Estática 1

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Estática 1

  1. 1. 1 Prof. MSc. Valtency F. Guimarães Estática Instituto Tecnológico, de Ciências Sociais Aplicadas e da Saúde Curso de Engenharia Mecânica 2 Estática Bibliografia Recomendada Bibliografia BBibliografia Báásica:sica: HIBBELER, R.C. Estática - Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. MERIAM, J. L. Mecânica Estática. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo: McGrawHill, 2006. SHAMES, I. Estática Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar: ARFKEN, G. B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. GIUDICE N,; Luciano D. Física 1 Mecânica: Cinemática, Dinâmica, Estática, Hidrostática, Hidrodinâmica. Rio De Janeiro: FTD, 1985. CALÇADA, C. S.; SAMPAIO, J. L. Física Clássica Dinâmica, Estática e Hidrostática. São Paulo: Atual, 1985. Prof. MSc. Valtency F. Guimarães
  2. 2. 3 Princípios da Dinâmica 1. Definição de Mecânica 2. Conceitos Fundamentais 3. Unidades de Medida Unidades de Base do SI Definição das Unidades de Base Unidades derivadas do SI Múltiplos e Submúltiplos Estática Introdução - Dinâmica 4 1. Definição de Mecânica Introdução A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas que estuda o estado de repouso ou de movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três partes: a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos deformáveis e a mecânica dos fluidos. A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâmica. A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento com velocidade constante. A dinâmica preocupa-se com o estudo do movimento de corpos sob a ação de forças, ou seja, movimento acelerado dos corpos.
  3. 3. 5 Observações Introdução A Mecânica é uma ciência física, pois trata de fenômenos físicos. Entretanto, alguns associam a Mecânica com a Matemática, enquanto muitos a consideram assunto de Engenharia. Ambos os pontos de vista são justificáveis em parte. A Mecânica é o fundamento da maioria das ciências de Engenharia e é um pré-requisito indispensável a seus estudo. Apesar de a estática poder ser considerada um caso especial da dinâmica, no qual a aceleração é nula, ela merece tratamento separado no estudo da engenharia, uma vez que muitos objetos são desenvolvidos com o intuito de que se mantenham em equilíbrio. 6 Antes de iniciar o estudo da mecânica, é importante compreender o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais. Quantidades básicas ComprimentoComprimento. grandeza essencial que localiza a posição de um ponto no espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão a dimensão de um sistema físico. TempoTempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma quantidade absoluta. Apesar de os princípios da estática serem independentes do tempo, essa quantidade desempenha importante papel no estudo da dinâmica. Introdução 2. Conceitos Fundamentais
  4. 4. 7 MassaMassa. é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece a medida quantitativa da resistência da matéria à mudança de velocidade. ForForççaa. Pode ser definida como a ação de um corpo sobre outro corpo. Essa interação pode ocorrer quando há contato direto entre os dois corpos ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente separados. A força é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor. Introdução Conceitos Fundamentais 8 Introdução Conceitos Fundamentais Idealizações Ponto MaterialPonto Material (partícula). é um corpo cujas dimensões são desprezíveis. É pois um corpo que em uma situação específica pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às suas dimensões, o que simplifica o estudo, uma vez que a geometria do corpo não será envolvida na análise do problema. Corpo RCorpo Ríígidogido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa entre suas partes.
  5. 5. 9 Introdução Conceitos Fundamentais ForForçça Concentradaa Concentrada. Representa o efeito de uma carga admitida como atuando em um ponto do corpo. Um exemplo seria a força de contato entre uma roda e o terreno. As três Leis do Movimento de Newton Primeira lei de Newton ouPrimeira lei de Newton ou PrincPrincíípio dapio da InInéérciarcia -- na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento. Segunda lei de Newton ouSegunda lei de Newton ou PrincPrincíípio Fundamentalpio Fundamental da Dinâmicada Dinâmica-- a força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por sua aceleração. 10 Introdução Conceitos Fundamentais Terceira lei de Newton ouerceira lei de Newton ou PrincPrincíípio da apio da açção e reaão e reaççãoão -- sse um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido oposto. A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada como: F = ma (ou de outra forma ) onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração resultante. A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula esteja em repouso ou move-se a velocidade constante. A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que as forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do tempo durante o qual as forças atuam. amF rr =
  6. 6. 11 Lei de Newton de Atração da Gravidade diz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que depende das massas desses objetos e da distância que há entre eles. Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses corpos. Matematicamente: onde: F é a força mútua de atração entre os dois corpos; G é constante gravitacional universal; m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e r é a distância entre os dois corpos. Introdução 2 21 r mm GF = Conceitos Fundamentais 12 PesoPeso É a força gravitacional de atração exercida sobre um corpo pela Terra e depende da posição do corpo em relação à Terra. Esta força existe estando o corpo em repouso ou em movimento: Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na superfície terrestre, terá a mesma aceleração g: onde: MT é a massa da Terra e r o seu raio. A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é a aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra, porém não girando com a mesma. g = 9,824 m/s2 Introdução 2 r GM g T = Conceitos Fundamentais 2 r GmM W T =
  7. 7. 13 A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é: onde r é o raio da Terra. A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experiência gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso verdadeiro de um corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se: W = m.g Introdução 2 2 0 )( hr r gg + = Observação 14 Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o SistemaSistema Internacional de UnidadeInternacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e científicos. Unidades de Base do SI – São sete unidades bem definidas que, por convenção são tidas como dimensionalmente independentes: Introdução 3. Unidades de Medida
  8. 8. 15 metrometro (m):(m): é o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo. quilogramaquilograma (Kg):(Kg): é igual à massa do protótipo internacional, feito com uma liga platina-irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade que a ciência permite. segundosegundo (s):(s): é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de césio-133, no estado fundamental. ampampéérere (A):(A): é uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilíneos e paralelo, de comprimento infinito e seção transversal desprezível, colocados a um metro um do outro no vácuo, produziria entre estes dois condutores uma força igual a 2x10-7 N, por metro de comprimento. Introdução Definição das Unidades de Base 16 kelvinkelvin (K):(K): é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. molmol (mol):(mol): é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 0,012 Kg de carbono-12. candelacandela (cd(cd): é a intensidade luminosa, em uma determinada direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de frequência 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direção de 1/683 W/sr. Unidades derivadas do SI São formadas pela combinação de unidades de base e outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. Introdução
  9. 9. 17 Introdução Unidades derivadas do SI 18 Introdução Unidades derivadas do SI
  10. 10. 19 Introdução Unidades derivadas do SI 20 Introdução Múltiplos e Submúltiplos
  11. 11. 21 Vetores Força 1. Escalares e Vetores Representação de uma Grandeza Vetorial 2. Operações Vetoriais Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar Adição Vetorial Subtração Vetorial Decomposição de Vetores 3. Adição de Forças Vetoriais Exercícios Atividades Estática Vetores - Força 22 1. Escalares e Vetores Vetores - Força EscalarEscalar. uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo. Exemplos: tempo, volume, massa, densidade... VetorVetor. uma quantidade que tem intensidade e direção. Exemplos: posição, momento, força... O vetorO vetor éé representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela, como em ; empregacomo em ; emprega--se tambse tambéém a letra em negrito (m a letra em negrito (FF); sua intensidade, que); sua intensidade, que éé sempre uma quantidade positiva, sersempre uma quantidade positiva, seráá representada em itrepresentada em itáálicolico FF.. AssimAssim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquantorepresenta o vetor soma de dois vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares.representa a soma de dois escalares. F r
  12. 12. 23 Representação de uma Grandeza Vetorial Vetores - Força Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta, que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido. Graficamente o módulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta, a direção é definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta. A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de um poste. O ponto O é chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta. 24 Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar O produto do vetor A pelo escalar a, dando aA, é definido como o vetor de intensidadeintensidade |aA|. O sentidosentido de aA é o mesmo de A, desde que a seja positivo, e é oposto a A, se a for negativo. A divisão de um vetor é definida usando-se as leis da multiplicação, visto que A/a = (1/a)A, com a ≠ 0. 2. Operações Vetoriais Vetores - Força
  13. 13. 25 Adição Vetorial Dois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser somados para formar um vetor resultanteresultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam- se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas. Operações Vetoriais Vetores - Força 26 Operações Vetoriais Vetores - Força Dois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser somados para formar um vetor resultanteresultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam- se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas.
  14. 14. 27 Operações Vetoriais Vetores - Força Subtração Vetorial A resultante diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser expressa como: R = A – B = A + (-B) A subtração é definida, portanto, como um caso especial de adição, de modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração vetorial. 28 Decomposição de Vetores Um vetor pode ser decomposto em dois componentescomponentes que têm linhas de ação conhecidas usando-se a lei do paralelogramo. Se R for decomposto nos componentes que atuam ao longo das retas a e b, um começa na origem de R e estende-se em uma reta paralela a a até interceptar b. Do mesmo modo, desenha-se uma reta paralela a b a partir da origem de R até o ponto de intersecção com a. Os dois componentes A e B são então traçados de modo que se estendam da origem de R até os pontos de intersecção. Operações Vetoriais Vetores - Força
  15. 15. 29 Como uma força é uma quantidade vetorial, uma vez que tem intensidade, direção e sentido especificados, sua soma é feita de acordo com a lei do paralelogramo. 3. Adição de Forças Vetoriais Vetores - Força 30 Vetores - Força Dois problemas comuns em estática são a determinação da força resultante, conhecendo-se seus componentes, e a decomposição de uma força conhecida em dois componentes. Ambos os problemas requerem a aplicação da lei do paralelogramo. Se a soma envolve mais de duas forças, é preciso realizar aplicações sucessivas da lei do paralelogramo a fim de obter a força resultante. Por exemplo, se três forças F1, F2, F3 atuam sobre o ponto O, determina-se a resultante de duas forças quaisquer e depois se adiciona essa resultante à terceira força, obtendo-se a resultante das três forças.
  16. 16. 31 Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senosleis dos senos e dos cossenoscossenos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria: Dado um triângulo ABC e seus ângulos internosDado um triângulo ABC e seus ângulos internos αα,, ββ ee γγ,, a lei dos senosa lei dos senos éé definida da seguinte forma:definida da seguinte forma: ““Em todo triângulo, as medidas dos seus lados sãoEm todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostosproporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostos””.. Vetores - Força A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internosA partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos αα,, ββ ee γγ,, a lei dosa lei dos cossenoscossenos éé definida do seguinte modo:definida do seguinte modo: ““Num triângulo, o quadrado da medidaNum triângulo, o quadrado da medida de um ladode um lado éé igualigual àà soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menossoma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno doo dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ânguloângulo oposto ao primeiro ladooposto ao primeiro lado””.. 32 O vetor força resultante de um sistema de várias forças concorrentes pode ser determinado como uma extensão da regra do triângulo, combinando- se os vetores força originais na sequência ponta-a-cauda e, em seguida, unindo-se a cauda do primeiro desenhado à ponta do último desenhado. Vetores - Força A ordem da combinaA ordem da combinaçção dos vetores originais não altera a forão dos vetores originais não altera a forçça resultante (aa resultante (a soma de vetoressoma de vetores éé comutativa).comutativa). Este método é conhecido como regra do polregra do políígono.gono. Observação
  17. 17. 33 1. O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. Exercícios Vetores - Força 34 Resolução Construir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar quais são as incógnitas do problema. Vetores - Força A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o triângulo de vetores. Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o módulo da força resultante FR. O ângulo α é determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o valor calculado para FR. Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:
  18. 18. 35 2. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30 kN, encontre sua componentes nas direções AC e BC. Exercícios Vetores - Força 36 Resolução A partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um triângulo envolvendo as forças atuantes nos cabos CA e CB e a força resultante, de forma a identificar as incógnitas do problema. Vetores - Força Resolvendo para FCA tem-se: A partir da aplicação da lei dos senos, pode-se determinar os módulos das forças atuantes em cada um dos cabos CA ou CB: Resolvendo para FCB tem-se:
  19. 19. 37 3. O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a direção da força resultante. Exercícios Vetores - Força 38 Resolução Pela regra do paralelogramo identifica-se as incógnitas FR e o ângulo θ. Vetores - Força Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o módulo da força resultante FR. O triângulo de vetores pode ser construído: O ângulo θ é determinado aplicando- se a lei dos senos, usando-se o valor calculado de FR. A direção de FR medida a partir da horizontal é:
  20. 20. 39 1. Determine a intensidade da força resultante FR = F1 + F2 e indique sua direção medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo. R: 867 N; 108º Atividades Vetores - Força 40 2. Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido horário, em relação ao eixo u positivo. R: 605 N; 85,4º Vetores - Força
  21. 21. 41 3. A chapa está submetida a duas forças FA e FB como mostra a figura. Se θ = 60 º, determine a intensidade da força resultante e sua direção em relação ao eixo horizontal. R: 10,8 kN; 3,16º Vetores - Força 42 4. A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950 N orientada no eixo x positivo, considere θ = 50 º. R: 774N; 346 N Vetores - Força
  22. 22. 43 5. Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750 N. R: 18,6º; 319 N Vetores - Força 44 Vetores - Força 6. A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores como mostrado na figura. Sabendo-se que a força resultante é igual a 10 kN e está orientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das forças FA e FB. Considere θ = 15 º R: 3,66 kN; 7,07 kN
  23. 23. 45 7. Utilizando a trigonometria, determine o módulo e a direção da resultante das duas forças aplicadas no gancho da figura abaixo. R: 414N; 72º Vetores - Força

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