Frações

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  1. 1. FRAÇÕES Quantas cores diferentes você vê no desenho? Com certeza você contou direito e são seis cores diferentes. Um círculo foi dividido em seis partes iguais, cada uma com uma cor diferente e que abrange a sexta parte do círculo. É como se 1, que representa o círculo todo, tivesse sido dividido em 6 partes iguais. Por isso, cada pedaço vale de todo o círculo. A soma de todos os pedaços: Cada parte em que foi dividido o círculo é chamada fração, porção ou pedaço, etc., mas escolhemos a palavra fração. Uma fração tem três partes: 1) O numerador indica quantas partes são tomadas depois de dividir um objeto em partes iguais. No desenho anterior, o pedaço amarelo é uma parte. A porção azul é outra. 2) O denominador indica o total de pedaços iguais em que foi dividido o objeto. 3) Entre os dois valores anteriores é traçada uma reta horizontal para que fiquem separados. À esquerda temos o objeto, neste caso, em círculo dividido em 5 cores diferentes. A cor amarela se repete. Isto significa que do objeto, de todo o círculo, tomamos 2 partes. Escreveremos: No numerador, as partes que tomo: 2, no denominador, as partes em que foi dividido o círculo: 6. Escrevemos a fração: Na figura à direita, a cor verde pode ser representada como fração da seguinte forma Por quê o objeto foi dividido em 5 partes iguais. O objeto todo vale 1 e cada pedaço do objeto. Se cada porção de cor verde é de toda a figura, as três porções de cor verde valem , aqui foram tomadas 3 partes (as de cor verde) e assim já temos o numerador. No denominador, lembre, que se escreve o total de partes em que foi dividido o objeto. Neste caso, 5 porções ou partes. Está faltando comentar que entre ambos os valores devemos traçar uma linha horizontal. 4.1 Observe a figura a seguir. Representa um depósito de água. A parte azul indica a parte que com água. O resto está vazio. Como escreveria você em forma de fração o conteúdo de água? E como escreveria a parte vazia? Resposta 1ª: Resposta 2ª:
  2. 2. 4.2 O que significa, como escrevemos e como representaríamos graficamente a fração resultante da frase: “Meus irmãos e eu comemos as três quartas partes do pastel.” Respostas: a) O pastel foi dividido em 4 partes. b) E tomamos 3 partes. c) A figura poderia ser: Nós tomamos tudo, exceto a parte azul. FRAÇÕES PRÓPRIAS E IMPRÓPRIAS: Chamam-se frações próprias àquelas onde o numerador é mais pequeno que o denominador: As impróprias são aquelas onde o denominador é maior que o numerador FRAÇÕES EQUIVALENTES: Quando duas ou mais frações representam a mesma quantidade, estamos falando de frações equivalentes: Com a figura à esquerda representamos um pastel Em amarelo, a parte que tomamos. Comprovará que é a metade do pastel, que em forma de fração escreveremos: Verá na seguinte figura à direita o mesmo pastel, só que dividido em quatro partes. Dessas 4 partes tomamos duas (em amarelo). A verdade é que a parte amarela (as partes tomadas) representa a metade do pastel. Estas duas partes que tomamos podem ser escritas Vemos que e representam a mesma quantidade (a metade do pastel), são iguais ou também chamadas equivalentes. À esquerda vemos o pastel dividido em 6 partes e delas tomamos 3. Esta quantidade é representada: Podemos dizer que , e representam a mesma quantidade de pastel. Estas frações, por representarem o mesmo valor (a metade do pastel) chamam-se frações equivalentes. podemos calcular, a partir da primeira fração, multiplicando ao numerador e ao denominador pelo mesmo número; por 2 para a segunda fração e por 3 para conseguir a terceira.
  3. 3. 4.3 Escreva 4 frações equivalentes a Solução: Se o numerador e o denominador da fração são multiplicados pelo mesmo número, obtemos uma fração equivalente . Multiplicamos por 5 ao numerador e ao denominador. é outra fração equivalente a . Desta maneira conseguirá todas as frações equivalentes que forem precisas. 4.4 Escreva 3 frações equivalentes a mas com números mais pequenos. Solução: Para obter uma fração equivalente com números mais pequenos, em lugar de multiplicar os dois termos da fração por um número, dividem-se estes termos por um mesmo número. 12 e 36 podem ser divididos por 2, 3 4, 6…………. Respostas: . Uma fração equivalente a e onde os números 6 e 18, são menores que 12 e 36. Outra fração equivalente a seria . Outras respostas podem aparecer se os dois termos de são divididos por 4, 6 e 12. são frações equivalentes. 4.5 São equivalentes as frações e ? Resposta: Sim, porque se o numerador e denominador da fração são multiplicados por 2, obtemos . 4.6 São equivalentes Respostas: Se os termos da fração são divididos por 2 obtemos: Se os termos da fração são divididos por 2 e os valores encontrados são multiplicados por 5 obtemos: Se os termos da fração são divididos por 2 e os valores encontrados são multiplicados por 3 obtemos: . 4.7 São equivalentes ? Resposta: Não são equivalentes. Para obter 45 foi multiplicado 15 por 3. Se 30 é multiplicado por 3 obtemos 90 e não 85. 4.8 Poderíamos escrever uma fração equivalente a , mas com numerador 6?
  4. 4. Resposta: Sim: multiplico ao numerador e ao denominador por 3 e obtenho: . 4.9 Escreva uma fração equivalente a , mas com numerador 16. Resposta: Seria preciso multiplicar ao numerador e ao denominador por 8: COMO SABER SE DUAS FRAÇÕES SÃO EQUIVALENTES DE MANEIRA RÁPIDA? Basta multiplicar os números em forma cruzada. Os termos são multiplicados em cruz Se 72x10 = 8x90 as frações são equivalentes. Vemos que em ambos os casos os produtos valem 720, então são equivalentes. Repetimos de outra maneira: Temos duas frações: Se os produtos de 3x20 e 5x12 têm o mesmo resultado, as frações são equivalentes. Caso os resultados dos produtos forem diferentes, as frações não seriam equivalentes. 4.10 Por que sempre devo multiplicar ou dividir por um mesmo número ao numerador e ao denominador? Resposta: Porque se somente multiplico ou divido ao numerador ou ao denominador, o valor da fra ção varia e como ela tem que ser equivalente, seu valor não pode variar. Exemplo: Temos a fração . Se fizermos a divisão, obtemos como quociente 0,66. Se o numerador é dividido por 3 obtenho: Como pode perceber os quocientes encontrados, 0,66 e 0,22, não são iguais, então, a operação que fizemos é errada. É preciso multiplicar ou dividir ao numerador e ao denominador pelo mesmo número: Como você vê, são equivalentes. Seus quocientes são iguais a 0,66. 4.11 Transforme em uma fração equivalente, mas com numerador igual a 15. Resposta: Solução: Para que o numerador seja igual a 15, será preciso multiplicá-lo por 5 e também por esta quantidade terá que ser multiplicado o denominador. 4.12 Transforme a em outras frações equivalentes, mas com numeradores iguales. Resposta: .
  5. 5. Solução: Se são multiplicados os dois termos de por 2: É obtida uma fração equivalente a Se são multiplicados os dois termos de por 6: são equivalentes. Em ambos os casos temos, além de frações equivalentes, , frações com o mesmo numerador: 4.13 Calcule frações equivalentes a mas que as novas frações tenham o mesmo número como denominador . Resposta: Solução: Se o denominador, 2, é multiplicado por 6, obtemos 12 como resultado. Se o denominador, 3, é multiplicado por 4, obtemos 12 como resultado. Se o denominador, 4, é multiplicado por 3, obtemos 12 como resultado. Isto quer dizer que os dois termos de tem que ser multiplicados por 6. Ficaria Que os dois termos de tem que ser multiplicados por 3. Ficaria: Resposta: As frações equivalentes a com iguais denominadores, neste caso o 12, são: 4.14 Calcule as frações equivalentes a (problema anterior) que tenham o mesmo denominador, neste caso, 24. Solução: Tomando a resposta do exercício anterior (4.13), basta multiplicar o numerador e denominador de cada fração por 2. Assim, já temos os denominadores iguais a 24 e as frações seriam: 4.15 Calcule três frações equivalentes a de maneira que tenham iguais numeradores. Resposta: Solução: Pode ser tomado o número 12 como numerador para as três frações.
  6. 6. O numerador e o denominador de teriam que ser multiplicados por 12.O numerador e o denominador de teriam que ser multiplicados por 6.O numerador e o denominador de teriam que ser multiplicados por 4. Resposta: As frações equivalentes a com numerador 12 são: . 4.16 Poderia ser tomado o número 25 em lugar de 12 como numerador para , como fizemos com o exercício anterior? Resposta: Não, porque não há nenhum número inteiro que multiplicado por 2 ou 3 o resultado seja 25. MANEIRA SIMPLES PARA BUSCAR FRAÇÕES EQUIVALENTES COM O MESMO NÚMERO, NO NUMERADOR OU DENOMINADOR: 4.17 Vamos supor que temos as frações Queremos buscar umas frações equivalentes a elas, mas com o mesmo numerador. O mais fácil é buscar um múltiplo de 4, 6 e 3 ao mesmo tempo, e também que esse múltiplo seja o menor. Como já você percebeu, estamos falando do m.c.m.(4,6,3) A primeira fração para ser convertida em outra equivalente, só que com valor 12 no numerador, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 3: A segunda fração para ser convertida em outra equivalente, só que com valor 12 no numerador, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 2: A terceira fração para ser convertida em outra equivalente, só que com valor 12 no numerador, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 4: 4.18 Temos as frações encontre outras equivalentes com o mesmo valor no numerador: O m.c.m.(4,2,6) = 12
  7. 7. Resposta: REDUZIR FRAÇÕES A UM DENOMINADOR COMUM OU ESCREVER OS DENOMINADORES COM O MESMO NÚMERO: É muito importante que você saiba escrever uma ou mais frações em outras equivalentes com o mesmo denominador. É o que temos feito ultimamente. MÉTODO SIMPLES PARA CALCULAR O m.c.m. DE VÁRIOS NÚMEROS: 4.19 Temos as seguintes frações: Como queremos reduzir as frações a um comum denominador será preciso calcular o m.c.m.(9,5,10,4). Uma forma rápida de cálculo é: 1º Escreva os denominadores um pouco afastados. 2º Trace umas retas verticais diante de cada número 3º Coloque o primeiro número primo depois do 1, que é o 2 4º Se o número de cada coluna é divisível por 2, dividimo-lo por este número e escrevemo- lo; caso não for, traçamos uma pequena raia. Tente dividir os novos números de cada coluna por 2 mais uma vez. Quando em alguma coluna você escrever um 1, já não deve seguir trabalhando com essa coluna, e passamos ao seguinte número primo. 5º Depois de trabalhar com o 2, escreva embaixo o seguinte número primo, o 3, e divida por este número cada número que se encontre em cada coluna. Caso não for múltiplo ou divisível por 3 traçamos uma pequena raia. 6º Depois, escreveriamos o 5, e fazemos de novo o anterior. 7º Quando todas as colunas, exceto a primeira, tiverem como último valor encontrado o 1, significa que já teremos terminado e o m.c.m. é o produto de todos os números primos que foram utilizados (primeira coluna): 4.20 Calcule com o método do exercício anterior o m.c.m.(3,5,10,15)
  8. 8. Resposta: m.c.m.(3,5,10,15) = 2x3x5 = 30 4.21 Calcule com o método anterior o m.c.m.(14,21,42,63) Resposta: O m.c.m.(14,21,42,63) = 2x3²x7 = 126 SOMAR E SUBTRAIR FRAÇÕES: Para poder somar e subtrair frações, os denominadores têm que ser iguais e então são somados e subtraídos os numeradores. Exemplo: 4.22 Calcule: Resposta: SOMAR E SUBTRAIR FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES: Se os denominadores não forem iguais: É preciso transformar as frações anteriores em outras equivalentes de igual denominador. É preciso levar em conta os seguintes passos: 1) Buscamos o mínimo comum múltiplo dos denominadores e é colocado como denominador de cada função. O m.c.m.(2,3,4) = 12 2) Para encontrar cada um dos novos numeradores, divide-se esse número (12) pelo denominador de cada fração e multiplica-se pelo numerador correspondente.
  9. 9. Já calculamos as frações equivalentes com igual denominador. - Finalmente são somados e subtraídos os numeradores e é colocado o mesmo denominador. 4.23 Calcule: a) Calculamos o m.c.m.(8,10,6): O m.c.m.(8,10,6) = 120 Calculamos as frações equivalentes a mas com igual denominador, que será 120.Escrevemos a primeira fração equivalente a com denominador 120. Dividimos 120 entre 8 e o quociente é multiplicado por 5: Escrevemos a segunda fração equivalente a com denominador 120. Dividimos 120 entre 10 e o quociente é multiplicado por 3:
  10. 10. Escrevemos a terceira fração equivalente a com denominador 120. Dividimos 120 entre 6 e o quociente é multiplicado por 7: Agora, com as frações equivalentes podemos fazer as operações de soma e subtração: 4.24 Calcule: Resposta: O m.c.m.(5,10,8) = 40 O resultado da soma e diferença de frações: 4.25 Calcule o valor de: Resposta: O m.c.m.(12,15,8) = 60 O resultado da soma e diferença de frações: 4.26 Calcule o valor de: Resposta: O m.c.m.(11,22,4,8) = 88 O resultado da suma e diferença de frações:
  11. 11. 4.27 Calcule o valor de: Resposta: O m.c.m.(13,2,26,8) = 104 O resultado da soma e diferença de frações: 4.28 Calcule o valor de: Resposta: O m.c.m.(4,6,8,10) = 120 O resultado da soma e diferença de frações: PRODUTO DE FRAÇÕES: Para multiplicar duas ou mais frações, detrás do sinal igual, traçamos uma raia e escrevemos no numerador o produto de todos os numeradores, e como denominador, o produto de todos os denominadores: Exemplo: e como 21 e 36 são divisíveis por 3, dividimos ambos os valores por 3 Antes de escrever uma fração como resultado final, observe se é possível simplificar, e se possível, não deixe de fazê-lo. 4.29 Calcule Resposta simplificada: COMO DIVIDIR FRAÇÕES: Pode ser feito de duas maneiras, você escolha a que achar melhor:
  12. 12. 1.- Multiplicam-se em cruz: O numerador da primeira fração com o denominador da segunda e este resultado será o numerador resultante. O denominador será o produto do denominador da primeira fração com o numerador da segunda. Poderá entender melhor com o seguinte exemplo: Exemplo: 2.- A outra maneira de dividir frações é ainda mais fácil. Invertemos os termos da segunda fração. Isto quer dizer que onde é o numerador é colocado seu denominador e onde é o denominador colocamos seu numerador e depois fazemos o mesmo que fazemos para a multiplicação de frações: Exemplo: 4.30 Divida de duas maneiras as frações: Resposta: FAZER OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM UMA OU MAIS FRAÇÕES E UM NÚMERO INTEIRO: Para somar e subtrair, por exemplo: Ao número inteiro, o 5, lhe colocamos um 1 como denominador. Isto não alterou o valor inicial deste número, e agora não temos dificuldade para o cálculo do m.c.m.(6,1,24) que es 24:
  13. 13. 4.31 Calcule: Resposta: Solução: O m.c.m.(4, 5, 6) = 60 O QUE É QUE CHAMAMOS NÚMERO MISTO?: Chamamos número misto ao número que tem uma parte inteira e outra fracionária (uma fração própria –numerador mais pequeno que o denominador), por exemplo: Uma fração imprópria é: A parte inteira é: 3 e a fração própria: Um número misto também é: . Sua parte inteira é 1 e fracionária CONVERTER UM NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO: As frações que obtemos ao converter um número misto sempre são impróprias (o numerador maior que o denominador). É muito simples converter um número misto em fração: MULTIPLICAMOS O INTEIRO POR O DENOMINADOR E SOMAMOS O NUMERADOR. MANTEMOS O MESMO DENOMINADOR:
  14. 14. 4.32 Converta em fração imprópria: Converta em fração imprópria: Converta em fração imprópria: Respostas: COMO CONVERTER UMA FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM NÚMERO MISTO: Vamos fazer uma divisão muito simples: Como pode ver, 36 entre 5 e 7 e obtemos um resto igual a 1. Podemos continuar a divisão colocando uma vírgula no quociente e baixando um zero. Mas não o vamos fazer. Vamos apresentar esta divisão com sua parte inteira que é 7 (quociente) e o resto (1) entre o quociente (5) que é a parte da divisão que fica sem ser feita Como pode ver é o
  15. 15. quociente indicado, o quociente sem ser feito.Se colocarmos a parte inteira junto à fracionária, obtemos o número misto: Se convertermos este número misto em fração imprópria obteremos: que é a divisão que fizemos faz um momento. 4.33 Converta a fração imprópria em um número misto. Converta a fração imprópria em um número misto.Converta a fração imprópria em um número misto. Respostas: PROBLEMAS COM FRAÇÕES
  16. 16. 4.34 Um depósito cuja capacidade é de 100 litros está cheio de água. Se extrairmos de sua capacidade, quantos litros ficam dentro do depósito? Solução: Imagine que o depósito é o cilindro da direita. O cilindro, a UNIDADE (o depósito), foi dividido em 4 partes. Por que em 4 partes e não em 6, 7, ..? Porque o enunciado do problema indica una fração com denominador 4. Cada divisão equivale a do depósito. Todo o depósito vale 1 ou O representado com cor azul é o que fica com água após ter extraído 3 quartas partes Se tínhamos 4 partes cheias de água, e extraímos a água de três partes, ainda fica uma quarta parte, ou seja, do depósito. Quando escutarmos de 100 ou de 20, etc., A PREPOSIÇÃO DE significa que é preciso multiplicar a fração pelo inteiro ou o inteiro pela fração:
  17. 17. Resposta: Ficaram dentro do depósito 25 litros 4.35 Carmem saiu de sua casa com dinheiro no bolso. Gastou e ficaram 10 €. Com quantos euros saiu de casa? Solução e comentários: Representamos todo seu dinheiro com 6 divisões ou retângulos. Por que fazemos 6 divisões e não 4, 5, etc.? Porque o problema refere-se à fração com denominador Cada retângulo equivale a de todo seu dinheiro. Isto quer dizer que, todo seu dinheiro equivale a ó 1. Se ela tinha e gasta , ficam: Na figura, o retângulo com cor verde representa o dinheiro que ainda ela tem do total que teve, e segundo o problema, ela ainda tem 10 euros. Por tanto equivale a 10 €. Se cada retângulo equivale a 10 euros, os seis retângulos teriam um valor de 6x10 = 60 € Então ela saiu de casa com 60 €. Você pode comprovar que os euros que gastou foram 50 €. Por quê? Se saiu de casa com 60 e ficou com 10, isso significa que gastou: 60 – 10 = 50. Também, se cada retângulo equivale a 10 € e há 5 retângulos brancos, significa que gastou 5x10 = 50. Resposta: Saiu de sua casa com 60 €
  18. 18. 4.36 João diz: “Na minha sala de aulas há 25 estudantes, dos quais são moças”. Quantos moços e moças há na sala de aulas? Resposta: 15 moças e 10 moços Solução: Representamos o total de estudantes da sala de aulas com a figura à direita. São feitas 5 divisões porque o problema fala de uma fração cujo denominador é 5. O total de estudantes é representado assim . Como as moças representam os moços serão Cada divisão (rosa, moças, azul, moços) equivale a estudantes. Cada divisão é do total de estudantes. Se há 3 divisões rosa quer dizer que há: 3x5 = 15 moças Se há 2 divisões azuis quer dizer que há: 2x5 = 10 moços PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. ) 4.37 A quarta parte do comprimento de um poste está pintado de vermelho de azul, de amarelo e o resto de verde. Que fração de poste representa a parte pintada de verde? Resposta: Solução: O poste é representado com 1 (a unidade, porque há só um poste).
  19. 19. está pintado de vermelho de azul de amarelo. Vamos calcular a fração do poste que está pintada com uma destas cores: TRADUCCION Del esquema: ¼ do comprimento do poste; 1/3 do comprimento do poste; 1/5 do comprimento do poste; 13/60 do comprimento do poste. (arriba) Calculamos o m.c.m.(4,3,5) e vemos que: As frações de poste pintado com vermelho, azul e amarelo representam: do poste. Vemos que o denominador vale 60, isto quer dizer que, todo o poste tem O pintado com a cor verde vai ser calculado subtraindo o comprimento total do poste menos o que está pintado em vermelho, azul e amarelo A resposta é: A fração pintada de verde equivale a do comprimento total do poste. 4.38 Se temos 2 fra ções com igual denominador, qual das duas é maior? Resposta: Aquela que tiver maior numerador. Solução:
  20. 20. Vamos imaginar que temos una omelete de batatas. É dividida, fracionada em seis pedaços iguais, cada um dos quais valem da omelete. (TRADUCCION DE ESQUEMA: Tomo duas porções) Tomar duas porções, Duas frações, dois pedaços, Isso significa que tomo: da omelete TOMO 1 PORÇÃO, FRAÇÃO, PEDAÇO. Se tomar uma porção, tomo 1/6 da omelete. Graficamente posso comprovar que e se você gosta da omelete de batatas, com que pedaço ficará? (Lembre que o sinal: > é lido maior que –o valor à esquerda deste caractere é maior do que aquele à sua direita 4>3. O sinal: < é lido menor que e significa que o que fica à sua esquerda é menor do que fica à sua direita- 3<4. ) Resposta: Como conclusão, de duas frações com igual denominador, será maior aquela que tiver maior numerador. 4.39 Temos 2 frações com igual numerador. Qual das duas é maior? Resposta: Aquela que tiver menor denominador. Traduccion esquema: FRAÇÃO DE OMELETE QUE RECEBE CADA COMENSAL SE FOREM DUAS PESSOAS. Solução: Voltamos à omelete de batatas. Representamos a omelete com a unidade, ou seja, com o 1 (só temos uma omelete). Se duas pessoas vão comer, cada uma recebe a metade, da omelete. O numerador indica toda a omelete
  21. 21. E o denominador diz em quantas partes tem que ser dividida. Traduccion esquema: PEDAÇO DE OMELETE QUE RECEBE CADA COMENSAL SE FOREM TRÊS PESSOAS. Para três pessoas que vão comer, cada uma recebe da omelete. Não esqueça que o numerador indica a omelete inteira, e o denominador, o número de partes iguais em que é preciso fracioná-la. Resposta: Não há discussão, de duas frações com igual numerador, é maior a fração com MENOR denominador. 4.40 Qual é a altura de Jaime se de sua altura equivale a 30 centímetros? Resposta: 180 centímetros ou 1,80 metros Solução: Sempre que puder, tente se ajudar por meio de um simples desenho: À esquerda há uma coluna dividida em 6 pedaços iguais porque o problema diz que de sua altura equivale a 30 cm. Como temos 6 pedaços de 30 cm cada, a altura total será de 6x30 = 180 cm. ou 1,80 metros. Resposta: 180 cm. o 1,80 metros. PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. ) 4.41 Um depósito com capacidade de 60 litros de água está cheio até de sua capacidade. Quantos litros de água contem neste momento? Resposta: 40 litros. Solução À direita da página há um depósito cilíndrico que foi dividido em três partes iguais porque o problema diz que está cheio até os de sua capacidade.
  22. 22. Cada uma das três divisões equivale a de sua capacidade: todo o depósito Calculamos de 60, que é o mesmo que Como cada vemos que equivale a 20 litros e está cheio até os que é o mesmo que isto significa que o depósito tem: Resposta: 40 litros. 4.42 De um recipiente cúbico de 100 litros de capacidade que estava cheio de óleo, foram extraídos de sua capacidade. Quantos litros ainda ficam no depósito? Resposta: 60 litros. Solução: Dividimos um cubo bastante grande em cinco partes. Cada parte ou fração equivale a de sua capacidade. Como sua capacidade é de 100 litros, cada fração ou parte equivale a de 100, ou seja,
  23. 23. Se equivale a 20 litros, Então, foram extraídos 40 litros, e como o depósito tinha 100, ainda ficam no depósito: 100 – 40 = 60 litros. 4.43 Uma casa custa 300.000 € e outra, os deste valor. Quanto vale esta segunda casa? Resposta: 250000 € 4.44 Gastei os do dinheiro que tinha ao sair de casa e voltei com 40 €. Quanto dinheiro gastei e quanto tinha quando sai de casa? Resposta: Salí con 100 € y gasté 60 € Solução, caso tiver dúvidas: Represento todo o dinheiro que tinha quando sai de casa com ou seja, a unidade, e desse dinheiro gastei o qual significa que o que ainda não gastei será .O problema diz que não gastei 40 €. Isto significa que os do dinheiro que tinha ao sair de casa equivale a 40 €, e se pode ser escrito como: , podemos dizer que equivale a 20 €. Sai de casa com ou seja, Se não gastei 40€ significa que gastei 100 – 40 = 60 € Este problema, como quase todos, admite mais de uma solução. Se você o fez de outra maneira e entendeu bem tudo, parabéns! 4.45 O que você faria para pôr em ordem crescente as frações seguintes ? Solução:
  24. 24. Se fizer cada divisão para obter o quociente com dois dígitos terei que empregar muito tempo e talvez erre ao fazer alguma divisão. Como sabemos que de duas frações com igual denominador é maior a que tiver maior numerador, calculamos o m.c.m. de todos os denominadores para assim calcular frações equivalentes às propostas no problema. Assim que todas as frações tiverem o mesmo denominador, não temos problema nenhum para organizá-las de maior a menor: Calculamos o m.c.m.(21,28,35,45) As frações podem ser escritas: As frações propostas já estavam ordenadas de menor a maior. Agora é fácil ver que:
  25. 25. porque aqui o vemos claro. 4.46 Escreva de menor a maior os valores das frações: Resposta: 4.47 Calcule Resposta: Fração mista Solução: PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. )
  26. 26. 4.48 Calcule: Resposta: e como fração mista 4.49 Calcule: Resposta: Solução: 4.50 Calcule Resposta: 4.51 Calcule: Resposta:
  27. 27. Neste exercício é preciso dividir duas frações, uma sobre outra: Exemplo: Solução do 4.51: 4.52 Calcule: Resposta: Solução:
  28. 28. 4.53 Calcular de uma maneira rápida frações como: Aqui temos uma fração que divide a outra fração. Podemos escrevê-la: Tente decorar o seguinte: o 3 e o 5 são os extremos (o primeiro e o último dos valores) e os que estão no meio: o 4 e o 2 se chamam médios, e em divisões de duas frações: O produto dos extremos divide-se pelo produto de médios. Quando temos uma fração dividida por outra, obtemos uma fração simples que tem como numerador o produto dos termos extremos, e como denominador, o produto dos termos médios. 4.54 Calcule as respostas de:
  29. 29. Respostas: Veja que o numerador é um inteiro, não tem denominador, está faltando um dos médios, mas podemos colocar o 1 e seu valor não muda. Agora já temos os dois médios: É importante que preste atenção à posição do sinal igual (=). Ele indica que termo é o número inteiro e convém colocar a unidade como denominador.
  30. 30. PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. ) 4.55 Qual é o valor de ? Resposta: 4.56 Qual é o valor de Resposta: 2 4.57 Calculamos passo a passo Resposta: Solução:
  31. 31. 4.58 Calcule: Resposta: 4.59 Calcular: Resposta: Solução: Lembre que a preposição de em matemáticas significa multiplicar os valores que se encontram a um lado e outro desta preposição.
  32. 32. 4.60 Calcule: Resposta: Caso tiver dúvidas:
  33. 33. 4.61 Calcule: Resposta: 4.62 Imagine que você deixa cair uma bola desde uma altura de 30 metros. No rebote ao chegar ao chão atingiu uma altura equivalente a da altura desde a qual caiu. Que altura alcança após o rebote contra o chão? Resposta: 20 metros Solução: Segundo o problema, após o primeiro rebote, a bola alcança uma altura dos da altura desde onde foi deixada cair. Então, temos: de 4.63 Que altura alcançará a bola do problema anterior no terceiro rebote? Resposta: 8,88888 metros PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. ) 4.64 Uma pessoa sai de sua casa com certa quantidade de dinheiro no bolso. Se gasta de seu dinheiro em selos. Depois gasta do que ficava em um livro, e então percebe que ficaram 30€. Com quantos euros saiu de sua casa? Resposta: Saiu de casa com 60€ Solução: Neste tipo de problemas é preciso levar em conta que sempre temos que calcular a fração de dinheiro que fica após fazer um gasto.
  34. 34. -A primeira vez gasta ; se todo o dinheiro que tinha ele ao sair de casa equivalia a ele fica então com Traduccion de la fig 1:1/3 do dinheiro gastado, 1/3 do dinheiro que fica, 1/3 do dinheiro que fica. Na figura à direita pode ver em vermelho o que gastou, e em verde o que ficou a primeira vez. - A segunda vez gasta do que ficava (não pode gastar o que não tem). Quanto ficou após o primeiro gasto? O que aparece em verde, ou seja Graficamente colocamos o que ficou Traducao da figura: Ficaram 2/3 Deste dinheiro são feitas 4 partes, cada uma de Gasta É como se do que ficou, fizesse quatro partes e gastasse uma, representada em vermelho na figura. Em verde aparece o que ficou, como pode ver, são 3 partes, onde cada uma é igual a do dinheiro com que saiu de casa, em total :
  35. 35. Vemos em cor verde o dinheiro que fica ao final = ou a metade do que tinha quando saiu de casa. Segundo o problema, ele ficou com 30€, e esta quantidade significa a metade da que teve antes de gastar nada. Se ele ficou com 30 euros e representava a metade, quer dizer que saiu de casa com o duplo Gastou 30€ e ficou com 30€ 4.65 De um depósito que está cheio de água extraímos da água que contem, e vemos que ainda ficam 120 litros. Qual é a capacidade do depósito? Resposta: A capacidade do depósito é de 200 litros. Solução: Caso tiver dificuldades: Desenhamos o depósito e dividimo-lo em 5 partes, pois o problema diz que são extraídos de seu conteúdo. Seu conteúdo completo é 1 ou: Do depósito completo extraímos (em vermelho), quer dizer que ficam em verde) de sua capacidade. Segundo o problema, após extraídos os ficam 120 litros. Como os do depósito estão cheios de água, esta fração equivale a 120 litros e em cada do depósito cabem:
  36. 36. Se são 40 litros, nos caberão: 40x5 = 200 litros. 4.66 Três fontes vertem água em um depósito. A primeira pode encher o depósito em 3 horas, a segunda em 4 horas e a terceira em 6 horas. Se as três vertem água ao mesmo tempo, em quanto tempo enchem-no? Resposta: Atuando as 3 fontes ao mesmo tempo, tardam 1 hora e 20 minutos para encher o depósito completamente. Solução: Sempre que pudermos, fazemos um desenho Traduccion de figura: em azul a fração do depósito que cada fonte atuando sozinha enche em uma hora. A primeira fonte, atuando sozinha, enchê-lo-ia em 3 horas, então, em uma hora encheria do depósito, em azul. A segunda fonte, atuando sozinha enchê-lo-ia em 4 horas, então, em uma hora encheria do depósito, em azul.A terceira fonte, atuando sozinha enchê-lo-ia em 6 horas, então, em uma hora encheria do depósito, em azul. Se as três fontes atuam ao mesmo tempo, em uma hora encheriam: do depósito A seguir temos a situação do depósito depois que as 3 fontes encheram-no em uma hora todos ao mesmo tempo.
  37. 37. Em branco ¼ do depósito vazio depois de 1 hora vertendo água as três fontes ao mesmo tempo. Em azul as ¾ do depósito cheias de água em 1 hora, atuando as três fontes ao mesmo tempo. Temos calculado que em 1 hora as três fontes juntas encheram os do depósito. Esta vez, dividimos o depósito em quatro partes, frações ou quartos, ficando sem encher . Em 1 hora as 3 fontes juntas encheram partes do depósito das 4 em que foi dividido. Se em 1 hora enchem, as três fontes juntas, partes do depósito, quer dizer que parte demorou 20 minutos. Por quê? Porque se em 1 hora = 60 minutos, enchem encheriam em: Tudo isto quer dizer que, a parte que falta por ser enchida, que equivale a do depósito, seria enchida em 20 minutos. Como tardaram 1 hora em encher os em mais 20 minutos terminarão de encher . PROBLEMAS COM FRAÇÕES ( Cont. ) 4.67 Calcule o tempo que tardam em encher um depósito com 3 fontes atuando ao mesmo tempo. Se o fizerem individualmente, a primeira fonte tardaria 3 horas para enchê-lo, a segunda 4 horas e a terceira 12 horas. Resposta: Juntas precisariam 90 minutos ou 1 hora e 30 minutos.
  38. 38. 4.68 Um barril está cheio água, são extraídos os e depois os que ficavam. Que fração indica a quantidade de água que fica dentro do barril?Resposta: A fração da água dentro do barril é . Solução: A capacidade do barril é dividida em cinco partes. Cada fração ou divisão equivale a de sua capacidade. Segundo o problema, são extraídos representados em branco. Vemos em azul que a água que fica no barril equivale a da capacidade total.Depois são extraídos os do que ficou, ou seja, . Escrevemos: Lembre que é o que extraímos a segunda vez. A última vez no barril ficou e extraímos depois . Ficou dentro do barril: 4.69 Um vendedor de frutas vendeu do conteúdo de suas laranjas, depois, do que lhe ficava. Que fração representa o conteúdo da caixa? Resposta:
  39. 39. Solução: Caso tiver dúvidas, observe um modo rápido de resolução: 1ª vez: Vende de todas as laranjas. Ficam: 2ª vez: Vende das laranjas que lhe ficaram a 1ª vez Ficaram: 4.70 Uma pessoa gastou do dinheiro que tinha. Ao dia seguinte gastou do dinheiro que tinha. Ao dia seguinte gastou do dinheiro que ficou o último dia e viu que no bolso ficavam 1000€. Com quanto dinheiro saiu de casa? Resposta: Saiu com 3375 € Solução: Vamos resolver o exercício de um modo rápido caso você tiver encontrado alguma dúvida. Dia 1º: Gasta do dinheiro que tinha ao sair de casa. Ficam: Dia 2º: Gasta do dinheiro que ficou do dia anterior:
  40. 40. Ficam: Dia 3º: Gasta do dinheiro que ficou do dia anterior: Ficam: Segundo o problema, ao terceiro dia ficaram 1000€. Isto quer dizer que é o mesmo que 1000€ e o dinheiro que tinha ao sair de casa pode ser representado com a fração . Se equivale a 1000€, será o mesmo que Vemos que equivale a 125€, então equivale a: 4.71 De um cubo de água extraem-se os de seu conteúdo e depois do resto, ficando finalmente 20 litros. Quantos litros tinha no começo? Resposta: No começo tinha 24 litros 4.72 Uma pessoa deve uma quantidade de dinheiro. Paga de sua dívida e depois também de toda a dívida, e percebe que ainda estão faltando por ser pagos 500€. De quanto era a dívida?
  41. 41. Resposta: Sua dívida era de 1875€ Solução: Paga de sua dívida. Toda sua dívida representa: Ainda falta por pagar: Segundo os dados do problema, falta por pagar 500€, de onde podemos dizer que 500€ representa de toda a dívida. da dívida corresponde a Toda a dívida, , será o mesmo que FIN DO CURSO

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