Conjuntos, operações com 
conjuntos, relações e funções
Conjuntos numéricos 
• A={0, 2, 4, 6, 8, ...} 
• B={0, 2, 4, 6, 8, 10} 
• C={1, 3, 5, 7, 9, ...} 
• D={3, 5} 
• E={2, 3, 5...
Conjuntos importantes 
• Conjunto vazio: 
C = {} ou C =Æ 
• Conjunto unitário: 
B = {78} 
• Conjunto Universo (U) 
– Forma...
Relações entre conjuntos 
= 
= 
{0,1, 2,3, 4} 
{1, 2} 
= =Æ 
1 pertence a A 
{1} está contido em A 
{3} não está contido e...
Conjunto das partes 
• É formado por todos os subconjuntos de um 
conjunto dado. 
– B={1, 2, 3} 
– P(B)={Ø, {1}, {2}, {3},...
Conjunto das partes 
• Relação entre o número de elementos do 
conjunto e o número de elementos do conjunto 
das partes: 
...
Conjunto das partes 
• Logo, dado um conjunto A com n 
elementos, o número de elementos do 
conjunto das partes de A, repr...
Operações com conjuntos
Operações com conjuntos: 
Intersecção 
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o 
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: 
• A Ç B =...
Operações com conjuntos: 
União 
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o 
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: 
• A È B = {x/xÎ...
Operações com conjuntos: 
Diferença 
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o 
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: 
• A - B = {...
Operações com conjuntos: 
Complementar 
• Caso especial: um conjunto está contido no outro: 
• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5...
Operações com conjuntos: 
Produto cartesiano 
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto 
B={0, 2, 5, 6}, temos: 
• ...
Representação no plano 
cartesiano 
A={0, 1 ,2, 3, 4} 
B={0, 2, 5, 6} 
A 
B 
Atenção para: 
•AxB: A no eixo horizontal e B...
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
{ } 
= 
N N 
0,1,2,3... 
{0} {1, 2,3...} 
* = - = 
N
Conjuntos numéricos 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
{ } 
= - - - 
... 3, 2, 1,0,1, 2,3... 
{ } 
Z 
Z Z 
= - = - - - 
{...
Conjunto numéricos 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
, 1 
3 
,1... 
2 
... 2, 3 
{0} ... 2, 3 
þ ý ü 
Q 
Q Q 
î í ì 
,1...
Conjuntos numéricos 
• Representação decimal de números 
racionais: 
– A representação decimal de um número 
a 
racional é...
Conjunto numéricos 
Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir) 
Números decimais que não admitem 
representação fracionári...
Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos Números Reais (R) 
N Z Q I
Intervalos numéricos (reais)
Intervalos numéricos (Reais) 
-3 
(-3, +¥) = ]-3, +¥) ={x Î Â / x > -3} 
-3 
[-3, +¥) = [-3, +¥) ={x Î Â / x ³ -3}
Intervalos numéricos (Reais) 
-3 4 
(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x Î Â / -3 < x < 4} 
4 
-3 
(-3, 4] = ]-3, 4] ={x Î Â / -3...
Relações entre conjuntos
Relações entre conjuntos 
• Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o 
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: 
• R = {(x,y)ÎAxB / x+y...
Relações entre conjuntos 
• Representação gráfica: 
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} 
– R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4} 
01234...
Relações entre conjuntos 
• Representação gráfica: 
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} 
– R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4} 
01234...
Representação no plano 
cartesiano - Relações 
Representação no plano cartesiano - 
Relações 
A={0, 1 ,2, 3, 4} 
B={0, 2, ...
Relações especiais 
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o 
conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: 
• R = {(x,y)ÎAxB / y ...
RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss 
• Representação através de diagrama: 
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11} 
– ...
RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss 
• O que há de especial? 
Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” 
(dom...
Por que essa característica é 
especial? 
A garantia de encontrar um 
correspondente a partir de 
um número dado pode 
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Funções: definição 
• Uma relação F de A em B é uma função se, 
e somente se, todo elemento de A tem um 
único corresponde...
Funções: Notação 
• Exemplo: 
– Dada a função f:N N, definida para todo 
natural n Î N, tal que f(n)=2n+1 
• 2n+1 é uma fo...
Representação no plano cartesiano - 
Funções 
A={0, 1 ,2, 3} 
B={0, 2, 4, 6} 
A 
B 
R= {(x,y)ÎAxB / y=2x} 
A função é uma ...
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  1. 1. Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções
  2. 2. Conjuntos numéricos • A={0, 2, 4, 6, 8, ...} • B={0, 2, 4, 6, 8, 10} • C={1, 3, 5, 7, 9, ...} • D={3, 5} • E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}
  3. 3. Conjuntos importantes • Conjunto vazio: C = {} ou C =Æ • Conjunto unitário: B = {78} • Conjunto Universo (U) – Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.
  4. 4. Relações entre conjuntos = = {0,1, 2,3, 4} {1, 2} = =Æ 1 pertence a A {1} está contido em A {3} não está contido em B B está contido em A A não está contido em B A C {} ou C A B Ì Ë Î 1 {1} {3} B Ì A A B B O conjunto vazio está contido em B A B Ë Æ Ì
  5. 5. Conjunto das partes • É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado. – B={1, 2, 3} – P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
  6. 6. Conjunto das partes • Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes: – Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento – {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos – {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos
  7. 7. Conjunto das partes • Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n
  8. 8. Operações com conjuntos
  9. 9. Operações com conjuntos: Intersecção • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A Ç B = {x/xÎA e x Î B} (Intersecção) • A Ç B = {0, 2} A B 0 2 1 3 4 5 6
  10. 10. Operações com conjuntos: União • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A È B = {x/xÎA ou x Î B} (União) • A È B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6} A B 0 2 1 3 4 5 6
  11. 11. Operações com conjuntos: Diferença • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A - B = {x/xÎA e xÏB} (Diferença) • A - B = {1, 3, 4} A B 0 2 1 3 4 5 6
  12. 12. Operações com conjuntos: Complementar • Caso especial: um conjunto está contido no outro: • A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos: • O complementar de B em relação a A: A B 0 1 2 5 6 CA = B - A ={5,6} B A È B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A Ç B = {0, 1, 2} = A A-B={ } B-A={5, 6}
  13. 13. Operações com conjuntos: Produto cartesiano • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • A x B = {(x,y)/xÎA e yÎB} (Produto cartesiano) • AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)} • Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20 • Par ordenado: (2, 0)¹(0, 2)
  14. 14. Representação no plano cartesiano A={0, 1 ,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} A B Atenção para: •AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical • (0,2) e (2,0) são pontos distintos • Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!
  15. 15. Conjuntos numéricos
  16. 16. Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Naturais (N) { } = N N 0,1,2,3... {0} {1, 2,3...} * = - = N
  17. 17. Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Inteiros (Z) { } = - - - ... 3, 2, 1,0,1, 2,3... { } Z Z Z = - = - - - {0} ... 3, 2, 1,1,2,3... { 1, 2,3... } {... 3, 2, 1,0} * * = = - - - + Z - Z
  18. 18. Conjunto numéricos Conjunto dos Números Racionais (Q) , 1 3 ,1... 2 ... 2, 3 {0} ... 2, 3 þ ý ü Q Q Q î í ì ,1... 2 1 ... 2, 3 î í ì þ ý ü = = - - - þ ý ü î í ì = - = - - - þ ý ü î í ì = - - - * Q + - , 1,0 2 , 1 3 , 1 3 ,1... 2 , 1, 1 2 , 1,0, 1 2 * Q
  19. 19. Conjuntos numéricos • Representação decimal de números racionais: – A representação decimal de um número a racional é obtida pela divisão de a por b. b – Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas: 0,1666... 1 = = 0,5 1 6 2
  20. 20. Conjunto numéricos Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir) Números decimais que não admitem representação fracionária Exemplo: p, a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas p , 2, 3, 5 27,123456...
  21. 21. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Reais (R) N Z Q I
  22. 22. Intervalos numéricos (reais)
  23. 23. Intervalos numéricos (Reais) -3 (-3, +¥) = ]-3, +¥) ={x Î Â / x > -3} -3 [-3, +¥) = [-3, +¥) ={x Î Â / x ³ -3}
  24. 24. Intervalos numéricos (Reais) -3 4 (-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x Î Â / -3 < x < 4} 4 -3 (-3, 4] = ]-3, 4] ={x Î Â / -3 < x £ 4}
  25. 25. Relações entre conjuntos
  26. 26. Relações entre conjuntos • Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: • R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4} – R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)} – N(R)=12
  27. 27. Relações entre conjuntos • Representação gráfica: – A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} – R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4} 01234 0256
  28. 28. Relações entre conjuntos • Representação gráfica: – A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} – R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4} 01234 0256
  29. 29. Representação no plano cartesiano - Relações Representação no plano cartesiano - Relações A={0, 1 ,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} A B R= {(x,y)ÎAxB / x+y>4} Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos.
  30. 30. Relações especiais • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: • R = {(x,y)ÎAxB / y = 2x} – R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)} – N(R)=5
  31. 31. RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss • Representação através de diagrama: – A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11} – R = {(x,y)ÎAxB / y = 2x} 01234 02468 11 O que há de especial nesta relação?
  32. 32. RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss • O que há de especial? Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio) 01234 02468 11 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio
  33. 33. Por que essa característica é especial? A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.
  34. 34. Funções: definição • Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B. • Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.
  35. 35. Funções: Notação • Exemplo: – Dada a função f:N N, definida para todo natural n Î N, tal que f(n)=2n+1 • 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar! • Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1) • Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3) • Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5) • Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)
  36. 36. Representação no plano cartesiano - Funções A={0, 1 ,2, 3} B={0, 2, 4, 6} A B R= {(x,y)ÎAxB / y=2x} A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.

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