APRESENTAÇÃO
Núcleo de Educação a Distância - NEAD
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Prezado(a) Aluno(a).
Entender a lógica do mercado financei...
Trabalharemos o conteúdo programático com a finalidade de oferecer a você,
conhecimentos básicos elementares sobre as mais...
Objetivos da aprendizagem
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ARITMÉTICA RACIONAL
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v Desenvolver a habilidade de resolver problemas que
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Se o seu salário sofresse hoje um reajuste de R$100,00...
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
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Lembre: Na multiplicação de fração, numerador multip...
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Logo, a razão de 8 para 40 é
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2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma e...
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1º Passo: Multiplicamos os extremos e em seguida os me...
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Exemplo 3:
Qual o valor de x, y e z na proporção múl...
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Após ter recapitulado o estudo referente ao capítulo ...
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Observando os valores apresentados na tabela, verif...
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Não esqueça, não basta que o aumento de uma grandeza ...
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Nesse caso, 720 é o fator ou coeficiente de proporc...
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1.3 DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE
Dirija-...
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4º Passo: Aplicamos então, a propriedade fundamenta...
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– x será proporcional ao inverso de 2
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1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos ap...
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Na modelagem da proporção, a coluna que
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Os problemas que envolvem percentagem podem ser, em g...
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Em outras palavras, para encontrarmos a taxa unitár...
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Verifique que 300 representa em 1200, o mesmo que 25 ...
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p = i . P (i)
— Se desejamos calcular o Principal:
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O corretor ganhou nessa transação R$ 4.500,00.
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2° Passo: Como queremos determinar a taxa, tomamos ...
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Preço de custo = preço de aquisição da mercadoria + d...
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1º Passo: Devemos, inicialmente, escolher a express...
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Até aqui, estudamos alguns problemas que tratam apena...
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2º Passo: Os dados do problema são:
• R$ 35.000,00 ...
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3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escol...
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SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você revê a oport...
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Números diretamente proporcionais: as seqüências de n...
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Divisão Proporcional
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  1. 1. APRESENTAÇÃO Núcleo de Educação a Distância - NEAD APRESENTAÇÃO Prezado(a) Aluno(a). Entender a lógica do mercado financeiro requer um domínio de conceitos e fórmulas que muitos acham confusos e difíceis de entender. Esses conceitos e fórmulas, entretanto, são facilmente definidos, em grande parte, na Matemática Comercial e Financeira, que é o ramo da Matemática que trata dos mecanismos do mercado, constituindo-se assim, uma ferramenta de trabalho não apenas para executivos, mas também para todos os profissionais que atuam ou pretendem atuar no mercado financeiro. A Matemática Comercial e Financeira é também ferramenta básica para várias disciplinas de cursos superiores, nas áreas de Administração, Economia, Ciências Contábeis, Engenharia de Produção, entre outras. Daí sua importância. Como o gestor empresarial, para um bom desempenho profissional, deve ter espírito empreendedor, visão social de empresa, preocupação com a qualidade, visão clara da concorrência e facilidade de comunicação e relacionamento. Procuramos desenvolver este curso do seguinte modo: - As três primeiras unidades tratam da Matemática Comercial. Nessas unidades procuramos desenvolver com você, conceitos básicos introdutórios e uma sólida base do conceito de percentagem, com suas aplicações tanto em regras de sociedade, como em operações de compra e venda sobre mercadorias, além de questões relacionadas a juro simples e desconto simples; - Nas unidades 4, 5, 6 e 7 tratamos da Matemática Financeira dando ênfase para situações reais que envolvam juro composto, desconto composto, capitalização e amortização composta, além de empréstimos e planos de amortização; e - Na última unidade você conhecerá diferentes métodos utilizados para determinar a depreciação de bens móveis e imóveis, além de discutir suas vantagens e desvantagens. Privilegiamos os aspectos práticos, utilizando amplamente ao longo do curso, calculadoras eletrônicas, planilha eletrônica Excel e tabelas financeiras, sem deixarmos de enfatizar os aspectos matemáticos, com oda a sua simbologia e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica.
  2. 2. Trabalharemos o conteúdo programático com a finalidade de oferecer a você, conhecimentos básicos elementares sobre as mais variadas operações financeiras. Em particular, a Matemática Financeira desenvolveu-se, simultaneamente, com o sistema econômico conhecido por Economia de Mercado. Dominá-la, por conseguinte, tornou-se impositivo, quer pelas implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra e venda, quer pelos investimentos de capital. Antônio Estáquio Paes
  3. 3. Objetivos da aprendizagem 3 UNIDADE ARITMÉTICA RACIONAL 1 v Desenvolver a habilidade de resolver problemas que envolvam proporção; v Estabelecer a proporcionalidade direta e inversa entre números e grandezas; v Resolver problemas de regra de sociedade; v Conhecer e usar nas formas centesimal, percentual, unitária e vice-versa; v Resolver problemas que envolvam percentagem; v Utilizar cálculo percentual na obtenção de lucro ou prejuízo sobre as operações de compra e venda de mercadorias; e v Calcular abatimentos e aumentos sucessivos.
  4. 4. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 4 Universidade da Amazônia –UNAMA Se o seu salário sofresse hoje um reajuste de R$100,00. Acharia muito ou pouco? Por que na compra por atacado, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo? Como dividir de forma justa os lucros ou os prejuízos entre pessoas que formam uma sociedade? Como determinar o valor da contribuição paga mensalmente à previdência social? Como calcular os encargos sociais de uma empresa? Questões como essas, que fazem parte da nossa vida diária, são objetos de estudo dessa unidade. Nessas questões, estão envolvidos conceitos de razão, proporção, grandezas proporcionais, regras de sociedade e percentagem. 1.1 RAZÃO E PROPORÇÃO Vamos então, iniciar o estudo dessa unidade. Você terá como guia para realizar seus estudos, o livro texto Matemática Comercial e Financeira Fácil de Antônio Arnot Crespo da Editora Saraiva. Dirija-se agora ao livro texto e estude o Capítulo 1. Agora que você já estudou razão e proporção e suas propriedades, vamos recapitular algumas de suas aplicações: - Quando você calcula a razão entre dois números ou duas grandezas, você na verdade, irá fazer a divisão entre eles, na ordem que aparecem, tendo o cuidado de simplificar o resultado o máximo possível. Por exemplo: Exemplo 1: Qual a razão de 3 2 para 6 5 ? S o l u ç ã o : procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: montamos a divisão entre 3 2 e 6 5 , nessa ordem: 3 2 6 5
  5. 5. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 5 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Lembre: Na multiplicação de fração, numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador. 3º Passo: Simplificamos o resultado: 15 12 3 3 ÷ ÷ 5 4 Na simplificação de fração, dividi-se o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número. Logo, a razão de 3 2 para 6 5 é 5 4 . Exemplo 2: Qual a razão de 8 para 40? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Montamos a divisão entre 8 e 40 nessa ordem: 40 8 2º Passo: Como não há outras operações a realizar... 3º Passo: Simplificamos o resultado: 40 8 8 8 ÷ ÷ = 5 1
  6. 6. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 6 Universidade da Amazônia –UNAMA Logo, a razão de 8 para 40 é 5 1 . Exemplo 3: Qual a razão de 70dm para 14m? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Montamos a divisão entre 70dm e 14m: m dm 14 70 2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso afirmativo, as medidas devem ser expressas na mesma unidade. Em seguida eliminamos as unidades iguais: 14m = 140dm, então m dm 14 70 = dm dm 140 70 = 140 70 3º Passo: Simplificamos (quando possível) 140 70 70 70 ÷ ÷ = 2 1 Logo, a razão de 70dm para 14m é 2 1 . Exemplo 4: Qual a razão de 380km para 4h? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Montamos a divisão entre 380km e 4h: h km 4 380
  7. 7. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 7 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso negativo, mantemos as unidades e procedemos como nos exercícios anteriores. 3º Passo: Simplificamos: h km 4 380 = 95km/h Logo, a razão de 380km para 4h é 95km/h. - Para verificarmos se uma proporção é verdadeira, ou para calcularmos um ou mais termos desconhecidos em uma proporção, fazemos uso das propriedades fundamentais que são apresentados no Capítulo 1 do livro texto. Exemplo 1: A proporção 7 3 = 14 6 é verdadeira? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Multiplicamos separadamente os extremos e os meios da proporção: Produto dos extremos: 3 x 14= 42 Produto dos meios: 7 x 6 = 42 2º Passo: Verificamos se esses produtos são iguais: 3 x 14 = 7 x 6 = 42 3º Passo: Em caso afirmativo, essa proporção é verdadeira: Logo, 7 3 = 14 6 é uma proporção. Observação: Caso os produtos não sejam iguais, a proporção é falsa. Exemplo 2: Qual o valor de x na proporção? Solução: Procedemos da seguinte maneira:
  8. 8. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 8 Universidade da Amazônia –UNAMA 1º Passo: Multiplicamos os extremos e em seguida os meios da proporção, igualando esses produtos. Na multiplicação de frações: numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador. 9 5 está multiplicando a variável X, então passa para o outro lado da igualdade dividindo a fração 9 4 2º Passo: Isolamos o termo desconhecido. 3º Passo: Efetuamos as operações indicadas e simplificamos quando possível. Na divisão de frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Logo, o valor de x é 5 4 .
  9. 9. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 9 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Exemplo 3: Qual o valor de x, y e z na proporção múltipla 12 x = 15 y = 18 z , sabendo que zyx ++ = 630? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: A partir da proporção múltipla 12 x = 15 y = 18 z construímos uma nova razão (2ª propriedade fundamental). Essa nova razão se constrói da seguinte maneira: Antecedentes: x , y , z Conseqüentes: 12,15,18 esconsequentdossoma esantecedentdossoma = 181512 ++ ++ zyx = 45 630 = 14 do problema sabemos que x + y + z =630 2º Passo: A nova razão que encontramos (14), será igual (2ª propriedade fundamental) a cada razão que compõe a proporção múltipla 12 x = 15 y = 18 z , logo 12 x = 14 ⇒ x = 12x14 ⇒ x = 168 15 y = 14 ⇒ y = 15x14 ⇒ y = 210 18 z = 14 ⇒ z = 18x14 ⇒ z = 252 Dessa forma, determinamos os valores de x , y e z . Observação: Para verificar se os valores que você encontrou estão corretos faça o seguinte: - Some os valores encontrados para x , y e z : 168 + 210 + 252 = 630; - O resultado desta adição tem que ser igual ao que foi dado no texto do problema zyx ++ = 630; e - Caso não confira, verifique novamente, todas as operações que você realizou no desenvolvimento do problema.
  10. 10. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 10 Universidade da Amazônia –UNAMA Após ter recapitulado o estudo referente ao capítulo 1 do livro texto, acesse a ferramenta ATIVIDADES e realize a Atividade 1 – Meus Conhecimentos Sobre Razão e Proporção. 1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS Agora que estudamos razão e proporção, retorne ao livro texto e estude grandezas proporcionais, no Capítulo 2. Nesse capítulo, você encontrará as definições; suas propriedades características; a relação entre elas, se direta ou inversa. – Grandezas diretamente proporcionais: A tabela seguinte, relaciona o comprimento do metro de um fio de titânio especial com os seus respectivos preços: Para sua melhor compreensão, acesse a Animação 1 - Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais, na ferramenta MATERIAL DIDÁTICO, e observe o comportamento dos gráficos dos exemplos a seguir. comprimento (m) valor (R$) 2 24,00 3 36,00 4 48,00 5 60,00 12 144,00
  11. 11. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 11 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que o comprimento do fio aumenta e o preço correspondente também. Observamos ainda que: – Se o comprimento do fio duplica, o preço também duplica; – Se o comprimento do fio triplica, o preço também triplica; e – Se o comprimento do fio quadruplica, o preço também quadruplica, e assim sucessivamente. Dessa forma, podemos afirmar que as grandezas, comprimento do fio e preço, aumentam na mesma proporção, logo essas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais. Outra forma de determinar se duas grandezas são diretamente proporcionais, é verificar se a razão entre elas permanece constante, veja: fiodooCompriment fiodoPreço = 12 12 144 5 60 4 48 3 36 2 24 ===== Nesse caso, 12 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade. E as sequências de números (24, 36, 48, 60, 144) e (2, 3, 4, 5, 12) são diretamente proporcionais. Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas proporcionais: 144 132 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 Comprimento do fio de titânio = x Y= preço (R$) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xky k x y .= ⇓ = , onde K é a constante de proporcionalidade
  12. 12. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 12 Universidade da Amazônia –UNAMA Não esqueça, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete o aumento da outra para que elas sejam caracterizadas como grandezas diretamente porporcionais. É preciso que esse aumento ocorra proporcionalmente, isto é, se uma grandeza é multiplicada porum núm eron, a outra grandeza também ficará multiplicada por esse mesmo número n. Em outras palavras, se dividirmos uma grandeza por n, a outra também ficará dividida por n. – Grandezas inversamente proporcionais: A tabela seguinte relaciona os tempos e as respectivas velocidades médias de um veículo para percorrer uma distância de 720km: Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que a velocidade do veículo aumenta e o tempo necessário para percorrer aquela distância diminui. Observamos ainda: – Se a velocidade do veículo duplica, o tempo de percurso se reduz a metade do tempo anterior; – Se a velocidade do veículo triplica, o tempo de percurso é a terça parte do tempo anterior; e – Se a velocidade do veículo quadruplica, o tempo de percurso é a quarta parte do tempo anterior. Desse modo, podemos afirmar que ao aumentar a velocidade, o tempo de percurso diminui na mesma proporção, logo essas grandezas são inversamente proporcionais. Outra forma de determinar se duas grandezas são inversamente proporcionais, é verificar se o produto entre elas permanece constante, veja: Velocidade média X tempo de percurso = 30 x 24 = 60 x 12 = 80 x 9 = 90 x 8 = 120 x 6 = 720. Velocidade (km/h) Tempo (h) 30 24 60 12 80 9 90 8 120 6 180 4
  13. 13. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 13 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Nesse caso, 720 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. E as seqüências de números (30, 60, 80, 90, 120) e (24, 12, 9, 8, 6) são inversamente proporcionais. Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas inversamente proporcionais: Lembre-se, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete a diminuição da outra, para que essas grandezas sejam caracterizadas como inversamente proporcionais. É preciso que o aumento de uma, que leva a diminuição da outra, ocorra proporcionalmente, isto é, se uma grandeza é multiplicada por um número n, a outra grandeza ficará dividida por esse mesmo número n ( )0≠n e vice-versa.
  14. 14. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 14 Universidade da Amazônia –UNAMA 1.3 DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE Dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 3. Nesse capítulo você aprenderá como fazer a divisão proporcional direta, inversa e composta, e, como aplicar estes conceitos na divisão de lucros ou prejuízos entre as pessoas que formam uma sociedade. Vamos recapitular e reforçar esses conceitos. Como você pode ter observado durante os seus estudos do Capítulo 3, a divisão proporcional é uma aplicação da propriedade fundamental das proporções múltiplas, apresentada no Capítulo 1 do livro texto, que você já estudou. Portanto, qualquer dúvida, vá até o Capítulo 1 do livro texto, nas páginas 19 e 20. Relembrando: Exemplo 1: Dividir o número 320 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3, 5. Solução:Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que nós queremos encontrar.. 2º Passo: O número 320 será então dividido nas partes: x que é proporcional ao número 2; y que é proporcional ao número 3; e z que é proporcional ao número 5. 3º Passo: Como x , y , z são partes de 320 e diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, então, a razão entre eles permanece constante: 532 zyx == E a soma deles é 320: zyx ++ = 320
  15. 15. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 15 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 4º Passo: Aplicamos então, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na série de razões 532 zyx == Seus antecedentes são: x , y , z Seus conseqüentes são: 2, 3, 5 32 10 320 532esconsequentdossoma esantecedentdossoma == ++ ++ = zyx Essa propriedade nos garante que, a nova razão encontrada, no caso, 32, será igual a cada uma das razões que compõe a série de razões 532 zyx == . 5º Passo: Igualamos cada razão da série 532 zyx == ao valor encontrado, 32 e determinamos x , y e z : 16032532 5 9632332 3 6432232 2 =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= zx x yx x xx x Exemplo 2: Dividir o número 78 em três partes que sejam inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que desejamos encontrar.. 2º Passo: O número 78 será dividido nas partes: x que é inversamente proporcional ao número 2; y que é inversamente proporcional ao número 3; e z que é inversamente proporcional ao número 4. Lembramos aqui, que isso siginifica dividir o número 78 proporcionalmente aos inversos dos números 2, 3 e 4, ou seja:
  16. 16. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 16 Universidade da Amazônia –UNAMA – x será proporcional ao inverso de 2 2 1 → – y será proporcional ao inverso de 3 3 1 → – z será proporcional ao inverso de 4 4 1 → 3º Passo: Como x, y e z são partes de 78, sua soma será zyx ++ = 78; e como x , y e z são diretamente proporcionais a 4 1 3 1 , 2 1 e a razão entre eles permanece constante: 4 1 3 1 2 1 zyx == 4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na série de razões: 4 1 3 1 2 1 zyx == , seus antecedentes são: x , y e z seus conseqüentes são: 4 1 3 1 , 2 1 e 72 13 12 78 12 13 78 12 346 78 4 1 3 1 2 1esconsequentdossoma esantecedentdossoma =×== ++ = ++ ++ = zyx 5º Passo: Igualamos cada razão da série 4 1 3 1 2 1 zyx == ao número encontrado, neste caso, 72, assim: Lembre-se que: – zyx ++ = 78 – na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica- se pela segunda fração invertendo seus termos.
  17. 17. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 17 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Desse modo, determinamos os valores de x , de y e de z . Exemplo 3: Dividir o número 495 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3 e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 30, 36 e 48, respectivamente: Solução: procedemos da seguinte maneira. 1º Passo: chamamos de x , y e z as três partes que queremos determinar.. 2º Passo: o número 495 será dividido nas partes: - x que é diretamente proporcional a 2 e ao mesmo tempo, inversamente proporcional a 30. Logo x também é proporcional ao inverso de 30, isto é, 30 1 ; - y que é diretamente proporcional ao número 3 e ao mesmo tempo é inversamente proporcional ao número 36. Logo, y também é proporcional ao inverso de 36, 1872 4 1 72 4 1 2472 3 1 72 3 1 3672 2 1 72 2 1 =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= zz z yy y xx x isto é, 36 1 ; - z que é diretamente proporcional ao número 6 e ao mesmo tempo, inversamente proporcional ao número 48. Logo z também é proporcional ao inverso do número 48, isto é, 48 1 . Lembre-se, quando um número x é proporcional aos números a , b e c ao mesmo tempo, esse número x será proporcional ao produto de a , b e c, isto é, x será proporcional a a x b x c.
  18. 18. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 18 Universidade da Amazônia –UNAMA Logo, como: – x é diretamente proporcional a 2 e 30 1 ao mesmo tempo, ele será também proporcional ao produto: 2 × 15 1 30 2 30 1 == (simplificando); - y é diretamente proporcional a 3 e 36 1 ao mesmo tempo, ele será também proporcional ao produto: 3 12 1 36 3 36 1 ==× (simplificando); - z é diretamente proporcional a 6 e 48 1 ao mesmo tempo, ele será também proporcional ao produto: 6 8 1 48 6 48 1 ==× (simplificando). 3º Passo: Como x , y e z são partes de 495, sua soma será: zyx ++ = 495. E como x , y e z são diretamente proporcionais a 8 1 12 1 , 15 1 e , respectivamente, a razão entre eles permanece constante: 8 1 12 1 15 1 zyx == 4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas, na série de razões. 8 1 12 1 15 1 zyx == Seus antecedentes são: x , y e z Seus conseqüentes são: 8 1 12 1 , 15 1 e 1800 33 120 495 120 33 495 120 15108 495 8 1 12 1 15 1esconsequentdossoma esantecedentdossoma =×== ++ = ++ ++ = zyx Observe o que foi feito: - achamos o m.m.c de 15, 12 e 8. O m.m.c (15 ,12, 8) = 120
  19. 19. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 19 Núcleo de Educação a Distância–NEAD - reduzimos as frações 8 1 12 1 , 15 1 e ao menor denominador comum, adicionando seus numeradores. - fizemos então a divisão de frações 120 33 495 Conservando a primeira (495) e multiplicando pelo inverso da segunda 5º Passo:Igualamos agora cada razão da série 8 1 12 1 15 1 zyx == ao número encontrado, neste caso, 1800, assim: 2251800 8 1 1800 8 1 1501800 12 1 1800 12 1 1201800 15 1 1800 15 1 =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= =⇒×=⇒= zz z yy y xx x Desse modo, fica determinado os valores de x , de y e de z . Agora que você revisou o Capítulo 3 do livro texto, coloque em prática o que estudou! Lembre-se que você estudou quatro casos de regra de sociedade. Porém, dois desses casos, não ocorrem na prática, sendo somente estudados do ponto de vista teórico. Não esqueça, que em uma sociedade, os sócios integrantes, não podem permanecer por tempos diferentes. Quando um sócio sai ou um novo sócio é admitido em uma sociedade, procede- se o balanço geral, determinando ativo e passivo, e em seguida realiza-se a reforma do contrato social. Reúnam-se em duplas e, exercitem os seus conhecimentos sobre divisão proporcional resolvendo as questões referentes a Atividade 2 - Aplicando Meus Conhecimentos de Divisão Proporcional, disponível na ferramenta ATIVIDADES.
  20. 20. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 20 Universidade da Amazônia –UNAMA 1.4 REGRA DE TRÊS Sua próxima tarefa será estudar o Capítulo 4 do livro texto. Nesse capítulo você conhecerá uma nova ferramenta para a resolução de problemas que, envolvem grandezas proporcionais: a regra de três. Após você ter estudado o Capítulo 4 do livro texto, vamos juntos, relembrar um pouco de regra de três. Existem dois casos de regra de três: – A regra de três simples; e – A regra de três composta. A regra de três simples por sua vez, pode ser: direta ou inversa. Antes de iniciarmos a resolução de qualquer problema por meio da regra de três, deveremos estar atentos para: 1º - A disposição correta dos valores numéricos envolvidos no problema: - Na horizontal, coloca-se os valores numéricos que correspondem a grandezas diferentes; e - Na vertical, coloca-se os valores numéricos correspondentes a grandezas iguais. 2º - Reconhecer a natureza da dependência entre as grandezas envolvidas: se direta ou inversa; e 3º - A montagem da proporção e sua resolução. Exemplo 1: Um operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias. Quantos metros quadrados de pavimentação asfáltica, o mesmo operário faria em 12 dias? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema. Grandeza 1 ____________ Grandeza 2 Área em m2 Tempo em dias 240 ______________ 16 X ______________ 12
  21. 21. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 21 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 2º Passo: Fazer o reconhecimento da natureza da dependência que existe entre as grandezas: se direta ou inversa. Para isso fazemos a seguinte análise: Se esse operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias, quantos metros quadrados dessa mesma pavimentação, esse operário fará em 12 dias? Mais m2 ou menos m2 ? É claro que em 12 dias esse operário fará uma quantidade menor de metros quadrados de pavimentação asfáltica. Quando as grandezas envolvidas só aumentam ou quando as grandezas envolvidas só diminuem, as grandezas são diretamente proporcionais. 3º Passo: Montagem da proporção e resolução: 240 16 X 12 16x = 240 x 12 x = 16 12240 × x = 180m2 As setas apontando no mesmo sentido, indicamque a proporção é direta. Ou seja, as grandezas indicadas são diretamente proporcionais. Logo, em 12 dias esse operário fará 180m2 de pavimentação asfáltica. Exemplo 2: Uma pequena indústria dispõe de 12 máquinas para executar sua produção. Quando as 12 máquinas estão funcionando, uma certa produção leva 40 dias para ser obtida. Em quanto tempo essa indústria terá a mesma produção se quatro máquinas estão em manutenção? Solução: Procedemos da seguinte maneira:
  22. 22. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 22 Universidade da Amazônia –UNAMA 1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema. Grandeza 1 _____________ Grandeza 2 Máquinas Tempo em dias 12 ___________________ 40 8 ___________________ x Observação: Como 4 máquinas estão em manutenção, apenas 8 máquinas estão funcionando. 2º Passo: Identificar anatureza da dependência que existe entre as grandezas: se direta ou inversa. Para isso, analisaremos o seguinte: Se 12 máquinas levam 40 dias para obter uma produção, 8 máquinas levariam quantos dias para se obter essa mesma produção? Mais dias ou menos dias? Certamente que 8 máquinas, levariam mais dias para se atingir a mesma produção. Observe ainda, que duplicando o número de máquinas o tempo fica reduzido pela metade. Quando se aumenta o valor de uma grandeza, o valor correspondente da outra grandeza diminui, na mesma proporção, essas grandezas são inversamente proporcionais. 3º Passo: Montagem e resolução da proporção: 12 ___________ 40 8 ___________ x 408 12 x = As setas apontando em sentidos opostos, indicam que a proporção entre essas grandezas é inversa, ou seja, que essas grandezas são inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, na sua modelagem, conservamos uma coluna e invertemos a outra.
  23. 23. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 23 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 8 x = 12 x 40 ⇒ =x 8 4012 × ⇒ x = 60 dias. Logo, serão necessários 60 dias para que essa indústria tenha a mesma produção. Exemplo 3: Uma pequena empresa com 32 máquinas de costura, produz 1440 uniformes militares em 12 dias de trabalho. Quantos dias de trabalho serão necessários para produzir 4320 uniformes militares do mesmo tipo, com apenas 24 máquinas trabalhando? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Dispor os valores numéricos que se correspondem de forma correta: Grandeza 1____________Grandeza 2 __________ Grandeza 3 Máquinas Uniformes militares Tempo em dias 32 _______________ 1440 _______________ 12 24 _______________ 4320 _______________ X 2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas: se direta ou inversa. Neste caso, que a regra de três é composta, analisamos em separado, a grandeza que desejamos encontrar, com cada uma das outras grandezas que são conhecidas no problema. É como se dividíssemos a regra de três composta, em várias regras de três simples, como segue:
  24. 24. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 24 Universidade da Amazônia –UNAMA Grandeza 1 Grandeza 3 Grandeza 2 Grandeza 3 Máquina Tempo em dias Uniformes Tempo em dias 32 _______________ 12 1440 _______________ 12 24 _______________ X 4320 _______________ X Se 32 máquinas gastam 12 dias para produzir os uniformes, 24 máquinas gastarão mais dias ou menos dias para realizar a mesma produção? A resposta a essa pergunta é: 24 máquinas gastarão mais dias para fazer a mesma produção. Em outras palavras, se diminuirmos o número de máquinas pela metade, o tempo necessário para se atingir a mesma produção é duplicado. Logo, número de máquinas e tempo são inver samente proporcionais. As setas apontarão em sentidos opostos, para indicar que a proporção é inversa. Se para produzir 1440 uniformes, são necessários 12 dias, para produzir 4320 uniformes serão necessários mais dias ou menos dias? A resposta a essa pergunta é: serão necessários mais do que 12 dias de trabalho para se atingir essa produção. Em outras palavras, quando duplicamos o número de uniformes a ser produzido, o tempo necessário para que essa produção se conclua, também se duplicará. Logo, quantidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Nesse caso, as setas apontarão no mesmo sentido, para indicar que a proporção é direta. 3º Passo: Montagem e resolução da proporção: 32 _________ 1440 _________ 12 24 _________ 4320 _________ X Observação: Para escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que todas as setas, estejam apontando para o mesmo sentido. Neste caso, é mais rápido inverter a seta da primeira coluna. 24 _________ 1440 _________ 12 32 _________ 4320 _________ X Agora que todas as setas apontam no mesmo sentido, podemos escrever a proporção e resolvê-la. Esse é o resultado da análise realizada, quanto a natureza das grandezas envolvidas no problema.
  25. 25. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 25 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Na modelagem da proporção, a coluna que contém a variável x, fica do lado esquerdo da igualdade e os valores numéricos das outras colunas ficam do lado direito da igualdade separados pelo sinal da operação multiplicação. Logo, serão necessários 48 dias de trabalho. Agora, que já revisamos a técnica de resolver problemas entre grandezas proporcionais, chamada de regra de três, iremos realizar a Atividade 3 - Utilizando a Regra de Três na Solução de Problemas, disponível na ferramenta ATIVIDADES. 1.5 PERCENTAGEM Após você ter realizado mais esta atividade, vá até o livro texto e estude o Capítulo 5. Nesse capítulo, você iniciará seus estudos sobre percentagem. Identificará os elementos do cálculo percentual, verá como se transforma taxa percentual em taxa unitária e vice- versa, além de resolver problemas de percentagem por meio de uma pequena fórmula que relaciona os elementos do cálculo percentual. A aplicação de percentagem é muito freqüente no universo econômico-financeiro. Ela aparece sob diversas denominações, tais como: percentagem, corretagem, comissão, abatimento, desconto, multa, parte, quota, prejuízo e lucro.
  26. 26. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 26 Universidade da Amazônia –UNAMA Os problemas que envolvem percentagem podem ser, em geral, resolvidos fazendo uso de conhecimentos sobre frações, razões, proporções e regra de três. Mas, esses caminhos para a resolução de problemas de percentagem não são os únicos possíveis e nem tampouco os mais práticos. Vamos agora, apresentar e discutir uma pequena expressão que facilita a solução de problemas de percentagem. Antes de iniciarmos propriamente a discussão sobre essa expressão, vamos relembrar: O que é taxa percentual e taxa unitária? Toda razão que apresenta o conseqüente igual a 100 é chamada de razão centesimal. Portanto, as razões 100 89 100 75 , 100 40 , 100 15 e são razões centesimais. Quando substituímos o conseqüente 100 pelo símbolo % (que se lê:por cento) esse numeral passa a ser chamado de taxa percentual ou taxa centesimal, ou ainda, como alguns preferem, taxa de percentagem. Portanto, 15%, 40%, 75% e 89% são taxas percentuais, ou seja: = 15%; que se lê: quinze por cento. = 40%; que se lê: quarenta por cento. = 75%; que se lê: setenta e cinco por cento. = 89%; que se lê: oitenta e nove por cento.100 89 100 75 100 40 100 15 Do mesmo modo que a taxa percentual se refere a 100, podemos determinar uma taxa que se refere a unidade. Essa taxa é chamada de taxa unitária, muito prática e por vezes necessária, na resolução de muitas questões. Chamando a taxa unitária de i: a) b)
  27. 27. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 27 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Em outras palavras, para encontrarmos a taxa unitária, basta fazer a divisão da taxa percentual. Exemplo 1: Qual taxa unitária correspondente a 3%? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Fazemos a divisão de 3 por 100 e obtemos a taxa unitária. , logo i = 0,03. Exemplo 2: Qual a taxa unitária correspondente a 2,5%? Solução: procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Dividimos 2,5 por 100, o resultado encontrado representa a taxa unitária. , logo i = 0,025. Exemplo 3: Qual a taxa percentual correspondente a 0,7? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Multiplicamos a taxa unitária por cem e compensamos acrescentando o símbolo %. O resultado encontrado representa a taxa percentual. 0,7 x 100 = 70%, logo i = 70% Quais os elementos do cálculo percentual? Os elementos do cálculo percentual são: a taxa, a percentagem e o principal. Vamos identificar esses elementos, no seguinte exemplo: em um concurso público que teve 1200 candidatos inscritos, deixaram de comparecer no dia do exame 300 candidatos. Qual a razão do número de candidatos que perderam o exame para o número total de inscritos? Escreva essa razão com consequente 100. 1) Número de candidatos inscritos = 1200 2) Número de candidatos que não compareceram = 300 Razão de 2 para 1 : 1200 300 Escrevendo essa razão com conseqüente 100:
  28. 28. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 28 Universidade da Amazônia –UNAMA Verifique que 300 representa em 1200, o mesmo que 25 representa em 100. • 1200 representa o principal; • 300 representa a percentagem; e • 100 25 = 25% = 0,25 representa a taxa unitária i. 1200 300 100 25 Simplificamos a razão 1200 300 por 12 Retomando a proporção: Chamando a percentagem de p Chamando o principal de P Chamando a taxa de i, teremos: Principal mPercentage = taxa unitária ou i P p = que é a formula para o cálculo percentual — Se desejamos calcular a percentagem:
  29. 29. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 29 Núcleo de Educação a Distância–NEAD p = i . P (i) — Se desejamos calcular o Principal: i p P = (ii) — Se desejamos calcular a taxa unitária: P p i = (iii) Vamos agora aplicar essa expressão! Exemplo 1: Um corretor vende um apartamento por R$ 150.000,00. Sabendo que sua comissão sobre a venda é de 3%, quanto o corretor ganhou? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Primeiro identificamos e destacamos os dados que são apresentados no problema. · R$ 150.000,00 representa o principal ⇒ P = 150000. · 3% representa a taxa ⇒ i = 3% ⇒ i = 0,03. · Quanto o corretor ganhou representa uma parcela do principal, logo representa a percentagem ⇒ p = ? 2° Passo: Como queremos determinar a percentagem, tomamos a expressão (I) e fazemos as devidas substituições: p = i . P p = 0,03 . 150000 ⇒ p = 4500
  30. 30. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 30 Universidade da Amazônia –UNAMA O corretor ganhou nessa transação R$ 4.500,00. Exemplo 2: Uma taxa de 20% é aplicada num determinado capital, produzindo um valor de R$ 3.250,00. De quanto era esse capital? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações que são apresentadas no problema: • 20% representa a taxa ⇒ i = 20% ⇒ i = 0,2; • R$ 3.250,00 é parte do capital que corresponde a 20%. Logo representa a percentagem ⇒ p = 3250; e • deseja-se saber o valor do capital, que nesse caso representa o principal⇒P = ? 2° Passo: Como queremos determinar o principal, tomamos a expressão (II) e fazemos as devidas substituições: 16250 2,0 3250 =⇒= = PP i p P Logo, o valor desse capital é R$ 16.250,00. Exemplo 3: Uma televisão foi adquirida por R$ 2.360,00 e em seguida vendida por R$ 2.950,00. Qual a taxa de lucro? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações apresentadas no problema: · R$ 2.360,00 representa o principal ⇒ P = 2360; · o lucro do vendedor, que é dado pela diferença: valor da venda – valor de custo = 2950 – 2360 = 590, representa a percentagem ⇒P=590; e · queremos saber o valor da taxa ⇒ i = ?
  31. 31. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 31 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 2° Passo: Como queremos determinar a taxa, tomamos a expressão (III) e fazemos as devidas substituições: %2525,0 2360 590 =⇒=⇒= = iii P p i Logo, a taxa de lucro foi de 25%. Vamos realizar mais uma atividade? Na ferramenta ATIVIDADES faça a Atividade 4 - Resolvendo Problemas de Percentagem. 1.6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS Estude agora o Capítulo 6 do livro texto; no qual, você terá oportunidade de fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo ou de venda de mercadorias. Verá também que esses problemas, são problemas de percentagem ligados a operações sobre mercadoria. E, ainda, terá oportunidade de conhecer algumas fórmulas básicas que facilitam sobremaneira os cálculos nesses tipos de problemas. Agora que você já estudou o Capítulo 6 do livro texto, vamos recordar alguns conceitos. Quando há lucro: – Preço de venda = preço de custo + lucro; – Preço de custo = preço de venda – lucro; e – Lucro = preço de venda – preço de custo. Quando há prejuízo: – Preço de venda = preço de custo – prejuízo; – Preço de custo = preço de venda + prejuízo; – Prejuízo = preço de custo – preço de venda. O preço de custo de uma mercadoria é assim formado:
  32. 32. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 32 Universidade da Amazônia –UNAMA Preço de custo = preço de aquisição da mercadoria + despesas diretas sobre a compra + despesas diretas sobre a venda + despesas de administração + despesas de funcionamento da empresa. Para simplificar vamos representar as informações acima, por meio das letras: – preço de custo = C – preço de venda = V – valor do lucro = L – valor do prejuízo = P – taxa de lucro ou de prejuízo = i Quando há lucro, esse lucro pode ser: – sobre o preço de custo ( )iV +=⇒ 1 . C – sobre o preço de venda⇒ i C V − = 1 Quando há prejuízo, esse prejuízo pode ser: – sobre o preço de custo ⇒V = (1 – i) . C – sobre o preço de venda ⇒V = i C +1 Vamos agora descobrir em que situações essas expressões matemáticas facilitam a resolução de problemas que envolvem percentagem. Exemplo 1: Um empresário vendeu mercadorias com um lucro de 15% sobre o preço de custo. Sabendo que as mesmas custaram R$ 1.700,00, determine o preço de venda dessas mescadorias. Solução: Procedemos da seguinte maneira:
  33. 33. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 33 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 1º Passo: Devemos, inicialmente, escolher a expressão matemática correta. Isso está claro no texto do problema. O problema fala em lucro sobre o preço de custo, logo a expressão usada será: V = (1+ i) C. 2º Passo: Agora identificamos e destacamos as informações fornecidos no problema: R$ 1.700,00 representa o preço de custo : C = 1700 15% representa a taxa de lucro: i = 15% = 0,15 3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula e calculamos: V = (1+i) . C V = (1+0,15) . 1700 V = 1,15 . 1700 ⇒V = 1955. Logo, o preço de venda dessas mercadorias será de R$ 1.955,00. Exemplo 2: Antônio comprou um relógio por R$ 230,00, e deseja vender esse relógio ganhando 30% sobre o preço de venda. Por quanto Antônio deve vender esse relógio? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática certa para resolver esse problema. Isso está claro no texto. Antônio deseja ter lucro sobre o preço de venda, logo a expressão será: V = i C −1 .
  34. 34. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 34 Universidade da Amazônia –UNAMA 2º Passo: Agora vamos identificar e destacar as informações fornecidas no problema: R$ 230,00 é o preço de custo ⇒C = 230 30% é a taxa de lucro ⇒ i = 30% = 0,3 3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e realizamos os cálculos: - observe que o lucro foi: L = V - C = 328,57 - 230,00 = 98,57. - Verifique que R$ 98,57 corresponde a 30% de R$328,57 que é o preço pelo qual o relógio foi vendido. Logo, Antônio deverá vender o relógio por R$ 328,57. Exemplo 3: Comprei um terreno por R$ 32.500,00. Ao vendê-lo tive um prejuízo de 12% sobre o preço de custo. Por quanto vendi o terreno? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática correta para resolver essa questão, baseado no texto. O problema fala em prejuízo sobre o preço de custo. Logo, a expressão correta será: V = (1 – i) . C 2º Passo: Agora destacamos as seguintes informações: · R$ 32.500,00 é o preço de custo ⇒C = 32500 · 2% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 12% = 0,12 57,328 7,0 230 3,01 230 1 =⇒= − = − = VV V i C V
  35. 35. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 35 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 3º Passo: Fazemos agora as devidas substituições na fórmula escolhida e efetuamos o cálculo: V = (1 – i) . C V = (1 – 0,12) . 32500 V = 0,88 . 32500 ⇒ V = 28600 Logo, vendi o terreno por R$ 28.600,00. Exemplo 4: Calcule o preço de venda de um apartamento que custa R$ 275.000,00 e que foi vendido com um prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Solução: Proceda da seguinte maneira: 1º Passo: Fazer a escolha da expressão matemática correta. Isso é feito baseado no texto do problema. Onde fala em prejuízo sobre a venda, logo, a expressão correta será: V = i C +1 2º Passo: Vamos agora retirar as informações do problema: · R$ 275.000,00 é o preço de custo ⇒ C = 275000 · 15% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 15% = 0,15 3º Passo: Vamos substituir esses valores na fórmula escolhida e fazer os cálculos: Logo, o preço de venda do apartamento foi R$ 239.130,44 .44,239130 15,1 275000 15,01 275000 1 =⇒= + = + = VV V i C V
  36. 36. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 36 Universidade da Amazônia –UNAMA Até aqui, estudamos alguns problemas que tratam apenas da compra e venda de mercadorias e bens imóveis. Vamos agora relembrar mais duas expressões matemáticas que também facilitam a resolução de problemas que tratam de abatimentos ou de aumentos sucessivos. - Quando o problema fala em abatimentos sucessivos, lançamos mão da seguinte fórmula: , em que )1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPL −−−−= L = valor líquido após os abatimentos. P = valor principal sobre o qual incide os descontos. niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas. - Quando o problema sugere aumentos sucessivos, usamos a seguinte expressão: )1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPM ++++= , em que M = valor final após os aumentos sucessivos P = valor principal sobre o qual incidem os aumentos niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas. Exemplo 1: Um atacadista oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 6% e 3%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 35.000,00, qual o valor líquido da mesma? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Trata-se de um problema de abatimentos sucessivos. Logo,
  37. 37. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 37 Núcleo de Educação a Distância–NEAD 2º Passo: Os dados do problema são: • R$ 35.000,00 é o valor da fatura ⇒P = 35000 • 10%, 6% e 3% são as taxas sucessivas: 03,0%3 06,0%6 1,0%10 3 2 1 == == == i i i 3º Passo: Substituímos esses dados na fórmula e encontramos o resultado: 70,28721 97,0.94,0.9,0.35000 )03,01).(06,01).(1,01.(35000 )1).(1).(1.( 321 = = −−−= −−−= L L L iiiPL Logo, o valor líquido da fatura será R$ 28.721,70. Exemplo 2: Uma empresa automobilística produziu certo ano 22.000 unidades de veículos. Nos quatro anos seguintes, sua produção aumentou de 3%, 5%, 7% e 9%, respectivamente. Qual a produção anual após esses aumentos? Solução: procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Trata-se de um problema de aumentos sucessivos. Logo, a expressão usada será: )1).(1).(1).(1.( 4321 iiiiPM ++++= 2º Passo: Destacando os dados do problema: • 22.000 é a quantidade que sofrerá aumentos sucessivos ⇒P = 22000 • 3%, 5%, 7% e 9% são as taxas sucessivas. 09,0%9 07,0%7 05,0%5 03,0%3 4 3 2 1 == == == == i i i i )1).(1).(1.( 321 iiiPL −−−=
  38. 38. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 38 Universidade da Amazônia –UNAMA 3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e encontramos o resultado: 77,27749 09,1.07,1.05,1.03,1.22000 )09,01).(07,01).(05,01).(03,01.(22000 )1).(1).(1).(1.( 4321 = = ++++= ++++= M M M iiiiPM A produção anual após esses aumentos será de 27.749 veículos. Agora, que já revisamos e aplicamos as fórmulas matemáticas que facilitam e agilizam a resolução de problemas sobre operações de mercadorias, retorne ao livro texto, mais precisamente nas páginas 65, 66 e 67 e estude a resolução dos exercícios 1, 2, 3, 4 e 5 feitas pelo autor, e logo após, realize a Atividade 5. Concluindo os estudos dessa unidade, aprofunde os seus conhecim entosrealizando aAtividade 5 - Aprofundando Meus Conhecimentos Sobre Operações com Mercadorias, disponível na ferramenta ATIVIDADES.
  39. 39. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 39 Núcleo de Educação a Distância–NEAD SÍNTESE DA UNIDADE Nesta unidade, você revê a oportunidade de construir os seguintes conhecimentos. Razão: Representação, termos. econsequentb eantecedenta → → ou eantecedent econsequentba α →: Lê-se: a para b ou a está para b. Proporção Representação d c b a =→ ou dcba :::: Lê-se: a está para b, assim como c está para d. Termos → a , b , c e d (1º, 2º. 3º e 4º termos, respectivamente). Antecedentes → a e c Consequentes → b e d Extremos → a e d Meios → b e c Propriedade Fundamental → a . d = b . c Série de Razões iguais → n m d c b a === ... Propriedade Fundamental → n m d c b a ndb mca ==== +++ =++ ... ... ... Grandezas Diretamente Proporcionais São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero. Propriedade característica: se duas grandezas, x e y são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra, isto é, 2 1 2 1 y y x x = .
  40. 40. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 40 Universidade da Amazônia –UNAMA Números diretamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1 , a2 , ..., an ) e (b1 , b2 , ..., bn ) são diretamente proporcionais se, e somente se )tan(... 2 2 1 1 teconsk bn an b a b a ==== . Grandezas Inversamente Proporcionais São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo x k y = , onde k é um número bem constante, diferente de zero. Propriedade característica: se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra, isto é, 1 2 2 1 y y x x = . Números inversamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1 , a2 , ..., an ) e (b1 ,b2 , ..., bn ) são inversamente proporcionais se, e somente se a1 . b2 = a2 . b2 = ... an . bn = k (constante) ou então: k bn an b a b a ==== 1 ... 2 1 2 1 1 1 . Grandezas Proporcionais a Várias Outras Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam. Propriedade: se uma grandeza variável x é ao mesmo tempo diretamente proporcional as grandezas a e b e inversamente proporcional as grandezas c e d, então, cada valor dessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais, multiplicado pelo produto dos inversos dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais, isto é, dc bakx 1 . 1 ...= ou cd ab kx .=
  41. 41. UNIDADE 1 – Aritmática Racional 41 Núcleo de Educação a Distância–NEAD Divisão Proporcional Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados, é decompô- lo em parcelas proporcionais a esses números. A divisão proporcional pode ser: – em partes diretamente proporcionais; – em partes inversamente proporcionais; e – divisão proporcional composta. Regra de Sociedade É uma aplicação da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas que formam uma sociedade. Classicamente, há quatro casos a considerar: 1º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante o mesmo tempo: O lucro ou o prejuízo é dividido em partes iguais entre os sócios; 2º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais de cada sócio; 3º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante tempos diferentes: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo; e 4º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante tempos também diferentes: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos produtos do capital pelo respectivo tempo de cada sócio. Regra de Três Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. A regra de três pode ser: – Simples: Quando envolve apenas duas grandezas; e – Composta: Quando envolve mais de duas grandezas.
  42. 42. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 42 Universidade da Amazônia –UNAMA Percentagem Elementos do cálculo percentual: taxa, percentagem e principal. Taxa (i): É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. Percentagem (p): É o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Principal (P): É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. Fórmula para o cálculo da taxa: P p i = Fórmula para o cálculo da percentagem: Pip .= Fórmula para o cálculo do principal: i p P = Operações sobre Mercadorias Vendas com lucro sobre o preço de custo: CiV ).1( += Vendas com lucro sobre o preço de venda: i C V − = 1 Vendas com prejuízo sobre o preço de custo: CiV ).1( −= Vendas com prejuízo sobre o preço de venda: i C V + = 1 Fórmula do valor líquido para abatimentos sucessivos: L = P . (1 – i1 ) . (1 – i2 ) . (1 – i3 ) ... (1 – in ) Fórmula do valor líquido para aumentos sucessivos: M = P . (1 + i1 ) . (1 + i2 ) . (1 + i3 ) ... (1 + in )

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