1. Gruppo conforme
Flavio Grandin
15 aprile 2013
Abstract
Si ´ considerato il problema di definire una trasformazione che
e
preserva gli angoli fra curve su di una variet´ distinguendo le diverse
a
modalit´ con cui ´ possibile operare: cambiamenti di metrica, diffeoa
e
morfismi e trasformazioni di coordinate. Definite le trasformazioni
conformi nel senso passivo, si sono determinate le condizioni che queste devono soddisfare in spazi di dimensione superiore a due. Ottenuta
l’algebra del gruppo conforme in dimensione qualsiasi, si ´ analizzato
e
il caso particolare di d = 2. Infine si ´ trovata una propriet´ dei campi
e
a
in teorie conformemente invarianti.
1

2. 1
Introduzione e prime definizioni
´
Sia M una variet´ differenziabile di dimensione d. E necessario definire
a
il concetto di curva su M .
Definizione 1.1. Una Curva Γ ´ una funzione Γ : τ ∈ [0, 1] → Γ(τ ) ∈
e
M differenziabile.
Si consideri allora l’insieme CM (p) delle curve Γi tali che ∀i, Γi (0) =
p e sia (U, φ) una carta locale in p. Introduciamo la relazione di
d
equivalenza sull’insieme CM (p) definita da Γ1 ∼ Γ2 se dτ φ◦Γ1 τ =0 =
d
dτ φ◦Γ2 τ =0 . Indicheremo con Γ la classe di equivalenza delle curve
di CM (p) contenente Γ.
Definizione 1.2. Lo spazio tangente a M in p ´ l’insieme quoziente
e
CM (p)/ ∼ e viene indicato con la scrittura Tp M .
Data una funzione reale e differenziabile f su U e fissata una curva
Γ ∈ CM (p) si ha
d
f ◦Γ
dτ
=
0
d(φµ ◦ Γ)
∂
f ◦ φ−1 (x)
dτ
∂xµ
0
Ma la relazione vale ∀f e dunque ha senso passare all’equazione operatoriale
d(φµ ◦ Γ)
∂
d
=
µ
dτ 0
dτ
0 ∂x
Se Γ1 , Γ2 ∈ CM (p) sono due curve appartenenti alla stessa classe di
d
d
d
equivalenza [Γ] allora dτ φ◦Γ1 τ =0 = dτ φ◦Γ2 τ =0 = dτ φ◦Γ τ =0 .
µ
Dunque i d numeri d(φdτ◦Γ) 0 identificano un elemento di CM (p)/ ∼ dotando lo spazio tangente di una naturale struttura di spazio vettoriale.
I vettori di Tp M sono combinazioni lineari degli operatori differenziali
∂
∂xµ
che costituiscono una base.
Definizione 1.3. L’unione disgiunta T M = p∈M {p} × Tp M dotata
della proiezione π : (p, v) ∈ T M → p ∈ M si dice fibrato tangente
alla variet´ M .
a
Definizione 1.4. Un campo vettoriale su M ´ una mappa ξ : M →
e
T M tale che π ◦ ξ = idM . In altre parole un campo vettoriale ´ una
e
sezione del fibrato tangente.
2

3. Indicheremo con Γ(M ) l’insieme dei campi vettoriali su M di classe
C ∞.
Armati della definizione di vettore tangente ad una variet´ M in
a
un punto p ∈ M possiamo definire gli angoli fra curve. A questo scopo
´ necessario definire il concetto di variet´ riemanniana.
e
a
Definizione 1.5. Una variet´ riemanniana ´ una coppia (M, g) dove
a
e
M ´ una variet´ e g = g(p) ´ una forma bilineare simmetrica definita
e
a
e
positiva (si dice pseudo-riemanniana se g ´ soltanto non degenere) su
e
Tp M tale che, per ogni coppia di campi vettoriali X(p), Y (p) ∈ Γ(M ),
la funzione p ∈ M → g X(p), Y (p) (p) ∈ R ´ di classe C ∞ .
e
La forma g viene detta tensore metrico. Si considerino gli autovalori di g(p). Siano in numero p quelli positivi, q quelli negativi. I numeri
p e q non dipendono dal punto e la coppia (p, q) ´ detta segnatura di
e
g.
Definizione 1.6. Sia (M, g) una variet´ (pseudo)riemanniana e siaa
no Γ1 , Γ2 ∈ CM (p). Indichiamo le componenti dei vettori tangenti alle
d
d
curve con uµ = dτ (φµ ◦ Γ1 |τ =0 e v µ = dτ (φµ ◦ Γ2 |τ =0 . L’angolo fra
le curve ´
e
θΓ1 ,Γ2 = arccos
dove gµν (p) = g
∂
∂
∂xµ , ∂xν
gµν (p)uµ v ν
1
1
(1.1)
(gρλ (p)uρ uλ ) 2 (gστ (p)v σ v τ ) 2
(p).
Sia ω(p) una qualsiasi funzione reale e differenziabile su M . La
trasformazione locale della metrica
gµν (p) −→ hµν (p) = eω(p) gµν (p)
(1.2)
preserva gli angoli fra le curve. Infatti
θΓ1 ,Γ2 = arccos
hµν (p)uµ v ν
1
1
=
(hρλ (p)uρ uλ ) 2 (hστ (p)v σ v τ ) 2
eω(p) gµν (p)uµ v ν
= arccos
e
ω(p)
2
1
(gρλ (p)uρ uλ ) 2 e
ω(p)
2
1
(gστ (p)v σ v τ ) 2
= θΓ1 ,Γ2
Le trasformazioni (1.2) si dicono traformazioni di Weyl. Due metriche
collegate da una trasformazione di Weyl si dicono conformemente equivalenti. La classe delle metriche conformemente equivalenti definisce
su M una struttura conforme.
3

4. Possiamo anche, anzich´ trasformare la metrica, considerare mape
pe fra punti di M . Si consideri allora un diffeomorfismo f da M
in se stesso. La trasformazione f mappa la curva Γ(τ ) nella curva
f ◦ Γ(τ ). Inoltre, due curve Γ1 , Γ2 ∈ CM (p) vengono mappate in due
curve Γ1 , Γ2 ∈ CM (f (p)). Ha allora senso chiedersi come cambiano
gli angoli fra le curve sotto una tale trasformazione. Sia Γ ∈ CM (p), e
siano uµ le componenti del vettore tangente a Γ nel punto p. Fissato
un aperto V contenente p = f (p) e presa una carta locale (V, ψ) in
p , le componenti del vettore tangente a Γ = f ◦ Γ ∈ CM (f (p)) sono
uµ =
=
d(ψ µ ◦ f ◦ Γ)
dτ
∂ ψµ ◦ f ◦
∂xν
=
τ =0
φ−1 (x)
d(ψ µ ◦ f ◦ φ−1 ◦ φ ◦ Γ)
dτ
d(φν ◦ Γ)
dτ
=
τ =0
=
τ =0
∂x µ ν
u
∂xν
dove si ´ posto x = ψ ◦ f ◦ φ−1 (x) che rappresenta la coordinata nella
e
carta (V, ψ) del punto trasformato di p. La metrica viene mappata
come
gµν (p) = gµν φ−1 (x) → gµν (f (p)) = gµν ψ −1 ◦ ψ ◦ f ◦ φ−1 (x) =
= gµν ◦ ψ −1 (x )
Alternativamente possiamo considerare la trasformazione dal punto di vista passivo, ovvero come trasformazione di coordinate. In
questo caso le curve rimangono invariate sotto la trasformazione ma
cambiano coordinate e componenti della metrica. Siano ora (U, φ) e
(V, ψ) due carte locali con p ∈ U ∩ V = ∅. Le componenti del vettore
tangente a Γ ∈ CM (p) in p si trasformano secondo
uµ =
=
d (ψ µ ◦ Γ)
dτ
τ =0
φ−1 (x)
∂ ψµ ◦
∂xν
=
d ψ µ ◦ φ−1 ◦ φ ◦ Γ
dτ
d (φν ◦ Γ)
dτ
=
τ =0
=
τ =0
∂x µ ν
u
∂xν
dove questa volta x = ψ ◦ φ−1 (x). Le componenti della metrica
trasformano secondo
gµν (p) =g
∂
∂
,
µ ∂x ν
∂x
(p) =
∂xρ ∂xλ
g
∂x µ ∂x ν
4
∂
∂
,
ρ ∂xλ
∂x
(p) =
∂xρ ∂xλ
gρλ (p)
∂x µ ∂x ν

5. come ci si aspetta da un tensore di rango (2, 0). Volendo vedere le gµν
come funzioni delle coordinate anzich´ del punto si ha
e
∂
∂
,
◦ ψ −1 (x )
µ ∂x µ
∂x
∂xρ ∂xλ
∂xρ ∂xλ
∂
∂
= µ
g
, λ ◦ φ−1 ◦ φ ◦ ψ −1 (x ) =
gρλ (x)
∂x ∂x ν
∂xρ ∂x
∂x µ ∂x ν
gµν (x ) =g
−1
dove si ´ usato φ ◦ ψ −1 (x ) = ψ ◦ φ−1
e
(x ) = x.
Nel definire le trasformazioni conformi come quelle trasformazioni
che, in un modo ancora da precisare, preservano gli angoli fra le curve,
si pone il problema di come la definizione possa essere soddisfacente
sull’intera variet´ e non soltanto localmente, sia che si tenga un punto
a
di vista attivo che passivo. Una notevole semplificazione viene dal
considerare soltanto quelle variet´ che dispongono di un sistema di
a
coordinate globali (la restrizione ´ forte, per esempio S 2 non appare
tiene a tale categoria). Pi´ specificatamente, faremo l’assunzione che
u
lo spazio sia piatto. Inoltre di qui in avanti considereremo il punto
di vista passivo. Dunque avremo a che fare con due sistemi di coor´
dinate φ, ψ definiti su tutto M . E importante sottolineare che, sotto
trasformazione di coordinate, le curve, che sono oggetti concreti sulla
variet´, non vengono modificate, cos´ come gli angoli fra le curve, che
a
ı
in base alla definizione (1.1), sono costruiti a partire da soli invarianti.
Come definire allora le trasformazioni conformi?
Si consideri una coppia di curve Γ1 , Γ2 ∈ CM (p). Dopo la trasformazione di coordinate x = ψ ◦ φ−1 (x) si consideri la coppia di curve
Γ1 , Γ2 ∈ CM (p) tali che ψ ◦ Γ1 (τ ) = φ ◦ Γ1 (τ ) e ψ ◦ Γ2 (τ ) = φ ◦ Γ2 (τ ).
Diremo che la trasformazione ´ conforme se ∀p ∈ M, ∀Γ1 , Γ2 ∈ CM (p)
e
succede che θΓ1 ,Γ2 = θΓ1 ,Γ2 . Notiamo che le componenti del vettore
tangente a Γ nel sistema di coordinate φ coincidono con le componenti del vettore tangente a Γ nel sistema di coordinate ψ. Allora la
condizione per una trasformazione conforme ´
e
gµν (x ) = Ω(x)gµν (x)
(1.3)
con Ω(x) = eω(x) e ω(x) qualsiasi funzione reale.
2
Il gruppo conforme
Le trasformazioni conformi formano gruppo sotto la composizione come si pu´ vedere verificando che esse soddisfano la chiusura, l’assoo
5

6. ciativit´, l’esistenza dell’elemento neutro e dell’inverso. Consideriamo
a
una trasformazione infinitesima delle coordinate
xµ −→ x µ = xµ +
Al primo ordine in
gµν (x ) =
µ
il tensore metrico si trasforma come
∂xρ ∂xλ
gρλ (x) ≈ gµν (x) − (∂µ
∂x µ ∂x ν
ν
+ ∂ν
µ)
metre la condizione di conformit´ (1.3) impone
a
gµν (x ) = Ω(x)gµν (x) ≈ (1 + ω(x)) gµν (x)
dove si ´ ricordato che Ω(x) = eω(x) . Allora ne segue che
e
∂µ
ν
+ ∂ν
µ
= −ω(x)gµν
La funzione ω(x) si pu´ esprimere in termini delle
o
traccia di entrambi i membri. Si trova
µ
prendendo la
2∂ · = −dω(x)
dove d = g µν gµν ´ la dimensione della variet´ e ∂ ·
e
a
tuendo
2
∂µ ν + ∂ν µ = (∂ · ) gµν
d
Applicando l’operatore ∂ ν e moltiplicando per d
d2
= ∂ α α . Sosti(2.1)
µ
+ (d − 2)∂µ (∂ · ) = 0
(2.2)
µ
+ (d − 2)∂µ ∂ν (∂ · ) = 0
(2.3)
Applicando ancora ∂ν
d2∂ν
e sommando alla (2.3) l’equazione che si ottiene scambiando µ ↔ ν
d2 (∂ν
µ
+ ∂µ ν ) + 2(d − 2)∂µ ∂ν (∂ · ) = 0
ovvero, usando la (2.1),
{gµν 2 + (d − 2)∂µ ∂ν } (∂ · ) = 0
(2.4)
Per d > 2 la (2.4) richiede che ∂ · sia al pi´ lineare in x e quindi
u
che le µ siano al pi´ quadratiche in x. Assumendo d > 2, poniamo
u
6

7. = aµ + bµ xα + cµ xα xβ . Per µ = aµ si ottengono le ordinarie
α
αβ
traslazioni indipendenti da x. Se µ = bµ xα , sostituendo nella (2.1) si
α
2
trova bνα ∂µ xα + bµα ∂ν xα = d gµν bα da cui
α
µ
2
α β
α β
bαβ δµ δν + δν δµ − gµν g αβ
d
=0
(2.5)
Posto bαβ = ωαβ + σαβ , dove ω e σ sono la parte antisimmetrica e
simmetrica di b, e tenuto conto della simmetria α ↔ β del tensore
fra parentesi, la (2.5) implica che non ci sono condizioni su ωαβ . La
forma µ = ω µ xα ci pone di fronte alle ordinarie rotazioni di SO(p, q).
α
Altrimenti, sostituendo la parte simmetrica σ nella (2.1) si ottiene la
condizione
Tr b
σµν =
gµν
d
ovvero, ponendo λ =
Tr b
d ,
µ
= λδ µ xν = λxµ
ν
che esprime le dilatazioni. Prendiamo ora µ = cµ xα xβ . Al fine di
αβ
trovare le condizioni su cµ ´ necessario ricavare una utile formula.
αβ e
Applicando ∂ρ alla (2.1) e permutando gli indici
∂ρ ∂µ
ν
+ ∂ρ ∂ν
µ
∂ν ∂ρ
µ
+ ∂µ ∂ρ
ν
∂µ ∂ν
ρ
+ ∂ν ∂µ
ρ
2
gµν ∂ρ (∂ · )
d
2
= gρµ ∂ν (∂ · )
d
2
= gνρ ∂µ (∂ · )
d
=
Sottraendo la prima alla somma delle altre due si giunge a
2∂µ ∂ν
ρ
=
2
(−gµν ∂ρ + gµρ ∂ν + gνρ ∂µ ) (∂ · )
d
Sostituendo l’espressione per
cµνρ =
troviamo
1
gµρ cα + gµν cα − gνρ cα
αν
αρ
αµ
d
1
Ponendo dµ = d cα si ottiene
αµ
µ
= dµ x2 − 2xµ (d · x)
7
(2.6)

8. Queste ultime prendono il nome di trasformazioni conformi speciali. Osserviamo che esiste una trasformazione conforme discreta che
chiameremo inversione e denoteremo con la lettera I. Essa ´ definita
e
come
xµ
I : xµ → 2
x
Si pu´ facilmente verificare che I −1 = I e che si tratta di una trasforo
mazione conforme. Infatti
∂xρ ∂xσ
gρσ (x) =
∂xµ ∂xν
ρ
σ
δµ x2 − 2xρ xµ δν x2 − 2xσ xν
1
=
gρσ (x) = 2 gµν (x)
4
4
x
x
x
gµν (x ) =
Dunque l’inversione deve essere contenuta nelle trasformazioni conformi speciali. Infatti si verifica che le (2.6) soddisfano a
xµ
xµ
= 2 + vµ
x2
x
che non ´ altro che una inversione, seguita da una traslazione di vettore
e
v µ , e ancora una inversione.
Integrando le infinitesime, la forma finita per una trasformazione
conforme che si ottiene ´
e
xµ = xµ + aµ + Λµ xν + λxµ +
ν
xµ + bµ x2
1 + 2b · x + b2 x2
con Λ ∈ SO(p, q), λ ∈ R e a, b ∈ Rd .
Riassumendo, le trasformazioni indipendenti individuate sono
(i) d traslazioni
(ii)
d(d−1)
2
rotazioni
(iii) 1 dilatazione
(iv) d trasformazioni conformi speciali
In tutto sono
2.1
(d+1)(d+2)
2
trasformazioni indipendenti.
Algebra conforme
Al fine di determinare l’algebra cerchiamo una rappresentazione del
gruppo su uno spazio funzionale. Consideriamo lo spazio vettoriale
8

9. delle funzioni scalari su M . Sotto trasformazioni conformi si ha la
mappa
f (x) → f (x) = f (x − )
e, tenuto conto che f (x ) = f (x),
f (x) → (1 −
µ
∂µ ) f (x)
al primo ordine in . Se su questo spazio funzionale esiste una rappresentazione del gruppo conforme dovremo avere
f (x) = (1 + ıβ a Ja )f (x)
dove i β a sono i 1 (p + q + 1)(p + q + 2) parametri del gruppo e i Ja
2
sono i generatori che nel nostro spazio funzionale si presentano sotto
forma di operatori differenziali. Ricordiamo che
µ
= aµ + ω µ xν + (λ − 1) x + dµ x2 − 2xµ d · x
ν
dove si ´ posto ω µ = g µα bαν con bαν antisimmetrico in α ↔ ν e si ´
e
e
ν
mandato λ → λ − 1 affinch´ valori infinitesimi di λ corrispondano a
e
trasformazioni infinitesime. Confrontando (2.1) e (2.1)
−ıβ a Ja = aµ ∂µ +
bµν
(xµ ∂ν − xν ∂µ )+(λ − 1) xµ ∂µ +dµ x2 ∂µ −2xµ (d·x)∂µ
2
Ora poniamo
(i) β 1,2,...,d = −a0,1,...,d−1
1
(ii) β d,d+1,...,d+ 2 d(d−1) =
−bµν
2 ,
0 ≤ µ < p + q, µ < ν < p + q
1
(iii) β d+1+ 2 d(d−1) = (1 − λ)
1
1
(iv) β 2 (d+1)(d+2)−d,..., 2 (d+1)(d+2) = −d0,1,...,d−1
I generatori sono
(i) J1,2,...,d = −ı∂µ ≡ Pµ
(ii) Jd+1,...,d+ 1 d(d−1) = −ı (xµ ∂ν − xν ∂µ ) ≡ Jµν
2
(iii) Jd+1+ 1 d(d−1) = −ıx · ∂ ≡ Λ
2
(iv) J 1 (d+1)(d+2)−d,..., 1 (d+1)(d+2) = −ı x2 ∂µ − 2xµ x · ∂ ≡ Sµ
2
2
L’algebra ´ dunque
e
(i) [Pµ , Pν ] = 0
9

10. (ii) [Jµν , Jρσ ] = −ı (gµσ Jνρ + gνρ Jµσ − gµρ Jνσ − gνσ Jµρ )
(iii) [Λ, Λ] = 0
(iv) [Sµ , Sν ] = 0
(v) [Pµ , Jρσ ] = ı (gµρ Pσ − gµσ Pρ )
(vi) [Pµ , Λ] =µ
(vii) [Pµ , Sν ] = −2ı (Jµν − gµν Λ)
(viii) [Jµν , Λ] = 0
(ix) [Jµν , Sρ ] = ı (gνρ Sµ − gµρ Sν )
(x) [Λ, Sµ ] = ıSµ
Ora se si scrive
Xµν = Jµν ,
Xµ,d+1 =
Xµ,d =
1
(Pµ − Sµ ) ,
2
1
(Pµ + Sµ ) ,
2
Xd,d+1 = Λ,
si trova l’algebra
[Xµν , Xρσ ] = ηµσ Xνρ + ηνρ Xµσ − ηµρ Xνσ − ηνσ Xµρ
(2.7)
dove ora gli indici µ, ν, ρ, σ corrono da 0 a d+1 e η = diag(−1, ..., −1, 1, ..., 1)
ha segnatura (p + 1, q + 1); si tratta chiaramente dell’algebra so(p +
1, q + 1).
2.2
Trasformazioni conformi con d=2
In una dimensione il concetto di angolo ´ banale e banalmente ´ cone
e
servato sotto qualsiasi trasformazione. Invece, interessante ´ il caso
e
d = 2 con metrica euclidea gµν = δµν . La (2.1) non esprime altro che
le condizioni di Cauchy-Riemann
∂1
1
= ∂2
∂1
2
= −∂2
(2.8)
2
(2.9)
1
Per vederlo chiaramente si scriva z, z = x1 ± ıx2 e z , z = x1 ± ıx2 .
¯
¯
Essendo xµ = xµ + µ ed utilizzando le (2.8) si deduce
∂1 x1 = 1 + ∂1
∂1 x2 = ∂1
2
1
= 1 + ∂2
= −∂2
10
1
2
= ∂2 x2
= −∂2 x1

11. Questo significa che le trasformazioni conformi in due dimensioni sono
equivalenti alle trasformazioni complesse
z → f (z)
¯z
z → f (¯)
¯
con f funzione localmente analitica. Sviluppando in serie di Laurent
si ha
+∞
z→z+
an z n
n (z) = z 1 +
n=−∞
´
E immediato trovare i generatori nella rappresentazione sullo spazio
delle funzioni scalari su M .
ln = −z n+1 ∂z
¯n = −¯n+1 ∂z
l
z
¯
e l’algebra
[ln , lm ] = z n+1 ∂z z m+1 ∂z − z n+1 ∂z z m+1 ∂z =
= (m + 1)z n+m+1 ∂z − (n + 1)z n+m+1 ∂z =
= (n − m)ln+m
¯n , ¯m = (n − m)¯n+m
l l
l
¯m = 0
ln , l
´ detta algebra di Witt. Tuttavia si tratta dell’algebra conforme loe
cale poich´ i generatori non sono ben definiti ovunque. Se vogliae
mo un’algebra globale ´ necessario considerare soltanto i generatori
e
{l−1 , l0 , l1 } ∪ ¯−1 , ¯0 , ¯1 . Infatti i campi vettoriali −z n+1 ∂z non sono
l l l
singolari per z → 0 solo se n ≥ −1. Invece, per z → ∞, ponendo
1
w = z si ha
1 dw
1
−z n+1 ∂z = − n+1
∂w = n−1 ∂w
w
dz
w
che non ´ singolare per w → 0 solo se n ≤ 1.
e
Il passaggio alle variabili complesse pu´ essere visto come il cambio
o
di coordinate
x1
z
1 ı
x1
2 → z = 1 −ı
x
¯
x2
11

12. se si considera le variabili z, z come componenti indipendenti di un
¯
vettore di C2 . La superficie z = z ∗ ´ il luogo dei punti di C2 in cui
¯
e
1 , x2 . Inoltre osserviamo che
possiamo ricostruire le coordinate x
s2 = δµν xµ xν = x2 + x2 = z z
¯
1
2
da cui estraiamo le componenti del tensore metrico in cordinate complesse
1
gzz = 0 gz z = 2
¯
1
gz z = 2 gz z = 0
¯
¯¯
Cerchiamo di interpretare i generatori. Riconosciamo in l−1 e ¯−1 i
l
generatori delle traslazioni; infatti
∂z ∂
∂z ∂
¯
+ 1
1 ∂z
∂x
∂x ∂ z
¯
¯−1
P2 = −ı∂2 = ∂z − ∂z = l−1 − l
¯
P1 = −ı∂1 = −ı
= −ı (∂z + ∂z ) = ı l−1 + ¯−1
l
¯
Invece l0 , ¯0 contengono dilatazioni e rotazioni. Per esempio,
l
Λ = −ıx · ∂ =
−ı
¯
z∂ z + z ∂ z = −ı (z∂z + z ∂z ) = ı l0 + ¯0
¯
¯ ¯
l
2
Similmente si trova che l’unica rotazione ´ generata da J12 = l0 − ¯0 .
e
l
Di conseguenza l1 , ¯1 generano le trasformazioni conformi globali.
l
La forma finita per queste trasformazioni ´
e
az + b
cz + d
az + ¯
¯¯ b
z→
¯
cz + d
¯¯ ¯
z→
(2.10)
(2.11)
con ad − bc = 0. Questo permette di affermare che il gruppo conforme globale in due dimensioni ´ il gruppo di Lorentz SL(2, C)/Z2 ≈
e
SO(3, 1). Infatti la trasformazione (2.10) pu´ essere rappresentata
o
dalla matrice
a b
A=
c d
La composizione di due trasformazioni, rappresentate dalle matrici A
e B, ´ rappresentata, come si pu´ facilmente verificare, dalla matrice
e
o
AB. Notiamo che A ∈ GL(2, C) poich´ det A = 0. Ma A e λA rappree
sentano la stessa trasformazione, ∀λ > 0, e quindi, fra tutte le matrici
equivalenti, possiamo scegliere A ∈ SL(2, C); infine l’identificazione di
A e −A giustifica completamente l’equivalenza del gruppo conforme
in d = 2 con il gruppo SL(2, C)/Z2 .
12

13. 3
Una propriet´ dei campi conformi
a
In una teoria di campo la fisica ´ espressa dall’azione
e
S=
dd x
| det g|L
dove L ´ la Lagrangiana del sistema. Variando l’azione rispetto al
e
tensore metrico si ha
δS =
∂S
δgµν =
∂gµν
dove abbiamo introdotto la notazione
T µν
dd x
δ
δgµν
δS
δgµν
δgµν
per la derivata funzionale.
δS
δgµν
Il tensore
=
pu´ essere identificato, a meno di costanti, con
o
il tensore energia-impulso. Se la teoria ´ invariante per trasformazioni
e
conformi
δgµν = gµν (x ) − gµν (x) = ω(x)gµν
allora
δS = 0;
e dunque
dd xω(x)T µν gµν =
dd xω(x)T µ = 0
µ
(3.1)
∀ω(x), ovvero il tensore energia-impulso ha traccia nulla.
Riferimenti bibliografici
P. Ginsparg, Applied Conformal theory, http://arxiv.org/abs/hepth/9108028, 1988
P. Francesco, P. Mathieau, D. Senechal, Conformal field theory,
1997, Springer
R. Blumenhagen, E. Plauschinn, Introduction to conformal field
theory with application to string theory, 2009, Springer
D.
Tong,
Introduction
to
conformal
www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string/four.pdf
13
field
theory,