1. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Del 03 de Septiembre al 26 de Septiembre del 2009
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bo
martinezsolaris@hotmail.com
2. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
Sexo
Total
HAI Femenino Masculino
n % n % n %
Negativo 182 57.59 134 42.41 316 80.2
Positivo 46 58.97 32 41.03 78 19.8
Total 228 57.87 166 42.13 394 100
200 182
150 134
Femenino
100
Masculino
46
50 32
0
Negativo Positivo
3. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
ESTADÍSTICA ¿Qué es?...
DESCRIPTIVA INFERENCIAL
PROPOSITO PROPOSITO
METODOS METODO
• TABULARES PROBABILISTICO
Características • GRAFICOS
• NUMERICOS
4. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
Ciencia encargada de la Recolección,
Manipulación, Organización y
Presentación de información de
manera tal que ésta tenga una
Confiabilidad determinada
5. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
INFERENCIA
ESTIMACION
Población
N
Muestra
Parámetros
Deducción n=?
µ, σ2, p,
Estadísticos
etc
Estadígrafos
TECNICAS DE
MUESTREO
6. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
Probabilístico MAS, MAP y MAE
MUESTREO
No Probabilística
Probabilístico
Azar
MUESTRA Tipos
No Probabilística
Arbitraria
7. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
POBLACION MUESTRA • Nombre
• Definición
Atributo • Rango de Valores
• Clasificación
Cambiar
Variable Elementos
Cualitativas Categorías
Tipos
Discretas
Cuantitativas
Continuas
8. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
• Nombre
Variable Elementos • Definición
• Rango de Valores
+ • Clasificación
Nominal
Medirse
Ordinal
Escalas de
De Intervalo
Medición
De Razón
9. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Métodos Tabulares
DESCRIPTIVA
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y
y1, y2, … yn, valores que toman las variables
METODOS X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.
Entonces:
TABULARES x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n n
xi yi
Sumatoria i 1 i 1
Propiedades
12. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Cuadro de Frecuencia
Edad
fi fr Fia Fra
Cuadros de (años)
Frecuencia 15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
13. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Cuadro de Frecuencia
Lugar de realización del
n %
Diplomado
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100
14. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Cuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
La Estadística ofrece otra
Cuadro de alternativa Tablas de Frecuencias
Frecuencia Absolutas y Relativas
15. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Tabla de Frecuencia
Procedimiento
Definir el Número de
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Intervalos
Sturges
Ac = A/k
A = Valor Máx.- Valor Mín.
K = 1 + 3.33* log n
Tipo de Intervalos
(Li - LS]
Ac = Ajustada
RI = Ac*K > A
MD = (RI – A)/2
16. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Tabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
17. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Métodos Gráficos
Diagrama de Puntos
Histograma
Métodos Gráficos Clásicos Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
19. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Histograma
Histograma de Frecuencias Absolutas
Número de Estudiantes
10
8
6
(fi)
4
2
0
.1
2.6
8.1
3.6
9.1
4.6
0.1
37
a4
a4
a5
a5
a6
a7
.1
.6
.1
.6
.1
.6
37
42
48
53
59
64
Tiempo (minutos)
20. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Polígono de Frecuencias
Número de Estudiantes
10 Polígono de Frecuencias Absoluta
8
6
(fi)
4
2
0
39.85 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85
Puntos Medios de Clases
21. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Ojiva
Ojiva/Polígono de Frecuencias Acumuladas
40
30
fia
20
10
0
37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1
Tiempos (minutos)
22. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Diagrama de Sectores
(19*360)
137-------360
X= = 49.9
19 ------- x
137
Lugar de realización de estudios
n Grados
Postgraduales
Extranjero 19 50
Universidad de Interés 87 229
Otras universidades bolivianas 31 81
Total 137 360
23. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Diagrama de Sectores
Lugar de realización de estudios postgraduales
Ot ras
universid ad es Ext ranjero
b o livianas 13 .8 7%
2 2 .6 3 %
U niversid ad
d e Int erés
6 3 .50 %
24. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)
Cuando se desea comparar dos o más
poblaciones o bien muestras, y si las
variables de interés son de carácter
numérico …
Los métodos tabulares no son los más
recomendables
La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos
25. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Localizan el centro de
una base de datos
numéricas
Medidas de Tendencia
Central
Cuantifican cuánto se
dispersan los datos de una
Métodos Numéricos medida de tendencia
central
Medidas de Dispersión
26. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Media Ponderada
Medidas de Tendencia
Central Mediana
Moda
27. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central/Promedio
Media µ
Población
Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que
Promedio toma una variable dividido entre el total
de éstas
Media
Muestra x
Muestral
Se interpreta como el punto de equilibrio
de una base de datos numéricas
28. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo
Desviaciones
(minutos)
xi x
52.6
-4.15
38.9
-17.85
68.3
11.55
67.2
10.45
63.9
7.15
64.9 Propiedad
n
8.15 xi x 0
68.3
11.55
i 1
39.2
-17.55
42.3
-14.45
61.9
Suma 5.15
567.5 Suma
0
56.75
Promedio
29. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es
posible hacer una estimación de la media
tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las
observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las
observaciones que caben en el intervalo y como una
tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
30. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Intervalos PMC*fi
PMC fi
de Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4
1624.5
53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 x= 30
= 54.15
59.1 a 64.6 61.85 4 247.4
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15
30 1624.5
31. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la
base de datos, si desea obtener el promedio, la media
aritmética no es la más indicada
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
32. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Salario Xiwi
Cargo fi (wi) (xi)
Rector 1 2000 2000
Asesores 2 1200 2400
Vic. Académico 1 1150 1150
15080
Vic. Administrativo 1 1250 1250 xw = = 655.65
23
Jefe de Carrera C.S 2 1000 2000
Jefe de Carrera 5 800 4000
Administrativo 2 600 1200
Secretarias 9 120 1080
15080
33. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Si los datos no se distribuyen
simétricamente (curva simétrica) el
promedio no es la mejor medida para
localizar el centro de los mismos •Ordenar
Impar
n Me = xn/2 + 0.5
Datos sin tabular
Par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
Mediana (Me)
(b-a)(0.5- c)
Datos tabulados Me = a +
d
34. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9
39.2
Me = xn/2 + 0.5
39.2
42.3 42.3
52.6
n es impar 52.6
61.9 61.9
63.9
Me
63.9
64.9 64.9
67.2 67.2
68.3 68.3
35. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9 Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
39.2 39.2
42.3 42.3 61.9 + 63.9
n es par 52.6 52.6 Me = = 62.9
61.9 61.9 2
62.9
63.9 63.9
64.9 64.9
67.2 67.2 Mediana es aquella medida
68.3 68.3
de tendencia central que
antes y después de ella no
68.3 68.3
existe más del 50% de la
información
36. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
Clase de la Mediana
a = Límite inferior de la • Complete la columna Fia
clase de la Me • Localice la menor Fia >
b = Límite superior de la n/2
clase de la Me • La clase a la que
c = Fra una clase antes de pertenece esta frecuencia
la clase de la Me (Nj-1) es la clase de la mediana
(Nj)
d = fr de la clase de la Me
• La Clase antes de Nj es
Nj -1
37. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c) a = Límite inferior de la
Me = a + clase de la Me
d b = Límite superior de la clase de
la Me
(59.1-53.6)(0.5- 0.5) c = Fra una clase antes de la
Me = 53.6 + = 53.6 clase de la Me (Nj-1)
0.07 d = fr de la clase de la Me
Intervalos
PMC fi fr Fia Fra
de Clases Ubicación de la
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 clase de la Me
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
n = 30
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
n/2 = 15
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
38. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda Tiempo
(Mo) en Estadística (minutos)
38.9
39.2
En caso de existir es la 42.3
(s) observación (nes) 52.6
que más se repiten en 61.9
una base de datos 63.9
64.9
Distribuciones: 67.2
68.3
Unimodales
68.3 Mo
Bimodales
Etc.
39. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
40. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Intervalos
PMC fi
de Clases
37.1 a 42.6 39.85 8
(9 - 4)
42.6 a 48.1 45.35 3
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
48.1 a 53.6 50.85 4 (9 - 4) + (9 – 0)
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
41. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
Una medida de tendencia central por si sola no es tan
importante. Por esta razón debe estar acompañada de
una medida de dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Medidas de Dispersión
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
42. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
N 2
Población ( σ²) 2 i 1
xi
N
Es el promedio de las desviaciones al
Varianza cuadrado de las observaciones que
toma una variable respecto a su media
Muestra (S²)
43. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
xi (Desviaciones)2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
1372.725
68.3 133.4025
S² = = 152.525mi²/est²
67.2 109.2025
63.9 51.1225 10 - 1
64.9 66.4225
Desventaja
68.3 133.4025
39.2 308.0025
Desviación Típica S = √S²
42.3 208.8025
61.9 26.5225 S = √152.525 = 12.35 min/est
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75 Interpretación x S
56.75 12.35 min/est.
44. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Si la tabla no presenta clases abierta es posible
hacer una estimación de la varianza de la siguiente
forma:
Intervalos de PMC fi
Clases
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
45. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
2
1624 . 5
91693 . 475
2 30
S 124 . 774
30 1
Intervalos de PMC*fi PMC2*fi
PMC fi S 124 . 774 11 . 70
Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 12704.18
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 6169.8675
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 10342.89
53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 6350.645
59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 15301.69
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 40824.203
1624.5 91693.475
46. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas
anteriormente son dimensionales (toman las unidades
de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional
llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión
Relativa
S S
C .V C .V * 100
x x
47. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se
dispersan los datos alrededor de una medida de
tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los
datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se
distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas
unimodales que tratan de las deformación de curvas
tanto de forma horizontal como vertical
48. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Deformación de Curvas Unimodales
Asimetría Positiva x > Me > Mo
Curvas Simétricas x = Me = Mo
Asimetría
Asimetría Negativa x < Me < Mo
50. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Deformación de Curvas Unimodales
Curva Leptocúrtica Kur > 3
Curva Mesocúrtica Kur = 3
Curtosis
Curva Platicúrtica Kur < 3
51. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple
En el desarrollo de los eventos,
X1 puede ser que una variable sea
Y X2 afectada por el comportamiento de
. otra (s) variable (s)
.
.
Es de interés poder cuantificar
Xi este tipo de relación de manera
que se pueda predecir una variable
en función de otra
Y: Variable Dependiente En Regresión Lineal Simple es de
X: Variable Independiente interés cuando una variable afecta
el comportamiento de otra variable
Y = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción
52. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos
matemáticos que describen la relación entre variables y el
uso de estas relaciones modeladas con el propósito de
predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
“Y” es una variable aleatoria cuya
distribución probabilística depende
de “X”
Supuestos del Análisis Modelo de la Línea Recta
de Regresión Lineal Homogeneidad de Varianza
Simple
Normalidad
Independencia
53. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito
mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las
variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)
Y
(x, y)
X
55. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
45
40
35
30
Inasistencia
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12
Rango de Salario
56. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación
entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede
pensar en una ecuación de la siguiente forma:
Parámetros
Estimación
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la
siguiente naturaleza:
57. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
Uso de la Técnica de
Mínimos Cuadrados (Carl
Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables
“X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la
Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de
las distancias entre los valores observados y los estimados de
tal manera que :
59. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta
que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace
necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de
predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
60. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente Análisis de Varianza
de Determinación R² de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que
puede ser explicada por “X”
R² ≥ 70%
61. ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la
partición de la variación total en fuente de variación conocida
que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo
aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F)
CMRegresión
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión
/CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft