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ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA




  Del 03 de Septiembre al 26 de Septiembre del 2009



      Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
               Mgs. Educación Superior
            martinezsolaris@cotas.com.bo
            martinezsolaris@hotmail.com
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                                       Nociones Generales


                                Sexo
                                                                     Total
HAI              Femenino                   Masculino
             n           %              n           %            n           %
Negativo    182         57.59          134         42.41        316      80.2
Positivo    46          58.97          32          41.03        78       19.8
Total       228         57.87          166        42.13         394      100




   200     182

   150            134
                                                    Femenino
   100
                                                    Masculino
                                46
    50                                 32

      0
           Negativo              Positivo
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                     Nociones Generales

                           ESTADÍSTICA            ¿Qué es?...



                  DESCRIPTIVA        INFERENCIAL

   PROPOSITO                                       PROPOSITO


                   METODOS               METODO



                  • TABULARES       PROBABILISTICO
Características   • GRAFICOS
                  • NUMERICOS
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
          Nociones Generales



  Ciencia encargada de la Recolección,
  Manipulación,      Organización    y
  Presentación    de   información  de
  manera tal que ésta tenga una
  Confiabilidad determinada
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
          Nociones Generales

             INFERENCIA
                           ESTIMACION
 Población
     N
                             Muestra
Parámetros
               Deducción       n=?
µ, σ2, p,
                           Estadísticos
etc
                           Estadígrafos

             TECNICAS DE
             MUESTREO
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
          Nociones Generales

           Probabilístico   MAS, MAP y MAE
MUESTREO
               No             Probabilística
           Probabilístico
                                  Azar

MUESTRA      Tipos


                            No Probabilística


                                Arbitraria
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                 Nociones Generales


POBLACION              MUESTRA      • Nombre
                                    • Definición
            Atributo                • Rango de Valores
                                    • Clasificación
Cambiar

            Variable         Elementos

                          Cualitativas         Categorías
             Tipos
                                               Discretas
                          Cuantitativas
                                               Continuas
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           Nociones Generales

                           • Nombre

Variable     Elementos     • Definición
                           • Rango de Valores

                 +         • Clasificación

                                Nominal
              Medirse
                                Ordinal
             Escalas de
                                De Intervalo
              Medición

                                De Razón
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
               Métodos Tabulares

DESCRIPTIVA
                Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y
                y1, y2, … yn, valores que toman las variables
 METODOS        X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.
                Entonces:


 TABULARES     x1 + x2 + x3 + …xn       y1 + y2 + y3 + …yn

                       n                        n
                             xi                       yi
  Sumatoria            i 1                      i 1



                                  Propiedades
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      Propiedades de Sumatoria
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              Métodos Tabulares/Ordenamiento

Edad (años)                  Edad (años)    Valores
   17                            15
                                           extremos
   18                            16
   18                            16
   16                            17
   21                            17
   15          Ordenándolo       18
   17                            18
                                           Valores mas
   19                            18         frecuente
               Desventaja
   20                            18
   18                            19
   16                            20
                                             Valores
   18                            21         extremos
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         Cuadro de Frecuencia

              Edad
                      fi    fr    Fia   Fra
Cuadros de   (años)
Frecuencia    15      1    8.3     1    8.3
              16      2    16.7   3     25.0
              17      2    16.7   5     41.7
              18      4    33.3   9     75.0
              19      1    8.3    10    83.3
              20      1    8.3    11    91.7
              21      1    8.3    12    100
             Total    12   100
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
         Cuadro de Frecuencia


  Lugar de realización del
                                    n     %
  Diplomado
  Extranjero                       19    13.87
  Universidad Objeto de Estudio    87    63.50
  Otras universidades bolivianas   31    22.63
  Total                            137   100
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
           Cuadro de Frecuencia


  67.7   39.2   52.5   42.3     69.8    61.2

  63.9   37.2   45.7   41.7     69.1    55.5

  64.9   38.9   52.4   41.9     69.2    58.9

  68.3   39.2   52.6   42.7     70.0    61.9

  68.3   39.2   53.3   45.5     70.1    63.2


                       La    Estadística    ofrece  otra
   Cuadro de           alternativa Tablas de Frecuencias
   Frecuencia          Absolutas y Relativas
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                          Tabla de Frecuencia

                          Procedimiento
   Definir el Número de
                                      ≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
   Intervalos

                                              Sturges
Ac = A/k
A = Valor Máx.- Valor Mín.
                                      K = 1 + 3.33* log n

   Tipo de Intervalos
                                              (Li - LS]
      Ac = Ajustada
                                          RI = Ac*K > A
      MD = (RI – A)/2
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          Tabla de Frecuencia


 Intervalos de Clases   PMC     fi    fr    Fia   Fra

     37.1 a 42.6        39.85   8    0.27   8     0.27

     42.6 a 48.1        45.35   3    0.10   11    0.37

     48.1 a 53.6        50.85   4    0.13   15    0.50

     53.6 a 59.1        56.35   2    0.07   17    0.57

     59.1 a 64.6        61.85   4    0.13   21    0.70

     64.6 a 70.1        67.35   9    0.30   30     1
                                30    1
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             Métodos Gráficos


                             Diagrama de Puntos


                                 Histograma


Métodos Gráficos Clásicos   Polígono de Frecuencias


                                    Ojiva


                            Diagrama de Sectores
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          Diagrama de Puntos




     15   16   17   18        19   20   21

                Edad (años)
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
             Histograma


                                          Histograma de Frecuencias Absolutas
   Número de Estudiantes




                           10
                            8
                            6
            (fi)




                            4
                            2
                            0
                                  .1


                                          2.6


                                                       8.1


                                                                    3.6


                                                                             9.1


                                                                                          4.6


                                                                                                       0.1
                                37

                                       a4


                                                  a4


                                                               a5


                                                                          a5


                                                                                     a6


                                                                                                  a7
                                     .1


                                                  .6


                                                               .1


                                                                        .6


                                                                                     .1


                                                                                                  .6
                                   37


                                                42


                                                             48


                                                                      53


                                                                                   59


                                                                                                64
                                                             Tiempo (minutos)
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
        Polígono de Frecuencias
    Número de Estudiantes


                            10      Polígono de Frecuencias Absoluta
                            8
                            6
             (fi)




                            4
                            2
                            0
                                 39.85 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85
                                            Puntos Medios de Clases
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                Ojiva



               Ojiva/Polígono de Frecuencias Acumuladas
          40
          30
    fia




          20
          10
           0
               37.1   42.6   48.1   53.6   59.1   64.6    70.1
                             Tiempos (minutos)
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         Diagrama de Sectores

                                              (19*360)
 137-------360
                                        X=               = 49.9
 19 ------- x
                                               137


     Lugar de realización de estudios
                                         n     Grados
     Postgraduales
     Extranjero                          19      50
     Universidad de Interés             87      229
     Otras universidades bolivianas      31      81
     Total                              137     360
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         Diagrama de Sectores



     Lugar de realización de estudios postgraduales
            Ot ras
       universid ad es        Ext ranjero
         b o livianas           13 .8 7%
           2 2 .6 3 %




                                      U niversid ad
                                       d e Int erés
                                         6 3 .50 %
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Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)

      Cuando se desea comparar dos o más
      poblaciones o bien muestras, y si las
      variables de interés son de carácter
      numérico …


      Los métodos tabulares no son los más
      recomendables



      La Estadística oferta otra herramienta
      llamada Métodos Numéricos
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        Medidas de Tendencia Central

                                   Localizan el centro de
                                   una    base  de   datos
                                   numéricas




                    Medidas de Tendencia
                    Central

                                   Cuantifican    cuánto   se
                                   dispersan los datos de una
Métodos Numéricos                  medida     de    tendencia
                                   central




                    Medidas de Dispersión
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
       Medidas de Tendencia Central




                       Promedio


                       Media Ponderada
Medidas de Tendencia
Central                Mediana


                       Moda
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           Medidas de Tendencia Central/Promedio


                              Media    µ
                 Población
                              Poblacional



                    Es la sumatoria de las observaciones que
Promedio            toma una variable dividido entre el total
                    de éstas


                               Media
                Muestra                     x
                               Muestral


                   Se interpreta como el punto de equilibrio
                   de una base de datos numéricas
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                     Medidas de Tendencia Central


             Tiempo
                         Desviaciones
             (minutos)
                             xi   x
             52.6
                            -4.15
             38.9
                            -17.85
             68.3
                            11.55
             67.2
                            10.45
             63.9
                             7.15
             64.9                       Propiedad
                                                    n

                             8.15                         xi   x   0
             68.3
                            11.55
                                                    i 1

             39.2
                            -17.55
             42.3
                            -14.45
             61.9
Suma                         5.15
             567.5                       Suma
                              0
             56.75
Promedio
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        Medidas de Tendencia Central


            Media en datos tabulados

       Si la tabla no presenta clases abierta es
       posible hacer una estimación de la media
       tomando en cuenta lo siguiente:


• PMC es el promedio de las observaciones de las
observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las
observaciones que caben en el intervalo y como una
tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
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           Medidas de Tendencia Central



Intervalos                 PMC*fi
              PMC     fi
de Clases
37.1 a 42.6   39.85   8    318.8
42.6 a 48.1   45.35   3    136.05
48.1 a 53.6   50.85   4    203.4
                                         1624.5
53.6 a 59.1   56.35   2    112.7    x=     30
                                                = 54.15
59.1 a 64.6   61.85   4    247.4
64.6 a 70.1   67.35   9    606.15
                      30   1624.5
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       Medidas de Tendencia Central


Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la
base de datos, si desea obtener el promedio, la media
aritmética no es la más indicada

Cargo                  fi      Salario
Rector                 1        2000
Asesores               2        1200
Vic. Académico         1        1150
Vic. Administrativo    1        1250
Jefe de Carrera C.S    2        1000
Jefe de Carrera        5        800
Administrativo         2        600
Secretarias            9        120
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                 Medidas de Tendencia Central


                                Salario   Xiwi
Cargo                 fi (wi)      (xi)

Rector                  1       2000      2000

Asesores                2        1200     2400

Vic. Académico          1        1150     1150
                                                         15080
Vic. Administrativo     1        1250     1250    xw =           = 655.65
                                                          23
Jefe de Carrera C.S     2        1000     2000

Jefe de Carrera         5        800      4000

Administrativo          2        600      1200

Secretarias             9        120      1080

                                          15080
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              Medidas de Tendencia Central

  Si los datos no se distribuyen
  simétricamente (curva simétrica) el
  promedio no es la mejor medida para
  localizar el centro de los mismos     •Ordenar
                                                 Impar

                                        n              Me = xn/2 + 0.5
                    Datos sin tabular
                                                 Par

                                            Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
Mediana (Me)


                                                       (b-a)(0.5- c)
                    Datos tabulados     Me = a +
                                                             d
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
               Medidas de Tendencia Central

               Tiempo      Tiempo
              (minutos)   (minutos)
                38.9        38.9
                            39.2
                                      Me = xn/2 + 0.5
                39.2
                42.3        42.3
                            52.6
n es impar      52.6
                61.9        61.9
                            63.9
                                      Me
                63.9
                64.9        64.9

                67.2        67.2

                68.3        68.3
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                 Medidas de Tendencia Central

             Tiempo      Tiempo
            (minutos)   (minutos)
              38.9        38.9          Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
              39.2        39.2
              42.3        42.3                  61.9 + 63.9
n es par      52.6        52.6          Me =                   = 62.9
              61.9        61.9                        2
                                 62.9
              63.9        63.9
              64.9        64.9
              67.2        67.2          Mediana es aquella medida
              68.3        68.3
                                        de tendencia central que
                                        antes y después de ella no
              68.3        68.3
                                        existe más del 50% de la
                                        información
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          Medidas de Tendencia Central

           (b-a)(0.5- c)
Me = a +
                  d
                              Clase de la Mediana
a = Límite inferior de la     • Complete la columna Fia
clase de la Me                • Localice la menor Fia >
b = Límite superior de la     n/2
clase de la Me                • La clase a la que
c = Fra una clase antes de    pertenece esta frecuencia
la clase de la Me (Nj-1)      es la clase de la mediana
                              (Nj)
d = fr de la clase de la Me
                              • La Clase antes de Nj es
                              Nj -1
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            Medidas de Tendencia Central

                      (b-a)(0.5- c)                  a = Límite inferior de la
     Me = a +                                        clase de la Me
                          d                          b = Límite superior de la clase de
                                                     la Me
              (59.1-53.6)(0.5- 0.5)                  c = Fra una clase antes de la
Me = 53.6 +                                 = 53.6   clase de la Me (Nj-1)
                 0.07                                d = fr de la clase de la Me

 Intervalos
              PMC        fi    fr     Fia     Fra
 de Clases                                                Ubicación de la
37.1 a 42.6   39.85      8    0.27    8       0.27        clase de la Me
42.6 a 48.1   45.35      3    0.10    11      0.37
                                                     n = 30
48.1 a 53.6   50.85      4    0.13    15      0.50
                                                     n/2 = 15
53.6 a 59.1   56.35      2    0.07    17      0.57
                                                     Nj = 17… (53.6 – 59.1)
59.1 a 64.6   61.85      4    0.13    21      0.70   Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
64.6 a 70.1   67.35      9    0.30    30       1
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              Medidas de Tendencia Central

Connotancia de Moda                  Tiempo
(Mo) en Estadística                 (minutos)
                                      38.9
                                      39.2
En caso de existir es la              42.3
(s) observación (nes)                 52.6
que más se repiten en                 61.9
una base de datos                     63.9
                                      64.9
Distribuciones:                       67.2
                                      68.3
Unimodales
                                      68.3      Mo
Bimodales
Etc.
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
          Medidas de Tendencia Central

                                 (ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
                       (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal

 Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
          Medidas de Tendencia Central

                                     (ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
                            (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

 Intervalos
               PMC     fi
 de Clases

 37.1 a 42.6   39.85   8
                                                          (9 - 4)
 42.6 a 48.1   45.35   3
                                   Mo = 64.6 + 5.5                       = 66.56
 48.1 a 53.6   50.85   4                             (9 - 4) + (9 – 0)
 53.6 a 59.1   56.35   2

 59.1 a 64.6   61.85   4

 64.6 a 70.1   67.35   9
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                    Medidas de Dispersión

  Una medida de tendencia central por si sola no es tan
  importante. Por esta razón debe estar acompañada de
  una medida de dispersión

                            Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido



                            Varianza (Variancia)

Medidas de Dispersión
                            Desviación Típica o Estándar



                            Coeficiente de Variación
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
               Medidas de Dispersión


Rango      Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
                                                       N          2

           Población ( σ²)                         2   i 1
                                                             xi
                                                             N
           Es el promedio de las desviaciones al
Varianza   cuadrado de las observaciones que
           toma una variable respecto a su media



           Muestra (S²)
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
              Medidas de Dispersión

             xi     (Desviaciones)2
            52.6       17.2225
            38.9      318.6225
                                                1372.725
            68.3      133.4025
                                        S² =                = 152.525mi²/est²
            67.2      109.2025
            63.9       51.1225                   10 - 1

            64.9       66.4225
                                                   Desventaja
            68.3      133.4025
            39.2      308.0025
                                      Desviación Típica             S = √S²
            42.3      208.8025
            61.9       26.5225                S = √152.525 = 12.35 min/est
Sumatoria   567.5     1372.725
Promedio    56.75                     Interpretación                 x   S

                                      56.75    12.35 min/est.
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA


Si la tabla no presenta clases abierta es posible
hacer una estimación de la varianza de la siguiente
forma:


 Intervalos de     PMC        fi
 Clases

 37.1 a 42.6      39.85       8

 42.6 a 48.1      45.35       3

 48.1 a 53.6      50.85       4

 53.6 a 59.1      56.35       2

 59.1 a 64.6       61.85      4

 64.6 a 70.1      67.35       9
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
              Medidas de Dispersión


                                                                                 2
                                                                      1624 . 5
                                                    91693 . 475
                                                2                       30
                                            S                                        124 . 774
                                                            30    1




Intervalos de                PMC*fi    PMC2*fi
                PMC     fi                            S       124 . 774          11 . 70
Clases
37.1 a 42.6     39.85   8    318.8    12704.18
42.6 a 48.1     45.35   3    136.05   6169.8675
48.1 a 53.6     50.85   4    203.4    10342.89

53.6 a 59.1     56.35   2    112.7    6350.645

59.1 a 64.6     61.85   4    247.4    15301.69
64.6 a 70.1     67.35   9    606.15   40824.203

                             1624.5   91693.475
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                    Medidas de Dispersión


Todas las medidas de dispersión expuestas
anteriormente son dimensionales (toman las unidades
de medidas de las variables)


Existe otra medida de dispersión pero adimensional
llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión
Relativa


         S                    S
 C .V                  C .V       * 100
         x                    x
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                   Medidas de Dispersión


Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se
dispersan los datos alrededor de una medida de
tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los
datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se
distribuyen simétricamente.


Existen otras medidas aplicable solo a curvas
unimodales que tratan de las deformación de curvas
tanto de forma horizontal como vertical
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
         Deformación de Curvas Unimodales



               Asimetría Positiva   x   > Me > Mo


               Curvas Simétricas    x = Me = Mo
 Asimetría


               Asimetría Negativa   x   < Me < Mo
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
      Deformación de Curvas Unimodales
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
            Deformación de Curvas Unimodales



                  Curva Leptocúrtica   Kur > 3


                  Curva Mesocúrtica    Kur = 3
 Curtosis


                  Curva Platicúrtica   Kur < 3
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                      Regresión Lineal Simple


                            En el desarrollo de los eventos,
               X1           puede ser que una variable sea
  Y           X2            afectada por el comportamiento de
               .            otra (s) variable (s)
               .
               .

                            Es de interés poder cuantificar
              Xi            este tipo de relación de manera
                            que se pueda predecir una variable
                            en función de otra
Y: Variable Dependiente     En Regresión Lineal Simple es de
X: Variable Independiente   interés cuando una variable afecta
                            el comportamiento de otra variable
Y = f(X)
                             Propósito de la R.L.S: Predicción
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                    Regresión Lineal Simple

Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos
matemáticos que describen la relación entre variables y el
uso de estas relaciones modeladas con el propósito de
predecir e inferir.

Por Regresión Lineal Simple se entiende …

                                “Y” es una variable aleatoria cuya
                                distribución probabilística depende
                                de “X”
 Supuestos del Análisis         Modelo de la Línea Recta
 de Regresión Lineal            Homogeneidad de Varianza
 Simple
                                Normalidad
                                Independencia
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
     Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión

Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito
mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las
variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)

             Y


                             (x, y)



                                         X
Rango de Sueldo (X)   Inasistencias (Y)
        11                   18
        10                   17
         8                   29
         5                   36
         9                   11
         9                   26
         7                   28
         3                   35
        11                   14
         8                   20
         7                   32
         2                   39
         9                   16
         8                   26
         6                   31
         3                   40
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
  Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión



                     45

                     40

                     35

                     30
      Inasistencia




                     25

                     20

                     15

                     10

                      5

                      0
                          0   2   4          6           8   10   12
                                      Rango de Salario
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
      Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados

El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación
entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede
pensar en una ecuación de la siguiente forma:

                                  Parámetros




                                 Estimación

De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la
siguiente naturaleza:
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
  Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados


                                    Uso de       la Técnica de
                                    Mínimos     Cuadrados  (Carl
                                    Gauss)

A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables
“X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la
Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de
las distancias entre los valores observados y los estimados de
tal manera que :
Y




    X
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
     Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación




 Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta
 que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace
 necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de
 predecir.

 Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
  Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación


                       Validación


Cálculo de Coeficiente              Análisis de Varianza
de Determinación R²                 de la Regresión “ANARE”



Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que
puede ser explicada por “X”

R² ≥ 70%
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
                  Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
                                 Estimación/ANARE


     Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la
     partición de la variación total en fuente de variación conocida
     que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo
     aditivo lineal:

     xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error

FV           gl         SC              CM          Fc        Ft (Pr>F)
                                                CMRegresión
Regresión     1     SCRegresión   CMRegresión
                                                /CMError
Error        n-2    SCError       CMError
Total        n.1    SCTotales

                                             Regla de Decisión
                                              NRHo : Fc ≤ Ft
                                              RHo : Fc > Ft

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  • 1. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Del 03 de Septiembre al 26 de Septiembre del 2009 Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. Educación Superior martinezsolaris@cotas.com.bo martinezsolaris@hotmail.com
  • 2. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales Sexo Total HAI Femenino Masculino n % n % n % Negativo 182 57.59 134 42.41 316 80.2 Positivo 46 58.97 32 41.03 78 19.8 Total 228 57.87 166 42.13 394 100 200 182 150 134 Femenino 100 Masculino 46 50 32 0 Negativo Positivo
  • 3. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales ESTADÍSTICA ¿Qué es?... DESCRIPTIVA INFERENCIAL PROPOSITO PROPOSITO METODOS METODO • TABULARES PROBABILISTICO Características • GRAFICOS • NUMERICOS
  • 4. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada
  • 5. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales INFERENCIA ESTIMACION Población N Muestra Parámetros Deducción n=? µ, σ2, p, Estadísticos etc Estadígrafos TECNICAS DE MUESTREO
  • 6. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales Probabilístico MAS, MAP y MAE MUESTREO No Probabilística Probabilístico Azar MUESTRA Tipos No Probabilística Arbitraria
  • 7. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales POBLACION MUESTRA • Nombre • Definición Atributo • Rango de Valores • Clasificación Cambiar Variable Elementos Cualitativas Categorías Tipos Discretas Cuantitativas Continuas
  • 8. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales • Nombre Variable Elementos • Definición • Rango de Valores + • Clasificación Nominal Medirse Ordinal Escalas de De Intervalo Medición De Razón
  • 9. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares DESCRIPTIVA Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables METODOS X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces: TABULARES x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn n n xi yi Sumatoria i 1 i 1 Propiedades
  • 10. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Propiedades de Sumatoria
  • 11. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares/Ordenamiento Edad (años) Edad (años) Valores 17 15 extremos 18 16 18 16 16 17 21 17 15 Ordenándolo 18 17 18 Valores mas 19 18 frecuente Desventaja 20 18 18 19 16 20 Valores 18 21 extremos
  • 12. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia Edad fi fr Fia Fra Cuadros de (años) Frecuencia 15 1 8.3 1 8.3 16 2 16.7 3 25.0 17 2 16.7 5 41.7 18 4 33.3 9 75.0 19 1 8.3 10 83.3 20 1 8.3 11 91.7 21 1 8.3 12 100 Total 12 100
  • 13. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia Lugar de realización del n % Diplomado Extranjero 19 13.87 Universidad Objeto de Estudio 87 63.50 Otras universidades bolivianas 31 22.63 Total 137 100
  • 14. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia 67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2 63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5 64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9 68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9 68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2 La Estadística ofrece otra Cuadro de alternativa Tablas de Frecuencias Frecuencia Absolutas y Relativas
  • 15. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia Procedimiento Definir el Número de ≥ 5 ó ≤ 20 ó 25 Intervalos Sturges Ac = A/k A = Valor Máx.- Valor Mín. K = 1 + 3.33* log n Tipo de Intervalos (Li - LS] Ac = Ajustada RI = Ac*K > A MD = (RI – A)/2
  • 16. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra 37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37 48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50 53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57 59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1 30 1
  • 17. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Gráficos Diagrama de Puntos Histograma Métodos Gráficos Clásicos Polígono de Frecuencias Ojiva Diagrama de Sectores
  • 18. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Puntos 15 16 17 18 19 20 21 Edad (años)
  • 19. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Histograma Histograma de Frecuencias Absolutas Número de Estudiantes 10 8 6 (fi) 4 2 0 .1 2.6 8.1 3.6 9.1 4.6 0.1 37 a4 a4 a5 a5 a6 a7 .1 .6 .1 .6 .1 .6 37 42 48 53 59 64 Tiempo (minutos)
  • 20. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Polígono de Frecuencias Número de Estudiantes 10 Polígono de Frecuencias Absoluta 8 6 (fi) 4 2 0 39.85 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85 Puntos Medios de Clases
  • 21. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Ojiva Ojiva/Polígono de Frecuencias Acumuladas 40 30 fia 20 10 0 37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1 Tiempos (minutos)
  • 22. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores (19*360) 137-------360 X= = 49.9 19 ------- x 137 Lugar de realización de estudios n Grados Postgraduales Extranjero 19 50 Universidad de Interés 87 229 Otras universidades bolivianas 31 81 Total 137 360
  • 23. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores Lugar de realización de estudios postgraduales Ot ras universid ad es Ext ranjero b o livianas 13 .8 7% 2 2 .6 3 % U niversid ad d e Int erés 6 3 .50 %
  • 24. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central) Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico … Los métodos tabulares no son los más recomendables La Estadística oferta otra herramienta llamada Métodos Numéricos
  • 25. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Localizan el centro de una base de datos numéricas Medidas de Tendencia Central Cuantifican cuánto se dispersan los datos de una Métodos Numéricos medida de tendencia central Medidas de Dispersión
  • 26. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Promedio Media Ponderada Medidas de Tendencia Central Mediana Moda
  • 27. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central/Promedio Media µ Población Poblacional Es la sumatoria de las observaciones que Promedio toma una variable dividido entre el total de éstas Media Muestra x Muestral Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
  • 28. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Tiempo Desviaciones (minutos) xi x 52.6 -4.15 38.9 -17.85 68.3 11.55 67.2 10.45 63.9 7.15 64.9 Propiedad n 8.15 xi x 0 68.3 11.55 i 1 39.2 -17.55 42.3 -14.45 61.9 Suma 5.15 567.5 Suma 0 56.75 Promedio
  • 29. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Media en datos tabulados Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente: • PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos. • PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
  • 30. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Intervalos PMC*fi PMC fi de Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 1624.5 53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 x= 30 = 54.15 59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 30 1624.5
  • 31. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada Cargo fi Salario Rector 1 2000 Asesores 2 1200 Vic. Académico 1 1150 Vic. Administrativo 1 1250 Jefe de Carrera C.S 2 1000 Jefe de Carrera 5 800 Administrativo 2 600 Secretarias 9 120
  • 32. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Salario Xiwi Cargo fi (wi) (xi) Rector 1 2000 2000 Asesores 2 1200 2400 Vic. Académico 1 1150 1150 15080 Vic. Administrativo 1 1250 1250 xw = = 655.65 23 Jefe de Carrera C.S 2 1000 2000 Jefe de Carrera 5 800 4000 Administrativo 2 600 1200 Secretarias 9 120 1080 15080
  • 33. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos •Ordenar Impar n Me = xn/2 + 0.5 Datos sin tabular Par Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2 Mediana (Me) (b-a)(0.5- c) Datos tabulados Me = a + d
  • 34. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Tiempo Tiempo (minutos) (minutos) 38.9 38.9 39.2 Me = xn/2 + 0.5 39.2 42.3 42.3 52.6 n es impar 52.6 61.9 61.9 63.9 Me 63.9 64.9 64.9 67.2 67.2 68.3 68.3
  • 35. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Tiempo Tiempo (minutos) (minutos) 38.9 38.9 Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2 39.2 39.2 42.3 42.3 61.9 + 63.9 n es par 52.6 52.6 Me = = 62.9 61.9 61.9 2 62.9 63.9 63.9 64.9 64.9 67.2 67.2 Mediana es aquella medida 68.3 68.3 de tendencia central que antes y después de ella no 68.3 68.3 existe más del 50% de la información
  • 36. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c) Me = a + d Clase de la Mediana a = Límite inferior de la • Complete la columna Fia clase de la Me • Localice la menor Fia > b = Límite superior de la n/2 clase de la Me • La clase a la que c = Fra una clase antes de pertenece esta frecuencia la clase de la Me (Nj-1) es la clase de la mediana (Nj) d = fr de la clase de la Me • La Clase antes de Nj es Nj -1
  • 37. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c) a = Límite inferior de la Me = a + clase de la Me d b = Límite superior de la clase de la Me (59.1-53.6)(0.5- 0.5) c = Fra una clase antes de la Me = 53.6 + = 53.6 clase de la Me (Nj-1) 0.07 d = fr de la clase de la Me Intervalos PMC fi fr Fia Fra de Clases Ubicación de la 37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 clase de la Me 42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37 n = 30 48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50 n/2 = 15 53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57 Nj = 17… (53.6 – 59.1) 59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 Nj- 1 = (48.1 – 53.6) 64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
  • 38. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central Connotancia de Moda Tiempo (Mo) en Estadística (minutos) 38.9 39.2 En caso de existir es la 42.3 (s) observación (nes) 52.6 que más se repiten en 61.9 una base de datos 63.9 64.9 Distribuciones: 67.2 68.3 Unimodales 68.3 Mo Bimodales Etc.
  • 39. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo) Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo) Donde: Licmo: Límite inferior de la Clase Modal Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
  • 40. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo) Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo) Intervalos PMC fi de Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 (9 - 4) 42.6 a 48.1 45.35 3 Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56 48.1 a 53.6 50.85 4 (9 - 4) + (9 – 0) 53.6 a 59.1 56.35 2 59.1 a 64.6 61.85 4 64.6 a 70.1 67.35 9
  • 41. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido Varianza (Variancia) Medidas de Dispersión Desviación Típica o Estándar Coeficiente de Variación
  • 42. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo N 2 Población ( σ²) 2 i 1 xi N Es el promedio de las desviaciones al Varianza cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media Muestra (S²)
  • 43. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión xi (Desviaciones)2 52.6 17.2225 38.9 318.6225 1372.725 68.3 133.4025 S² = = 152.525mi²/est² 67.2 109.2025 63.9 51.1225 10 - 1 64.9 66.4225 Desventaja 68.3 133.4025 39.2 308.0025 Desviación Típica S = √S² 42.3 208.8025 61.9 26.5225 S = √152.525 = 12.35 min/est Sumatoria 567.5 1372.725 Promedio 56.75 Interpretación x S 56.75 12.35 min/est.
  • 44. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma: Intervalos de PMC fi Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 42.6 a 48.1 45.35 3 48.1 a 53.6 50.85 4 53.6 a 59.1 56.35 2 59.1 a 64.6 61.85 4 64.6 a 70.1 67.35 9
  • 45. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión 2 1624 . 5 91693 . 475 2 30 S 124 . 774 30 1 Intervalos de PMC*fi PMC2*fi PMC fi S 124 . 774 11 . 70 Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 12704.18 42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 6169.8675 48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 10342.89 53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 6350.645 59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 15301.69 64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 40824.203 1624.5 91693.475
  • 46. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables) Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa S S C .V C .V * 100 x x
  • 47. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente. Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical
  • 48. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales Asimetría Positiva x > Me > Mo Curvas Simétricas x = Me = Mo Asimetría Asimetría Negativa x < Me < Mo
  • 49. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales
  • 50. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales Curva Leptocúrtica Kur > 3 Curva Mesocúrtica Kur = 3 Curtosis Curva Platicúrtica Kur < 3
  • 51. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple En el desarrollo de los eventos, X1 puede ser que una variable sea Y X2 afectada por el comportamiento de . otra (s) variable (s) . . Es de interés poder cuantificar Xi este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra Y: Variable Dependiente En Regresión Lineal Simple es de X: Variable Independiente interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable Y = f(X) Propósito de la R.L.S: Predicción
  • 52. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir. Por Regresión Lineal Simple se entiende … “Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X” Supuestos del Análisis Modelo de la Línea Recta de Regresión Lineal Homogeneidad de Varianza Simple Normalidad Independencia
  • 53. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”. Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional) Y (x, y) X
  • 54. Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y) 11 18 10 17 8 29 5 36 9 11 9 26 7 28 3 35 11 14 8 20 7 32 2 39 9 16 8 26 6 31 3 40
  • 55. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión 45 40 35 30 Inasistencia 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 Rango de Salario
  • 56. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma: Parámetros Estimación De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:
  • 57. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss) A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
  • 58. Y X
  • 59. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir. Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
  • 60. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación Validación Cálculo de Coeficiente Análisis de Varianza de Determinación R² de la Regresión “ANARE” Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X” R² ≥ 70%
  • 61. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal: xi= Variación debida a Regresión εi = Variación debida al Error FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F) CMRegresión Regresión 1 SCRegresión CMRegresión /CMError Error n-2 SCError CMError Total n.1 SCTotales Regla de Decisión NRHo : Fc ≤ Ft RHo : Fc > Ft