MOMENTO LINEAL: BACHILLERATO

IMPULSO Y CANTIDAD DE
MOVIMIENTO

PROFESOR: FLORENCIO PINELA
FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 Junio de 2010

PRE-VUELO

Si la roca y el joven tienen el mismo
momento ¿alcanzará la roca al joven?
a) SI
b) NO
c) No, debido a que
están separados la
misma distancia
d) Depende de la
inclinación del plano


MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE
MOVIMIENTO

El momento lineal es una cantidad vectorial
que se define como el producto de la masa del
objeto por su velocidad.

La dirección del momento es por definición la
misma que la velocidad del objeto.
 
p mv

Momento total

El momento total de un
sistema de partículas es la
suma vectorial de los
momentos individuales de cada
una de las partículas


Pre-vuelo
Is it possible for a system of two objects to
have zero total momentum while having a non-
zero total kinetic energy?

1. YES
2. NO


Pre-vuelo
Is it possible for a system of two objects to
have zero total momentum while having a non-
zero total kinetic energy?

1. YES
2. NO

If two people sitting on separate carts at rest
push off of each other the total momentum will
be zero because they go in opposite directions.
But the kinetic energy will not be zero since
they are now moving.

Cambio de momento (Δp)
El cambio en el momento es dado por la diferencia de
los momentos de la partícula.

Se entiende por cambio, la diferencia entre el
momento final y el momento inicial.
  
p p final pinicial
  
p mv final mvinicial
  
p m(v final vinicial )

(a) Aquí, el vector suma es cero, pero el vector
diferencia, o cambio en el momento no lo es. (Las
partículas se han desplazado por conveniencia.)

(b) El cambio en el momento se encuentra calculando
el cambio en las componentes.


PRE-VUELO
Two identical balls are dropped from the same height onto the floor. In
each case they have velocity v downward just before hitting the floor.
In case 1 the ball bounces back up, and in case 2 the ball sticks to the
floor without bouncing. In which case is the magnitude of the
impulse given to the ball by the floor the biggest?
A. Case 1
B. Case 2
C. The same


PRE-VUELO
Two identical balls are dropped from the same height onto the floor. In
each case they have velocity v downward just before hitting the floor.
In case 1 the ball bounces back up, and in case 2 the ball sticks to the
floor without bouncing. In which case is the magnitude of the
impulse given to the ball by the floor the biggest?
A. Case 1
B. Case 2 Bouncing Ball Sticky Ball

C. The same |I| = | p| |I| = | p|
= |mvfinal – m vinitial| = |mvfinal – m vinitial|
= |m( vfinal-vinitial)| = |m( 0-vinitial)|
=2mv = mv


PRE-VUELO
In both cases of the above question, the direction of
the impulse given to the ball by the floor is the
same. What is this direction?

A. Upward
B. Downward

time


IMPULSO

 
I F t

Newton's Laws in Action
Momentum transfer from the bat to the ball is
well described by Newton's Laws of Motion


APLICACIONES DEL IMPULSO

El impulso
entregado a los
gases tiene la
misma magnitud y
dirección
contraria al
entregado a la
turbina o cohete.

What advantages do air bags and seatbelts
offer to the occupants of a car?

   
I F t I F t
El mismo impulso, pero la fuerza se puede ver reducida al
aumentar el tiempo que esta se encuentra en contacto con
el cuerpo!!!


EL IMPULSO Y EL MOMENTO LINEAL
Sea F la fuerza neta actuando sobre el bloque de masa m.

 
v
F m
t
  
I F t m v
Se define el impulso como el producto de la fuerza
que actúa sobre un cuerpo multiplicada por el
tiempo que ésta se encuentra en contacto.

Impulso de una fuerza Impulso de una fuerza
constante variable

time
Pero resulta que los casos más interesante son aquellos en donde
la fuerza que actúa sobre el cuerpo no se mantiene constante
durante el tiempo de contacto.

Impulso de colisión

(a) El impulso de colisión
causa la deformación de la
pelota de fútbol.
(b) El impulso es el área bajo la
curva en un gráfico F vs. t.
Note que la fuerza de
impulso sobre la bola no es
constante, pero alcanza un
valor máximo.


Fuerza media de impulso

El área bajo la curva de la fuerza media (FΔt, dentro
de la línea roja punteada) es la misma que el área
bajo la curva F vs. t, la cual es usualmente difícil de
evaluar.

IMPULSO F t

F t m v
Igual cambio de momento
da como resultado igual
valor del impulso. A mayor
tiempo de contacto menor
será la fuerza de contacto.

Ajuste de la fuerza

(a)El cambio en el momento al atrapar
la bola es una constante, mv0. Si la
bola se detiene rápidamente
(pequeño Δt), la fuerza de impulso es
grande.
(b)Incrementando el tiempo de contacto
(Δt grande) moviendo la mano junto
con la bola, reduce la fuerza de
impulso.


F t m v

Q8.1

A ball (mass 1.0 kg) is
initially moving to the left at
30 m/s. After hitting the wall,
the ball is moving to the right
at 20 m/s. What is the
impulse of the net force on
the ball during its collision
with the wall?
1. 50 kg • m/s to the right
2. 50 kg • m/s to the left
3. 10 kg • m/s to the right
4. 10 kg • m/s to the left
5. none of the above

ACTs
You drop an egg onto 1) the floor
2) a thick piece of foam rubber. In both
cases, the egg does not bounce.
In which case is the impulse greater?
A) Floor
B) Foam
C) the same
In which case is the average force greater
A) Floor
B) Foam
C) the same

Q8.2
You are testing a new car (which has only crash test dummies on
board). Consider two ways to slow the car from a speed of 90
km/h (56 mi/h) to a complete stop:
(i) You let the car slam into a wall, bringing it to a sudden stop.
(ii) You let the car plow into a giant tub of gelatin so that it comes
to a gradual halt.
In which case is there a greater impulse of the net force on the
car?

1. in case (i)
2. in case (ii)
3. the impulse is the same in both cases
4. not enough information given to decide


Q8.3

A 3.00-kg rifle fires a 5.00-g bullet at a speed of 300
m/s. Which force is greater in magnitude:
(i) the force that the rifle exerts on the bullet; or
(ii) the force that the bullet exerts on the rifle?

1. the force that the rifle exerts on the bullet
2. the force that the bullet exerts on the rifle
3. both forces have the same magnitude

ACT
Movies often show someone firing a gun loaded with
blanks. In a blank cartridge the lead bullet is removed
and the end of the shell casing is crimped shut to prevent
the gunpowder from spilling out. When a gun fires a
blank, is the recoil greater than, the same as, or less than
when the gun fires a standard bullet?
A. greater than
B. same as
pgun = -pbullet
C. less than


ACT
Movies often show someone firing a gun loaded with
blanks. In a blank cartridge the lead bullet is removed
and the end of the shell casing is crimped shut to prevent
the gunpowder from spilling out. When a gun fires a
blank, is the recoil greater than, the same as, or less than
when the gun fires a standard bullet?
A. greater than
B. same as
pgun = -pbullet
C. less than
If there is no bullet then pbullet = 0 so pgun = 0

As if ice skater had no one to push…


Pushing Off…
Fred (75 kg) and Jane (50 kg) are on skates facing
each other. Jane then pushes Fred w/ a constant
force F = 45 N for a time t = 3 seconds. Who will
be moving fastest at the end of the push?

A) Fred B) Same C) Jane


Pushing Off…
Fred (75 kg) and Jane (50 kg) are on skates facing each other. Jane then
pushes Fred w/ a constant force F = 45 N for a time t = 3 seconds.
Who will be moving fastest at the end of the push?
A) Fred B) Same C) Jane
Fred Jane
F = +45 N (positive direct.) F = -45 N Newton’s 3rd law
I = +45 (3) N-s = 135 N-s I = -45 (3) N-s = -135 N-s
= p = p
= mvf – mvi = mvf – mvi
/m = vf - vi /m = vf - vi
vf = 135 N-s / 75 kg vf = -135 N-s / 50 kg
= 1.8 m/s = -2.7 m/s
Note: Pfred + Pjane = (1.8) 75 + (-2.7) 50 = 0!

El gráfico muestra la variación de la fuerza que
actúa sobre un cuerpo en función del tiempo.
Utilizando el gráfico, determine el impulso que
actúa sobre el cuerpo y el valor de la fuerza
media actuando sobre el cuerpo.


Momentum is Conserved

 Momentum is “Conserved” meaning it can
not be created nor destroyed
 Can be transferred

 Total Momentum does not change with
time.

This is a BIG deal!

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

 EN UN SISTEMA AISLADO DE FUERZAS
EXTERNAS, EL MOMENTO LINEAL DE UN
SISTEMA SIEMPRE SE CONSERVA.

• AISLADO DE FUERZAS EXTERNAS
SIGNIFICA QUE LA FUERZA NETA QUE ACTUA
SOBRE EL SISTEMA VALE CERO


Si el sistema está aislado de
Fneta ma fuerzas externas!
   
v 0 m(v vo )
Fneta m
t  
 
mv mvo
 v vo  
Fneta m p po
t
  
Fneta t m(v vo )
EL MOMENTO FINAL ES IGUAL AL
MOMENTO INICIAL


Impulse and Momentum Summary

Fave t I = pf - pi = p

 For single object….

 Fneta =0 momentum conserved ( p = 0)
 For collection of objects …

 Fext = 0 total momentum conserved ( Ptot = 0)
 Fext = mtotal a

Momentum ACT
A car w/ mass 1200 kg is driving north at 40 m/s, and
turns east driving 30 m/s. What is the magnitude of the
car’s change in momentum?
A) 0 B) 12,000 C) 36,000 D) 48,000 E) 60,000


Momentum ACT
A car w/ mass 1200 kg is driving north at 40 m/s, and turns east
driving 30 m/s. What is the magnitude of the car’s change in
momentum?
A) 0 B) 12,000 C) 36,000 D) 48,000 E) 60,000

P=m v

30 m/s
v = vfinal – vinicial =>| v|= 50 m/s
40 m/s

P 1200 x50 60000 kg m / s

Un resorte es comprimido entre dos bloques de masas diferentes, m y M,
se mantienen unidos por una cuerda como se muestra en la figura de
abajo. Los objetos se encuentran inicialmente en reposo sobre una
superficie horizontal sin fricción. La cuerda se corta. ¿Cuál de las
siguientes alternativas es correcta?

A) La energía cinética es la misma que tenía antes de que la cuerda
fuera cortada.
B) La energía cinética total final es cero.
C) Los dos objetos tienen la misma energía cinética.
D) La rapidez de los dos objetos es la misma.
E) El momentum final de los dos objetos es cero.


Momentum is Conserved!!
!Transferencia de momento!

¿Cuál sería la velocidad del bloque luego que la
bala lo atraviesa? Mbloque=2 kg, mbala=20 g.


Conservación del Momento
(a) Before the rifle is fired, the total momentum of the rifle and
bullet (as an isolated system) is zero.

(b) Durante el disparo, hay fuerzas internas iguales y opuestas, y el
momento total instantáneo del sistema rifle-bala se mantiene igual a
cero (despreciando las fuerzas externas, tal como la que se utiliza
para sostener el rifle).
pb mb vb
pr mr vr

(c) Cuando la bala deja el cañón, el momento total del sistema se
mantiene igual a cero.
  
p pb pr mb vb mr vr 0


Las componentes del momento
también se conservan
El momento es conservado en un sistema aislado. El movimiento
en dos dimensiones puede ser analizado en términos de las
componentes del momento, las cuales también se conservan
pinicial ( x ) p final ( x )

mb vob mb vb cos 30o m1v1 m2 v2 cos 2

pinicial ( y ) p final ( y )

0 mb vb sen 30o m2 v2 sen 2


Ejemplo: Fuerza interna y la
conservación del momento
Los bloques de la figura se encuentran sobre una superficie sin
fricción. El resorte de constante k= 200 N/m está comprimido
una distancia de 5 cm. Determine la velocidad que adquiere cada
bloque luego de cortar la cuerda.


Summary

 Impulse I=F t
Gives change in momentum I = p

 Momentum p = mv
Momentum is a VECTOR
Momentum is conserved (when F =
0)
 mvinitial = mvfinal


Overview
 Newton’s Laws
 F=ma
 Work-Energy
 F=ma multiply both sides by d
 W = KE Energy is “conserved”
 Useful when know Work done by forces
 Impulse-Momentum
 F=ma multiply both sides by t
 I= p Momentum is “conserved”
 Useful when know about EXTERNAL forces
 Works in each direction independently


Collisions
Procedure
m1 m2 “before”
• Draw “before”, “after”
• Define system so that
“after” Fext = 0
m1 m2
• Set up axes
• Compute Ptotal “before”

Explosions • Compute Ptotal “after”
• Set them equal to each
other
M “before”

“after”
m1 m2


ACTividad
A railroad car is coasting along a horizontal track with
speed V when it runs into and connects with a second
identical railroad car, initially at rest. Assuming there is
no friction between the cars and the rails, what is the
speed of the two coupled cars after the collision?
1. V
2. V/2
3. V/4
4. 0


ACTividad
A railroad car is coasting along a horizontal track with
speed V when it runs into and connects with a second
identical railroad car, initially at rest. Assuming there is
no friction between the cars and the rails, what is the
speed of the two coupled cars after the collision?
1. V Pinitial = Pfinal
2. V/2
M V = (M + M) Vf
3. V/4
V = 2Vf
4. 0
Vf = V/2


ACTividad
What physical quantities are conserved in the above
collision?
A. Only momentum is conserved
B. Only total mechanical energy is conserved
C. Both are conserved
D. Neither are conserved


ACTividad
What physical quantities are conserved in the above
collision?
A. Only momentum is conserved
B. Only total mechanical energy is conserved
C. Both are conserved
D. Neither are conserved
Mechanical Energy = Kinetic Energy + Potential E = ½ m v2 + 0
Kinitial = ½ m v2 Kfinal = ½ m (v/2)2 + ½ m (v/2)2 = ¼ m v2
• Elastic Collisions: collisions that conserve mechanical energy

• Inelastic Collisions: collisions that do not conserve mechanical energy

* Completely Inelastic Collisons: objects stick together


Colisión Inelástica
En una colisión inelástica, el momento se conserva,
pero la energía cinética NO. Colisiones como las que se
muestran aquí, en la que los cuerpos quedan pegados,
son llamadas colisiones totalmente inelásticas.


¿Cuánto subirán sobre el plano?

Ejemplo: Si los bloques quedan unidos después de la
colisión. ¿A qué altura llegarán sobre el plano inclinado
sin fricción?


Ejemplo: Una colisión
completamente inelástica
Dos objetos de masa m y M colisionan de forma
perpendicular. Si m tiene un valor de 1 kg y v=2 m/s, y M
tiene un valor de 4 kg y V= 4 m/s. Determine la magnitud y
dirección de v´


Ballistic Pendulum
L L
V=0
L L

m v H
M+m
V
M

A projectile of mass m moving horizontally with speed v
strikes a stationary mass M suspended by strings of length
L. Subsequently, m + M rise to a height of H.
Given H, M and m what is the initial speed v of the projectile?
Collision Conserves Momentum After, Conserve Energy
m v = (M+m) V ½ (M+m) V2 = (M+m) g H
M m V = (2 g H)1/2
Combine: v 2 gH
m

Explosions M “before”

A=1, B=2, C=same v1 v2 “after”
m1 m2
• Example: m1 = M/3 m2 = 2M/3
• Which block has larger |momentum|?
* Each has same |momentum| 0 = p1+p2
p1= -p2
• Which block has larger speed?
* mv same for each smaller mass has larger velocity
• Which block has larger kinetic energy?
* KE = mv2/2 = m2v2/2m = p2/2m
* smaller mass has larger KE KE = p2/2m
• Is mechanical (kinetic) energy conserved?
* NO!!

Collisions or Explosions in Two Dimensions, we
y just talk about that!

x

before after

• Ptotal,x and Ptotal,y independently conserved
Ptotal,x,before = Ptotal,x,after
Ptotal,y,before = Ptotal,y,after

Explosions ACTividad
“before”
M
Px = 0 and Py = 0

“after”
A B
Px = 0, but Py > 0 Px = 0, and Py = 0
Which of these is possible? (Ignore friction and gravity)
A
B
C =both
D = Neither

Un proyectil de 1 kg se lanza con una velocidad inicial
de 300 m/s formando un ángulo de 30 grados con la
horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos en el
instante en que alcanza la altura máxima. Uno de los
fragmentos tiene una masa de 0,4 kg y sale con una
velocidad de 100 m/s formando un ángulo de 60 grados
con la horizontal. Determine la magnitud y dirección de
la velocidad del segundo fragmento.


Caso general de colisiones elásticas
frontales
v1 v2
m1 m2

Después de la colisión

, m1 m2
,
v
1 v 2


v1 v2
m1 m2
ANTES

, m1 m2
,
DESPUÉS v
1 v2
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

m1v1 m2 v2 m1v1, m2 v2
,

Conservación de la energía cinética
1 2 1 2 1 ,2 1 ,2
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
2 2 2 2


, ,
m1v1 m2 v2 mv
1 1 mv2 2
1 1 1 1
m1v12 2
m2v2 m1v1, 2 m2v22
,

2 2 2 2
Resolviendo estas ecuaciones

v1 v2
m1 m2

, m1 m2
,
v
1 v 2

, 2m1 m2 m1 , m1 m2 2m2
v
2 v1 v2 v
1 v1 v2
m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2
Estas ecuaciones son válidas para choques frontales
(head on) completamente elásticos

Q8.4
Two objects with different
masses collide and stick to
each other.
Compared to before the
collision, the system of two
gliders after the collision has

1. the same total momentum and the same total kinetic
energy
2. the same total momentum but less total kinetic energy
3. less total momentum but the same total kinetic energy
4. less total momentum and less total kinetic energy

Q8.5
Two objects with different
masses collide and bounce
off each other.
Compared to before the
collision, the system of two
gliders after the collision has

1. the same total momentum and the same total kinetic
energy
2. the same total momentum but less total kinetic energy
3. less total momentum but the same total kinetic energy
4. less total momentum and less total kinetic energy

Ejemplo: Las esferas de la figura se encuentran inicialmente
en reposo. Si la esfera de 400 g se suelta desde la posición
indicada en la figura. Determine los ángulos máximos que
alcanzarán las cuerdas, respecto de la vertical, luego que las
esferas colisionan elásticamente.


Center of Mass
  Center
 m1r1 m2 r2 Center of Mass = Balance point of Mass!
rcm
mi
Shown is a yummy doughnut. Where
would you expect the center of mass of
this breakfast of champions to be located?

Mmmm...doughtnuts. The center of mass of a
doughtnut is in my stomach after I eat it!


CENTRO DE MASA
El centro de masa, se considera el punto donde se
puede considerar que actúa el peso o fuerza
gravitatoria, únicamente en lo que a movimiento lineal o
de traslación concierne. Para partículas discretas, las
coordenadas del centro de masa en el plano son:

m1 x1 m2 x2 m3 x3 .....
xcm
m1 m2 m3 .....
m1 y1 m2 y2 m3 y3 .....
ycm
m1 m2 m3 .....


Center of Mass
Ptot = MtotVcm Fext t = Ptot = Mtot Vcm

So if Fext = 0 then Vcm is constant

Also: Fext = Mtotacm

Center of Mass of a system behaves in a SIMPLE way
- moves like a point particle!
- velocity of CM is unaffected by collision if Fext = 0

Ejemplo: para las masas mostradas en la
figura. ¿Dónde estaría ubicado el centro de
masa si m1 = 1 kg, m2= 2kg y m3= 3kg?

(m)


Ejemplo: Localice el centro de masa del sistema que se
muestra en la figura.
a) Si todas las masa son iguales
b) Si m2=m4=2m1=2m3


El centro de masa y la conservación
del momento lineal
 Al no haber una fuerza externa neta, la aceleración
del centro de masa es cero y también es cero la
cantidad de movimiento total. Por tanto, la
velocidad del centro de masa del sistema, si este
está estacionario, permanecerá estacionario y si
está en movimiento seguirá con la misma
velocidad.


Q8.6

A yellow object and a
red object are joined
together. Each object is
of uniform density.
The center of mass of the combined object is at the
position shown by the green “X.”
Which object has the greater mass, the yellow object or
the red object?

1. the yellow object
2. the red object
3. they both have the same mass

Caminando a la orilla:
Un hombre de 75 kg está parado en el extremo lejano de una lancha
de 50 kg a 100 m de la orilla. Si camina al otro extremo de la lancha,
cuya longitud es de 6 m ¿a qué distancia estará de la orilla?
Considere insignificante la fricción y suponga que el centro de masa
de la lancha está en su punto medio

X= 97,6 m

The center of mass may be
located outside of a body

The center of mass (and center of
gravity) may lie either inside or
outside of a body, depending on
the distribution of that object's
mass.
(a) For a uniform ring, the center of
mass is at the center of the ring.
(b) For an L-shaped object, if the
mass distribution is uniform and the
legs are of equal length, the center
of mass lies on the diagonal
between the legs.


Sumario
• Colisiones y Explosiones
• Dibuje “antes”, “despues”
•Defina el sistema tal que Fext = 0
• Ubique los ejes de coordenadas
•Calcule Ptotal “antes”
•Calcule Ptotal “despues”
•Iguale los dos valores

• Centro de Masa (Punto de Balance o equilibrio)
 
 m1r1 m2 r2
rcm
mi

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