CM - elaborato GAI

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
Corso di laurea magistrale in Ingegneria Civile

COSTRUZIONI METALLICHE
Appunti del corso
Docente: Studente:
Prof. Ing. Franco Bontempi Giordana Gai
Assistenti:
Ing. Francesco Petrini
Ing. Paolo Emidio Sebastiani
Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE – APPUNTI DEL CORSO
1 STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO ..............................................................................................1
1.1 Fenomeni di instabilità ..............................................................................................................................1
1.1.1 Introduzione ........................................................................................................................1
1.1.2 Determinazione del carico critico .........................................................................................1
1.1.3 Teoria del 2° ordine .............................................................................................................2
1.1.4 Teoria del 1° ordine .............................................................................................................2
1.2 Sistemi discreti ................................................................................................................................2
1.2.1 Comportamento stabile simmetrico ....................................................................................2
1.2.1.1 Trattazione completa ..............................................................................................2
1.2.1.2 Teoria del 2° ordine .................................................................................................3
1.2.1.3 Criterio energetico ..................................................................................................3
1.2.1.4 Riepilogo .................................................................................................................4
1.2.2 Comportamento instabile simmetrico .................................................................................5
1.2.3 Comportamento asimmetrico .............................................................................................6
1.3 Instabilità a scatto (Snap Through) ..................................................................................................7
1.4 Sistemi a due gradi di libertà ...........................................................................................................8
1.5 Sistemi continui ............................................................................................................................10
1.5.1 Colonna di Eulero ..............................................................................................................10
1.5.1.1 Trattazione completa ............................................................................................10
1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione ..............................................................................11
1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità ..................................................................................12
1.5.1.4 Imperfezioni iniziali ...............................................................................................13
1.5.2 Telaio ................................................................................................................................15
1.5.2.1 Telaio shear-type ..................................................................................................15
1.5.2.2 Telaio flessibile .....................................................................................................16
2 TEORIA DELLA PLASTICITA’ ..................................................................................................................17
2.1 Introduzione .................................................................................................................................17
2.1.1 Plasticità ............................................................................................................................17
2.1.2 Tipi di non linearità ............................................................................................................18
2.2 Plasticità di materiale ...................................................................................................................19
2.2.1 Richiami ............................................................................................................................19
2.2.1.1 Stati monoassiali ...................................................................................................19
2.2.1.2 Stati non monoassiali : criteri di rottura ................................................................19
2.2.1.3 Incrudimento ........................................................................................................20
2.2.2 Legame costitutivo acciaio .................................................................................................22
2.2.3 Legami semplificati ............................................................................................................23
2.2.4 Duttilità di materiale .........................................................................................................25
2.3 Plasticità di sezione/elemento ......................................................................................................26
2.3.1 Teoria della trave ..............................................................................................................26
2.3.1.1 Sezione inflessa .....................................................................................................26
2.3.1.2 Momento ultimo della sezione ..............................................................................27
2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa ...................................................................................28
2.3.2.1 Campo elastico .....................................................................................................28
2.3.2.2 Campo elasto-plastico ...........................................................................................29
2.3.2.3 Sezione rettangolare .............................................................................................30

2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica .................................................................................31
2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ ........................................................................................33
2.3.3 Elementi presso-inflessi .....................................................................................................34
2.3.3.1 Sezione presso-inflessa .........................................................................................34
2.3.3.2 Curva limite plastico ..............................................................................................35
2.3.3.3 Curva limite elastico ..............................................................................................36
2.3.3.4 Considerazioni ......................................................................................................38
2.4 Plasticità di sistema ......................................................................................................................39
2.4.1 Introduzione ......................................................................................................................39
2.4.1.1 Duttilità .................................................................................................................39
2.4.1.2 Collasso totale .......................................................................................................39
2.4.1.3 Collasso locale .......................................................................................................40
2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico ...............................................41
2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata ....................................................................41
2.4.2.2 Distribuzione dei carichi ........................................................................................42
2.5 Capacità portante in campo elasto – plastico ...............................................................................43
2.5.1 Introduzione ......................................................................................................................43
2.5.1.1 Ipotesi ...................................................................................................................43
2.5.1.2 Obiettivi ................................................................................................................43
2.5.1.3 Metodi ..................................................................................................................43
2.5.2 Analisi incrementale ..........................................................................................................44
2.5.2.1 Esempio ................................................................................................................44
2.5.2.2 Curva di pushover .................................................................................................45
2.5.3 Soluzioni analitiche ............................................................................................................46
2.5.3.1 Esempio ................................................................................................................46
2.5.3.2 Campo elastico .....................................................................................................46
2.5.3.3 Campo elasto-plastico ...........................................................................................47
2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente ..................................................................................48
2.5.4 Analisi limite ......................................................................................................................49
2.5.4.1 Concetti base ........................................................................................................49
2.5.4.2 Teorema statico ....................................................................................................50
2.5.4.3 Teorema cinematico .............................................................................................53
2.5.4.4 Strutture intelaiate ...............................................................................................55
3 CONNESSIONI IN ACCIAIO ..........................................................................................................58
3.1 Definizioni .....................................................................................................................................58
3.1.1 Unioni in acciaio ................................................................................................................58
3.1.1.1 Zone nodali in un telaio .........................................................................................58
3.1.1.2 Unioni correnti ......................................................................................................58
3.1.1.3 Unioni di forza ......................................................................................................58
3.1.2 Sistemi di collegamento ....................................................................................................58
3.1.2.1 Sistemi chiodati .....................................................................................................58
3.1.2.2 Sistemi bullonati ...................................................................................................59
3.1.2.3 Sistemi saldati .......................................................................................................59
3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici ............................................................................................59
3.1.3.1 Introduzione .........................................................................................................59
3.1.3.2 Collegamento e nodo strutturale ..........................................................................59
3.2 Classificazione dei nodi .................................................................................................................60
3.2.1 Introduzione ......................................................................................................................60
3.2.2 Classificazione per rigidezza ..............................................................................................60
3.2.2.1 Nodo rigido ...........................................................................................................60
3.2.2.2 Nodo semi-rigido ..................................................................................................60

3.2.2.3 Nodo incernierato .................................................................................................60
3.2.2.4 Formule ................................................................................................................61
3.2.3 Classificazione per resistenza ............................................................................................61
3.2.3.1 Nodo a completo ripristino ...................................................................................61
3.2.3.2 Nodo a parziali ripristino .......................................................................................61
3.2.3.3 Nodo incernierato .................................................................................................61
3.2.4 Classificazione per duttilità ................................................................................................62
3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi ...............................................................................62
3.3 Modellazione del nodo .................................................................................................................63
3.3.1 Tipi di modellazione ..........................................................................................................63
3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato ..................................................63
3.3.2.1 Introduzione .........................................................................................................63
3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti .....................................................64
3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio ............................................................64
3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa .....................................................................64
3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa ...............................................................................65
3.3.2.3 Determinazione del momento resistente ..............................................................66
3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale .........................................................................66
3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale .........................................................................66
3.3.2.6 Conclusioni ...........................................................................................................67
3.3.3 Considerazioni ...................................................................................................................67
3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo .......................................................................................67
3.4.1 Non linearità di materiale ..................................................................................................67
3.4.2 Non linearità di vincolo ......................................................................................................69
3.4.3 Esempio ............................................................................................................................72
3.5 Case History ..................................................................................................................................73
3.5.1 Importanza delle connessioni sul comportamento globale ................................................73
3.5.1.1 Giunti capannoni industriali ..................................................................................73
3.5.1.2 Ponte Minnesota ..................................................................................................73
3.5.1.3 Azione del fuoco ...................................................................................................74
4 COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA................................................................................75
4.1 Basi della progettazione antisismica .............................................................................................75
4.1.1 Azioni sulla struttura .........................................................................................................75
4.1.2 Filosofie di progetto ..........................................................................................................76
4.2 Costruzioni in acciaio ....................................................................................................................76
4.2.1 Materiale ..........................................................................................................................76
4.2.1.1 Prescrizioni per le zone dissipative .........................................................................76
4.2.2 Tipologie strutturali ...........................................................................................................76
4.2.2.1 Strutture intelaiate ................................................................................................76
4.2.2.2 Strutture con controventi concentrici ....................................................................77
4.2.2.3 Strutture con controventi eccentrici ......................................................................78
4.2.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso ................................................................78
4.2.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici .....................................................78
4.2.2.6 Strutture intelaiate con tamponature ....................................................................78
4.2.3 Il fattore di struttura: duttilità globale ...............................................................................78
4.2.3.1 Il fattore q0 .............................................................................................................78
4.2.3.2 Il rapporto αu/ α1 ....................................................................................................79
4.2.4 Zone dissipative e duttilità locale .......................................................................................80
4.2.4.1 Confronto tra le Norme .........................................................................................80
4.2.4.2 Ordinanza 3274 ......................................................................................................80
4.2.4.3 NTC 08....................................................................................................................81

4.3 Strategie di progettazione antisismica ..........................................................................................83
4.3.1 Capacity design .................................................................................................................83
4.3.1.1 Principi base ..........................................................................................................83
4.3.2 Panoramica dei sistemi di dissipazione ..............................................................................83
4.3.3 Sistemi dissipativi ordinari .................................................................................................84
4.3.3.1 Strutture intelaiate ................................................................................................84
4.3.3.2 Strutture con controventi concentrici ....................................................................86
4.3.3.3 Strutture con controventi eccentrici ......................................................................88
4.3.3.4 Collegamenti .........................................................................................................90
5 CRITERI DI PROGETTAZIONE ..........................................................................................................91
5.1 Analisi strutturale .........................................................................................................................91
5.1.1 Requisiti strutturali elementari ..........................................................................................91
5.1.1.1 SLE .........................................................................................................................91
5.1.1.2 SLU ........................................................................................................................91
5.1.1 Requisiti strutturali sistemici .............................................................................................92
5.1.2.1 Durabilità ..............................................................................................................92
5.1.2.1.1 Misure per contrastare gli effetti della durabilità ....................................94
5.1.2.2 Robustezza ............................................................................................................95
5.1.2.3 Trattazione statistica e SLIS ...................................................................................97
5.1.2.4 Resilienza ...............................................................................................................97
5.2 Progettazione ................................................................................................................................98
5.2.1 Orizzonte temporale di vita della struttura ........................................................................98
5.2.1.1 Degradazione della qualità .....................................................................................98
5.2.1.2 Stati della struttura ................................................................................................99
5.2.2 Valutazione della duttilità ..................................................................................................99
5.2.2.1 Curva di pushover ..................................................................................................99
5.2.2.2 Esempio ...............................................................................................................100
5.2.3 Valutazione della robustezza ...........................................................................................101
5.2.3.1 Curva di pushdown ..............................................................................................101
5.2.3.2 Esempio ...............................................................................................................101
5.2.4 Non linearità geometriche ...............................................................................................102
5.2.4.1 Effetto P-∆ negativo .............................................................................................102
5.2.4.2 Effetto P-∆ positivo ..............................................................................................103
5.2.4.3 Percorsi di carico ..................................................................................................105
5.2.5 Strategie di progettazione ...............................................................................................106
5.2.5.1 Specializzazione e integrazione ............................................................................106
5.2.5.2 Evoluzione e innovazione .....................................................................................107
5.2.5.3 Innovazione di Khan: outrigger .............................................................................108
5.3 Concezione e progetto di edifici alti ............................................................................................110
5.3.1 Comportamenti globali ....................................................................................................110
5.3.1.1 Punzonamento ....................................................................................................110
5.3.1.2 Ribaltamento .......................................................................................................111
5.3.1.3 Scorrimento .........................................................................................................111
5.3.1.4 Effetto P-∆............................................................................................................112
5.3.1.5 Equalizzazione deformazioni per carichi verticali ..................................................114
5.3.2 Comportamenti locali ......................................................................................................115
5.3.2.1 Comportamento a diaframma ..............................................................................115
5.3.2.2 Deformabilità fuori piano .....................................................................................116
5.3.2.3 Criticità schema tube ...........................................................................................116
5.3.2.3.1 Conclusioni ...........................................................................................117
5.3.2.4 Esempi telai .........................................................................................................119

5.3.3 Comportamenti elementari .............................................................................................120
5.3.3.1 Trazione ...............................................................................................................120
5.3.3.2 Compressione ......................................................................................................121
5.3.3.3 Flessione ..............................................................................................................121
5.4 Ottimizzazione strutturale ..........................................................................................................122
5.4.1 Introduzione ....................................................................................................................122
5.4.1.1 Turbina eolica offshore ........................................................................................122
5.4.1.2 Considerazioni sul costo di un edificio ..................................................................123
5.4.2 Ottimizzazione locale ......................................................................................................124
5.4.2.1 Sizing ...................................................................................................................124
5.4.3 Ottimizzazione globale ....................................................................................................124
5.4.3.1 Morphing .............................................................................................................124
5.4.3.2 Topologica ...........................................................................................................125
5.4.4 Esempio: trave semplicemente appoggiata .....................................................................125
5.4.4.1 Predimensionamento ..........................................................................................125
5.4.4.2 Sizing ...................................................................................................................125
5.4.4.3 Morphing .............................................................................................................126
5.4.4.4 Topologia .............................................................................................................126
5.4.4.5 Osservazioni ........................................................................................................127
5.4.5 Soluzioni per edifici alti ...................................................................................................127
5.4.5.1 Outrigger .............................................................................................................127
5.4.5.2 Altre tipologie resistenti .......................................................................................129
5.4.6 Sottostrutturazione .........................................................................................................130
5.4.6.1 Sottostrutturazione verticale ...............................................................................130
5.4.6.2 Sottostrutturazione orizzontale ...........................................................................131
5.4.6.3 Elemento strutturale: trave forata .......................................................................132

1
1-STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO
1.1 Fenomeni di instabilità
1.1.1 Introduzione
Consideriamo un sistema strutturale ideale in una configurazione d’equilibrio. Applicando una piccola
perturbazione al sistema possiamo avere due situazioni differenti:
- il sistema oscilla ma ritorna nella configurazione iniziale indeformata;
- il sistema oscilla ma si allontana dalla configurazione originaria, assumendo un’altra configurazione.
Nel primo caso parliamo di equilibrio stabile, nel secondo caso invece di equilibrio instabile.
Nella seconda situazione possiamo avere spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale, causati
in generale o da imperfezioni di parti della struttura (che, nella realtà, non sarà mai “ideale”), che possono
quindi portare a fenomeni di instabilità locale, oppure da meccanismi di instabilità dell’equilibrio che
coinvolgono la struttura nel suo insieme.
I problemi che trattiamo si dicono problemi di stabilità semplici o euleriani e sono caratterizzati dalle
seguenti condizioni:
- il sistema strutturale è conservativo (non c’è dissipazione di energia). Questo ci consente di scrivere
l’energia potenziale totale, da cui possiamo ricavare le equazioni di equilibrio del sistema, sfruttando il
criterio energetico.
- i carichi applicati al sistema sono posizionali (agiscono sempre nella stessa direzione). Un esempio di
carico non posizionale noto è la forza di precompressione.
- il materiale è elastico lineare
- se gli effetti delle non linearità geometriche non sono sentiti nella fase pre-critica (struttura che
inizialmente si mantiene vicina alla configurazione banale) possiamo linearizzare gli spostamenti, pur
scrivendo l’equilibrio nella configurazione deformata.
1.1.2 Determinazione del carico critico
Pensiamo a una struttura soggetta a un carico P che incrementiamo con un moltiplicatore λ.
La determinazione del carico critico, ovvero l’individuazione dell’innesco dell’ instabilità, avviene attraverso
la risoluzione di un problema agli autovalori e alle autofunzioni (nei casi continui) o agli autovettori (nei casi
discreti).
Si arriva a questo problema sfruttando il teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale.
In particolare, per i casi discreti, si arriva a un’espressione del tipo
( - ƛi ) =
dove
è la matrice di rigidezza elastica lineare della struttura, definita positiva
è una matrice di costanti che amplificata per ƛ produce un decremento di rigidezza complessiva della
struttura tale da renderla labile secondo gli N possibili autovettori
Il problema agli autovalori ammette soluzione diverse dalla banale solo se ( - ƛi ) = ,
altrimenti la soluzione è unica e coincide con la configurazione indeformata.
Chiaramente, la situazione critica è individuata dal minore tra gli autovalori
u0 u1 u2
instabile
stabile

2
ƛcr = min (ƛi)
I problemi euleriani di stabilità sono caratterizzati quindi dalla presenza di una configurazione
fondamentale banale di equilibrio (indeformata o non) legata linearmente al carico: si ha un
comportamento lineare in fase pre-critica.
Il carico però deteriora la rigidezza. Questo fa sì che raggiunto un determinato valore del carico (detto
carico critico euleriano) la rigidezza nei confronti di un modo deformativo, ortogonale alla configurazione
banale, si annulla: il modo si sovrappone alla soluzione banale, dando luogo a una biforcazione del percorso
di equilibrio.
1.1.3 Teoria del 2° ordine
La teoria del 2° ordine mantiene nell’espressione dell’energia solo i termini fino al 2° ordine.
Questo equivale a scrivere l’equilibrio nella configurazione deformata, pur considerando l’ipotesi di piccoli
spostamenti in fase pre-critica.
1.1.4 Teoria del 1° ordine
Questa trattazione non consente di individuare i punti di biforcazione dell’equilibrio. Infatti considera
l’equilibrio nella configurazione indeformata e la cinematica di piccoli spostamenti che, uniti alle ipotesi di
legame elastico lineare e invarianza delle condizioni al contorno, rappresentano le ipotesi di validità del
Teorema di Kirchhoff sull’esistenza e unicità della soluzione del problema elastico.
In questo modo troviamo quindi solo la soluzione banale.
1.2 Sistemi discreti
1.2.1 Comportamento stabile simmetrico
Figura 1.1
1.2.1.1 Trattazione completa
- Equilibrio ----- > configurazione deformata
- Cinematica ----- > grandi spostamenti
- θ : unico grado di libertà del sistema
- molla: relazione lineare
- asta inestensibile (L non cambia)
- no imperfezioni iniziali
- asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta
concentrata nella molla rotazionale)

3
Cinematica
Ci riferiamo al punto B (per conoscere gli spostamenti degli altri punti basta sostituire la coordinata y a L).
=
= (1 − )
Equilibrio
– = 0
( ) =

Il carico cresce in funzione di θ, dopo un certo livello di soglia.
1.2.1.2 Teoria del 2° ordine
- Cinematica ----- > piccoli spostamenti
Cinematica
Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, operiamo una linearizzazione.
=
= 1
Quindi avremo
=
= 0
Equilibrio
– = 0
=

∀
Figura 1.2
Il sistema ha un comportamento di tipo INCRUDENTE. Il comportamento è stabile in quanto il carico critico
aumenta in funzione di θ.
1.2.1.3 Criterio energetico
Ricaviamo ora le equazioni a partire dall’energia potenziale totale.
Dobbiamo derivare l’espressione di ℇ rispetto all’unica coordinata lagrangiana θ.
ℇ = ½ 2
ℇ = − ( 1 − )
− − −− > ℇ = ½ − ( 1 − )

4
ℇ

= – =
Siamo tornati alla stessa espressione ottenuta precedentemente.
Nello spirito della teoria del 2° ordine, utilizziamo adesso lo sviluppo in serie di Taylor troncato al 2° ordine
per approssimare il cos θ.
( )(a)
n!
∞
n=0
( − )
cosθ = 1 −
1
2
θ
ℇ
θ
=
1
2
θ − PL 1 − 1 −
1
2
θ
=

∀
Se le imperfezioni sono piccole, ci basta utilizzare la teoria del 2° ordine. All’aumentare dell’imperfezione
però ci si allontana dalla situazione ideale (a sfavore di sicurezza, perché si ha un Pcr inferiore) e quindi è
bene ricorrere alla trattazione completa, che tiene conto dell’imperfezione iniziale θ0
Figura 1.3
Il comportamento post-critico è di tipo incrudente.
1.2.1.4 Riepilogo
CASO HP. CINEMATICA HP. EQUILIBRIO TEORIA
1
sin θ
cos θ
Deformata Trattazione completa
2
sin θ ~ θ
tan θ ~ θ
Deformata Teoria del 2° ordine
3
sin θ ~ θ
tan θ ~ θ
Indeformata Teoria del 1° ordine
CASO CINEMATICA (termini considerati) TEORIA : EQUAZIONI
1 ∞
ℇ
= K θ – PL sinθ = 0
2 2
cos θ = 1 - ½ θ2
ℇ
= K θ – PL θ = 0
3 1
cos θ = 1
ℇ
= K θ = 0
Tabella 1.1

5
1.2.2 Comportamento instabile simmetrico
Figura 1.4
- Cinematica ----- > grandi spostamenti
Cinematica
Ci riferiamo al punto B .
=
= (1 − )
Equilibrio
– + ( ) = 0
– − = 0
(– – ) = 0
= 0 − −− > = 0 − −− > =
– – = 0
( ) = ∀ ≠
- θ : unico grado di libertà del sistema
- molla: relazione lineare
- asta inestensibile (L non cambia)
- no imperfezioni iniziali
- asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta
concentrata nella molla traslazionale)
Figura 1.5
Qui il comportamento post-critico è
instabile, c’è infatti una brusca caduta del
carico P.
All’aumentare dell’imperfezione iniziale,
vediamo che ci allontaniamo sempre più
dal caso ideale, leggendo un ramo di
caduta con pendenza sempre maggiore.

6
1.2.3 Comportamento asimmetrico
Figura 1.6
Procedendo allo stesso modo arriviamo all’equazione di P in funzione di θ.
( ) =

(1 −
1
√1 +
)
Figura 1.7
In questo caso è evidente che il segno dell’imperfezione iniziale determina l’instabilità o meno.
Il ramo di sinistra è STABILE, in quanto P aumenta con θ, mentre il ramo di destra è INSTABILE, in quanto P
decresce con θ.
Il comportamento asimmetrico è ancora più evidente con l’aumentare dell’imperfezione iniziale.

7
1.3 Instabilità a scatto (Snap Through)
Figura 1.8
La struttura è un arco a 3 cerniere. Le aste sono caratterizzate da E, A , J. Facendo l’ipotesi di aste rigide,
l’unica coordinata lagrangiana del sistema è l’angolo θ = α - φ .
Definiamo i seguenti parametri:
- v abbassamento in mezzeria del sistema
- α angolo totale iniziale che forma l’asta con l’orizzontale
- φ angolo che la configurazione indeformata forma con la deformata
- L lunghezza dell’asta nella configurazione deformata
- L0 lunghezza iniziale dell’asta (noto)
- H0 altezza iniziale dell’arco (noto)
= =
= / = /
∆ = – = (1 − / )
∆ / = 1 − /
= ∆ / = (1 − / )
Equilibrio in direzione verticale (nella configurazione deformata)
– 2 = 0
= 2 ( − )
Figura 1.9

8
Il comportamento di questa struttura è da subito non lineare. Vediamo come al raggiungimento di Pcr la
struttura cambia meccanismo resistente: il sistema passa da una struttura a arco a una struttura a tiranti. È
l’instabilità a scatto, che coinvolge l’intero sistema.
Ma in una struttura a arco come questa non è detto che si instauri il meccanismo a scatto: questo dipende
dalla rigidezza flessionale delle aste. Possiamo avere infatti due situazioni:
- ASTE TOZZE : il carico critico euleriano associato all’instabilità della singola asta è molto elevato. Questo fa
sì che l’asta possa essere considerata come rigida e il meccanismo instabile che si instaura è quello a scatto.
- ASTE SNELLE : qui invece può succedere che si instabilizzi l’asta (per raggiungimento del carico critico
euleriano) prima dell’instaurarsi dell’instabilità a scatto. Se le due aste sono uguali, quella che si instabilizza
sarà quella che possiede una imperfezione iniziale.
1.4 Sistemi a due gradi di libertà
Figura 1.10
Il sistema in figura possiede due gradi di libertà, che sono le rotazioni delle due aste.
Per studiare la stabilità dell’equilibrio di questo sistema dovremo scrivere due equazioni di equilibrio,
determinando due forme di instabilità.
Quella di maggior interesse ingegneristico chiaramente è quella associata al ƛ minore.
Scriviamo le equazioni utilizzando il Metodo Energetico, già illustrato precedentemente.
Energia potenziale elastica
ℇ = ½ + ½
Energia potenziale dei carichi
ℇ = − ƛ ( 1 − ) − ƛ ( 1 − ( + ) )
Sviluppiamo la teoria del 2° ordine --- > = 1 − ½
Quindi otteniamo:
ℇ = − ƛ (½ ) − ƛ (½ ( + )2 )
Energia potenziale totale
ℇ = ½ + ½ − ƛ (½ ) − ƛ (½ ( + )2 )

9
Adesso imponiamo
ℇ
= 0 con q =
θ1
θ2
ℇ
= K θ1 - ƛ L ( 2 θ1 + θ2) = 0
ℇ
= K θ2 - ƛ L ( θ1 + θ2) = 0
In termini matriciali avremo
0
0
–
2ƛ L ƛ L
ƛ L ƛ L
θ1
θ2
=
0
0
[ + G ] = ------- > =
Dove la prima sottomatrice dipende esclusivamente dalla rigidezza della struttura, mentre la seconda
sottomatrice G dipende dal carico. All’aumentare del carico quindi si modifica la rigidezza complessiva
della struttura .
NB. Facendo un’analisi al primo ordine il termine G non compare, quindi non possiamo leggere
l’instabilità del sistema. È necessario condurre almeno un’analisi al 2° ordine.
Risolviamo ora il problema agli autovalori. Per farlo, dobbiamo imporre =

K − 2ƛ L −ƛ L
−ƛ L K − ƛ L
= 0
ƛ1,2 =
K
L

3 ± √5
2
ƛ1 =
√
≅ 0.382
ƛ2 =
K
L

3 + √5
2
≅ 2.618
K
L

Determinati gli autovalori, calcoliamo ora θ1 e θ2 .
[ − ƛ1 G ] =
2(√5 − 2) √5 − 3
√5 − 3 √5 − 1
------- > =
.
1
[ − ƛ2 G ] =
2(−√5 − 2) −√5 − 3
−√5 − 3 −√5 − 1
------- > =
− .
1
Le due forme di instabilità ottenute sono le seguenti.

10
1° forma instabilità 2° forma instabilità
Figura 1.11 Figura 1.12
NB. In generale, per qualunque struttura S avremo una matrice di rigidezza complessiva che è data da una
parte “elastica” e da una parte che dipende dal carico. Quest’ultima non compare in un’analisi del 1°
ordine. Per cui, se vogliamo considerare gli effetti P - ∆ di un edificio, dovremo necessariamente condurre
un’analisi del 2° ordine.
1.5 Sistemi continui
1.5.1 Colonna di Eulero
Figura 1.13
Consideriamo un’asta incernierata alla base e con un carrello in testa che permette il solo abbassamento
verticale.
Il problema ora è a ∞ gradi di libertà.
L’equazione di equilibrio agli spostamenti va scritta nella configurazione deformata.
x = linea d’asse della colonna
IPOTESI
- asta perfetta dal punto di vista geometrico
(perfettamente rettilinea, verticale, con sezione
costante)
- materiale elastico lineare omogeneo (non ci sono
sforzi iniziali)
- il carico P è allineato sull’asse verticale dell’asta
- l’asta può deformarsi solo nel piano della figura xy
Stiamo dunque considerando un problema ideale.

11
u(x) = deformata trasversale della colonna
N = sforzo normale nella colonna
’’( ) + ( ) =
La soluzione si scrive :
( ) = ( ) + ( )
Condizioni al contorno : (0) = 0 − −− > = 0
( ) = 0 − −− > ( ) = 0
Quest’ultima mi dà due soluzioni.
= 0 --- > Soluzione banale ( ) = 0 (non ci interessa)
( ) = 0 − −− > =
Poniamo =
’’( ) +
N
E I
( ) = 0 − − − − > ’’( ) + 2 ( ) = 0
2 = 2
Il valore di N che annulla la soluzione sarà Ncr=
n2 π2
L2
E I . Poiché l’asta ha infiniti gradi di libertà,
esisteranno infiniti valori di Ncr.
Quello di maggior interesse però è quello relativo a n=1, cioè il primo valore per cui si innesca l’instabilità.
1° forma instabilità
Figura 1.14
2° forma instabilità
Figura 1.15
NB 1. Nel caso discreto precedentemente studiato avevamo determinato Pcr = K / L. A parità di rigidezza, il
carico critico diminuisce con l’aumentare della lunghezza L della colonna.
Nel caso continuo vediamo ancora come il carico critico, fissata la rigidezza flessionale E I ,dipenda solo
dalla lunghezza L, che questa volta però compare elevata a quadrato.
Quindi Ncr decresce più velocemente con l’aumentare di L.
NB 2. Più il carico è alto (cresce con n2
), più aumenta l’energia necessaria per instabilizzare la colonna. Si
potrebbero raggiungere quindi carichi critici molto più alti impedendo lo sviluppo delle deformata di ordine
inferiore (ad es. inserendo opportune condizioni di vincolo).
1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione
Quanto detto finora vale per uno schema di colonna incernierata.
Volendo studiare altri schemi dovremmo risolvere l’equazione differenziale iniziale inserendo le nuove
condizioni al contorno, che in generale sono diverse per ogni schema considerato. Non è un procedimento
comodo.

12
Definiamo quindi la lunghezza libera di inflessione L0 come la distanza tra due punti di flesso nella
deformata critica (il tratto tra i due flessi può essere considerato come un’asta doppiamente incernierata –
vedi caso studiato – che presenta, nei confronti dell’instabilità, lo stesso comportamento dell’asta
effettiva). Riscriviamo Ncr in questo modo.
=

Con =
L = lunghezza della colonna
β = fattore moltiplicativo (tabulato per molti casi semplici)
Figura 1.16
1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità
= raggio giratore d’inerzia
= / snellezza.
La snellezza è un parametro adimensionale che riassume le caratteristiche geometriche e le condizioni di
vincolo che governano il comportamento dell’asta nei confronti dell’instabilità.
= / = /
Questo valore è tanto più piccolo quanto più l’asta è snella. In realtà noi sappiamo che il materiale non è
indefinitamente elastico, ma presenta un limite di snervamento fy.
Imponendo = / otteniamo =
y
snellezza limite.
Questo valore dipende dal tipo di materiale (fy = tensione di snervamento) e dal modulo elastico.
È di grande importanza perché separa le aste snelle (λ > λC ), per le quali si ha la crisi per l’instaurarsi
dell’instabilità (ovvero per raggiungimento della σcr), dalle aste tozze (λ < λC ), per le quali la crisi si ha per il
meccanismo di schiacciamento (ovvero per raggiungimento della fy).
Nella curva di stabilità σcr - λ si può
rappresentare graficamente la
separazione dei due campi.
Figura 1.17

13
1.5.1.4 Imperfezioni iniziali
Nella realtà le colonne non sono mai perfette: ci saranno sempre delle imperfezioni iniziali dovute a difetti
di fabbricazione o errata posa in opera dell’elemento.
Se ne tiene conto considerando un’eccentricità dello sforzo normale agente sull’asta.
Figura 1.18
Seguiamo lo stesso procedimento già svolto per la colonna ideale.
’’( ) + 2 ( ) = − 2
2 = /
(0) = ( ) = 0
La soluzione sarà:
( ) = cos( ) +
1 − cos( )
sin( )
sin( ) − 1 =
sin [ ( − ) − sin( )
sin( )
− 1
Calcoliamo lo spostamento in mezzeria (che è lo spostamento massimo)
( /2) = m =
1
cos (
αL
2
)
− 1
Consideriamo un aumento dell’eccentricità , per tenere conto degli effetti del 2° ordine
1 = + m =
cos (
αL
2
)

Ma sappiamo che
( ) = 1 –
2

Inoltre possiamo scrivere le seguenti operazioni:
α2 = N/EI ; Ncr=
π2
L2
E I --- > Ncr
L2
π2
= E I ----- > α2
=
N
Ncr
π2
L2
Quindi
1 =
1 − (
αL
π
)2
=
1 −
N
Ncr

La tensione massima di compressione si ottiene attraverso la formula binomia della presso-flessione:
= +
1
= +
1 −
= +
1 −
Con M = N e = momento in sommità della colonna
W =
I
Ymax
modulo di resistenza della sezione
ρ =
I
A
raggio giratore d’inerzia

14
σm = N/A tensione media per compressione semplice che provoca crisi nella colonna
0 =
2
max
eccentricità limite
Quest’ultima rappresenta una sorta di capacità della sezione, in quanto dipende solo da grandezze
geometriche.
Introduciamo ora due parametri:
- Snellezza adimensionale λ* = λ/λcr
- Misura dell’imperfezione m = e/e0 (ponendo m=0 torniamo al caso di colonna ideale)
- γ = σm /fy rapporto tra la tensione che provoca la crisi nella colonna e la tensione di snervamento
Facendo le dovute sostituzioni si arriva a un’equazione del tipo
m = *2 + (1 − ) −
[ *2 + (1 + )]2 − *2
2 *2
Figura 1.19
Nella Normativa non troviamo m espresso in questo modo, ma compare la seguente formula.
= √ *2 − 0.04
Con α dipendente dalla classe di sezione
a b c d
α 0.15 0.28 0.38 0.58
Noto m , entriamo nella curva e ricaviamo γ (moltiplicatore del carico critico).
NB 1. Negli EC γ si chiama χ ; nelle CNR si trova ω = 1/χ
= < y
NB 2. Nella colonna (pensiamo a un telaio) può esserci una sollecitazione di momento che deriva dagli
orizzontamenti.
La formula diventa:
Tabella 1.2

15
= +
1 −
Dove M = Meq è un momento equivalente (combinazione dei momenti d’estremità, se l’andamento è
lineare lungo la colonna).
1.5.2 Telaio
1.5.2.1 Telaio shear type
Consideriamo un telaio shear-type, dotato di orizzontamento infinitamente rigido rispetto alle colonne
(ovvero rigidezza della trave > 4-5 volte rigidezza della colonna).
Agisce solo carico verticale ortogonalmente al traverso.
Figura 1.20
Come si instabilizza questa struttura?
Coerentemente ai vincoli presenti (incastro alla base e nodo rigido superiormente), possiamo avere due
forme di instabilità.
Per stabilire qual è la forma che si instaura guardiamo quanto vale la lunghezza libera di inflessione L0.
La forma a cui associamo la maggiore lunghezza L0 sarà quella con carico critico Ncr inferiore.
È facile quindi capire che la forma di instabilità è la prima.
NB. Ncr2 = 4 Ncr1 Il carico critico relativo alla 2° forma è 4 volte maggiore.

16
1.5.2.1 Telaio flessibile
L’altro caso interessante è quello in cui la trave ha rigidezza molto inferiore di quella delle colonne.
Figura 1.23
Cambia il vincolo in sommità (c’è una cerniera, mentre prima il nodo era vincolato a restare rigido) e di
conseguenza cambiano le forme di instabilità.
Anche qui per capire quale forma si instaura guardiamo L0 e il corrispondente Ncr.
È evidente che si instaura la 1° forma.
NB. In questo caso semplice abbiamo due colonne, quindi Ncr tot = 2 Ncr.

17
2-TEORIA DELLA PLASTICITÀ
2.1 Introduzione
2.1.1 Plasticità
Ci proponiamo di studiare come variano le sollecitazioni nella struttura quando questa entra in campo
plastico.
Consideriamo un telaio piano incastrato e, per semplicità, elementi di trave e colonna tutti uguali, con
sezione rettangolare.
Figura 2.1
Figura 2.2
Aumentando il carico F aumenta il momento flettente nelle travi e nelle colonne, in maniera lineare.
Questo finchè non si raggiunge la plasticizzazione in una delle sezioni (ad es. nella sezione A): lì il momento
non può più aumentare, ma nelle altre sezioni si.
Avremo quindi due conseguenze principali:
- variano le sollecitazioni nella struttura
- varia l’ascissa in cui si annullano le sollecitazioni
L’entrata in campo plastico della struttura fa sì che non possiamo trascurare la presenza delle non linearità.
- Non vale la sovrapposizione degli effetti (non posso calcolare la somma dei diagrammi dati da F e ∆F)
- Non vale il teorema di unicità della soluzione di Kirchhoff
- Le equazioni risolutive diventano non lineari
= ( )

18
La matrice di rigidezza e/o il vettore dei carichi dipendono dallo stato deformativo e tensionale della
struttura (ovvero dai gradi di libertà q che vado a cercare).
La risoluzione consiste in una procedura iterativa (si aggiorna la rigidezza K in funzione dello stato
deformativo).
2.1.2 Tipi di non linearità
I tipi di non linearità di cui possiamo tener conto sono:
- non linearità di materiale
Es. qualunque legame che non sia perfettamente elastico
- non linearità geometriche
Es. Fune soggetta a carichi verticali: per dare una forza verticale che equilibri i carichi deve inflettersi,
assumendo una certa rigidezza (che è appunto una rigidezza geometrica)
Figura 2.3
- non linearità di vincolo
Es. Vincolo monolatero
Figura 2.4
- non linearità di forze
Es. Carichi che cambiano direzione, seguendo l’andamento della deformata

19
2.2 Plasticità di materiale
2.2.1 Richiami
2.2.1.1 Stati monoassiali
L’acciaio è tra i materiali per i quali il limite di plasticità è ben definito da un solo parametro σy.
Figura 2.7
NB. Se il materiale non ha limite di plasticità ben definito possiamo utilizzare soltanto legami approssimati.
2.2.1.2 Stati non monoassiali: criteri di rottura
Se siamo in presenza di stati di sollecitazione pluriassiali dobbiamo riferirci a delle superfici di snervamento.
I criteri di rottura utilizzati sono i seguenti:
Figura 2.8
- TRESCA max = s
Dove τmax è la tensione massima in stato biassiale τs è la tensione in stato monoassiale.
In particolare è noto che
max = [( 1 − 2) ; ( 3 − 2 ) ; ( 2 − 1 )]
s =
s
2

s =
Figura 2.9
In questo caso il dominio è un esagono.
- VON MISES =
Dove è la tensione media attorno al punto più sollecitato, τs è la tensione in stato monoassiale.
In particolare è noto che

20
̅ =
1
4
=
1
√15
( 1 − 2) + ( 3 − 2 ) + ( 3 − 1 )
In questo caso il dominio è un’ellisse.
2.2.1.3 Incrudimento
STATI MONOASSIALI
Figura 2.12
STATI NON MONOASSIALI
Possono presentarsi le 4 seguenti situazioni:
- ISOTROPO - STATICO
Figura 2.13
cilindri che si sviluppano
lungo l’asse idrostatico
E’ = pendenza ramo ascendente
La superficie cambia, mantiene le proporzioni tra le due
parti, allargandosi ma restando attorno all’origine.

21
- NON ISOTROPO - STATICO
Figura 2.14
- ISOTROPO - CINEMATICO
Figura 2.15
- NON ISOTROPO - CINEMATICO
Figura 2.16
Raggiungendo il limite plastico, la superficie si allarga ma
cambia forma.
La forma resta la stessa ma cambia posizione.
Cambia sia di forma che di posizione.

22
NB. In generale, quando possibile, preferiamo riferirci a stati monoassiali in quanto:
- sono stati facilmente trattabili sperimentalmente, di conseguenza i dati di cui disponiamo sono meno
incerti
- volendo ricorrere a trattazioni numeriche che tengano conto delle non linearità, gli stati monoassiali
hanno matrici di dimensioni inferiori e danno quindi meno problemi dal punto di vista computazionale
- riferendoci alla trattazione di strutture canoniche (per le quali vale l’ipotesi di sezioni che traslano e
ruotano restando piane), gli stati di sollecitazione possono essere visti come convoluzione degli stati
tensionali delle singole fibre, che sono soggette a stati monoassiali.
2.2.2 Legame costitutivo acciaio
Si riporta il legame sperimentale dell’acciaio, ottenuto da una prova di trazione monoassiale a
deformazione imposta.
Figura 2.18
Figura 2.17
Il primo tratto ha un andamento lineare, con pendenza α0= arctan(E0) : registriamo una σe
inf
e una σe
sup
;
dopo si registra un ramo circa piatto, con allungamento a tensione costante (ci sono delle piccole
ondulazioni ma sono trascurabili perché piccole). Segue un ramo non lineare, in cui devo aumentare la
forza per avere ancora allungamento.
A questo punto, effettuando uno scarico e un successivo ricarico, descrivo due rami curvi simmetrici
rispetto a una retta, con pendenza uguale a quella iniziale α0.
Tornando al ramo non lineare incrudente, raggiungiamo un valore max σmax
: dopo otteniamo due rami differenti: se ci riferiamo a A0, leggiamo un ramo di softening (rilassamento) in
cui la tensione diminuisce, mentre se ci riferiamo all’area effettiva vediamo che la tensione continua a
aumentare.
Potrei riferirmi sempre all’area iniziale A0, anche se in realtà, quando il provino è prossimo alla rottura, la
strizione è talmente grande che non posso trascurare la differenza tra A e A0.
La σ limite elastica si definisce in maniera convenzionale: è la tensione per cui, scaricando, ottengo una
εresidua = 0.002% (il ramo non è perfettamente lineare, ma sarà leggermente curvo).
A seconda del tipo di acciaio, varia la tensione limite.

23
2.2.3 Legami semplificati
- RIGIDO PLASTICO (2 parametri)
Il blocco comincia a scorrere quando la forza F vince l’attrito
Figura 2.19
- ELASTO-PLASTICO BILINEARE (3 parametri)
Quando la forza della molla supera l’attrito statico il blocco si muove
Figura 2.20
- ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE BILINEARE (4 parametri)
Come il caso precedente, ma per far scorrere il blocco devo aumentare ancora la forza, per vincere la
seconda molla
Figura 2.21
La pendenza del ramo incrudente può essere valutata con un criterio energetico.
Modello reologico: blocco ad attrito
con molla
con due molle

24
Figura 2.21
Altrimenti dei valori tipici sono 0.005 ≤ ≤ 0.05
- ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (5 parametri)
Il blocco ad attrito scorre dopo aver esteso la prima molla; poi c’è un gap, superato il quale il blocco
ricomincia a scorrere (avendo vinto una seconda molla)
Figura 2.22
- ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (6 parametri)
Come il precedente, ma descrive un ramo incrudente curvilineo
= ( ) ( )
Figura 2.23
- MENEGOTTO-PINTO (4 parametri)
Questo tipo di legame è molto utilizzato in campo sismico, per descrivere le deformazioni cicliche.

25
= +
(1 − )( )
[1 + ] /
Figura 2.24
NB. I legami ricavati precedentemente possono essere utilizzati per descrivere cicli di carico-scarico. Ci si
accorge facilmente che le aree sottese (a parità di tensione massima raggiunta ) variano molto: cambia
l’accuratezza.
Un modello più ricco consente un’accuratezza migliore, ma aumenta la difficoltà nel gestire una
modellazione governata da più parametri.
2.2.4 Duttilità di materiale
A livello di materiale, la duttilità è la capacità di assorbire deformazioni oltre il limite elastico.
Figura 2.25
Può essere calcolata in due modi:
⎩
⎨
⎧ =
=
−

26
2.3 Plasticità di sezione/elemento
2.3.1 Teoria della trave
2.3.1.1 Sezione inflessa
Ipotesi basilari:
1) sezioni traslano e ruotano restando piane
2) piccoli spostamenti (trattazione al 1° ordine)
3) assenza di instabilità (anche locale)
4) legame elasto-plastico perfetto isotropo
Figura 2.26
Aumentando il momento agente M, abbiamo che le σ e le ε aumentano, finchè nella fibra più sollecitata
raggiungo σ = σy : pensando alle caratteristiche della sollecitazione, abbiamo raggiunto M = My, ovvero il
momento di snervamento.
Continuando a aumentare il momento agente, le ε continuano a crescere nello stesso modo, mentre per le
σ aumentano le fibre plasticizzate, che hanno raggiunto la σy .
Figura 2.27
GEOMETRIA SOLIDO
(una dimensione molto maggiore
rispetto alle altre 2)
PRINCIPIO DSV
(estinzione degli effetti in una zona
proporzionale all’area caricata)
SEZIONI TRASLANO E RUOTANO
RESTANDO PIANE
TEORIA DELLA TRAVE
Ci riferiamo alle sollecitazioni di
sezione e non a quelle puntuali
(ovvero alle caratteristiche della
sollecitazione)

27
A un certo punto tutte le fibre della sezione saranno plasticizzate. Il momento agente sarà M = Mp , ovvero
il momento di plasticizzazione.
Figura 2.28
Si definisce un indice delle risorse plastiche della sezione:
=
2.3.1.2 Momento ultimo della sezione
Nella precedente trattazione non abbiamo tenuto conto del fatto che la sezione avrà un limite anche nella ε
(non possiamo avere rotazione indefinita).
Quindi, in generale, il momento ultimo Mu della sezione non è detto che coincida col Mp (per il quale ho
σ=σy in tutte le fibre).
Mu può essere dato da
− raggiungimento della εu in una ibra
− raggiungimento della capacità portante della sezione
Le situazioni possono essere le seguenti:
1) ≤ −
Dipende dalla duttilità di materiale µ e dalla distanza del materiale dall’asse neutro. Riusciamo a arrivare a
un momento massimo simile a Mp.
Figura 2.29
2) ≤ ≥ −
Mu è definito quando almeno una fibra raggiunge εu. Il legame è incrudente, quindi oltre al limite plastico ci
sono delle risorse (non basta che tutte le fibre siano plasticizzate).
- Se si raggiunge εu quando ho ancora alcune fibre in campo elastico ---- > Mu < Mp

28
- Se si raggiunge εu quando tutte le fibre sono plasticizzate ---- > Mu > Mp
Figura 2.30
2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa
Consideriamo un concio di trave di altezza H che si inflette lungo un arco di circonferenza di apertura dφ,
con raggio di curvatura r.
Figura 2.31
2.3.2.1 Campo elastico
Sfruttiamo la similitudine.
=
+
Ma sappiamo che:
= = 1
= + ( ) = 1 + ( )
Quindi possiamo scrivere
1
=
+
1 + ( )
− −→ + ( ) = + − −→ ( ) =

29
Ponendo = − −→ ( ) =
Quindi ( ) = ( ) = (dipende solo dalla geometria del problema)
Ma vale anche che ( ) =
Quindi in campo elastico posso esprimere la curvatura χ in questo modo
=
Ora calcolo la curvatura limite elastica
= 2
=
= = =

=

Questo è il limite di curvatura elastica: il suo superamento comporta l’entrata in campo plastico.
2.3.2.2 Campo elasto-plastico
Figura 2.31
=
( )
=

Non ci riferiamo più al grafico σ-ε , ma al grafico M-χ.
Il campo elastico termina quando raggiungo i limiti =

La parte centrale, non plasticizzata, la chiamiamo “nucleo elastico”, con altezza totale 2ye
=

Se ye tende a 0, la curvatura tende a ∞ e questo non è possibile: è chiaro che il raggiungimento di Mp è una
situazione ideale, che non può verificarsi. Secondo i nostri modelli, per coerenza, dovremmo avere χ=∞.
Per definire Mp introduciamo il modulo plastico z (analogo al modulo elastico W).
=

30
Figura 2.32
Esprimiamo il diagramma delle σ come somma di tre diagrammi:
- diagramma limite nucleo elastico
- diagramma limite plastico
- diagramma limite nucleo elastico come se fosse tutto elasticizzato
- We = modulo elastico nucleo elastico
- z = modulo plastico
- ze = modulo plastico nucleo elastico
= + − = + 1 − = + 1 − = −
−
NB. z dipende solo dalla sezione,mentre ze e We dipendono dall’ampiezza del nucleo elastico, ovvero da ye
ye può essere espresso in funzione di χy / χ.
= ( )
L’obiettivo è quello di esprimere M in modo generico in campo elasto – plastico. Questo perché stiamo
analizzando la sezione e abbiamo bisogno di un grafico M - χ (non più σ – ε come per gli stati monoassiali ).
Per una sezione inflessa, il momento in campo elastico lo sappiamo scrivere facilmente, mentre in campo
plastico generalmente no.
La funzione ( ) dipende dal tipo di sezione e spesso non è esprimibile in forma chiusa.
2.3.2.3 Sezione rettangolare
Un caso semplice è quello della sezione rettangolare. L’obiettivo è determinare .
=
1
12

ℎ
/2
=
1
6
ℎ
=
1
12

(2 )
=
2
3

=
2 2
=
4
− −−→ =
4
− −→ =
(2 )
4
=
= 1 −
−
=
3
2
1 −
−
2
3

4
=
3
2
1 − 3

4
=
3
2
1 −
4
3
(

) =
3
2
1 −
1
3
( )

31
Dove il termine rappresenta proprio il β della sezione rettangolare.
Figura 2.33
All’inizio c’è un ramo lineare, poi diventa non lineare, con asintoto orizzontale pari a β. Questo parametro
aumenta se c’è più materiale vicino all’asse neutro. Per le sezioni tipo IPE vale 1.14.
CAMPO ELASTICO CAMPO ELASTO-PLASTICO
RELAZIONE M-χ = = ( )
VALORE LIMITE M = =
VALORE LIMITE χ e RELAZIONE
CON NUCLEO ELASTICO
=
2
ℎ
=
2
ℎ
Tabella 2.1
2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica
Consideriamo una trave semplicemente appoggiata con un carico centrale.
Figura 2.34

32
Il diagramma del momento avrà andamento lineare simmetrico, col massimo in mezzeria.
Immagino di aver raggiunto il momento Mp nella sezione di mezzeria. A una certa distanza dalla mezzeria
troverò M=My.
Voglio trovare il valore ∆L , per capire la quota parte della trave che ha iniziato a plasticizzarsi.
2
=
2
−
∆
2
= = 2
2
−
∆
2
=
− ∆
− −→ − ∆ = − −→ ∆ =
( − )
Quindi la lunghezza ∆L dipende non solo dalla luce della trave, ma anche dalle risorse in campo plastico che
è in grado di offrire la sezione considerata.
Se la trave avesse sezione a doppia T, posto che β=1.14, otteniamo ∆ = 0.123 , ovvero il 12% della trave
ha iniziato a elasticizzarsi.
Possiamo fare l’approssimazione che la trave sia plasticizzata in un solo punto, che agisce come una
cerniera in carico. Nel momento in cui si forma la cerniera, per la struttura di Fig. 2.35 avrei 3 cerniere
allineate, che equivale al collasso (la struttura è diventata un meccanismo).
Figura 2.35
C’è una grande differenza tra la curvatura χ dentro e fuori la cerniera: fuori il ramo è lineare, poi inizia un
tratto curvo, che termina con una cuspide in corrispondenza della mezzeria.

33
Figura 2.36
Facciamo quindi lo schema di cerniera plastica, in cui tutta la plasticizzazione avviene in un solo punto.
Questo schema :
- è più trattabile dal punto di vista numerico
- ha un errore piccolo rispetto al modello reale (per quanto riguarda le travi)
- è necessario per grandi strutture (altrimenti l’onere computazionale sarebbe troppo elevato)
NB 1) Il termine cerniera plastica è improprio, perché lì il M ≠ 0 (anzi M = Mp = costante). È quindi un
modello coerente per quanto riguarda il cinematismo che si istaura, ma non rispetta l’equilibrio.
NB 2) La cerniera plastica è unilaterale (problema incrementale in carico). Quindi funziona a patto che
l’incremento di carico sia nello stesso verso del carico che ha portato alla formazione della cerniera.
Ovvero, se scarico il materiale torna indietro in modo elastico (e questo non è verosimile se pensiamo a una
sezione che ha subito una plasticizzazione).
2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ
Figura 2.37
Per tracciare il diagramma M-χ possiamo procedere nel seguente modo.

34
Il diagramma M – χ è noto in forma chiusa quando la sezione è in campo elastico, mentre quando siamo in
campo elasto-plastico l’espressione non è nota in forma chiusa, ma esistono funzioni che legano M a χ.
In questo modo possiamo monitorare lo stato di una sezione, ad es. la sezione di mezzeria, all’aumentare
dello stato deformativo.
2.3.3 Elementi presso-inflessi
2.3.3.1 Sezione presso-inflessa
Figura 2.38
Consideriamo una trave rettangolare (base b e altezza H) su cui agiscono contemporaneamente una
compressione P e un momento flettente M.
L’asse neutro non sarà più baricentrico (come nel caso di flessione semplice), ma spostato verso la fibra
superiore.
Il legame considerato è elasto-plastico perfetto.
Data una sezione, fisso χ = χ*
Ricavo ε * = χ* y (nell’hp. Sezioni che
ruotano restando piane)
Ricavo diagramma σ (inserendo il
legame costitutivo σ=σ(ε)
Procedo per ulteriori incrementi di
χ*, ricavando coppie di punti (χ*,M*)
SINO STOP
Ricavo i valori M*
N° di punti
sufficienti?

35
Figura 2.39
2.3.3.2 Curva limite plastico
Consideriamo la sezione tutta plasticizzata. Scomponiamo il diagramma come la somma di due diagrammi:
uno a flessione semplice e uno a compressione semplice.
Figura 2.40
= 2
= − =
ℎ
4
−
(2 )
4
=
4
(ℎ − 4 )
= . .
= . .
I valori limite che, se agissero singolarmente, porterebbero a completa plasticizzazione la sezione sono:
= = ℎ
= =
ℎ
4
Facciamo i rapporti
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ / =
2
ℎ
=
2
ℎ
/ = 4
(ℎ − 4 )
ℎ
4
= 1 −
4
ℎ
= 1 − (
2
ℎ
) = − ( )
Abbiamo ottenuto l’equazione di una parabola.
/ = − ( )

36
Figura 2.41
2.3.3.3 Curva limite elastico
Figura 2.42
Ipotizziamo di aver raggiunto la plasticizzazione nella fibra inferiore. Allora il diagramma delle tensioni
posso vederlo come la somma di due diagrammi: uno ottenuto traslando la curva in modo da avere
flessione semplice e l’altro dato dalla differenza tra i due.
= =
ℎ
6
= ℎ( − )
Facendo delle proporzioni tra triangoli otteniamo
=
ℎ
2
+
ℎ
2
= 1 +
2
ℎ
− −−→ = ( + )
=
ℎ
6
=
ℎ
6
(1 +
2
ℎ
)
= ℎ = ℎ (1 +
2
ℎ
)

37
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
/ =
ℎ
6
ℎ
6
(1 +
2
ℎ
)
=
1
(1 +
2
ℎ
)
/ =
ℎ 1 +
2
ℎ
− 1
ℎ (1 +
2
ℎ
)
= 1 −
1
(1 +
2
ℎ
)
= −
Questa volta non abbiamo ottenuto una relazione parabolica, ma lineare.
= −
Per rappresentare questa relazione e quella del Par. 2.3.3.3 nello stesso grafico occorre adimensionalizzare
il momento M rispetto allo stesso valore.
Noto che
=
Sostituiamo quest’espressione nella relazione precedente:
= 1 − − −−→ = 1 − − −−→ = 1 − − −−→ = ( − )
Figura 2.43
Se non agisce momento, le condizioni di prima plasticizzazione coincidono con le condizioni ultime. Se
invece agisce momento no, la sezione presenta delle risorse plastiche legate a β prima di arrivare al
collasso.

38
2.3.3.4 Considerazioni
Figura 2.44
Prendo una sezione e la sottopongo a (M*,P*) inferiori al limite elastico. Introduco un moltiplicatore in
modo da aumentare P e M in modo proporzionale: ci muoviamo su una retta.
Una volta raggiunto il limite elastico, il moltiplicatore varrà λ = OB/OA.
Ora posso muovermi in varie direzioni:
- verticalmente : equivale a lasciare P=cost, aumentando solo il momento. La lunghezza del segmento
percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse flessionali plastiche della sezione
- orizzontalmente : equivale a lasciare M=cost, aumentando solo lo sforzo normale. La lunghezza del
segmento percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse plastiche a compressione della sezione
- diagonalmente : facendo variare sia P che M, ho informazioni sulle risorse plastiche a presso-flessione
Se una sezione è prevalentemente compressa, le risorse plastiche sono pochissime (quando si plasticizza la
1° fibra ho già quasi raggiunto la plasticizzazione dell’intera sezione).
Queste superfici possono essere tradotte in tanti diagrammi M-χ, ricavati a P=cost.
Figura 2.45
Coerentemente con ciò che abbiamo detto prima, la duttilità diminuisce all’aumentare di P.

39
2.4 Plasticità di sistema
2.4.1 Introduzione
2.4.1.1 Duttilità
Utilizzeremo i concetti di cerniera plastica e duttilità di struttura, dove quest’ultima può essere calcolata
come
=
Dove con δ indichiamo qualunque spostamento significativo per il modo di deformarsi della struttura
considerata.
Figura 2.46
Figura 2.47
2.4.1.2 Collasso totale
Per collasso totale si intende la situazione per cui la struttura diventa un meccanismo: essa non è quindi in
grado di sopportare ulteriori incrementi di carico.
Corrisponde alla formazione di un n° di cerniere plastiche tali da innescare un cinematismo di collasso.
Vale la regola per cui una struttura n volte iperstatica collassa globalmente quando si sono formate n+1
cerniere plastiche.
Esempio 1 : Trave appoggiata
Figura 2.48

40
Quando si forma la cerniera plastica in mezzeria (punto a momento massimo) la struttura diventa un
meccanismo (3 cerniere allineate).
Struttura 0 volte iperstatica --- > n= 1 cerniera
Esempio 2 : Telaio
Struttura 3 volte iperstatica --- > n= 4 cerniere
Figura 2.49
2.4.1.3 Collasso locale
Per collasso locale invece ci riferiamo alla formazione di un meccanismo che coinvolge solo una parte della
struttura, che globalmente può anche non collassare.
Avvengono per formazione di meno cerniere plastiche (n* < n + 1)
Esempio 3 : Telaio
Struttura 3 volte iperstatica --- > n* = 3
Figura 2.50

41
2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico
2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata
Figura 2.51
=
1
24
= =
1
12
Le prime cerniere plastiche si formeranno in A e C contemporaneamente, data la simmetria di struttura e
carico.
= = − −− > ∗
=
Il sistema comincia a comportarsi così
Figura 2.52
Studio il problema
Figura 2.53
∆ =
1
8
∆
Collassa per :
∗
+ ∆ =

42
1
24
∗
+
1
8
∆ =
1
8
∆ = −
1
24
(
12
)
1
8
∆ =
2
− −−> ∆ =
= ∗
+ ∆ = 12 +
4
=
− ∗
∗
=
4
3
− 1 100 = % % ∗

NB. La struttura era 3 volte iperstatica, quindi per arrivare al collasso globale ci saremmo aspettati che le
cerniere plastiche necessarie sarebbero state 4. Invece in questo caso ne bastano 3, perché sono allineate.
Figura 2.53
2.4.2.2 Distribuzione dei carichi
Se considerassi una diversa distribuzione di carico, ad es. forza F concentrata nella mezzeria della trave,
cambia il grafico del momento del flettente.
Figura 2.54
= = =
1
8
Con un grafico di questo tipo, si formano contemporaneamente 3 cerniere plastiche quando
= = = ∗
= =
8
Le capacità plastiche quindi dipendono anche dai carichi.

43
2.5 Capacità portante in campo elasto-plastico
2.5.1 Introduzione
2.5.1.1 Ipotesi
Ci proponiamo ora di studiare l’evoluzione di un sistema strutturale: aumentando progressivamente il
carico vediamo come evolve il sistema, monitorando la formazione di cerniere plastiche.
Le ipotesi sono le seguenti:
- i carichi aumentano proporzionalmente (applichiamo un moltiplicatore λ alla distribuzione iniziale, in
modo che H/V = cost )
- modello a plasticità concentrata (cerniera plastica in un solo punto)
- no instabilità
I parametri noti sono:
- geometria, rigidezze e vincoli della struttura
- distribuzione iniziale dei carichi
- legame costitutivo elastico perfettamente plastico
2.5.1.2 Obiettivi
Figura 2.55
Gli obiettivi dell’analisi sono:
1) determinazione di λy , per il quale nella struttura si forma la prima cerniera plastica
2) determinazione di λult , per il quale la struttura si trasforma in un meccanismo.
Ovvero calcolare il carico di collasso globale
2.5.1.3 Metodi
Possiamo utlizzare 3 metodi:
- Analisi incrementale (è l’analisi più completa: consente di trovare sia λult che λy)
- Soluzioni analitiche in forma chiusa (è raro che esistano, si hanno solo per casi semplici)
- Analisi limite (consente di trovare solo λult )

44
2.5.2 Analisi incrementale
2.5.2.1 Esempio
Figura 2.56
Considero un telaio piano soggetto a una certa distribuzione di carico: applichiamo il moltiplicatore λ e
vediamo come evolve il sistema strutturale.
- tutte le sezioni sono uguali , con My = Mu = 500 KNm
- duttilità infinita
Ad ogni passo devo sommare lo stato tensionale incrementale a quello incrementale limite, ottenendo
quello assoluto.
1 – SCHEMA STATICO INCREMENTALE
Figura 2.57
2 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE (∆M*)
Figura 2.58

45
3 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE LIMITE (∆ML)
Figura 2.59
4 – STATO TENSIONELE ASSOLUTO LIMITE (ML)
Figura 2.60
- Formazione 1° cerniera plastica: la individuo monitorando la sezione a momento massimo
- Formazione 2° cerniera plastica: guardo lo schema iniziale (struttura ancora in campo elastico) e individuo
qual è la seconda sezione con momento massimo . Devo però controllare che, una volta formatasi la 1°
cerniara plastica, la ridistribuzione degli sforzi sia tale che la 2° cerniera plastica si formi proprio in quella
sezione (non è detto che sia così).
Alla fine, avrò la formazione di 4 cerniere plastiche : la struttura è diventata un meccanismo e collassa.
Figura 2.61
2.5.2.2 Curva di pushover
Dall’esempio precedente, individuiamo λy = 25.5 (formazione 1° cerniera plastica) e λult =31.3 (formazione 4°
cerniera plastica).
La curva di pushover si ottiene ponendo in ascissa lo spostamento significativo ad ogni step (nel caso
trattato, lo spostamento δy del punto estremo) e in ordinata il moltiplicatore di carico.
Calcolati i valori δ(λy) e δ(λult) possiamo valutare la duttilità della
struttura come rapporto tra i due.
=
λ
(λ )
Figura 2.62

46
2.5.3 Soluzioni analitiche
2.5.3.1 Esempio
Figura 2.62
Il sistema è 1 volta iperstatico (9 gradi di libertà , 10 gradi di vincolo).
2.5.3.2 Campo elastico
Calcoliamo la soluzione nello spirito del metodo degli spostamenti: imponendo un allungamento δ ad ,
scriviamo la congruenza e poi ricaviamo l’equilibrio. Consideriamo piccole deformazioni.
=
= =
= = = − −− > =
, ≅ cos
4
− −→ =
∆
= − −− >
cos
4
4
=
Quindi otteniamo
= ( )
=
Equilibrio del nodo

47
+ 2 =
= 2
− − − −→
=
√
=
√
La prima asta che si plasticizza è , in quanto
X>Y .
La plasticizzazione avviene quando
=
2
2 + √2
=
Quindi i valori limite di carico e allungamento
sono
⎩
⎨
⎧ =
2 + √2
2

=

=
2.5.3.3 Campo elasto-plastico
Continuiamo l’analisi della struttura, considerando che ormai l’asta si è plasticizzata.
= =
2
4
= − − −− > =
−
√2
Le aste , si plasticizzano quando
= =
−
√2
− − − − > = ( + √ )
Valutiamo la sovraresistenza plastica
=
1 + √2
2 + √2
2
=
1 + √2
1 +
√2
2
=
1 + √2
1 + √2
√2
= √2
1 + √2
1 + √2
= √2 = . + %
Calcolo lo spostamento ultimo.
=
∆
= − −− >
cos
4
4
=
=
(
4
)
=
(1/√2)
=
2
− −−> = + % à
Figura 2.64
Figura 2.63

48
2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente
Figura 2.65
Suppongo di effettuare uno scarico a collasso incipiente. Il comportamento del sistema è elastico.
L’asta OA era già plasticizzata, ma le aste OB e OC ancora no.
Quello che otteniamo è che :
- OA resterà allungata un po’ di più rispetto alla configurazione iniziale (proprio perché ha subito la
plasticizzazione)
- OB, OC dovranno allungarsi anche loro, risultando quindi tese.
In conseguenza di ciò, poiché l’equilibrio nel nodo deve essere sempre valido, abbiamo che l’asta OA
risulterà compressa (siamo in fase di scarico, quindi non c’è più la forza P).
⎩
⎨
⎧ =
2
2 + √2
=
2 + √2

− −>
⎩
⎨
⎧∆ =
2∆
2 + √2
∆ =
∆
2 + √2

− −>
= − ∆
= − ∆

⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = (1 −
2 1 + √2
2 + √2
)
= (1 −
1 + √2
2 + √2
)
− − − − >
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = −
√2
2 + √2
=
1
2 + √2

NB. In scarico le aste si prendono la stessa quota parte di carico che si prendevano in fase elastica.

49
2.5.4 Analisi limite
2.5.4.1 Concetti base
Il metodo si basa su un principio energetico che, data una distribuzione di carichi sulla struttura, permette
di trovare il moltiplicatore ultimo dei carichi λult. Non permette di calcolare λy.
- Superficie limite
Figura 2.66
In queste superfici, ogni combinazione di carico rappresenta un punto, mentre il processo di carico è
descritto da una retta. Calcoliamo come distanza del punto λult della superficie dallo stato iniziale.
- Convessità
Figura 2.67
La superficie limite deve essere comunque convessa.
Solo in questo modo infatti vale λult(critico)= λmax(tra quelli ammissibili).
Figura 2.68
Può essere riferita a 1° plasticizzazione
o a collasso

50
Se la superficie non fosse convessa, posto ̂ = versore della direzione del carico,
∃ almeno un λ<λmax che mi porta ancora sulla super icie limite.
= ̂λ
= ̂λ
= ̂λ
= ̂λ
Non potremmo quindi dire che λult sia proprio il λmax. (la definizione di λult non è univoca)
Figura 2.69
Se conoscessi la superficie limite nello spazio dei carichi esterni il problema di trovare λult sarebbe di facile
soluzione.
In realtà noi possiamo conoscere la superficie limite al più nello spazio delle tensioni (Tresca o Von Mises),
che dipendono solo dalle caratteristiche del materiale, o nello spazio delle sollecitazioni (M,N), che
dipendono dalle caratteristiche della sezione, ovvero dalle rigidezze.
Per valutarla nello spazio dei carichi esterni dovrei conoscere la reale distribuzione dei carichi e dei vincoli.
Per risolvere il problema e calcolare ugualmente λult , sfruttiamo i seguenti teoremi:
- TEOREMA STATICO = λcr è il massimo tra quelli staticamente ammissibili, compatibili con le resistenze
massime della struttura e con i vincoli (teorema limite superiore)
- TEOREMA CINEMATICO = λcr è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili con i vincoli esterni e le
giunzioni della struttura (teorema limite inferiore)
- TEOREMA UNICITÀ = tra tutti i λ possibili, λcr è l’unico che produce stati di tensione staticamente
ammissibili e cinematismi compatibili.
2.5.4.2 Teorema statico
Figura 2.70
Consideriamo un sistema strutturale una volta iperstatico. Vogliamo valutare il carico critico Pcr mediante il
teoremo statico.

51
Figura 2.71
Per risolvere il sistema, data la sua iperstaticità, inseriamo l’incognita iperstatica χ e studiamo il sistema
principale (1) e il sistema con l’incognita χ (2).
Figura 2.72
Riportiamo i diagrammi del momento flettente(per il sistema completo iperstatico e per i sistemi 1 e 2).
Figura 2.73
(1)
= =
=
= ( + ) − =
(2)

52
=
χ
= −
χ
= =
χ
= ( + ) =
χ
( + )
= ( + + ) =
χ
= χ
(1)+(2)
= − = −
χ
= − = −
χ
( + )
= = χ
Condizioni di ammissibilità statica
1) ≤ − −→ −
χ
≤
2) ≤ − −→ −
χ
( + ) ≤
3) ≤ − −→ χ ≤
Stiamo cercando il Pcr che mi porta a collasso globale.
Per come è fatta la struttura, se si formano le cerniere plastiche in A e in B abbiamo un collasso locale, non
globale.
Figura 2.74
Quindi per avere collasso globale si deve verificare per forza o la situazione 3) o 1)+2)
Situazione (a) (ovvero 1) e 3) al limite)
−
χ
=
χ =
− −−→ = + =
+
Situazione (b) (ovvero 2) e 3) al limite)
−
χ
( + ) =
χ =
− −−→ = +
( + )
=
+ ( + )
Risulterebbe cioè Pcr (b) > Pcr (a) . Cioè il carico critico dovrebbe essere Pcr (b).
Ma non è staticamente ammissibile. Vediamo perché.
So che MA è sempre > di MB (si vede dal grafico iniziale del momento flettente). Ma se assumo che MB = MP,
allora dovrebbe essere MA > MP : ma questo non è staticamente ammissibile.
Il carico critico è quindi Pcr (a) , l’unico che è staticamente ammissibile.
=
+

53
2.5.4.3 Teorema cinematico
Figura 2.75
Consideriamo la stessa struttura. Per calcolare il carico critico dobbiamo:
- individuare tutti i cinematismi per formazione di cerniere plastiche
- applicare il principio energetico di minimo (λcr è quello che corrisponde al minimo lavoro di collasso)
Ipotizziamo che le cerniere plastiche si formino:
- dove sono applicati i carichi e dove sono i vincoli
- dove ci sono bruschi cambiamenti di rigidezza in una direzione (es. cambio di sezione).
Figura 2.76
Inoltre consideriamo che le deformazioni plastiche siano >> di quelle elastiche.
Con queste ipotesi siamo in grado di individuare due cinematismi.
Figura 2.77
=
+
= − −→ +
+
= +
Le rotazioni sono:
= +
+
=
+
(approssimiamo le rotazioni con le tangenti)

54
Figura 2.78
=
+
= − −→ +

+
= +
Le rotazioni sono:
⎩
⎨
⎧ = +
+
=
(approssimiamo le rotazioni con le tangenti)
Poiché i due sistemi sono simmetrici, ho che
= =
= , =
Inoltre abbiamo
( )
>
( )
( )
>
( )
− −− >
( )
>
( )
− −→ λ = λ − −→ à
( )

Calcolo
( )
( )
+
( )

+
= [ +
+
+
+
]
( )
1 +
+
=
+
( + )
− −→
( )

+
=
( + )
+
1
+

( )
=
1
+
1
− −− >
( )
=
+

Ritroviamo lo stesso valore ottenuto col teorema cinematico (Par. 2.5.4.2)

55
2.5.4.4 Strutture intelaiate
Figura 2.79
Consideriamo un telaio incernierato : questa struttura è 1 volta iperstatica quindi, per arrivare a un collasso
globale, si devono formare 2 cerniere plastiche.
Risolviamo questo problema mediante il Teorema Cinematico.
Prima di tutto, individuiamo i meccanismi possibili. Sono 6.
Figura 2.80

56
1) ℎ = +
2) − ℎ = +
3) ℎ +
1
2
= 2 + 2
4) − ℎ −
1
2
= 2 + 2
5) ℎ −
1
2
= 2 + 2
6) − ℎ +
1
2
= 2 + 2
Sono equazioni dirette, nel piano (H,V).
1) = + =
2) − = + =
3) = −
2ℎ
+
2
ℎ
+
2
ℎ
= −
2ℎ
+
4) − =
2ℎ
+
2
ℎ
+
2
ℎ
=
2ℎ
+
5) =
2ℎ
+
2
ℎ
+
2
ℎ
=
2ℎ
+
6) − = −
2ℎ
+
2
ℎ
+
2
ℎ
= −
2ℎ
+
In questo modo descriviamo proprio la superficie limite nel piano della sollecitazioni esterne che stavamo
cercando.
Abbiamo 6 equazioni, che descrivono 6 rette: il dominio è esagonale.
Figura 2.81
Quindi, per i telai, riusciamo a trovare la superficie limite sfruttando il teorema cinematico.

57
Per il telaio incastrato il dominio diventa ottagonale.
Figura 2.82
NB. I due domini visti finora sono simmetrici: stiamo pensando all’acciaio, con momento plastico Mp uguale
sia per flessione positiva che per flessione negativa.
Se volessimo considerare un materiale come il calcestruzzo armato, dovremo tener conto che in generale
l’armatura sarà asimmetrica: pertanto il grafico non risulterà simmetrico rispetto al al segno delle forze
esterne (non abbiamo lo stesso comportamento per flessione positiva e negativa).
Figura 2.83

58
3 - CONNESSIONI IN ACCIAIO
3.1 Definizioni
3.1.1 Unioni in acciaio
3.1.1.1 Zone nodali in un telaio
I giunti tra gli elementi sono realizzati nelle zone di diffusione (D-
Regions).
Sappiamo che queste zone sono caratterizzate da concentrazione
degli sforzi e non validità della teoria della trave di Bernoulli (non
sono infatti verificate le ipotesi alla base della teoria di De Saint
Venant): le indicazioni progettuali sono basate su teorie e
modellazioni semplificate, supportate da analisi sperimentali o
numeriche.
Lo studio accurato delle unione è fondamentale, perché esse
possono risultare il punto debole della struttura.
Figura 3.1
3.1.1.2 Unioni correnti
Servono per creare profili composti a partire da ferri piatti e cantonali (profili che non esistono sui
sagomari, come travi alte e profili a cassone)
3.1.1.3 Unioni di forza
Uniscono tra loro i vari elementi strutturali per formare l’intera costruzione
3.1.2 Sistemi di collegamento
3.1.1.1 Sistemi chiodati
- Non si realizzano più ma possono trovarsi nelle strutture esistenti
- Venivano montati a caldo: in questo modo nei gambi si generavano spesso tensioni di trazione che
portavano anche alla rottura del chiodo stesso
- Non possono essere scomposte a meno che non si distruggano anche gli elementi di connessione.
TRAVE-COLONNA TRAVE-TRAVE COLONNA-COLONNA COLONNA-FONDAZIONE

59
3.1.1.2 Sistemi bullonati
VANTAGGI:
- Facilità e velocità di montaggio e smontaggio
- Flessibilità della struttura nel caso in cui debba subire modifiche per far fronte a nuove esigenze
- Riutilizzo delle parti strutturali
SVANTAGGI:
- Gli elementi strutturali sono indeboliti dalla presenza dei fori
- La presenza dei fori comporta una distribuzione delle tensioni caratterizzata da punte locali
3.1.1.3 Sistemi saldati
VANTAGGI:
- Collegamenti più rigidi
- Si evita l’indebolimento dovuto ai fori dei bulloni
- Le saldature occupano meno spazio, per cui i giunti risultano più snelli
- Gli elementi da unire non devono subire un trattamento iniziale (per le bullonature occorre realizzare i
fori)
SVANTAGGI:
- In generale sono più difficili da realizzare
3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici
3.1.3.1 Introduzione
Gli Eurocodici trattano le connessioni in acciaio in modo molto più approfondito rispetto alle NTC 08.
Per questo, per una modellazione più avanzata (che comprenda la modellazione del nodo) ci si può
avvalere degli Eurocodici (“indicazioni di comprovata validità”).
3.1.3.2 Collegamento e Nodo strutturale
- Collegamento (Connection) = è la parte che
interessa proprio la trasmissione delle forze al
contatto tra gli elementi (saldatura per unioni
saldate, piastra + bulloni per unioni bullonate).
- Nodo strutturale (Joint) = coinvolge tutta quella
zona in cui nascono variazioni rilevanti delle
caratteristiche della sollecitazione (pannello d’anima
della colonna soggetta a taglio)
Figura 3.2

60
3.2 Classificazione dei nodi
3.2.1 Introduzione
Le strutture in acciaio sono usualmente progettate facendo riferimento a modelli in cui i nodi hanno
comportamento ideale. Generalmente, si accetta di rappresentare il comportamento dei nodi attraverso
due modelli idealizzati: incastro perfetto e cerniera perfetta.
Incastro perfetto:
- completa continuità tra gli elementi collegati
- trasferimento completo delle forze tra l’estremità della trave e la colonna
- assenza di deformazioni parassite
Figura 3.3
Cerniera perfetta:
- sufficiente capacità di rotazione della trave
- assenza di momenti parassiti
Figura 3.4
L’utilizzo di questi schemi comporta notevoli semplificazioni: il comportamento reale però è sempre
intermedio.
3.2.2 Classificazione per rigidezza
Questa classificazione è applicabile solo al nodo trave-colonna.
3.2.2.1 Nodo rigido
Il comportamento del nodo non ha influenza significativa sulla distribuzione delle forze e dei momenti nella
struttura. Stessa cosa per le deformazioni.
3.2.2.2 Nodo semi-rigido
In questo caso tra gli elementi esiste interazione, che dipende dal momento resistente e dalla rotazione di
progetto. È in grado di trasmettere forze e momenti.
3.2.2.3 Nodo incernierato

61
Il nodo deve essere in grado di trasmettere forze, senza sviluppo di momenti. Inoltre, deve consentire la
rotazione risultante dai carichi di progetto.
3.2.2.4 Formule
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 1 ) − −− > , ≥
2) − − −− >
.
≤ , ≥
3) − −− > , ≤
.
=
8
25 ≥ 0.1
Figura 3.5
3.2.3 Classificazione per resistenza
Si basa sul confronto tra il momento resistente di progetto del nodo con il momento resistente degli
elementi che vi convergono.
3.2.3.1 Nodo a completo ripristino
Il momento resistente di un nodo a completo ripristino deve essere non inferiore a quello degli elementi
che unisce.
, ≥
3.2.3.2 Nodo a parziale ripristino
È un nodo che non ricade né nella categoria di nodo a completo ripristino, né di nodo incernierato.
3.2.3.3 Nodo incernierato
Ha le caratteristiche di cui sopra (Par. 3.2.2.3) e deve valere la relazione:
, ≤ 0.25
Figura 3.6

62
3.2.4 Classificazione per duttilità
Dipende dalle classificazioni precedenti.
Si distinguono i nodi in:
- nodo continuo
- nodo semi-continuo
- nodo semplice
3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi
Nel caso di un’analisi elastica globale, le uniche caratteristiche rilevanti per la modellazione sono quelle di
rigidezza.
Viceversa, se stiamo effettuando un’analisi rigido- plastica ci interessano principalmente le resistenze.
Infine, in tutti gli altri casi, sia la rigidezza che la resistenza governano il modo in cui il nodo dovrebbe essere
modellato.
La tabella seguente riassume la casistica.

63
3.3 Modellazione del nodo
3.3.1 Tipi di modellazione
I modelli per la previsione del comportamento dei nodi si dividono in 5 categorie:
- test sperimentali
- modelli empirici
- modelli analitici
- modelli agli elementi finiti
- modelli meccanici (metodo delle componenti)
Chiaramente, il metodo più accurato consiste nell’effettuare test sperimentali, a cui però non si può
ricorrere se non in casi eccezionali, poichè però sono molto dispendiosi.
3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato
3.3.2.1 Introduzione
Detti anche modelli a molla, i modelli meccanici si basano sulla simulazione del nodo/collegamento con un
insieme di componenti rigide e flessibili.
Il metodo delle componenti consta di 3 fasi principali:
- identificazione delle componenti
- risposta delle componenti
- assemblaggio delle componenti
Consideriamo un giunto saldato e guardiamo come si articola il metodo.
Figura 3.7
Individuiamo le varie fonti di deformabilità. Nel caso di connessioni saldate abbiamo:
- pannello d’anima della colonna a taglio
- anima della colonna in trazione
- anima della colonna in compressione
- flangia della colonna in flessione
- anima e flangia della trave in compressione
Figura 3.8

64
Le prime 3 componenti contribuiscono sia in termini di rigidezza che di resistenza , per cui vengono
modellate con un legame di tipo elasto-plastico; le altre 2 componenti contribuiscono solo alla resistenza e
per questo vengono modellate con un legame rigido-plastico.
NB. In tale metodo, si ipotizza che la rottura delle saldature sia evitata, poiché la loro rottura è un
meccanismo di tipo fragile. È auspicabile quindi che le saldature siano dimensionate sempre a vantaggio di
sicurezza.
3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti
3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio
Pannello d’anima di colonna non irrigidito
. =
√⁄
Dove Av è l’area di taglio, calcolabile a seconda del tipo di sezione dell’elemento:
3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa
Anima di colonna non irrigidita
, = . − .
,

, ≤

Va inoltre calcolata la resistenza all’instabilità dell’anima della colonna, considerata come membratura
compressa.
Figura 3.9

65
ℎ. =
ℎ = (ℎ + )
, =

=

′ à
Figura 3.10
Eventualmente, si possono aggiungere piatti di rinforzo orizzontali e obliqui.
Figura 3.11
3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa
Ala di colonna non irrigidita
, =
( + ) +
, ≤
+ 2 + 7
, ≥
0.7

Figura 3.12

66
3.3.2.3 Determinazione del momento resistente
Assumiamo che la resistenza complessiva sia governata dalla
componente più debole.
= . ; , ; ,
Con z = braccio delle forze interne
3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale
=
−
∑ (
,
)
Dove
- Sj è la rigidezza secante con riferimento allo snervamento
(M < Mrd)
- ki coefficiente di irrigidimento per il componente i-esimo
- Fi forza nel componente i-esimo
- Fi,Rd resistenza di progetto del componente i-esimo
Figura 3.15
= 0.24 ,
= 0.8 ,
3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale
- Si può assumere che un collegamento trave-colonna
saldato non irrigidito, progettato in conformità con
queste regole applicative, abbia una capacità di rotazione
φCd di 0.015 radianti.
- In un collegamento saldato trave-colonna, nel quale la
colonna è irrigidita nella zona compressa ma non nella
zona tesa, quando la resistenza al momento non è
governata dalla resistenza della zona soggetta a taglio, la
capacità di rotazione è pari a φCd =0.025 hc/hb
Figura 3.16

67
3.3.2.6 Conclusioni
- I metodi illustrati non possono essere applicati ai collegamenti trave-trave
- I metodi illustrati non riguardano i collegamenti in cui la trave è collegata all’anima della colonna
- Questi metodi non devono applicarsi in presenza di elementi con sezioni che non siano a I o H.
3.3.3 Considerazioni
Operando con quest’approccio, potremmo arrivare a valori di momento resistente M,Rd e rigidezza S,ini del
nodo tali che il nostro giunto saldato trave-colonna non risulta essere un nodo rigido / a completo ripristino
(caratteristiche per cui pensavamo di averlo progettato), bensì è un nodo semi-rigido / a parziale ripristino
(vedi Par. 3.2.2 e 3.2.3).
Per ripristinare la continuità del nodo, così come da richiesta progettuale, possiamo inserire ulteriori
elementi, ricalcolare il momento resistente (in particolare Vpl,Rd, vedi Par. 3.3.2.2.1) :
- irrigidimenti orizzontali, in modo che le due forze concentrate in corrispondenze delle ali della trave siano
assorbite da questi
- Se ancora non basta a riportare il nodo nella categoria di nodi a completo ripristino, occorre inserire un
irrigidimento obliquo.
3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo
3.4.1 Non linearità di materiale
Consideriamo un caso semplice: una piattabanda con un unico foro dove andremo successivamente a
posizionare un bullone. La piattabanda è soggetta a trazione (distribuzione di pressioni uniformi,
equivalenti a una risultante pari a F).
Figura 3.17
Innanzitutto dobbiamo creare una mesh di elementi finiti, facendo in modo che non ci sia tanta differenza
tra le aree degli elementi utilizzati. Inseriamo anche dei vincoli: in questo modo la lastra, soggetta a
trazione, può diminuire la propria sezione per effetto Poisson.

68
Figura 3.20
In corrispondenza del foro , le σ hanno un andamento che non è uniforme: c’è una concentrazione di
tensione. L’andamento è non lineare già in campo elastico.
Figura 3.21
Figura 3.22
Al crescere di p*, arriveremo a snervamento prima delle fibre in corrispondenza del foro; continuando a
aumentare p* aumentano le fibre snervate, fino a arrivare a due stress-block.
Calcoliamo il valore del carico p che porta alla crisi della lastra.
=
( − ) =
=
( − )
è <
Il valore che porta a snervamento è inferiore alla tensione di snervamento dell’acciaio, proprio per la
presenza del foro.
Volendo modellare questo processo, ci si riconduce a un legame F – u , dove F è la risultante della
distribuzione di pressioni applicate e u è lo spostamento.
= = ( − )
t = spessore lastra
Figura 3.23

69
Un legame del genere però può dare problemi con i calcolatori ( in corrispondenza di Fy abbiamo infiniti
valori di u --- > non vale l’unicità della soluzione).
È meglio considerare un legame incrudente , con
pendenza molto ridotta, in cui non ci sono
problemi di molteplicità della soluzione.
=
20 ÷ 50
Figura 3.24
3.4.2 Non linearità di vincolo
Adesso consideriamo che la lastra è vincolata a un bullone.
Figura 3.25
Ci sarà un certo gioco tra il bullone e il foro: pensando di tirare la lastra verso destra, il gioco aumenta a
destra, mentre diminuisce a sinistra, fino a che le superfici del foro e del bullone entrano in contatto
(cambiando la direzione della forza va tutto al contrario).
Questa non linearità di contatto si può modellare come una non linearirà di materiale : mi interessa
schematizzare un legame che reagisca principalmente a compressione.
Abbiamo vari schemi possibili, di differente complessità.
1) NO TENSION (N O T )
Modelliamo il comportamento di una biella, reagente solo a compressione.
Figura 3.26
Elastico – lineare
Figura 3.27

70
Elastico – plastico (può rappresentare bene il punzonamento di un palo)
Figura 3.28
2) NO COMPRESSION (N O C )
In questo caso modelliamo il comportamento degli elementi tipo fune.
Figura 3.29
Elastico – lineare
Figura 3.30
Elastico – plastico
Figura 3.31

71
3) Legame che tiene conto della FRAGILITÀ (es. fibre di carbonio)
Figura 3.32
4) Come caso intermedio, si ha un legame elasto-plastico con modesta resistenza a trazione (1/20 – 1/50 di
quella a compressione). È più trattabile numericamente.
Figura 3.33
5) Altra modellazione possibile è quella che tiene conto del “gioco”, ovvero del fatto che devo percorrere
un certo tratto prima di avere il contatto bullone-lamiera.
Figura 3.34

72
3.4.3 Esempio
Facciamo ora uno zoom sul foro e guardiamo come si modellano i singoli elementi.
La lastra è in trazione verso destra (vedi figura Par. 3.2.2)
- bullone = elemento beam
- vincolo bullone – lamiera = elementi
link (a cui assegniamo uno dei legami
visti nel Par. 3.3.2).
Figura 3.35
La dimensione del link va scelta tenendo conto della larghezza media e dello spessore (dipende quindi da
quanti link ho inserito).
Figura 3.35
Una modellazione con 8 link già è sufficiente; con 16 link riusciamo a arrivare proprio alla pressione di
rifollamento.
NB. Inserendo i link sui due piani (superficie esterna
e interna della lamiera) possiamo valutare bene il
taglio a cui è soggetto il bullone.
Figura 3.36

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