˜o a adeixa de ser disjunta.
  22. 22. 14 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜Teorema 1.4.3 A σ-´lgebra de Borel de IRd ´ gerada por cada uma das classes se- a eguintes classes de conjuntos: a) a classe de todos os fechados em IRd ; b) a classe de todos os subconjuntos de IRd da forma {(x1 , . . . , xd ) : xi ≤ b} , para i ∈ {1, . . . , d} e b ∈ IR; c) a classe de todos os subconjuntos de IRd da forma {(x1 , . . . , xd ) : ai < xi ≤ bi , para i = 1, . . . , d} , para a1 , . . . , ad , b1 , . . . , bd ∈ IR. tenreiro@mat.uc.pt1.5 Exerc´ ıcios 1. Sendo A, B e C subconjuntos de X, mostre que: (a) A − B = A − (A ∩ B) = (A ∪ B) − B; (b) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C); (c) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C). 2. Sendo A, B e C subconjuntos de X, mostre que: (a) A△B = B△A; (b) A△(B△C) = (A△B)△C; (c) A ∩ (B△C) = (A ∩ B)△(A ∩ C); (d) A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B); (e) A△B ⊂ (A△C) ∪ (B△C). 3. Se A e (An ) s˜o subconjuntos de X, mostre que: a (a) lim inf An ⊂ lim sup An ; (b) A − lim inf An = lim sup(A − An ) e A − lim sup An = lim inf(A − An ); (c) (lim inf An )c = lim sup An e (lim sup An )c = lim inf An ; c c (d) lim sup An = {x ∈ X : ∃ (nk ) subsucess˜o de (n) ∀ k ∈ I x ∈ Ank } a N, +∞ = {x ∈ X : n=1 1 An (x) = +∞}, e I lim inf An = {x ∈ X : ∃ n0 = n0 (x) ∈ I ∀ n ≥ n0 , x ∈ An } N +∞ = {x ∈ X : n=1 1 Ac (x) < +∞}, I n onde, para B ⊂ X, 1 B denota a fun¸˜o indicatriz de B definida por 1 B (x) = 1 se I ca I x ∈ B e 1 B (x) = 0 se x ∈ B; I / (e) lim An = A sse x ∈ An para n suficientemente grande, para todo o x ∈ A, e x ∈ An / para n suficientemente grande, para todo o x ∈ A; / (f) Se (An ) ´ mon´tona ent˜o e o a ∞ n=1 An , se (An ) ´ crescente e lim An = ∞ n=1 An , se (An ) ´ decrescente. e 4. Se An = A para n par e An = B para n ´ ımpar, onde A e B s˜o subconjuntos de X, a mostre que lim inf An = A ∩ B e lim sup An = A ∪ B.
  23. 23. 1 Conjuntos e classes de conjuntos 15 5. Mostre que se (An ) ´ uma sucess˜o de conjuntos disjuntos dois a dois ent˜o lim An = ∅. e a a 6. Mostre que se (An ) ´ uma sucess˜o em P(X) ent˜o as sucess˜es (Bn ) e (Cn ) definidas e a a o por Bn = n Ai , para n ≥ 1 e C1 = A1 e Cn = An − n−1 Ai , para n ≥ 2, satisfazem: i=1 i=1 ∞ ∞ (a) (Bn ) ´ crescente, An ⊂ Bn para todo o n ≥ 1 e e n=1 Bn = n=1 An ; (b) (Cn ) ´ formada por conjuntos disjuntos dois a dois, Cn ⊂ An para todo o n ≥ 1 e e ∞ ∞ n=1 Cn = n=1 An ; (c) Se (An ) ⊂ C, com C um anel de partes de X, ent˜o (Bn ) ⊂ C e (Cn ) ⊂ C. a tenreiro@mat.uc.pt 7. Prove que se C ⊂ P(X) ´ uma classe complementada ent˜o C ´ est´vel para a intersec¸ao e a e a c˜ (finita ou infinita) sse ´ est´vel para a reuni˜o. e a a 8. Seja C uma classe n˜o-vazia de partes de X. Prove que: a (a) Se C ´ semi-anel ent˜o ∅ ∈ C; e a (b) C ´ anel ⇐⇒ e C ´ semi-anel est´vel para a reuni˜o finita e a a ⇐⇒ C ´ est´vel para reuni˜o finita e diferen¸a pr´pria e a a c o ⇐⇒ C ´ est´vel para intersec¸˜o finita e diferen¸a sim´trica e a ca c e ⇐⇒ C ´ est´vel para reuni˜o finita disjunta, intersec¸˜o finita e diferen¸a e a a ca c pr´pria; o (c) C ´ σ-anel ⇐⇒ C ´ anel est´vel para a reuni˜o numer´vel. e e a a a ⇐⇒ C ´ anel mon´tono e o ⇐⇒ C ´ est´vel para a intersec¸˜o finita, diferen¸a pr´pria e reuni˜o e a ca c o a numer´vel disjunta; a (d) Se C ´ semi-´lgebra ent˜o ∅ ∈ C e X ∈ C; e a a (e) C ´ semi-´lgebra ⇐⇒ C ´ est´vel para a intersec¸˜o finita, o complementar de qual- e a e a ca quer elemento de C ´ reuni˜o finita disjunta de elementos de e a C e X ∈ C; (f) C ´ ´lgebra ⇐⇒ C ´ est´vel para a reuni˜o finita e para a complementa¸˜o ea e a a ca ⇐⇒ C ´ est´vel para a intersec¸˜o finita e para a complementa¸ao; e a ca c˜ (g) C ´ σ-´lgebra ⇐⇒ C ´ est´vel para a reuni˜o numer´vel e para a complementa¸ao e a e a a a c˜ ⇐⇒ C ´ est´vel para a interse¸˜o numer´vel e para a complemen- e a ca a ta¸ao c˜ ⇐⇒ C ´ π-sistema e d-sistema e ⇐⇒ C ´ ´lgebra mon´tona ea o ∞ ⇐⇒ C ´ σ-anel e existe uma sucess˜o (Xn ) ⊂ C com n=1 Xn = X; e a (h) C ´ d-sistema ⇐⇒ C ´ est´vel para a complementa¸˜o, para a reuni˜o numer´vel e e a ca a a disjunta e X ∈ C ⇐⇒ C ´ est´vel para os limites crescentes, para a diferen¸a pr´pria e a c o e X ∈ C. 9. Seja C a classe de subconjuntos de IR definida por C = {]a, b] : −∞ < a ≤ b < +∞}. Denotando por x ∨ y e por x ∧ y o m´ximo e o m´ a ınimo entre x e y, respectivamente, mostre que: (a) ]a, b]∩]c, d] =]a ∨ c, b ∧ d]; (b) ]a, b]−]c, d] =]a, b ∧ c]∪]a ∨ d, b];
  24. 24. 16 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜ (c) C ´ um semi-anel de partes de IR. e 10. Generalize o exerc´ anterior, mostrando que a classe de subconjuntos de IRd definida ıcio d por C = i=1 ]ai , bi ] : −∞ < ai ≤ bi < +∞, para i = 1, . . . , d ´ um semi-anel. e 11. Sejam X um conjunto n˜o-numer´vel e C a classe de todos os subconjuntos finitos ou a a numer´veis de X. Mostre que C ´ σ-anel mas n˜o ´ σ-´lgebra. a e a e a 12. Seja {Ai , i ∈ I} uma parti¸˜o numer´vel de X e C = ca a i∈J Ai : J ⊂ I . Mostre que C ´ uma σ-´lgebra de partes de X. e a 13. (Anel gerado por um semi-anel) Sejam C um semi-anel de partes de X e tenreiro@mat.uc.pt m R= Ci : Ci ∈ C, i = 1, . . . , m, para algum m ∈ I . N i=1 Mostre que: (a) R ´ um π-sistema est´vel para a reuni˜o finita disjunta; e a a (b) R ´ est´vel para a diferen¸a; e a c (c) R ´ est´vel para a reuni˜o finita; e a a (d) r(C) = R, onde r(C) denota o anel gerado por C. 14. Mostre que se C1 e C2 s˜o classes de partes de X ent˜o a a s(C1 ) = s(C2 ) ⇐⇒ C1 ⊂ s(C2 ) e C2 ⊂ s(C1 ). Verifique que o resultado continua v´lido para σ-´lgebras, d-sistemas e classes mon´tonas. a a o 15. Sejam {Ct , t ∈ T } uma fam´ de partes de X e denotemos por s(Ct , t ∈ T ) o σ-anel por ılia ela gerado, isto ´, o mais pequeno σ-anel que cont´m todas as classes Ct , t ∈ T . Mostre e e que s(Ct , t ∈ T ) = s(s(Ct ), t ∈ T ) = s Ct . t∈T 16. Sejam C uma classe de partes de X e C ∩ A = {C ∩ A : C ∈ C} com A ⊂ X. Mostre que: (a) s(C ∩ A) = s(C) ∩ A. (Sugest˜o: considere a classe S = {B ∪ (C − A) : B ∈ a s(C ∩ A), C ∈ s(C)} e mostre que S ´ um σ-anel que cont´m C e S ∩ A = s(C ∩ A)); e e (b) σA (C ∩A) = σ(C)∩A, onde σA designa a σ-´lgebra gerada em A pela classe indicada. a 17. Mostre que a σ-´lgebra de Borel de IRd ´ gerada por cada uma das classes de todos os a e subconjuntos da forma: (a) {(x1 , . . . , xd ) : ai ≤ xi ≤ bi , para i = 1, . . . , d}, ai , bi ∈ IR, i = 1, . . . , d; (b) {(x1 , . . . , xd ) : xi ≤ bi , para i = 1, . . . , d}, bi ∈ IR, i = 1, . . . , d; (c) {(x1 , . . . , xd ) : ai ≤ xi < bi , para i = 1, . . . , d}, ai , bi ∈ IR, i = 1, . . . , d; (d) {(x1 , . . . , xd ) : ai < xi < bi , para i = 1, . . . , d}, ai , bi ∈ IR, i = 1, . . . , d. ıneas anteriores ai ∈ Q ou bi ∈ Q Verifique que o mesmo se passa se em qualquer das al´ para algum i = 1, . . . , d. 18. Sejam E um subconjunto de IRd e B(E) a σ-´lgebra de Borel de E, isto ´, a σ-´lgebra a e a d de partes de E gerada pela classe {E ∩ A : A aberto em IR }. Mostre que: (a) B(E) = E ∩ B(IRd ); (b) Se E ∈ B(IRd ) ent˜o B(E) = {B ∈ B(IRd ) : B ⊂ E}. a
  25. 25. 1 Conjuntos e classes de conjuntos 171.6 BibliografiaCohn, D.L. (1980). Measure Theory, Birkh¨user, Boston. aFernandez, P.J. (1976). Medida e Integra¸ao, IMPA, Rio de Janeiro. c˜Halmos, P.R. (1950). Measure Theory, D. Van Nostrand Company, New York.Lima, E.L. (1995). Curso de An´lise, Vol. 1, 8a ed., IMPA, Rio de Janeiro. a tenreiro@mat.uc.pt
  26. 26. tenreiro@mat.uc.pt
  27. 27. Cap´ ıtulo 2 tenreiro@mat.uc.ptMedidas e prolongamento demedidasNeste cap´tulo abordamos os problemas da constru¸ao duma medida a partir duma me- ı c˜dida exterior, do prolongamento duma medida definida num semi-anel ao σ-anel porele gerado e do completamento de medidas. Como aplica¸ao, definimos a medida de c˜ dLebesgue em IR e estudamos algumas das suas propriedades.2.1 Fun¸˜es de conjunto e medidas co Chamamos fun¸˜o de conjunto a toda a fun¸˜o µ definida numa classe C de subcon- ca cajuntos de X com valores em IR = IR ∪ {−∞} ∪ {+∞}. Em IR consideramos a rela¸˜ocade ordem ´bvia com −∞ e +∞ os elementos m´ o ınimo e m´ximo, respectivamente. a Seremos frequentemente conduzidos a operar os elementos de IR com +∞ e −∞.Usaremos para o efeito as seguintes conven¸˜es: co (±∞) + (±∞) = (±∞) + x = x + (±∞) = ±∞, ∀x ∈ IR, x/(±∞) = 0, ∀x ∈ IR,   ±∞, x ∈ ]0, +∞]  x · (±∞) = (±∞) · x = 0, x=0   ∓∞, x ∈ [−∞, 0[.As opera¸˜es (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞) e ∞/∞ n˜o est˜o definidas. co a a Uma fun¸˜o de conjunto µ diz-se aditiva se para todo o A, B ∈ C, com A ∪ B ∈ C e caA ∩ B = ∅, a soma µ(A) + µ(B) est´ bem definida e a µ(A + B) = µ(A) + µ(B). 19
  28. 28. 20 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜ µ diz-se finitamente aditiva se para toda a classe disjunta {A1 , . . . , An } ⊂ C, com n i=1 Ai∈ C, a soma µ(Ai ) + µ(Aj ) est´ bem definida para todo o i = j e a n n µ Ai = µ(Ai ). i=1 i=1 µ diz-se σ-aditiva ou completamente aditiva se para toda a sucess˜o de conjuntos a ∞disjuntos A1 , A2 , . . . ∈ C, com i=1 Ai ∈ C, a soma µ(Ai ) + µ(Aj ) est´ bem definida a tenreiro@mat.uc.ptpara todo o i = j e ∞ ∞ µ Ai = µ(Ai ). i=1 i=1 Uma fun¸˜o de conjunto σ-aditiva ´ finitamente aditiva se ∅ ∈ C. Uma fun¸˜o de ca e caconjunto aditiva pode n˜o ser finitamente aditiva. a Se µ ´ uma fun¸˜o de conjunto aditiva, a soma µ(A) + µ(B) est´ definida para todo e ca apar de conjuntos disjuntos A e B em C cuja reuni˜o esteja em C. Assim, se C ´ um anel a ede partes de X, µ toma apenas um dos valores +∞ ou −∞. Com efeito, se existissemA e B em C com µ(A) = +∞ e µ(B) = −∞, ent˜o a +∞ = µ(A) = µ(A − B) + µ(A ∩ B)e −∞ = µ(B) = µ(B − A) + µ(A ∩ B),o que implica que |µ(A ∩ B)| < +∞. Assim µ(A − B) = +∞ e µ(B − A) = −∞, ficandosem sentido a igualdade µ(A△B) = µ(A − B) + µ(B − A). Coment´rios an´logos valem para as outras no¸˜es de aditividade. a a co Durante a primeira parte deste curso, estudamos determinadas fun¸˜es de conjunto con˜o-negativas a que chamamos medidas (ver §0.3). Mais precisamente: aDefini¸˜o 2.1.1 Sendo C uma classe de subconjuntos de X com ∅ ∈ C, chamamos camedida em C a toda a fun¸ao de conjunto µ, n˜o-negativa e σ-aditiva com µ(∅) = 0. c˜ aSe A ∈ C, µ(A) diz-se medida de A. No que se segue, quando dizemos que µ ´ uma medida em C admitiremos que ∅ ∈ C. eExemplos: 1. Sejam X um conjunto n˜o-vazio e x ∈ X. A aplica¸˜o δx : P(X) → a ca{0, 1} definida por 0 se x ∈ A / δx (A) = 1 se x ∈ A
  29. 29. 2 Medidas e prolongamento de medidas 21´ uma medida em P(X), dita medida de Dirac no ponto x.e 2. A fun¸˜o µ : P(X) → [0, +∞] definida por µ(A) = #A (:= cardinal de A) se caA ´ finito e µ(A) = +∞ se A ´ infinito, ´ uma medida em P(X) a que chamamos e e emedida contagem em X. Se X = {x1 , x2 , . . .} a medida contagem pode ser escrita naforma +∞ +∞ µ(A) = δxi (A) = 1 A (xi ), I i=1 i=1 tenreiro@mat.uc.ptonde 1 A : X → IR ´ a fun¸˜o indicatriz de A (1 A (x) = 1 se x ∈ A e 1 A (x) = 0 se I e ca I Ix ∈ A). Se nada for dito em contr´rio, consideramos 1 A definida em todo o espa¸o X. / a I c 3. Sendo C o semi-anel definido no Exemplo 1.2.2, a fun¸˜o de conjunto λ : C → ca[0, +∞[ definida por λ(]a, b]) = b − a, que coincide em C com a medida de Jordan, ´euma medida em C (ver Exerc´ 2.9.4). ıcio De entre todas as medidas, aquelas que sabemos verdadeiramente estudar s˜o as amedidas finitas e as medidas σ-finitas. Se µ ´ uma medida em C, um conjunto A ∈ C ediz-se de medida finita se µ(A) < +∞. A medida de A diz-se σ-finita quando existeuma sucess˜o (An ) em C tal que A ⊂ ∞ An e µ(An ) < +∞, n = 1, 2, . . .. Se a a n=1medida de todo o conjunto de C ´ finita (resp. σ-finita), µ diz-se finita em C (resp. eσ-finita em C). As no¸˜es anteriores podem, de forma natural, ser extendidas a fun¸˜es co code conjunto quaisquer. Finalmente, uma medida definida numa σ-´lgebra de partes de X diz-se uma aprobabilidade se µ(X) = 1.2.2 Propriedades das medidas Neste par´grafo obtemos as primeiras propriedades das medidas. No que se segue aµ ´ uma medida num anel C de partes de X. eTeorema 2.2.1 Se A, B ∈ C com A ⊂ B, ent˜o µ(A) ≤ µ(B) (monotonia de µ). aDemonstra¸˜o: Como B = A + (B − A), da aditividade e da n˜o-negatividade de µ ca aobtemos µ(B) = µ(A) + µ(B − A) ≥ µ(A).Teorema 2.2.2 Se A, B ∈ C com A ⊂ B e µ(A) < +∞, ent˜o µ(B−A) = µ(B)−µ(A). aDemonstra¸˜o: Consequˆncia da igualdade µ(B) = µ(A) + µ(B − A) obtida na ca edemonstra¸˜o anterior. caTeorema 2.2.3 Se A ∈ C e (An ) ⊂ C ´ uma sucess˜o de conjuntos disjuntos dois a e a ∞ ∞dois com n=1 An ⊂ A, ent˜o n=1 µ(An ) ≤ µ(A). a
  30. 30. 22 Apontamentos de Medida e Integra¸ao c˜Demonstra¸˜o: Como k An ⊂ A, da monotonia e aditividade finita de µ con- ca n=1 ımos que k µ(An ) ≤ µ(A), para todo o k ∈ IN (reparar que ∞ An n˜o est´clu´ n=1 n=1 a anecessariamente em C).Teorema 2.2.4 Se A ∈ C e (An ) ⊂ C com A ⊂ ∞ An , ent˜o µ(A) ≤ ∞ µ(An ). n=1 a n=1 ∞ ∞ ∞Em particular, µ( n=1 An ) ≤ n=1 µ(An ) se n=1 An ∈ C (µ ´ σ-subaditiva ou com- epletamente subaditiva). tenreiro@mat.uc.ptDemonstra¸˜o: Sendo C um anel, existe (Bn ) ⊂ C com Bn ⊂ An , para todo o can ∈ IN, tal que ∞ An = ∞ Bn (cf. Exerc´ 1.5.6). Como A = ∞ A ∩ An = n=1 n=1 ıcio n=1 ∞ n=1 A ∩ Bn e A ∩ Bn ∈ C, para todo o n ∈ IN, obtemos µ(A) = ∞ µ(A ∩ Bn ) ≤ n=1 ∞ n=1 µ(Bn ) ≤ ∞ µ(An ). n=1Teorema 2.2.5 Se (An ) ´ uma sucess˜o crescente em C tal que lim An ∈ C, ent˜o e a aµ(lim An ) = lim µ(An ) (continuidade ascendente de µ).Demonstra¸˜o: Definindo A0 = ∅, obtemos sucessivamente µ(lim An ) = µ( ∞ An ) = ca n=1µ( n=1 (An −An−1 )) = ∞ µ(An −An−1 ) = lim k µ(An −An−1 ) = lim µ( k (An ∞ n=1 n=1 n=1−An−1 )) = lim µ(Ak ).Teorema 2.2.6 Se (An ) ´ uma sucess˜o decrescente em C com pelo menos um dos seus e aelementos de medida finita e lim An ∈ C, ent˜o µ(lim An ) = lim µ(An ) (continuidade adescendente de µ).Demonstra¸˜o: Basta usar a continuidade ascendente de µ relativamente ` sucess˜o ca a a(Am − An )n≥m , onde m ∈ IN ´ tal que µ(Am ) < +∞. e Apresentamos de seguida algumas caracteriza¸˜es das medidas. coTeorema 2.2.7 Sendo µ uma fun¸ao de conjunto, n˜o-negativa e aditiva em C com c˜ aµ(∅) = 0, as proposi¸oes seguintes s˜o equivalentes: c˜ a i) µ ´ uma medida; e ii) µ ´ ascendentemente cont´nua. e ıSendo µ finita, as proposi¸oes anteriores s˜o ainda equivalentes a: c˜ a iii) µ ´ descendentemente cont´nua; e ı iv) µ ´ descendentemente cont´nua em ∅. e ıDemonstra¸˜o: Pelos Teoremas 2.2.5 e 2.2.6, i) ⇒ ii) e i) ⇒ iii). Como iii) ⇒ iv), cabasta ent˜o mostrar que ii) ⇒ i) e iv) ⇒ i). a ii) ⇒ i): Seja (An ) uma sucess˜o em C de conjuntos disjuntos dois a dois tal que a ∞A = n=1 An ∈ C. Para n ∈ IN, consideremos Bn = n Ak . A sucess˜o (Bn ) est´ em k=1 a a
  31. 31. 2 Medidas e prolongamento de medidas 23C e satisfaz Bn ↑ A. Assim, por hip´tese e pela aditividade de µ, µ(A) = µ(lim Bn ) = o n ∞lim µ(Bn ) = lim k=1 µ(Ak ) = k=1 µ(Ak ). iv) ⇒ i): Mantendo a nota¸˜o anterior, a sucess˜o Cn = A − Bn , n ∈ IN, ´ uma ca a esucess˜o decrescente de elementos de C com lim Cn = ∅. Por hip´tese, lim µ(Cn ) = a oµ(∅) = 0. Para concluir, basta agora notar que, pela aditividade de µ, µ(A) = µ(Cn ) + n k=1 µ(Ak ), para todo o n ∈ IN. Notemos que se C ´ um σ-anel, as propriedades anteriores podem ser enunciadas e tenreiro@mat.uc.ptde forma mais simples visto poderem ser, nesse caso, suprimidas parte das hip´teses. oNotemos tamb´m que, tendo em conta o Exerc´ 2.9.8, os Teoremas 2.2.1-2.2.6 valem e ıciopara C semi-anel de partes de X, bastando, no caso dos Teoremas 2.2.1-2.2.3, exigirque µ seja finitamente aditiva.2.3 Medida exterior e medida induzida Em geral, a defini¸˜o duma medida num σ-anel de partes dum conjunto n˜o pode ser ca afeita explicitando a medida de cada um dos seus elementos. Exceptuam-se naturalmentecasos simples como os considerados nos Exemplos 2.1.1 e 2.1.2 anteriores, ou o caso demedidas definidas ` custa de medidas previamente definidas no σ-anel (ver os Exerc´ a ıcios2.9.5 e 2.9.6). O m´todo geral para construir medidas que vamos estudar, passa pela no¸˜o de e camedida exterior que consideramos de seguida. Uma medida exterior ´, como veremos, euma fun¸˜o de conjunto definida numa classe n˜o-vazia H de partes de X que cont´m ca a etodos os subconjuntos de todos os seus elementos, isto ´, dados A ∈ H e B ⊂ A ent˜o e aB ∈ H. Dizemos ent˜o que H ´ uma classe heredit´ria. O conjunto vazio pertence a a e aqualquer classe heredit´ria. a Um exemplo simples duma classe heredit´ria ´ a classe P(X) das partes de X. a eNotemos que se H ´ classe heredit´ria, ent˜o H = P(X) se e s´ se H cont´m X. e a a o eInteressar-nos-emos em particular pelas classes heredit´rias que s˜o σ-an´is, a que cha- a a emamos σ-an´is heredit´rios. Facilmente se conclui que uma classe heredit´ria ´ um e a a eσ-anel se e s´ se for est´vel para a reuni˜o numer´vel. Se H ´ um σ-anel heredit´rio, o a a a e a ∞ent˜o H = P(X) se e s´ se H cont´m uma sucess˜o (Xn ) tal que X = n=1 Xn . a o e a Passemos ent˜o ` no¸˜o de medida exterior (o Teorema 2.4.2 ´ esclarecedor no que a a ca erespeita a esta designa¸˜o). caDefini¸˜o 2.3.1 Uma fun¸ao de conjunto ϕ definida num σ-anel herdit´rio H, diz-se ca c˜ auma medida exterior quando: a) ϕ(∅) = 0;

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