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PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
 

PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS

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Problemas resueltosde mecánica por el alumno de la FCFM-BUAP Acevedo González José Filiberto;

Problemas resueltosde mecánica por el alumno de la FCFM-BUAP Acevedo González José Filiberto;
Asesorado por el Dr. Barradas Guevara José Enrique

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    PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS Presentation Transcript

    • CONVERSIONESFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 1 / 352
    • CONVERSIONESFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 2 / 352
    • PROBLEMA 1Cuanto es .3 km en h m min ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 3 / 352
    • PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h .3 = (.3 )( )( )= h h 1km 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
    • PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h m .3 = (.3 )( )( )=5 h h 1km 60min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
    • PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h m .3 = (.3 )( )( )=5 h h 1km 60min minAsi que .3 km son 5 min h m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
    • PROBLEMA 2Cu´nto es 80 km en a h m s ?. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 5 / 352
    • PROBLEMA 2 (Respuesta)Primero convirtamos los km a metros, esto es km km 1000m 80 = 80 ( )= h h 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 6 / 352
    • PROBLEMA 2 (Respuesta)Primero convirtamos los km a metros, esto es km km 1000m m 80 = 80 ( ) = 80000 h h 1km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 6 / 352
    • PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min 80000 = 80000 ( )( )= h h 60min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
    • PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min m 80000 = 80000 ( )( ) = 22.22 h h 60min 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
    • PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min m 80000 = 80000 ( )( ) = 22.22 h h 60min 60s sPor lo tanto, 80 km son 22.22 m . h s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
    • PROBLEMA 3Convertir 50rev a radianes. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 8 / 352
    • PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 50rev = 50rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
    • PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( )= 1rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
    • PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( ) = 314.15rad 1rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
    • PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( ) = 314.15rad 1revPor lo tanto 50 revoluciones son 314.15rad. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
    • PROBLEMA 4Cu´nto es 40 grados en a s rev min ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 10 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s 40 = 40 ( )= s s 1min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 2400 = 2400 min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev 2400 = 2400 ( )= min min 360grados FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev rev 2400 = 2400 ( ) = 6.66 min min 360grados min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev rev 2400 = 2400 ( ) = 6.66 min min 360grados minPor lo tanto, 40 grados son 6.66 min s rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
    • MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 12 / 352
    • PROBLEMA 5Cu´l fue la rapidez media de un objeto que se movi´ en linea recta, si ´ste a o erecorri´ primero 73.1m con una rapidez de 1.22m/s y despu´s recorri´ o e o73.1m con una rapidez de 3.05m/s? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 13 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo d2 = 73.1m; 4 Velocidad en ese segundo tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo d2 = 73.1m; 4 Velocidad en ese segundo tramo v2 = 3.05 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Recordemos que la rapidez media se define como el cambio de posici´n ocon respecto al tiempo, esto es: ∆r desplazamiento v= = (1) ∆t tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 15 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: d1 t1 = = v1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: d1 73.1m t1 = = = 59.91s v1 1.22 m sPor lo tanto tardo 59.91 segundos en recorrer los primeros 73.1m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: t2 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: d2 t2 = = v2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: d2 73.1m t2 = = = 23.96s v2 3.05m/s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento v= = tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento d1 + d2 v= = tiempo t1 + t2 esto es: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
    • PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento d1 + d2 v= = tiempo t1 + t2 esto es: 73.1m + 73.1m 146.20m v= = = 1.74m/s 59.91s + 23.96s 83.87spor lo tanto, la rapidez media de ´ste objeto fue 1.74m/s. e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
    • PROBLEMA 6Un corredor completa una vuelta alrededor de una pista de 300 metros enun tiempo de 30 segundos. Cu´l es su rapidez promedio? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 19 / 352
    • PROBLEMA 6 (Respuesta)Recordemos que la rapidez promedio es la distancia transcurrida d entre eltiempo transcurrido t, entonces:La rapidez promedio es 300m 30slo cual da como resultado m 10 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 20 / 352
    • PROBLEMA 7Cuanto recorrer´ un auto que va a una velocidad de 80 km en media hora, a hsuponiendo que va a velocidad constante? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 21 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo t = 1 h. 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = h 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = 40km h 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
    • PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = 40km h 2Por lo tanto, el auto recorer´ 40km en media hora. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
    • PROBLEMA 8Cuanto recorrer´ un autom´vil que viaja a 90 km en 80min suponiendo que a o hla velocidad es constante? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 24 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Tiempo t = 80min. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( )= 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: d = vt = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = 119.7km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = 119.7km hPor lo tanto el autom´vil recorrer´ 119.7km en 80min o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
    • PROBLEMA 9Que distancia recorrer´ un autob´s que lleva una velocidad constante de a u km80 h en un d´ y medio? ıa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 27 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo t = 1 d´ y medio. ıaComo observamos en las unidades de velocidad, el tiempo esta en horas,mientras el tiempo que nos da el problema esta en unidades de dia, perosabemos que un d´ son 24 horas, entonces medio d´ son 12 horas, por lo ıa ıatanto un d´ y medio son 36 horas. ıa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: d = vt = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = 2880km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
    • PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = 2880km h Por lo tanto, el autob´s recorrer´ 2880km u a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
    • PROBLEMA 10Un autom´vil recorre 30km en 30min. Cual es su velocidad? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 30 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; 2 Tiempo t = 30min. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy com´n que las unidades de velocidad u kmesten en h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces: 1h 30min = 30min( )= 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 32 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy com´n que las unidades de velocidad u kmesten en h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces: 1h 30min = 30min( ) = .5h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 32 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km v= = .5h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km km v= = 60 .5h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
    • PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km km v= = 60 .5h hPor lo tanto su velocidad es de 60 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
    • PROBLEMA 11Un autob´s recorre 9km en 2 horas. Cual es su velocidad? u FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 34 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; 2 Tiempo t = 2h. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km v= = 2h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km km v= = 4.5 2h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
    • PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km km v= = 4.5 2h hPor lo tanto la velocidad del autob´s es de 4.5 km . u h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
    • PROBLEMA 12Una part´ıcula tiene una velocidad de 3 m .Cuanto tiempo tardar´ en s arecorrer 8km ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 37 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 8km = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 1000m 8km = 8km( )= 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 1000m 8km = 8km( ) = 8000m 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d t= = v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = v 3ms FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = 2666.66s v 3ms FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
    • PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = 2666.66s v 3msPor lo tanto la part´ ıcula tardara 2666.66s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
    • PROBLEMA 13Un autob´s va a una velocidad de 90 km . Cuanto tiempo tardar´ en u h arecorrer 160km? Suponiendo que la velocidad es constante. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 40 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d t= = v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = v 90 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = 1.77h v 90 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = 1.77h v 90 km hPor lo tanto, el autob´s tardar´ 1.77h u a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
    • MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTANTEFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 42 / 352
    • PROBLEMA 14Una nave espacial avanza en el espacio libre con una aceleraci´n constante o mde 9.8 s 2Si parte del reposo Cuanto tiempo tardar´ en adquirir una velocidad de la adecima parte de la velocidad de la luz? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 43 / 352
    • PROBLEMA 14 (Respuesta)Como la nave parte del reposo tenemos entonces que su velocidad iniciales cero, es decir, v0 = 0, nos dice tambi´n el problema que la nave espacial edeber´ adquirir la decima parte de la velocidad de la luz, recordemos que ala velocidad de la luz representada por c es 3x108 m , entonces la decima sparte de la velocidad de la luz es 3x107 m , esta cantidad representa la svelocidad final vf adquirida por la nave en ese momento. El ulimo dato mque nos dice la redacci´n del problema es que la aceleraci´n a es de 9.8 s 2 . o o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 44 / 352
    • PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
    • PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 s t= = m = a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
    • PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 t= = s m = 3.06x106 s a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
    • PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 t= = s m = 3.06x106 s a 9.8 s 2 Entonces, el tiempo que tarda la nave espacial en alcanzar la decimaparte de la velocidad de la luz es: 3.06x106 s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
    • PROBLEMA 15Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30 m con un s´ngulo de 30 grados con la horizontal; Cu´l sera su alcance m´ximo?a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 46 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o m ay = g = −9.8 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Para encontrar la distancia m´xima que denotaremos como Xmax anecesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia m´xima o alcance m´ximo desde que es disparado, para ello a apodemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 1 Y = v0y t + ay t 2 2donde Y es la distancia vertical del proyectil FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 48 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 scomo vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, ya que avuelve a caer al piso , asi que haciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos oqueda: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 scomo vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, ya que avuelve a caer al piso , asi que haciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos oqueda: m 1 m 0 = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 sla anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de disparar elproyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 )t = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 sla anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de disparar elproyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 )t = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 3.06s 9.8 s 2Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso, que esprecisamente en el alcance m´ximo del proyectil. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
    • PROBLEMA 15 (Respuesta)Ahora usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x y t, podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = 79.53m sPor lo tanto el alcance m´ximo del proyectil sera de 79.53m. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 51 / 352
    • PROBLEMA 16Con que velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arribapara que llegue a una altura de 15.2m? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 52 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a 2 Velocidad final vf = 0 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Como se lanza verticalmente hacia arriba, la aceleraci´n que va a tener la o mpelota es de a = −9.8 s 2 , notemos que es negativa porque la pelota selanza hacia arriba, pero la fuerza de gravedad jala a la pelota hacia abajodandole una aceleraci´n negativa, es decir, meintras sube la pelota, ´sta va o edesacelerando. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 54 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ v0 = −2ad = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = 17.26 s2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
    • PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = 17.26 s2 sPor lo tanto, la velocidad con que debe lanzarse la pelota es: 17.26 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
    • PROBLEMA 17Un autom´vil se mueve primero 120 km , pero luego desacelera llegando a o huna velocidad de 80 km en cuatro segundos. Cu´l fue su aceleraci´n? h a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 56 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final vf = 80 km h 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final vf = 80 km h 3 Tiempo t = 4s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m v0 = 120 ( )( )( )= h 60min 60s 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km vf = 80 h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h vf = 80 ( ) h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min vf = 80 ( )( ) h 60min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min 1000m vf = 80 ( )( )( )= h 60min 60s 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min 1000m m vf = 80 ( )( )( ) = 22.22 h 60min 60s 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s a= = 4s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s m a= = − 2.7 2 4s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
    • PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s m a= = − 2.7 2 4s sComo vemos la aceleraci´n es negativa porque el autom´vil desacelera. o o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
    • PROBLEMA 18Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 3 s y en 8 segundos despues llega a una velocidad de 16 m m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 60 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 16 m − 3 m s s a= = 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 16 m − 3 m s s m a= = 1.625 2 8s s m Por lo tanto, la aceleraci´n de esta part´ o ıcula es de 1.625 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
    • PROBLEMA 19Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 10 s y en 3 segundos despues tiene una velocidad de 45.5 m . m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 62 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s a= = 3s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s m a= = 11.83 2 3s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s m a= = 11.83 2 3s s m Por lo tanto, la aceleraci´n de la part´ o ıcula es de 11.83 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
    • PROBLEMA 20Un paracaidista, despues de saltar cae 50 metros sin rozamiento; cuando m ıdas, este retarda su ca´ −2 s 2 llegando al suelo con unase abre el paraca´ ıdavelocidad de 3 m . Cuanto tiempo dura el paracaidista en el aire? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 64 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: vfI = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: vfI = 2aI d = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = 31.3 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = 31.3 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 3.19s 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 3.19s 9.8 s 2Entonces el tiempo t1 que tarda en recorrer los primeros 50m es 3.19s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: t2 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II t2 = = aII FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II 3 m − 31.3 m t2 = = s m s = aII −2 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II 3 m − 31.3 m t2 = = s m s = 14.15s aII −2 s 2Entonces el tiempo t2 que tarda en llegar al suelo es 14.15s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
    • PROBLEMA 20 (Respuesta)Entonces el tiempo que dura el paracaidista en el aire es la suma de eltiempo en la regi´n I y el tiempo en la regi´n II, esto es: o o t = t1 + t2 = 14.15s + 3.19s = 17.34sPor lo tanto, el tiempo que dura el paracaidista en el aire es 17.34s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 68 / 352
    • PROBLEMA 21Se deja caer una piedra al agua desde un puente que esta a 44m de lasuperficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1sdespues de soltar la primer piedra. Ambas piedras llegan al mismo tiempo.Cu´l fue la velocidad inicial de la segunda piedra? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 69 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d t= = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d 2(44m) t= = m = a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d 2(44m) t= = m = 2.99s a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 v02 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m v02 = = 1.99s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m m v02 = = 12.36 1.99s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
    • PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m m v02 = = 12.36 1.99s sPor lo tanto, la velocidad inicial con la que se arroja la segunda piedra es12.36 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
    • PROBLEMA 22Cu´l va a ser la velocidad de una part´ a ıcula a los 8s despues de haberacelerado con una aceleraci´n de 18 s 2 , si su velocidad era de 10 m justo o m santes de acelerar? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 72 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = 10 + 144 = s s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m m m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = 10 + 144 = 154 s s s s s Por lo tanto, la velocidad que alcanzar´ la part´ a ıcula a los 8 segundosdespues de acelerar ser´ de 154 m . a s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
    • PROBLEMA 23Una part´ ıcula tiene una velocidad de 18 m . Cuanto tiempo tardar´ en s aalcanzar una velocidad de 25 m despues de experimentar una aceleraci´n s o mde 4.5 s 2 ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 74 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s 3 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 t= = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s t= = m = a 4.5 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s 7ms t= = m = m = a 4.5 s 2 4.5 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s 7ms t= = m = m = 1.55s a 4.5 s 2 4.5 s 2Por lo tanto la part´ ıcula tardar´ 1.55s a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
    • PROBLEMA 24Cuanto tiempo tardar´ en llegar al piso una piedra que se deja caer desde auna altura de 20m?Supongamos que la fuerza de fricci´n en el aire se puede despreciar. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 76 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia d = 20m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia d = 20m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m t= m = 4.9 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m √ t= m = 4.08s 2 = 4.9 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
    • PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m √ t= m = 4.08s 2 = 2.02s 4.9 s 2la piedra tardar´ en llegar al piso 2.02s a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
    • PROBLEMA 25A que distancia se hab´ dejado caer una piedra que tard´ en llegar al ıa osuelo 20s, suponiendo que no hay fuerza de fricci´n provocada por el aire? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 79 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo t = 20s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo t = 20s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = 1960m s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
    • PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = 1960m s 2 sPor lo tanto, la pierdra se dejo caer a una altura de 1960m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
    • PROBLEMA 26Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que viajaba inicialmente a unavelocidad de 20 s y en 8s despues alcanz´ una velocidad de 26 m ? m o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 82 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s a= = 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s m a= = .75 2 8s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s m a= = .75 2 8s s mPor lo tanto, la aceleraci´n de la part´ o ıcula es de .75 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
    • PROBLEMA 27Una pelota para cada rebote tarda 2 segundos. Cu´l es la altura m´xima a aque alcanza?Supongamos que siempre llega a la misma altura. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 84 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final vf = 0 m (en la altura m´xima la velocidad de la s a pelota es cero); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final vf = 0 m (en la altura m´xima la velocidad de la s a pelota es cero); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: v0 = vf − at = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: m m v0 = vf − at = 0 − (−9.8 2 )(1s) s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: m m v0 = vf − at = 0 − (−9.8 2 )(1s) s sentonces: m v0 = 9.8 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 d = v0 t + at 2 = 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 m 1 m d = v0 t + at 2 = (9.8 )(1s) + (−9.8 2 )(1s)2 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
    • PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 m 1 m d = v0 t + at 2 = (9.8 )(1s) + (−9.8 2 )(1s)2 2 s 2 sentonces: d = 4.9mPor lo tanto la altura m´xima que alcanza la pelota es de 4.9 metros. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
    • PROBLEMA 28Una piedra se deja caer a 25m sobre el piso. Cu´l es el tiempo que tarda aen llegar al piso? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 88 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s 3 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s m 3 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (es la aceleraci´n debido a la fuerza de o o gravedad). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s m 3 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (es la aceleraci´n debido a la fuerza de o o gravedad). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) t= m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) √ t= m = 3.06s 2 = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
    • PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) √ t= m = 3.06s 2 = 1.74s 9.8 s 2Por lo tanto, el tiempo que tarda la piedra en llegar al piso es de 1.74s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
    • PROBLEMA 29La posici´n de una part´ o ıcula que se mueve en el eje x es funci´n del otiempo, de acuerdo a la ecuaci´n: o vx0 x= (1 − e −kt ) ken donde vx0 y k son constantes. Como est´ dada su velocidad? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 91 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Recordemos que la velocidad es la derivada de la posici´n con respecto al otiempo, es decir: dx v= dtentonces d( vk (1 − e −kt )) x0 v= dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 92 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 v= = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) = = dt k dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) vx0 −kt d(−kt) = = e = dt k dt k dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) vx0 −kt d(−kt) vx0 −kt = = e = e (−k) dt k dt k dt kpor lo tanto d( vk e −kt ) x0 = −vx0 e −kt (4) dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = 0 − (−vx0 e −kt ) dtpor lo tanto dx = vx0 e −kt dtes decir que la velocidad de esta part´ ıcula est´ dada por: a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
    • PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = 0 − (−vx0 e −kt ) dtpor lo tanto dx = vx0 e −kt dtes decir que la velocidad de esta part´ ıcula est´ dada por: a v = vx0 e −kt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
    • PROBLEMA 30Una persona ve que una maceta pasa frente una ventana de 1.52m dealtura, primero de subida y luego de bajada. Si el tiempo total que ve lamaceta es de 1 segundo, encuentre la altura sobre la ventana que sube lamaceta. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 95 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)El tiempo total que la persona ve la maceta es de 1 segundo, es decir queel tiempo que ve subir la maceta es de .5 segundos y el tiempo que vebajar la maceta es de .5 segundos, esto es , porque el tiempo de subida yde bajada de cualquier objeto cuya unica fuerza que act´a sobre ´l es la ´ u efuerza de gravedad debe ser el mismo, ya que la fuerza de gravedad es unafuerza conservativa. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 96 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1.52m = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a 1 m 1.52m + 9.8 2 (.5s)2 = v0y (.5s) 2 sentonces v0y = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a 1 m 1.52m + 9.8 2 (.5s)2 = v0y (.5s) 2 sentonces 1.52m + 1 9.8 s 2 (.5s)2 2 m m v0y = = 5.49 .5s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: H= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: (5.49 m )2 s H= − m = 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: (5.49 m )2 s H= − m = 1.537m 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura m´xima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la altura asobre la ventana yf . yf = H − h = 1.537m − 1.52m = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 99 / 352
    • PROBLEMA 30 (Respuesta)Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura m´xima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la altura asobre la ventana yf . yf = H − h = 1.537m − 1.52m = .017mEntonces, la altura que sube la maceta sobre la ventana es .017m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 99 / 352
    • PROBLEMA 31Demostrar que el alcance m´ximo vertical de un proyectil es a (v0 sin θ)2 ymax = 2g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 100 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o uvertical, esto es: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o u mvertical, esto es: ay = −9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o u mvertical, esto es: ay = −9.8 s 2 que es la aceleraci´n debido a la fuerza de ogravedad, es negativa porque inicialmente el proyectil va hacia arriba y laaceleraci´n apunta hacia abajo. oEn la altura m´xima observamos que el proyectil deja de elevarse para ainmediatamente despu´s caer; entonces, la velocidad vfy en la altura em´xima es cero. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 vfy = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: 2 2 vfy − v0y ymax = −2g no olvidemos que vfy = 0 asi que la ecuaci´n anterior queda de la osiguiente manera: 2 −v0y ymax = −2gpero v0y = v0 sin θ entonces: ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
    • PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: 2 2 vfy − v0y ymax = −2g no olvidemos que vfy = 0 asi que la ecuaci´n anterior queda de la osiguiente manera: 2 −v0y ymax = −2gpero v0y = v0 sin θ entonces: (v0 sin θ)2 ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) 2g PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
    • PROBLEMA 32Un rifle que tiene una velocidad de salida de 457 m . Dispara una bala a un sblanco pequeo colocado a 45.7m de distancia. Cuanto debe elevarse el riflesobre el blanco, para que la bala d´ en el blanco? e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 103 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Necesitamos encontrar la altura del rifle, llamemosle a esta altura y , paraque cuando la bala salga horizontalmente, de en el blanco; Observemosque al salir de la pistola, la unica fuerza que se ejerce sobre la bala es lafuerza de gravedad, esta fuerza empujar´ a la bala hacia abajo. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 104 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Entonces como datos tenemos que la unica aceleraci´n de la bala es la ´ oaceleraci´n vertical ejercida por la fuerza de gravedad, esta aceleraci´n es o o m−9.8 s 2 , es negativa porque apunta hacia abajo, la veloidad inicial v0x es457 m y la distancia horizontal x que va a recorrer la bala es 45.7m. s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 105 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: x 45.7m t= = = v0x 457 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: x 45.7m t= = = .1s v0x 457 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: 1 m y = − 9.8 2 (.1s)2 = 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
    • PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: 1 m y = − 9.8 2 (.1s)2 = − .049m 2 s Entonces, −.049m es la distancia que baja la bala al momento de salir delrifle, por eso di´ negativa, asi que por lo tanto, es la distancia que se debe oelevar el rifle para darle en el blanco. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
    • PROBLEMA 33Una pelota es pateada desde el suelo y sale disparada a un ´ngulo de 45 agrados. La pelota llega a 106.7m de distancia, si la pelota va hacia unabarda de 7m de altura h situada a 98m de distancia del pateador. Pasar´ aesta sobre la barda? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 108 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = .7071v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Ahora, como vemos , no tenemos la velocidad inicial, pero si sabemos quela distancia m´xima que llega la pelota que denotaremos como x es a106.7m, entonces, usando la ecuaci´n: o d v= ty sustituyendo d = x y v = v0x = .7071v0 podemos encontrar el tiempoque tarda en recorrer toda la distancia x en funcion de la velocidad inicialv0 ; esto es: x t= (7) .7071v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 110 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y t1 = = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y −v0y t1 = = = a −g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y −v0y .7071v0 t1 = = = a −g g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir, pero recordemos que lafuerza de gravedad es una fuerza conservativa, esto hace que el tiempoque un cuerpo tarda en subir, sea el mismo tiempo que tarda en bajar, siesta fuerza es la unica que actua sobre ´l; por lo tanto, el tiempo total que ´ ela pelota tarda en subir y bajar otra vez al piso es de 2t1 , esto es: t = 2t1entonces: .7071v0 t = 2t1 = 2 g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 112 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: m (9.8 s 2 )(106.7m) v0 = = 2(.7071)2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: m (9.8 s 2 )(106.7m) m v0 = 2 = 32.33 2(.7071) s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Ahora, ya que conocemos la velocidad inicial, podemos enconrar el tiempoen que la pelota recorre los 98m que es la distancia en que se encuentra labarda, usando la ecuaci´n (7) tenemos: o x 98m t= = = 4.286s .7071v0 .7071(32.33 m ) s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 114 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: m 1 m y = 32.33 (.7071)(4.286s) − (9.8 2 )(4.286s)2 s 2 spor lo tanto: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: m 1 m y = 32.33 (.7071)(4.286s) − (9.8 2 )(4.286s)2 s 2 spor lo tanto: y = 7.96m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
    • PROBLEMA 33 (Respuesta)La altura y = 7.96m, es la altura de la pelota en la distancia en la queest´ la barda. aPor lo tanto la pelota pasa por arriba de la barda ya que esta mide 7m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 116 / 352
    • PROBLEMA 34Se dispara un proyectil desde el piso a un ´ngulo de 25 con una velocidad a mde 10 s . Cu´l ser´ su altura m´xima? a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 117 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial v0y = (10 m )(sin 25) = 4.22 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial v0y = (10 m )(sin 25) = 4.22 m ; s s m 3 Aceleraci´n vertical ay = g = −9.8 s 2 (negativa porque el proyectil o inicialmente va hacia arriba y la fuerza de gravedad empuja el proyectil hacia abajo). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 (0 ) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o −(4.22 m )2 s y= m = .90m 2(9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
    • PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o −(4.22 m )2 s y= m = .90m 2(9.8 s 2 )Por lo tanto el proyectil tendra una altura m´xima de .90m a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
    • PROBLEMA 35Encontrar el ´ngulo θ de disparo para el cual el alcance horizontal es igual aa la m´xima altura de un proyectil. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 120 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)El problema nos pide que la m´xima altura h sea igual al alcance ahorizontal d de un proyectil.Si tenemos una velocidad inicial v0 , entonces:v0x = v0 cos θ y v0y = v0 sin θ. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 121 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Sabemos que, como no hay aceleraci´n horizontal, la v0x permanece oconstante, entonces: d = v0x t (8) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 122 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Tambien sabemos que la unica fuerza que act´a sobre el proyectil es la ´ ufuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleraci´n que act´a es ´ o uvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleraci´n apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula: o vf2 = v0 + 2ay 2donde en la altura m´xima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y , aa = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior y odespejando h tenemos: h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 123 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Tambien sabemos que la unica fuerza que act´a sobre el proyectil es la ´ ufuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleraci´n que act´a es ´ o uvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleraci´n apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula: o vf2 = v0 + 2ay 2donde en la altura m´xima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y , aa = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior y odespejando h tenemos: 2 v0y h= (9) 2g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 123 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la m´xima aaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuaci´n: o vf = v0 + atpara las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1 , despejando el tiempo tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 124 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la m´xima aaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuaci´n: o vf = v0 + atpara las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1 , despejando el tiempo tenemos: v0y t1 = g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 124 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o v0y d = v0x 2t1 = 2v0x gsustituyendo los valores de v0x , v0y tenemos: d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o v0y d = v0x 2t1 = 2v0x gsustituyendo los valores de v0x , v0y tenemos: v0 sin θ d = 2v0 cos θ (10) g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
    • PROBLEMA 35 (Respuesta)El problema nos dice que el alance m´ximo d debe ser igual a la altura am´xima h entonces igualando (9) y (10) a v0 sin2 θ 2 v0 sin θ = 2v0 cos θ 2g gde aqu´ obtenemos que: ı θ = 75.96 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 126 / 352
    • PROBLEMA 36Representar la velocidad de un proyectil en forma vectorial, si ´ste se emueve a una velocidad v a un ´ngulo θ al Norte del Este. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 127 / 352
    • PROBLEMA 36 (Respuesta)La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario ˆ como un i ˆ como el vector envector en direcci´n al Este y al vector unitario j, odirecci´n al Norte oPor lo tanto para representar al vector v tenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 128 / 352
    • PROBLEMA 36 (Respuesta)La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario ˆ como un i ˆ como el vector envector en direcci´n al Este y al vector unitario j, odirecci´n al Norte oPor lo tanto para representar al vector v tenemos: v = v cos θˆ + v sin θˆ i j FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 128 / 352
    • PROBLEMA 37Cu´l es la velocidad que debe de tener una piedra que es lanzada desde auna torre que mide 50m de altura, para que caiga dentro de un pozo queesta a 20m de la torre, si el ´ngulo con que se lanza la piedra es de 30 con ala vertical. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 129 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Notemos que la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad apunta ohacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (11) 2y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos: h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 130 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Notemos que la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad apunta ohacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (11) 2y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos: 1 h = v0y t + gt 2 (12) 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 130 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)En la ecuaci´n anterior tenemos como variables tando a t como a θ. oPara encontrar t podemos utilizar la ecuaci´n (11); como en las ocoordenadas horizontales la aceleraci´n es cero, tenemos entonces: o v0x = dtentonces: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 131 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)En la ecuaci´n anterior tenemos como variables tando a t como a θ. oPara encontrar t podemos utilizar la ecuaci´n (11); como en las ocoordenadas horizontales la aceleraci´n es cero, tenemos entonces: o v0x = dtentonces: v0x t= d FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 131 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m (9.8 s 2 )(20m)2 v0 = = 2 sin 30(50m − 20m cot 30) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m 3 (9.8 s 2 )(20m)2 3920 m2 s m2 v0 = = = 255.22 2 sin 30(50m − 20m cot 30) 15.35m s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m 3 (9.8 s 2 )(20m)2 3920 m2 s m2 v0 = = = 255.22 2 sin 30(50m − 20m cot 30) 15.35m s2Por lo tanto: m v0 = 15.97 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
    • PROBLEMA 38Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que parte del reposo y 6 segundosdespues tiene una velocidad de 40 km ? Si esta part´ h ıcula sigue moviendosecon esa aceleraci´n, cuanto tiempo tardar´ en tener una velocidad de o a80 km ? h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 133 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 40 = 40 h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 40 = 40 ( ) h h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 40 = 40 ( )( ) h h 60min 60seg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m 40 = 40 ( )( )( )= h h 60min 60seg 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 80 = 80 h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 80 = 80 ( ) h h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 80 = 80 ( )( ) h h 60min 60seg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 1000m 80 = 80 ( )( )( )= h h 60min 60seg 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 1000m m 80 = 80 ( )( )( ) = 22.22 h h 60min 60seg 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: vf − vi a= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: vf − vi 11.11 m − 0 s m a= = = 1.85 2 t 6s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s t= = = a 6s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s 11.11 ms t= = = m = a 6s 1.85 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
    • PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s 11.11 ms t= = = m = 6s a 6s 1.85 s 2 Por lo tanto, 6 segundos despues de haber llegado a 40 km alcanza la hvelocidad de 80 km . h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
    • PROBLEMA 39Cu´l ser´ la velocidad de un proyectl cuyo alcance m´ximo x fue de 50m a ıa asi su ´ngulo de disparo α fue de 60 grados? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 137 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)En la altura m´xima del proyectil, la velocidad final es cero, es decir avfy = 0, tomando en cuenta que la aceleraci´n es −g , ya que, la otrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleraci´n apunta hacia oabajo, entonces, podemos usar la ecuaci´n o Vf = V0 + at (13)pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 139 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)En la altura m´xima del proyectil, la velocidad final es cero, es decir avfy = 0, tomando en cuenta que la aceleraci´n es −g , ya que, la otrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleraci´n apunta hacia oabajo, entonces, podemos usar la ecuaci´n o Vf = V0 + at (13)pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos: −v0y v0y t1 = = −g g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 139 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectil a la alturam´xima, asi que el tiempo t que tarda en subir y bajar es de 2t1 , esto es: a v0y t = 2t1 = 2 g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 140 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: gx v0 = = .86 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: m gx 9.8 s 2 (50m) v0 = = = .86 .86 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: m gx 9.8 s 2 (50m) m2 v0 = = = 565.8 .86 .86 s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
    • PROBLEMA 39 (Rerspuesta)Por lo tanto, v0 = 23.78 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 142 / 352
    • PROBLEMA 40Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30 m con un s´ngulo de 30 con la horizontal; Cu´l ser´ su alcance m´ximo?a a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 143 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s m 3 Aceleraci´n vertical ay = g = −9.8 s 2 (negativa porque el proyectil o inicialmente va hacia arriba y la fuerza de gravedad empuja el proyectil hacia abajo). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Para encontrar la distancia m´xima que denotaremos como Xmax anecesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia m´xima o alcance m´ximo desde que es disparado, para ello a apodemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 1 Y = v0y t + at 2 2donde Y es la distancia vertical del proyectil y v0y es la coordenadahorizontal de la velocidad inicial.Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los datos tenemos: o m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 145 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Como vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, asi que ahaciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos queda: o m 1 m 0 = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 sentonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 146 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 3.06 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a Xmax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
    • PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = 79.53m sPor lo tanto, el alcance m´ximo del proyectil ser´ de 79.53m. a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
    • PROBLEMA 41Un bal´n es pateado y sale disparado con una velocidad horizontal de 10 m o sdesde un edificio de 50m de altura. A que distancia del edificio pegar´ el abal´n con el suelo? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 149 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)La unica componente de la veloidad inicial es horizontal, esto es, ´v0x = v0 = 10 m , lo que indica que la componente vertical inicial es nula, sesto es, v0y = 0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 150 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) t= = m = g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) √ t= = m = 10.20s 2 = g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) √ t= = m = 10.20s 2 = 3.19s g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o m x = (10 )(3.19s) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
    • PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o m x = (10 )(3.19s) = 31.9m sPor lo tanto, caer´ a 31.9m del edificio. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
    • PROBLEMA 42Cu´l ser´ la altura m´xima de una pelota que es lanzada de forma vertical a a acon una velocidad 20 m desde el suelo? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 153 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); 3 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); 3 Velocidad final vfy = 0 m (en la altura m´xima la pelota tiene una s a m velocidad de 0 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y y= = 2ay FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y (0 m )2 − (20 m )2 s s y= = m = 2ay 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
    • PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y (0 m )2 − (20 m )2 s s y= = m = 20.4m 2ay 2(−9.8 s 2 )Por lo tanto, la altura m´xima que alcanzar´ la pelota ser´ de 20.4m. a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
    • MOVIMIENTO CIRCULARFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 156 / 352
    • PROBLEMA 43Encontrar la magnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta en la punta de un aspa revde un ventilador de .30m de diametro, que gira a 1200 min . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 157 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev v = 1200 = min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev v = 1200 = min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev rev 3.1416(.30m) 1min v = 1200 = (1200 )( )( )= min min 1rev 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev rev 3.1416(.30m) 1min m v = 1200 = (1200 )( )( ) = 18.85 min min 1rev 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: (18.85 m )2 s a= = .15m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
    • PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: (18.85 m )2 s m a= = 2368.7 2 .15m s mPor lo tanto,la magnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta es 2368.7 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
    • PROBLEMA 44En el modelo de Bohr del ´tomo de hidr´geno un electr´n gira en torno de a o oun prot´n en una ´rbita circular de radio 5.28x10−11 m con una rapidez o o2.18x106 m ; Cu´l es la aceleraci´n centr´ s a o ıpeta del ´tomo de hidr´geno? a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 160 / 352
    • PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
    • PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: (2.18x106 m )2 s a= = 5.28x10−11 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
    • PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: (2.18x106 m )2 m a= s −11 m = 9x1022 2 5.28x10 s m ıpeta es 9x1022 s 2Por lo tanto, la aceleraci´n centr´ o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
    • PROBLEMA 45La distancia promedio Tierra-Sol es 1.496x1011 m. Cuanto tarda la Tierraen darle la vuelta al Sol si suponemos que su trayecoria es circular?Nota: La masa del Sol es 1.991x1030 kg y la constante de gravitaci´n ouniversal es 6.672x10 −11 Nm2 kg 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 162 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg 3 Constante de Gravitaci´n universal o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg 2 3 Constante de Gravitaci´n universal G = 6.672x10−11 Nm2 o kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011 m) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011 m) = 9.39x1011 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Por otro lado, como la Tierra se mueve en una trayectoria circular, ´sta se eve afectada por una aceleraci´n centr´ o ıpeta ac , que est´ dada por: a v2 ac = rdonde v es la magnitud de la velocidad de la Tierra y r es el radio de sutrayectoria alrededor del Sol. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 165 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: GmS v= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: m 2 GmS (6.672x10/11 N kg 2 )(1.991x1030 kg ) v= = = r 1.496x1011 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: m 2 GmS (6.672x10/11 N kg 2 )(1.991x1030 kg ) m v= = = 29798.73 r 1.496x1011 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Como estamos suponiendo que la trayectoria es circular, entonces lamagnitud de la velocidad es siempre constante, entonces, para encontrar eltiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol podemos usar lasiguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior y sustituyendo v por la ovelocidad que tiene la Tierra y d por el per´ ımetro de la trayectoria de laTierra alrededor del Sol, tenemos: d P t= = = v v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 167 / 352
    • PROBLEMA 45 (Respuesta)Como estamos suponiendo que la trayectoria es circular, entonces lamagnitud de la velocidad es siempre constante, entonces, para encontrar eltiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol podemos usar lasiguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior y sustituyendo v por la ovelocidad que tiene la Tierra y d por el per´ ımetro de la trayectoria de laTierra alrededor del Sol, tenemos: d P 9.39x1011m t= = = = 31511410.05s v v 29798.73 m s La Tierra tarda en dar la vuelta al Sol 31511410.05s que equivale a364.71 d´ıas. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 167 / 352
    • PROBLEMA 46Una banda pasa por una rueda de radio 20cm, si un punto en la bandatiene una rapidez de 15 m . Que tan rapido gira la rueda? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 168 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm 2 Rapidez del punto de la banda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm 2 Rapidez del punto de la banda v = 15 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Como podemos observa las unidades del radio de la banda esta en cm,pero las unidades de la rapidez de un punto de la banda esta en m , sentonces cambiemos los 20cm a metros, esto es: 1m r = 20cm = 20cm( ) = .2m 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 170 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: ω= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v ω= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v 15 m s ω= = = r .2m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
    • PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v 15 m s rad ω= = = 75 r .2m sPor lo tanto, la rueda gira a una velocidad de 75 rad s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
    • PROBLEMA 47Un autom´vil tiene llantas de 30cm de radio. Parte del reposo y acelera ouniformemente hasta una rapidez de 30 m en un tiempo de 8s. Encontrar sla aceleraci´n angular de las llantas. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 172 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s 4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s 4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ; t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Observemos que las unidades de los radios de las llantas estan en ımetros pero las unidades de la velocidad del autom´vil estan en m ;cent´ o spor lo tanto debemos cambiar los cent´ ımetros del radio a metros, esto es: 1m r = 30cm = 30cm( ) = .3m 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 174 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 a= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 30 m − 0 m s s a= = = t 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 30 m − 0 m s s m a= = = 3.75 t 8s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: α= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a α= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a 3.75 m s α= = = r 3m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
    • PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a 3.75 m s rad α= = = 12.5 2 r 3m sPor lo tanto, la aceleraci´n angular es 12.5 rad . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
    • PROBLEMA 48Cu´l es la m´xima rapidez con la que un autom´vil puede tomar una curva a a ode 30m de radio en un camino plano si el coeficiente de fricci´n est´tica o aentre las llantas y la carretera es de .80. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 177 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; 2 Coeficiente de fricc´n est´tica entre las llantas y la carretera o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; 2 Coeficiente de fricc´n est´tica entre las llantas y la carretera µk = .80. o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ v= r µk g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ m v= r µk g = (30m)(.80)(9.8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ m m v= r µk g = (30m)(.80)(9.8 2 ) = 15.33 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Ahora cambiemos las unidades de 15.33 m a s km h m m 1km 60s 60min v = 15.35 = 15.35 ( )( )( )= s s 1000m 1min 1h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 180 / 352
    • PROBLEMA 48 (Respuesta)Ahora cambiemos las unidades de 15.33 m a s km h m m 1km 60s 60min km v = 15.35 = 15.35 ( )( )( ) = 55.18 s s 1000m 1min 1h hPor lo tanto, la m´xima rapidez que debe tener el autom´vil es 55.18 km . a o h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 180 / 352
    • PROBLEMA 49Una nave espacial se encuentra en ´rbita alrededor de la Luna a una altura ode 25500m. Suponga que solamente la atracci´n gravitacional act´a sobre o uella. Encontrar la rapidez con que la nave le da la vuelta a la Luna.Nota: La masa de la Luna es 7.34x1022 kg , el radio de la Luna m21.738x106 m y el valor de la constante gravitacional es 6.67x10−11 N kg 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 181 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m 4 Constante gravitatoria FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m 2 4 Constante gravitatoria G = 6.67x10−11 N kg 2 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o Gml v= = h+r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o m 2 Gml (6.67x10−11 N kg 2 )(7.34x1022 kg ) v= = = h+r 1.738x106 m + 25500m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
    • PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o m 2 Gml (6.67x10−11 N kg 2 )(7.34x1022 kg ) m v= = = 1666.18 h+r 1.738x106 m + 25500m sPor lo tanto, la velocidad de la nave es : 1666.18 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
    • PROBLEMA 50Un cordel enredado en el borde de una rueda De 20cm de di´metro se jala a cma raz´n de 75 s . Cu´ntas vueltas habr´ dado la rueda cuando se han o a adesenredado 9m de cordel? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 184 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s 3 Cantidad de cordel jalado FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s 3 Cantidad de cordel jalado d = 9m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm Entonces, cada 62.83cm que se desenreda el cordel se da una revoluci´n o ovuelta a la rueda, lo cual implica que 1rev = 62.83cm; por consiguientepara encontrar el n´mero total de vueltas que habr´ dado el cordel cuando u ase han desenredado 9m efectuamos la siguiente operaci´n: o 100cm 1rev 9m = 9m( )( )= 1m 62.83cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
    • PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm Entonces, cada 62.83cm que se desenreda el cordel se da una revoluci´n o ovuelta a la rueda, lo cual implica que 1rev = 62.83cm; por consiguientepara encontrar el n´mero total de vueltas que habr´ dado el cordel cuando u ase han desenredado 9m efectuamos la siguiente operaci´n: o 100cm 1rev 9m = 9m( )( ) = 14.32rev 1m 62.83cmPor lo tanto, la rueda habr´ dado 14.32rev . a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
    • PROBLEMA 51Cu´l es la rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra? aNota:El radio de la Tierra es de 6370km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 187 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 188 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 188 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Calculemos primero el per´ ımetro P de la Tierra, entoces realizamos lasiguiente operaci´n: o P = 2πr = 2π(6370000m) = 40023890m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 189 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es: 60min 1min 24h = 24h( )( )= 1h 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 190 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es: 60min 1min 24h = 24h( )( ) = 86400s 1h 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 190 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d v= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d P 40023890m v= = = = t t 86400s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
    • PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d P 40023890m m v= = = = 463.23 t t 86400s sPor lo tanto, un punto en el ecuador tiene una rapidez de 463.23 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
    • PROBLEMA 52Calcular la aceleraci´n radial de un punto en el ecuador de la Tierra, si su o mrapidez es 463.23 s .Nota:El radio de la Tierra es de 6370km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 192 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; 2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; 2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra v = 463.23 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 ar = = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 (463.23 m )2 s ar = = = r 6370000m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
    • PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 (463.23 m )2 s m ar = = = .0336 2 r 6370000m s Por lo tanto, la aceleraci´n radial de un punto en el ecuador de la Tiera es o m.0336 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
    • PROBLEMA 53Una polea de 5cm de di´metro est´ instalada en un motor que gira con una a a revaceleraci´n angular de 5 s 2 .Cu´l es la aceleraci´n lineal de dicha polea? o a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 195 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; 2 Aceleraci´n angular del motor o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; 2 Aceleraci´n angular del motor α = 5 rev . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)Primero convirtamos las unidades de 5 rev a s2 rad s2 esto es: rev rev 2πrad rad α=5 2 = (5 2 )( ) = 31.4 2 s s 1rev s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 197 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o a = αr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o rad a = αr = (31.4 )(5cm) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
    • PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o rad a = αr = (31.4 )(5cm) = 157cm/s 2 s2Por lo tanto la aceleracin lineal de la polea es de 157cm/s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
    • PROBLEMA 54La centr´ıfuga de secado de una lavadora gira a 900 rev , frena con una saceleraci´n angular uniforme de −2 rev . Cuanto tiempo tardar´ en o s 2 adetenerse? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 199 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad angular inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; 2 Velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); 3 Aceleraci´n angular o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); 3 Aceleraci´n angular α = −2 rev . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta) revPrimero convirtamos los minutos de 900 min a segundos, esto es : rev rev 1min ω0 = 900 = (900 )( )= min min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 201 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta) revPrimero convirtamos los minutos de 900 min a segundos, esto es : rev rev 1min rev ω0 = 900 = (900 )( ) = 15 min min 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 201 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 t= = α FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 0 rev − 15 rev t= = s rev s = α −2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
    • PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 0 rev − 15 rev t= = s rev s = 7.5s α −2 sPor lo tanto, la centr´ ıfuga tardar´ en detenerse 7.5s. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
    • PROBLEMA 55Una polea de 10cm de radio instalado en un motor, est girando a 50 rev y sdisminuye su velocidad uniformemente a 30 rev en 8s. Calcular la saceleraci´n angular del motor. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 203 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s 4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s 4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α= tSustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o α= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 205 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α= tSustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o ωf − ω0 α= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 205 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α= tSustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o ωf − ω0 30 rev − 50 rev s s α= = = t 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 205 / 352
    • PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α= tSustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o ωf − ω0 30 rev − 50 rev s s rev α= = = − 2.5 2 t 8s s Por lo tanto, la aceleraci´n angular del motor es −2.5 rev , negativa porque o s2la polea est´ desacelerando. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 205 / 352
    • PROBLEMA 56Cu´l es la fuerza centr´ a ıpeta que se ejerce sobre un cuerpo que tiene unamasa de 4kg si se mueva en una trayectoria circular de un radio de 18cmsi su velocidad angular es de 20 rev ? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 206 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 4kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 4kg ; 2 Radio de su trayectoria FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 4kg ; 2 Radio de su trayectoria r = 18cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 4kg ; 2 Radio de su trayectoria r = 18cm; 3 Velocidad angular del cuerpo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 4kg ; 2 Radio de su trayectoria r = 18cm; 3 Velocidad angular del cuerpo ω = 20 rev . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 207 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Primero convirtamos 20 rev a s rad s , esto es: rev ω = 20 = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 208 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Primero convirtamos 20 rev a s rad s , esto es: rev rev 2πrad ω = 20 = (20 )( )= s s 1rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 208 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Primero convirtamos 20 rev a s rad s , esto es: rev rev 2πrad rad ω = 20 = (20 )( ) = 125.66 s s 1rev sAhora convirtamos las unidades del radio de la trayectoria del cuerpo ametros, esto es: R = 18cm = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 208 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Primero convirtamos 20 rev a s rad s , esto es: rev rev 2πrad rad ω = 20 = (20 )( ) = 125.66 s s 1rev sAhora convirtamos las unidades del radio de la trayectoria del cuerpo ametros, esto es: 1m R = 18cm = (18cm)( )= 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 208 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Primero convirtamos 20 rev a s rad s , esto es: rev rev 2πrad rad ω = 20 = (20 )( ) = 125.66 s s 1rev sAhora convirtamos las unidades del radio de la trayectoria del cuerpo ametros, esto es: 1m R = 18cm = (18cm)( ) = .18m 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 208 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Para encontrar la fuerza centr´ ıpeta ejercida sobre este cuerpo necesitamossaber su velocidad tangencial v , para ello usamos la siguiente ecuaci´n: o v = ωrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de ω y r tenemos: o v = ωr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 209 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Para encontrar la fuerza centr´ ıpeta ejercida sobre este cuerpo necesitamossaber su velocidad tangencial v , para ello usamos la siguiente ecuaci´n: o v = ωrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de ω y r tenemos: o rad v = ωr = (125.66 )(.18m) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 209 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Para encontrar la fuerza centr´ ıpeta ejercida sobre este cuerpo necesitamossaber su velocidad tangencial v , para ello usamos la siguiente ecuaci´n: o v = ωrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de ω y r tenemos: o rad v = ωr = (125.66 )(.18m) = 22.61m/s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 209 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Por ultimo obtenemos la fuerza centr´ ´ ıpeta F usando la siguiente ecuaci´n: o mv 2 F = rSustituyendo los valores de m, v y r en la ecuaci´n anterior tenemos: o mv 2 F = = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 210 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Por ultimo obtenemos la fuerza centr´ ´ ıpeta F usando la siguiente ecuaci´n: o mv 2 F = rSustituyendo los valores de m, v y r en la ecuaci´n anterior tenemos: o mv 2 4kg (22.61 m )2 s F = = = r .18m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 210 / 352
    • PROBLEMA 56 (Respuesta)Por ultimo obtenemos la fuerza centr´ ´ ıpeta F usando la siguiente ecuaci´n: o mv 2 F = rSustituyendo los valores de m, v y r en la ecuaci´n anterior tenemos: o mv 2 4kg (22.61 m )2 s F = = = 11360.26N r .18m Por lo tanto, la fuerza centr´ ıpeta que se ejerce sobre este cuerpo es de11360.26N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 210 / 352
    • CONSERVACION DEL MOVIMIENTO LINEALFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 211 / 352
    • PROBLEMA 57Una pelota de 1kg movindose a 6 m choca frontalmente con una pelota de s2kg que se desplaza en la misma direcci´n pero en sentido contrario a o m12 s . Encontrar la velocidad de las pelotas despu´s del impacto si las epelotas quedan unidas. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 212 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; 2 Velocidad de la pelota 1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; 2 Velocidad de la pelota 1 v1 = 6 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; 2 Velocidad de la pelota 1 v1 = 6 m ; s 3 Masa de la pelota 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; 2 Velocidad de la pelota 1 v1 = 6 m ; s 3 Masa de la pelota 2 m2 = 2kg ; 4 Velocidad de la pelota 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota 1 m1 = 1kg ; 2 Velocidad de la pelota 1 v1 = 6 m ; s 3 Masa de la pelota 2 m2 = 2kg ; 4 Velocidad de la pelota 2 v2 = −12 m (negativa porque va en sentido s contrario a la pelota 1). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 213 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento inicial P0 de las pelotas es: P0 = m1 v1 + m2 v2Sustituyendo los valores de m1, m2, v1, y v2 en la ecuaci´n anterior, otenemos: m m P0 = (1kg )(6 ) + (2kg )(−12 ) = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 214 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento inicial P0 de las pelotas es: P0 = m1 v1 + m2 v2Sustituyendo los valores de m1, m2, v1, y v2 en la ecuaci´n anterior, otenemos: m m m m P0 = (1kg )(6 ) + (2kg )(−12 ) = 6kg − 24kg = s s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 214 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento inicial P0 de las pelotas es: P0 = m1 v1 + m2 v2Sustituyendo los valores de m1, m2, v1, y v2 en la ecuaci´n anterior, otenemos: m m m m m P0 = (1kg )(6 ) + (2kg )(−12 ) = 6kg − 24kg = − 18kg s s s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 214 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento final es: Pf = (m1 + m2 )vNotemos que la cantidad de (m1 + m2 ) es porque las pelotas quedanunidas despu´s del choque. Sustituyendo los valore de m1, m2, en la eecuaci´n anterior; tenemos: o Pf = (m1 + m2 )v = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 215 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento final es: Pf = (m1 + m2 )vNotemos que la cantidad de (m1 + m2 ) es porque las pelotas quedanunidas despu´s del choque. Sustituyendo los valore de m1, m2, en la eecuaci´n anterior; tenemos: o Pf = (m1 + m2 )v = (1kg + 2kg )v = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 215 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)La cantidad de movimiento final es: Pf = (m1 + m2 )vNotemos que la cantidad de (m1 + m2 ) es porque las pelotas quedanunidas despu´s del choque. Sustituyendo los valore de m1, m2, en la eecuaci´n anterior; tenemos: o Pf = (m1 + m2 )v = (1kg + 2kg )v = 3kgv FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 215 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Como la cantidad de movimiento se tiene que conservar, es decir debe deser la misma antes y despu´s del choque , entonces: e Pf = P0Entonces: m 3kgv = −18kg sDespejando la velocidad de la ecuaci´n anterior; tenemos: o m V = −18kg /3kg = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 216 / 352
    • PROBLEMA 57 (Respuesta)Como la cantidad de movimiento se tiene que conservar, es decir debe deser la misma antes y despu´s del choque , entonces: e Pf = P0Entonces: m 3kgv = −18kg sDespejando la velocidad de la ecuaci´n anterior; tenemos: o m m V = −18kg /3kg = − 6 s sPor lo tanto, la velocidad de las pelotas despu´s del impacto es de −6m/s. e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 216 / 352
    • PROBLEMA 58Una bala de 15g se dispara horizontalmente hacia un bloque de madera de5kg que est´ suspendido de un cordel largo . La bala se incrusta en el abloque. Calc´lese la velocidad de la bala debido al impacto, si el bloque se ubalancea y sube 15cm por arriba de su nivel normal. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 217 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ; 2 Masa del bloque FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ; 2 Masa del bloque Mb = 5kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ; 2 Masa del bloque Mb = 5kg ; 3 Altura que sube el bloque por el impacto FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ; 2 Masa del bloque Mb = 5kg ; 3 Altura que sube el bloque por el impacto h = 15cm = .15m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 218 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Tenemos que la cantidad de movimiento inicial P0 , es la cantidad demovimiento que llevaba la bala antes de incrustarse en la madera ya queinicialmente el bloque de madera estaba en reposo, esto es: P0 = mb V0donde V0 es la velocidad que llevaba la bala antes de incrustarse en elbloque de madera. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 219 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Por otro lado , despus de incrustarse la bala en el bloque se tiene unacantidad de movimiento final Pf ; esto es: Pf = (mb + Mb )V (14)Observemos que la cantidad de (mb + Mb ) es porque la bala quedaincrustada en el bloque de madera. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 220 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Para encontrar la velocidad final V que tiene el sistema bloque-bala ,usamos la ecuaci´n de conservaci´n de la energ´ ya que la energ´ o o ıia ıiacin´tica inicial que ten´ el sistema bloque-bala, al elevarse una altura e ıiah,´sta se convirti´ en energ´ potencial, esto es: e o ıa 1 (mb + Mb )V 2 = (mb + Mb )gh 2De la ecuaci´n anterior despejamos V y sustituimos los valores de g y h, oentonces: V = 2gh = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 221 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Para encontrar la velocidad final V que tiene el sistema bloque-bala ,usamos la ecuaci´n de conservaci´n de la energ´ ya que la energ´ o o ıia ıiacin´tica inicial que ten´ el sistema bloque-bala, al elevarse una altura e ıiah,´sta se convirti´ en energ´ potencial, esto es: e o ıa 1 (mb + Mb )V 2 = (mb + Mb )gh 2De la ecuaci´n anterior despejamos V y sustituimos los valores de g y h, oentonces: m V = 2gh = 2(9.8 2 )(.15m) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 221 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Para encontrar la velocidad final V que tiene el sistema bloque-bala ,usamos la ecuaci´n de conservaci´n de la energ´ ya que la energ´ o o ıia ıiacin´tica inicial que ten´ el sistema bloque-bala, al elevarse una altura e ıiah,´sta se convirti´ en energ´ potencial, esto es: e o ıa 1 (mb + Mb )V 2 = (mb + Mb )gh 2De la ecuaci´n anterior despejamos V y sustituimos los valores de g y h, oentonces: m m V = 2gh = 2(9.8 2 )(.15m) = 1.71 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 221 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)La velocidad V , es la velocidad del sistema bloque-bala,; entonces,sustituy´ndola en la ecuaci´n (14) junto con los valores de mb , y Mb , e otenemos: Pf = (mb + Mb )V = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 222 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)La velocidad V , es la velocidad del sistema bloque-bala,; entonces,sustituy´ndola en la ecuaci´n (14) junto con los valores de mb , y Mb , e otenemos: m Pf = (mb + Mb )V = (.015kg + 5kg )(1.71 )= s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 222 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)La velocidad V , es la velocidad del sistema bloque-bala,; entonces,sustituy´ndola en la ecuaci´n (14) junto con los valores de mb , y Mb , e otenemos: m m Pf = (mb + Mb )V = (.015kg + 5kg )(1.71 ) = 8.57kg s s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 222 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Pero la cantidad de movimiento se debe de conservar. La cantidad demovimiento inicial P0 debe de ser igual a la final Pf ,esto es: P0 = Pfentonces: m mbV0 = 8.57kg sDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad inicial de la bala V0 y osustituyendo los valores de mb , tenemos: 8.57kg m s V0 = = mb FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 223 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Pero la cantidad de movimiento se debe de conservar. La cantidad demovimiento inicial P0 debe de ser igual a la final Pf ,esto es: P0 = Pfentonces: m mbV0 = 8.57kg sDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad inicial de la bala V0 y osustituyendo los valores de mb , tenemos: 8.57kg m s 8.57kg m s V0 = = = mb .015kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 223 / 352
    • PROBLEMA 58 (Respuesta)Pero la cantidad de movimiento se debe de conservar. La cantidad demovimiento inicial P0 debe de ser igual a la final Pf ,esto es: P0 = Pfentonces: m mbV0 = 8.57kg sDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad inicial de la bala V0 y osustituyendo los valores de mb , tenemos: 8.57kg m s 8.57kg m s m V0 = = = 571.33 mb .015kg s Por lo tanto, la velocidad de la bala antes de chocar con el bloque es de571.33 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 223 / 352
    • PROBLEMA 59Una pelota de .25kg se mueve a 15 m en direcci´n positiva del eje x s ocuando es golpeada por un bat. Su velocidad final es de 20 m en direcci´n s onegativa de las x. El bat act´a sobre la pelota .02s. Calc´lese la fuerza u upromedio F que ejerce el bat sobre la pelota. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 224 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15 m ; s 3 Velocidad final de la pelota FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15 m ; s 3 Velocidad final de la pelota Vfx = −20 m (negativa porque apunta en s direcci´n negativa de las x); o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15 m ; s 3 Velocidad final de la pelota Vfx = −20 m (negativa porque apunta en s direcci´n negativa de las x); o 4 Tiempo de contacto del bat con la pelota FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa de la pelota m = .25kg ; 2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15 m ; s 3 Velocidad final de la pelota Vfx = −20 m (negativa porque apunta en s direcci´n negativa de las x); o 4 Tiempo de contacto del bat con la pelota t=.02s; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 225 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Sabemos que el cambio de la cantidad de movimiento lineal ∆p es: ∆p = pf − p0 = mVf − mV0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 226 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Pero tambie sabemos que un impulso Ft hace cambiar la cantidad demovimiento, entonces: Ft = ∆p = mVf − mV0Donde F es la fuerza que act´a obre la pelota y t es el tiempo de ucontacto. Despejando de la ecuaci´n anterior F y sustituyendo los valores ode t,m,Vfx ,V0x tenemos: .25kg (−20m/s − 15m/s) F = = .02s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 227 / 352
    • PROBLEMA 59 (Respuesta)Pero tambie sabemos que un impulso Ft hace cambiar la cantidad demovimiento, entonces: Ft = ∆p = mVf − mV0Donde F es la fuerza que act´a obre la pelota y t es el tiempo de ucontacto. Despejando de la ecuaci´n anterior F y sustituyendo los valores ode t,m,Vfx ,V0x tenemos: .25kg (−20m/s − 15m/s) F = = − 437.5N .02s Por lo tanto, la fuerza promedio que ejerce el bat sobre la pelota es de-437.5N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 227 / 352
    • APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTONFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 228 / 352
    • PROBLEMA 60Cu´l es la fuerza que act´a sobre un cuerpo de masa de 50kg en ca´ a u ıdalibre? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 229 / 352
    • PROBLEMA 60 (Respuesta)Como es ca´ libre, la unica fuerza que act´a sobre el cuerpo es la fuerza ıda ´ u mde gravedad, cuya aceleraci´n es 9.8 s 2 , entonces, usando la formula: o f = ma mcon m = 50kg , a = g = 9.8 s 2 tenemos: m f = (50kg )(9.8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 230 / 352
    • PROBLEMA 60 (Respuesta)Como es ca´ libre, la unica fuerza que act´a sobre el cuerpo es la fuerza ıda ´ u mde gravedad, cuya aceleraci´n es 9.8 s 2 , entonces, usando la formula: o f = ma mcon m = 50kg , a = g = 9.8 s 2 tenemos: m m f = (50kg )(9.8 2 ) = 490kg 2 = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 230 / 352
    • PROBLEMA 60 (Respuesta)Como es ca´ libre, la unica fuerza que act´a sobre el cuerpo es la fuerza ıda ´ u mde gravedad, cuya aceleraci´n es 9.8 s 2 , entonces, usando la formula: o f = ma mcon m = 50kg , a = g = 9.8 s 2 tenemos: m m f = (50kg )(9.8 2 ) = 490kg 2 = 490N s sPor lo tanto, la fuerza es de 490N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 230 / 352
    • PROBLEMA 61Un objeto de 80kg aumenta su velocidad de 80 km a 150 km en 30 h hsegundos, obtener la aceleraci´n de este objeto suponiendo que la oaceleraci´n es constante. Cu´l es la fuerza que act´a sobre este objeto? o a u FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 231 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Primero observemos que las unidades de la velocidad son km pero el htiempo esta en segundos, entonces, cambiemos km a m , esto es: h s km km 1000m 1h 1min 80 = 80 ( )( )( )= h h 1km 60min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 232 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Primero observemos que las unidades de la velocidad son km pero el htiempo esta en segundos, entonces, cambiemos km a m , esto es: h s km km 1000m 1h 1min m 80 = 80 ( )( )( ) = 22.22 h h 1km 60min 60s s km km 1000m 1h 1min 150 = 150 ( )( )( )= h h 1km 60s 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 232 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Primero observemos que las unidades de la velocidad son km pero el htiempo esta en segundos, entonces, cambiemos km a m , esto es: h s km km 1000m 1h 1min m 80 = 80 ( )( )( ) = 22.22 h h 1km 60min 60s s km km 1000m 1h 1min m 150 = 150 ( )( )( ) = 41.88 h h 1km 60s 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 232 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Ahora, usando la ecuaci´n: o vf − vi a= tcon vf = 41.66 m , vi = 22.22 m y t = 30s tenemos: s s a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 233 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Ahora, usando la ecuaci´n: o vf − vi a= tcon vf = 41.66 m , vi = 22.22 m y t = 30s tenemos: s s 41.66 m − 22.22 m s s a= = 30s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 233 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Ahora, usando la ecuaci´n: o vf − vi a= tcon vf = 41.66 m , vi = 22.22 m y t = 30s tenemos: s s 41.66 m − 22.22 m s s m a= = .98 2 30s s m Por lo tanto, la aceleraci´n es .98 s 2 Ahora, como f = ma, m = 80kg y oa = .98 tenemos: f = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 233 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Ahora, usando la ecuaci´n: o vf − vi a= tcon vf = 41.66 m , vi = 22.22 m y t = 30s tenemos: s s 41.66 m − 22.22 m s s m a= = .98 2 30s s m Por lo tanto, la aceleraci´n es .98 s 2 Ahora, como f = ma, m = 80kg y oa = .98 tenemos: m m f = (80kg )(.98 2 ) = 78.4kg 2 = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 233 / 352
    • PROBLEMA 61 (Respuesta)Ahora, usando la ecuaci´n: o vf − vi a= tcon vf = 41.66 m , vi = 22.22 m y t = 30s tenemos: s s 41.66 m − 22.22 m s s m a= = .98 2 30s s m Por lo tanto, la aceleraci´n es .98 s 2 Ahora, como f = ma, m = 80kg y oa = .98 tenemos: m m f = (80kg )(.98 2 ) = 78.4kg 2 = 78.4N s sPor lo tanto, la fuerza es de 78.4N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 233 / 352
    • PROBLEMA 62Sobre un cuerpo de masa m de 50kg act´an dos fuerzas, una fuerza f1 uvertical de 3N y una fuerza horizontal f2 de 4N. Encontrar el vectoraceleraci´n del cuerpo. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 234 / 352
    • PROBLEMA 62 (Respuesta)La fuerza f2 tiene solo una componente horizontal, cuyo vector unitario esˆ esto es f2 = 4Nˆi, i.Para la fuerza f1 que solo tiene una componente vertical tenemos:f1 = 3Nˆj.Entonces la fuerza resultante fr que act´a sobre el cuerpo es: u fr = f2 + f1 = 4Nˆ + 3Nˆ i j FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 235 / 352
    • PROBLEMA 62 (Respuesta)Entonces aplicando fr = may despejando a tenemos: fr a= = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 236 / 352
    • PROBLEMA 62 (Respuesta)Entonces aplicando fr = may despejando a tenemos: fr 4Nˆ + 3Nˆ i j a= = = m 50kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 236 / 352
    • PROBLEMA 62 (Respuesta)Entonces aplicando fr = may despejando a tenemos: m m fr 4Nˆ + 3Nˆ i j 4 kg s 2 ˆ 3 kg s 2 ˆ a= = = i+ j m 50kg 50 kg 50 kg m Notemos que sustituimos las unidades Newtons por su equivalente kg s 2 ,entonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 236 / 352
    • PROBLEMA 62 (Respuesta)Entonces aplicando fr = may despejando a tenemos: m m fr 4Nˆ + 3Nˆ i j 4 kg s 2 ˆ 3 kg s 2 ˆ a= = = i+ j m 50kg 50 kg 50 kg m Notemos que sustituimos las unidades Newtons por su equivalente kg s 2 ,entonces: m m a = .08 2 ˆ + .06 2 ˆ i j s s Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o m mhorizontal .08 s 2 y una componente vertical .06 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 236 / 352
    • PROBLEMA 63Sobre un cuerpo de masa de 29kg act´a hacia abajo la fuerza de gravedad uy una fuerza horizontal de 778N, Encontrar su aceleraci´n. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 237 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Llamemos f1 a la fuerza horizontal de 778N, como es horizontal se puedeexpresar de la siguiente forma vectorial: f1 = 778Nˆ itambien actua la fuerza de gravedad, como actua hacia abajo es negativa,entonces: m ˆ m fg = −mg ˆ = −(29.2kg )(9.8 j 2 )j = −286.16kg 2 ˆ = −286.16Nˆ j j s sPor lo tanto, la fuerza resultante fr es: fr = f1 + fg = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 238 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Llamemos f1 a la fuerza horizontal de 778N, como es horizontal se puedeexpresar de la siguiente forma vectorial: f1 = 778Nˆ itambien actua la fuerza de gravedad, como actua hacia abajo es negativa,entonces: m ˆ m fg = −mg ˆ = −(29.2kg )(9.8 j 2 )j = −286.16kg 2 ˆ = −286.16Nˆ j j s sPor lo tanto, la fuerza resultante fr es: fr = f1 + fg = 778Nˆ − 286.16Nˆ i j FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 238 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Pero fr = maentonces , despejando la aceleraci´n a tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 239 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Pero fr = maentonces , despejando la aceleraci´n a tenemos: o 778Nˆ − 286.16Nˆ i j a= = 29.2kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 239 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Pero fr = maentonces , despejando la aceleraci´n a tenemos: o 778Nˆ − 286.16Nˆ i j 778Nˆ 286.16Nˆ i j a= = − 29.2kg 29.2kg 29.2kgentonces: mˆ m a = 26.64 2 i − 9.8 2 ˆ j s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 239 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o mhorizontal ax 26.64 s 2 y una componentes verticalay que apunta haciaabajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleraci´n de la fuerza de o mgravedad −9.8 s 2Ahora la magnitud del vector aceleraci´n es: o |a| = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 240 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o mhorizontal ax 26.64 s 2 y una componentes verticalay que apunta haciaabajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleraci´n de la fuerza de o mgravedad −9.8 s 2Ahora la magnitud del vector aceleraci´n es: o m 2 m |a| = (26.64 ) + (−9.8 2 ) = s2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 240 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o mhorizontal ax 26.64 s 2 y una componentes verticalay que apunta haciaabajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleraci´n de la fuerza de o mgravedad −9.8 s 2Ahora la magnitud del vector aceleraci´n es: o m 2 m m |a| = (26.64 ) + (−9.8 2 ) = 28.38 2 s2 s sEl ´ngulo θ de este vector con la horizontal es: a θ= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 240 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o mhorizontal ax 26.64 s 2 y una componentes verticalay que apunta haciaabajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleraci´n de la fuerza de o mgravedad −9.8 s 2Ahora la magnitud del vector aceleraci´n es: o m 2 m m |a| = (26.64 ) + (−9.8 2 ) = 28.38 2 s2 s sEl ´ngulo θ de este vector con la horizontal es: a ay θ = arctan = ax FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 240 / 352
    • PROBLEMA 63 (Respuesta)Como vemos la aceleraci´n tiene dos componentes, una componente o mhorizontal ax 26.64 s 2 y una componentes verticalay que apunta haciaabajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleraci´n de la fuerza de o mgravedad −9.8 s 2Ahora la magnitud del vector aceleraci´n es: o m 2 m m |a| = (26.64 ) + (−9.8 2 ) = 28.38 2 s2 s sEl ´ngulo θ de este vector con la horizontal es: a m ay −9.8 s 2 θ = arctan = arctan m ax 26.64 s 2Por lo tanto, θ = −19.79 grados. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 240 / 352
    • PROBLEMA 64Un bloque de masa m1 = 43.8kg descansa en un plano inclinado liso queforma un ´ngulo de 30 grados con respecto a la horizontal, el cual est´ a aunido, mediante una cuerda que pasa por una polea pequea sin rozamiento,con un segundo bloque de masa m2 = 29.2kg suspendida verticalmente.Cu´l es la aeleraci´n de cada cuerpo? a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 241 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)La fuerza que act´a sobre el cuerpo de masa m1 se puede dividir en dos, uuna fuerza fg que act´a sobre m1 paralela a la superficie del plano inclinado uy una fuerza N que act´a sobre m1 perpendicular a la superficie del plano. uEntonces: N = m1 g cos 30y fg = m1 g sin 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 242 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Tambi´n actua la tensi´n T de la cuerda, lo cual se expresa en la siguiente e oecuaci´n. o T − fg = m 1 aesto es: T − m1 g sin 30 = m1 a (15) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 243 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)En la ecuaci´n (15) suponemos que el cuerpo de masa m1 se mueve hacia oarriba del plano inclinado.Ahora, para la masa m2 tenemos que las unicas fuerzas que act´an sobre ´ uella son el peso w = m2 g y la tensi´n de la cuerda, si suponemos que la omasa m2 se esta moviendo hacia abajo , es decir, est´ cayendo, este amovimiento se representa por la siguiente ecuaci´n: o m2 g − T = m2 a (16) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 244 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Si suponemos tambi´n que la cuerda no es elastica, entonces en ambos ecuerpos m1 y m2 , la tensi´n de la cuerda y la aceleraci´n en ambos debe o oser iguales. entonces podemos despejar de la ecuaci´n (15) la tensi´n T, o oesto es T = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 245 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Si suponemos tambi´n que la cuerda no es elastica, entonces en ambos ecuerpos m1 y m2 , la tensi´n de la cuerda y la aceleraci´n en ambos debe o oser iguales. entonces podemos despejar de la ecuaci´n (15) la tensi´n T, o oesto es T = m1 a + m1 g sin 30y la sustituimos en la ecuaci´n (16),esto es: o m2 g − (m1 a + m1 g sin 30) = m2 aentonces: m2 g − m1 a − m1 g sin 30 = m2 a (17) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 245 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Despejemos la aceleracion de la ecuaci´n (17). Entonces: o m2 g − m1 g sin 30 = m2 a + m1 aentonces: m2 g − m1 g sin 30 = (m2 + m1 )apor lo tanto: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Despejemos la aceleracion de la ecuaci´n (17). Entonces: o m2 g − m1 g sin 30 = m2 a + m1 aentonces: m2 g − m1 g sin 30 = (m2 + m1 )apor lo tanto: m2 g − m1 g sin 30 a= m2 + m1 mhaciendo m2 = 29.2kg , m1 = 43.8kg , g = 9.8 s 2 y sin 30 = .5 tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Despejemos la aceleracion de la ecuaci´n (17). Entonces: o m2 g − m1 g sin 30 = m2 a + m1 aentonces: m2 g − m1 g sin 30 = (m2 + m1 )apor lo tanto: m2 g − m1 g sin 30 a= m2 + m1 mhaciendo m2 = 29.2kg , m1 = 43.8kg , g = 9.8 s 2 y sin 30 = .5 tenemos: m m (29.2kg )(9.8 s 2 ) − (43.8kg )(9.8 s 2 ).5 a= = 43.8kg + 29.2kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Despejemos la aceleracion de la ecuaci´n (17). Entonces: o m2 g − m1 g sin 30 = m2 a + m1 aentonces: m2 g − m1 g sin 30 = (m2 + m1 )apor lo tanto: m2 g − m1 g sin 30 a= m2 + m1 mhaciendo m2 = 29.2kg , m1 = 43.8kg , g = 9.8 s 2 y sin 30 = .5 tenemos: m m m m (29.2kg )(9.8 s 2 ) − (43.8kg )(9.8 s 2 ).5 286.16kg s 2 − 214.62kg s 2 a= = 43.8kg + 29.2kg 73kgpor lo tanto a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352
    • PROBLEMA 64 (Respuesta)Despejemos la aceleracion de la ecuaci´n (17). Entonces: o m2 g − m1 g sin 30 = m2 a + m1 aentonces: m2 g − m1 g sin 30 = (m2 + m1 )apor lo tanto: m2 g − m1 g sin 30 a= m2 + m1 mhaciendo m2 = 29.2kg , m1 = 43.8kg , g = 9.8 s 2 y sin 30 = .5 tenemos: m m m m (29.2kg )(9.8 s 2 ) − (43.8kg )(9.8 s 2 ).5 286.16kg s 2 − 214.62kg s 2 a= = 43.8kg + 29.2kg 73kg por lo tanto m a = .98 2 s m La aceleraci´n de .98 s 2 , es la aceleraci´n con la que sube el bloque de la o omasa m1 sobre el plano inclinado y es la misma aceleraci´n con la que cae oel bloque de la masa m2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352
    • PROBLEMA 65Un bloque triangular de masa M, con ´ngulo 30, 60 y 90 descansa sobre el alado 30-90 sobre una mesa horizontal , un bloque c´bico de masa m, udescansa sobre el lado 60-30.Que aceleraci´n horizontal a debe tener M con relaci´n a la mesa para que o om se quede fija con respecto al bloque triangular, suponiendo que no hayarozamiento en los contactos? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 247 / 352
    • PROBLEMA 65 (Respuesta)La unica fuerza que act´a inicialmente sobre el bloque de masa m para ´ uhacerlo resbalar sobre el bloque M es la fuerza fg , esto es: fg = mg sin 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 248 / 352
    • PROBLEMA 65 (Respuesta)Para que no caiga el bloque se debe tener una fuerza contraria enmagnitud a fg , esa fuerza, seria una fuerza de reacci´n a la fuerza que se ole aplicar´ a M , esa fuerza le dar´ a m una aceleraci´n a que har´ que ıa ıa o ıano se cayera m sobre el bloque M.Entonces ma cos 30 = fg = mg sin 30despejando a tenemos: mg sin 30 a= = m cos 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 249 / 352
    • PROBLEMA 65 (Respuesta)Para que no caiga el bloque se debe tener una fuerza contraria enmagnitud a fg , esa fuerza, seria una fuerza de reacci´n a la fuerza que se ole aplicar´ a M , esa fuerza le dar´ a m una aceleraci´n a que har´ que ıa ıa o ıano se cayera m sobre el bloque M.Entonces ma cos 30 = fg = mg sin 30despejando a tenemos: mg sin 30 a= = g tan 30 m cos 30entonces: m a = (9.8 )(.577) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 249 / 352
    • PROBLEMA 65 (Respuesta)Para que no caiga el bloque se debe tener una fuerza contraria enmagnitud a fg , esa fuerza, seria una fuerza de reacci´n a la fuerza que se ole aplicar´ a M , esa fuerza le dar´ a m una aceleraci´n a que har´ que ıa ıa o ıano se cayera m sobre el bloque M.Entonces ma cos 30 = fg = mg sin 30despejando a tenemos: mg sin 30 a= = g tan 30 m cos 30entonces: m m a = (9.8 2 )(.577) = 5.6546 2 s sPor lo tanto, la magnitud de la aceleraci´n que se le debe de dar al bloque o mM es 5.6546 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 249 / 352
    • PROBLEMA 66Un disco de hockey que pesa 1.5N resbala sobre hielo 1.52m y se detiene,si su velocidad inicial era de 6.1 m . Cu´l es la fuerza de rozamiento entre el s adisco y el hielo? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 250 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial v0 = 6.1 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial v0 = 6.1 m ; s 2 La velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial v0 = 6.1 m ; s 2 La velocidad final vf = 0 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial v0 = 6.1 m ; s 2 La velocidad final vf = 0 m ; s 3 La distancia que recorre antes de detenerse FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La velocidad inicial v0 = 6.1 m ; s 2 La velocidad final vf = 0 m ; s 3 La distancia que recorre antes de detenerse d = 15.2m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 251 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Como el discos se va deteniendo, entonces va desacelerando, esto quieresdecir que lleva una aceleraci´n negativa, entonces, debemos de encontrar oesta aceleraci´n, para ello, podemos usar la ecuaci´n: o o vf2 = v0 + 2ad 2despejando la aceleraci´n a tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 252 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Como el discos se va deteniendo, entonces va desacelerando, esto quieresdecir que lleva una aceleraci´n negativa, entonces, debemos de encontrar oesta aceleraci´n, para ello, podemos usar la ecuaci´n: o o vf2 = v0 + 2ad 2despejando la aceleraci´n a tenemos: o vf2 − v0 2 a= 2dhaciendo vf = 0 m , v0 = 6.1 m ,d = 15.2m tenemos: s s (0 m )2 − (v0 6.1 m )2 s s a= = 2(15.2m) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 252 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Como el discos se va deteniendo, entonces va desacelerando, esto quieresdecir que lleva una aceleraci´n negativa, entonces, debemos de encontrar oesta aceleraci´n, para ello, podemos usar la ecuaci´n: o o vf2 = v0 + 2ad 2despejando la aceleraci´n a tenemos: o vf2 − v0 2 a= 2dhaciendo vf = 0 m , v0 = 6.1 m ,d = 15.2m tenemos: s s 2 (0 m )2 − (v0 6.1 m )2 s s −37.21 m2 s a= = 2(15.2m) 30.4mentonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 252 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Como el discos se va deteniendo, entonces va desacelerando, esto quieresdecir que lleva una aceleraci´n negativa, entonces, debemos de encontrar oesta aceleraci´n, para ello, podemos usar la ecuaci´n: o o vf2 = v0 + 2ad 2despejando la aceleraci´n a tenemos: o vf2 − v0 2 a= 2dhaciendo vf = 0 m , v0 = 6.1 m ,d = 15.2m tenemos: s s 2 (0 m )2 − (v0 6.1 m )2 s s −37.21 m2 s a= = 2(15.2m) 30.4mentonces: m a = − 1.22 s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 252 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Por otro lado, el peso del disco es 1.5N, entonces, su masa es: 1.5Nm = 9.8 m = .15kg s2por lo tanto, la fuerza de fricci´n es: o f = ma = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 253 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Por otro lado, el peso del disco es 1.5N, entonces, su masa es: 1.5Nm = 9.8 m = .15kg s2por lo tanto, la fuerza de fricci´n es: o m f = ma = .15kg (−1.22 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 253 / 352
    • PROBLEMA 66 (Respuesta)Por otro lado, el peso del disco es 1.5N, entonces, su masa es: 1.5Nm = 9.8 m = .15kg s2por lo tanto, la fuerza de fricci´n es: o m f = ma = .15kg (−1.22 ) = − .183N s2La fuerza de fricci´n es negativa porque apunta en direccio´n contraria al o omovimiento del cuerpo. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 253 / 352
    • PROBLEMA 67Un caballo jala un vag´n con una fuerza de 178N que forma un ´ngulo de o a30 con la horizontal, y la mueve con una velocidad constante de 9.66 km . hQue cantidad de trabajo hace el caballo en 10 minutos? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 254 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta) km mPrimero convirtamos la velocidad de h a s . entonces: km km 1h 1min 1000m m v = 9.66 = 9.66 ( )( )( ) = 2.68 h h 60min 60s 1km sentonces: m v = 2.68 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 255 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora convirtamos los 10min en segundos.Entonces: 60s t = 10min = 10min( ) = 600s 1minas´ que: ı t = 600s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 256 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora debemos de encontrar la distancia que recorre el caballo en 600s, siva a una velocidad de 2.68 m , entonces, podemos utilizar la ecuaci´n s osiguiente: d v= tentonces,despejando d y haciendo t = 600s y v = 2.68 m tenemos: s d = vt = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 257 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora debemos de encontrar la distancia que recorre el caballo en 600s, siva a una velocidad de 2.68 m , entonces, podemos utilizar la ecuaci´n s osiguiente: d v= tentonces,despejando d y haciendo t = 600s y v = 2.68 m tenemos: s m d = vt = (2.68 )(t = 600s) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 257 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora debemos de encontrar la distancia que recorre el caballo en 600s, siva a una velocidad de 2.68 m , entonces, podemos utilizar la ecuaci´n s osiguiente: d v= tentonces,despejando d y haciendo t = 600s y v = 2.68 m tenemos: s m d = vt = (2.68 )(t = 600s) = 1608m spor lo tanto, la distacia que recorre es de d = 1608m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 257 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora, que fuerza ejerce el caballo durante esa distancia?, bueno, pararesponder esta pregunta, debemos observar, que el caballo jala el vag´n ocon una fuerza de 178N que forma un ´ngulo de 30 con la horizontal, apero, el movimiento es hacia delante, entonces, debemos obtener elcomponente horizontal fx de esta fuerza, que es fx = 178N cos 30 = 154.15NEntonces, el trabajo realizado por el caballo W , se puede encontrar usandola formula: W = fdsustituyendo en la f´rmula anterior f por fx tenemos: o W = fx d = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 258 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora, que fuerza ejerce el caballo durante esa distancia?, bueno, pararesponder esta pregunta, debemos observar, que el caballo jala el vag´n ocon una fuerza de 178N que forma un ´ngulo de 30 con la horizontal, apero, el movimiento es hacia delante, entonces, debemos obtener elcomponente horizontal fx de esta fuerza, que es fx = 178N cos 30 = 154.15NEntonces, el trabajo realizado por el caballo W , se puede encontrar usandola formula: W = fdsustituyendo en la f´rmula anterior f por fx tenemos: o W = fx d = (154.15N)(1608m) = 247873.2Nm = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 258 / 352
    • PROBLEMA 67 (Respuesta)Ahora, que fuerza ejerce el caballo durante esa distancia?, bueno, pararesponder esta pregunta, debemos observar, que el caballo jala el vag´n ocon una fuerza de 178N que forma un ´ngulo de 30 con la horizontal, apero, el movimiento es hacia delante, entonces, debemos obtener elcomponente horizontal fx de esta fuerza, que es fx = 178N cos 30 = 154.15NEntonces, el trabajo realizado por el caballo W , se puede encontrar usandola formula: W = fdsustituyendo en la f´rmula anterior f por fx tenemos: o W = fx d = (154.15N)(1608m) = 247873.2Nm = 247873.2J Por lo tanto, el trabajo que realiza el caballo en 10 minutos es de247873.2J FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 258 / 352
    • PROBLEMA 68El coeficiente de fricci´n cin´tico entre un coche de 900kg y el pavimento o ees de .80. Si el autom´vil se mueve a 25 m a lo largo del pavimento plano o scuando comienza a derrapar para detenerse. Que distancia recorrer´ antes ade detenerse? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 259 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico o e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e 2 Masa del coche FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e 2 Masa del coche m = 900kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e 2 Masa del coche m = 900kg ; 3 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e 2 Masa del coche m = 900kg ; 3 Velocidad inicial v0 = 25 m (Velocidad que lleva el coche cuando s empieza a derrapar); 4 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coeficiente de fricci´n cin´tico µk = .80; o e 2 Masa del coche m = 900kg ; 3 Velocidad inicial v0 = 25 m (Velocidad que lleva el coche cuando s empieza a derrapar); 4 Velocidad final vf = 0 (Cuando se detiene el coche). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 260 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)El coche tra´ una energ´ cin´tica inicial k0 , pero esta energ´ se convirti´ ıa ıa e ıa oen el trabajo Wk hecho por la fuerza de fricci´n Fk entre el coche y el opavimento para detener dicho coche, esto es: 1 2 k0 = mv0 = 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 261 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)El coche tra´ una energ´ cin´tica inicial k0 , pero esta energ´ se convirti´ ıa ıa e ıa oen el trabajo Wk hecho por la fuerza de fricci´n Fk entre el coche y el opavimento para detener dicho coche, esto es: 1 2 1 m k0 = mv0 = (900kg )(25 )2 = 2 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 261 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)El coche tra´ una energ´ cin´tica inicial k0 , pero esta energ´ se convirti´ ıa ıa e ıa oen el trabajo Wk hecho por la fuerza de fricci´n Fk entre el coche y el opavimento para detener dicho coche, esto es: 1 2 1 m m2 k0 = mv0 = (900kg )(25 )2 = 281250kg 2 2 2 s sy Fk = µk mg = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 261 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)El coche tra´ una energ´ cin´tica inicial k0 , pero esta energ´ se convirti´ ıa ıa e ıa oen el trabajo Wk hecho por la fuerza de fricci´n Fk entre el coche y el opavimento para detener dicho coche, esto es: 1 2 1 m m2 k0 = mv0 = (900kg )(25 )2 = 281250kg 2 2 2 s sy m Fk = µk mg = (.80)(900kg )(9.8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 261 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)El coche tra´ una energ´ cin´tica inicial k0 , pero esta energ´ se convirti´ ıa ıa e ıa oen el trabajo Wk hecho por la fuerza de fricci´n Fk entre el coche y el opavimento para detener dicho coche, esto es: 1 2 1 m m2 k0 = mv0 = (900kg )(25 )2 = 281250kg 2 2 2 s sy m m Fk = µk mg = (.80)(900kg )(9.8 2 ) = 7056kg 2 s spero m Wk = Fk d = (7056kg )d s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 261 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Igualando el resultado que obtuvimo anteriormente de la energ´ cin´tica ıa einicial k0 con el trabajo hecho por la fuerza de fricci´n Wk tenemos: o K 0 = Wkentonces m2 m 281250kg 2 = (7056kg 2 )d s sDespejando d de la igualdad anterior tenemos: d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 262 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Igualando el resultado que obtuvimo anteriormente de la energ´ cin´tica ıa einicial k0 con el trabajo hecho por la fuerza de fricci´n Wk tenemos: o K 0 = Wkentonces m2 m 281250kg 2 = (7056kg 2 )d s sDespejando d de la igualdad anterior tenemos: 2 281250kg m2s d= m = 7056kg s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 262 / 352
    • PROBLEMA 68 (Respuesta)Igualando el resultado que obtuvimo anteriormente de la energ´ cin´tica ıa einicial k0 con el trabajo hecho por la fuerza de fricci´n Wk tenemos: o K 0 = Wkentonces m2 m 281250kg 2 = (7056kg 2 )d s sDespejando d de la igualdad anterior tenemos: 2 281250kg m2s d= m = 39.85m 7056kg s 2Por lo tanto, el coche recorrer´ 39.85m antes de detenerse. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 262 / 352
    • PROBLEMA 69 mUna fuerza act´a sobre una masa de 2kg acelerandola a 8 s 2 . Cu´l es la u amagnitud de la fuerza? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 263 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 264 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 2kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 264 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 2kg ; 2 Aceleraci´n del cuerpo o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 264 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del cuerpo m = 2kg ; m 2 Aceleraci´n del cuerpo a = 8 s 2 . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 264 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Para encontrar la magnitud de la fuerza usamos la siguiente ecuaci´n: o f = maEn la ecuaci´n anterior, sustituyendo los valores de m y a que nos oproporciona los datos del problema, tenemos: f = ma = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 265 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Para encontrar la magnitud de la fuerza usamos la siguiente ecuaci´n: o f = maEn la ecuaci´n anterior, sustituyendo los valores de m y a que nos oproporciona los datos del problema, tenemos: m f = ma = (2kg )(8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 265 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Para encontrar la magnitud de la fuerza usamos la siguiente ecuaci´n: o f = maEn la ecuaci´n anterior, sustituyendo los valores de m y a que nos oproporciona los datos del problema, tenemos: m m f = ma = (2kg )(8 ) = 16kg 2 = s2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 265 / 352
    • PROBLEMA 69 (Respuesta)Para encontrar la magnitud de la fuerza usamos la siguiente ecuaci´n: o f = maEn la ecuaci´n anterior, sustituyendo los valores de m y a que nos oproporciona los datos del problema, tenemos: m m f = ma = (2kg )(8 ) = 16kg 2 = 16N s2 sPor lo tanto, la magnitud de la fuerza es 16N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 265 / 352
    • PROBLEMA 70Un objeto tiene una masa de .3kg . Cu´l es su peso en la Tierra? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 266 / 352
    • PROBLEMA 70 (Respuesta)Tenemos como datos:masa del objeto m = .3kgSabemos que la aceleraci´n de un cuerpo en que act´a s´lo la fuerza de o u o mgravedad, es g = 9.8 s 2 , entonces el peso del cuerpo (W ) es: W = mg = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 267 / 352
    • PROBLEMA 70 (Respuesta)Tenemos como datos:masa del objeto m = .3kgSabemos que la aceleraci´n de un cuerpo en que act´a s´lo la fuerza de o u o mgravedad, es g = 9.8 s 2 , entonces el peso del cuerpo (W ) es: m W = mg = (.3kg )(9.8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 267 / 352
    • PROBLEMA 70 (Respuesta)Tenemos como datos:masa del objeto m = .3kgSabemos que la aceleraci´n de un cuerpo en que act´a s´lo la fuerza de o u o mgravedad, es g = 9.8 s 2 , entonces el peso del cuerpo (W ) es: m W = mg = (.3kg )(9.8 ) = 2.94N s2Por lo tanto, el peso es de 2.94N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 267 / 352
    • PROBLEMA 71 mUna fuerza act´a sobre una masa de 2kg acelerandola a 3 s 2 . Que uaceleraci´n produce la misma fuerza cuando act´a sobre una masa de 1kg ? o u FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 268 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ; 2 Aceleraci´n del primer cuerpo o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ; m 2 Aceleraci´n del primer cuerpo a1 = 3 s 2 ; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ; m 2 Aceleraci´n del primer cuerpo a1 = 3 s 2 ; o 3 Masa del segundo cuerpo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ; m 2 Aceleraci´n del primer cuerpo a1 = 3 s 2 ; o 3 Masa del segundo cuerpo m2 = 1kg . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 269 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Primero obtengamos la fuerza que act´a sobre el primer cuerpo, para esto uusamos la siguiente ecuaci´n: o f = m1 a1sustituyendo los valores de m1 y a1 en la ecuaci´n anterior tenemos: o f = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 270 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Primero obtengamos la fuerza que act´a sobre el primer cuerpo, para esto uusamos la siguiente ecuaci´n: o f = m1 a1sustituyendo los valores de m1 y a1 en la ecuaci´n anterior tenemos: o m f = (2kg )(3 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 270 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Primero obtengamos la fuerza que act´a sobre el primer cuerpo, para esto uusamos la siguiente ecuaci´n: o f = m1 a1sustituyendo los valores de m1 y a1 en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m f = (2kg )(3 2 ) = 6kg 2 s s mEntonces la fuerza que act´a sobre la masa de 2kg es 6kg s 2 . u FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 270 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Ahora, para encontrar la aeleraci´n de que produce la fuerza encontrada osobre la masa de 1kg , usamos la siguiente ecuaci´n: o f a= mEn la ecuaci´n anterior sustituimos los valors de f y de m = m2 , entonces otenemos: m 6kg s 2 a= = 1kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 271 / 352
    • PROBLEMA 71 (Respuesta)Ahora, para encontrar la aeleraci´n de que produce la fuerza encontrada osobre la masa de 1kg , usamos la siguiente ecuaci´n: o f a= mEn la ecuaci´n anterior sustituimos los valors de f y de m = m2 , entonces otenemos: m 6kg s 2 m a= =6 2 1kg sPor lo tanto, si la fuerza que act´a sobre la masa de 2kg actuara sobre la u mmasa de 1kg ,entonces le produciria a ´sta una aceleraci´n de 6 s 2 e o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 271 / 352
    • PROBLEMA 72Un cable horizontal tira de una carreta de 200kg a lo largo de un caminohorizontal. La tensi´n del cable es de 500N. Que tiempo llevar´ a la o a mcarreta alcanzar una rapidez de 8 s si parte el reposo? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 272 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta 200kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta 200kg ; 3 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta 200kg ; 3 Velocidad inicial v0 = 0 m (pate del reposo); s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta 200kg ; 3 Velocidad inicial v0 = 0 m (pate del reposo); s 4 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tensi´n del cable T = 500N; o 2 Masa de la carreta 200kg ; 3 Velocidad inicial v0 = 0 m (pate del reposo); s 4 Velocidad final vf = 8 m (la rapidez que alcanzar´ la carreta). s a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 273 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Suponiendo que no hay fuerza de fricci´n, tenemos que la fuerza oresultante f que act´a sobre la carreta es la tension del cable que tira de uella, pero tenemos que: T = f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la carreta debido oa la fuerza resultante, que en este caso es la tensi´n del cable, entonces: o T = madespejando de la euaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo lo valores o ode T , tenemos: T a= = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 274 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Suponiendo que no hay fuerza de fricci´n, tenemos que la fuerza oresultante f que act´a sobre la carreta es la tension del cable que tira de uella, pero tenemos que: T = f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la carreta debido oa la fuerza resultante, que en este caso es la tensi´n del cable, entonces: o T = madespejando de la euaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo lo valores o ode T , tenemos: m T 500kg s 2 a= = = m 200kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 274 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Suponiendo que no hay fuerza de fricci´n, tenemos que la fuerza oresultante f que act´a sobre la carreta es la tension del cable que tira de uella, pero tenemos que: T = f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la carreta debido oa la fuerza resultante, que en este caso es la tensi´n del cable, entonces: o T = madespejando de la euaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo lo valores o ode T , tenemos: m T 500kg s 2 m a= = = 2.5 m 200kg s Entonces tenemos que la aceleraci´n a que tiene la carreta provocada por o mla tensi´n del cable es 2.5 s 2 . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 274 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Ahora utilizando la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atdespejando el tiempo t y sustituyendo los valores de v0 , vf y a tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 275 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Ahora utilizando la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atdespejando el tiempo t y sustituyendo los valores de v0 , vf y a tenemos: vf − v0 t= = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 275 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Ahora utilizando la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atdespejando el tiempo t y sustituyendo los valores de v0 , vf y a tenemos: vf − v0 8m − 0m t= = s m s = a 25 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 275 / 352
    • PROBLEMA 72 (Respuesta)Ahora utilizando la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atdespejando el tiempo t y sustituyendo los valores de v0 , vf y a tenemos: vf − v0 8m − 0m t= = s m s = 3.2s a 25 s 2 Por lo tanto, la carreta tardar´ en alcanzar una rapidez de 8 m un tiempo a sde 3.2s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 275 / 352
    • PROBLEMA 73Un cesto de 20kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular laaceleraci´n del cesto cuando la tensi´n de la cuerda es 25N. o o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 276 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del cesto FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 277 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del cesto m = 20kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 277 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del cesto m = 20kg ; 2 Tensi´n de la cuerda o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 277 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del cesto m = 20kg ; 2 Tensi´n de la cuerda T = 250N. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 277 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)La tensi´n de la cuerda empuja a el cesto hacia arriba, pero pero el peso o(mg ) lo empuja hacia abajo, entonces aplicando la segunda ley de Newtontenemos f = mapero sabemo que f = T − mg , entonces la ecuaci´n de arriba queda de ola siguiente manera: T − mg = ma FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 278 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Despejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, T y g tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 279 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Despejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, T y g tenemos: T − mg a= = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 279 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Despejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, T y g tenemos: T − mg 250N − 196N a= = = m 20kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 279 / 352
    • PROBLEMA 73 (Respuesta)Despejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, T y g tenemos: T − mg 250N − 196N m a= = = 2.7 2 m 20kg s mPor lo tanto, el cesto lleva una aceleraci´n de 2.7 s 2 hacia arriba. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 279 / 352
    • PROBLEMA 74Un bloque de 5kg descansa sobre un plano inclinado de 30 grados. Elcoeficiente de fricci´n est´tico entre el bloque y el plano inclinado es .20. o aQue fuerza horizontal se necesita para empujar al bloque para que est´ eapunto de resbalar hacia abajo sobre el plano? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 280 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque m = 5kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque m = 5kg ; 2 El ´ngulo del plano inclinado con la horizontal a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque m = 5kg ; 2 El ´ngulo del plano inclinado con la horizontal θ = 30; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque m = 5kg ; 2 El ´ngulo del plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 3 Coeficiente de fricci´n est´tico o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque m = 5kg ; 2 El ´ngulo del plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 3 Coeficiente de fricci´n est´tico µs = .20. o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 281 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)La fuerza qu se aplca al plano inclinado de forma hoizontal se manifiestaen el bloque como una fuerza de reacci´n el cual tambien es horizontal oapuntando hacia adentro del bloque, esta fuerza tiene dos componentes,una fuerza perpendicular al plano inclinado que denotaremos como fn yuna fuerza paralela al plano inclinado fp , entonces: fp = f cos 30y fn = f sin 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 282 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Recordemos que la fuerza normal N esta dada por la suma de las fuerzasperpndiculares al plano, esto es: N = fn + mg cos 30 = f sin 30 + mg cos 30Por otro lado, las fuerza F que empuja hacia arriba el bloque, son la sumade la fuerza de fricci´n fs ya que no olvidemos que el bloque est´ a punto o ade resbalar hacia abajo y la fuerza aplicada fp , esto es: F = µs N + fp = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 283 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Recordemos que la fuerza normal N esta dada por la suma de las fuerzasperpndiculares al plano, esto es: N = fn + mg cos 30 = f sin 30 + mg cos 30Por otro lado, las fuerza F que empuja hacia arriba el bloque, son la sumade la fuerza de fricci´n fs ya que no olvidemos que el bloque est´ a punto o ade resbalar hacia abajo y la fuerza aplicada fp , esto es: F = µs N + fp = µs (f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 283 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Por ultimo, tenemos que la unica fuerza que empuja el bloque hacia abajo ´ ´para que ´ste resbale sobre el plano es mg sin 30, como esta apunto de eresbalar el bloque, se puede decir que el bloque esta a´n en equilibrio, esto uquiere decir que las fuerzas que empujan el bloque hacia arriba del planoinclinado es igual a las fuerzas que hacen que el bloque resbale, esto es: µs (f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 = mg sin 30En la ecuaci´n anterior despejamos la fuerza f , entonces: o f = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 284 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Por ultimo, tenemos que la unica fuerza que empuja el bloque hacia abajo ´ ´para que ´ste resbale sobre el plano es mg sin 30, como esta apunto de eresbalar el bloque, se puede decir que el bloque esta a´n en equilibrio, esto uquiere decir que las fuerzas que empujan el bloque hacia arriba del planoinclinado es igual a las fuerzas que hacen que el bloque resbale, esto es: µs (f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 = mg sin 30En la ecuaci´n anterior despejamos la fuerza f , entonces: o mg sin 30 − µs mg cos 30 f = cos 30 + µs sin 30En la ecuacion anterior sustituimos los valores de m, g , µs y tenemos: f = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 284 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Por ultimo, tenemos que la unica fuerza que empuja el bloque hacia abajo ´ ´para que ´ste resbale sobre el plano es mg sin 30, como esta apunto de eresbalar el bloque, se puede decir que el bloque esta a´n en equilibrio, esto uquiere decir que las fuerzas que empujan el bloque hacia arriba del planoinclinado es igual a las fuerzas que hacen que el bloque resbale, esto es: µs (f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 = mg sin 30En la ecuaci´n anterior despejamos la fuerza f , entonces: o mg sin 30 − µs mg cos 30 f = cos 30 + µs sin 30En la ecuacion anterior sustituimos los valores de m, g , µs y tenemos: 24.5N − 8.48N f = = .86 + .1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 284 / 352
    • PROBLEMA 74 (Respuesta)Por ultimo, tenemos que la unica fuerza que empuja el bloque hacia abajo ´ ´para que ´ste resbale sobre el plano es mg sin 30, como esta apunto de eresbalar el bloque, se puede decir que el bloque esta a´n en equilibrio, esto uquiere decir que las fuerzas que empujan el bloque hacia arriba del planoinclinado es igual a las fuerzas que hacen que el bloque resbale, esto es: µs (f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 = mg sin 30En la ecuaci´n anterior despejamos la fuerza f , entonces: o mg sin 30 − µs mg cos 30 f = cos 30 + µs sin 30En la ecuacion anterior sustituimos los valores de m, g , µs y tenemos: 24.5N − 8.48N f = = 16.6N .86 + .1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 284 / 352
    • PROBLEMA 75Una carreta de 40kg es arrastrada sobre un terreno nivelado con unacuerda que forma un ´ngulo de 30 grados con la horizontal, una fuerza de africci´n de 30N se opone al movimiento. Cu´l es la fuerza con la que se o adebe jalar la cuerda para que la carreta se mueva a velocidad constante? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 285 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o 4 La aceleraci´n de la carreta o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o 4 La aceleraci´n de la carreta a = 0 (Velocidad constante). o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 286 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)La componente horizontal de la fuerza F de la cuerda que jala la carretaque denotaremos como fx es: fx = F cos 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 287 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Como la aceleraci´n de la carreta es cero, es decir que se mueve a ovelocidad constante, la componente horizontal de la fuerza de la cuerdadebe ser igual a la fuerza de fricci´n, esto es: o fx = fkSustituyendo lo que vale fx y fk tenemos: F cos 30 = 30NDespejando F de la ecuaci´n anterior tenemos: o F = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 288 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Como la aceleraci´n de la carreta es cero, es decir que se mueve a ovelocidad constante, la componente horizontal de la fuerza de la cuerdadebe ser igual a la fuerza de fricci´n, esto es: o fx = fkSustituyendo lo que vale fx y fk tenemos: F cos 30 = 30NDespejando F de la ecuaci´n anterior tenemos: o 30N F = = cos 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 288 / 352
    • PROBLEMA 75 (Respuesta)Como la aceleraci´n de la carreta es cero, es decir que se mueve a ovelocidad constante, la componente horizontal de la fuerza de la cuerdadebe ser igual a la fuerza de fricci´n, esto es: o fx = fkSustituyendo lo que vale fx y fk tenemos: F cos 30 = 30NDespejando F de la ecuaci´n anterior tenemos: o 30N F = = 34.64N cos 30Por lo tanto, se debe de jalar a la carreta con una fuerza de 34.64N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 288 / 352
    • PROBLEMA 76Una carreta de 40kg es arrastrada sobre un terreno nivelado con unacuerda que forma un ´ngulo de 30 grados con la horizontal, una fuerza de africci´n de 30N se opone al movimiento. Cu´l es la fuerza con la que se o adebe jalar la cuerda para que la carreta se mueva con una aceleraci´n de o m.50 s 2 ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 289 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o 4 La aceleraci´n de la carreta o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la carreta m = 40kg ; 2 El ´ngulo de la cuerda con la horizontal θ = 30; a 3 Fuerza de friicci´n fk = 30N; o m 4 La aceleraci´n de la carreta a = .50 s 2 o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 290 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Tenemos que la componente horizontal de la fuerza F de la cuerda quejala la carreta que denotaremos como fx es: fx = F cos 30 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 291 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Ahora, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la misma; Pero o f es fx − fk , entonces como f es tambien ma tenemos: fx − fk = maentonces, sustituyendo valores en la ecuaci´n anterior, tenemos: o m F cos 30 − 30N = (40kg )(.50 ) s2En la cuacio´n anterior despejamos la fuerza F , dando como resultado: o F = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 292 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Ahora, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la misma; Pero o f es fx − fk , entonces como f es tambien ma tenemos: fx − fk = maentonces, sustituyendo valores en la ecuaci´n anterior, tenemos: o m F cos 30 − 30N = (40kg )(.50 ) s2En la cuacio´n anterior despejamos la fuerza F , dando como resultado: o 50N F = = .866 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 292 / 352
    • PROBLEMA 76 (Respuesta)Ahora, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la masa de la carreta y a es la aceleraci´n de la misma; Pero o f es fx − fk , entonces como f es tambien ma tenemos: fx − fk = maentonces, sustituyendo valores en la ecuaci´n anterior, tenemos: o m F cos 30 − 30N = (40kg )(.50 ) s2En la cuacio´n anterior despejamos la fuerza F , dando como resultado: o 50N F = = 57.73N .866Por lo tanto, se debe jalar a la carreta con una fuerza de 57.73N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 292 / 352
    • PROBLEMA 77Una masa de 5kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular la tensi´n de o m´sta si la aceleraci´n de la masa es 1.5 s 2 hacia arriba.e o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 293 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 294 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 5kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 294 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 5kg ; 2 La aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 294 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 5kg ; m 2 La aceleraci´n a = 1.5 s 2 . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 294 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton tenemos: T − mg = maDespejando de la ecuaci´n anterior la tensi´n T y sustituyendo los valores o ode m, a y g tenemos: T = ma + mg = m(a + g ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 295 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton tenemos: T − mg = maDespejando de la ecuaci´n anterior la tensi´n T y sustituyendo los valores o ode m, a y g tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 5kg (1.5 2 + 9.8 2 ) = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 295 / 352
    • PROBLEMA 77 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton tenemos: T − mg = maDespejando de la ecuaci´n anterior la tensi´n T y sustituyendo los valores o ode m, a y g tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 5kg (1.5 2 + 9.8 2 ) = 56.5N s sPor lo tanto la tensi´n de la cuerda es de 56.5N. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 295 / 352
    • PROBLEMA 78Una masa de 8kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular la tensi´n de o m´sta si la aceleraci´n de la masa es 2 s 2 hacia abajo.e o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 296 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 297 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 8kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 297 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 8kg ; 2 La aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 297 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa m = 8kg ; m 2 La aceleraci´n a = −2 s 2 (negativa porque es hacia abajo). o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 297 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton, donde la suma de estas fuerzas debe ser igual alproducto de la masa por la aceleraci´n de dicha masa, tenemos: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: T = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 298 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton, donde la suma de estas fuerzas debe ser igual alproducto de la masa por la aceleraci´n de dicha masa, tenemos: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: T = ma + mg = m(a + g ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 298 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton, donde la suma de estas fuerzas debe ser igual alproducto de la masa por la aceleraci´n de dicha masa, tenemos: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 8kg (−2 + 9.8 2 ) = s2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 298 / 352
    • PROBLEMA 78 (Respuesta)Tenemos que la tensi´n T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero el opeso mg de dicha masa jala a ´sta hacia abajo, entonces, usando la esegunda ley de Newton, donde la suma de estas fuerzas debe ser igual alproducto de la masa por la aceleraci´n de dicha masa, tenemos: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 8kg (−2 + 9.8 2 ) = 62.4N s2 sPor lo tanto, la tensi´n de la cuerda es de 62.4N. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 298 / 352
    • PROBLEMA 79Un elevador parte del reposo y sube con una aceleraci´n constante, se omueve 2m los primeros .60s, un pasajero en el elevador sostiene unpaquete de 3kg con una cuerda. Cu´l es la aceleraci´n de la cuerda a odurante la aceleraci´n? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 299 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia d = 2m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia d = 2m; 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia d = 2m; 3 Tiempo t = .60s; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia d = 2m; 3 Tiempo t = .60s; 4 Masa del paquete FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0 m (parte el elevador del reposo) s 2 Distancia d = 2m; 3 Tiempo t = .60s; 4 Masa del paquete m = 3kg . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 300 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Primero encontremos la aceleraci´n del elevador, para ello podemos usar la osiguiente ecuac´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 301 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)De la ecuaci´n anterior despejemos la aceleraci´n a y sustituyendo los o ovalores de v0 , t y d tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 302 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)De la ecuaci´n anterior despejemos la aceleraci´n a y sustituyendo los o ovalores de v0 , t y d tenemos: 2(d − v0 t) 2(2m − 0 m (.6s)) s a= = = t2 (.6s)2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 302 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)De la ecuaci´n anterior despejemos la aceleraci´n a y sustituyendo los o ovalores de v0 , t y d tenemos: 2(d − v0 t) 2(2m − 0 m (.6s)) s m a= 2 = 2 = 11.11 2 t (.6s) s mEntonces el elevador tiene una aceleraci´n de 11.11 s 2 o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 302 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Por otro lado, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la msas del paquete, y a es la aceleraci´n del mismo, que es el omismo que la aceleraci´n del elevador,tenemos tambien que o f = T − mg , donde T es la tens´n de la cuerda, entonces: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: T = ma + mg = m(a + g ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 303 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Por otro lado, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la msas del paquete, y a es la aceleraci´n del mismo, que es el omismo que la aceleraci´n del elevador,tenemos tambien que o f = T − mg , donde T es la tens´n de la cuerda, entonces: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 3kg (9.8 2 + 11.11 2 ) = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 303 / 352
    • PROBLEMA 79 (Respuesta)Por otro lado, aplicando la segunda ley de Newton tenemos: f = madonde m es la msas del paquete, y a es la aceleraci´n del mismo, que es el omismo que la aceleraci´n del elevador,tenemos tambien que o f = T − mg , donde T es la tens´n de la cuerda, entonces: o T − mg = maDespejando T de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de m, a y og tenemos: m m T = ma + mg = m(a + g ) = 3kg (9.8 2 + 11.11 2 ) = 62.73N s sPor lo tanto, la tensi´n de la cuerda es de 62.73N o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 303 / 352
    • PROBLEMA 80Tres bloques estan juntos sobre una mesa, uno al lado del otro, cadabloque tiene una masa de 1.5kg , 2kg y 1kg respectivamente. Que fuerza mse necesita para dar a los bloques una aceleraci´n de 3 s 2 si el coeficiente ode fricci´n entre los bloques y la mesa es .2? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 304 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 m3 = 1kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 m3 = 1kg ; 4 La aceleraci´n que se desea que adquieran los bloques o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 m3 = 1kg ; m 4 La aceleraci´n que se desea que adquieran los bloques a = 3 s 2 ; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 m3 = 1kg ; m 4 La aceleraci´n que se desea que adquieran los bloques a = 3 s 2 ; o 5 El coeficiente de fricci´n entre los bloques y la mesa o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ; 2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ; 3 La masa del bloque 3 m3 = 1kg ; m 4 La aceleraci´n que se desea que adquieran los bloques a = 3 s 2 ; o 5 El coeficiente de fricci´n entre los bloques y la mesa µk = .2. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 305 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 ofk1 = µk m1 g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = 2.94Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 2 ofk2 = µk m2 g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = 2.94Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 2 o mfk2 = µk m2 g = (.2)(2kg )(9.8 s 2 ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = 2.94Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 2 o mfk2 = µk m2 g = (.2)(2kg )(9.8 s 2 ) = 3.92Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 3 ofk3 = µk m3 g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = 2.94Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 2 o mfk2 = µk m2 g = (.2)(2kg )(9.8 s 2 ) = 3.92Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 3 o mfk3 = µk m3 g = (.2)(1kg )(9.8 s 2 ) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de fricc´n que se va a oponer oa su movimiento, la fuerza de fricci´n sobre cada bloque la podemos oobtener de la siguiente manera:fuerza de fricci´n sobre el bloque 1 o mfk1 = µk m1 g = (.2)(1.5kg )(9.8 s 2 ) = 2.94Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 2 o mfk2 = µk m2 g = (.2)(2kg )(9.8 s 2 ) = 3.92Nfuerza de fricci´n sobre el bloque 3 o mfk3 = µk m3 g = (.2)(1kg )(9.8 s 2 ) = 1.96N FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 306 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)La fuerza total Fk que se va a oponer a movimiento de los bloques enconjunto ser´ la suma de las fuerzas de fricci´n de cada bloque, esto es: a o Fk = fk1 + fk2 + fk3 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 307 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)La fuerza total Fk que se va a oponer a movimiento de los bloques enconjunto ser´ la suma de las fuerzas de fricci´n de cada bloque, esto es: a o Fk = fk1 + fk2 + fk3 = 2.94N + 3.92N + 1.96N = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 307 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)La fuerza total Fk que se va a oponer a movimiento de los bloques enconjunto ser´ la suma de las fuerzas de fricci´n de cada bloque, esto es: a o Fk = fk1 + fk2 + fk3 = 2.94N + 3.92N + 1.96N = 8.82N FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 307 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Ahora, usando la segunda ley de Newton tenemos que la suma de lasfuerzas que act´an sobre los bloque en conjunto, es decir, la fuerza que se udebe aplicar a los bloques F y la fuerza que se opone al movimieto de losmismos debe ser igual al producto de la masa total M de los bloques porla aceleraci´n de los mismos, es decir: o F − Fk = Madonde M = m1 + m2 + m3 = 4.5kg ,entonces de la ecuaci´n anterior odespejamos F y sustituyendo valores tenemos: F = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 308 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Ahora, usando la segunda ley de Newton tenemos que la suma de lasfuerzas que act´an sobre los bloque en conjunto, es decir, la fuerza que se udebe aplicar a los bloques F y la fuerza que se opone al movimieto de losmismos debe ser igual al producto de la masa total M de los bloques porla aceleraci´n de los mismos, es decir: o F − Fk = Madonde M = m1 + m2 + m3 = 4.5kg ,entonces de la ecuaci´n anterior odespejamos F y sustituyendo valores tenemos: m F = (4.5kg )(3 ) + 8.82N = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 308 / 352
    • PROBLEMA 80 (Respuesta)Ahora, usando la segunda ley de Newton tenemos que la suma de lasfuerzas que act´an sobre los bloque en conjunto, es decir, la fuerza que se udebe aplicar a los bloques F y la fuerza que se opone al movimieto de losmismos debe ser igual al producto de la masa total M de los bloques porla aceleraci´n de los mismos, es decir: o F − Fk = Madonde M = m1 + m2 + m3 = 4.5kg ,entonces de la ecuaci´n anterior odespejamos F y sustituyendo valores tenemos: m F = (4.5kg )(3 ) + 8.82N = 22.32N s2Por lo tanto, se necesita una fuerza de 22.32N. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 308 / 352
    • PROBLEMA 81Una caja de 12kg se suelta sobre la parte mas alta de un plano inclinadoque forma un ´ngulo de 40 grados con la horizontal. Una fuerza de africci´n de 60N se opone a el movimiento de la caja. Cu´l ser´ la o a aacelerac´n de la caja? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 309 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40; a 3 La fuerza de fricci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40; a 3 La fuerza de fricci´n fk = 60N; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40; a 3 La fuerza de fricci´n fk = 60N; o 4 Velocidad inicial de la caja FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 12kg ; 2 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40; a 3 La fuerza de fricci´n fk = 60N; o 4 Velocidad inicial de la caja v0 = 0 (ya que se suelta). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 310 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)El peso de la caja se descompone en dos componentes, una perpendicularal plano inclinado y otra paralela a ´ste. La componente del peso paralela ea el plano inclinado, que denotaremos como FW es: FW = mg sin θdonde m es la masa de la caja, g es la aceleraci´n producida por la fuerza ode gravedad y θ es el ´ngulo de inclinaci´n del plano inclinado, esta fuerza a oFW hace que resbale la caja sobre el plano inclinado. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 311 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que nos ice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, tenemos: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: mg sin θ − fk a= = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 312 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que nos ice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, tenemos: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: m mg sin θ − fk (12kg )(9.8 s 2 )(sin 40) − 60N a= = = m 12kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 312 / 352
    • PROBLEMA 81 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que nos ice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, tenemos: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: m mg sin θ − fk (12kg )(9.8 s 2 )(sin 40) − 60N m a= = = 1.29 2 m 12kg s mPor lo tanto, la aceleraci´n ser´ de 1.29 s 2 o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 312 / 352
    • PROBLEMA 82Una caja de 10kg se suelta sobre la parte mas alta de un plano inclinadode 5m de longitud y que forma un ´ngulo de 30 grados con la horizontal. aUna fuerza de fricci´n de 20N se opone a el movimiento de la caja. oCuanto tiempo tardar´ la base del plano inclinado? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 313 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 30; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 4 La fuerza de fricci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 4 La fuerza de fricci´n fk = 20N; o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 4 La fuerza de fricci´n fk = 20N; o 5 Velocidad inicial de la caja FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 La masa de la caja m = 10kg ; 2 Longitud del plano inclinado d = 5m; 3 El ´ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 30; a 4 La fuerza de fricci´n fk = 20N; o 5 Velocidad inicial de la caja v0 = 0 (ya que se suelta) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 314 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Primero encontremos la aceleraci´n con la que cae la caja sobre el plano oinclinado, para ello sabemos que el peso de la caja se descompone en doscomponentes, una perpendicular al plano inclinado y otra paralela a ´ste. eLa componente del peso paralela a el plano inclinado, que denotaremoscomo FW es: FW = mg sin θdonde m es la masa de la caja, g es la aceleraci´n producida por la fuerza ode gravedad y θ es el ´ngulo de inclinaci´n del plano inclinado, esta fuerza a oFW hace que resbale la caja sobre el plano inclinado. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 315 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que no dice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, esto es: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 316 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que no dice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, esto es: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: mg sin θ − fk a= = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 316 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que no dice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, esto es: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: m mg sin θ − fk (10kg )(9.8 s 2 )(sin 30) − 20N a= = = m 10kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 316 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por otro lado, la fuerza de fricc´n fk se opone al movimiento de la caja, opor lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que no dice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleraci´n, esto es: o mg sin θ − fk = madespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n a y sustituyendo valores o otenemos: m mg sin θ − fk (10kg )(9.8 s 2 )(sin 30) − 20N m a= = = 2.9 2 m 10kg s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 316 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por lo tanto, la aceleraci´n con la que cae la caja sobre el plano inclinado o mes 2.9 s 2Ahora utilizando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los valoes de d, a, v0 y despejando el tiempo t en laecuaci´n anterior, tenemos: o m 1 m 5m = (0 )t + (2.9 2 )t 2 s 2 sentonces: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 317 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por lo tanto, la aceleraci´n con la que cae la caja sobre el plano inclinado o mes 2.9 s 2Ahora utilizando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los valoes de d, a, v0 y despejando el tiempo t en laecuaci´n anterior, tenemos: o m 1 m 5m = (0 )t + (2.9 2 )t 2 s 2 sentonces: 2(5m) t= m = 2.9 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 317 / 352
    • PROBLEMA 82 (Respuesta)Por lo tanto, la aceleraci´n con la que cae la caja sobre el plano inclinado o mes 2.9 s 2Ahora utilizando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los valoes de d, a, v0 y despejando el tiempo t en laecuaci´n anterior, tenemos: o m 1 m 5m = (0 )t + (2.9 2 )t 2 s 2 sentonces: 2(5m) t= m = 1.8s 2.9 s 2Por lo tanto, tardar´ la caja en alcanzar la base del plano 1.8s. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 317 / 352
    • PROBLEMA 83Se tiene 2 bloques unidos por una cuerda, el bloque 1 se encuentra sobrela superficie de una mesa mientras que el bloque 2 esta suspendido por lacuerda a un lado de la mesa. En la esquina de la mesa donde se hacepasar la cuerda que une los bloques se encuentra una polea que giralibremente sin fricci´n. Si las masas de los bloques 1 y 2 son 40kg y 60kg orespectivamente y si el coeficiente de fricci´n entre la mesa y el bloque 1 oes .2 cual ser´ la tensi´n de la cuerda que une a ambos bloques? a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 318 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 m1 = 40kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 m1 = 40kg ; 2 Masa del bloque 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 m1 = 40kg ; 2 Masa del bloque 2 m2 = 60kg ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 m1 = 40kg ; 2 Masa del bloque 2 m2 = 60kg ; 3 Coeficiente de fricci´n entre el bloque 1 y la mesa o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Masa del bloque 1 m1 = 40kg ; 2 Masa del bloque 2 m2 = 60kg ; 3 Coeficiente de fricci´n entre el bloque 1 y la mesa µk = .2 o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 319 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Tenemos que para el bloque 1 la fuerza de fricci´n Fk se va oponer al omovimiento del bloque, mientras que la tensi´n de la cuerda lo va a omover, entonces por la segunda ley de Newton tenemos: T − Fk = m1 a1 (18)donde la fuerza de fricci´n Fk = µk m1 g . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 320 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Por otro lado, el bloque 2 es empujado hacia abajo por la fuerza degravedad, pero la tensi´n de la cuerda lo jala hacia arriba, entonces, outilizando la segunda ley de Newton tenemos: m 2 g − T = m 2 a2De la ecuaci´n anterior despejando T tenemos: o T = m 2 g − m 2 a2Si despejamos de (18) la tens´n T e igualamos el extremo derecho de esta oecuaci´n con el extremo derecho de la ecuaci´n anterior, tenemos: o o m2 g − m2 a2 = m1 a1 + µk m1 g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 321 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Como se supone que la cuerda no es elastica, esperamos que ambosbloques se muevan con la misma acleraci´n en magnitud, entonces oa1 = a2 = a sustituyendo las aceleraciones por a en la ecuaci´n anterior otenemos: m2 g − m2 a = m1 a + µk m1 gDe la ecuaci´n anterior podemos despejar la aceleraci´n y sustituyendo los o ovalores tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 322 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Como se supone que la cuerda no es elastica, esperamos que ambosbloques se muevan con la misma acleraci´n en magnitud, entonces oa1 = a2 = a sustituyendo las aceleraciones por a en la ecuaci´n anterior otenemos: m2 g − m2 a = m1 a + µk m1 gDe la ecuaci´n anterior podemos despejar la aceleraci´n y sustituyendo los o ovalores tenemos: m 2 g − µk m 1 g a= = m1 + m2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 322 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Como se supone que la cuerda no es elastica, esperamos que ambosbloques se muevan con la misma acleraci´n en magnitud, entonces oa1 = a2 = a sustituyendo las aceleraciones por a en la ecuaci´n anterior otenemos: m2 g − m2 a = m1 a + µk m1 gDe la ecuaci´n anterior podemos despejar la aceleraci´n y sustituyendo los o ovalores tenemos: m 2 g − µk m 1 g m a= = 5.096 2 m1 + m2 s m Ahora, sustituyendo esta aceleraci´n a = 5.096 s 2 en (18), despejando T y osustituyendo los demas valores tenemos: T = m1 a + µk m1 g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 322 / 352
    • PROBLEMA 83 (Respuesta)Como se supone que la cuerda no es elastica, esperamos que ambosbloques se muevan con la misma acleraci´n en magnitud, entonces oa1 = a2 = a sustituyendo las aceleraciones por a en la ecuaci´n anterior otenemos: m2 g − m2 a = m1 a + µk m1 gDe la ecuaci´n anterior podemos despejar la aceleraci´n y sustituyendo los o ovalores tenemos: m 2 g − µk m 1 g m a= = 5.096 2 m1 + m2 s m Ahora, sustituyendo esta aceleraci´n a = 5.096 s 2 en (18), despejando T y osustituyendo los demas valores tenemos: T = m1 a + µk m1 g = 282.24NPor lo tanto, la tensi´n de la cuerda es 282.24N o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 322 / 352
    • PROBLEMA 84Un prot´n se proyecta en la direcci´n positiva de las x dentro de una o oregi´n de un campo el´ctrico uniforme E = −6x105 iN/C . El prot´n o e orecorre 7cm antes de llegar a reposo. Determine la aceleraci´n. oNota:Masa del prot´n mp = 1.67x10−27 kg oCarga del prot´n q = 1.6x10−19 C . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 323 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 324 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105 N/C (Negativo porque est´ en direcci´n e a o negativa del eje x); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 324 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105 N/C (Negativo porque est´ en direcci´n e a o negativa del eje x); 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 324 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105 N/C (Negativo porque est´ en direcci´n e a o negativa del eje x); 2 Distancia x = 7cm. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 324 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Sabemos que la fuerza F que act´a sobre una carga q debido a un campo uel´trico es: e F = qE FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 325 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Esta fuerza produce una aceleraci´n a sobre la carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: a = F /mSustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 326 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Esta fuerza produce una aceleraci´n a sobre la carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: a = F /mSustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 326 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Esta fuerza produce una aceleraci´n a sobre la carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: a = F /mSustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 326 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Esta fuerza produce una aceleraci´n a sobre la carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: a = F /mSustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o (1.6x10−19 C )(−6x105 N/C ) a= = 1.67x10−27 kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 326 / 352
    • PROBLEMA 84 (Respuesta)Esta fuerza produce una aceleraci´n a sobre la carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: a = F /mSustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o (1.6x10−19 C )(−6x105 N/C ) m a= = − 5.74x1013 2 1.67x10−27 kg s m. Por lo tanto, la aceleraci´n del prot´n es −5.74x1013 s 2 ; es negativa o oporque apunta en la direcci´n negativa del eje x; es decir, el prot´n va o odesacelerando. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 326 / 352
    • PROBLEMA 85Un prot´n se proyecta en la direcci´n positiva de las x dentro de una o oregi´n de un campo el´ctrico uniforme E = −6x105 iN/C . El prot´n o e orecorre 7cm antes de llegar a reposo. Determine su rapidez inicial.Nota:Masa del prot´n mp = 1.67x10−27 kg oCarga del prot´n q = 1.6x10−19 C . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 327 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105N/C (Negativo porque est´ en e a direcci´n negativa del eje x); o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105N/C (Negativo porque est´ en e a direcci´n negativa del eje x); o 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105N/C (Negativo porque est´ en e a direcci´n negativa del eje x); o 2 Distancia x = 7cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105N/C (Negativo porque est´ en e a direcci´n negativa del eje x); o 2 Distancia x = 7cm; 3 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Campo el´ctrico E = −6x105N/C (Negativo porque est´ en e a direcci´n negativa del eje x); o 2 Distancia x = 7cm; 3 Velocidad final vf = 0 (al final el prot´n se detiene). o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 328 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Para encontrar la rapidez inicial del prot´n primero encontremos la oaceleraci´n a la que est sujeto,; para ello sabemos que la fuerza F que oacta sobre una carga q debido a un campo elctrico es: F = qEEsta fuerza produce una aceleraci´n a dice carga, esta aceleraci´n es o oproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es: F a= m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 329 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 330 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o N a = (1.6x10−19 C )(−6x105 )/1, 67x10−27 kg = C FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 330 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior la fuerza F por qE tenemos: o qE a= mSustituyendo los valores de q,E y m en la ecuaci´n anterior tenemos: o N m a = (1.6x10−19 C )(−6x105 )/1, 67x10−27 kg = − 5.74x1013 2 C s m. Por lo tanto, la aceleraci´n del prot´n es −5.74x1013 s 2 ; es negativa o oporque apunta en la direcci´n negativa del eje x; es decir, el prot´n va o odesacelerando. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 330 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Ahora , tenemos la ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2Despejando de la ecuaci´n anterior la rapidez inicial v 0 y sustituyendo los ovalores de vf , a y d tenemos: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 331 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Ahora , tenemos la ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2Despejando de la ecuaci´n anterior la rapidez inicial v 0 y sustituyendo los ovalores de vf , a y d tenemos: m v0 = (−2ad) = −2(−(5.74x1013 ))(.07m) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 331 / 352
    • PROBLEMA 85 (Respuesta)Ahora , tenemos la ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2Despejando de la ecuaci´n anterior la rapidez inicial v 0 y sustituyendo los ovalores de vf , a y d tenemos: m v0 = (−2ad) = −2(−(5.74x1013 ))(.07m) = 2834783.44m/s s2Por lo tanto, la rapidez inicial es 2834783.44 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 331 / 352
    • PROBLEMA 86Un prot´n tiene una velocidad inicial de 4.5x105 m en la direcci´n o s ohorizontal. Entra a un campo el´ctrico de 9.6x10 e 3 N/C dirigidoverticalmente. Ignore cualquier efecto gravitacional y determine eldesplazamiento vertical del prot´n despu´s de recorrer 5cm o ehorizontalmente.Nota:Masa del prot´n mp = 1.67x10−27 kg oCarga del prot´n q = 1.6x10−19 C . o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 332 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105 m (velocidad en la direcci´n s o horizontal); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105 m (velocidad en la direcci´n s o horizontal); 2 Campo el´ctrico e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105 m (velocidad en la direcci´n s o horizontal); 2 Campo el´ctrico Ey = 9.6x103 N/C (campo el´ctrico dirigido e e verticalmente); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105 m (velocidad en la direcci´n s o horizontal); 2 Campo el´ctrico Ey = 9.6x103 N/C (campo el´ctrico dirigido e e verticalmente); 3 Distancia horizontal FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105 m (velocidad en la direcci´n s o horizontal); 2 Campo el´ctrico Ey = 9.6x103 N/C (campo el´ctrico dirigido e e verticalmente); 3 Distancia horizontal x = 5cm = .05m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 333 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Primero encontremos la aceleraci´n la cual esta sujeto este prot´n, o oentonces para ello sabemos que la fuerza F sobre una carga el´ctrica eproducida por un campo el´ctrico es F = qE , pero por la segunda ley de eNewton tenemos tambi´n que F = ma entonces: e qE = maDespejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, q y Ey tenemos: ay = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 334 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Primero encontremos la aceleraci´n la cual esta sujeto este prot´n, o oentonces para ello sabemos que la fuerza F sobre una carga el´ctrica eproducida por un campo el´ctrico es F = qE , pero por la segunda ley de eNewton tenemos tambi´n que F = ma entonces: e qE = maDespejando la aceleraci´n a de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los o ovalores de m, q y Ey tenemos: qEy ay = = m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 334 / 352
    • PROBLEMA 86 (Respuesta)Primero encontremos la aceleraci´n la cual esta sujeto este pro