Quantum Distribution Key Protocols
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- 1. Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Quantum Key Distribution protocols Meccanica quantistica Dispositivi ottici Franco Chiavetta Quantum key distribution D.M.I. - UNIPA protocols Corso di Teoria Quantistica dell’Informazione
- 2. Piano della presentazione Quantum Key Distribution protocols Franco 1 Introduzione Chiavetta Introduzione 2 Sicurezza dei sistemi crittografici Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica 3 Meccanica quantistica quantistica Dispositivi ottici 4 Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols 5 Quantum key distribution protocols
- 3. Introduzione Sicurezza nelle comunicazioni Quantum Key Distribution Problema: due interlocutori, Alice e Bob, devono protocols scambiare un messaggio m su un canale non protetto Franco Chiavetta (vulnerabilitá). Introduzione L’intercettazione (o eavesdropping): é lettura non Sicurezza dei autorizzata del contenuto del messaggio da parte di un sistemi crittografici terzo, Eve (da eavesdropping = origliare), Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 4. Introduzione Sicurezza nelle comunicazioni Quantum Key Distribution Problema: due interlocutori, Alice e Bob, devono protocols scambiare un messaggio m su un canale non protetto Franco Chiavetta (vulnerabilitá). Introduzione L’intercettazione (o eavesdropping): é lettura non Sicurezza dei autorizzata del contenuto del messaggio da parte di un sistemi crittografici terzo, Eve (da eavesdropping = origliare), Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 5. Introduzione Crittografia Quantum Key Distribution Contromisura: adottare sistemi crittografici protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Cifratura E funzione biettiva (invertibile) E (K 1, m) = C . Meccanica quantistica Trasforma il messaggio in chiaro (plaintext) m in Dispositivi testo cifrato (ciphertext) C ottici Quantum Decifratura D funzione inversa di E, D(K 2, C ) = m. Trasforma key distribution il testo cifrato C nel messaggio in chiaro m protocols (K 1, K 2) coppia di dati, detti chiavi, che determina funzionalmente il comportamento della cifratura/decifratura.
- 6. Introduzione Crittografia Quantum Key Distribution protocols Classificazione parziale dei sistemi crittografici: Franco Chiavetta 1 Crittografia a chiave simmetrica (DES, AES) Introduzione Stessa chiave per cifrare/decifrare Sicurezza dei Algoritmi efficienti, usati per cifrare grandi quantitá di dati sistemi (flussi) crittografici Meccanica 2 Crittografia a chiave pubblica (RSA, DSA) quantistica Doppia chiave: una per cifrare, l’altra per decifrare Dispositivi ottici (asimmetria) Quantum Le due chiavi sono diverse, e non deve essere possibile key risalire ad una conoscendo l’altra. distribution protocols Una delle due chiavi viene resa pubblica mentre l’altra viene mantenuta segreta. Algoritmi lenti
- 7. Introduzione Crittografia Quantum Key Distribution protocols Un aspetto critico per la sicurezza dei sistemi crittografici é Franco Chiavetta la segretezza della chiave Introduzione Sicurezza dei Legge di Kerckhoff - 1883 sistemi crittografici La sicurezza di un sistema crittografico non deve dipendere dal Meccanica quantistica tener celato l’algoritmo di cifratura. La sicurezza dipenderá solo Dispositivi dal tener celata la chiave. ottici Quantum key distribution Massima di Shannon protocols Il nemico conosce il sistema
- 8. Introduzione Key Establishment Protocols / Key Distribution Protocols Quantum Key Distribution protocols Un Key Establishment Protocol stabilisce una chiave Franco segreta condivisa (session key) tra le due parti (Alice e Chiavetta Bob) secondo una tra le seguenti modalitá: Introduzione - key transport: una parte (anche terza) genera la chiave Sicurezza dei che viene poi trasferita in modo sicuro alle altre sistemi - key agreement: la chiave é calcolata da informazioni crittografici fornite dalle parti, in modo tale che nessuno possa Meccanica quantistica predeterminarne il valore Dispositivi ottici Tra i piú noti protocolli di key establishment vi é il Quantum protocollo Diffie-Hellman (key agreement). key distribution Dati N utenti, un Key Distribution Protocol provvede ad protocols ottimizzare il numero delle chiavi effettivamente necessarie (massimo O(N 2 )) e le distribuisce nella rete agli utenti.
- 9. Sicurezza dei sistemi crittografici Computational Security Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Schemi computazionalmente sicuri Introduzione Sicurezza dei sistemi Uno schema crittografico é computazionalmente sicuro crittografici quando soddisfa entrambi i seguenti criteri: Meccanica Il costo necessario a violare il testo cifrato supera il valore quantistica delle informazioni crittografate Dispositivi ottici Il tempo richiesto per violare il testo cifrato supera la vita Quantum utile delle informazioni key distribution protocols
- 10. Sicurezza dei sistemi crittografici Computational Security Quantum Key Distribution protocols Franco Schemi computazionalmente sicuri Chiavetta Introduzione Si basano sulla difficoltá computazionale di alcuni problemi Sicurezza dei sistemi (es. aritmetica modulare) per cui sono noti solo algoritmi a crittografici complessitá computazionale esponenziale (Turing-Church) Meccanica quantistica Esempi: Dispositivi Lo schema RSA si basa sulla fattorizzazione in numeri ottici primi di interi grandi Quantum key Gli schemi Diffie-Hellman, ElGamal, EC-Elliptic Curve si distribution basano sul calcolo del logaritmo discreto protocols
- 11. Sicurezza dei sistemi crittografici Computational Security Quantum Key Distribution protocols Schemi computazionalmente sicuri Franco Chiavetta La sicurezza degli algoritmi RSA o ElGamal o Introduzione Diffie-Hellman non é stata dimostrata matematicamente Sicurezza dei sistemi crittografici Non é detto che prima o poi non si trovino algoritmi di Meccanica ordine polinomiale per fattorizzare numeri grandi o quantistica risolvere il calcolo del logaritmo discreto Dispositivi ottici Inoltre.... esiste un algoritmo quantistico (Shor -1997) Quantum efficiente (polinomiale) per la fattorizzazione ed il calcolo key distribution del logaritmo discreto! protocols Manca solo il calcolatore quantistico in grado di eseguirlo...
- 12. Sicurezza dei sistemi crittografici Information-theoretic Security Quantum Key Distribution protocols Franco Schemi incondizionatamente sicuri Chiavetta Introduzione Uno schema crittografico é incondizionatamente sicuro Sicurezza dei se risulta inattaccabile alla crittoanalisi sistemi crittografici indipendentemente dalle risorse a disposizione Meccanica dell’attaccante. quantistica Dispositivi - Il testo cifrato non contiene alcuna informazione che renda ottici Quantum possibile un’analisi di qualunque tipo. key - Non conoscendo la chiave é impossibile decrittografare il distribution protocols testo
- 13. Sicurezza dei sistemi crittografici Information-theoretic Security Quantum Key Schemi incondizionatamente sicuri: il cifrario di Vernam Distribution protocols Franco Chiavetta C. E. Shannon - Teoria dei Codici L’entropia contenuta in un testo cifrato non puó essere Introduzione Sicurezza dei maggiore di quella presente nella chiave usata per cifrarlo, da sistemi crittografici cui si deduce che condizione necessaria (ma non sufficiente) per Meccanica ottenere una assoluta sicurezza é l’utilizzo di una chiave quantistica casuale, non riutilizzabile, e di lunghezza pari al Dispositivi ottici messaggio. Quantum key distribution C. E. Shannon - Teoria dei Codici protocols I cifrari di Vernam sono inattaccabili alla crittoanalisi e, viceversa, ogni cifrario inattaccabile alla crittoanalisi é un cifrario di Vernam
- 14. Sicurezza dei sistemi crittografici Information-theoretic Security Quantum Key Distribution protocols Franco Il cifrario di Vernam: l’algoritmo Chiavetta Introduzione Dato un messaggio binario da inviare (plaintext) Sicurezza dei m = p1 p2 ...pr , tale sistema richiede come chiave una sistemi crittografici stringa binaria K = k1 k2 ...kr , casuale, non riutilizzabile Meccanica (one-time), e della stessa lunghezza r del messaggio m. quantistica Dispositivi Il testo cifrato c = c1 c2 ...cr (ciphertext) si ottiene ottici sostituendo in m ogni pi con ci = pi ⊕ ki Quantum key dove ⊕ = operatore di OR esclusivo (XOR) distribution protocols Per decrittografare bisogna calcolare pi = ci ⊕ ki , ∀i = 1..r
- 15. Sicurezza dei sistemi crittografici Information-theoretic Security Quantum Key Distribution Il cifrario di Vernam: condizioni sulla chiave K per protocols l’inattaccabilitá Franco Chiavetta 1 K sia totalmente random e lunga quanto il plaintext Introduzione - output dello xor = stringa random. Sicurezza dei sistemi - per decifrare si potrebbe il linea di principio tentare ogni crittografici possibile chiave (complessitá esponenziale in r ) Meccanica quantistica - ma a causa della arbitrarietá e casualitá di K , dalla Dispositivi decrittografia si otterrebbero tutti i possibili testi in chiaro ottici di lunghezza r, e questi sarebbero tutti equiprobabili! Quantum key 2 K sia cambiata ogni volta (one time) distribution protocols - se ad es. si utilizza 2 volte, facendo lo xor dei 2 ciphertext si elimina la chiave ottenendo lo xor dei 2 testi in chiaro... 3 K sia trasferita/stabilita su un canale sicuro ....
- 16. Sicurezza dei sistemi crittografici Key establishment e canali sicuri Quantum Key Distribution protocols Dove interviene la meccanica quantistica? Franco Chiavetta Le leggi della meccanica quantistica possono essere Introduzione sfruttate per realizzare algoritmi di key establishment, Sicurezza dei sistemi chiamati Quantum Key Distribution protocols crittografici (protocolli QKD), che permettono di rilevare ogni tentativo Meccanica quantistica di eavesdropping della chiave. Dispositivi Si sfruttano il principio di sovrapposizione, l’entanglement, ottici il principio del no-cloning, il principio di indeterminazione Quantum key di Heisenberg, distribution protocols I canali fisici che permettono di utilizzare tali leggi sono detti canali quantistici
- 17. Sicurezza dei sistemi crittografici Key establishment e canali sicuri Quantum Key Distribution protocols Franco Dove interviene la meccanica quantistica? Chiavetta Introduzione Nei canali quantistici l’informazione é rappresentata dallo Sicurezza dei stato di sistemi quantistici: atomi, ioni, fotoni, sistemi crittografici elettroni,. . . Meccanica quantistica Nella pratica si preferiscono i fotoni (quanti di luce) Dispositivi perché possono essere trasmessi a lunghe distanze senza ottici incorrere nella decoerenza Quantum key I canali quantistici ottici sono realizzabili con fibre ottiche distribution protocols e free space lines-of-sight.
- 18. Meccanica quantistica Fotoni e polarizzazione Quantum Key Distribution Un fotone é un quanto di radiazione elettromagnetica: un protocols minuscolo (particella) campo elettromagnetico oscillante Franco Chiavetta (onda). Chiamiamo polarizzazione del fotone la direzione delle Introduzione rette perpendicolari alla direzione di propagazione e Sicurezza dei sistemi contenute nel piano lungo il quale il suo campo elettrico crittografici oscilla. Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 19. Meccanica quantistica Fotoni e polarizzazione Quantum Key Distribution protocols La polarizzazione di un fotone puó essere modellata Franco attraverso un versore Ψ combinazione lineare di un versore Chiavetta orizzontale →, ed uno verticale ↑: Ψ = α → +β ↑ Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols Al variare di α, β in C il versore Ψ descrive uno spazio di Hilbert H di dimensione 2, che rappresenta lo spazio degli stati del sistema
- 20. Meccanica quantistica Prodotto scalare o inner product H Quantum Key Distribution protocols Ad ogni sistema quantistico isolato Q é associato uno Franco Chiavetta spazio di Hilbert H. Introduzione In H é definito il prodotto scalare ·, · (forma hermitiana): Sicurezza dei Dati due versori Ψ = α1 → +β1 ↑ e Φ = α2 → +β2 ↑ sistemi crittografici il loro prodotto scalare é: Meccanica quantistica ¯ Ψ, Φ = α1 α2 + β1 β2 ¯ Dispositivi ottici Quantum dove α rappresenta il complesso coniugato di α ¯ key distribution protocols Tramite il prodotto scalare, in H sono indotti i concetti di norma, distanza, ortogonalitá
- 21. Meccanica quantistica Fotoni e polarizzazione Quantum Key Distribution protocols In H la coppia di versori (→, ↑) formano una base Franco ortonormale, chiamata base canonica di H Chiavetta Ogni versore Ψ = α → +β ↑ é identificabile con la coppia Introduzione (α, β) ∈ C2 o con un vettore-colonna. Sicurezza dei sistemi crittografici Ad esempio i due versori della base canonica sono Meccanica rappresentati rispettivamente dai vettori-colonna quantistica 1 0 e Dispositivi ottici 0 1 Quantum Nella notazione di Dirac i due vettori-colonna sono key distribution rappresentati attraverso i simboli, |→ e |↑ , oppure con protocols | 0 e | 1 , rispettivamente. Analogamente qualsiasi vettore Ψ si rappresenta con un ket: | Ψ .
- 22. Meccanica quantistica Non determinismo e sovrapposizione quantistica Quantum Key Distribution protocols Un sistema quantistico si puó descrivere solo in termini Franco probabilistici Chiavetta Puó trovarsi in molti possibili stati, ma, in assenza di un Introduzione osservatore, si trova in ciascuno stato simultaneamente. Sicurezza dei sistemi La funzione d’onda, una somma pesata di stati base, crittografici esprime in termini probabilistici la cosidetta Meccanica quantistica sovrapposizione quantistica, fornendo l’ampiezza di Dispositivi ottici probabilitá che il sistema si trovi in un certo stato. Quantum I pesi (modulo al quadrato) rappresentano le singole key distribution probabilitá protocols Se gli stati base possibili e sovrapponibili sono due si parla di qubit ...
- 23. Meccanica quantistica Quantum bits Quantum Key Distribution protocols Nella Quantum Information Theory, l’unitá minima di Franco Chiavetta informazione é il qubit, l’equivalente quantistico del bit. Introduzione Un qubit é un elemento | ψ = α | 0 + β | 1 ∈ H (dove Sicurezza dei | α |2 + | β |2 = 1) sistemi crittografici | 0 e | 1 rappresenteranno i due qubits di rifermento, Meccanica corrispondenti a due stati ortogonali quantistica Dispositivi I qubits | 0 (α = 1, β = 0) e | 1 (α = 0, β = 1) sono ottici l’equivalente quantistico dei bit 0 e 1 Quantum key Per altri valori delle cosidette ampiezze di probabilitá distribution protocols α e β ∈ C diciamo che il qubit | ψ contiene una sovrapposizione di | 0 e | 1 .
- 24. Meccanica quantistica Quantum bits Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Quantum bits e fotoni Introduzione Per rappresentare fisicamente un qubit puó essere usato un Sicurezza dei sistemi qualsiasi sistema quantistico con almeno due livelli di crittografici energia discreti sufficientemente separati (es. livelli di Meccanica quantistica energia di un elettrone orbitante in un atomo) Dispositivi ottici Viceversa, lo stato di polarizzazione di un fotone si puó Quantum rappresentare matematicamente con un qubit key distribution |ψ =α|0 +β |1 protocols
- 25. Meccanica quantistica Riferimenti ortogonali in H Quantum Key Distribution protocols Franco In H, oltre alla base canonica (↑, →), detta anche base Chiavetta rettilinea, ad indicare che i suoi versori corrispondono a Introduzione fotoni polarizzati verticalmente e orizzontalmente, si Sicurezza dei possono considerare altre basi. sistemi crittografici Un’altra base ortonormale naturale é la base diagonale Meccanica quantistica ( , ) dove e corrispondono rispettivamente agli Dispositivi stati dei fotoni polarizzati diagonalmente a 45◦ e −45◦ ottici rispetto alla base rettilinea. Quantum key distribution I due ket possono essere anche indicati con i simboli protocols |+ e|−
- 26. Meccanica quantistica Riferimenti ortogonali in H Quantum Key Distribution protocols Cambiamento di base Franco Chiavetta Il legame tra le due basi é dato dalle seguenti relazioni: Introduzione 1 1 1 ↑ = √2 Sicurezza dei 1 −1 → sistemi ↑ 1 1 1 crittografici = √2 → 1 −1 Meccanica quantistica oppure, in notazione di Dirac: Dispositivi 1 1 ottici |+ = √ 2 |0 + √ 2 |1 1 1 Quantum |− = √ 2 |0 − √ 2 |1 key distribution 1 1 protocols |0 = √ 2 |+ + √ 2 |− 1 1 |1 = √ 2 |+ − √ 2 |−
- 27. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution protocols Ad ogni grandezza fisica misurabile é associato ad un Franco operatore hermitiano, A : H → H, detto osservabile. Chiavetta L’osservabile A si identifica con una matrice quadrata di Introduzione ordine 2 (per un qubit) su C Sicurezza dei sistemi crittografici Teorema spettrale Meccanica quantistica Un operatore hermitiano A : H → H (i.e. un osservabile) é Dispositivi ortogonalmente diagonalizzabile, ossia esiste una base ottici Quantum ortonormale (| v1 , | v2 ) formata da autovettori di A. key distribution protocols λ1 0 In una tale base, la matrice di A é diagonale 0 λ2 con λ1 , λ2 ∈ R autovalori detti misure dell’osservabile A.
- 28. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution protocols Franco Postulati interpretativi della meccanica quantistica Chiavetta Introduzione 1 I possibili risultati della misura di un’osservabile sono i suoi Sicurezza dei autovalori. sistemi crittografici 2 Se il sistema si trova nello stato | vi , autostato Meccanica quantistica dell’osservabile A con autovalore λi , la misura di A fornirá Dispositivi con certezza il risultato λi ottici 3 Se il sistema si trova nello stato | ψ che non é autostato Quantum key di A, una misura di A puó fornire come risultato uno distribution protocols qualsiasi degli autovalori di A in modo non predicibile.
- 29. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Postulati interpretativi della meccanica quantistica Introduzione 4 Sia | ψ ∈ H un qualsiasi stato del sistema, e BA = {| vi } Sicurezza dei sistemi una base di autovettori di A. Se | ψ = i αi | vi é la crittografici decomposizione dello stato rispetto a BA , allora la misura Meccanica quantistica di A sullo stato | ψ sará λk con probabilitá | αk |2 Dispositivi ottici 5 La misura dell’osservabile A sullo stato | ψ , supponendo di Quantum aver ottenuto λi come risultato, proietta | ψ key distribution sull’autospazio di | vi (autovettore associato). protocols
- 30. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Postulati interpretativi della meccanica quantistica Introduzione Sicurezza dei L’osservazione disturba il sistema sistemi crittografici Il semplice atto di misurare una grandezza A é capace di Meccanica quantistica cambiare lo stato del sistema da | ψ a | vi (autostato di A). Dispositivi Ogni successiva misura (compiuta senza che lo stato evolva) ottici dovrá dare lo stesso risultato λi con probabilitá 100%. Quantum key L’esito di una misura non é comunque predicibile distribution protocols
- 31. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution protocols Principio di indeterminazione Franco Chiavetta Quando si cerca di misurare contemporaneamente piú di Introduzione una grandezza conviene cercare una base di autovettori Sicurezza dei sistemi comuni (stesso autospazio) a tutti i corrispondenti crittografici operatori A1 , A2 , . . . Meccanica quantistica Questo peró risulta possibile se e solo se questi operatori Dispositivi commutano rispetto alla composizione: ottici [Ai , Aj ] = Ai · Aj − Aj · Ai = 0 (operatore nullo) Quantum key distribution Fisicamente significa che i due osservabili Ai e Aj protocols commutano se e solo se sono misurabili contemporaneamente (osservabili compatibili)
- 32. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution Principio di indeterminazione protocols Franco Chiavetta Ci sono peró coppie di grandezze fisiche che non sono Introduzione misurabili contemporaneamente: le relative coppie di Sicurezza dei osservabili non commutano, ossia sono incompatibili. sistemi crittografici La misurazioni si influenzano reciprocamente. Meccanica quantistica Il valore minimo di incertezza introdotta nelle misure da Dispositivi questo effetto é data dal ottici Quantum Principio di indeterminazione di Heisenberg key distribution protocols Dati due osservabili A1 , A2 , e uno stato ψ ∈ H 1 A1 (ψ)2 · A2 (ψ)2 ≥ 4 | [A1 , A2 ](ψ) | ψ |2
- 33. Meccanica quantistica Concetto di osservazione o misura Quantum Key Distribution Principio di indeterminazione protocols Franco Chiavetta Gli osservabili relativi alle basi + e × sono le matrici di Pauli Z e X , rispettivamente Introduzione Sicurezza dei sistemi Base Osservabile Autovalori Autovettori crittografici + Z +1, −1 | 0 ,| 1 Meccanica quantistica × X +1, −1 | + ,| − Dispositivi ottici Gli osservabili X e Z non commutano. Quantum 0 1 1 0 1 0 0 1 0 −2 key [X , Z ] = - = =0 distribution 1 0 0 −1 0 −1 1 0 2 0 protocols ⇒ Non é possibile misurare la polarizzazione di un fotone contemporaneamente in basi diverse
- 34. Meccanica quantistica Teorema del no-cloning Quantum Key Distribution protocols Teorema del no-cloning - Dicks, Wootters e Zurek Franco Chiavetta Non é possibile copiare un fotone in uno stato quantistico Introduzione sconosciuto. Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 35. Meccanica quantistica Sistemi di piú qubit Quantum Key Distribution protocols Siano QA , QB due sistemi quantistici isolati associati agli Franco spazi di Hilbert HA e HB . Lo spazio di Hilbert associato al Chiavetta sistema quantistico complesso QAB formato dalla Introduzione congiunzione dei due sistemi é dato dal prodotto tensore Sicurezza dei sistemi degli spazi dei sistemi che lo compongono crittografici HAB = HA ⊗ HB Meccanica quantistica Se componiamo n qubit lo spazio avrá dim 2n , e i suoi Dispositivi elementi verranno detti registri quantistici. La base ottici Quantum computazionale é formata da registri quantistici della key distribution forma: | i1 ⊗ | i2 ⊗ . . . ⊗ | in , con ij ∈ {0, 1}, e 1 ≤ j ≤ n protocols Simboli equivalenti: | i1 ⊗ | i2 ⊗ . . . ⊗ | in = | i1 | i2 . . . | in = | i1 i2 . . . in
- 36. Meccanica quantistica Stati entangled Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Un registro quantistico a 2 qubit é una sovrapposizione della forma: Introduzione | ψ = α00 | 00 + α01 | 01 + α10 | 10 + α11 | 11 Sicurezza dei sistemi crittografici Una proprietá importante dei registri quantistici a n qubits Meccanica é che non é sempre possibile decomporli come prodotto quantistica tensore degli stati dei qubit componenti. Dispositivi ottici Gli stati di questo tipo sono detti entangled e godono di Quantum key proprietá che non si possono ritrovare in nessun oggetto distribution della fisica classica. protocols
- 37. Meccanica quantistica Entanglement - Carattere non locale della teoria quantistica Quantum Key Distribution protocols Franco Esempi di stati entangled sono le coppie EPR Chiavetta 1 Introduzione | β00 = √ (| 2 00 + | 11 ) 1 Sicurezza dei | β01 = √ (| 2 01 + | 10 ) sistemi 1 crittografici | β10 = √ (| 2 00 − | 11 ) Meccanica 1 quantistica | β11 = √ (| 2 01 − | 10 ) Dispositivi ottici Quantum I membri di una coppia EPR non hanno un proprio stato key distribution individuale, ma solo l’intero sistema possiede uno stato ben protocols definito.
- 38. Meccanica quantistica Entanglement - Carattere non locale della teoria quantistica Quantum Key Distribution protocols Franco I sistemi entangled si comportano come se i membri fossero Chiavetta strettamente connessi l’uno all’altro indipendentemente Introduzione dalla distanza che li separa. Sicurezza dei sistemi Se separiamo gli elementi di una coppia EPR, la crittografici misurazione di uno degli stati fornisce istantaneamente Meccanica quantistica informazioni riguardo all’altro (in qualsiasi base venga fatta Dispositivi la misura) ottici Quantum Questa proprietá é alla base di soluzioni di problemi in key distribution information-processing che non possono essere riprodotte protocols classicamente
- 39. Meccanica quantistica Diseguaglianze di Bell Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Gli esperimenti sulle diseguaglianze di Bell sono Introduzione progettati per verificare se un sistema obbedisce o meno Sicurezza dei sistemi alle relazioni di disuguaglianza previste dal teorema di Bell. crittografici Meccanica Tali esperimenti, chiamati test di Bell, rilevano se un quantistica sistema si trova in stato di correlazione quantistica Dispositivi ottici (entanglement) ricorrendo a delle opportune misurazioni e Quantum verificando se si ha una violazione delle diseguaglianze. key distribution protocols
- 40. Dispositivi ottici Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Come si opera fisicamente sui fotoni? Introduzione Sicurezza dei sistemi Per potere realizzare i canali quantistici e i protocolli QKD crittografici si utilizzano dispositivi ottici per: Meccanica quantistica generare fotoni con una certa polarizzazione Dispositivi modificare la polarizzazione di un fotone ottici misurare la polarizzazione di un fotone Quantum key distribution protocols
- 41. Dispositivi ottici Filtri polarizzatori Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Un filtro polarizzatore é un vetro con struttura cristallina Meccanica unidirezionale: quantistica i fotoni polarizzati nella stessa direzione dei cristalli (asse Dispositivi ottici del filtro) passano indisturbati; Quantum quelli aventi polarizzazione ortogonale vengono assorbiti, key distribution i rimanenti hanno una certa probabilitá di passare ma, se protocols passano, emergono sempre polarizzati sempre lungo l’asse del filtro. La luce emergente da b é ancora meno intensa di quella trasmessa da a per un fattore cos2 θab
- 42. Dispositivi ottici Filtri polarizzatori Quantum Key Distribution protocols Utilizzando filtri polarizzatori é possibile ottenere fotoni Franco con un certo stato di polarizzazione | ψ ∈ H: a) verticale, Chiavetta b) orizzontale, c) diagonale 45◦ , d) diagonale −45◦ Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 43. Dispositivi ottici 50% Beam Splitter Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Un beam splitter é un dispositivo ottico che divide un Dispositivi ottici raggio di luce incidente (1) in due parti: un raggio Quantum trasmesso (2) ed uno riflesso (3). key distribution Per il principio di conservazione dell’energia, l’intensitá del protocols raggio incidente uguaglia la somma delle intensitá dei due raggi uscenti In un 50% beam splitter le due intensitá d’uscita sono uguali
- 44. Dispositivi ottici Polarizing Beam Splitter Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Un Polarizing Beam Splitter (PBS) é un beam splitter Dispositivi che riflette o trasmette la luce incidente asseconda ottici dell’angolo θ tra la sua polarizzazione e l’asse → del PBS . − n Quantum key In generale, il raggio trasmesso ha intensitá IT = I0 cos(θ)2 e polarizzazione parallela ad →, quello riflesso ha intensitá − distribution protocols n IR = I0 sin(θ)2 e polarizzazione ortogonale ad → − n - Se θ = 0 ◦ il raggio viene trasmesso - Se θ = 90◦ il raggio viene riflesso
- 45. Dispositivi ottici Polarizing Beam splitter + Detectors Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum Ponendo alle uscite del PBS dei rilevatori di fotoni key distribution (detectors D0 , D1 ) e possibile ottenere una misura protocols proiettiva della polarizzazione del fotone in ingresso
- 46. Dispositivi ottici Cella di Pockels Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica Figura : Assenza di tensione agli elettrodi quantistica Dispositivi ottici Quantum Una Cella di Pockels (PC) é un dispositivo ottico key distribution comandato in tensione che sfrutta l’effetto Pockels su protocols particolari cristalli per ruotare di un angolo desiderato la direzione di polarizzazione di un raggio di luce (fotone) Posto a monte del PBS permette di misurare in basi diverse
- 47. Dispositivi ottici Cella di Pockels Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica Figura : Elettrodi sotto tensione quantistica Dispositivi ottici Quantum Una Cella di Pockels (PC) é un dispositivo ottico key distribution comandato in tensione che sfrutta l’effetto Pockels su protocols particolari cristalli per ruotare di un angolo desiderato la direzione di polarizzazione di un raggio di luce (fotone) Posto a monte del PBS permette di misurare in basi diverse
- 48. Quantum key distribution protocols Quantum Key Distribution protocols Approcci alla distribuzione quantistica delle chiavi: Franco 1 Prepare and measure protocols Chiavetta Basi teoriche: Principio di indeterminazione di Introduzione Heisenberg, no-cloning Se Eve misura un qubit ne altera lo stato introducendo Sicurezza dei sistemi errori rilevabili crittografici Esempi: BB84 protocol - C. H. Bennett and G. Brassard Meccanica (1984) quantistica 2 Entanglement based protocols Dispositivi ottici Basi teoriche: entanglement, violazione delle Quantum diseguaglianze di Bell, no-cloning key Eve puó solo tentare di introdurre ulteriori quanti nella distribution protocols comunicazione, ma viene rilevata per violazione delle diseguaglianze di Bell Esempi: E91 protocol - Artur Ekert (1991)
- 49. Quantum key distribution protocols Infrastruttura Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica La trasmissione delle informazioni tra Alice e Bob avviene quantistica attraverso due canali: Dispositivi un canale quantistico, ad esempio una fibra ottica che ottici trasmette fotoni polarizzati, utilizzato nella fase di raw key Quantum key exchange; distribution protocols un canale pubblico utilizzato nelle fasi successive. Tale canale puó subire intercettazioni senza compromettere la sicurezza del protocollo. Necessita tuttavia di autenticazione delle parti (solo la prima volta).
- 50. Protocollo BB’84 (Bennett and Brassard - 1984). Quantum Key Distribution protocols Alice deve generare una sequenza binaria casuale (key) e Franco trasmetterla a Bob attraverso il canale quantistico Chiavetta Se i bit vengono codificati mediante due soli stati di Introduzione polarizzazione si avrá ad es. Sicurezza dei sistemi 0 codificato con |↑ e 1 codificato con |→ . crittografici PROBLEMA: Eve puó intercettare i fotoni, misurarli, Meccanica quantistica registrarli e ritrasmetterli a Bob! Dispositivi ottici SOLUZIONE: Alice codifica i bit in modo random Quantum utilizzando fotoni polarizzati sia con filtri di tipo +, che key distribution con filtri di tipo × secondo il seguente schema: protocols Fotoni polarizzati: ↑ → Cifre binarie: 0 1 0 1
- 51. Protocollo BB’84 Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta PROBLEMA: Bob non sa con quali filtri (base) misurare i fotoni inviati da Alice Introduzione Sicurezza dei SOLUZIONE: Bob sceglie in modo random i filtri tra la sistemi crittografici basi + e la base × Meccanica Per ogni bit trasmesso: quantistica se le basi di Alice e Bob coincidono, in assenza di Eve, il Dispositivi ottici bit rilevato da Bob coincide con il bit codificato da Alice Quantum se le basi di Alice e Bob non coincidono, Bob rileverá con key distribution uguale probabilitá ( 1 ) i bit 0 e 1 2 protocols
- 52. Protocollo BB’84 Steps Quantum Key Distribution protocols 1 ALICE Franco Chiavetta sceglie una sequenza random di basi + o × sceglie in modo casuale una stringa binaria di r bit (molto Introduzione piú lunga della chiave da generare): i fotoni sono codificati Sicurezza dei sistemi secondo lo schema dato crittografici I fotoni sono inviati a Bob lungo il canale quantistico Meccanica quantistica 2 BOB Dispositivi sceglie una sequenza random di basi + o × ottici misura i fotoni ricevuti nelle base scelta Quantum key distribution protocols Alla fine di questo step Alice e Bob sono in possesso di due stringhe random correlate (raw key).
- 53. Protocollo BB’84 Steps Quantum Key 3 BOB comunica ad Alice la sequenza di basi utilizzata per Distribution protocols la ricezione (ma non i bit decodificati) Franco 4 ALICE comunica a Bob in quali posizioni della sequenza ha Chiavetta usato il filtro corretto Introduzione 5 ALICE & BOB scartano tutti i bit delle stringhe in Sicurezza dei sistemi corrispondenza di basi non coincidenti crittografici Meccanica quantistica Alla fine di questo step Alice e Bob possiedono entrambi Dispositivi una stringa, denominata sifted key (chiave setacciata). ottici In assenza di Eve le due chiavi coincidono. Quantum key distribution protocols
- 54. Protocollo BB’84 Implementazione Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi La sorgente emette la sequenza di impulsi a singolo fotone crittografici (non polarizzato) Meccanica quantistica Il filtro impone la polarizzazione orizzontale al fotone Dispositivi emesso (bit 0) ottici Quantum La prima PC di Alice altera in modo random il bit key distribution ponendolo a volte al valore 1 protocols La seconda PC di Alice ruota (−45◦ ) in modo random la polarizzazione del fotone in transito (scelta base + o ×) Tramite un’ altra PC ed un PBS Bob sceglie in modo random la base di misura
- 55. Protocollo BB’84 Un esempio (in assenza di evesdropping) Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 56. Protocollo BB’84 Errori commessi da Bob Quantum Key Distribution 1 protocols Probabilitá di interporre il filtro giusto = 2 Franco Chiavetta Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro corretto = 1 Introduzione Sicurezza dei Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro sistemi sbagliato = 12 crittografici Meccanica Esempio) Puó accadere con uguale probabilitá 1 che Bob, 2 quantistica usando un filtro ×, ricavi un fotone con polarizzazione Dispositivi (= 1) o con polarizzazione (= 0) dalla misura del ottici fotone ↑ (= 0) di Alice Quantum key distribution In definitiva, per Bob la probabilitá P di non protocols commettere errori di ricezione del messaggio é: P = 2 · 1 + 2 · 1 = 3 = 75% (da cui, Perrore = 4 = 25%) 1 1 2 4 1
- 57. Protocollo BB’84 Errori commessi da Bob Quantum Key Distribution 1 protocols Probabilitá di interporre il filtro giusto = 2 Franco Chiavetta Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro corretto = 1 Introduzione Sicurezza dei Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro sistemi sbagliato = 12 crittografici Meccanica Esempio) Puó accadere con uguale probabilitá 1 che Bob, 2 quantistica usando un filtro ×, ricavi un fotone con polarizzazione Dispositivi (= 1) o con polarizzazione (= 0) dalla misura del ottici fotone ↑ (= 0) di Alice Quantum key distribution In definitiva, per Bob la probabilitá P di non protocols commettere errori di ricezione del messaggio é: P = 2 · 1 + 2 · 1 = 3 = 75% (da cui, Perrore = 4 = 25%) 1 1 2 4 1
- 58. Protocollo BB’84 Errori commessi da Bob Quantum Key Distribution 1 protocols Probabilitá di interporre il filtro giusto = 2 Franco Chiavetta Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro corretto = 1 Introduzione Sicurezza dei Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro sistemi sbagliato = 12 crittografici Meccanica Esempio) Puó accadere con uguale probabilitá 1 che Bob, 2 quantistica usando un filtro ×, ricavi un fotone con polarizzazione Dispositivi (= 1) o con polarizzazione (= 0) dalla misura del ottici fotone ↑ (= 0) di Alice Quantum key distribution In definitiva, per Bob la probabilitá P di non protocols commettere errori di ricezione del messaggio é: P = 2 · 1 + 2 · 1 = 3 = 75% (da cui, Perrore = 4 = 25%) 1 1 2 4 1
- 59. Protocollo BB’84 Errori commessi da Bob Quantum Key Distribution 1 protocols Probabilitá di interporre il filtro giusto = 2 Franco Chiavetta Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro corretto = 1 Introduzione Sicurezza dei Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro sistemi sbagliato = 12 crittografici Meccanica Esempio) Puó accadere con uguale probabilitá 1 che Bob, 2 quantistica usando un filtro ×, ricavi un fotone con polarizzazione Dispositivi (= 1) o con polarizzazione (= 0) dalla misura del ottici fotone ↑ (= 0) di Alice Quantum key distribution In definitiva, per Bob la probabilitá P di non protocols commettere errori di ricezione del messaggio é: P = 2 · 1 + 2 · 1 = 3 = 75% (da cui, Perrore = 4 = 25%) 1 1 2 4 1
- 60. Protocollo BB’84 Errori commessi da Bob Quantum Key Distribution 1 protocols Probabilitá di interporre il filtro giusto = 2 Franco Chiavetta Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro corretto = 1 Introduzione Sicurezza dei Probabilitá di ricavare il bit corretto usando un filtro sistemi sbagliato = 12 crittografici Meccanica Esempio) Puó accadere con uguale probabilitá 1 che Bob, 2 quantistica usando un filtro ×, ricavi un fotone con polarizzazione Dispositivi (= 1) o con polarizzazione (= 0) dalla misura del ottici fotone ↑ (= 0) di Alice Quantum key distribution In definitiva, per Bob la probabilitá P di non protocols commettere errori di ricezione del messaggio é: P = 2 · 1 + 2 · 1 = 3 = 75% (da cui, Perrore = 4 = 25%) 1 1 2 4 1
- 61. Protocollo BB’84 Eavesdropping by intercept and resend Quantum Key Distribution protocols Il problema fondamentale dei canali classici ćhe i bit in transito Franco possono essere copiati (sniffing) in modo non rilevabile. Ció é Chiavetta invece impossibile sui canali quantistici per i seguenti motivi: Introduzione Incertezza quantistica - dato un fotone polarizzato in uno Sicurezza dei sistemi stato sconosciuto non possiamo dire che polarizzazione crittografici abbia senza misurarla Meccanica quantistica Teorema del no-cloning Dispositivi ottici Disturbance - Se la misura viene effettuata (distinguendo Quantum tra due stati ortogonali) il segnale é disturbato per sempre. key distribution Irreversibilitá della misura - lo stato collassa verso un protocols autostato in modo random perdendo le ampiezze di probabilitá pre-misurazione
- 62. Protocollo BB’84 Eavesdropping by intercept and resend Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Eve non puó copiare i fotoni in transito sul canale Introduzione quantistico, spedire gli originali a Bob ed effettuare le Sicurezza dei sistemi misure sulle copie crittografici Meccanica La strategia piú semplice per Eve é intercettare i fotoni, quantistica misurarli e reinviarli a Bob (intercept and resend) Dispositivi ottici Eve non conosce le basi di Alice, puó solo sceglierle in Quantum modo random come Bob key distribution protocols
- 63. Protocollo BB’84 Eavesdropping by intercept and resend Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Se Eve misura nella base corretta, scopre il bit in transito e invia a Bob un fotone uguale a quello spedito da Introduzione Alice. Bob non puó accorgersi di Eve. Il valore del bit di Sicurezza dei sistemi Alice, Bob ed Eve coincidono crittografici Meccanica Se Eve misura nella base sbagliata, legge un bit quantistica sbagliato e invia a Bob un fotone diverso da quello spedito Dispositivi ottici da Alice Quantum La probabilitá che l’intercettazione di un fotone da parte di key distribution Eve generi un errore é allora 1 × 1 = 1 = 25% 2 2 4 protocols
- 64. Protocollo BB’84 Eavesdropping by intercept and resend Quantum Key Distribution protocols Per rilevare la presenza di Eve, Bob manda ad Alice una Franco parte S dei bit della chiave setacciata (eliminandoli dalla Chiavetta stessa) per verificare che vi sia corrispondenza Introduzione La non corrispondenza significa che Eve ha tentato di Sicurezza dei sistemi intercettare la comunicazione disturbando il canale crittografici (alterazioni casuali nella polarizzazione dei fotoni) Meccanica quantistica Se si confrontano n bit, la probabilitá che la presenza di Dispositivi ottici Eva sia rivelata da errori aumenta esponenzialmente: Quantum Pd = 1 − ( 3 ) n . 4 key distribution Per rilevare la presenza di Eva con probabilitá protocols Pd = 0.999999999 ad Alice e Bob basta confrontare n = 72 bit.
- 65. Protocollo BB’84 Eavesdropping by intercept and resend - Esempio Quantum Key Distribution protocols Errore nella chiave dovuto alla presenza di Eve Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols
- 66. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution protocols Franco 6 Per evitare dei falsi positivi dovuti ad errori introdotti dagli Chiavetta apparati (es. click errati, wrong photon signal, ...), ALICE Introduzione e BOB effettuano su S una stima statistica della possibilitá Sicurezza dei di errore denominata QBER (Quantum Bit Error Rate) sistemi crittografici 7 Se il QBER é inferiore ad una soglia di sicurezza, viene Meccanica svolta la secret key distillation quantistica Dispositivi Alice e Bob correggono gli errori ottenendo la chiave ottici riconciliata Quantum Dalla chiave riconciliata ricavano una chiave piú corta key distribution segreta mediante un protocollo di amplificazione della protocols privacy
- 67. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution protocols Franco 6 Per evitare dei falsi positivi dovuti ad errori introdotti dagli Chiavetta apparati (es. click errati, wrong photon signal, ...), ALICE Introduzione e BOB effettuano su S una stima statistica della possibilitá Sicurezza dei di errore denominata QBER (Quantum Bit Error Rate) sistemi crittografici 7 Se il QBER é inferiore ad una soglia di sicurezza, viene Meccanica svolta la secret key distillation quantistica Dispositivi Alice e Bob correggono gli errori ottenendo la chiave ottici riconciliata Quantum Dalla chiave riconciliata ricavano una chiave piú corta key distribution segreta mediante un protocollo di amplificazione della protocols privacy
- 68. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution protocols Franco 6 Per evitare dei falsi positivi dovuti ad errori introdotti dagli Chiavetta apparati (es. click errati, wrong photon signal, ...), ALICE Introduzione e BOB effettuano su S una stima statistica della possibilitá Sicurezza dei di errore denominata QBER (Quantum Bit Error Rate) sistemi crittografici 7 Se il QBER é inferiore ad una soglia di sicurezza, viene Meccanica svolta la secret key distillation quantistica Dispositivi Alice e Bob correggono gli errori ottenendo la chiave ottici riconciliata Quantum Dalla chiave riconciliata ricavano una chiave piú corta key distribution segreta mediante un protocollo di amplificazione della protocols privacy
- 69. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution protocols Franco 6 Per evitare dei falsi positivi dovuti ad errori introdotti dagli Chiavetta apparati (es. click errati, wrong photon signal, ...), ALICE Introduzione e BOB effettuano su S una stima statistica della possibilitá Sicurezza dei di errore denominata QBER (Quantum Bit Error Rate) sistemi crittografici 7 Se il QBER é inferiore ad una soglia di sicurezza, viene Meccanica svolta la secret key distillation quantistica Dispositivi Alice e Bob correggono gli errori ottenendo la chiave ottici riconciliata Quantum Dalla chiave riconciliata ricavano una chiave piú corta key distribution segreta mediante un protocollo di amplificazione della protocols privacy
- 70. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution Un QBER al di sopra di una soglia di sicurezza rivela la protocols presenza di Eve sul canale quantistico Franco Chiavetta Il suo valore indica anche quanta informazione Eve ha Introduzione potuto intercettare Sicurezza dei sistemi Dopo avere effettuato le misure Alice, Bob ed Eve crittografici possiedono 3 stringhe di bit A, B ed E, descritte da una Meccanica quantistica distribuzione di probabilitá P(A, B, E ) Dispositivi Alice e Bob possono ancora concordare una chiave ottici crittografica mediante amplificazione di privacy se la mutua Quantum key informazione fra loro supera l’informazione che Eve ha su A distribution protocols e B. Altrimenti, Alice e Bob rinunciano ad utilizzare i bit scambiati come chiave segreta e ritentano successivamente
- 71. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution Un QBER al di sopra di una soglia di sicurezza rivela la protocols presenza di Eve sul canale quantistico Franco Chiavetta Il suo valore indica anche quanta informazione Eve ha Introduzione potuto intercettare Sicurezza dei sistemi Dopo avere effettuato le misure Alice, Bob ed Eve crittografici possiedono 3 stringhe di bit A, B ed E, descritte da una Meccanica quantistica distribuzione di probabilitá P(A, B, E ) Dispositivi Alice e Bob possono ancora concordare una chiave ottici crittografica mediante amplificazione di privacy se la mutua Quantum key informazione fra loro supera l’informazione che Eve ha su A distribution protocols e B. Altrimenti, Alice e Bob rinunciano ad utilizzare i bit scambiati come chiave segreta e ritentano successivamente
- 72. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution Un QBER al di sopra di una soglia di sicurezza rivela la protocols presenza di Eve sul canale quantistico Franco Chiavetta Il suo valore indica anche quanta informazione Eve ha Introduzione potuto intercettare Sicurezza dei sistemi Dopo avere effettuato le misure Alice, Bob ed Eve crittografici possiedono 3 stringhe di bit A, B ed E, descritte da una Meccanica quantistica distribuzione di probabilitá P(A, B, E ) Dispositivi Alice e Bob possono ancora concordare una chiave ottici crittografica mediante amplificazione di privacy se la mutua Quantum key informazione fra loro supera l’informazione che Eve ha su A distribution protocols e B. Altrimenti, Alice e Bob rinunciano ad utilizzare i bit scambiati come chiave segreta e ritentano successivamente
- 73. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution Un QBER al di sopra di una soglia di sicurezza rivela la protocols presenza di Eve sul canale quantistico Franco Chiavetta Il suo valore indica anche quanta informazione Eve ha Introduzione potuto intercettare Sicurezza dei sistemi Dopo avere effettuato le misure Alice, Bob ed Eve crittografici possiedono 3 stringhe di bit A, B ed E, descritte da una Meccanica quantistica distribuzione di probabilitá P(A, B, E ) Dispositivi Alice e Bob possono ancora concordare una chiave ottici crittografica mediante amplificazione di privacy se la mutua Quantum key informazione fra loro supera l’informazione che Eve ha su A distribution protocols e B. Altrimenti, Alice e Bob rinunciano ad utilizzare i bit scambiati come chiave segreta e ritentano successivamente
- 74. Protocollo BB’84 1992 - Information reconciliation e Privacy amplification Quantum Key Distribution Un QBER al di sopra di una soglia di sicurezza rivela la protocols presenza di Eve sul canale quantistico Franco Chiavetta Il suo valore indica anche quanta informazione Eve ha Introduzione potuto intercettare Sicurezza dei sistemi Dopo avere effettuato le misure Alice, Bob ed Eve crittografici possiedono 3 stringhe di bit A, B ed E, descritte da una Meccanica quantistica distribuzione di probabilitá P(A, B, E ) Dispositivi Alice e Bob possono ancora concordare una chiave ottici crittografica mediante amplificazione di privacy se la mutua Quantum key informazione fra loro supera l’informazione che Eve ha su A distribution protocols e B. Altrimenti, Alice e Bob rinunciano ad utilizzare i bit scambiati come chiave segreta e ritentano successivamente
- 75. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Information reconciliation: si tratta di protocolli di Introduzione correzione degli errori mediante scambio di dati sul canale Sicurezza dei sistemi pubblico. crittografici Meccanica Tipicamente si scambiano bit di paritá su blocchi di bit quantistica delle chiavi. Dispositivi ottici Questa fase fornisce potenzialmente ulteriori conoscenze Quantum sulla chiave ad Eve. key distribution protocols
- 76. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Information reconciliation: si tratta di protocolli di Introduzione correzione degli errori mediante scambio di dati sul canale Sicurezza dei sistemi pubblico. crittografici Meccanica Tipicamente si scambiano bit di paritá su blocchi di bit quantistica delle chiavi. Dispositivi ottici Questa fase fornisce potenzialmente ulteriori conoscenze Quantum sulla chiave ad Eve. key distribution protocols
- 77. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Information reconciliation: si tratta di protocolli di Introduzione correzione degli errori mediante scambio di dati sul canale Sicurezza dei sistemi pubblico. crittografici Meccanica Tipicamente si scambiano bit di paritá su blocchi di bit quantistica delle chiavi. Dispositivi ottici Questa fase fornisce potenzialmente ulteriori conoscenze Quantum sulla chiave ad Eve. key distribution protocols
- 78. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Privacy amplification utilizza la chiave di Alice e Bob per produrre una nuova chiave piú corta, in modo tale che ad Franco Chiavetta Eva resti solo una informazione trascurabile sulla nuova Introduzione chiave. Sicurezza dei Questa informazione parziale potrebbe essere stata sistemi crittografici acquisita sia origliando sul canale quantistico che sul canale Meccanica pubblico durante la riconciliazione informazioni (in cui si quantistica suppone Eve acquisisce tutte le possibili informazioni di Dispositivi ottici paritá). Quantum key Si usa una funzione di hash universale, scelta a caso da un distribution protocols opportuno set La lunghezza (ridotta) della nuova chiave si basa sulla stima della conoscenza di Eve sulla vecchia chiave (QBER).
- 79. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Privacy amplification utilizza la chiave di Alice e Bob per produrre una nuova chiave piú corta, in modo tale che ad Franco Chiavetta Eva resti solo una informazione trascurabile sulla nuova Introduzione chiave. Sicurezza dei Questa informazione parziale potrebbe essere stata sistemi crittografici acquisita sia origliando sul canale quantistico che sul canale Meccanica pubblico durante la riconciliazione informazioni (in cui si quantistica suppone Eve acquisisce tutte le possibili informazioni di Dispositivi ottici paritá). Quantum key Si usa una funzione di hash universale, scelta a caso da un distribution protocols opportuno set La lunghezza (ridotta) della nuova chiave si basa sulla stima della conoscenza di Eve sulla vecchia chiave (QBER).
- 80. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Privacy amplification utilizza la chiave di Alice e Bob per produrre una nuova chiave piú corta, in modo tale che ad Franco Chiavetta Eva resti solo una informazione trascurabile sulla nuova Introduzione chiave. Sicurezza dei Questa informazione parziale potrebbe essere stata sistemi crittografici acquisita sia origliando sul canale quantistico che sul canale Meccanica pubblico durante la riconciliazione informazioni (in cui si quantistica suppone Eve acquisisce tutte le possibili informazioni di Dispositivi ottici paritá). Quantum key Si usa una funzione di hash universale, scelta a caso da un distribution protocols opportuno set La lunghezza (ridotta) della nuova chiave si basa sulla stima della conoscenza di Eve sulla vecchia chiave (QBER).
- 81. Protocollo BB’84 Secret Key distillation Quantum Key Distribution protocols Privacy amplification utilizza la chiave di Alice e Bob per produrre una nuova chiave piú corta, in modo tale che ad Franco Chiavetta Eva resti solo una informazione trascurabile sulla nuova Introduzione chiave. Sicurezza dei Questa informazione parziale potrebbe essere stata sistemi crittografici acquisita sia origliando sul canale quantistico che sul canale Meccanica pubblico durante la riconciliazione informazioni (in cui si quantistica suppone Eve acquisisce tutte le possibili informazioni di Dispositivi ottici paritá). Quantum key Si usa una funzione di hash universale, scelta a caso da un distribution protocols opportuno set La lunghezza (ridotta) della nuova chiave si basa sulla stima della conoscenza di Eve sulla vecchia chiave (QBER).
- 82. Protocollo Bennett’92 Quantum Key Distribution protocols Dimostra che i 4 stati di BB’84 non sono necessari Franco Utilizza una codifica a 2 stati non ortogonali: Chiavetta - 0 =|↑ Introduzione - 1 = cos θ |↑ + sin θ |→ Sicurezza dei Polarizzazione non determinabile con una singola misura sistemi crittografici proiettiva Meccanica quantistica Utilizza una Positive Operator Value Measurement Dispositivi (POVM): con tale tecnica il numero di possibili misure ottici viene incrementato facendo una misura proiettiva congiunta Quantum key sul sistema originale + un sistema ausiliario (ancilla) distribution protocols Possibili esiti della POVM: 0, 1, ? =⇒ Bob conosce con certezza il bit inviato da Alice o lo sconosce completamente.
- 83. Protocollo Bennett’92 Steps Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Passi del protocollo Bennet’92 Introduzione 1 Alice invia sul canale quantistico una sequenza random di Sicurezza dei fotoni polarizzati su due stati non ortogonali sistemi 2 Bob misura i fotoni con una POVM con risultati 0, 1, ? crittografici 3 Bob annuncia sul canale pubblico quali bit non ha Meccanica quantistica identificato (valori ?) Dispositivi 4 Alice elimina dalla sua seqenza i bit non identificati da ottici Bob: condivide con Bob una sifted key. Quantum key I rimanenti passi derivano dal BB’84 distribution protocols
- 84. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi Protocollo QKD proposto da Artur Ekert nel 1991, basato ottici sul paradosso EPR Quantum key Una sorgente emette coppie di fotoni entangled: i fotoni di distribution protocols ogni coppia sono inviati separatamente ad Alice e Bob Entrambi, attraverso filtri polarizzatori (PC) e PBS, effettuano misure della polarizzazione in basi casuali e indipendenti tra loro.
- 85. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution Se Alice e Bob misurano ognuno il proprio fotone di una protocols certa coppia ottengono misure perfettamente Franco Chiavetta (anti)correlate con probabilitá 100% Introduzione Se Alice usa la base + e ottiene come risultato ↑ Sicurezza dei (rispettivamente →), il fotone di Bob collassa sistemi crittografici immediatamente sullo stato → (rispettivamente ↑) Meccanica quantistica Una volta concordata la base, qualsiasi essa sia, l’esito Dispositivi della misura di Alice determina quello di Bob ottici Se si considera una base ortonormale qualsiasi (N, N⊥ ) Quantum 1 key allora | ψ = √2 (| N A | N⊥ B + | N⊥ A | N B ) distribution protocols e gli esiti delle misure di Alice e Bob saranno sempre correlati. Gli esiti delle misure non sono peró predicibili
- 86. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution Se Alice e Bob misurano ognuno il proprio fotone di una protocols certa coppia ottengono misure perfettamente Franco Chiavetta (anti)correlate con probabilitá 100% Introduzione Se Alice usa la base + e ottiene come risultato ↑ Sicurezza dei (rispettivamente →), il fotone di Bob collassa sistemi crittografici immediatamente sullo stato → (rispettivamente ↑) Meccanica quantistica Una volta concordata la base, qualsiasi essa sia, l’esito Dispositivi della misura di Alice determina quello di Bob ottici Se si considera una base ortonormale qualsiasi (N, N⊥ ) Quantum 1 key allora | ψ = √2 (| N A | N⊥ B + | N⊥ A | N B ) distribution protocols e gli esiti delle misure di Alice e Bob saranno sempre correlati. Gli esiti delle misure non sono peró predicibili
- 87. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution Se Alice e Bob misurano ognuno il proprio fotone di una protocols certa coppia ottengono misure perfettamente Franco Chiavetta (anti)correlate con probabilitá 100% Introduzione Se Alice usa la base + e ottiene come risultato ↑ Sicurezza dei (rispettivamente →), il fotone di Bob collassa sistemi crittografici immediatamente sullo stato → (rispettivamente ↑) Meccanica quantistica Una volta concordata la base, qualsiasi essa sia, l’esito Dispositivi della misura di Alice determina quello di Bob ottici Se si considera una base ortonormale qualsiasi (N, N⊥ ) Quantum 1 key allora | ψ = √2 (| N A | N⊥ B + | N⊥ A | N B ) distribution protocols e gli esiti delle misure di Alice e Bob saranno sempre correlati. Gli esiti delle misure non sono peró predicibili
- 88. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution Se Alice e Bob misurano ognuno il proprio fotone di una protocols certa coppia ottengono misure perfettamente Franco Chiavetta (anti)correlate con probabilitá 100% Introduzione Se Alice usa la base + e ottiene come risultato ↑ Sicurezza dei (rispettivamente →), il fotone di Bob collassa sistemi crittografici immediatamente sullo stato → (rispettivamente ↑) Meccanica quantistica Una volta concordata la base, qualsiasi essa sia, l’esito Dispositivi della misura di Alice determina quello di Bob ottici Se si considera una base ortonormale qualsiasi (N, N⊥ ) Quantum 1 key allora | ψ = √2 (| N A | N⊥ B + | N⊥ A | N B ) distribution protocols e gli esiti delle misure di Alice e Bob saranno sempre correlati. Gli esiti delle misure non sono peró predicibili
- 89. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution Se Alice e Bob misurano ognuno il proprio fotone di una protocols certa coppia ottengono misure perfettamente Franco Chiavetta (anti)correlate con probabilitá 100% Introduzione Se Alice usa la base + e ottiene come risultato ↑ Sicurezza dei (rispettivamente →), il fotone di Bob collassa sistemi crittografici immediatamente sullo stato → (rispettivamente ↑) Meccanica quantistica Una volta concordata la base, qualsiasi essa sia, l’esito Dispositivi della misura di Alice determina quello di Bob ottici Se si considera una base ortonormale qualsiasi (N, N⊥ ) Quantum 1 key allora | ψ = √2 (| N A | N⊥ B + | N⊥ A | N B ) distribution protocols e gli esiti delle misure di Alice e Bob saranno sempre correlati. Gli esiti delle misure non sono peró predicibili
- 90. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Variante derivata da BB84 Franco Dopo la trasmissione, la sorgente annuncia pubblicamente Chiavetta le basi usate (rettilinea o diagonale) Introduzione Alice e Bob scartano i bit in cui le misurazioni sono state Sicurezza dei sistemi fatte con una base incompatibile crittografici In seguito eseguono gli stessi passaggi di controllo e Meccanica quantistica correzione errori di BB84. Dispositivi ottici Se la sorgente é affidabile, (non sia in mano ad Eve), tale Quantum protocollo é altrettanto sicuro del BB’84 key distribution Infatti se le basi scelte sono corrette, il valore misurato da protocols entrambi sará identico mentre se le basi sono scorrelate tra loro, i risultati delle misurazioni saranno casuali e scorrelati.
- 91. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Variante derivata da BB84 Franco Dopo la trasmissione, la sorgente annuncia pubblicamente Chiavetta le basi usate (rettilinea o diagonale) Introduzione Alice e Bob scartano i bit in cui le misurazioni sono state Sicurezza dei sistemi fatte con una base incompatibile crittografici In seguito eseguono gli stessi passaggi di controllo e Meccanica quantistica correzione errori di BB84. Dispositivi ottici Se la sorgente é affidabile, (non sia in mano ad Eve), tale Quantum protocollo é altrettanto sicuro del BB’84 key distribution Infatti se le basi scelte sono corrette, il valore misurato da protocols entrambi sará identico mentre se le basi sono scorrelate tra loro, i risultati delle misurazioni saranno casuali e scorrelati.
- 92. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Variante derivata da BB84 Franco Dopo la trasmissione, la sorgente annuncia pubblicamente Chiavetta le basi usate (rettilinea o diagonale) Introduzione Alice e Bob scartano i bit in cui le misurazioni sono state Sicurezza dei sistemi fatte con una base incompatibile crittografici In seguito eseguono gli stessi passaggi di controllo e Meccanica quantistica correzione errori di BB84. Dispositivi ottici Se la sorgente é affidabile, (non sia in mano ad Eve), tale Quantum protocollo é altrettanto sicuro del BB’84 key distribution Infatti se le basi scelte sono corrette, il valore misurato da protocols entrambi sará identico mentre se le basi sono scorrelate tra loro, i risultati delle misurazioni saranno casuali e scorrelati.
- 93. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Variante derivata da BB84 Franco Dopo la trasmissione, la sorgente annuncia pubblicamente Chiavetta le basi usate (rettilinea o diagonale) Introduzione Alice e Bob scartano i bit in cui le misurazioni sono state Sicurezza dei sistemi fatte con una base incompatibile crittografici In seguito eseguono gli stessi passaggi di controllo e Meccanica quantistica correzione errori di BB84. Dispositivi ottici Se la sorgente é affidabile, (non sia in mano ad Eve), tale Quantum protocollo é altrettanto sicuro del BB’84 key distribution Infatti se le basi scelte sono corrette, il valore misurato da protocols entrambi sará identico mentre se le basi sono scorrelate tra loro, i risultati delle misurazioni saranno casuali e scorrelati.
- 94. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Variante derivata da BB84 Franco Dopo la trasmissione, la sorgente annuncia pubblicamente Chiavetta le basi usate (rettilinea o diagonale) Introduzione Alice e Bob scartano i bit in cui le misurazioni sono state Sicurezza dei sistemi fatte con una base incompatibile crittografici In seguito eseguono gli stessi passaggi di controllo e Meccanica quantistica correzione errori di BB84. Dispositivi ottici Se la sorgente é affidabile, (non sia in mano ad Eve), tale Quantum protocollo é altrettanto sicuro del BB’84 key distribution Infatti se le basi scelte sono corrette, il valore misurato da protocols entrambi sará identico mentre se le basi sono scorrelate tra loro, i risultati delle misurazioni saranno casuali e scorrelati.
- 95. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Si basa sulla disuguaglianza di Bell Introduzione I fotoni entangled vengono polarizzati in modo casuale in Sicurezza dei sistemi tre basi non ortogonali differenti (rettilinea, diagonale e crittografici circolare). Meccanica quantistica In questo caso i risultati delle misurazioni fatte lungo le Dispositivi basi non coincidenti non vengono scartati a priori ma ottici Quantum servono per fare un test basato sulla disuguaglianza di Bell, key distribution ad esempio per controllare che i due fotoni ricevuti siano protocols realmente entangled
- 96. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Si basa sulla disuguaglianza di Bell Introduzione I fotoni entangled vengono polarizzati in modo casuale in Sicurezza dei sistemi tre basi non ortogonali differenti (rettilinea, diagonale e crittografici circolare). Meccanica quantistica In questo caso i risultati delle misurazioni fatte lungo le Dispositivi basi non coincidenti non vengono scartati a priori ma ottici Quantum servono per fare un test basato sulla disuguaglianza di Bell, key distribution ad esempio per controllare che i due fotoni ricevuti siano protocols realmente entangled
- 97. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Si basa sulla disuguaglianza di Bell Introduzione I fotoni entangled vengono polarizzati in modo casuale in Sicurezza dei sistemi tre basi non ortogonali differenti (rettilinea, diagonale e crittografici circolare). Meccanica quantistica In questo caso i risultati delle misurazioni fatte lungo le Dispositivi basi non coincidenti non vengono scartati a priori ma ottici Quantum servono per fare un test basato sulla disuguaglianza di Bell, key distribution ad esempio per controllare che i due fotoni ricevuti siano protocols realmente entangled
- 98. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Se Eva misura fotoni in transito, distrugge l’entanglement Introduzione delle coppie Sicurezza dei sistemi crittografici Eve non ottiene informazioni: l’informazione stessa diviene Meccanica in essere solo dopo che i fotoni sono stati misurati dai quantistica legittimi destinatari Dispositivi ottici La coppia non piú entangled mantiene una correlazione di Quantum tipo classico distinguibile da quella quantistica mediante key distribution test di Bell protocols
- 99. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Se Eva misura fotoni in transito, distrugge l’entanglement Introduzione delle coppie Sicurezza dei sistemi crittografici Eve non ottiene informazioni: l’informazione stessa diviene Meccanica in essere solo dopo che i fotoni sono stati misurati dai quantistica legittimi destinatari Dispositivi ottici La coppia non piú entangled mantiene una correlazione di Quantum tipo classico distinguibile da quella quantistica mediante key distribution test di Bell protocols
- 100. E91 protocol Artur Ekert - 1991 Quantum Key Distribution protocols Franco Seconda variante Chiavetta Se Eva misura fotoni in transito, distrugge l’entanglement Introduzione delle coppie Sicurezza dei sistemi crittografici Eve non ottiene informazioni: l’informazione stessa diviene Meccanica in essere solo dopo che i fotoni sono stati misurati dai quantistica legittimi destinatari Dispositivi ottici La coppia non piú entangled mantiene una correlazione di Quantum tipo classico distinguibile da quella quantistica mediante key distribution test di Bell protocols
- 101. Conclusione Quantum Key Distribution protocols Fine ? Franco Chiavetta Introduzione Sicurezza dei sistemi crittografici Meccanica quantistica Dispositivi ottici Quantum key distribution protocols