CM - elaborato BISCARINI

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
Corso di laurea magistrale in Ingegneria Civile
APPUNTI DI COSTRUZIONI METALLICHE
Docente: Studente:
Prof. Ing. Franco Bontempi Giulio Biscarini 1242352
Assistenti:
Ing. Francesco Petrini
Ing. Paolo Emidio Sebastiani
Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE
1 LA TEORIA DELLA PLASTICITA’ ................................................................................................................... 1
1.1 Plasticità del materiale ..............................................................................................................................1
1.1.1 Stati di tensione monoassiali .......................................................................................................1
1.1.1.1 Legame costitutivo dell’acciaio ...................................................................................2
1.1.1.1.1 Legame costitutivo sperimentale..................................................................2
1.1.1.1.2 Legami semplificati di calcolo .......................................................................2
1.1.1.1.3 Legami ciclici .................................................................................................4
1.1.1.2 La duttilità ....................................................................................................................5
1.1.2 Stati di tensione non monoassiali ................................................................................................6
1.1.2.1 I criteri di rottura..........................................................................................................6
1.1.2.2 L’incrudimento.............................................................................................................7
1.2 Plasticità di sezione/elemento ................................................................................................... 9
1.2.1 Sezione soggetta a flessione semplice .....................................................................................9
1.2.1.1 Legame momento curvatura .....................................................................................10
1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico ............................................................................11
1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico ............................................................................11
1.2.1.1.3 Diagramma momento curvatura ...............................................................13
1.2.1.2 La cerniera plastica ....................................................................................................14
1.2.2 Sezione soggetta a presso-flessione...........................................................................................14
1.2.2.1 Analisi in campo elastico ............................................................................................15
1.2.2.2 Analisi in campo plastico ............................................................................................15
1.2.2.3 Confronti.....................................................................................................................16
1.2.3 Considerazioni ............................................................................................................................17
1.3 Plasticità di sistema.................................................................................................................. 18
1.3.1 Richiami ..................................................................................................................................18
1.3.1.1 Definizione di duttilità ...............................................................................................18
1.3.1.2 Definizione di collasso ...............................................................................................18
1.3.2 Ridistribuzione dei carichi ......................................................................................................20
1.3.3 Capacità portante in campo elasto-plastico ..........................................................................21
1.3.3.1 Analisi incrementale (Pushover)................................................................................21
1.3.3.2 Soluzione analitica .....................................................................................................23
1.3.3.2.1 Analisi in campo elastico ............................................................................23
1.3.3.2.2 Analisi in campo elasto-plastico .................................................................23
1.3.3.2.3 Fase di scarico del sistema..........................................................................24
1.3.3.3 Analisi limite...............................................................................................................25
1.3.3.3.1 Il teorema statico .......................................................................................27
1.3.3.3.2 Il teorema cinematico ................................................................................28
1.3.3.2.3 Strutture intelaiate .....................................................................................30
2 FENOMENI DI INSTABILITA’...................................................................................................................... 33
2.1 Introduzione ai fenomeni di instabilità...................................................................................... 33
2.1.1 Problemi di instabilità semplici o euleriani ................................................................................33
2.1.2 Determinazione del carico critico ..............................................................................................33
2.1.2.1 Il criterio statico .........................................................................................................33
2.1.2.2 Il criterio energetico....................................................................................................34
2.1.3 Sistemi discreti elementari ........................................................................................................34
2.1.4 Presenza delle imperfezioni........................................................................................................35
2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un‘asta rigida............................................... 37

2.2.1 Condizione di vincolo 1 (Stabile-simmetrico) ................................................................37
2.2.1.1 Il criterio statico .............................................................................................37
2.2.1.1.1 Trattazione completa.....................................................................37
2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti .................................................38
2.2.1.2 Il criterio energetico.......................................................................................38
2.2.2 Condizione di vincolo 2 (Instabile-simmetrico) .............................................................39
2.2.3 Condizione di vincolo 3 (asimmetrico)...........................................................................41
2.3 Studio del comportamento di un sistema di aste ...................................................................... 43
2.3.1 Trattazione completa..................................................................................................................44
2.4 Studio del comportamento di un sistema a due g.d.l. ............................................................... 45
2.4.1 Linearizzazione degli spostamenti..............................................................................................45
2.5 Studio del comportamento di un sistema ad ∞g.d.l................................................................ 46
2.5.1 La colonna di Eulero ...................................................................................................................46
2.5.2 La lunghezza libera di inflessione ..............................................................................................47
2.5.2.1 La colonna .................................................................................................................47
2.5.2.2 Il telaio .......................................................................................................................47
2.5.3 La curva di stabilità ....................................................................................................................48
2.5.3.1 Valutazione della presenza delle imperfezioni .........................................................49
3 LE CONNESSIONI IN ACCIAIO................................................................................................. 50
3.1 Definizioni ............................................................................................................................... 50
3.1.1 Classificazione.............................................................................................................................50
3.1.1.1 Classificazione secondo la tipologia delle componenti..............................................50
3.1.1.2 Classificazione secondo il sistema di collegamento usato.........................................51
3.1.1.3 Classificazione secondo il tipo di sollecitazione trasmessa .......................................52
3.1.1.4 Classificazione secondo la rigidezza del nodo ...........................................................52
3.1.1.5Classificazione secondo la resistenza del nodo ...........................................................53
3.1.1.6 Classificazione secondo la duttilità del nodo.............................................................54
3.1.1.7 Classificazione secondo i tipi di analisi ......................................................................54
3.2 Modellazione del nodo ............................................................................................................ 55
3.2.1 Metodo delle componenti .........................................................................................................55
3.2.1.1 Esempio: giunto saldato ............................................................................................55
3.2.1.1.1 Calcolo della resistenza delle componenti .............................................................56
3.2.1.1.1.1 Resistenza della zona soggetta a taglio.......................................56
3.2.1.1.1.2 Resistenza della zona compressa ...............................................57
3.2.1.1.1.3 Resistenza della zona tesa ..........................................................58
3.2.1.1.2 Calcolo del momento resistente .............................................................................58
3.2.1.1.3 Calcolo della rigidezza rotazionale ..........................................................................58

3.2.1.1.4 Calcolo della capacità rotazionale ..........................................................................58
3.2.1.1.5 Considerazioni..........................................................................................................59
3.3 Modellazione a elementi finiti del nodo.................................................................................... 59
3.3.1 La piattabanda ...........................................................................................................................60
3.3.1.1 La non linearità di vincolo .........................................................................................62
4 COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA................................................................................... 65
4.1 Le azioni sulla struttura ........................................................................................................... 65
4.1.1 L’azione sismica ..........................................................................................................................65
4.2 Basi della progettazione anti-sismica ....................................................................................... 65
4.2.1 Filosofie di progetto ...................................................................................................................65
4.3 Le costruzioni in acciaio ........................................................................................................... 67
4.3.1 Il materiale – prescrizioni addizionali per le zone dissipative ....................................................67
4.3.2 Tipologie strutturali ...................................................................................................................67
4.3.2.1 Strutture intelaiate ....................................................................................................67
4.3.2.2 Strutture con controventi concentrici .......................................................................67
4.3.2.3 Strutture con controventi eccentrici..........................................................................68
4.3.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso ...................................................................68
4.3.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici ......................................................69
4.3.2.5 Strutture intelaiate con tamponature .......................................................................69
4.3.3 Il fattore di struttura...................................................................................................................69
4.3.3.1 Il fattore q0..................................................................................................................69
4.3.3.2 Il rapporto αu/ α1.......................................................................................................69
4.3.4 Zone dissipative e duttilità locale...............................................................................................70
4.3.4.1 Confronto tra le norme...............................................................................................70
4.3.4.2 Ordinanza 3274...........................................................................................................70
4.3.4.3 NTC 2008.....................................................................................................................71
4.4 Strategie di progettazione antisismica ...................................................................................... 73
4.4.1 La gerarchia delle resistenze.......................................................................................................73
4.4.2 I sistemi dissipativi......................................................................................................................73
4.5 Sistemi di dissipazione ordinari................................................................................................. 74
4.5.1 Strutture intelaiate .....................................................................................................................74
4.5.1.1 Meccanismi di collasso ...............................................................................................74
4.5.1.2 Le travi ........................................................................................................................74
4.5.1.3 Le colonne...................................................................................................................74
4.5.1.4 I nodi ...........................................................................................................................75
4.5.1.4.1 Nodo trave-colonna ....................................................................................75
4.5.1.4.2 Nodo colonna-fondazione...........................................................................76
4.5.2 Strutture con controventi concentrici........................................................................................76
4.5.2.1 Travi e colonne............................................................................................................77
4.5.2.2 I collegamenti..............................................................................................................78
4.5.3 Strutture con controventi eccentrici ..........................................................................................78
4.5.3.1 Verifica elementi di connessione................................................................................78
4.5.4 Collegamenti...............................................................................................................................80
5 CRITERI DI PROGETTAZIONE ..................................................................................................... 81
5.1 Analisi strutturale .................................................................................................................... 81
5.2 Conceptual design ................................................................................................................... 81

5.3 Ottimizzazione strutturale........................................................................................................ 82
5.3.1 Ottimizzazione locale (“Sizing”) .................................................................................................83
5.3.2 Ottimizzazione morfologica (“Morfing”) ...................................................................................84
5.3.3 Ottimizzazione topologica ..........................................................................................................84
5.3.4 Riepilogo ottimizzazione.............................................................................................................85
5.4 Requisiti strutturali .................................................................................................................. 86
5.4.1 Requisiti elementari....................................................................................................................86
5.4.1.1 Stati limite di esercizio ...............................................................................................86
5.4.1.2 Stati limite ultimo .......................................................................................................86
5.4.2 Requisiti della struttura come sistema.......................................................................................87
5.4.2.1 Durabilità ....................................................................................................................87
5.4.2.2 Robustezza..................................................................................................................90
5.4.2.3 Resilienza ....................................................................................................................92
5.4.2.4 Le fasi della vita di una struttura....................................................................93
5.4.3 Metodi di calcolo dei requisiti strutturali...................................................................................93
5.4.3.1 Analisi pushover..........................................................................................................93
5.4.3.2 Analisi pushdown........................................................................................................94
5.4.4 Effetti delle non linearità geometriche.......................................................................................96
5.4.4.1 Duttilità.......................................................................................................................96
5.4.4.2 Robustezza..................................................................................................................97
5.5 Strategie di progettazione ........................................................................................................ 99
5.5.1 Specializzazione ed integrazione ..............................................................................................100
5.4.2 Evoluzione ed innovazione .......................................................................................................103
5.5.2.1 L’outrigger.................................................................................................................103
5.5.2.2 Sistemi di controventamento ...................................................................................104
5.6 Criteri di progetto per edifici alti............................................................................................. 105
5.6.1 Comportamenti globali.............................................................................................................105
5.6.1.1 Punzonamento..........................................................................................................105
5.6.1.2 Ribaltamento ............................................................................................................106
5.6.1.3 Scorrimento ..............................................................................................................106
5.6.2 Effetti delle non linearità geometriche.....................................................................................107
5.6.2.1 Effetto P-∆ negativo .................................................................................................107
5.6.2.2 Effetto P-∆ positivo ..................................................................................................107
5.6.2.3 Conclusioni ...............................................................................................................108
5.6.3 Comportamenti elementari......................................................................................................108
5.6.3.1 Strutture soggette a trazione....................................................................................108
5.6.3.2 Strutture soggette a compressione ..........................................................................109
5.6.3.3 Strutture soggette a carichi orizzontali.....................................................................109
5.6.4 Comportamenti locali...............................................................................................................110
5.6.5 Problemi derivati dalla presenza di elementi parete ...............................................................111
5.6.5.1 Elemento scomposto in fibre....................................................................................112
5.6.5.2 Conclusioni................................................................................................................114
5.6.6 Sottostrutturazione ..................................................................................................................115
5.6.6.1 Sottostrutturazione verticale....................................................................................115
5.6.6.2 Sottostrutturazione orizzontale................................................................................116
5.7 Metodo di analisi strutturale .................................................................................................. 116
5.7.1 Trave forata ..............................................................................................................................116

1
CAP.1 : La teoria della plasticità
Nella teoria della plasticità si studia l’interazione tra forze e spostamenti, considerando il legame tra tensioni e
deformazioni di tipo elasto-plastico.
L’utilizzo di questo tipo di legame porta numerose conseguenze nella trattazione matematica del problema:
- Non validità del principio di sovrapposizione degli effetti
- Non validità del teorema di unicità
- Utilizzo di equazioni non lineari ∗ =
1.1 Plasticità di materiale
Nel seguente paragrafo si analizzeranno le leggi e i grafici sperimentali che legano tensioni e deformazioni di
materiali caratterizzati da un comportamento di tipo elasto-plastico.
1.1.1 Stati di tensione monoassiali
Tra gli stati di tensione monoassiali si definiscono due gruppi:
1) Il materiale con comportamento elasto-plastico ha un limite elastico ben definito (Es. acciaio).
Figura 1.1.1.I
2) Il materiale con comportamento elasto-plastico non ha un limite elastico ben definito (Es. calcestruzzo). In questo
caso si determina tale limite effettuando una linearizzazione del legame.
Figura 1.1.1.II

2
1.1.1.1 Legame costitutivo dell’acciaio
1.1.1.1.1 Legame costitutivo sperimentale
In seguito ad un prova a trazione monoassiale, si può ricavare dalle misurazioni effettuate durante la prova
l’andamento delle deformazioni in relazione alle tensioni presenti nel provino di acciaio, che descrivono il legame
costitutivo del materiale rappresentato in Fig.1.1.1.1.1.II.
Figura 1.1.1.1.1.I Figura 2.1.1.1.1.II
Dal grafico in Fig.1.1.1.1.1.II si possono definire:
→ 0.002%
%& = '(
(*&)
1.1.1.1.2 Legami semplificati di calcolo
Poiché effettuare analisi al calcolatore utilizzando il legame costitutivo sperimentale dell’acciaio risulta molto
complicato e oneroso da un punto di vista computazionale, si preferisce adottare modelli in grado di cogliere con
affidabilità solo quel particolare aspetto che di volta in volta si vuole:
A) LEGAME RIGIDO-PLASTICO PERFETTO
SI CONSIDERA SI TRASCURA
Limite elastico si
Limite plastico si
Def. elastiche si
Icrudimento si
Snervamento si
non linearità si
Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco cui è
applicata una forza (il comportamento è descritto da due parametri).
Figura 1.1.1.1.2.II
Figura 1.1.1.1.2.I

3
B) LEGAME ELASTO-PLASTICO PERFETTO
Limite elastico si
Limite plastico si
Def. elastiche si
Icrudimento si
Snervamento si
non linearità si
Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco cui è
applicata una forza F attraverso una molla di rigidezza E (il
comportamento è descritto da tre parametri ).
C) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE
Limite elastico si
Limite plastico si
Def. elastiche si
Icrudimento si
Snervamento si
non linearità si
Il valore del modulo E1 si determina andando a fare un equivalenza in termini di energia rispetto al legame reale
(Vedi Fig.V)
Si determina E1 Imponendo A1 = A2
Figura 1.1.1.1.2.V
Figura 1.1.1.1.2.VI
Figura 1.1.1.1.2.III
Figura 1.1.1.1.2.IV

4
Il modello reologico associato al legame è costituito da un blocco vincolato mediante una forza di rigidezza E0 e
sollecitato da un forza F attraverso una molla di rigidezza E1 (il comportamento è descritto da quattro parametri ).
D) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE CON TRATTO DI SNERVAMENTO
Limite elastico si
Limite plastico si
Def. elastiche si
Incrudimento si
Snervamento si
non linearità si
Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco
sollecitato da una forza F attraverso una molla di rigidezza E0 e
vincolato da una molla di rigidezza E1 che si attiva solo una volta
raggiunto un certo valore di deformazione (il comportamento è
descritto da cinque parametri).
1.1.1.1.3 Legami ciclici
Si può passare dai legami di calcolo appena descritti ai corrispondenti legami ciclici:
A) LEGAME RIGIDO-PLASTICO PERFETTO B) LEGAME ELASTO-PLASTICO PERFETTO
Figura 1.1.1.1.2.VII
Figura 1.1.1.1.2.VIII
Figura 1.1.1.1.2.VIV
Figura 1.1.1.1.3.I
Figura 1.1.1.1.3.II

5
C) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE D) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE CON
f TRATTO DI SNERVAMENTO
In aggiunta ai legami già visti si può considerare le legge di menagotto-pinto:
Questo legame è molto utilizzato per descrivere le
deformazioni cicliche prodotte da un evento sismico.
Tale legame è descritto dalla legge:
&
= , ∗ -
ε
ε&
. +
(1 − ,) ∗
ε
ε&
21 +
ε
ε&
3
4
(
35
1.1.1.2 La duttilità
La duttilità è una proprietà fisica della materia che indica la capacità di un corpo o di un materiale di deformarsi
plasticamente sotto carico prima di giungere a rottura.
Questa proprietà nell’ambito della duttilità di materiale può essere calcolata in due differenti modi:
6
µ&
=
ε7
ε8
µ&
=
ε7'ε8
ε9
:
Figura 1.1.1.1.3.IV
Figura 1.1.1.1.3.V
Figura 1.1.1.2.I

6
1.1.2 Stati di tensione non monoassiali
A differenza degli stati monoassiali, dove il limite elastico è rappresentato da un valore specifico della tensione
(tensione di snervamento), negli stati non monoassiali il limite di elasticità è rappresentato da una superficie di
snervamento.
Tale superficie rappresenta il luogo dei punti nello spazio delle tensioni che definiscono lo snervamento del
materiale. Le differenti superfici proposte rappresentano i differenti criteri di rottura per i suddetti stati di tensione.
1.1.2.1 I criteri di rottura
Si definiscono due criteri di rottura :
A) CRITERIO DI TRESCA
Questo criterio afferma che lo snervamento si verifica quando la massima tensione tangenziale nel punto
considerato ;<=> diviene uguale alla massima tensione tangenziale del provino di trazione al momento dello
snervamento ;?.
Dove:
;<=> =
(
@
∗ A ∗ BC ( − @D; C @ − FD; C F − (DG
;? =
(
@
∗ max ( ?(; ?@; ?F) → ?Kè M
Al suddetto criterio, corrisponde nello spazio delle tensioni principali (σ1; σ2 ; σ3)
un dominio di resistenza avente la forma di un prisma a base esagonale
irregolare e l’asse coincidente con la trisettrice del primo ottante.
Effettuando l’intersezione del prisma con il piano σ3 = 0, si ricava il
dominio di resistenza per stati di tensione piani.
B)CRITERIO DI VON MISES
Questo criterio afferma che lo snervamento del materiale si verifica quando l’energia elastica di deformazione
immagazzinata raggiunge un valore critico, tale valore può essere determinato con la prova di trazione ed è pari
all’energia di deformazione relativa alla tensione monoassiale di snervamento.
Effettuando l’uguaglianza tra le energie di deformazione si ottiene che il materiale si snerva quando: ; = ;?.
Dove:
- ; è la media delle tensioni tangenziali agenti su una sfera di raggio piccolo tendente a zero con il centro
coincidente con il punto in esame .
; = N
1
4 ∗ Π
∗ P % ∗ P ;?
@ ∗ sin β
Π
&
β =
@Π
&
1
√15
∗ V( ( − @)@ + ( @ − F)@ + ( F − ()@
- ;? =
(
@
∗ max ( ?(; ?@; ?F) → ?Kè M
Figura 1.1.2.1.I
Figura 1.1.2.1.II
Figura 1.1.2.1.III

7
Al suddetto criterio, corrisponde nello spazio delle tensioni principali (σ1; σ2 ; σ3)un dominio di resistenza avente la
forma di un cilindro a base circolare avente asse coincidente con la trisettrice del primo ottante.
Confrontando i due criteri si osserva come il criterio di Von Mises indichi un valore della resistenza allo snervamento
a taglio sempre maggiore o al più uguale al valore proposto da tresca.
1.1.2.2 L’incrudimento
L’incrudimento rappresenta quel tratto successivo al tratto lineare-elastico o allo snervamento del legame
costitutivo dell’acciaio per cui si ha una riduzione della rigidezza del materiale rispetto alla rigidezza del ramo
elastico.
L’incrudimento viene rappresentato in differenti modi in funzione dello stato tensionale.
A) STATO DI TENSIONE MONOASSIALE
L’incrudimento viene rappresentato da una pendenza (E1):
Figura 1.1.2.1.IV
Figura 1.1.2.1.V
Figura 1.1.2.1.VI
Figura 1.1.2.2.I
Figura 1.1.2.1.V

8
B) STATO DI TENSIONE PIANO
I differenti tipi di incrudimento si differenziano per il percorso di carico con il quale si è arrivati al limite dello
snervamento del materiale e per il cinematismo. In seguito si elencano come questi fattori influenzano la superficie
di snervamento.
INCRUDIMENTO:
ISOTROPIA
isotropo La superficie di snervamento cambia le dimensioni ma non la forma
Non isotropo La superficie di snervamento cambia le dimensioni e la forma
CINEMATISMO
statico La superficie non si sposta
cinematico La superficie si sposta
CASO 1
- Isotropo
- Statico
CASO 2
- Non Isotropo
- Statico
CASO 3
- Isotropo
- Cinematico
CASO 4
- Non Isotropo
- Cinematico
La superficie di incrudimento
cambia le dimensioni ma non
la forma e non si sposta

9
1.2 Plasticità di sezione / elemento
In questo paragrafo si evidenzieranno gli aspetti con i quali si descrive la plasticità di una sezione sottoposta
differenti condizioni di sforzo quali flessione semplice (Es. travi) o pressoflessione (Es. Pilastri) e si analizzerà come il
diverso stato tensionale della sezione faccia variare la duttilità della sezione stessa.
1.2.1 Sezione soggetta a flessione semplice
Lo studio della plasticità di una sezione sottoposta ad uno stato di sforzo di flessione semplice è stato eseguito
considerando la sezione di una trave sottostante alle seguenti ipotesi:
- Rotazione piana delle sezioni
- Piccoli spostamenti (Assenza dei problemi legati all’instabilità)
- Legame elasto-plastico perfetto isotropo
- Validità della teoria di De Saint-Venant
Applicando sulla sezione un momento si può studiare l’andamento delle tensioni e delle rispettive deformazioni al
variare della sollecitazione agente sulla sezione.
Figura 1.2.1.I
Si definisce il fattore di forma β =
<W
<X
. Questo fattore ci fornisce delle indicazioni sul tipo di legame costitutivo infatti:
- β = 1 Legame elasto-plastico perfetto - β > 1 Legame elasto-plastico incrudente
Figura 1.2.1.II Figura 1.2.1.III

10
Come è indicato dalla Fig.1.2.1.I, il valore del momento ultimo della sezione varia in un range compreso tra il
momento di prima plasticizzazione ed il momento plastico .
Lo stato tensionale ultimo ammissibile per la sezione dipende dalla capacità della stessa di sfruttare le sue risorse
plastiche:
- Se al raggiungimento della plasticizzazione della prima fibra, si è raggiunta la deformazione ultima della
sezione, il momento ultimo coincide con il momento di prima plasticizzazione. Questo indica che la sezione
non è riuscita a sfruttare le sue risorse plastiche, poiché tutto il materiale tra la fibra più esterna (che è
quella plasticizzata ) e l’asse neutro è rimasto in campo elastico.
- Se il raggiungimento del momento ultimo avviene quando alcune fibre della sezione si trovano ancora in
campo elastico si ha che Z[ < Z < Z] . Lo sfruttamento della riserva di plasticizzazione della sezione
dipende dalla percentuale di materiale rimasto in campo elastico.
- Il raggiungimento del momento plastico indica che la sezione ha sfruttato tutte le sue risorse plastiche.
1.2.1.1 Legame momento curvatura
Il diagramma momento curvatura rappresenta l’equivalente a livello di sezione del diagramma tensione
deformazione definito a livello di materiale.
Tale parallelismo è riassunto nella seguente tabelle:
Parametri Materiale Sezione / Elemento
Tensionali σy My,Mp
Deformativi εy, εu χy,χu
Duttilità µ&
=
ε
ε^
µ&
=
χ
χ^
Per definire il legame momento-curvatura si studia un concio di trave di lunghezza unitaria inflessa lungo un arco di
circonferenza (Fig.1.2.2.I).
Effettuando una similitudine tra gli archi si ottiene:
,_
=
+ `
_
Dove:
a
,_ = b = 1
_ = b + ε(c) = 1 + ε(c)
→
1
: =
+ `
1 + ε(c)
→ + ∗ ε(c) = + ` → d
ε(c) =
`
χ =
1
: → ε(c) = ` ∗ χ
Figura 1.2.1.1.I

11
1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico
e
)`+ = * ∗ ε)c+ = * ∗ ` ∗ χ
)`+ =
<
f
∗ g
→ χ =
<
∗f
:
Si ricava il valore del limite elastico in termini di curvatura χy
^ =
Z^ ∗ ℎ
25
i
→ Z^ = ^ ∗ jk → χ^
=
Z^
* ∗ i
=
^ ∗ jk
* ∗ i
=
* ∗ ε^ ∗ jk
* ∗ i
=
ε^ ∗ (2 ∗ i) (ℎ)⁄
i
=
2 ∗ ε^
ℎ

1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico
Per stati tensionali tali per cui si supera il limite elastico non esiste più un legame lineare tra tensioni e deformazioni.
Infatti le tensioni assumono un valore costante pari alla tensione di snervamento (σy) e le deformazioni continuano
ad aumentare.
L’andamento a farfalla delle deformazioni fa si che la plasticizzazione si diffonde dalle fibre esterne a massima
deformazione verso l’asse neutro, con il rispettivo nucleo elastico che si riduce di ampiezza all’aumentare del
momento esterno e per il quale vale il legame elastico precedentemente trovato.
Il diagramma tensionale elasto-plastico della sezione può essere scomposto come mostrato in Fig.1.2.2.2.II in modo
da poter ricavare l’andamento del diagramma momento-curvatura.
Considerando che:
- We è il modulo elastico del nucleo elastico
- Z è il modulo plastico
- Ze è il modulo plastico del nucleo elastico
-
χmn
χ8
=
@∗[m
o
Z
Z^
=
jk ∗ ^
Z^
+
p ∗ ^
Z^
−
^ ∗ pk
Z^
Alla linearità tra tensione e deformazione
corrisponde una linearità tra il momento e
la curvatura
Figura 1.2.1.1.2.I
Figura 1.2.1.1.2.II

12
Z
Z^
=
Z
Z^
∗ q
jk ∗ ^
Z
+ 1 −
^ ∗ pk
Z
r = β ∗ s
jk
p
+ 1 −
pk
p
t = β ∗ s1 −
pk − jk
p
t
Dove:
- β =
<n
<8
- p =
<n
u8
Dalla relazione appena ricavata si nota come:
<
<8
= (pk; jk) → a
pk = (gk)
jk = (gk)
→ gk = -
χmn
χ8
.: →
<
<8
= β ∗ c -
χmn
χ8
.
Dove β *Φ ( χk
χ^
⁄ ) dipende dalla tipologia della sezione considerata.
Si effettua la trattazione svolta per il caso di sezione rettangolare:
Data la geometria della sezione si ricavano la proprietà geometriche:
j =
1
12
∗
, ∗ ℎF
ℎ
25
=
1
6
∗ , ∗ ℎ@
; jk =
1
12
∗
, ∗ (2 ∗ gk)F
gk
=
2
3
, ∗ gk
@
; pk = , ∗
(2 ∗ gk)@
4
= , ∗ gk
@
; p = , ∗
ℎ@
4
Sapendo che:
Z] = ^ ∗ , ∗
ℎ
2
∗
ℎ
2
= ^ ∗
, ∗ ℎ@
4
Sostituendo tali equazioni nella relazione che lega il momento alla curvatura si ricava:
Z
Z^
=
Z
Z^
∗ s1 −
pk − jk
p
t =
3
2
∗ x1 −
, ∗ gk
@
− 2 3 ∗ (, ∗ gk
@)⁄
, ∗ ℎ@
4
y =
3
2
∗ x1 −
gk
@
3⁄
ℎ@
4
y =
3
2
∗ q1 −
4
3
∗ -
gk
ℎ
.
@
r
Z
Z^
=
3
2
∗ q1 −
1
3
∗ -
2 ∗ gk
ℎ
.
@
r =
3
2
∗ z1 −
1
3
∗ {
χk
χ^
|
@
}
Si è cosi determinato il legame momento curvatura per una sezione rettangolare.
Si riporta in seguito una tabella riassuntiva:
CAMPO ELASTICO CAMPO ELASTO-PLASTICO
RELAZIONE M-χ χ =
Z
* ∗ i
Z
Z[
= β ∗ c -
χ[
χ
.
VALORE LIMITE DEL MOMENTO Z[ = ^ ∗ j Z] = ^ ∗ p
VALORE LIMITE DELLA CURVATURA χ[
=
2 ∗ ε[
ℎ
χ[
χ
=
2 ∗ gk
ℎ
Ricavando la stessa relazione per sezioni aventi geometria diverse si nota con il parametro β aumenti all’aumentare
della percentuale di materiale vicina all’asse neutro; ossia più la sezione è una sezione compatta e maggiore sarà la
differenza tra il momento di prima plasticizzazione ed il momento plastico.
β Rappresenta un indice delle riserve plastiche della sezione.

13
1.2.1.1.3 Diagramma momento curvatura
Per graficare il diagramma momento-curvatura si utilizza il seguente procedimento:
Data una sezione si fissa un valore χ = χ*
ε = χ∗
∗ g
Sfruttando l’ipotesi che la sezione ruota rimanendo piana si ricava:
∗
= (ε∗)
Sfruttando il legame costitutivo si ricava:
Z∗
= ∗
∗
i
g
Ricavo il momento M*
Ho un numero di punti
(M*,χ*) sufficiente a
tracciare il diagramma?
NO SI
Traccio il
diagramma
M/My
χ/χy

14
1.2.1.2 La cerniera plastica
Quando in una sezione la fibra più esterna si plasticizza, il legame momento curvatura diventa non lineare. Quel
tratto di trave dove tutte le sezioni hanno il suddetto comportamento si può facilmente determinare dalla relazione:
<W
~
@5
=
<X
~
@5 '∆~
@5
→ β =
<W
<X
=
~
~'∆~
→ b ∗ β − ∆b ∗ β = b → ∆b =
~∗(β'()
β
Dall’espressione appena ricavata, si nota come Il
∆L dipende solo dal parametro β.
Nel caso di trave IPE, β ≅ 1.14 ne deriva che
l’estensione della cerniera plastica sarà ∆b ≅
0.123 ∗ b.
Per determinare l’estensione della cerniera
plastica si ipotizza di espandere la plasticizzazione
a tutte le fibre facenti parte la sezione e di
considerare un valore di b ≅
∆~
@
(Fig.1.2.1.3.I).
Poiché il valore della χ in campo plastico è molto
maggiore di quello in campo elastico, è possibile
schematizzare la deformata concentrando tutta la
plasticizzazione in un punto commettendo un
piccolo errore rispetto al modello reale. Tale
semplificazione ci permette di trattare il problema
da un punto di vista analitico-numerico e
diminuisce notevolmente l‘onere computazionale
dello studio di problemi complessi composti da
numerosi elementi.
1.2.2 Sezione soggetta a presso-flessione
La presso flessione è uno stato di sforzo tipico degli elementi colonna, dove le generiche sezioni dell’elemento sono
soggette contemporaneamente sia ad un momento che ad uno sforzo di compressione.
Si nota come a causa dello sforzo normale, l’asse neutro non è più baricentrico.
Gli obbiettivi che ci si propone consistono:
- studiare l’interazione tra il momento M e lo sforzo di compressione N diagrammando le curve di interazione
- studiare la variazione del diagramma momento curvatura al variare dello sforzo nomale
Figura 1.2.1.2.I
Figura 1.2.2.I

15
1.2.2.1 Analisi in campo elastico
In questo paragrafo si vuole determinare il dominio di interazione M-N al limite elastico.
Si ipotizza di applicare un momento ed uno sforzo di compressione tali che la fibra inferiore si sia plasticizzata.
Il diagramma delle tensioni che si genera sulla sezione può essere scomposto in due diagrammi: un diagramma dato
dall’applicazione del solo momento flettente (flessione semplice) e l’altro dato dall’applicazione del solo sforzo di
compressione (Fig.1.2.2.1.I).
e
Z = €
∗ j =
•∗o‚
ƒ
∗ ′
… = , ∗ ℎ ∗ ( ^ − €
)
→
u8
u€
=
o
@5 †^9
o
@5
= 1 +
@∗o9
o
: → ^ = €
∗ 1 +
@∗o9
o
Determino i valori di N e M al limite elastico
‡
ˆ
‰Z[ =
, ∗ ℎ@
6
∗ ^ =
, ∗ ℎ@
6
∗ €
∗ -1 +
2 ∗ ℎ&
ℎ
.
…[ = , ∗ ℎ ∗ ^ = , ∗ ℎ ∗ €
∗ -1 +
2 ∗ ℎ&
ℎ
.
:
Normalizzo i valori di N e M rispetto ad NY e MY
‡
Š
ˆ
Š
‰
Z
Z[
=
1
1 + 2 ∗
g&
ℎ5
…
…[
= 1 −
1
1 + 2 ∗
g&
ℎ5
→
…
…[
= 1 −
Z
Z[
= 1 −
Z ∗ β
Z]
:
La relazione
‹
‹X
=
<
<X
descrive nel piano N-M la curva interazione limite elastica che rappresenta quei valori di N
ed M per cui si elasticizza la prima fibra della sezione:
1.2.2.2 Analisi in campo plastico
In questo paragrafo si vuole determinare il dominio di interazione M-N al limite plastico.
Si ipotizza di applicare un momento ed uno sforzo di compressione tali che l’intera sezione si sai plasticizzata.
Il diagramma delle tensioni che si genera sulla sezione può essere scomposto in due diagrammi (Fig.1.2.2.2.I).
Figura 1.2.2.1.I
Figura 1.2.2.1.II
Figura 1.2.2.1.I
Figura 1.2.2.2.I

16
a
… = 2 ∗ , ∗ ^ ∗ g&
Z = p ∗ ^ − p[& ∗ ^
:
Dove:
‡
ˆ
‰ p =
, ∗ ℎ@
4
p[& =
, ∗ (2 ∗ g&)@
4
:
Determino i valori di N e M al limite plastico
6
…[ = , ∗ ` ∗ ℎ
Z] = p ∗ ^ = ^ ∗
, ∗ ℎ@
4
:
Normalizzo i valori di N e M rispetto ad NY e MP
‡
Š
ˆ
Š
‰
N
N•
=
2 ∗ b ∗ Y& ∗ σ‘
b ∗ h ∗ σ‘
=
2 ∗ Y&
h
M
M”
=
σ‘ ∗ b ∗ (h@
− 4 ∗ Y&
@)
4
∗
4
σ‘ ∗ b ∗ h@
→
M
M”
= 1 − -
2 ∗ Y&
h
.
@
= 1 − -
N
N•
.
@
:
La relazione
‹
<
=
‹
‹X
descrive nel piano N-M la curva interazione limite plastica che rappresenta quei valori di N
ed M per cui tutta la sezione si è plasticizzata:
1.2.2.3 Confronti
Se rappresento le due curve di interazione sullo stesso piano N-M si possono effettuare differenti considerazioni:
Figura 1.2.2.3.I
Figura1.2.2.2.II

17
Data una sezione sottoposta ad un momento M* ed una forza di compressione N* inferiori a limite elastico si può
ricavare il valore del moltiplicatore dei carichi che mi porta la sezione al limite elastico come :
• =
–g
–—
Arrivati sulla superficie di interazione limite elastico si può arrivare sulla superficie di interazione limite plastico
aumentando ulteriormente i valori di M ed N. La lunghezza del segmento tra le due curve di interazione è un indice
delle riserve plastiche della sezione in funzione del tipo di sollecitazione a cui la sto sottoponendo:
- Percorso 1
Si mantiene N = cost e si aumenta il solo momento flettente, la lunghezza del percorso fornisce indicazioni
sulle risorse plastiche flessionali della sezione.
- Percorso 2
Si mantiene M = cost e si aumenta la sola forza di compressione, la lunghezza del percorso fornisce
indicazioni sulle risorse plastiche che la sezione ha a compressione.
- Percorso 3
Si aumenta in maniera proporzionale sia N che M, la lunghezza del percorso fornisce indicazioni sulle risorse
plastiche che la sezione ha a presso-flessione.
Una sezione prevalentemente compressa ha una bassa riserva di plasticità poiché quando si elasticizza la prima fibra
si elasticizzano tutte le altre.
1.2.3 Considerazioni
Si considera l’elemento descritto in Fig.1.2.3.I soggetto ad un forza concentrata V
Incrementando l’entità della forza V, alcune parti dell’elemento iniziano a
platicizzarsi.
A partire dalla Fig. 1.2.3.I, continuando ad incrementare il carico V, si analizzano due
differenti condizioni di plasticizzazione:
Condizione A Condizione B
Figura 1.2.2.3.II
Figura 1.2.3.I
Alcune fibre
dell’elemento si
plasticizzano
Figura 1.2.3.II Figura 1.2.3.III

18
Poiché nella condizione B si è arrivati alla plasticizzazione di tutta una sezione, risulta la condizione più gravosa.
Infatti in quando l’elemento ha raggiunto la condizione B, se si aumenta ulteriormente la forza V si porta l’elemento
al collasso(Vedi curva pushover Fig.1.2.3.IV).
ATT. Oltre a controllare che la forza V sia sempre minore dalla capacità portante dell’elemento, si deve controllare
che le deformazioni che si verificano in capo plastico siano contenute entro certi valori. Infatti nella realtà, il legame
costitutivo non è elasto plastico-perfetto ma oltre valori di deformazione all’incirca pari al 5%, si rischia la rottura per
lacerazione dell’elemento.
1.3 Plasticità di sistema
1.3.1 Richiami
1.3.1.1 Definizione di duttilità
Si definisce la duttilità quel rapporto tra lo spostamento ultimo di collasso e quello misurato alla formazione della
prima cerniera plastica.
Figura 1.3.1.1.I
1.3.1.2 Definizione di collasso
Esistono differenti tipologie di collasso che sono riassunte nel tabella seguente
COLLASSO
GLOBALE
LOCALE
In seguito alla formazione di N° cerniere plastiche , la
struttura diventa un cinematismo
In seguito alla formazione di N° cerniere plastiche , si verifica
un cinematismo di una sola parte della struttura
Figura 1.2.3.IV

19
A) Collasso globale
A1) trave appoggiata
Figura 1.3.1.2.I
Quando in mezzeria si raggiunge il valore del momento di plasticizzazzione si forma una cerniera plastica. Con la
formazione della cerniera si genera un cinematismo dovuto al fatto che sono presenti tre cerniere allineate.
Sistema isostatico : Basta la creazione di una sola cerniera plastica per innescare un cinematismo di collasso.
A2) Telaio incastrato
Figura 1.3.1.2.II
Sistema 3 volte iperstatico : affiche si inneschi il cinematismo di collasso si devono formare 4 cerniere plastiche
Conclusione: in una struttura n volte iperstatica si verifica un collasso globale quando si sono formate n+1 cerniere
plastiche.
B) Collasso locale
Figura 1.2.1.2.III

20
1.3.2 Ridistribuzione dei carichi
Per ridistribuzione dei carichi si intende quel processo dove una struttura in seguito alla formazione delle prime
cerniere plastiche può sopportare un ulteriore incremento di carico.
Consideriamo un trave incastrata con un carico verticale
distribuito uniformemente:
Il momento massimo è dato dal valore del momento nei
due incastri:
d
Z= =
1
12
— @
Z˜ =
1
12
— @
:
Quando il momento negli incastri eguaglia il momento
di plasticizzazione della sezione, si generano
contemporaneamente due cerniere plastiche:
Z= = Z™ = Z] =
—∗ @
12
In seguito alla formazione delle cerniere il sistema
cambia schema statico da trave incastrata a trave
appoggiata con agli estremi applicato un momento pari
al momento di plasticizzazione della sezione.
Il sistema arriverà al collasso quando :
Z™
€
=
— @
8
= Z]
Dove P = P*+ ∆P
In seguito alla formazione delle prime cerniere plastiche il sistema puo sostenere un ulteriore incremento di carico
pari a ∆P prima di arrivare al collasso:
Z] = Z™ + Z™
€
=
—∗ @
24
+
∆— @
8
→ ∆— = {Z] −
—∗ @
24
| ∗
8
@
Sostituendo all’equazione appena trovata il valore di
—∗
=
Z] ∗ 12
@

Si ricava:
∆— =
4 ∗ Z]
@
› M
—œ = —∗
+ ∆— =
16 ∗ Z]
@
Si ricava l’incremento di carico in percentuale:
—œ − —∗
—∗
∗ 100 = 33%

Diagramma dei momenti prima della formazione delle cerniere plastiche agli incastri:
Figura 1.3.2.II
Figura 1.3.2.I

21
Diagramma dei momenti dopo la formazione delle cerniere plastiche agli incastri:
Figura 1.3.2.III
ATT.!!!
Il sistema è 3 volte iperstatico, quindi ci dovremmo aspettare la formazione di 4 cerniere plastiche affinché si
inneschi un cinematismo di collasso. Tuttavia il sistema collassa alla formazione della 3° cerniera plastica poiché
allineata con le altre due.
1.3.3 Capacità portante in campo elasto-plastico
Nel seguente paragrafo si andrà a determinare l capacità portante di un sistema strutturale, considerando un legame
di tipo elasto-plastico.
IPOTESI:
- I carichi aumentano proporzionalmente
- Modello di plasticità concentrata (cerniere plastiche) o diffusa.
- Assenza del fenomeno dell’instabilità
DATI DEL PROBLEMA:
- Strutturali: geometria, rigidezze, vincoli
- Distribuzione dei carichi
- Legame costitutivo elasto.plastico
OBBIETTIVI ANALISI:
- Determinazione del moltiplicatore dei carichi che porta il sistema al collasso (λult)
- Determinazione del moltiplicatore dei carichi cui corrisponde la formazione della prima cerniera plastica (λy)
METODI DI ANALISI:
- Analisi incrementale: Porta alla determinazione di λult,λy
- Soluzione analitica
- Analisi limite : Porta alla determinazione di λult
1.3.3.1 Analisi Incrementale (Pushover)
L’analisi di pushover è un tipo di analisi non lineare statica che consiste nell’applicare distribuzioni di forze o
spostamenti progressivamente crescenti alla struttura in modo da poter studiare la risposta del sistema in termini
elasto-plastici fino al collasso globale o locale.
Si è eseguita questo tipo di analisi su un telaio di Fig.1.3.3.1.I
DATI:
Tutte le sezioni sono uguali e caratterizzate come segue:
- Duttilità infinita
- My = Mu = 500 kNm
All’aumentare del parametro λ aumenta anche il diagramma dei momenti in tutto il sistema. Quando nella sezione
più caricata si è raggiunto il limite plastico, si forma una cerniera plastica. In seguito alla formazione della cerniera
plastica il sistema cambia schema statico ed i successivi incrementi agiranno sul nuovo schema statico (Fig1.3.3.1.II).
Figura 1.3.3.1.I

22
Dopo la formazione della cerniera plastica, si deve controllare che in seguito alla redistribuzione del momento la
sezione che si era candidata per la prossima plasticizzazione (la sezione con il secondo valore di momento più
grande) rimanga tale.
Questo potrebbe non avvenire a causa del cambio dello schema statico che porta a massimizzare il momento in una
sezione differente rispetto a quella identificata nello schema statico originario.
Il problema elasto-plastico viene quindi risolto come una successione di problemi elastici, ognuno dei quali è
caratterizzato da un differente schema statico ed un carico maggiorato di λ.
Figura 1.3.3.1.II
Quando si forma la 4° cerniera plastica il sistema diventa labile e si innesca un cinematismo di collasso
(Fig.1.3.3.1.III):
Figura 1.3.3.1.III
Dall’analisi incrementale si ricavano i valori di:
λult = 31.3
λy = 25.5
Se si rappresenta nel grafico l’andamento del moltiplicatore λ rispetto allo spostamento orizzontale del vertice in
alto a destra si ricava la curva di pushover (Fig.1.3.3.1.IV).
Dalla curva di Pushover si può ricavare la duttilità del nostro sistema
che è pari a :
µ =
δ
δ^Figura 1.3.3.1.IV

23
1.3.3.2 Soluzione analitica
Nel seguente paragrafo si ricaveranno i valori limite per il campo elastico e plastico risolvendo in forma chiusa le
equazioni derivanti da un sistema composto da tre aste:
Figura 1.3.3.2.I
1.3.3.2.1 Analisi in campo elastico
Per determinare i valori limite del campo elastico si procede con il metodo degli spostamenti nell’ipotesi di piccoli
spostamenti:
1) Si impone uno δ all’asta –•
2) Si scrive la congruenza
3) Si ricava l’equilibrio
ž
Ÿ = –•
g = –¡ = –¢
:
–• → δ = b ∗ ε = b ∗
*
= b ∗
Ÿ
* ∗ •
→ Ÿ =
* ∗ • ∗ δ
b
–¡ → d
δ€
= δ ∗ cos -
Π
4
.
ε€
=
δ€
b€
=
g
* ∗ •

→
δ ∗ cos(Π/4)
b/ cos(Π/4)
: → g = δ ∗
* ∗ •
b
∗ cos@
-
Π
4
. → Ÿ = 2 ∗ g
Poiché si sta lavorando con l’ipotesi di piccoli spostamenti, si ipotizza che nella configurazione deformata l’angolo a
45 gradi rimanga tale e che quindi se scriviamo l’equilibrio: Ÿ + 2 ∗ g ∗ cos
Π
¦
= —
Si risolve il sistema:
6
Ÿ + 2 ∗ g ∗ cos -
Π
4
. = — → § ,
Ÿ = 2 ∗ g → § ¢ ¨
: →
‡
ˆ
‰g =
—
2 + √2
Ÿ =
2 ∗ —
2 + √2
:
Poiché X > Y la prima asta che si elasticizzerà sarà –•
Poiché il legame è elasto-plastico perfetto, la plasticizzazzione avverrà quando:
Ÿ =
2 ∗ —
2 + √2
= ^ ∗ • → —k =
©2 + √2ª
2
∗ ^ ∗ • → δk =
b ∗ Ÿk
* ∗ •
=
b ∗ ^
*

Pel e δel Rappresentano rispettivamente quel valore del carico e dello spostamento per cui si forma la prima cerniera
plastica nell’asta –•.
1.3.3.2.2 Analisi in campo elasto-plastico
Si prosegue con l’analisi del sistema tenendo contro che l’asta –• si è plasticizzata e che quindi al suo interno sarà
presente un valore di sforzo assiale costante:

24
6
Ÿ = ^ ∗ • =
2 ∗ g ∗ cos©Π
45 ª = — − • ∗ ^ → g =
— − • ∗ ^
√2
:
Le aste –¡ –¢ si elasticizzeranno quando :
gk = • ∗ ^ =
—«¬ − • ∗ ^
√2
→ —«¬ = • ∗ ^ ∗ ©1 + √2ª
Quando il carico raggiunge il valore di Pcr si plasticizzano le aste –¡ –¢ e la struttura collassa.
Si calcola la sovra resistenza come:
—«¬
—k
=
1 + √2
©2 + √2ª
2
= √2 = 1.4 → +40% M ′
.
Si è poi determinato il δcr:
ε-™
=
∆b-™
b-™
=
g
* ∗ •
→
δ ∗ cos©Π
45 ª
b
cos©Π
45 ª®
=
g
* ∗ •
→ δ«¬ =
• ∗ ^ ∗ b
* ∗ • ∗ cos©Π
45 ª
@ =
^ ∗ b
* ∗ -1
√2
5 .
@ =
2 ∗ ^ ∗ b
*
= 2 ∗ δk
Lo spostamento ultimo è pari a due volte quello al limite elastico, ovvero +100% di duttilità.
1.3.3.2.3 Fase di scarico del sistema
Si effettua uno scarico del sistema nella condizione di collasso incipiente dove l’asta –• si è già plasticizzata mentre
le aste –¡ –¢ no.
Il comportamento del sistema è elastico lo scarico comporta:
- L’asta –• recupererà parte della deformazione plastica, risultando cosi compressa
- Le aste –¡ –¢ non riescono a recuperare tutta la loro deformazione elastica a causa della plasticizzazione
avvenuta in –• che si oppone a tale recupero, risultando cosi tese.
Se definiamo ∆P lo scarico si puo ricavare:
‡
ˆ
‰g =
—
2 + √2
Ÿ =
2 ∗ —
2 + √2
: →
∆g =
∆—
2 + √2
∆Ÿ =
2 ∗ ∆—
2 + √2
Si definisce lo stato di sforzo assiale residuo nelle aste dopo lo scarico come:
‡
Š
ˆ
Š
‰
Ÿ¯k? = Ÿ«¬ − ∆Ÿ
g¯k? = g«¬ − ∆g
→
‡
Š
ˆ
Š
‰Ÿ¯k? = • ∗ ^ ∗ {1 −
2 ∗ ©1 + √2ª
2 + √2
|
g¯k? = • ∗ ^ ∗ {1 −
©1 + √2ª
2 + √2
|
:: →
‡
Š
ˆ
Š
‰Ÿ¬k? = −• ^
√2
2 + √2
g¬k? = • ^
1
2 + √2

:
Si nota come anche nella fase di scarico |Ÿ| = 2 ∗ |g| come accadeva nella fase elastica di carico.
Si sono rappresentate le fasi di carico e scarico in un diagramma normalizzato Fig.1.3.3.2.3.I

25
Figura 1.3.3.2.3.I
1.3.3.3 Analisi Limite
Questo metodo si basa su un principio energetico e data una distribuzione di carichi sulla struttura, permette di
trovare il moltiplicatore ultimo di questi carichi λult.
Per utilizzare il suddetto metodo si definisce la superficie limite nello spazio delle tensioni o dei carichi esterni, come
quel luogo di punti che indicano uno stato di sollecitazione che porta la struttura al collasso.
Superficie limite nello spazio delle tensioni Superficie limite nello spazio dei carichi
Affinché sia garantito che data una combinazione di carichi il moltiplicatore λult è il massimo di quelli ammissibili, la
superficie limite deve essere convessa.
Infatti se si ipotizza di avere una superficie limite concava:
Chiamato ±² il versore della retta che rappresenta il percorso di
carico si possono definire:
•¡³³³³³´ = ̂ ∗ •(
•*³³³³³´ = ̂ ∗ •@
•§³³³³³´ = ̂ ∗ •F
Si può quindi definire che λ3 = λmax = λult ma esiste un λi < λmax
che porta il sistema sulla superficie limite.
In conclusione: affinchè ∃! • ¸ = •¹º» la superficie limite
deve essere convessa.
¼
½ + √½
−
√½
½ + √½
½ + √½
½
¼ + √½
Figura 1.3.3.3.I Figura 1.3.3.3.II
Figura 1.3.3.3.III

26
Per determinare il valore del moltiplicatore dei carichi che porta il sistema al collasso, è molto utile conoscere la
superficie limite nello spazio dei carichi esterni applicati. Tuttavia, mentre si conoscono tali superfici nello spazio
delle tensioni (criterio di Tresca e VonMises) , disegnare la superficie limite nello spazio Pi/Pj è molto complicato a
causa delle numerose variabili che entrano in gioco come i vincoli, la struttura ed i carichi stessi.
Per ovviare a questo problema e calcolare il λult si utilizzano 3 differenti teoremi:
- Teorema Statico
λcr è il massimo tra quelli staticamente ammissibili, compatibili con resistenze e vincoli.
- Teorema Cinematico
λcr è il minimo tra quelli cinematicamente ammissibili con vincoli esterni ed interni.
- Teorema Unicità
λcr tra tutti i λ possibili è l’unico che ammette stati sia cinematicamente che staticamente ammissibili.
Si determina con il metodo dell’analisi limite il valore del λult per un asta incastrata da un lato ed incernierata
dall’altro sottoposta ad una distribuzione di carichi come illustrato in Fig.1.3.3.2.IV
ipotesi:
-Le sezioni ruotano rimanendo piane
-Piccoli spostamenti
-Legame costitutivo elasto-plastico perfetto
-Duttilità infinità
-I carichi aumentano proporzionalmente
Figura 1.3.3.3.IV

27
1.3.3.3.1 Il teorema statico
Si vuole determinare il valore del carico critico (Pcr) con il teorema statico:
1) poiché si sta studiando u n problema iperstatico si studia il problema 1 ed il problema 2
Sommando il diagramma del momento dei due problemi si ottiene:
Problema uno
¾(
€
= ¾@
€
= —
Z=
€
= ¾′( ∗ = — ∗
Z™
€
= ¾′( ∗ ( + ,) − — ∗ , = — ∗
Problema due
¾′′( =
χ
b
¾′′@ = −
χ
b
Z′′= = −¾′′( ∗ =
χ
b
∗
Z′′™ = −¾′′( ∗ ( + ,) =
χ
b
∗ ( + ,)
Z′′« = χ
Sommo i due problemi:
Z= = Z=
€
− Z=
€€
= — −
χ
b
∗
Z™ = Z™
€
− Z™
€€
= — ∗ −
χ
b
∗ ( + ,)
Z˜ = Z˜
€€
= χ
Condizioni di ammissibilità
1) Z= ≤ Z] → Z] ≥ — −
χ
~
∗
2) Z™ ≤ Z] → Z] ≥ — ∗ −
χ
~
∗ ( + ,)
3) Z˜ ≤ Z] → Z]χ
poiché la trave ha un grado di iperstaticità pari a
1, se non sono soddisfatte due delle tre
condizioni di ammissibilità appena elencate, si innesca un meccanismo di collasso locale o globale.
Se si formano le cerniere plastiche in A ed in B si innesca un meccanismo di collasso locale:
Figura 1.3.3.3.1.II

28
Affinché si inneschi un meccanismo di collasso globale deve formarsi la cerniera plastica in C + qualla in A o B
Si determinano i valori di Pcr per le due differenti condizioni:
1) Formazione delle cerniere plastiche in A e C
e
—«¬ −
Â
b
∗ = Z]
Â = Z]
→ —«¬ =
Z]
+
Z]
b
=
Z]b + Z]
b
:
2) Formazione delle cerniere plastiche in B e C
e
—«¬ ∗ −
Â
b
∗ ( + ,) = Z]
Â = Z]
→ —«¬ =
Z]
+
Z] ∗ ( + ,)
b ∗
=
Z] ∗ b + Z]( + ,)
b ∗
:
Per il teorema statico si deve scegliere come valore di Pcr il massimo tra quelli staticamente ammissibili e compatibili
con resistenze e vincoli.
Nel caso 2 ho un valore di Pcr maggiore rispetto a quello calcolato nel caso 1. Tuttavia poiché si nota che il MA è
maggiore del MB, e che quindi si formerà sempre prima la cerniera nel punto A, si sceglie come valore di Pcr quello
ottenuto dal caso 1 perche staticamente ammissibile.
1.3.3.3.2 Il teorema cinematico
Si vuole determinare il valore del carico critico (Pcr) con il teorema cinematico:
1) Si devono individuare tutti i possibili cinematismi
Per determinare i possibili cinematismi bisogna identificare le zone dove si possono formare le cerniere plastiche:
- Le zone in corrispondenza di carichi e vincoli
- Le zone in corrispondenza di cambiamenti bruschi di rigidezza/sezione poiché comportano una discontinuità dei
momenti di inerzia (Fig.1.3.3.2.2.I)
Fig.1.3.3.3.2.I
2)Pcr è quel valore che corrisponde al cinematismo con la minor energia spesa nel lavoro di collasso
Aggiungendo alle ipotesi fatte al Par.1.3.3.2 quella di deformazioni plastiche ≫ deformazioni elastiche si possono
determinare i soli due cinematismi possibili per il nostro problema:
Caso_1
Figura 1.3.3.3.2.II
Figura 1.3.3.3.1.IV Figura 1.3.3.3.1.V

29
Si determinano i lavori esterno ed interno e si impone l’uguaglianza tra di essi:
6
b(
. = —«¬
(
∗ Ä= + —«¬
(
∗
Ä= ∗
+ ,
b(
. = Z] ∗ Å= + Z] ∗ Å˜
: → —«¬
(
∗ Ä= + —«¬
(
∗
Ä= ∗
+ ,
= Z] ∗ Å= + Z] ∗ Å˜
Dove :
d
Å= = ÅÆ + Å˜ =
Ä=
+
Ä=
+ ,
Å˜ =
Ä˜
+ ,
:
Caso_2
Si determinano i lavori esterno ed interno e si impone l’uguaglianza tra di essi:
6
b@
. = —«¬
@
∗ Ä™
€
+ —«¬
@
∗
Ä™
€
∗
+ ,
b@
. = Z] ∗ Å™
€
+ Z] ∗ Å˜
€
→ —«¬
@
∗ Ä™
€
+ —«¬
@
∗
Ä™
€
∗
+ ,
= Z] ∗ Å™
€
+ Z] ∗ Å˜
€
:
Dove :
‡
ˆ
‰Å™
€
= Å′˜ + Å′Æ =
Ä™
€
+
Ä™
€
+ ,
Å˜
€
=
Ä™
€
:
Poiché il sistema è emisimmetrico si nota che :
δ=Ç ÈÉ
Ê
, Å′™ = Å™ , Å′˜ > Å˜
Quindi:
b@
. > b(
.→ ab@
. = b@
.
b(
. = b(
.
: → b@
. > b(
. → δ=Ç ÈÉ
Ê
→ —«¬
@
> —«¬
(

Poiché per il teorema cinematico bisogna prendere il minore tra i Pcr si considera il P1
cr .
—«¬
(
∗ Ä= + —«¬
(
∗
Ä= ∗
+ ,
= Z] ∗ C
Ä=
+
Ä=
+ ,
+
Ä=
+ ,
D
—«¬
(
∗ 1 +
+ ,
= Z] ∗ s
b +
∗ ( + ,)
t → —«¬
(
∗ -
b
+ ,
. = Z] ∗ s
b
∗ ( + ,)
+
1
+ ,
t
—«¬
(
= Z] ∗ -
1
+
1
b
. → —«¬
(
= Z] ∗ -
Z] ∗ b + Z] ∗
∗ b
.
Si è ottenuto lo stesso valore fornitoci dal teorema statico Par.1.3.3.2.1., infatti per il teo. Unicità, il Pcr è l’unico che
soddisfa entrambi i criteri.

30
1.3.3.3.3 Strutture intelaiate
In questo par. si vuole andare a determinare una superficie limite per un telaio 1 volata iperstatico su cui agisce una
distribuzione di carichi come illustrato in figura 1.3.3.2.3.I.
Si utilizza il teorema cinematico.
1) si identificano i possibili cinematismi di collasso:

31
1+ Ë ∗ Å ∗ ℎ = Z]Ì∗Å + Z]Í
∗ Å
2) − Ë ∗ Å ∗ ℎ = Z]Ì
∗ Å + Z]Í
Å
3) ËÅℎ +
1
2
Å = Z]Î
2Å + Z]Í
2Å
4) − ËÅℎ −
1
2
Å = Z]Ì
2Å + Z]Î
2Å
5)ËÅℎ −
1
2
Å = Z]Ì
2Å + Z]Î
2Å
6) − ËÅℎ +
1
2
Å = Z]Ì
2Å + Z]Î
2Å
Sono equazioni dirette, nel piano (H,V).
1) Ë = Z]Ì
+ Z]Í
=
2) − Ë = Z]Ì
+ Z]Í
=
3) Ë = −
2ℎ
+
2Z]Î
ℎ
+
2Z]Í
ℎ
= −
2ℎ
+
4) − Ë =
2ℎ
+
2Z]Ì
ℎ
+
2Z]Î
ℎ
=
2ℎ
+
5)Ë =
2ℎ
+
2Z]Ì
ℎ
+
2Z]Î
ℎ
=
2ℎ
+
6) − Ë = −
2ℎ
+
2Z]Ì
ℎ
+
2Z]Î
ℎ
= −
2ℎ
+
Diagrammando le equazioni appena ricavate nel piano H/V si determina:
Se si ipotizza che H = V, il percorso di carico è
descritto nel piano H/V dalla semiretta che fa da
bisettrice del primo quadrante.
Il valore di λcr è quel valore necessario per traslare il
punto P0 , rappresentativo delle condizioni iniziali, al
punto Pcr , rappresentativo delle condizioni di
collasso.
La distanza tra Pcr e P0 indica quanto il telaio è
lontano dalle condizioni di collasso.
Figura 1.3.3.3.3.IV

32
Se si considera un telaio incastrato alla base si può ricavare, sempre attraverso il teorema cinematico, la superficie
limite illustrata in Fig.1.3.3.2.3.V
Figura 1.3.3.3.3.V
Entrambe le superfici limite viste sono doppiamente simmetriche. Questo poiché il momento d’inerzia delle sezioni
in acciaio è identico nelle due direzioni. Se questo non fosse vero si avrebbero delle superfici limite non simmetriche

33
PARTE 2 : FENOMENI DI INSTABILITA’
2.1 Introduzione ai fenomeni di instabilità
Si consideri un sistema strutturale in una configurazione di equilibrio: in tale situazione, i carichi esterni applicati
sono equilibrati dalla risposta strutturale. Sottoponendo l’elemento a carichi progressivamente crescenti, si possono
manifestare spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale della struttura scarica che in alcuni casi
possono provocare il collasso della struttura.
Tali spostamenti sono prodotti dal fenomeno dell’instabilità.
E’ di interesse ingegneristico lo studio dei fenomeni di instabilità che in determinate circostanze (intensità di carico,
geometria strutturale, tipo di vincoli) possono condurre una struttura al collasso, senza che la struttura stessa abbia
raggiunto il limite di resistenza del materiale di cui è costituita.
Esempi di instabilità in una struttura metallica sono : l’instabilità locale di una o più flange di travi o colonne,
l’instabilità individuale delle colonne per carico di punta; l’instabilità globale di tutta la struttura.
2.1.1 Problemi di stabilità semplici o euleriani
La gran parte dei problemi di instabilità per i sistemi strutturali reali appartiene alla categoria dei problemi di stabilità
semplici o euleriani che sono caratterizzati dalle seguenti condizioni:
Il sistema strutturale sotto esame ammette una configurazione banale, che si amplifica linearmente in maniera
limitata al crescere del moltiplicatore dei carichi λ, risultando al limite trascurabile. Il sistema possiede dunque
linearità pre-critica.
La struttura deve composta di un materiale con comportamento elastico lineare e gli effetti delle non linearità
geometriche non sono sentiti in fase pre-critica.
Avvalendoci di queste ipotesi si possono scrivere le equazioni di equilibrio nella configurazione deformata utilizzano
approssimazioni analitiche (confondere angolo con la sua tangente ecc…).
Si può definire l’energia potenziale totale per il sistema strutturale, che è quindi conservativo.
La determinazione del minimo valore del moltiplicatore dei carichi λ che mi innesca l’instabilità della struttura
avviene attraverso un problema agli auto valori e alle autofunzioni (nei casi continui) o agli auto vettori (nei casi
discreti).
I problemi Euleriani di stabilità sono quindi caratterizzati dalla presenza di una configurazione di equilibrio (non
necessariamente indeformata) che è legata linearmente al carico (in fase pre-critica si ha un comportamento
lineare).
Il carico deteriora la rigidezza che la struttura presenta nei confronti dei modi deformativi ortogonali alla
configurazione banale.
Raggiunto un determinato valore detto carico critico euleriano la rigidezza nei confronti di uno di questi modi si
annulla ed il modo si sovrappone alla soluzione banale dando luogo ad una biforcazione nel percorso di equilibrio.
In seguito a modestissimi incrementi di carico, poiché la struttura è priva di rigidezza si allontana dalla configurazione
banale diventata adesso di equilibrio instabile verso una nuova configurazione di equilibrio stabile.
2.1.2 Determinazione del carico critico
Si possono determinare i valori dei carichi critici di instabilità attraverso Il criterio statico ed il criterio energetico.
2.1.2.1 Il criterio statico
In tale criterio il calcolo del carico critico è ricondotto alla ricerca dei punti di biforcazione nei percorsi
rappresentativi della risposta strutturale, quando l’equilibrio diviene possibile in configurazioni adiacenti a quella
banale (ramo pre-critico).
Il carico critico di instabilità sarà il più piccolo valore di λ in corrispondenza del quale, accanto alla configurazione di
equilibrio iniziale banale, esiste un ulteriore non banale configurazione di equilibrio.
Nel criterio statico si abbandona la teoria del I° ordine, che con le sue ipotesi garantiva l’unicità della soluzione e non
permetteva di determinare i punti di biforcazione, e si opera con la teoria del II° ordine.
In tale teoria si rimuove solo parzialmente l’ipotesi di piccoli spostamenti presente nella teoria del I° ordine. Infatti si
scrive l’equilibrio in una configurazione deformata ma ci si avvale lo stesso delle semplificazioni analitiche derivanti
dal considerare piccoli spostamenti.

34
2.1.2.2 Il criterio energetico
Il criterio energetico deriva dalla considerazione che l'energia potenziale elastica totale ha derivata prima nulla in
corrispondenza di una configurazione di equilibrio. Da questa considerazione, se quel punto rappresenta un massimo
l'equilibrio è instabile, se rappresenta un minimo è stabile.
Il carico critico di inabilità sarà quel valore di λ che sarà un massimo per l’energia potenziale elastica totale (il fatto di
tenere nell’espressione analitica dell’energia i termini fino al secondo ordine , denota la cosiddetta teoria del II°
ordine).
2.1.3 Sistemi discreti elementari
Un sistema si definisce discreto se è possibile individuarne univocamente la configurazione attraverso un numero
finito di N variabili dette coordinate lagrangiane.
In tali sistemi scrivendo l’equilibrio tra sollecitazioni interne ed esterne, con riferimento alla configurazione
perturbata (criterio statico) , si ricava l’equazione omogenea che risolve il problema, unitamente alle condizioni al
contorno.
L’equazione di equilibrio in forma vettoriale:
( KE-λKG )∙u = 0
Dove:
u rappresenta il vettore delle coordinate lagrangiane
KE rappresenta la matrice di rigidezza elastica ed è assunta costante (comportamento lineare del materiale)
KG rappresenta la matrice di rigidezza geometrica che incorpora l’influenza che i carichi presenti nella configurazione
banale esercitano per effetto di un cambiamento di geometria
Il sistema ammette soluzioni diverse da quella banale (il sistema rimane nella configurazione indeformata) solo se il
determinante della matrice ( KE-λKG ) è pari a zero.
Risolvendo l’equazione det( KE-λKG ) = 0 si determinano N autovalori (il sistema ha N g.d.l.), dove ad ognuno di essi
corrisponde un punto di biforcazione dell’equilibrio.
Agli N autovalori saranno associati N autovettori che rappresentano le N deformate modali che il nostro sistema
assume lungo il percorso di equilibrio diramato. Poiché gli autovettori sono definiti a meno di una costante
moltiplicativa non è possibile determinare l’ampiezza della deformata critica ,anche in segno, ma solo la sua forma.
Fig. 2.1.3.I
Pcr
P
θ

35
Se si rimuove l’ipotesi di spostamenti geometricamente piccoli l’analisi di un sistema perfetto ad un grado di libertà
porta all’individuazione di tre diversi comportamenti post-critici:
STABILE SIMMETRICO
Il carico che la struttura può sopportare dopo il raggiungimento del carico critico aumenta all’aumentare dello
spostamento.
Fig. 2.1.3.II
INSTABILE SIMMETRICO
Il carico che la struttura può sopportare dopo il raggiungimento del carico critico diminuisce all’aumentare dello
spostamento.
Fig.2.1.3.III
ASIMMETRICO
L’elemento diventa più resistente se lo spostamento è in una direzione, meno resistente se lo spostamento avviene
nella direzione opposta.
Fig.2.1.3.IV
2.1.4 Presenza delle imperfezioni
Le imperfezioni, cui tutte le aste reali sono soggette, non possono essere trascurate, poiche esse determinano una
capacità portante minore di quella indicata dai carichi critici di biforcazione valutati su modelli perfetti.
Se si considerano le imperfezioni l’equazione di equilibrio diventa non omogenea, assumendo la forma:
( KE-λKG )∙u = F
P
θ
Pcr
Pcr
P
θ
P
θ
Pcr

36
La presenza del termine noto F fa si che la configurazione indeformata u = 0 non sia necessariamente di equilibrio e
ripristina l’unicità della soluzione, ossia la struttura presenta un unico ramo di equilibrio.
I percorsi di equilibrio, rappresentati nel capitolo precedente nel caso privo di imperfezioni, per cause delle stesse
vengono cosi modificati:
Comportamento STABILE SIMMETRICO
Fig.2.1.4.I
Comportamento INSTABILE SIMMETRICO
Fig.2.1.4.II
Comportamento ASIMMETRICO
Fig.2.1.4.III
Si osserva come i percorsi di equilibrio ottenuti in assenza di imperfezioni rappresentano linee asintotiche per la
risposta strutturale in presenza di imperfezioni.
P
θ
Pcr
θ
Pcr
P
θ
Pcr
P

37
2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un’asta rigida
In classe è stato studiato il percorso di equilibrio di un asta rigida sottoposta a diverse condizioni di vincolo. Tali
condizioni sono state scelte in modo che ognuna di esse mi determini un differente comportamento post-critico
dell’asta.
2.2.1 Condizione di vincolo 1 (Comportamento post-critico stabile simmetrico)
Si considera un asta rigida dove si bloccano gli spostamenti orizzontali e verticali dell’estremo inferiore con un
vincolo di cerniera perfetto e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità dell’asta nella molla rotazionale di
rigidezza k posta alla base della stessa.
Cosi facendo si ottiene un sistema ad un unico grado di liberta di cui si è determinato l’autovalore (λcr) ed il rispettivo
autovettore (la deformata modale).
DATI:
P = 1 kN
K = 100 kNm/rad
L = 4000mm
Fig.2.2.1.I
Il moltiplicatore dei carichi λcr ed il comportamento post- critico del sistema sono stati determinati utilizzando i due
criteri:
2.2.1.1.1 Trattazione completa
IPOTESI
Legame elastico lineare
Invarianza delle condizioni al contorno
SVOLGIMENTO
Si determinano la componenti dello spostamento del punto B
a ™ = b ∗ sin Å
M™ = b ∗ )1 − cos Å+
:
Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata
Ð Z= = 0 → −— ∗ ™ + ∗ Å → −— ∗ b ∗ sinÅ + ∗ Å = 0
—(Å) =
b
∗
Å
sinÅ
Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.II
Fig.2.2.1.1.1.I

38
2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti
IPOTESI
Alle ipotesi fatte nel par. precedente si aggiunge una terza riguardante l’entità degli spostamenti; ossia si ipotizza di
avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine.
Ñ)A+ = Ð
3
( )
!
Ò
3Ç&
∗ (A − )3
→ e
sin Å ≅ Å
cos Å ≅ 1
tan Å ≅ Å
:
SVOLGIMENTO
a ™ = b ∗ Å
M™ = 0
:
Ð Z= = 0 → −— ∗ ™ + ∗ Å → −— ∗ b ∗ Å + ∗ Å = 0
—«¬ =
b
∀ Å
Si è cosi determinato il valore del carico —«¬ a cui corrisponde il punto di biforcazione dell’equilibrio.
Il percorso di equilibrio della struttura è rappresentato in Fig.2.1.3.I
IPOTESI
Si considerano le stesse ipotesi fatte al Par.2.2.1.1.1
SVOLGIMENTO
Si determinano la componenti dello spostamento del punto B (cinematismo rappresentato in Fig. 2.2.1.1.1.I)
M™ = b ∗ (1 − cosÅ)
:
Si determina l’energia potenziale totale del sistema
* ¸ = *k?¸ + *K3¸ = −— ∗ M™ +
1
2
∗ ∗ Å@
= −— ∗ b ∗ (1 − cos Å) +
1
2
∗ ∗ Å@
Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema
Õ* ¸
ÕÅ
= −— ∗ b ∗ sin Å + ∗ Å = 0 → —(Å) =
b
∗
Å
sinÅ

Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.II
IPOTESI
Si considerano le stesse ipotesi fatte nei Par.2.2.1.1.1 e 2.2.1.1.2 estendendo lo sviluppo in serie di Taylor fino a
termini del secondo ordine.
d
sin Å ≅ Å
cos Å ≅ 1 −
Å@
2
tan Å ≅ Å
:
SVOLGIMENTO
6
™ = b ∗ Å
M™ = b ∗ {1 − 1 +
Å@
2
| = b ∗ (
Å@
2
)
:
* ¸ = *k?¸ + *K3¸ = −— ∗ M™ +
1
2
∗ ∗ Å@
= −— ∗ b ∗ {
Å@
2
| +
1
2
∗ ∗ Å@

39
Õ* ¸
ÕÅ
= −— ∗ b ∗ θ + ∗ Å = 0 → —«¬ =
b
∀ Å

2.2.2 Condizione di vincolo 2 (Comportamento post-critico instabile simmetrico)
vincolo di cerniera perfetto e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità del sistema nella molla traslazionale di
rigidezza k posta alla testa dell’asta.
DATI:
P = 1 kN
K = 100 kN/m
L = 4000mm
Fig.2.2.2.I
criteri:
IPOTESI
Legame elastico lineare
Invarianza delle condizioni al contorno
SVOLGIMENTO
M™ = b ∗ (1 − cosÅ)
:
Ð Z= = 0 → −— ∗ ™ + ∗ ™ ∗ b ∗ cos Å = 0
−— ∗ b ∗ sin Å + ∗ b@
∗ sinÅ ∗ cosÅ = 0
sin Å ∗ ( ∗ b@
∗ cos Å − — ∗ b) = 0
×
sinÅ = 0
∗ b@
∗ cos Å − — ∗ b = 0
: → ×
Å = 0
Å ≠ 0
:
Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si
determina la funzione P(θ) che descrive il ramo di equilibrio post-critico del
sistema.
—(θ) = k ∗ L ∗ cos θ
Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.III.
Fig.2.2.2.1.1.I

40
IPOTESI
avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine(come descritte
al par. 2.2.1.1.2).
SVOLGIMENTO
a ™ = b ∗ Å
M™ = 0
:
Ð Z= = 0 → −— ∗ ™ + ∗ ™ ∗ b ∗ cos Å = 0 → —«¬ = ∗ b ∀ Å
IPOTESI
SVOLGIMENTO
M™ = b ∗ (1 − cosÅ)
:
* ¸ = *k?¸ + *K3¸ = — ∗ M™ −
1
2
∗ ∗ b@
∗ sin Å@
= — ∗ b ∗ (1 − cosÅ) −
1
2
∗ ∗ b@
∗ sinÅ@
Õ* ¸
ÕÅ
= — ∗ b ∗ sinÅ − ∗ b@
∗ sinÅ ∗ cosÅ = 0 → sin Å ∗ (— ∗ b − ∗ b@
∗ cos Å) = 0
×
sinÅ = 0
∗ b@
∗ cos Å − — ∗ b = 0
: → ×
Å = 0
Å ≠ 0
:
Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si determina la funzione P(θ) che descrive il
ramo di equilibrio post-critico del sistema.
—(θ) = k ∗ L ∗ cos θ
IPOTESI
Si considerano le stesse ipotesi fatte nei Par.2.2.2.1.1 e 2.2.2.1.2 estendendo lo sviluppo in serie di Taylor fino a
termini del secondo ordine (come fatto al Par.2.2.1.2.2).
SVOLGIMENTO
6
™ = b ∗ Å
M™ = b ∗ {1 − 1 +
Å@
2
| = b ∗ (
Å@
2
)
:
* ¸ = *k?¸ + *K3¸ = −— ∗ M™ +
1
2
∗ ∗ b@
∗ Å@
= −— ∗ b ∗ {
Å@
2
| +
1
2
∗ ∗ b@
∗ Å@
Õ* ¸
ÕÅ
= −— ∗ b ∗ θ + ∗ b@
∗ Å = 0 → —«¬ = ∗ b ∀ Å

41
2.2.3 Condizione di vincolo 3 (Comportamento post-critico asimmetrico)
vincolo di cerniera perfetta e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità del sistema nella molla traslazionale di
rigidezza k posta come mostrato nella Fig.2.2.3.I.
DATI:
P = 1 kN
K = 100 kN/m
L = 4000mm
Fig.2.2.3.I
criteri:
IPOTESI
1) Legame elastico lineare
2) Invarianza delle condizioni al contorno
SVOLGIMENTO
1) Si determinano la componenti dello spostamento del
punto B
M™ = b ∗ )1 − cos Å+
:
∑ Z= = 0 → −— ∗ ™ + ÜÝ» ∗ ,» − ÜÝ^ ∗ ™ = 0
Per determinare le componenti della forza di richiamo
esplicitata dalla molla si scompone l’allungamento ∆ della molla nelle due componenti x ed y:
d
∆» = ∆ ∗ cos -
Π
4
−
Å
2
.
∆^ = ∆ ∗ cos-
Π
4
+
Å
2
.
→ a
ÜÝ» = ∗ ∆»
ÜÝ^ = ∗ ∆^
::
Si scrive l’equazione di equilibrio:
∗ b@
∗ √2 ∗ ©√1 + sin Å − 1ª ∗ scos -
Π
4
−
Å
2
. ∗ cos Å − cos -
Π
4
+
Å
2
. ∗ sin Åt = — ∗ b ∗ sinÅ
Fig.2.2.3.1.1.I

42
—)Å+ = ∗ b ∗ √2 ∗ ©√1 + sin Å − 1ª ∗ scos -
Π
4
−
Å
2
. ∗
cos Å
sin Å
− cos -
Π
4
+
Å
2
.t
2.2.3.1.2 Linearizzazione delgli spostamenti
IPOTESI
avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine(come descritte
al par. 2.2.1.1.2).
SVOLGIMENTO
a ™ = b ∗ Å
M™ = 0
:
Ð Z= = 0 → −— ∗ ™ + ÜÝ» ∗ ,» − ÜÝ^ ∗ ™ = 0
∗ b@
∗ ©√1 + Å − 1ª ∗ (1 − Å) = — ∗ b ∗ Å
—«¬ = ∗ b ∗
©√1 + Å − 1ª ∗ (1 − Å)
Å
IPOTESI
SVOLGIMENTO
M™ = b ∗ (1 − cosÅ)
:
* ¸ = *k?¸ + *K3¸ = ∗ b@
∗ Þ2 ∗ ©1 − √1 + sinÅª + sinÅß − — ∗ b ∗ (1 − cos Å)
Õ* ¸
ÕÅ
= ∗ b@
∗ C−(1 + sin Å)'&.à
∗ cos Å + cos ÅD − — ∗ b ∗ sin Å = 0
— =
∗ b
tan Å
∗ Þ1 + √1 + sinÅß

43
2.3 Studio del comportamento di un sistema di aste
Si è studiato un sistema di aste composto da due aste rettilinee incernierate alla base e con un carico verticale P
applicato al vertice dell’arco.
Fig.2.3.I
In tale sistema si possono verificare due differenti tipi di instabilità:
1) Instabilità a scatto
Fig.2.3.II
Dal percorso di equilibrio si nota come all’aumentare del carico P, aumenta lo spostamento verticale δ del vertice
dell’arco. Esiste un certo valore del carico P tale che il sistema diventa instabile e si ha un improvviso cambiamento
della forma dell’arco, che scavalca la corda e si dispone in una nuova posizione simmetrica rispetto a quella iniziale.
2) Instabilità Euleriana
Fig.2.3.III
La forza assiale presente in ciascuno dei due elementi può raggiungere il rispettivo carico critico, causando un
fenomeno di instabilità locale nei singoli elementi che provoca una diramazione del percorso di equilibrio.
Dopo aver descritto, in linea teorica, i differenti tipi di instabilità che si possono verificare nell’arco a tre cerniere, si
vuole determinare quale tra i due fenomeni di instabilità si verificherà per primo.
A tal fine, poiché il fenomeno che si verificherà sarà quello caratterizzato dal più piccolo valore del Pcr , si
determinano i valori del carico che innescano le due differenti instabilità e si distinguono i due casi:
Caso 1 ) Aste tozze
L’instabilità a scatto si verifica mentre non si verifica quella Euleriana (Punto2 di Fig.2.3.IV).
Caso 2 ) aste snelle
Si verifica l’instabilità Euleriana in una delle due aste e non si verifica l’instabilità a scatto (Punto1 di Fig.2.3.IV).

Il percorso di equilibrio:
Fig.2.3.IV
2.3.1 Trattazione completa
La seguente trattazione è svolta con il criterio statico
IPOTESI
SVOLGIMENTO
1) Si considera la struttura rappresentata in Fig.2.3.I.
In tale struttura lo sforzo normale agente nelle aste è pari a :
… = * ∗ • ∗ ε * ∗ • ∗
∆b
b&
Dove :
∆b b& 1 b → b
Ë
sinÅ
→ Ë ¡ ∗ tan
∆b b& ∗ -1 1
cos% ∗ tan Å
sin Å
. →
∆b
b&
Si è poi sostituito nella equazione dello sforzo normale presente nelle aste:
… * ∗ • ∗ -1 1
cos % ∗ tan Å
sin Å
.
2) Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata
— 1 2 ∗ … ∗ sin Å = 0
3) si ricava l’andamento del carico P in funzione del parametro
fenomeno di instabilità a scatto.
—)Å+ 2 ∗ * ∗ • ∗ -1 1
cos % ∗ tan Å
sin Å
.
PCRITICO
P
1
2
44
La seguente trattazione è svolta con il criterio statico
considera la struttura rappresentata in Fig.2.3.I.
In tale struttura lo sforzo normale agente nelle aste è pari a :
tan Å b& ∗ cos Å ∗ tan Å → b b& ∗ -
cos Å ∗
sinÅ
1 1
cos% ∗ tan Å
sin Å
Si è poi sostituito nella equazione dello sforzo normale presente nelle aste:
2) Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata
n funzione del parametro θ che descrive la curva di equilibrio nel caso di
.
CRITICO
θ
-
tan Å
Å
.
che descrive la curva di equilibrio nel caso di

45
2.4 Studio del comportamento di un sistema a due g.d.l.
Si considera il caso di un sistema composto da una colonna con ad un estremo un vincolo di cerniera perfetta. Si
sottopone la struttura ad un carico P concentrato nell’estremo libero e si concentrano le deformazioni della colonna
nelle molle rotazionali di rigidezza k poste alla base del elemento ed a cavallo della cerniera che collega gli estremi
delle due aste.
Fig.2.4.I
2.4.1 Linearizzazione degli spostamenti
La seguente trattazione è eseguita con il criterio energetico
IPOTESI
3) Piccoli spostamenti
SVOLGIMENTO
1) Scrivo l’energia potenziale totale del sistema
* ¸ = *K3¸ + *k?¸ → e
*K3¸
1
2
∗ ∗ Å(
@
+
1
2
∗ ∗ Å@
@
*k?¸ = 1— ∗ b)1 − cos Å(+ − — ∗ b ∗ [1 − cos)Å( + Å@+]
:
Dove:
— = 1 ∗ •
L’ipotesi 3 permette di scrivere le funzioni trigonometriche con lo sviluppo in serie di Taylor fermandosi ai termini del
secondo ordine come fatto al Par.2.2.1.2.2.
* ¸ =
1
2
∗ ∗ Å(
@
+
1
2
∗ ∗ Å@
@
− • ∗ b ∗
)Å( + Å@+@
2
− • ∗ b ∗
Å(
@
2
2) Determino i punti di minimo dell’energia potenziale rispetto ai due g.d.l.
‡
Š
ˆ
Š
‰Õ* ¸
ÕÅ(
= ∗ Å( − • ∗ b ∗ )2 ∗ Å( + Å@+ = 0
Õ* ¸
ÕÅ@
= ∗ Å@ − • ∗ b ∗ )Å( + Å@+ = 0
:
Si scrive il sistema nella forma matriciale:
a2
0
0
4 − :2
2•b •b
•b 2•b
4á ∗ -
Å(
Å@
. =
0
0
: → â ∗ = 0
dove â è la matrice di rigidezza strutturale che è composta dalla matrici â e âã che sono rispettivamente la matrice
di rigidezza elastica lineare della struttura e la matrice di rigidezza geometrica.
â = â − • ∗ âã → 6
âã 2
2b b
b 2b
4
â = 2
0
0
4
:
Il sistema omogeneo ammetterà soluzione diversa da quella banale solo per quei valori di λ tali che:
â 1 • ∗ âã = 0
Risolvendo il problema agli autovalori si ricavano i due valori λ1,2 corrispondenti ai punti di biforcazione del percorso
di equilibrio. Il carico critico sarà il minore tra i due autovalori.
Determinati gli autovalori si ricavano i rispettivi autovettori che corrispondono alle due deformate modali del
sistema.

46
1° Deformata modale per λ1 = 0.382 ∗
ä
~
2° Deformata modale per λ2 = 2.618 ∗
ä
~
2.5 Studio del comportamento di un sistema ad ∞ g.d.l.
2.5.1 La colonna di Eulero
Si considera un asta incernierata alla base e con un carrello in
testa che permette il solo abbassamento verticale.
IPOTESI
1) L’asta è perfetta dal punto di vista geometrico
2) l’asta è composta da un materiale elastico lineare e non
esistono imperfezioni di tipo meccanico
3) Il carico P è perfettamente allineato sull’asse verticale
dell’asta
4) si immagina che l’asta possa deformarsi solo in un piano
Fig.2.5.1.I
SVOLGIMENTO
Utilizzando il criterio statico si scrivere l’equazione di equilibrio nella configurazione
deformata.
Zk?¸ = ZK3¸ → a
Zk?¸ — ∗ g)A+
ZK3¸ = * ∗ i ∗ χ)A+
:
Nell’ipotesi di linearizzazione della cinematica (teoria del II° ordine).
χ)A+ ≅ g)A+€€
Si può ora scrivere la precedente equazione di equilibrio come equazione della linea elastica
della colonna, nella sua configurazione deformata:
*i ∗ g)A+€€
+ — ∗ g)A+ = 0 → g)A+€€
+
—
*i
∗ g)A+ = 0 → g)A+€€
+ %@
∗ g)A+ = 0
Fig.2.5.1.II
L’integrale generale dell’equazione sarà:
g)A+ • ∗ sin)%Ÿ+ + ¡ ∗ cos)%Ÿ+
Si impongono le condizioni al contorno
6
g)0+ = 0 → • 0
g)b+ 0 → ×
¡ 0
%b Π
:
:
Il problema presenta soluzioni banali e non:
1) A = 0 ; B = 0 a cui corrisponde la soluzione banale Y(x) = 0
2) A = 0 ; %3
3Π
~
a cui corrispondono soluzioni non banali (autofunzioni) del tipo: g)A+ • ∗ sin)%3A+
Dove %3 sono gli infiniti autovalori cui sono associati i carichi.
%3
@
=
@
∗ Π@
b@
=
—
* ∗ i
→ —«¬ =
* ∗ i ∗ Π@
∗ @
b@

47
Agli infiniti g.d.l. della colonna sono associati infiniti valori possibili del carico critico. Ponendo n = 1 si ottiene il più
piccolo di questi carichi conosciuto come il carico critico euleriano:
— =
* ∗ i ∗ Π@
b@
La deformata critica dell’asta è espressa come :
g )A+ = • ∗ sin -
Π ∗ A
b
.
2.5.2 La lunghezza libera di inflessione
Le diverse condizioni di vincolo cui è soggetta la colonna influenzano il valore del carico critico. E’ tuttavia possibile
ricondursi al caso della colonna di Eulero con l’accorgimento di sostituire al valore L della lunghezza geometrica
dell’asta il valore L0 =β * L che definisce la lunghezza libera di inflessione. Tale lunghezza rappresenta la distanza tra
due successivi punti di flesso nella deformata critica.
2.5.2.1 La colonna
2.5.2.2 Il telaio
1) si considera un telaio dove il momento d’inerzia della trave è pari ad n volte quello delle colonne:
Si considerano due differenti deformate:
Fig.2.5.2.2.II Fig.2.5.2.2.III
Per determinare quale delle due si verificherà si studia il valore della lunghezza libera di inflessione delle colonne:
Nel primo caso si ha b& = b mentre nel secondo b& =
~
@
. Dati questi valori si ricavano i corrispondenti valori dei Pcr ,
si verificherà la deformata associata al più piccolo valore di Pcr.
2) Si considera un telaio dove il momento d’inerzia delle colonne è pari ad n volte quello della trave:
Deformata_1 Deformata_2
Fig.2.5.2.2.IV
Fig.2.5.2.2.I
Fig.2.5.2.1.I

48
Si considerano due differenti deformate:
Fig.2.5.2.2.V Fig.2.5.2.2.VI
In questo caso la lunghezza libera di inflessione della colonna sarà b& = 2b per il primo tipo di deformata ed
b& = 0.7b per il secondo tipo.
2.5.3 La curva di stabilità
Dal valore del carico critico si ricava la tensione critica Euleriana
=
—
•

Π@
∗ * ∗ i
b&
@
∗ •
Si introducono i Parametri:
ç = N
i
•
› ¨¨ ¨
•
b&
ç
b
L’espressione della tensione critica si modifica in:

—
•

Π@
∗ *
•@
Si rappresenta tale espressione in un piano (σ-λ) (Fig.2.5.3.I)
Figura 2.5.3.I
Nel grafico appena visto non si è considerato che il materiale nella realtà non è indefinitamente elastico.
Se si considera il limite di snervamento dato dal valore della tensione di snervamento σy si ottiene il grafico di
Fig.2.5.3.II
Si nota in particolare che esiste, teoricamente, un punto C in cui il
collasso della colonna avviene contemporaneamente per
raggiungimento dello schiacciamento per plasticità e per instabilità
Uguagliando le due equazioni che rappresentano i due fenomeni si
ricava il valore della ascissa che descrive il suddetto punto
chiamata snellezza di transizione:
ž
= ^

Π‚
∗
è‚
: → •∗
= Π ∗ éu8
σ
λ
Deformata_1 Deformata_2
=
Π@
∗ *
•@

In tale figura si associa ai punti che stanno al di sopra della curva
descritta dall’equazione della tensione di Eulero il collasso per
instabilità della colonna.
Figura 2.5.3.II

49
2.5.3.1 Valutazione della presenza delle imperfezioni
Nella realtà nessun elemento è privo di imperfezioni. Queste nel caso della colonna possono essere di
diversi tipi:
Imperfezioni geometriche
Imperfezioni meccaniche
Eccentricità dell’applicazione del carico
Si considera in seguito uno sforzo assiale agente su una colonna con eccentricità e ≠ 0.
Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata:
Zk?¸ = ZK3¸ → a
Zk?¸ … ∗ [g)A+ + ]
ZK3¸ = * ∗ i ∗ χ)A+
:
* ∗ i ∗ g)A+€€
+ … ∗ g)A+ = 1… ∗ → g)A+€€
+ %@
∗ g)A+ = −%@
∗
Risolvendo l’equazione differenziale si ricava il grafico seguente:
‡
Š
ˆ
Š
‰γ
¹
^

&
•
•
•∗
: → § M &
ç@
g¹º»
è €
à
si osserva come all’aumentare del parametro m e quindi
dell’imperfezione iniziale si ha un decremento del valore del
carico critico sopportabile dalla tensione
Figura 2.5.3.1.I
Figura 2.5.3.1.II

50
CAP.3 : Le connessioni in acciaio
L’acciaio è fornito dall’industria siderurgica in elementi di forme tipiche e dimensioni unificate. Congiungendo questi
elementi è possibile costruire una qualsiasi struttura. In questo senso assumo un ruolo fondamentale i collegamenti,
che devono essere realizzati in modo che ciascun elemento semplice contribuisca alla capacità portante dell’insieme.
I dispositivi costruttivi che hanno lo scopo specifico di connetter insieme due o più elementi strutturali, inizialmente
indipendenti, prendono il nome di sistemi di collegamento.
Questi sistemi di collegamento od unioni, rappresentano una zona critica delle costruzioni metalliche. Infatti il loro
comportamento non può essere colto nell’ambito delle ipotesi che stanno alla base della teoria di De Saint Venant
poiché tali zone sono regioni diffusive (D-regions) caratterizzate da concentrazioni di sforzi in cui vengono meno le
ipotesi alla base della teoria stessa.
Poiché l’errata progettazione di anche solo una delle unioni presenti in una struttura può portare al collasso della
stessa (Es. collapse of I-35 highway bridge , Minneapolis, Fig.3.I), non si può trascendere dallo studio di tali regioni.
Le indicazioni progettuali presenti in letteratura sono basate su teorie e modellazioni semplificate, supportate da
analisi sperimentali o numeriche agli elementi finiti.
3.1 Definizioni
I collegamenti tra gli elementi in acciaio si possono raggruppare in due categorie principali:
- Unioni correnti: servono per creare profili composti a partire da ferri piatti e cantonali
- Unioni di forza: uniscono tra loro i vari elementi strutturali per formare l’intera costruzione
3.1.1 Classificazione
Le unioni tra elementi strutturali possono essere classificate in vari modi
3.1.1.1 Classificazione secondo la tipologia dei componenti
Se si distinguono le giunzioni in base alla tipologia dei componenti che vengono collegati, si hanno:
1) Trave-colonna singolo (Fig.3.1.1.1.II)
2) Trave-colonna doppio
3) Continuità trave-trave(Fig.3.1.1.1.III)
4) Continuità colonna-colonna(Fig.3.1.1.1.IV)
5) Colonna Fondazione (Fig.3.1.1.1.V)
Figura 3.1
Figura 3.1.1.1.I

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