4. Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει
ότι:
αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1 = α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τότε:
α0 = 1 και α-ν =
1
11. Ορισμός
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο
α, αν α≥0
-α, αν α<0
Συνέπειες
και
ή x = -θ (θ > 0)
ή x = -α
α
0αα
αα αα
22
αα
θxθx
αxαx
α
12. 1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση
d (α , β) =
β
α
β
α Ανισότητες με απόλυτα
ή x > ρ
βαβα
βαβα
βα
ρxρρ)ρ,(xρx
ρxρx
13. Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται
με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί
στο τετράγωνο, δίνει τον α.
• Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης
x2 = α.
Ιδιότητες
•Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:
1.
2.
α
α
αα 2
βαβα
β
α
β
α
3. (β ≠ 0 )
14. Ορισμός
Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της
εξίσωσης xν = α.
ν
α
ν
α
16. Ορισμός
• Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε
ορίζουμε
• Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει
ότι:
ν μν
μ
αα
νν
βαβα
17. • Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
• Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και
• Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
• Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό, είναι αδύνατη
ν
α
ν
α
ν
α
ν α
18. • Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται
εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζών
Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
2α
Δβ-
x 1,2
2α
β
-x
20. • Αν α > 0 , τότε:
• Αν α < 0 , τότε:
• Αν α = 0 , τότε: , η οποία
αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0
α
β-
x
α
β-
x
-β0x