1. COMPORTAMIENTO UNA FLINCIÓN
DE
descriptivas:* CRECIMIENTO
Definiciones DEUNAptllctÓN:
)^ ;
t r.,
| .r¡
; -{, , -
.
- --- )-
que:
Diremos
f(x) es creclente en x6si:r E(xo)Vxe€(xo) :::: ] l[:]:i[l]
/ (l)
{:l
Isi x)XoJ f(x)<f(xs)
f(x)esdecreciente€n si: I €(xo) / Vx e €( x0) i
xe Q)
lsl x<xo-) I(x)>r(xo)
Siexistetangentea f(x)efl Xs,latangentetieneenX:Xo elmismocomportamientoquef(x)
'(t) > + f(x) será creciente xo
en
, If 0
A s í .s i f ( x ) e s d e r i v a b l € f l X s y i ^ . '
e
I f'l+)<0-+ f(x) será decreciente x0
en
Si f'(xo):0, h a b r á q u e a n a l i z a r e l s i g n o d' ex ) e n a m b o s l a d o s d e e p a r a d e f i n i r e l
f ( x
crecimiento f(x) €n x6.
de
Los puntos de la gráfica de la función en los que f(x) pasade ser crecientea ser decreciente,
o
recibenel nombrede extremosrelativosde la función. Así:
viceversa,
.r . )r^
.l
.t
(4.
-7_c'
tt
Diremos que (x) tiene un máximo relativo. M en X : x o , s i e n u n E ( x s ) , f ( x ) < f ( x o ) (l)
tantopara lxo
x comopara (Xo.
x
Diremos que f(x) tiene un mínimo relativo, m en K : X o , s i e n u n € ( x o ) , f ( x ) > f ( x o ) Q)
tantopara lXo
x comopara (Xo.
x
Si existetangentea f(x) en un máximo o en un mínimo relativo, dicha tangenteseráhorizontal.
De modo que si €n X e , máximo o mínimo relativo de la función, éstaes derivable, se cumplirá
que F1-'):¡l

2. L
Las condicionesde crecimiento(decrecimiento) la de extremorelativo son disyuntivas,estoes,
y
la función f(x), en un punto, si ocurre,o serácreciente(decreciente) tendráun extremorelativo
t¡
* CURVATURA:
(-))
xr:
Sea f(x) contangenteen
Diremos que f(x) cóncavahacia arriba (cóncava) en x 0 si en un € ( x o ) l a c u r v a y : ( x )
quedapor encimade la tangentet en X: Xo .
Diremos que f(x) cóncavahacia abajo (convexa) en x s si en un €( xo) la curva y: f(x)
quedapor encimade la tangentet en X: Xo .
El que f(x) seacóncavahacia arriba o hacia abajo en x 6 nos indica la tendenciaa la variación
del crecimiento la función:
de
Si f(x) es cóncavahacia arriba en los puntosde un intervalo,tenderáa aumentarel crecimiento
(o a disminuir decrecimiento). '(x) creciente)
el (f (l)
Si f(x) es cóncavahacia abajo en los puntosde un intervalo,tenderáa disminuir el crecimiento
(o a aumentar decrecimiento).f '(") decreciente)
el ( (2)
t-r
'J ,'t'
t:;
Fig.2 Fig.1
Puede que,
demostrarse si existe f"(xe) :
Si f"(xs)>0 -+ f(x) es cóncavahacia arriba €o Xs .
Si f"(xs)<0 -+ f(x) es cóncavahacia abajo €rl Xe .

3. A los puntosde la curva en los que se produce
la transición de función cóncava a función
convexa (o viceversa) se les llama puntosde
inflexión ( I ).
En un punto de inflexión, la tangentea la
curva atraviesa la curva.
Si xe es puntode inflexiónde f(x) y existe f " (xo) = f" (xo¡: g.
* Condicionesde suficienciapara los extremosrelativosy puntosde inflexión:
_ fvn^ si f"1xs)<0
' Si f'(xo):g y f" (xo)+0 + € f l X 6 h a y u nE . R . j . ^,..
Ir* sí f"1x6)>0
. Si f"(xo¡:g y f' (xo) +0 -+ €n X6 hay un P.l. con tangentedependiente
'(xo).
f
'Sienxs, f'(xo):6 y f"(xo)=g - + A n a l i z a r e m o sse g n o d e f ' ( x ) a a m b o s
il
ladosde xe, ) veremos Xe €s un extremorelativo(m* o Mn) o unpunto de inflexión
Si
de tangentehorizontal.

4. EJERCICIOS
Comportamiento una función
de
I
t. Discutir el comportamiento f(x) en las gráficassiguientes:
de
1,'
ii '
t'
' l
r ./
t
t
t
'r ''
ql i , l'L ¡-l -.1
I
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il
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)
"
l---{-*-
i1
l
I
2.- relativos puntos inflexión, los hay,de:
Hallarlos extremos y de si
a)y:x'-5x+6 b)y=xt-3x' d)y:xLx e)y:(x-1)e*.
"¡r:t:! X
3.- Hallar a,b, cyd paraque y: ax3 +bx2 +cx+d t e n g a e x t r e m o e l a t i v o s e nA ( 0 , 0 ) y
rs
B(3,- 4) .
4.- y
Hallarmáximos mínimosde y : +. ¿Cómopuedeestarel máximopor debajodel
X-J
mínimo?.
5 . - y : ax3 + b x2 + c x * d tiene un extremo relativo en O(0, 0) y un punto de inflexión en
l(1,-2) ¿a,b,cyd?
6.- y = (x + a) eb* tiene un extremorelativo en A(0, - 1) ¿a,b? ¿(x) tiene puntosde inflexión?

5. 7.- Estudiarel comportamiento (x)
de por gráficas:
si f'(x) €stá representada las siguientes
a)l
l |'; ts
c)
Si f(0):3 ¿ecuación la tangente
de a
f(x) en x:0?
8.- H a l f a l a e c u a c i ód e l a t a n g e n f e a :
n y 2x'' -6x' +4 ensupuntodenflexión.
i
9.- f(x): a *t + b x2 + c x + d y tiene un punto de inflexiónen 1(-2,6), con tangente é1,
en
p a r a l e la r = 8 x + y +
a 10:0. Además(O¡=-2 ¿u,b,cyd?
f
gráfica de :
1 0 . - Representación
J
a ' -Y : x ' - 4 x b.- y= xt-3 x2+4 c.- y: *^ -2*t d.- y=
._5
')
x-l -*2 2x X-
e.-y: - L- y: g . -v : h.-y:
x+l x'-l *2 -l (x - l)2
. *2 _.2
t.-y:
- -
x-l
.i.- : "-^
v