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FUNÇÕES

 

E DEFINIÇÕES

Funções

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Polinomiais

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secante,  cossecante,  cotangente
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Continuidade num ponto
Uma função f é contínua em a se a está no

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Velocidade

Suponhamos que s(t) é a posição no tempo t de
um objeto que se move ao longo de uma reta. 

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Teste da primeira derivada

Suponhamos que c seja um ponto critico de fe
fseja contínua em c.  Se f'(x) mudar de sinal de
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Resumão cálculo i

  1. 1. ww. resumao. c0m. br FUNÇÕES E DEFINIÇÕES Funções Uma função é uma relação f entre dois conjun- tos A e B, não vazios, em que para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em correspon- dência, um único y pertencente ao conjunto B, de modo que (x, y) E a f. O conjunto de valores pos- síveis para x (eixo das abcissas) é chamado de domínio e o conjunto de valores possíveis para y é chamadodc imagem da função. O cálculo de uma variável lida com funções de valor real cujo domínio é Lim conjunto de números reais. Se não estiver especificado o domínio, presume-se que o mesmo incluí todas as entradas para as quais exis- te um número real de saída. Natação Se uma função e' denominada f, então f (x) denota seu valor em x. Se uma função apresenta um valor y, em termos de uma valor x, então x é denominada variável independente ey é a variá- vel dependente. Dada a função y = x' pode-se pensar em y como uma notação simplificada para a expressão que representa a função. A notação de x|4›x*° (“x leva em xl) é outra maneira de referir-se à ñinção. A expressão f(x) para uma função com Lim valor arbitrário x normalmente representa a própria função. Gráficos O gráfico de Lima função f é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), apresentado visualmente por Lim sistema de coordenadas cartesiãnas. O teste da reta vertical determina que uma curva é o gráfico de Lima função se toda reta vertical encontra a curva uma vez no máximo. Uma equação y = f (x) nor- malmente se refere ao conjunto de pontos (x, y) que satisfaz a equação, neste caso o gráfico da função f. Os zeros de uma função são os valores de x para as quais f (x) = 0, e interceptam o eixo x. Par e ímpar A função fé par se f (-x) = f (x), ex. : xi; é ímpar se f (-x) = -f (x), ex. : x'. Números racionais Um número racional é uma razão p/ q dos intei- rosp e q, com q ; t 0. Há uma infinidade de manei- ras de representar um dado número racional, mas há Lll'n único representante de “termos mínimos". O conjunto de todos os números racionais forma um sistema fechado seguindo as operações aritmé- ticas normais. Números reais R denota o conjunto de números reais. Pode-se pensar em números reais como sendo os números representáveis por expansões decimais infinitas. Os números racionais terminam em zero ou apresen- tam um segmento repetitivo de dígitos. Os números reais que não são racionais são chamados de irra- cíonais. Ex. : 11:, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, é irracional; pode ser apro- ximado por números racionais, ex. : 22/7 e 3,1416. Números de máquina Calculadoras ou computadores representam os números reais de maneira aproximada, usando um numero fixo de dígitos, nomialmente entre 8 e 16, Portanto, os cálculos feitos por máquina em geral não são exatos. Tal fato pode causar anomalias no traçado de gráficos. A precisão de Lun resultado nwnenco é o níunero de dígitos corretos, (Contar dígitos após o arredondamento apropriado: 2,512 para 2,4833 tem dois dígitos corretos. ) A exatidão refere-se ao número ¡ de dígitos corretos após a vírgula decimal. lntervalos Se a < b, o intervalo aberto (a, b) é o conjunto de números reais x tal que a < x < b. O intervalo fechado [a, b] é o conjunto dex tal que a <x < b. A notação (- ou, a) denota a “semirreta” que consiste de todos os núme- ros reais x tal que x < a (ou, - ao < x < a). Da mesma fomia, há intervalos da fonna (- oo, al, (a, - oo), e [a, oo). O símbolo ao não deve ser considerado um número, mas apenas um simbolo conveniente nestas e em outras notaçõcs que expressam intervalos dessa natureza. A reta real inteira é um intervalo, R = (- oo , oc ). conceitos ou TEORIAS Aritmética a O múltiplo escalar de uma função f por uma constante c é dado por (cf)(x) = c-f(x). A soma f + g, o produto fg, e o quociente f/ g das funções f e g são definidos por: (f + g) (x) = f(x) + g(-'), (fg) (x) = f (x)s'(x), (f/ g) (x) = f(-V)/1;(x)- Em cada caso, o domínio da nova função e' ã intersecção dos dominios de f e g. com os zeros de g excluídos para o quociente. Composição Se f e g são funções, “f composta com g" é a ñinção f " g dada por (j“ g)(x) = f(g(x)) com domínio (estrita- mente falando) o conjunto de x no domínio de g para o qual gx) está no domínio de f. Ex. : /1 _xl é a raiz quadrada composta com . dal - x', com domínio [-1,l]. Translações O gráfico de x| -›(x - a) é o gráfico de f deslocado por a unidades para a direita; cx. : (a, f (0)) estaria no gráfico. O gráfico de x1-›f(x) + b é o grá- fico de f deslocado b unidades para cima. Translações lnversas A inversa de Lima função f é a função g tal que g (f(x)) = x para todos os x no domínio de f. Uma função f tem Lima inversa se, e somente se, para cada um de seus valores y existe apenas uma entra- da correspondente; ou, f (x) = y tem somente Lima relação um para um; ou, qualquer reta horizontal encontra o gráfico de f no máximo Lima vez. Ex. : x* é um para um; r” não é. Funções estritamente crescentes ou decrescentes são de Lim para um. numas, DEFiIVADAS CARACTER AS DAS FUNÇÕES APROXIMAÇÕES Só pode ter Lima inversa definida no contra- domínio de f, denotadag = f " . Para todo y no contradominio de f, f " (y) é o valor de x que verifica f (x) = y. Se os eixos têm a mesma escala, o gráfico de f" é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x. Funções implícitas Uma relação F(x, y) = c normalmente admite y como uma função de x, de Lim ou mais modos. Ex. : x3 +yz = 4 admite y = /4 - . v3 . Tais funções são consideradas como definidas implicitamente pela relação. Graficamente, a relação dá Lima curva, e um fragmento da curva que satisfaz o teste de reta vertical é o gráfico de uma função implícita. Muitas vezes, não há expressão para Lima função implícita em termos de funções elementares. Ex. : f 2y +yi 2x = 4 admite y = f (x) com f (0) = 2 e f (2) 0, mas não há fórmula para f (x). FUNÇÕES ALeênrucAsELEMEnrAREs constante e identidade Funções constantes têm apenas Lima saída: f(x) = c. A função de identidade é x]-›x, ou f(x) = x. Valor absoluto ou módulo Lvl = lÉZÉÍJE( li Para todo x. #x3 = lvl- Funções lineares Uma função é linear quando for expressa da forma f(x) = mx + b definida em R3, na qual m (coeficiente zingular) e b (coeficiente linear) são números reais e a a# 0. A constante dc proporcio- nalidade, isto é, a razão entre diferença das orde- nadas (y, e yl) e a diferença das abcissas (x, e x3) é denominada inclinação ou coeficiente angu- lar. O coeficiente angular é também a mudança na função por aumento de unidade da variável inde- pendente. A função linear de f(x) m = x + b tem coeficiente angular m e ponto de intersec- ção comy f (0) = b, sendo o gráfico uma reta. O coeficiente angular tem unidades a razão das uni- dades dos eixos. (Ex. : num gráfico de distância vs. tempo, as inclinações são velocidades. ) A função linear com valor yu em x0 e inclinação m e' fa) = y” + IIIÇYS-xa). euadróticas Estas possuem a forma fKv) = Iuri-t bx + c onde (a vi 0). A forma normal éf(x) = a(x-Ir)3 + k. Temos h = - b/ (2a) e k = f (h). O gráfico é uma parábola com vértice (Ink), com cavidade voltada para cima (se a > 0) e seu Venice como ponto minimo ou com eoncavidade voltada para baixo (se a < 0) e seu vértice como ponto máximo. Uma quãdrática possui dois, um ou nenhtun zero dependendo se o discrimi- nante bz - 4m: é, respectivamente, positivo, zero, ou negativo. Os zeros são dados pela fórmula _ _ -bi Jb2-4ac ” _ 2a c graficamente são dispostos de forma simétrica em relação ao vértice.
  2. 2. Polinomiais Estes têm a fonnap(x) = wc' + bx” +. .. + dx + e. Considerando a ; e 0, tem-se grau n, primeiro coeficiente a, e termo constante e = p (0). Um polinômio de grau n tem no máximo n zeros. Se x0 é um zero de p(x), então x -xn é um fator de p(x): p(x) = (x- x. ) 4106) para algum polinômio q(x) de grau n-l. Os gráficos polinomiais tendem para i ao quando | x| é grande. Funções racionais Estas têm a forma f(x) = p (x) q (x) em que p(x) e qúc) são polinômios. O domínio exclui os zeros de q. Os zeros de f são os zeros de p que não são zeros de q. O gráfico de uma função racional pode ter assíntotas verticais e descontinui- dades removiveis, sendo idêntica à de alguns poli- nômios (talvez constante) quando | x| é grande. Raízes n-ésimas Estas têm a forma y = xi: "JE para algum inteiro n>l. Se n é par, o domínio é [0, 90|, ey é o único número não negativo tal que y"= x. Sc n é ímpar, o domínio é R ey é o único número real tal que y" = x. Uma função de raiz n-ésima é sempre incremental, e o gráfico é verti- cal na origem. Algébrica x transcendental Uma função algébrica y = f (x) é aquela que satisfaz uma equação polinomial de duas variáveis F(x, y) = 0. As funções acima são algébricas. Ex. : y = |x| satisfaz : É - y: = 0. Somas, produtos, quo- cientes, potências e raizes de funções algébricas são algébricas. Funções que não são algébricas (ex. : exponenciais, logaritmos e funções trigono- métricas) são denominadas transcendentais. Potências racionais __ _ _ Elas têm a fonna f(x) = x7 E (x"' F E (x7 )”' em que se presume que m e n são inteiros, tal que n > 0, e | m|/ n estando em tennos mínimos. Se m < 0 então x '“ = Mt V”. O domínio de x "V" é o mesmo da função de raiz nesima, excluindo O se m < 0. Parax > 0, con- fonne p diminui em valor absoluto, os gráficos de y = x l' tendem para a reta y = x “ = l; conforme p aumen- ta em valor absoluto, os gráficos de y = x l' distanciam- se da retay= l e tendem paraa retax: l. Potências racionais -aemammemex -l/2 EXPONENC| AIS E LOGARWMOS Exponenciais A função exponencial com base a (a > 0, a : t l) é f (x) = a x O domínio e' R e o contradominio é (0, oo). O ponto de intersecção comy é a” = l. Se a < I a função é decrescente; se a > l a função é crescente. Muda pelo fator a** ao longo dc todo intervalo de comprimento Ax. As exponenciais transformam adição em multiplicação: a” = I a», = fa, anit- = (aqui a” = tf/ w' a** = I/ a' Logaritmos O logaritmo com base a é a inversa da expo- pencial de base a: Iogux = “a potência de a que eva a x". Analogamente, x = a"'1~' v' ou logue* = y. O domínio de log” é (0, m) e o contradomínio e R. Se a > l então log” x é negativo para 0 < X < l, positivo para x > l, e sempre crescente. O logaritmo comum é Iogm. Exemplos: Ioga a= I log¡ 32 = 5, log", (1/10) = -I Os logaritmos transformam multiplicação em adição: log I = 0 loguxy = fognx + loga y log” x"" = mlogux log” (x/ y) = Iognx - Ioga y Ioga (l/ x) = -lognx A terceira identidade vale para todo número real m. Para uma mudança de base, temos Iogbx = Iogax - Iogba = Exponencial e logaritmo natural A função exponencial natural é a exponencial cuja reta tangente no ponto (0,1) em seu gráfico tem inclinação l. Sua base é um número irracional 1 Il e= lim (i + í) : z 2,718. n-ce O logaritmo natural é In E Ioga, a inversa dc x| -›e": ln x = y significa x = e” Há identidades ln e' = x, Elnx = x lne= I, e ln tem as propriedades de um logaritmo. Ex. : ln (l/ x) = -lnx. Os valores especiais são: ln l = 0, In 2 = 0,6931, ln l0 = 2,303. Toda exponencial pode ser escrita a” = ef"'“”. Todo logaritmo pode ser escrito logax = . Funções de exponenciais gerais Estas têm a forma f (x) : P" a* e têm a proprie- dade de que a razão de duas ordenadas depende somente da diferença das abcissas. A razão das sai- das para uma mudança de unidade na entrada e' a base a. O ponto de intersecção com y é f (0) = P" Crescimento exponencial Uma quantidade P (ex. , dinheiro investido) que aumenta por um fator a = e ' > 1 durante cada uni- dade de tempo é descrita por P= P¡¡a'= P0e". Durante um intervalo At o fator é a” Ex. : se P aumenta 4% por semestre, então a à= 1,04, e P = P0(l,04)¡' z P0e“"' (t em anos) O tempo de duplicação D é o intervalo de tempo durante o qual a quantidade dobra: ln2 _ ln2 a”= e'”=2,D= ¡na - r Se o tempo de duplicação é D, então P = P0 2 "D. A composição contínua A taxa percentual anual r x 100% leva ao fator de crescimento anual Il a = “li_mm(1 + e'. Decaimento exponencial Uma quantidade Q (ex. de material radiativo) qrie diminui numa proporção b = e "* < l durante cada unidade de tempo é descrita por Q = Qab' = Que "". Durante um intervalo At a proporção é b^'a'. Ex. : se Q diminuiu 10% cada 12 horas, então b' -” = 0,90, e Q = Qa(0,90 V” = Qae"”””"' (t em horas). A meia-vida H é o intervalo de tempo durante o qual a quantidade diminui pelo fator meio: bll= e-kll= , H: %= InT2 Se a meia-vida é H, então Q = Q, @m Potências irracionais Estas podem ser definidas por fóc) = x l' = e""'^' para (x > 0). Funções hiperbólicas x+ _x O cosseno hiperbólico é cosh x = E78. Tem domínio R, contradomínio [l, m) e é par. No dominio restrito [0, eo), tem inversa arccosh x cosh"x = ln (x + Jxz- 1). O seno hiperbólico é senh x = $. Tem dominio R, contradominio R, e é ímpar. Sempre estritamente crescendo, tem inversa arcsenh x senh"x = In (x + x2 + t). A identidade básica é coshzx - senhix = 1, por exemplo. FUNÇÕES TRIGONOMÊTRICAS a Radianos A medida radiana de um ângulo 6 é a mito entre o comprimento s e o raio r de um arco circular Y correspondente: 6 = 7 27: radianos = 360° Medida radiana _ L < . ° - 180 radianos Em cálculo, é normal supor (e necessário para fórmulas de derivadas padrão) que os argumentos de funções trigonométricas scjam cm radianos. Cosseno, seno, tangente Considere um número real t como medida radiana do ciclo trigonométrico de um ângulo: a distância medida no sentido anti-horário (ao longo da circunferência do circulo unitário) desde o ponto (l, 0) até o ponto terminal (x, y). Então Cosseno c seno (Icy) z _ _ _ _ _ sen t _ l cos t~x, sen t-y, tgt- Cos¡ - _r Cosseno e seno têm domínio R e contradomínio | -1,1]. O domínio da tangente exclui i à 7i: , ig 1! m. e seu contradomínio e' R. O cosseno e' par, o seno e a tangente são ímpares.
  3. 3. secante, cossecante, cotangente 1 1 _ cost sen t ' 1 __ cost ctgt= É_ sent sect= ;csct= Valores especiais Identidades sen¡ t + cos¡ t = I tg” t + I = seczt sen a +b) = sen acos b +cusasen b cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b Outras identidades são obtidas dos exemplos acima. Ex. : sen (t-Tr/ Z) = -cas t c0s(2t) = aos¡ t - sen) t = I-2 sen¡ t t + t b tg(a+b) É Para o último, dividir as identidades das somas por cos a cos b. Amplitudes, períodos e tases Sef(l) : A sen (wt+q›) +kcomA >0, a) > 0, e -1r < q) s it, então a amplitude e' A, o valor médio l A a período 2"' frequência angular é u), e o deslocamento angular (relativo a Asen u) t) é q›. é Ig o período é ZÉ”, a frequência é Funções trigonométricas inversas O arco cosseno é a inversa do cosseno em [0, nl. arccos x = “ângulo em [0, Tt] cujo cosseno é x" Tem domínio [-1, l] e contradomínio [D, 1r]. 3 n' - 2 arccos = í, arccos [T = 3T" , . -7I 7I O arco seno e a inversa do seno em: T. 7 -7z n arcsenx = “ângulo em 2 - f] cujo seno é x”. Tem domínio [-1,1], contradomínio j _ n é ímpar. O arco tangente é a inversa da tangente em -n 7¡ . .. -7I 7I [T 7]: arctg x = angulo em com tangente x. " _n a Tem domínio R, contradomínio ? j , e é ímpar. arctg (-l) = % A notação cos "x para aiccosx não deve ser conñm- dida com l/ cos x; da mesma forma, sen"x e tg"x. limíie Intuitivamente, o limite de f(x) à medida que x se aproxima de a é o número que tende a f(x) quando x se aproxima de a. Precisamente, um número L é o limite, escrito como um f(x) = L ouf(x) | -› L como x -› a X - ll se todo e > 0 admite um õ > 0 tal que | f(x)-L| < s quando 0 < Lx-a| < ô ? resume-se que f(x) esteja definido para todox em algum intervalo aberto contendo a, exceto talvezx = a. Se existe limite, ele é único. A defmição de limite não diz absolutamente nada sobre o valor de f em x = a. Formulação de zooming Se o contradomínio do traçado de gráfico para f é mantido fixo com L no meio, e o dominio do tra- çado de gráfico é estreitado por meio de intervalos centrados em x = a, o gráfico de f fica totalmente dentro do contradomínio do traçado de gráfico fixo, exceto talvez em x = a. (Compare com Formulação de zooming no item Continuidade, adiante. ) Limites laterais O limite à esquerda é igual a L, escrito ÍIi_mDf(x) = L ouf(a') = L se todo s> 0 admite um õ > 0 tal que | f(x) -L| < e quando a - õ <x < a. O limite à direita é definido de maneira seme- lhante, sendo a última condição a <x < a + õ. Ex. : Existe um limite se e somente se os limites à esquerda e à direita existem e são iguais. Limites infinitos Escreve-se lim f(x) = eo se todo Y > 0 admite A' < 11 um õ > 0 tal que f(x) > Y quando 0 < lx-a| < õ. Da mesma forma, existem limites de um único lado para oc, e limites para -o<›. _ . l _ Ex. . xlinàlç) - 4°. Limites no ¡ntinito Escreve-se lim f(x) = L se todo e > 0 admite _ç . . oc um X > 0 tal que | f(x)-L| < e quandox > X. Nota: os teoremas seguintes têm correlatos envolvendo limites para 0 infinito. Além disso, “para x próximo de a” significará “para todo x em algum intervalo aberto contendo a, exceto talvez se x = u. ” Aritmética O limite de uma soma é a soma dos limites indivi- duais, desde que cada limite individual exista. O mesmo se dá para o limite de uma diferença ou produto. O limi- te de Lim quociente é o quociente dos limites individuais, desde que cada limite individual exista e o limite do denominador não seja nLúo. Se c é Lima escalar, então 33m, cf(x) = c ; gnu/ az Composições Se film" g(x) = I e gbc) ; t l para x tendendo a a (ou se F é continuo em l), então Jim F(g(x)) = lim] F0) . - a y A desde que exista o limite à direita. Ex. : lim (x2+l)"= lim y"=2" . r - l y a 2 . m sin 5x = um 510)' = 1 y-«O y Desigualdades Se f(x) S Mpara x próximo de n, então _lim f(x) S M se o limite existe. * " " O mesmo se dá se f(x) 2 m. Teorema do sanduíche Se g(x) S (x) S h(x) para x próximo de a, e _jipe g(x) = ;gnu h(x) = L, entãoxlirn” f(x) = L. Caso especial: se | j(x)| s h(x) parax próximo de a, então lim h(x) = 0 implica f(x) = 0 x--a Ex. , Jlirnox sen<%) = 0 (para h(x) = M). A Regra de L'Hôpital (para derivadas). Se _, "_"', ,f(. v) = 0 = x11", g(x), e se f(x) e g'(x) são definidas e g“(x) á O para x próximo de a, então . f(x)_ . f(x) . irhjnu g(x) _ . rhlna g'(x) desde que este último limite exista (ou seja infini- to). A regra também se aplica quando os limites de f e g são i c». Polinômios e funções racionais Se c é uma constante, :lima c = c. Se p(x) é um polinômio, rli_ma p(x) = p(a). Sejam p(x) e q(x) polinômios. - . ( ) ( ) Se q(a) ; t 0, entao 3.32% = Sã). Se q(a) = 0 e p(a) ; t 0, os limites de um único lado são : t: eo. Ex. : para inteiro n >0, lim x _. dm- à = w (n par). Se q(a) = 0 e p(a) = 0, primeiro cancele todos os fatores comuns de x - n de p(x) e q(x). Ex. : lim : :IL-vi = lim 4+3_ = _a I* 1' x3-3x+ 2 J** l' (x- | )(x+2) Funções racionais em infinito Para inteiro n > 0, lim x" = oe; .r , . m lim x" = -oo (n impar); .va-ao lim x" = eo (n par); X-n*X lim L =0_ x--tm XII um ax"+bx"“¡+. .. = :aim cxm+dxIu-l+m lim x" _ "' (a, c não zero) Xá_m Potências arbitrórias lim x" = a" (quando a" é definido) . v-»a Pamp>0, lim xi"= o<›e lim x"'=0. . Í - DO X < O0 Limites para derivadas básicas %m = mam* (quando a'"" é definido) e" - l lim = 1 (a definição é e)
  4. 4. Continuidade num ponto Uma função f é contínua em a se a está no domínio de f e 'lirn"f(x) = f(a). Explicitamente, f está definida em algum inter- valo aberto contendo a, e todo e > 0 admite um õ>0tal que lfóc) -f(a)| <squando lx-a[<õ. Formulação de zooming Se o contradomínio do traçado de gráfico para f é mantido fixo com f(a) no meio, e o domínio do traçado de gráfico é estreitado por meio de intervalos centralizados em x = a, o gráfico de f fica totalmente dentro do contra- domínio do traçado de gráfico fixo. Isso deve valer para todo contradomínio de traçado de gráfico dessa natureza. Continuidade _ abaixo de zooming Continuidade lateral Uma função f é contínua em a, pela esquer- da, se a está no domínio lateral de f e xlijnafór) = f(a). Uma função f é contínua em a, pela direita, se a está no domínio lateral de f e gijnufór) = f(a). Continuidade Dizemos que uma função é continua se é continua em cada ponto de seu domíniofé continua em um ponto a de seu domínio quan- do Iran" f(x) = f(1i). Atenção: os livros, às vezes, referem-se a alguns pontos fora do domínio como pontos de descontinuidade. lntuitivamente, uma função é continua num intervalo se não existem "que- bras" em seu gráfico. continuidade uniforme Uma função f é uniformemente contínua em seu dominio D se para todo E > 0 há um õ >0tal quex, yem Delx-y] <õimplicam | f(x) - f(y)| < E. A continuidade uniforme implica continuidade. Uma função contínua num inter- valo fechado [a, b] e' uniformemente contínua. Aritmetica Os múltiplos escalares de uma função contí- nua são contínuos. Somas, diferenças, produ- tos e quocientes de funções continuas são contínuos (em seus domínios). composições Uma composição de funções contínuas é contínua. Funções elementares Polinômios, funções racionais, furacões de raiz, exponenciais e logaritrnos, e funções trigonomé- tricas e tiigonométrícas inversas são contínuas. Teorema do valor intermediário Se f é continua no intervalo fechado [a, b], então f atinge todo valor entre f(a) e f(b): para todo y entre f(a) e f (b) há ao menos umxem [a, b] tal que f(x) = y. O teorema do 'zero determina que se f é continua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então há um x em (a, b) tal que f(x) = 0. Método bissecção Trata-se de um método para encontrar zeros com base no teorema do zero. 1. Com f, a, b como no teorema do zero, o ponto médio x¡ = à (ti-tb) é uma estima- tiva inicial de um zero. . Presurnindo que f(x, ) não é zero, há um novo intervalo [a, xl] ou [xl, b] no qual se tomam sinais opostos nos pontos extre- mos. Contém um zero, e seu ponto médio x¡ é uma nova estimativa de zero. . Repetir passo (2) com o novo intervalo exz. . A estimativa n-ésima x" difere de um zero em não mais de (b-a) / 2". Teorema do valor extremo Se f é contínua no intervalo fechado | a,b| , então f atinge um mínimo e um máximo em [a, b|: existem c e dem [a, b| tal que f(c) S f (x) S f(d) para todo x em | a,b]. As provas disto e o teorema do valor intermediário usam pro- priedades do conjunto de números reais que não são tratadas em um estudo de pré-cálculo. DERIVADAS Derivada A derivada de f em a é o número , _ . f(a+h)-f(a) f (a) '_ lill-l-“O h desde que o limite exista e f seja diferenciável em a. A derivada de f é a função f'. A derivada é também , . ( ) - ( ) f «v = Ju", pelo teorema de limites para composições aplicado a ( )- ( ) x| -› F(x - a), com F(h) = ç Formulação de zooming Se o domínio do traçado de gráfico para f é estreitado por meio de intervalos centrados em x = a enquanto a razão do contradomínio do traça- do de gráfico para o domínio do traçado de grá- fico é mantida fixa, o gráfico de f acaba apare- cendo linear (idêntico à reta tangente em x = a). Se f'(a) ; é 0, o gráfico em zoom aparece linear sem restrição nos contradomínios do traçado. Natação A própria função derivada é designada f ” ou D (f). Se y= f(x), os seguintes elementos geralmen- te representam expressões para a ñinção derivada: y 2 D, y.f'(x), á nx) A segunda é a notação de Leibniz. As nota- ções para a derivada em x = a são f'(a), D(f)(a). â I, : , , % | __. : mx). linearização A linearização, ou aproximação linear, de f em a é a função linear x| *>f(a) +f'(ü)(x-a) Seu gráfico é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)). A derivada, portanto, fomecc um *modelo linear' da função próximo de x = a. Diferenciais A diferencial de f em a é a expressão df(a) = f'(ü)ir- Aplicado a um incremento Ax, torna-se f”(a) Ax. Se y = f(x), escreve-se dy = f(x)d. x. Quocientes de diferença O quociente de diferença f ( a + h) _ f ( a) h aproxima f'(a) se h é pequeno. É a inclinação da reta secante através dos pontos (a, f (11)) e (a + h, f(a+lz)). A sua média e o "quociente de recuo”, !(11) 'fta - h) h é o quociente simétrico f(a +h) -f(a -h) 2h geralmente uma aproximação mclhor de f”(a). INTERPRETAÇÕES Taxa de variação A derivada f(a) é a taxa de variação instantâ- nea de f com respeito ax em x = a. Diz com que rapidez f está aumentando ou diminuindo à medi- da que x aumenta ao longo dos valores na vizi- nhança de x = a. A taxa de variação média de f ao longo de um intervalo [a, x] é f (x) -f(a) _ x ”' ü Conforme x aproxima-se de a, essas taxas médias aproximam-se de f'(a). As unidades da derivada são as unidades de f(x) divididas pelas unidades de x. Reta tangente A derivada f '(11) é a inclinação da reta tan- gente em , relação ao gráfico de f no ponto (ti, f(a)). E um limite de inclinações de retas secantes passando através daquele ponto. Aproximação linear E possível aproximar valores de f na vizinhan- ça de ti de acordo com fa) = f(a) + f '(a)(x - a) EX. : já que, :l E). _L _LAP (- 2) = 7. 875 2: 64 1 *“- “nz/ a A aproximação é melhor quanto mais perto x estiver de a e quanto mais plano o gráfico estiver na vizinhança de a. Variações diferenciais A derivada é o fator pelo qual as pequenas variações são representadas em escala para tor- nar-se variações aproximadas. A variação dife- rencial em a sobre um incremento de entrada Ax aproxima a mudança de saída: f '(a)Ax = f(a+Ax) -f(a) A variação diferencial é a variação exata na aproximação linear. Variações diferenciais «uma ~- 7/
  5. 5. Velocidade Suponhamos que s(t) é a posição no tempo t de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sua velocidade média durante um intervalo de tempo t” a t¡ é S(! ,)-. r(t0) t¡-t0 Sua velocidade instantânea no tempo r é v(t) = s'(t). Sua velocidade é | v(1)]. A acele- ração é v°(t). interpretando o valor de uma derivada. Suponhamos que T é a temperatura (em °C) em função da localização x (em cm) ao longo de uma reta. O significado de, digamos, T'(8) = 0,31 (°C/ cm) é que, na localização x = 8, pequenas mudanças na direção x positiva levam a pequenos aumentos da temperatura numa razão de aproximadamente 0,3l°C por cm. Pequenas mudanças na direção negativa levam a diminuições semelhantes de T. Aproximações lineares em 0 As igualdades a seguir são aproximações lineares comumente usadas e válidas na vizi- nhança dex = 0. sen X z X tg x = = x e 'f = l+x ln (l+x) = x (l+x "z z l+x/2 1/(l+x) z 1-x O erro em cada aproximação é de não mais de M| ,vc|3/2, em que M é todo limite em | f"(y)| para [y| S M, sendo f a função relevante. Ex. : | sen x -x| S ,005 para | x| S 0,1. Método de Newton Para encontrar uma raiz aproximada de f(x) = 0, selecione um ponto x0 conveniente e avalie x, ... = x. , -f(x, ,) / f '(X, ) sucessivamente para n = 0, 1,. .., até que os valores deixem de mudar na precisão desejada. O valor do lado direito do item acima onde a reta tangente em Cv", f(. '")) encontra o eixo x. Método de Newton - exemplo Taxas relacionadas Suponhamos que duas variáveis, cada uma delas uma função do tempo, são relacionadas por uma equação. Derive os dois lados da equação em relação ao tempo para obter uma expressão que envolva as derivadas de tempo - ou taxas - e as variáveis originais. Com dados suficientes para as variáveis e uma das taxas, a relação das derivadas pode ser resolvi- da para a outra taxa. Notas gerais: considere, abaixo, que f e g são deriváveis. Em cada regra apresentada, a seguir, considera-se que a função a ser derivada é derivável em todo o seu domínio. Para cada uma, há também uma notação fun- cional, ex. : (cf' = cf), e uma notação de Liebniz, ex. : l¡ _ = . ui d: (Lu) L (lx Soma [f(x) + gm¡ = f'(x) + gw Múltiplo escalar tam¡ = em) Produto di; |f(x) gm¡ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x) Quociente , _¡ f(x) = f'(x)g(x) -f(x)g'(x) 4" g(x) g(x)2 A Regra de Cadeia (para composições). &Wo g)(x)l f(g(x)) = f'(g(sr)) 37x) Segundo essa regra, uma pequena varia- ção na entrada para uma composição é representada em escala por g'(x), depois por f'(g(x)). Na notação de Liebniz, se z = f(y) e y = g(x), e portanto vemos z como função de x, então ; ix Lia rly dx ' (ly Em notação D D(fog) = [D(f)og] D(g). â sendo avaliado em y = g(x). Funções inversas Se f é a inversa de uma função g (e g' é con- tínua e não zero), então f” É' Para obter uma fórmula especifica direta- mente, comece com y = f(x); reescreva como gar) = x; derive em relação a x para obter l g'(y)y'= 1; escrevay'= m; e coloque g'(v) em função de x, usando as relações J'= f(x)egú') = x~ Ex. :y = ln x; e*'= x; e*'y'= l; y'= lley= 1/x. Funções implícitas A derivada de uma função definida implici- tamente por uma relação F (x, y) = c pode ser encontrada derivando-se em relação a x e tra- tando y como uma função de x sempre que aparecer na relação; e então resolvendo para y' em relação ax e y. O resultado é o mesmo obti- do da expressão formal . r XFhqy), ÉFLnyJ r y= - em que y é tratado como uma constante no numerador, x como uma constante no denominador. constantes Para qualquer constante C, C = 0. A regra da cadeia dá Axl? 1 e f(x) f(x Raiz quadrado _ _ l - , J; Potências Para todo valor real de n, â# = nx”, válido onde x” é definido. A regra da cadeia dá grow = nlf(x)l”"f'(x)l› Exponenciais Uma função exponencial tem derivada pro- porcional a si mesma, sendo o fator de propor- cionalidade o logaritmo natural da base: dx: : E” “- %a“= (lna)a” A regra da cadeia da e” = e Í” f '(x). Logaritmos l l : l l 571" | x| = T 9 Tx "Jguixi = ( ln mx As mesmas regras valem sem valor absolu- to, mas o domínio é restringido a (0, vo). A regra da cadeia dá . N. ) %In vom: N; . Funções hiperbólicas senh'x = cosh x cosh'x = senh x arcsenh' = l l +2.' _J_ Funções trigonométricas sen'x = cos x cos' x = -sen x tg' x = sec' x cot' x = -cscz x sec' x = sec x tgx csc'x = -csc x cot x arccosh 'x l arcsenbc = e = -arccos”x _ A. . arctg'x = -arccoPx Vizinhança Compreende um ponto próximo do meio de um intervalo aberto, contendo esse ponto. Ex. : (n - e, a + a) é vizinhança do ponto a. ISIS! a-E a a+8 Continuidade Se uma função é diferenciável num ponto, então é contínuo nesse ponto. Pontos críticos Um ponto c e um ponto crítico de f se f é defmido próximo de L' e ou f(a) = 0 ou f(a) não existem. Extremos locais Um ponto de minimo local fé um ponto L' com f(x) 2f(c) para x próximo de c. Um ponto de máximo local f é um ponto c com f (x) S f (c) para x próximo de c. Se c é um ponto de extremo local, então é um ponto critico. (Isso decorre das definições. ) Extremos relativos são o mesmo que extremos locais. w 'Á , a i 2 i . .=›: .. ... ... ._. ..». . 'mvundu ; ztzx-. aaaaw-mzam egxmmavmamwamaa- x. .w amuap. .e u; .. e/xuxa
  6. 6. Teste da primeira derivada Suponhamos que c seja um ponto critico de fe fseja contínua em c. Se f'(x) mudar de sinal de negativo para positivo à medida que x aumenta por meio de c, então e é um ponto de mínimo local. Se f *(x) mudar de sinal de positivo para negativo à medida que x aumenta por meio de c, então e é um ponto de máximo local. Se f(x) mantém o mesmo sinal, então c não é l. ll'l'l ponto extremo. Teste da segunda derivada Suponhamos que f é diferenciável próximo de um ponto critico c. Se f "(0) > 0, então c é um ponto de mínimo local. Se f ”(e) < 0, então e é um ponta de rrráxímo local. Pontos de inflexõo Se o gráfico de f tem uma reta tangente (possivel- mente vertical) em c e f ”(x) muda de sinal confor- me x aumenta por meio de c, então c, ou o ponto do gráfico (c, f(a)), é denominado ponto de inflexão. Ex. : x” tem uma tangente vertical e ponto de intlexão em (0,0). Um ponto de inflexão para f é um extremo para f'; a reta tangente é localmente mais inclinada nesse ponto. Os únicos pontos de inflexão possiveis estão onde f(x) = 0 ou f "(x) não existe. Ponto de inflexão Teorema do valor médio (TVM) Se f é contínua em [a, b] e diferenciável no inter- valo aberto (rnb), então há um ponto c em (a, b) com , (b) - ( ) f w = Graficamentc, alguma reta tangente entre a e b é paralela à reta secante através de (a, f(a)) e (b, f(b)). O caso com f(a) = f(b) = O, donde f(a) = 0, é o Teorema de Rolle. A prova do TVM reside no Teorema do Valor Extremo. ~ Teorema do valor médio crescimento e decrescimento Se f ' = 0 num intervalo, então f é constante naquele intervalo. Se f ' > 0 num intervalo, então f é crescente naquele intervalo. Se f ' < 0 num intervalo, então fé decrescente naquele intervalo. (Pelo TVM. ) Concavidade Diz-se que um gráfico é eôncavo para cima [baixo] num ponto c se o gráfico fica acima [abai- xo] da reta tangente próxima de c, exceto em e. Se f " > 0 num intervalo, então o gráfico de f é côn- eavo para cima no intervalo (para cima - positivo); também f ' é crescente, e as retas tangentes estão virando para cima conforme aumenta x. Se f ” < 0 num intervalo, então o gráfico de f é eôncavo para Resumão baixo no intervalo (para baixo - negativo); tam- bém f ' é decrescente, e as retas tangentes estão virando para baixo conforme aumenta x. Extremos num intervalo fechado Os valores absolutos de máximos e minimos de uma função continua num intervalo fechado [(1,11] (com garantia de serem atingidos pelo Teorema dos Valores Extremos) só podem ocorrer em pon- tos críticos ou pontos extremos. Otimrzaçao com restrição Este é um esquema para a abordagem de proble- mas de otimização envolvendo duas variáveis relacionadas entre si. l. Visualize o problema e nomeie as variáveis, 2. Escreva a função objetiva - aquela a ser oti- mizada em iíinção de duas variáveis. 3. Escreva uma equação de restrição relacionan- do as variáveis. 4. Utilize a restrição para reescrever a função objetiva em termos de uma variável. 5. Analise a nova função de uma variável para encontrar seu(s) ponto(s) ótimo(s), e o valor ótimo. Exemplo Para maximizar a área de um retângulo com perímetro p, colocamos o problema como maximi- zação de A = lw sujeito à restrição 21+ 2w = p. A restrição dá w = p/2 -l, donde A = I(p/2-1). O máxi- mo ocorre em I= p/4, com A = (p/4)1. Um resulta- do verbal esclarece: é um quadrado. Para problemas geométricos, pode haver neces- sidade de fómiulas de volume: cilindro: TI: r-'Iz , cone: Tr rZIr/ S, esfera: 41t r'/3. cúbicos Uma cúbica p(x) 0x1 + bx', + cx + d tem exata- mente um ponto de inflexão: (Ir, k) em que Ir = -b/ (3a) e k = p(lr). Uma forma normal é p(x) = a(x - Ir)3 + m(x-h) + k em que m = bl¡ + c é a inclinação no ponto de intle- xão. Se m e a têm sinais opostos, a reta horizontal por meio do ponto de inflexão encontra o gráfico em dois pontos, cada um deles a uma distância / *'%, do ponto de inflexão, e os extremos locais ocorrem nos pontos l/ Ê z 0, 6 vezes a distância. INTEGRAÇÃO INTERPRETAÇH_ s Área sob uma curva A integral de uma função não negativa em um intervalo dá a area sob o gráfico da função. Valor médio O valor médio de f em um intervalo [a, b] pode ser definido por _h valor médio : b l a _L f(x)dx Muitas vezes é possível fazer uma estimativa aproximada de uma integral estimando-se o valor médio (por inspeção do gráfico, digamos) e multi- plicando-o pelo comprimento do intervalo. Variação acumulada. , A integral de Lima taxa de variação dá a variação total da quantidade original durante o intervalo de tempo. Ex. : se v(t) = s'(r) representa velocidade, então v(t) At é o deslocamento aproximado que ocorre no incremento de tempo t para r + A t. Acres- centando os deslocamentos para todos os incremen- tos de tempo, temos a variação aproximada de posição durante todo o intervalo. No limite de incre- mentos pequenos, obtém-se a integral vt t= s -s u, queeo esocanteittotota. ;ima (b) () 'di I Uma antiderivada de uma função f e a função F cuja derivada é f: F °(x) = f(x) para todo x em seu domínio. Quaisquer das antiderivadas de uma fun- ção num intervalo diferem por uma constante. (lsso vem do TVM. ) Ex. : aretg x e -arctg (l/ x) são ambas antideriva- das de l/ (l +x3) para x > 0. (Diferem por 11:/2.) Uma derivada é também denominada integral indefini- da, embora este último termo normalmente se refira à família inteira das antiderivadas. O teorema fundamental Existem duas partes: l. Avaliação das integrais. Se f é contínua em la, b], e F é qualquer antiderivada de f nesse intervalo, então ffçrytx = F(x) E: z m) - F(a). 2. Construção de antiderivadas. Se f é continua em [a, b], então a função G(x) = pm) dw é uma antiderivada. de f em ((1,12): G '(x) = f(x). (As derivadas de um lado de G concor- dam com f nos pontos extremos. ) Diterenciação de integrais _vv Para diferenciar uma função tal como x| -› _L f (W) d”, a consideramos como uma composição G (f), com G como acima. A regra da cadeia dá cri-I) = Gti-I) - zw = Lyric). se Barros, Fischer & Associados Resumão 3" edição - Maio / 2010 Autor: Gerald Harnet Consultoria: Cristiane Coppe de Oliveira Tradu ão: Monica Koehler Sant'Ana Girolamo Arte: Iaudio Scalzite e Mauricio Cioíri Revisão: Paulo Roberto Pompêo Resumão- Cálculo-t (séne de Ciências Exatas, n '7 11 ) e una pttolieação da Barros, Fischer S. Associados Ltda_ sob licenca editorial de Spring Publish¡ Group, inc, Copyri ht © 2010 Barcharts, inc USA. Copyright © 2010r§esta edição Barros, iseher & Associados Ltda Todos os direitos reservados. A serie de resumos de Ciências Exatas. devido a seu formato condensado, contem os conceitos básicos das matérias de que (rala, sendo excelente ferramenta para estudantes e proiissionais da area. Endereço: Flua Ulgiano, B6 Lapa, São Paulo. EP 05050-020 Telefone/ fax: O (xx)l1 3675-0508 Site' www. resumao. com. br E-mail' eontato@resumao. com. br Impressão: Tarte Indústria Grafica Ltda. Distribuição e vendas: Balisa. tel. : (l 1) 3675-0508 Atençãa ISBN 9734556749904 E expressamente proibida a reprodução total ou parcial do con- teúdo desta publicação sem a prévia autoriza- ção do editor. 9 788588 749900

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