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PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
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PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS

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Problemas resueltosde mecánica por el alumno de la FCFM-BUAP Acevedo González José Filiberto;...

Problemas resueltosde mecánica por el alumno de la FCFM-BUAP Acevedo González José Filiberto;
Asesorado por el Dr. Barradas Guevara José Enrique

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  • 1. CONVERSIONESFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 1 / 352
  • 2. CONVERSIONESFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 2 / 352
  • 3. PROBLEMA 1Cuanto es .3 km en h m min ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 3 / 352
  • 4. PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h .3 = (.3 )( )( )= h h 1km 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
  • 5. PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h m .3 = (.3 )( )( )=5 h h 1km 60min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
  • 6. PROBLEMA 1 (Respuesta)Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversi´n de la siguiente manera: o km km 1000m 1h m .3 = (.3 )( )( )=5 h h 1km 60min minAsi que .3 km son 5 min h m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 4 / 352
  • 7. PROBLEMA 2Cu´nto es 80 km en a h m s ?. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 5 / 352
  • 8. PROBLEMA 2 (Respuesta)Primero convirtamos los km a metros, esto es km km 1000m 80 = 80 ( )= h h 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 6 / 352
  • 9. PROBLEMA 2 (Respuesta)Primero convirtamos los km a metros, esto es km km 1000m m 80 = 80 ( ) = 80000 h h 1km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 6 / 352
  • 10. PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min 80000 = 80000 ( )( )= h h 60min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
  • 11. PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min m 80000 = 80000 ( )( ) = 22.22 h h 60min 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
  • 12. PROBLEMA 2 (Respuesta)Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es ´ m m 1h 1min m 80000 = 80000 ( )( ) = 22.22 h h 60min 60s sPor lo tanto, 80 km son 22.22 m . h s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 7 / 352
  • 13. PROBLEMA 3Convertir 50rev a radianes. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 8 / 352
  • 14. PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 50rev = 50rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
  • 15. PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( )= 1rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
  • 16. PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( ) = 314.15rad 1rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
  • 17. PROBLEMA 3 (Respuesta)Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces: 2πrad 50rev = 50rev ( ) = 314.15rad 1revPor lo tanto 50 revoluciones son 314.15rad. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 9 / 352
  • 18. PROBLEMA 4Cu´nto es 40 grados en a s rev min ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 10 / 352
  • 19. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s 40 = 40 ( )= s s 1min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 20. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 21. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 2400 = 2400 min min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 22. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev 2400 = 2400 ( )= min min 360grados FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 23. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev rev 2400 = 2400 ( ) = 6.66 min min 360grados min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 24. PROBLEMA 4 (Respuesta)Primero convirtamos los segundos de 40 grados en minutos, esto es: s grados grados 60s grados 40 = 40 ( ) = 2400 s s 1min min Por ultimo convirtamos los grados de 2400 grados en revoluciones, ´ minentonces: grados grados 1rev rev 2400 = 2400 ( ) = 6.66 min min 360grados minPor lo tanto, 40 grados son 6.66 min s rev FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 11 / 352
  • 25. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 12 / 352
  • 26. PROBLEMA 5Cu´l fue la rapidez media de un objeto que se movi´ en linea recta, si ´ste a o erecorri´ primero 73.1m con una rapidez de 1.22m/s y despu´s recorri´ o e o73.1m con una rapidez de 3.05m/s? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 13 / 352
  • 27. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 28. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 29. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 30. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 31. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 32. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo d2 = 73.1m; 4 Velocidad en ese segundo tramo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 33. PROBLEMA 5 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m; 2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22 m ; s 3 Longitud del segundo tramo d2 = 73.1m; 4 Velocidad en ese segundo tramo v2 = 3.05 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 14 / 352
  • 34. PROBLEMA 5 (Respuesta)Recordemos que la rapidez media se define como el cambio de posici´n ocon respecto al tiempo, esto es: ∆r desplazamiento v= = (1) ∆t tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 15 / 352
  • 35. PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
  • 36. PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: d1 t1 = = v1 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
  • 37. PROBLEMA 5 (Respuesta)Primero el objeto recorri´ d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s; oCuanto tiempo tard´ en recorrer esa distancia? oSabemos que la velocidad v es: d v= tdonde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1 , d1 = 73.1m y v1 = 1.22 msobtenemos: d1 73.1m t1 = = = 59.91s v1 1.22 m sPor lo tanto tardo 59.91 segundos en recorrer los primeros 73.1m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 16 / 352
  • 38. PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: t2 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
  • 39. PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: d2 t2 = = v2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
  • 40. PROBLEMA 5 (Respuesta)Que pasa en el segundo tramo? tambien recorri´ 73.1m pero a una ovelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos: d2 73.1m t2 = = = 23.96s v2 3.05m/s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 17 / 352
  • 41. PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento v= = tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
  • 42. PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento d1 + d2 v= = tiempo t1 + t2 esto es: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
  • 43. PROBLEMA 5 (Respuesta)Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuaci´n (1) podemos encontrar ahora la orapidez media: desplazamiento d1 + d2 v= = tiempo t1 + t2 esto es: 73.1m + 73.1m 146.20m v= = = 1.74m/s 59.91s + 23.96s 83.87spor lo tanto, la rapidez media de ´ste objeto fue 1.74m/s. e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 18 / 352
  • 44. PROBLEMA 6Un corredor completa una vuelta alrededor de una pista de 300 metros enun tiempo de 30 segundos. Cu´l es su rapidez promedio? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 19 / 352
  • 45. PROBLEMA 6 (Respuesta)Recordemos que la rapidez promedio es la distancia transcurrida d entre eltiempo transcurrido t, entonces:La rapidez promedio es 300m 30slo cual da como resultado m 10 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 20 / 352
  • 46. PROBLEMA 7Cuanto recorrer´ un auto que va a una velocidad de 80 km en media hora, a hsuponiendo que va a velocidad constante? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 21 / 352
  • 47. PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
  • 48. PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
  • 49. PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
  • 50. PROBLEMA 7 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo t = 1 h. 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 22 / 352
  • 51. PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
  • 52. PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = h 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
  • 53. PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = 40km h 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
  • 54. PROBLEMA 7 (Respuesta)Como va a una velocidad constante, la aceleraci´n del auto es cero. oUsando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos: km 1 d = vt = (80 )( h) = 40km h 2Por lo tanto, el auto recorer´ 40km en media hora. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 23 / 352
  • 55. PROBLEMA 8Cuanto recorrer´ un autom´vil que viaja a 90 km en 80min suponiendo que a o hla velocidad es constante? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 24 / 352
  • 56. PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
  • 57. PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
  • 58. PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
  • 59. PROBLEMA 8 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Tiempo t = 80min. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 25 / 352
  • 60. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( )= 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 61. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 62. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: d = vt = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 63. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 64. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = 119.7km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 65. PROBLEMA 8 (Respuesta)Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces: 1h 80min = 80min( ) = 1.33h 60min Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos: km d = vt = (90 )(1.33h) = 119.7km hPor lo tanto el autom´vil recorrer´ 119.7km en 80min o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 26 / 352
  • 66. PROBLEMA 9Que distancia recorrer´ un autob´s que lleva una velocidad constante de a u km80 h en un d´ y medio? ıa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 27 / 352
  • 67. PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
  • 68. PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
  • 69. PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
  • 70. PROBLEMA 9 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 80 km ; h 2 Tiempo t = 1 d´ y medio. ıaComo observamos en las unidades de velocidad, el tiempo esta en horas,mientras el tiempo que nos da el problema esta en unidades de dia, perosabemos que un d´ son 24 horas, entonces medio d´ son 12 horas, por lo ıa ıatanto un d´ y medio son 36 horas. ıa FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 28 / 352
  • 71. PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: d = vt = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
  • 72. PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
  • 73. PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = 2880km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
  • 74. PROBLEMA 9 (Respuesta)Usando la ecuaci´n: o d v= tdespejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente: km d = vt = (80 )(36h) = 2880km h Por lo tanto, el autob´s recorrer´ 2880km u a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 29 / 352
  • 75. PROBLEMA 10Un autom´vil recorre 30km en 30min. Cual es su velocidad? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 30 / 352
  • 76. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
  • 77. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
  • 78. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
  • 79. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 distancia d = 30km; 2 Tiempo t = 30min. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 31 / 352
  • 80. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy com´n que las unidades de velocidad u kmesten en h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces: 1h 30min = 30min( )= 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 32 / 352
  • 81. PROBLEMA 10 (Respuesta)Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy com´n que las unidades de velocidad u kmesten en h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces: 1h 30min = 30min( ) = .5h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 32 / 352
  • 82. PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km v= = .5h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
  • 83. PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km km v= = 60 .5h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
  • 84. PROBLEMA 10 (Respuesta)Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t datos en la ecuaci´n anterior tenemos o 30km km v= = 60 .5h hPor lo tanto su velocidad es de 60 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 33 / 352
  • 85. PROBLEMA 11Un autob´s recorre 9km en 2 horas. Cual es su velocidad? u FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 34 / 352
  • 86. PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
  • 87. PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
  • 88. PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; 2 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
  • 89. PROBLEMA 11 (Respuesta)Como datos tenemos: 1 Distancia d = 9km; 2 Tiempo t = 2h. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 35 / 352
  • 90. PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
  • 91. PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km v= = 2h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
  • 92. PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km km v= = 4.5 2h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
  • 93. PROBLEMA 11 (Respuesta)Para solucionar este problema podemos usar la ecuaci´n o d v= tsustituyendo los valores de d y t en la ecuaci´n anterior tenemos o 9km km v= = 4.5 2h hPor lo tanto la velocidad del autob´s es de 4.5 km . u h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 36 / 352
  • 94. PROBLEMA 12Una part´ıcula tiene una velocidad de 3 m .Cuanto tiempo tardar´ en s arecorrer 8km ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 37 / 352
  • 95. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 96. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 97. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 98. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 8km = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 99. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 1000m 8km = 8km( )= 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 100. PROBLEMA 12 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad v = 3 m ; s 2 Distancia d = 8km.Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es: 1000m 8km = 8km( ) = 8000m 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 38 / 352
  • 101. PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d t= = v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
  • 102. PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = v 3ms FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
  • 103. PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = 2666.66s v 3ms FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
  • 104. PROBLEMA 12 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o d v= tde la ecuaci´n anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo los ovalores de d y v tenemos: d 8000m t= = = 2666.66s v 3msPor lo tanto la part´ ıcula tardara 2666.66s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 39 / 352
  • 105. PROBLEMA 13Un autob´s va a una velocidad de 90 km . Cuanto tiempo tardar´ en u h arecorrer 160km? Suponiendo que la velocidad es constante. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 40 / 352
  • 106. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 107. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 108. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 109. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 110. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d t= = v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 111. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = v 90 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 112. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = 1.77h v 90 km h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 113. PROBLEMA 13 (Respuesta)Como datos que nos da el problema tenemos: 1 Velocidad v = 90 km ; h 2 Distancia d = 160km.Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituyeno los valores de d oy v tenemos: d 160km t= = = 1.77h v 90 km hPor lo tanto, el autob´s tardar´ 1.77h u a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 41 / 352
  • 114. MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTANTEFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 42 / 352
  • 115. PROBLEMA 14Una nave espacial avanza en el espacio libre con una aceleraci´n constante o mde 9.8 s 2Si parte del reposo Cuanto tiempo tardar´ en adquirir una velocidad de la adecima parte de la velocidad de la luz? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 43 / 352
  • 116. PROBLEMA 14 (Respuesta)Como la nave parte del reposo tenemos entonces que su velocidad iniciales cero, es decir, v0 = 0, nos dice tambi´n el problema que la nave espacial edeber´ adquirir la decima parte de la velocidad de la luz, recordemos que ala velocidad de la luz representada por c es 3x108 m , entonces la decima sparte de la velocidad de la luz es 3x107 m , esta cantidad representa la svelocidad final vf adquirida por la nave en ese momento. El ulimo dato mque nos dice la redacci´n del problema es que la aceleraci´n a es de 9.8 s 2 . o o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 44 / 352
  • 117. PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
  • 118. PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 s t= = m = a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
  • 119. PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 t= = s m = 3.06x106 s a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
  • 120. PROBLEMA 14 (Respuesta)Podemos utilizar la ecuaci´n: o vf = v0 + atDe la ecuaci´n anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da: o vf − v0 t= aa la ecuaci´n anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, que oson:vf = 3x107 m , v0 = 0 y a = 9.8 s 2 esto es: s m vf − v0 3x107 m − 0 t= = s m = 3.06x106 s a 9.8 s 2 Entonces, el tiempo que tarda la nave espacial en alcanzar la decimaparte de la velocidad de la luz es: 3.06x106 s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 45 / 352
  • 121. PROBLEMA 15Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30 m con un s´ngulo de 30 grados con la horizontal; Cu´l sera su alcance m´ximo?a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 46 / 352
  • 122. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 123. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 124. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 125. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 126. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 127. PROBLEMA 15 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o m ay = g = −9.8 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 47 / 352
  • 128. PROBLEMA 15 (Respuesta)Para encontrar la distancia m´xima que denotaremos como Xmax anecesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia m´xima o alcance m´ximo desde que es disparado, para ello a apodemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 1 Y = v0y t + ay t 2 2donde Y es la distancia vertical del proyectil FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 48 / 352
  • 129. PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
  • 130. PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
  • 131. PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 scomo vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, ya que avuelve a caer al piso , asi que haciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos oqueda: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
  • 132. PROBLEMA 15 (Respuesta)Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores que corresponden a v0y y oay tenemos: m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 scomo vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, ya que avuelve a caer al piso , asi que haciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos oqueda: m 1 m 0 = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 49 / 352
  • 133. PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
  • 134. PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
  • 135. PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 sla anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de disparar elproyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 )t = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
  • 136. PROBLEMA 15 (Respuesta)entonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 sla anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de disparar elproyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 )t = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 3.06s 9.8 s 2Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso, que esprecisamente en el alcance m´ximo del proyectil. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 50 / 352
  • 137. PROBLEMA 15 (Respuesta)Ahora usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x y t, podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = 79.53m sPor lo tanto el alcance m´ximo del proyectil sera de 79.53m. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 51 / 352
  • 138. PROBLEMA 16Con que velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arribapara que llegue a una altura de 15.2m? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 52 / 352
  • 139. PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
  • 140. PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
  • 141. PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
  • 142. PROBLEMA 16 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura m´xima d = 15.2m; a 2 Velocidad final vf = 0 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 53 / 352
  • 143. PROBLEMA 16 (Respuesta)Como se lanza verticalmente hacia arriba, la aceleraci´n que va a tener la o mpelota es de a = −9.8 s 2 , notemos que es negativa porque la pelota selanza hacia arriba, pero la fuerza de gravedad jala a la pelota hacia abajodandole una aceleraci´n negativa, es decir, meintras sube la pelota, ´sta va o edesacelerando. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 54 / 352
  • 144. PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ v0 = −2ad = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
  • 145. PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
  • 146. PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = 17.26 s2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
  • 147. PROBLEMA 16 (Respuesta)Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o vf2 = v0 + 2ad 2 mEntonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8 s 2 , vf = 0 yd = 15.2m tenemos: √ m m v0 = −2ad = −2(−9.8 )(15.2m) = 17.26 s2 sPor lo tanto, la velocidad con que debe lanzarse la pelota es: 17.26 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 55 / 352
  • 148. PROBLEMA 17Un autom´vil se mueve primero 120 km , pero luego desacelera llegando a o huna velocidad de 80 km en cuatro segundos. Cu´l fue su aceleraci´n? h a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 56 / 352
  • 149. PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
  • 150. PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
  • 151. PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
  • 152. PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final vf = 80 km h 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
  • 153. PROBLEMA 17 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 120 km ; h 2 Velocidad final vf = 80 km h 3 Tiempo t = 4s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 57 / 352
  • 154. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m v0 = 120 ( )( )( )= h 60min 60s 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 155. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 156. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km vf = 80 h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 157. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h vf = 80 ( ) h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 158. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min vf = 80 ( )( ) h 60min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 159. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min 1000m vf = 80 ( )( )( )= h 60min 60s 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 160. PROBLEMA 17 (Respuesta) km mPrimero convirtamos h en s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces: km 1h 1min 1000m m v0 = 120 ( )( )( ) = 33.33 h 60min 60s 1km s km 1h 1min 1000m m vf = 80 ( )( )( ) = 22.22 h 60min 60s 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 58 / 352
  • 161. PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
  • 162. PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s a= = 4s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
  • 163. PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s m a= = − 2.7 2 4s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
  • 164. PROBLEMA 17 (Respuesta)Ahora podemos utilizar la ecuaci´n: o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o 22.22 m − 33.33 m s s m a= = − 2.7 2 4s sComo vemos la aceleraci´n es negativa porque el autom´vil desacelera. o o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 59 / 352
  • 165. PROBLEMA 18Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 3 s y en 8 segundos despues llega a una velocidad de 16 m m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 60 / 352
  • 166. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 167. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 168. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 169. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 170. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 171. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 16 m − 3 m s s a= = 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 172. PROBLEMA 18 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 3 m ; s 2 Velocidad final vf = 16 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Recordamos que la aceleraci´n est´ definida como el cambio de velocidad o acon respecto al tiempo; esto es: vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 16 m − 3 m s s m a= = 1.625 2 8s s m Por lo tanto, la aceleraci´n de esta part´ o ıcula es de 1.625 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 61 / 352
  • 173. PROBLEMA 19Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 10 s y en 3 segundos despues tiene una velocidad de 45.5 m . m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 62 / 352
  • 174. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 175. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 176. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 177. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 178. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 179. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 180. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s a= = 3s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 181. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s m a= = 11.83 2 3s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 182. PROBLEMA 19 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Velocidad final vf = 45.5 m ; s 3 Tiempo t = 3s.Recordemos que la aceleraci´n esta definida como el cambio de velocidad ocon respecto al tiempo, esto es vf − v0 a= tUtilizando la ecuaci´n anterior y sustituyendole los valores de v0 , vf y t otenemos: 45.5 m − 10 m s s m a= = 11.83 2 3s s m Por lo tanto, la aceleraci´n de la part´ o ıcula es de 11.83 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 63 / 352
  • 183. PROBLEMA 20Un paracaidista, despues de saltar cae 50 metros sin rozamiento; cuando m ıdas, este retarda su ca´ −2 s 2 llegando al suelo con unase abre el paraca´ ıdavelocidad de 3 m . Cuanto tiempo dura el paracaidista en el aire? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 64 / 352
  • 184. PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: vfI = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
  • 185. PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: vfI = 2aI d = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
  • 186. PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
  • 187. PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = 31.3 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
  • 188. PROBLEMA 20 (Respuesta)Como el paracaidista cae 50m en ca´ libre; para resolver este problema ıdapodemos dividirlo en dos regiones:La regi´n I es cuando el paracaidista no ha abierto el paraca´ o ıdas y la regi´n oII cuando ya abrio el paraca´ ıdas; entonces, en la regi´n I, la velocidad oinicial v0I es cero. Como cae en ca´ libre la aceleraci´n es debido a la ıda o mfuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8 s 2 y la distancia d es de 50m.Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuaci´n: o 2 2 vfI = v0I + 2aI d mSustituyendo v0I = 0, aI = 9.8 s 2 y d = 50m en la ecuaci´n anterior otenemos: m m vfI = 2aI d = 2(9.8 2 )(50m) = 31.3 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 65 / 352
  • 189. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
  • 190. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
  • 191. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 3.19s 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
  • 192. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuaci´n: o 1 2 d = v0I t1 + aI t1 2 mSustituyendo en la ecuaci´n anterior v0I = 0,aI = 9.8 s 2 , d = 50m y odespejando t1 tenemos: 2(50m) t1 = m = 3.19s 9.8 s 2Entonces el tiempo t1 que tarda en recorrer los primeros 50m es 3.19s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 66 / 352
  • 193. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: t2 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
  • 194. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II t2 = = aII FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
  • 195. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II 3 m − 31.3 m t2 = = s m s = aII −2 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
  • 196. PROBLEMA 20 (Respuesta)Ahora, en la regi´n II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de la oregi´n uno;esto es, v0II = vfI = 31.3 m . o sEl problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3 m ; esto es, vfII = 3 m . Con una aceleraci´n retardadora de a2 = −2 s 2 . s s o mPara encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuaci´n: o vfII = v0II + aII t2despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3 m , v0II = 31.3 m y aII = −2 s 2 s s mtenemos: vfII − v0II 3 m − 31.3 m t2 = = s m s = 14.15s aII −2 s 2Entonces el tiempo t2 que tarda en llegar al suelo es 14.15s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 67 / 352
  • 197. PROBLEMA 20 (Respuesta)Entonces el tiempo que dura el paracaidista en el aire es la suma de eltiempo en la regi´n I y el tiempo en la regi´n II, esto es: o o t = t1 + t2 = 14.15s + 3.19s = 17.34sPor lo tanto, el tiempo que dura el paracaidista en el aire es 17.34s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 68 / 352
  • 198. PROBLEMA 21Se deja caer una piedra al agua desde un puente que esta a 44m de lasuperficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1sdespues de soltar la primer piedra. Ambas piedras llegan al mismo tiempo.Cu´l fue la velocidad inicial de la segunda piedra? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 69 / 352
  • 199. PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
  • 200. PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d t= = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
  • 201. PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d 2(44m) t= = m = a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
  • 202. PROBLEMA 21 (Respuesta)La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2 msustituyendo v0 = 0, a = 9.8 s 2 , d = 44m que es la distancia que recorrer´ala piedra y despejando el tiempo t , tenemos: 2d 2(44m) t= = m = 2.99s a 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 70 / 352
  • 203. PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 v02 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
  • 204. PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m v02 = = 1.99s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
  • 205. PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m m v02 = = 12.36 1.99s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
  • 206. PROBLEMA 21 (Respuesta)La segunda piedra se arroja un segundo despu´s; es decir, que tarda en ellegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuaci´n : o 1 d = v02 t + at 2 2 msustituyendo d = 44m, a = 9.8 s 2 ,t = 1.99s tenemos: 1 m 44m = v02 (1.99s) + (9.8 2 )(1.99s)2 2 sesto es: 44m = v02 (1.99s) + 19.4my despejando v02 44m − 19.4m m v02 = = 12.36 1.99s sPor lo tanto, la velocidad inicial con la que se arroja la segunda piedra es12.36 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352
  • 207. PROBLEMA 22Cu´l va a ser la velocidad de una part´ a ıcula a los 8s despues de haberacelerado con una aceleraci´n de 18 s 2 , si su velocidad era de 10 m justo o m santes de acelerar? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 72 / 352
  • 208. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 209. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 210. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 211. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 212. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 213. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 214. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 215. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = 10 + 144 = s s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 216. PROBLEMA 22 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 10 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 18 s 2 ; o 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf = v0 + atSustituyendo los valores de v0 , a y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o m m m m m vf = 10 + (18 2 )(8s) = 10 + 144 = 154 s s s s s Por lo tanto, la velocidad que alcanzar´ la part´ a ıcula a los 8 segundosdespues de acelerar ser´ de 154 m . a s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 73 / 352
  • 217. PROBLEMA 23Una part´ ıcula tiene una velocidad de 18 m . Cuanto tiempo tardar´ en s aalcanzar una velocidad de 25 m despues de experimentar una aceleraci´n s o mde 4.5 s 2 ? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 74 / 352
  • 218. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 219. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 220. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 221. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s 3 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 222. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 223. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 t= = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 224. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s t= = m = a 4.5 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 225. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s 7ms t= = m = m = a 4.5 s 2 4.5 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 226. PROBLEMA 23 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 18 m ; s 2 Velocidad final vf = 25 m ; s m 3 Aceleraci´n a = 4.5 s 2 . oPodemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tDespejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior otenemos: vf − v0 25 m − 18 m s s 7ms t= = m = m = 1.55s a 4.5 s 2 4.5 s 2Por lo tanto la part´ ıcula tardar´ 1.55s a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 75 / 352
  • 227. PROBLEMA 24Cuanto tiempo tardar´ en llegar al piso una piedra que se deja caer desde auna altura de 20m?Supongamos que la fuerza de fricci´n en el aire se puede despreciar. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 76 / 352
  • 228. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 229. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 230. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 231. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 232. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia d = 20m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 233. PROBLEMA 24 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra); m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad); o o 3 Distancia d = 20m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 77 / 352
  • 234. PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
  • 235. PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m t= m = 4.9 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
  • 236. PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m √ t= m = 4.08s 2 = 4.9 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
  • 237. PROBLEMA 24 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 20m = 0(t) + (9.8 2 )t 2 2 sDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior, tenemos: o 20m √ t= m = 4.08s 2 = 2.02s 4.9 s 2la piedra tardar´ en llegar al piso 2.02s a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 78 / 352
  • 238. PROBLEMA 25A que distancia se hab´ dejado caer una piedra que tard´ en llegar al ıa osuelo 20s, suponiendo que no hay fuerza de fricci´n provocada por el aire? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 79 / 352
  • 239. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 240. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 241. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 242. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 243. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo t = 20s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 244. PROBLEMA 25 (Respesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 0 m ; s m 2 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (aceleraci´n debido a la fuerza de gravedad); o o 3 Tiempo t = 20s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 80 / 352
  • 245. PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
  • 246. PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
  • 247. PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = 1960m s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
  • 248. PROBLEMA 25 (Respesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n : o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o m 1 m d =0 (20s) + (9.8 2 )(20s)2 = 1960m s 2 sPor lo tanto, la pierdra se dejo caer a una altura de 1960m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 81 / 352
  • 249. PROBLEMA 26Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que viajaba inicialmente a unavelocidad de 20 s y en 8s despues alcanz´ una velocidad de 26 m ? m o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 82 / 352
  • 250. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 251. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 252. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 253. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 254. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 255. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 256. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s a= = 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 257. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s m a= = .75 2 8s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 258. PROBLEMA 26 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0 = 20 m ; s 2 Velocidad final vf = 26 m ; s 3 Tiempo t = 8s.Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tsustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos: o 26 m − 20 m s s m a= = .75 2 8s s mPor lo tanto, la aceleraci´n de la part´ o ıcula es de .75 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 83 / 352
  • 259. PROBLEMA 27Una pelota para cada rebote tarda 2 segundos. Cu´l es la altura m´xima a aque alcanza?Supongamos que siempre llega a la misma altura. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 84 / 352
  • 260. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 261. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 262. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 263. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 264. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final vf = 0 m (en la altura m´xima la velocidad de la s a pelota es cero); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 265. PROBLEMA 27 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tarda un segundo llegar del suelo a la altura m´xima); a m 2 Aceleraci´n a = −9.8 s 2 (aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad, o o siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza de gravedad la empuja hacia abajo); 3 Velocidad final vf = 0 m (en la altura m´xima la velocidad de la s a pelota es cero); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 85 / 352
  • 266. PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: v0 = vf − at = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
  • 267. PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: m m v0 = vf − at = 0 − (−9.8 2 )(1s) s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
  • 268. PROBLEMA 27 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o vf − v0 a= tde la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendo olos datos tenemos: m m v0 = vf − at = 0 − (−9.8 2 )(1s) s sentonces: m v0 = 9.8 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 86 / 352
  • 269. PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 d = v0 t + at 2 = 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
  • 270. PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 m 1 m d = v0 t + at 2 = (9.8 )(1s) + (−9.8 2 )(1s)2 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
  • 271. PROBLEMA 27 (Respuesta)Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia m´xima desde el suelo usando la siguiente ecuaci´n: a o 1 m 1 m d = v0 t + at 2 = (9.8 )(1s) + (−9.8 2 )(1s)2 2 s 2 sentonces: d = 4.9mPor lo tanto la altura m´xima que alcanza la pelota es de 4.9 metros. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 87 / 352
  • 272. PROBLEMA 28Una piedra se deja caer a 25m sobre el piso. Cu´l es el tiempo que tarda aen llegar al piso? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 88 / 352
  • 273. PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
  • 274. PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
  • 275. PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s 3 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
  • 276. PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s m 3 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (es la aceleraci´n debido a la fuerza de o o gravedad). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
  • 277. PROBLEMA 28 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia d = 15m 2 Velocidad inicial v0 = 0 m (la piedra se deja caer); s m 3 Aceleraci´n a = 9.8 s 2 (es la aceleraci´n debido a la fuerza de o o gravedad). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 89 / 352
  • 278. PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
  • 279. PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) t= m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
  • 280. PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) √ t= m = 3.06s 2 = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
  • 281. PROBLEMA 28 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la ecuaci´n o 1 d = v0 t + at 2 2Sustituyendo los datos en la ecuaci´n anterior tenemos o m 1 m 15m = (0 )t + (9.8 2 )t 2 s 2 sDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior,tenemos o 2(15m) √ t= m = 3.06s 2 = 1.74s 9.8 s 2Por lo tanto, el tiempo que tarda la piedra en llegar al piso es de 1.74s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 90 / 352
  • 282. PROBLEMA 29La posici´n de una part´ o ıcula que se mueve en el eje x es funci´n del otiempo, de acuerdo a la ecuaci´n: o vx0 x= (1 − e −kt ) ken donde vx0 y k son constantes. Como est´ dada su velocidad? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 91 / 352
  • 283. PROBLEMA 29 (Respuesta)Recordemos que la velocidad es la derivada de la posici´n con respecto al otiempo, es decir: dx v= dtentonces d( vk (1 − e −kt )) x0 v= dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 92 / 352
  • 284. PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 v= = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
  • 285. PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
  • 286. PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) = = dt k dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
  • 287. PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) vx0 −kt d(−kt) = = e = dt k dt k dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
  • 288. PROBLEMA 29 (Respuesta)Desarrollando lo que est´ dentro de la derivada anterior obtenemos: a d( vk − vk e −kt ) x0 x0 d( vk ) d( vk e −kt ) x0 x0 v= = − (2) dt dt dtRecordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vkx0como constante; entonces: d( vk ) x0 =0 (3) dtTambien recordemos que la derivada de e u es e u du, entonces tenemos: d( vk e −kt ) x0 vx0 d(e −kt ) vx0 −kt d(−kt) vx0 −kt = = e = e (−k) dt k dt k dt kpor lo tanto d( vk e −kt ) x0 = −vx0 e −kt (4) dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 93 / 352
  • 289. PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = dt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
  • 290. PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = 0 − (−vx0 e −kt ) dtpor lo tanto dx = vx0 e −kt dtes decir que la velocidad de esta part´ ıcula est´ dada por: a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
  • 291. PROBLEMA 29 (Respuesta)Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que: d( vk − vk e −kt ) x0 x0 = 0 − (−vx0 e −kt ) dtpor lo tanto dx = vx0 e −kt dtes decir que la velocidad de esta part´ ıcula est´ dada por: a v = vx0 e −kt FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 94 / 352
  • 292. PROBLEMA 30Una persona ve que una maceta pasa frente una ventana de 1.52m dealtura, primero de subida y luego de bajada. Si el tiempo total que ve lamaceta es de 1 segundo, encuentre la altura sobre la ventana que sube lamaceta. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 95 / 352
  • 293. PROBLEMA 30 (Respuesta)El tiempo total que la persona ve la maceta es de 1 segundo, es decir queel tiempo que ve subir la maceta es de .5 segundos y el tiempo que vebajar la maceta es de .5 segundos, esto es , porque el tiempo de subida yde bajada de cualquier objeto cuya unica fuerza que act´a sobre ´l es la ´ u efuerza de gravedad debe ser el mismo, ya que la fuerza de gravedad es unafuerza conservativa. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 96 / 352
  • 294. PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1.52m = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
  • 295. PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
  • 296. PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a 1 m 1.52m + 9.8 2 (.5s)2 = v0y (.5s) 2 sentonces v0y = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
  • 297. PROBLEMA 30 (Respuesta)Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 2donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleraci´n a es o migual a −9.8 s 2 , observemos que la aceleraci´n es negativa porque la omaceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior tenemos: o 1 m 1.52m = v0y (.5s) − 9.8 2 (.5s)2 2 s esto es igual a 1 m 1.52m + 9.8 2 (.5s)2 = v0y (.5s) 2 sentonces 1.52m + 1 9.8 s 2 (.5s)2 2 m m v0y = = 5.49 .5s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 97 / 352
  • 298. PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: H= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
  • 299. PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: (5.49 m )2 s H= − m = 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
  • 300. PROBLEMA 30 (Respuesta)Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o m´xima H que sube la maceta, apodemos usar la siguiente ecuaci´n: o v 2 = v0 + 2ad 2donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta deja mde subir y comienza a caer, la aceleraci´n es −9.8 s 2 , la altura m´xima es o aH, entonces la formula queda de la siguiente manera: 2 0 = v0y + 2aHentonces despejando H tenemos: 2 v0y H=− 2aesto es: (5.49 m )2 s H= − m = 1.537m 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 98 / 352
  • 301. PROBLEMA 30 (Respuesta)Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura m´xima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la altura asobre la ventana yf . yf = H − h = 1.537m − 1.52m = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 99 / 352
  • 302. PROBLEMA 30 (Respuesta)Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura m´xima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la altura asobre la ventana yf . yf = H − h = 1.537m − 1.52m = .017mEntonces, la altura que sube la maceta sobre la ventana es .017m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 99 / 352
  • 303. PROBLEMA 31Demostrar que el alcance m´ximo vertical de un proyectil es a (v0 sin θ)2 ymax = 2g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 100 / 352
  • 304. PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o uvertical, esto es: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
  • 305. PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o u mvertical, esto es: ay = −9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
  • 306. PROBLEMA 31 (Respuesta)La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad act´a solo en forma vertical, asi uque la unica aceleraci´n que tenemos es la aceleraci´n que act´a de forma ´ o o u mvertical, esto es: ay = −9.8 s 2 que es la aceleraci´n debido a la fuerza de ogravedad, es negativa porque inicialmente el proyectil va hacia arriba y laaceleraci´n apunta hacia abajo. oEn la altura m´xima observamos que el proyectil deja de elevarse para ainmediatamente despu´s caer; entonces, la velocidad vfy en la altura em´xima es cero. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 101 / 352
  • 307. PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 vfy = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
  • 308. PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
  • 309. PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: 2 2 vfy − v0y ymax = −2g no olvidemos que vfy = 0 asi que la ecuaci´n anterior queda de la osiguiente manera: 2 −v0y ymax = −2gpero v0y = v0 sin θ entonces: ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
  • 310. PROBLEMA 31 (Respuesta)Entonces usamos la siguiente ecuaci´n para resolver el problema. o vf2 = v0 + 2ad 2 (5)Sustituyendo en la ecuaci´n (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y , od = ymax y a = −g tenemos: 2 2 vfy = v0y − 2aymaxdespejando ymax tenemos: 2 2 vfy − v0y ymax = −2g no olvidemos que vfy = 0 asi que la ecuaci´n anterior queda de la osiguiente manera: 2 −v0y ymax = −2gpero v0y = v0 sin θ entonces: (v0 sin θ)2 ymax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) 2g PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352
  • 311. PROBLEMA 32Un rifle que tiene una velocidad de salida de 457 m . Dispara una bala a un sblanco pequeo colocado a 45.7m de distancia. Cuanto debe elevarse el riflesobre el blanco, para que la bala d´ en el blanco? e FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 103 / 352
  • 312. PROBLEMA 32 (Respuesta)Necesitamos encontrar la altura del rifle, llamemosle a esta altura y , paraque cuando la bala salga horizontalmente, de en el blanco; Observemosque al salir de la pistola, la unica fuerza que se ejerce sobre la bala es lafuerza de gravedad, esta fuerza empujar´ a la bala hacia abajo. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 104 / 352
  • 313. PROBLEMA 32 (Respuesta)Entonces como datos tenemos que la unica aceleraci´n de la bala es la ´ oaceleraci´n vertical ejercida por la fuerza de gravedad, esta aceleraci´n es o o m−9.8 s 2 , es negativa porque apunta hacia abajo, la veloidad inicial v0x es457 m y la distancia horizontal x que va a recorrer la bala es 45.7m. s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 105 / 352
  • 314. PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
  • 315. PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: x 45.7m t= = = v0x 457 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
  • 316. PROBLEMA 32 (Respuesta)Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (6) 2Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457 m y sa = ax = 0 tenemos: x 45.7m t= = = .1s v0x 457 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 106 / 352
  • 317. PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
  • 318. PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: 1 m y = − 9.8 2 (.1s)2 = 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
  • 319. PROBLEMA 32 (Respuesta)Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuaci´n (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos: o y = v0y t + ay t mSustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8 s 2negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos: 1 m y = − 9.8 2 (.1s)2 = − .049m 2 s Entonces, −.049m es la distancia que baja la bala al momento de salir delrifle, por eso di´ negativa, asi que por lo tanto, es la distancia que se debe oelevar el rifle para darle en el blanco. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 107 / 352
  • 320. PROBLEMA 33Una pelota es pateada desde el suelo y sale disparada a un ´ngulo de 45 agrados. La pelota llega a 106.7m de distancia, si la pelota va hacia unabarda de 7m de altura h situada a 98m de distancia del pateador. Pasar´ aesta sobre la barda? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 108 / 352
  • 321. PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
  • 322. PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
  • 323. PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
  • 324. PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
  • 325. PROBLEMA 33 (Respuesta)Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = .7071v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 109 / 352
  • 326. PROBLEMA 33 (Respuesta)Ahora, como vemos , no tenemos la velocidad inicial, pero si sabemos quela distancia m´xima que llega la pelota que denotaremos como x es a106.7m, entonces, usando la ecuaci´n: o d v= ty sustituyendo d = x y v = v0x = .7071v0 podemos encontrar el tiempoque tarda en recorrer toda la distancia x en funcion de la velocidad inicialv0 ; esto es: x t= (7) .7071v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 110 / 352
  • 327. PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y t1 = = a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
  • 328. PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y −v0y t1 = = = a −g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
  • 329. PROBLEMA 33 (Respuesta)Por otro lado, tenemos que en la altura m´xima, la componente vertical de ala velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura m´xima aempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleraci´n overtical es −g ;entonces, usando la ecuaci´n o Vf = V0 + atPodemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura m´xima aque denotaremos como t1 , esto es: vfy − v0y −v0y .7071v0 t1 = = = a −g g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 111 / 352
  • 330. PROBLEMA 33 (Respuesta)El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir, pero recordemos que lafuerza de gravedad es una fuerza conservativa, esto hace que el tiempoque un cuerpo tarda en subir, sea el mismo tiempo que tarda en bajar, siesta fuerza es la unica que actua sobre ´l; por lo tanto, el tiempo total que ´ ela pelota tarda en subir y bajar otra vez al piso es de 2t1 , esto es: t = 2t1entonces: .7071v0 t = 2t1 = 2 g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 112 / 352
  • 331. PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
  • 332. PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
  • 333. PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: m (9.8 s 2 )(106.7m) v0 = = 2(.7071)2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
  • 334. PROBLEMA 33 (Respuesta)Sustituyendo t en (7) tenemos: x .7071v0 =2 .7071v0 gDespejando v0 en la ecuaci´n anterior tenemos: o gx v0 = 2(.7071)(.7071)entonces: m (9.8 s 2 )(106.7m) m v0 = 2 = 32.33 2(.7071) s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 113 / 352
  • 335. PROBLEMA 33 (Respuesta)Ahora, ya que conocemos la velocidad inicial, podemos enconrar el tiempoen que la pelota recorre los 98m que es la distancia en que se encuentra labarda, usando la ecuaci´n (7) tenemos: o x 98m t= = = 4.286s .7071v0 .7071(32.33 m ) s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 114 / 352
  • 336. PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
  • 337. PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: m 1 m y = 32.33 (.7071)(4.286s) − (9.8 2 )(4.286s)2 s 2 spor lo tanto: FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
  • 338. PROBLEMA 33 (Respuesta)Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los ´4.286s segundos en que fue pateada, esto es: 1 y = v0y t + at 2 2entonces: 1 y = v0 sin 45(t) − gt 2 2entonces: m 1 m y = 32.33 (.7071)(4.286s) − (9.8 2 )(4.286s)2 s 2 spor lo tanto: y = 7.96m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 115 / 352
  • 339. PROBLEMA 33 (Respuesta)La altura y = 7.96m, es la altura de la pelota en la distancia en la queest´ la barda. aPor lo tanto la pelota pasa por arriba de la barda ya que esta mide 7m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 116 / 352
  • 340. PROBLEMA 34Se dispara un proyectil desde el piso a un ´ngulo de 25 con una velocidad a mde 10 s . Cu´l ser´ su altura m´xima? a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 117 / 352
  • 341. PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
  • 342. PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
  • 343. PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
  • 344. PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial v0y = (10 m )(sin 25) = 4.22 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
  • 345. PROBLEMA 34 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Componente horizontal de la velocidad inicial v0x = (10 m )(cos 25) = 9.06 m ; s s 2 Componente vertical de la velocidad inicial v0y = (10 m )(sin 25) = 4.22 m ; s s m 3 Aceleraci´n vertical ay = g = −9.8 s 2 (negativa porque el proyectil o inicialmente va hacia arriba y la fuerza de gravedad empuja el proyectil hacia abajo). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 118 / 352
  • 346. PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 (0 ) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
  • 347. PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
  • 348. PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
  • 349. PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o −(4.22 m )2 s y= m = .90m 2(9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
  • 350. PROBLEMA 34 (Respuesta)Cuando la altura es m´xima la velocidad vertical del proyectil es cer; esto aes vfy = 0.Usando la ecuaci´n o 2 2 vfy = v0y + 2gyy sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos: m 2 m m (0 ) = (4.22 )2 + s(−9.8 2 )y s s sDespejando y de la ecuaci´n anterior tenemos: o −(4.22 m )2 s y= m = .90m 2(9.8 s 2 )Por lo tanto el proyectil tendra una altura m´xima de .90m a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 119 / 352
  • 351. PROBLEMA 35Encontrar el ´ngulo θ de disparo para el cual el alcance horizontal es igual aa la m´xima altura de un proyectil. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 120 / 352
  • 352. PROBLEMA 35 (Respuesta)El problema nos pide que la m´xima altura h sea igual al alcance ahorizontal d de un proyectil.Si tenemos una velocidad inicial v0 , entonces:v0x = v0 cos θ y v0y = v0 sin θ. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 121 / 352
  • 353. PROBLEMA 35 (Respuesta)Sabemos que, como no hay aceleraci´n horizontal, la v0x permanece oconstante, entonces: d = v0x t (8) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 122 / 352
  • 354. PROBLEMA 35 (Respuesta)Tambien sabemos que la unica fuerza que act´a sobre el proyectil es la ´ ufuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleraci´n que act´a es ´ o uvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleraci´n apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula: o vf2 = v0 + 2ay 2donde en la altura m´xima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y , aa = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior y odespejando h tenemos: h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 123 / 352
  • 355. PROBLEMA 35 (Respuesta)Tambien sabemos que la unica fuerza que act´a sobre el proyectil es la ´ ufuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleraci´n que act´a es ´ o uvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleraci´n apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula: o vf2 = v0 + 2ay 2donde en la altura m´xima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y , aa = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuaci´n anterior y odespejando h tenemos: 2 v0y h= (9) 2g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 123 / 352
  • 356. PROBLEMA 35 (Respuesta)Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la m´xima aaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuaci´n: o vf = v0 + atpara las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1 , despejando el tiempo tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 124 / 352
  • 357. PROBLEMA 35 (Respuesta)Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la m´xima aaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuaci´n: o vf = v0 + atpara las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1 , despejando el tiempo tenemos: v0y t1 = g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 124 / 352
  • 358. PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
  • 359. PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o v0y d = v0x 2t1 = 2v0x gsustituyendo los valores de v0x , v0y tenemos: d= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
  • 360. PROBLEMA 35 (Respuesta)Pero ´ste tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces, eel tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1 , este tiempolo sustituimos en la ecuaci´n (8) y tenemos: o v0y d = v0x 2t1 = 2v0x gsustituyendo los valores de v0x , v0y tenemos: v0 sin θ d = 2v0 cos θ (10) g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 125 / 352
  • 361. PROBLEMA 35 (Respuesta)El problema nos dice que el alance m´ximo d debe ser igual a la altura am´xima h entonces igualando (9) y (10) a v0 sin2 θ 2 v0 sin θ = 2v0 cos θ 2g gde aqu´ obtenemos que: ı θ = 75.96 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 126 / 352
  • 362. PROBLEMA 36Representar la velocidad de un proyectil en forma vectorial, si ´ste se emueve a una velocidad v a un ´ngulo θ al Norte del Este. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 127 / 352
  • 363. PROBLEMA 36 (Respuesta)La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario ˆ como un i ˆ como el vector envector en direcci´n al Este y al vector unitario j, odirecci´n al Norte oPor lo tanto para representar al vector v tenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 128 / 352
  • 364. PROBLEMA 36 (Respuesta)La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario ˆ como un i ˆ como el vector envector en direcci´n al Este y al vector unitario j, odirecci´n al Norte oPor lo tanto para representar al vector v tenemos: v = v cos θˆ + v sin θˆ i j FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 128 / 352
  • 365. PROBLEMA 37Cu´l es la velocidad que debe de tener una piedra que es lanzada desde auna torre que mide 50m de altura, para que caiga dentro de un pozo queesta a 20m de la torre, si el ´ngulo con que se lanza la piedra es de 30 con ala vertical. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 129 / 352
  • 366. PROBLEMA 37 (Respuesta)Notemos que la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad apunta ohacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (11) 2y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos: h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 130 / 352
  • 367. PROBLEMA 37 (Respuesta)Notemos que la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad apunta ohacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuaci´n: o 1 d = v0 t + at 2 (11) 2y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos: 1 h = v0y t + gt 2 (12) 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 130 / 352
  • 368. PROBLEMA 37 (Respuesta)En la ecuaci´n anterior tenemos como variables tando a t como a θ. oPara encontrar t podemos utilizar la ecuaci´n (11); como en las ocoordenadas horizontales la aceleraci´n es cero, tenemos entonces: o v0x = dtentonces: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 131 / 352
  • 369. PROBLEMA 37 (Respuesta)En la ecuaci´n anterior tenemos como variables tando a t como a θ. oPara encontrar t podemos utilizar la ecuaci´n (11); como en las ocoordenadas horizontales la aceleraci´n es cero, tenemos entonces: o v0x = dtentonces: v0x t= d FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 131 / 352
  • 370. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o h= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 371. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 372. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 373. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m (9.8 s 2 )(20m)2 v0 = = 2 sin 30(50m − 20m cot 30) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 374. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m 3 (9.8 s 2 )(20m)2 3920 m2 s m2 v0 = = = 255.22 2 sin 30(50m − 20m cot 30) 15.35m s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 375. PROBLEMA 37 (Respuesta)Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuaci´n (12) tenemos: o d 1 d2 h = v0 cos θ + g 2 v0 sin θ 2 v0 sin θ2despejando v0 de la ecuaci´n anterior tenemos; o gd 2 v0 = 2 sin θ(h − d cot θ)sustituyendo los valores de g ,d,h θ tenemos: m 3 (9.8 s 2 )(20m)2 3920 m2 s m2 v0 = = = 255.22 2 sin 30(50m − 20m cot 30) 15.35m s2Por lo tanto: m v0 = 15.97 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 132 / 352
  • 376. PROBLEMA 38Cu´l es la aceleraci´n de una part´ a o ıcula que parte del reposo y 6 segundosdespues tiene una velocidad de 40 km ? Si esta part´ h ıcula sigue moviendosecon esa aceleraci´n, cuanto tiempo tardar´ en tener una velocidad de o a80 km ? h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 133 / 352
  • 377. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 40 = 40 h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 378. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 40 = 40 ( ) h h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 379. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 40 = 40 ( )( ) h h 60min 60seg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 380. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m 40 = 40 ( )( )( )= h h 60min 60seg 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 381. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 80 = 80 h h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 382. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 80 = 80 ( ) h h 60min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 383. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 80 = 80 ( )( ) h h 60min 60seg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 384. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 1000m 80 = 80 ( )( )( )= h h 60min 60seg 1km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 385. PROBLEMA 38 (Respuesta)Primero que nada notemos que las velocidades estan en km y el tiempo hdado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km a m para manejar las mismas unidades de h stiempo(segundos). asi que: km km 1h 1min 1000m m 40 = 40 ( )( )( ) = 11.11 h h 60min 60seg 1km s km km 1h 1min 1000m m 80 = 80 ( )( )( ) = 22.22 h h 60min 60seg 1km s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 134 / 352
  • 386. PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
  • 387. PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: vf − vi a= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
  • 388. PROBLEMA 38 (Respuesta)Para resolver este problema primero calculemos la aceleraci´n de esta opart´ ıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40 km que son como acabamos de encontrar 11.11 m .Sabemos h sque la aceleraci´n es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, oentonces: vf − vi 11.11 m − 0 s m a= = = 1.85 2 t 6s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 135 / 352
  • 389. PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
  • 390. PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s t= = = a 6s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
  • 391. PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s 11.11 ms t= = = m = a 6s 1.85 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
  • 392. PROBLEMA 38 (Respuesta)Ahora s, cuanto tiempo tardar´ en alcanzar los 80 km , que son como a hacabamos de ver 22.22 m apartir de la velocidad de 11.11 m ? s sDe la ecuaci´n que ya aplicamos a = vf −vi , podemos despejar el tiempo y o tsustituir vi por 11.11 m , vf por 22.22 m y la aceleraci´n a por 1.85 s 2 s s o mtenemos entonces: vf − vi 22.22 m − 11.11 m s s 11.11 ms t= = = m = 6s a 6s 1.85 s 2 Por lo tanto, 6 segundos despues de haber llegado a 40 km alcanza la hvelocidad de 80 km . h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 136 / 352
  • 393. PROBLEMA 39Cu´l ser´ la velocidad de un proyectl cuyo alcance m´ximo x fue de 50m a ıa asi su ´ngulo de disparo α fue de 60 grados? a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 137 / 352
  • 394. PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
  • 395. PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
  • 396. PROBLEMA 39 (Respuesta)La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son: v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 138 / 352
  • 397. PROBLEMA 39 (Respuesta)En la altura m´xima del proyectil, la velocidad final es cero, es decir avfy = 0, tomando en cuenta que la aceleraci´n es −g , ya que, la otrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleraci´n apunta hacia oabajo, entonces, podemos usar la ecuaci´n o Vf = V0 + at (13)pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos: t1 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 139 / 352
  • 398. PROBLEMA 39 (Respuesta)En la altura m´xima del proyectil, la velocidad final es cero, es decir avfy = 0, tomando en cuenta que la aceleraci´n es −g , ya que, la otrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleraci´n apunta hacia oabajo, entonces, podemos usar la ecuaci´n o Vf = V0 + at (13)pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos: −v0y v0y t1 = = −g g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 139 / 352
  • 399. PROBLEMA 39 (Respuesta)El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectil a la alturam´xima, asi que el tiempo t que tarda en subir y bajar es de 2t1 , esto es: a v0y t = 2t1 = 2 g FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 140 / 352
  • 400. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 401. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 402. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: v0 = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 403. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: gx v0 = = .86 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 404. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: m gx 9.8 s 2 (50m) v0 = = = .86 .86 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 405. PROBLEMA 39 (Respuesta)Ahora en las coordenadas horizontales tenemos: 1 d = v0 t + at 2 2 v0ycon d = x, v0 = v0x ,a = 0 y t = 2 g tenemos: 2v0y x = v0x ( )+0 gpero v0x = v0 cos α = .50v0 v0y = v0 sin α = .86v0entonces: 2(.86v0 ) x = .50v0 ( ) gdespejando v0 tenemos: m gx 9.8 s 2 (50m) m2 v0 = = = 565.8 .86 .86 s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 141 / 352
  • 406. PROBLEMA 39 (Rerspuesta)Por lo tanto, v0 = 23.78 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 142 / 352
  • 407. PROBLEMA 40Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30 m con un s´ngulo de 30 con la horizontal; Cu´l ser´ su alcance m´ximo?a a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 143 / 352
  • 408. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 409. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 410. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 411. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 412. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 413. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s 3 Aceleraci´n vertical o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 414. PROBLEMA 40 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial v0x = v0 cos 30 = (30 m )(.86) = 25.98 m ; s s 2 Coordenada vertical de la velocidad inicial v0y = v0 sin 30 = (30 m )(.5) = 15 m ; s s m 3 Aceleraci´n vertical ay = g = −9.8 s 2 (negativa porque el proyectil o inicialmente va hacia arriba y la fuerza de gravedad empuja el proyectil hacia abajo). FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 144 / 352
  • 415. PROBLEMA 40 (Respuesta)Para encontrar la distancia m´xima que denotaremos como Xmax anecesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia m´xima o alcance m´ximo desde que es disparado, para ello a apodemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 1 Y = v0y t + at 2 2donde Y es la distancia vertical del proyectil y v0y es la coordenadahorizontal de la velocidad inicial.Sustituyendo en la ecuaci´n anterior los datos tenemos: o m 1 m Y = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 145 / 352
  • 416. PROBLEMA 40 (Respuesta)Como vemos en la ecuaci´n anterior , tenemos dos incognitas, una es el otiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia m´xima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, asi que ahaciendo Y = 0 en la ecuaci´n anterior nos queda: o m 1 m 0 = (15 )t + (−9.8 2 )t 2 s 2 sentonces factorizando t nos queda: m 1 m 0 = (15 + (−9.8 2 )t)t s 2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 146 / 352
  • 417. PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
  • 418. PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
  • 419. PROBLEMA 40 (Respuesta)La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que: m 1 m 15 + (−9.8 2 ) = 0 s 2 sentonces si despejamos t de la ecuaci´n anterior tenemos: o 2(15 m ) s t= m = 3.06 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 147 / 352
  • 420. PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a Xmax = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
  • 421. PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
  • 422. PROBLEMA 40 (Respuesta)Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance m´ximo del proyectil. aAhora, usando la ecuaci´n: o Xmax = v0x ty sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancem´ximo,entonces: a m Xmax = (25.98 )(3.06s) = 79.53m sPor lo tanto, el alcance m´ximo del proyectil ser´ de 79.53m. a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 148 / 352
  • 423. PROBLEMA 41Un bal´n es pateado y sale disparado con una velocidad horizontal de 10 m o sdesde un edificio de 50m de altura. A que distancia del edificio pegar´ el abal´n con el suelo? o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 149 / 352
  • 424. PROBLEMA 41 (Respuesta)La unica componente de la veloidad inicial es horizontal, esto es, ´v0x = v0 = 10 m , lo que indica que la componente vertical inicial es nula, sesto es, v0y = 0 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 150 / 352
  • 425. PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
  • 426. PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) t= = m = g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
  • 427. PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) √ t= = m = 10.20s 2 = g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
  • 428. PROBLEMA 41 (Respuesta)Para saber a que distancia x del edificio llegar´ al suelo, necesitamos saber acuanto tiempo tardar´ en caer, entonces podemos utilizar la ecuaci´n: a o 1 d = v0y + at 2 2 mya que a = g = 9.8 s 2 , v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos: 2y 2(50m) √ t= = m = 10.20s 2 = 3.19s g 9.8 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 151 / 352
  • 429. PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o x= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
  • 430. PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o m x = (10 )(3.19s) = s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
  • 431. PROBLEMA 41 (Respuesta)Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuaci´n x = vt tenemos: o m x = (10 )(3.19s) = 31.9m sPor lo tanto, caer´ a 31.9m del edificio. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 152 / 352
  • 432. PROBLEMA 42Cu´l ser´ la altura m´xima de una pelota que es lanzada de forma vertical a a acon una velocidad 20 m desde el suelo? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 153 / 352
  • 433. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 434. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 435. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s 2 Aceleraci´n o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 436. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 437. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); 3 Velocidad final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 438. PROBLEMA 42 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad inicial v0y = 20 m ; s m 2 Aceleraci´n ay = g = −9.8 s 2 (es negativa porque apunta hacia abajo o cuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba); 3 Velocidad final vfy = 0 m (en la altura m´xima la pelota tiene una s a m velocidad de 0 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 154 / 352
  • 439. PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: y= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
  • 440. PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y y= = 2ay FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
  • 441. PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y (0 m )2 − (20 m )2 s s y= = m = 2ay 2(−9.8 s 2 ) FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
  • 442. PROBLEMA 42 (Respuesta)Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuaci´n: o 2 2 vfy = v0y + 2ay yDespejando y de la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0y oy ay tenemos: 2 2 vfy − v0y (0 m )2 − (20 m )2 s s y= = m = 20.4m 2ay 2(−9.8 s 2 )Por lo tanto, la altura m´xima que alcanzar´ la pelota ser´ de 20.4m. a a a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 155 / 352
  • 443. MOVIMIENTO CIRCULARFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 156 / 352
  • 444. PROBLEMA 43Encontrar la magnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta en la punta de un aspa revde un ventilador de .30m de diametro, que gira a 1200 min . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 157 / 352
  • 445. PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev v = 1200 = min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
  • 446. PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev v = 1200 = min FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
  • 447. PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev rev 3.1416(.30m) 1min v = 1200 = (1200 )( )( )= min min 1rev 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
  • 448. PROBLEMA 43 (Respuesta) rev mPrimero convirtamos 1200 min a s usando el di´metro D = .30m, aentonces tenemos que: rev rev πD 1min v = 1200 = (1200 )( )( ) min min 1rev 60sentonces: rev rev 3.1416(.30m) 1min m v = 1200 = (1200 )( )( ) = 18.85 min min 1rev 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 158 / 352
  • 449. PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
  • 450. PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: (18.85 m )2 s a= = .15m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
  • 451. PROBLEMA 43 (Respuesta)Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades m , encontraremos la smagnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta usando la ecuaci´n: o v2 a= Rcon v = 18.85 m y R = s D 2 = .15m, entonces: (18.85 m )2 s m a= = 2368.7 2 .15m s mPor lo tanto,la magnitud de la aceleraci´n centr´ o ıpeta es 2368.7 s 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 159 / 352
  • 452. PROBLEMA 44En el modelo de Bohr del ´tomo de hidr´geno un electr´n gira en torno de a o oun prot´n en una ´rbita circular de radio 5.28x10−11 m con una rapidez o o2.18x106 m ; Cu´l es la aceleraci´n centr´ s a o ıpeta del ´tomo de hidr´geno? a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 160 / 352
  • 453. PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: a= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
  • 454. PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: (2.18x106 m )2 s a= = 5.28x10−11 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
  • 455. PROBLEMA 44 (Respuesta)Tenemos que: v2 a= RSustituyendo en la ecuaci´n anterior v por la velocidad 2.18x106 m y R por o sel radio 5.28x10−11 m tenemos: (2.18x106 m )2 m a= s −11 m = 9x1022 2 5.28x10 s m ıpeta es 9x1022 s 2Por lo tanto, la aceleraci´n centr´ o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 161 / 352
  • 456. PROBLEMA 45La distancia promedio Tierra-Sol es 1.496x1011 m. Cuanto tarda la Tierraen darle la vuelta al Sol si suponemos que su trayecoria es circular?Nota: La masa del Sol es 1.991x1030 kg y la constante de gravitaci´n ouniversal es 6.672x10 −11 Nm2 kg 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 162 / 352
  • 457. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 458. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 459. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 460. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 461. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg 3 Constante de Gravitaci´n universal o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 462. PROBLEMA 45 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011 m 2 Masa del Sol MS = 1.991x1030 kg 2 3 Constante de Gravitaci´n universal G = 6.672x10−11 Nm2 o kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 163 / 352
  • 463. PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
  • 464. PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011 m) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
  • 465. PROBLEMA 45 (Respuesta)Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el per´ımetro P que describe dicha trayectoria es: P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011 m) = 9.39x1011 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 164 / 352
  • 466. PROBLEMA 45 (Respuesta)Por otro lado, como la Tierra se mueve en una trayectoria circular, ´sta se eve afectada por una aceleraci´n centr´ o ıpeta ac , que est´ dada por: a v2 ac = rdonde v es la magnitud de la velocidad de la Tierra y r es el radio de sutrayectoria alrededor del Sol. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 165 / 352
  • 467. PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
  • 468. PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: GmS v= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
  • 469. PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: m 2 GmS (6.672x10/11 N kg 2 )(1.991x1030 kg ) v= = = r 1.496x1011 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
  • 470. PROBLEMA 45 (Respuesta)Pero tambien la fuerza centr´ ıpeta es igual a la fuerza de atracci´n ogravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es: mS mT Fc = G r2donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleraci´n centripeta oantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos: mS mT v2 G = mT r2 rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad v y sustituyendo valores otenemos: m 2 GmS (6.672x10/11 N kg 2 )(1.991x1030 kg ) m v= = = 29798.73 r 1.496x1011 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 166 / 352
  • 471. PROBLEMA 45 (Respuesta)Como estamos suponiendo que la trayectoria es circular, entonces lamagnitud de la velocidad es siempre constante, entonces, para encontrar eltiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol podemos usar lasiguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior y sustituyendo v por la ovelocidad que tiene la Tierra y d por el per´ ımetro de la trayectoria de laTierra alrededor del Sol, tenemos: d P t= = = v v FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 167 / 352
  • 472. PROBLEMA 45 (Respuesta)Como estamos suponiendo que la trayectoria es circular, entonces lamagnitud de la velocidad es siempre constante, entonces, para encontrar eltiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol podemos usar lasiguiente ecuaci´n: o d v= tDespejando el tiempo t de la ecuaci´n anterior y sustituyendo v por la ovelocidad que tiene la Tierra y d por el per´ ımetro de la trayectoria de laTierra alrededor del Sol, tenemos: d P 9.39x1011m t= = = = 31511410.05s v v 29798.73 m s La Tierra tarda en dar la vuelta al Sol 31511410.05s que equivale a364.71 d´ıas. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 167 / 352
  • 473. PROBLEMA 46Una banda pasa por una rueda de radio 20cm, si un punto en la bandatiene una rapidez de 15 m . Que tan rapido gira la rueda? s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 168 / 352
  • 474. PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
  • 475. PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
  • 476. PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm 2 Rapidez del punto de la banda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
  • 477. PROBLEMA 46 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la banda r = 20cm 2 Rapidez del punto de la banda v = 15 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 169 / 352
  • 478. PROBLEMA 46 (Respuesta)Como podemos observa las unidades del radio de la banda esta en cm,pero las unidades de la rapidez de un punto de la banda esta en m , sentonces cambiemos los 20cm a metros, esto es: 1m r = 20cm = 20cm( ) = .2m 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 170 / 352
  • 479. PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: ω= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
  • 480. PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v ω= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
  • 481. PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v 15 m s ω= = = r .2m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
  • 482. PROBLEMA 46 (Respuesta)Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual est´ ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera: a v = ωrDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad angular ω y sustituyendo olos valores de v y r tenemos: v 15 m s rad ω= = = 75 r .2m sPor lo tanto, la rueda gira a una velocidad de 75 rad s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 171 / 352
  • 483. PROBLEMA 47Un autom´vil tiene llantas de 30cm de radio. Parte del reposo y acelera ouniformemente hasta una rapidez de 30 m en un tiempo de 8s. Encontrar sla aceleraci´n angular de las llantas. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 172 / 352
  • 484. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 485. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 486. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 487. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 488. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 489. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 490. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s 4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 491. PROBLEMA 47 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de las llantas r = 30cm; 2 Velocidad inicial del autom´vil v0 = 0 m (parte del reposo); o s 3 Velocidad final del autom´vil vf = 30 m ; o s 4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ; t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 173 / 352
  • 492. PROBLEMA 47 (Respuesta)Observemos que las unidades de los radios de las llantas estan en ımetros pero las unidades de la velocidad del autom´vil estan en m ;cent´ o spor lo tanto debemos cambiar los cent´ ımetros del radio a metros, esto es: 1m r = 30cm = 30cm( ) = .3m 100cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 174 / 352
  • 493. PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 a= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
  • 494. PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 30 m − 0 m s s a= = = t 8s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
  • 495. PROBLEMA 47 (Respuesta)Ahora, como el autom´vil acelera uniformemente, podemos obtene dicha oaceleraci´n usando la siguiente ecuaci´n: o o vf − v0 a= tSustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o vf − v0 30 m − 0 m s s m a= = = 3.75 t 8s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 175 / 352
  • 496. PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: α= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
  • 497. PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a α= = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
  • 498. PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a 3.75 m s α= = = r 3m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
  • 499. PROBLEMA 47 (Respuesta)La aceleraci´n del autom´vil es la misma que la aceleraci´n lineal de las o o ollantas, asi que,la aceleraci´n angular la encontramos usando la siguiente oecuaci´n: o a = αrDespejando de la ecuaci´n anterior la aceleraci´n angular α y sustituyendo o olos valores de a y r tenemos: a 3.75 m s rad α= = = 12.5 2 r 3m sPor lo tanto, la aceleraci´n angular es 12.5 rad . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 176 / 352
  • 500. PROBLEMA 48Cu´l es la m´xima rapidez con la que un autom´vil puede tomar una curva a a ode 30m de radio en un camino plano si el coeficiente de fricci´n est´tica o aentre las llantas y la carretera es de .80. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 177 / 352
  • 501. PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
  • 502. PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
  • 503. PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; 2 Coeficiente de fricc´n est´tica entre las llantas y la carretera o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
  • 504. PROBLEMA 48 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la curva r = 30m; 2 Coeficiente de fricc´n est´tica entre las llantas y la carretera µk = .80. o a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 178 / 352
  • 505. PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
  • 506. PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ v= r µk g = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
  • 507. PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ m v= r µk g = (30m)(.80)(9.8 )= s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
  • 508. PROBLEMA 48 (Respuesta)La fuerza radial requerida para mantener el autom´vil en la curva, es decir o, la fuerza centr´ ıpeta es proporcionada por la fuerza de fricci´n entre las ollantas y el camino, esto es: mv 2 = µk mg rDespejando de la ecuaci´n anterior la velocidad y sustituyendo los valores ode r , µk y g , tenemos: √ m m v= r µk g = (30m)(.80)(9.8 2 ) = 15.33 s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 179 / 352
  • 509. PROBLEMA 48 (Respuesta)Ahora cambiemos las unidades de 15.33 m a s km h m m 1km 60s 60min v = 15.35 = 15.35 ( )( )( )= s s 1000m 1min 1h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 180 / 352
  • 510. PROBLEMA 48 (Respuesta)Ahora cambiemos las unidades de 15.33 m a s km h m m 1km 60s 60min km v = 15.35 = 15.35 ( )( )( ) = 55.18 s s 1000m 1min 1h hPor lo tanto, la m´xima rapidez que debe tener el autom´vil es 55.18 km . a o h FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 180 / 352
  • 511. PROBLEMA 49Una nave espacial se encuentra en ´rbita alrededor de la Luna a una altura ode 25500m. Suponga que solamente la atracci´n gravitacional act´a sobre o uella. Encontrar la rapidez con que la nave le da la vuelta a la Luna.Nota: La masa de la Luna es 7.34x1022 kg , el radio de la Luna m21.738x106 m y el valor de la constante gravitacional es 6.67x10−11 N kg 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 181 / 352
  • 512. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 513. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 514. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 515. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 516. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 517. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 518. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m 4 Constante gravitatoria FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 519. PROBLEMA 49 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Altura de la ´rbita de la nave espacial h = 25500m o 2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022 kg 3 Radio de la Luna r = 1.738x106 m 2 4 Constante gravitatoria G = 6.67x10−11 N kg 2 m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 182 / 352
  • 520. PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o v= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
  • 521. PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o Gml v= = h+r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
  • 522. PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o m 2 Gml (6.67x10−11 N kg 2 )(7.34x1022 kg ) v= = = h+r 1.738x106 m + 25500m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
  • 523. PROBLEMA 49 (Respuesta)Como solo act´a la fuerza de atracci´n gravitacional Fg , tenemos que esta u ofuerza es la fuerza centr´ ıpeta Fc que act´a sobre la nave espacial, esto es: u Fg = Fc 2donde Fg = G mRml y Fc = mc v , donde mc es la masa de la nave espacial c 2 Ry R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces: mc ml mc v 2 G = R2 RDe la ecuaci´n anterior despejamos la velocidad v , entonces: o m 2 Gml (6.67x10−11 N kg 2 )(7.34x1022 kg ) m v= = = 1666.18 h+r 1.738x106 m + 25500m sPor lo tanto, la velocidad de la nave es : 1666.18 m s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 183 / 352
  • 524. PROBLEMA 50Un cordel enredado en el borde de una rueda De 20cm de di´metro se jala a cma raz´n de 75 s . Cu´ntas vueltas habr´ dado la rueda cuando se han o a adesenredado 9m de cordel? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 184 / 352
  • 525. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 526. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 527. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 528. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 529. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s 3 Cantidad de cordel jalado FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 530. PROBLEMA 50 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio de r = D = 10cm; 2 2 La raz´n en que se jala el cordel v = 75 cm ; o s 3 Cantidad de cordel jalado d = 9m. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 185 / 352
  • 531. PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
  • 532. PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
  • 533. PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm Entonces, cada 62.83cm que se desenreda el cordel se da una revoluci´n o ovuelta a la rueda, lo cual implica que 1rev = 62.83cm; por consiguientepara encontrar el n´mero total de vueltas que habr´ dado el cordel cuando u ase han desenredado 9m efectuamos la siguiente operaci´n: o 100cm 1rev 9m = 9m( )( )= 1m 62.83cm FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
  • 534. PROBLEMA 50 (Respuesta)Pimero tenemos que encontrar el per´ ımetro P de la rueda, entonces: P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm Entonces, cada 62.83cm que se desenreda el cordel se da una revoluci´n o ovuelta a la rueda, lo cual implica que 1rev = 62.83cm; por consiguientepara encontrar el n´mero total de vueltas que habr´ dado el cordel cuando u ase han desenredado 9m efectuamos la siguiente operaci´n: o 100cm 1rev 9m = 9m( )( ) = 14.32rev 1m 62.83cmPor lo tanto, la rueda habr´ dado 14.32rev . a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 186 / 352
  • 535. PROBLEMA 51Cu´l es la rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra? aNota:El radio de la Tierra es de 6370km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 187 / 352
  • 536. PROBLEMA 51 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 188 / 352
  • 537. PROBLEMA 51 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 188 / 352
  • 538. PROBLEMA 51 (Respuesta)Calculemos primero el per´ ımetro P de la Tierra, entoces realizamos lasiguiente operaci´n: o P = 2πr = 2π(6370000m) = 40023890m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 189 / 352
  • 539. PROBLEMA 51 (Respuesta)Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es: 60min 1min 24h = 24h( )( )= 1h 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 190 / 352
  • 540. PROBLEMA 51 (Respuesta)Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es: 60min 1min 24h = 24h( )( ) = 86400s 1h 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 190 / 352
  • 541. PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d v= = t FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
  • 542. PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d P 40023890m v= = = = t t 86400s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
  • 543. PROBLEMA 51 (Respuesta)Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el per´ ımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuaci´n: o d v= tSustituyendo en la ecuaci´n anterior los valores de d = P y t tenemos: o d P 40023890m m v= = = = 463.23 t t 86400s sPor lo tanto, un punto en el ecuador tiene una rapidez de 463.23 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 191 / 352
  • 544. PROBLEMA 52Calcular la aceleraci´n radial de un punto en el ecuador de la Tierra, si su o mrapidez es 463.23 s .Nota:El radio de la Tierra es de 6370km FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 192 / 352
  • 545. PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
  • 546. PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
  • 547. PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; 2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
  • 548. PROBLEMA 52 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m; 2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra v = 463.23 m . s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 193 / 352
  • 549. PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 ar = = r FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
  • 550. PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 (463.23 m )2 s ar = = = r 6370000m FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
  • 551. PROBLEMA 52 (Respuesta)Entonces para calcular la aceleraci´n radial ar podemos usar la siguiente oecuaci´n: o v2 ar = rSustituyendo los valores de v y de r en la ecuaci´n anterior tenemos: o v2 (463.23 m )2 s m ar = = = .0336 2 r 6370000m s Por lo tanto, la aceleraci´n radial de un punto en el ecuador de la Tiera es o m.0336 s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 194 / 352
  • 552. PROBLEMA 53Una polea de 5cm de di´metro est´ instalada en un motor que gira con una a a revaceleraci´n angular de 5 s 2 .Cu´l es la aceleraci´n lineal de dicha polea? o a o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 195 / 352
  • 553. PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
  • 554. PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
  • 555. PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; 2 Aceleraci´n angular del motor o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
  • 556. PROBLEMA 53 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 El radio de la polea r = 5cm; 2 Aceleraci´n angular del motor α = 5 rev . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 196 / 352
  • 557. PROBLEMA 53 (Respuesta)Primero convirtamos las unidades de 5 rev a s2 rad s2 esto es: rev rev 2πrad rad α=5 2 = (5 2 )( ) = 31.4 2 s s 1rev s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 197 / 352
  • 558. PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o a = αr = FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
  • 559. PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o rad a = αr = (31.4 )(5cm) = s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
  • 560. PROBLEMA 53 (Respuesta)La aceleraci´n angular de la polea es la misma que la del motor, entonces opara calcular la aceleraci´n lineal tenemos: o a = αrUsando la ecuaci´n anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos: o rad a = αr = (31.4 )(5cm) = 157cm/s 2 s2Por lo tanto la aceleracin lineal de la polea es de 157cm/s 2 . FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 198 / 352
  • 561. PROBLEMA 54La centr´ıfuga de secado de una lavadora gira a 900 rev , frena con una saceleraci´n angular uniforme de −2 rev . Cuanto tiempo tardar´ en o s 2 adetenerse? FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 199 / 352
  • 562. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Velocidad angular inicial FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 563. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 564. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; 2 Velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 565. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 566. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); 3 Aceleraci´n angular o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 567. PROBLEMA 54 (Respuesta)Tenemos como datos: rev 1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 min ; rev 2 Velocidad angular final ωf = 0 min (Al final la centrifuga de secado se detiene); 3 Aceleraci´n angular α = −2 rev . o s2 FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 200 / 352
  • 568. PROBLEMA 54 (Respuesta) revPrimero convirtamos los minutos de 900 min a segundos, esto es : rev rev 1min ω0 = 900 = (900 )( )= min min 60s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 201 / 352
  • 569. PROBLEMA 54 (Respuesta) revPrimero convirtamos los minutos de 900 min a segundos, esto es : rev rev 1min rev ω0 = 900 = (900 )( ) = 15 min min 60s s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 201 / 352
  • 570. PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: t= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
  • 571. PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 t= = α FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
  • 572. PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 0 rev − 15 rev t= = s rev s = α −2 s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
  • 573. PROBLEMA 54 (Respuesta)Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuaci´n: o ωf − ω0 α= tDespejando el tiempo de la ecuaci´n anterior y sustituy´ndole los valores o ede ωf , ω0 y α tenemos: ωf − ω0 0 rev − 15 rev t= = s rev s = 7.5s α −2 sPor lo tanto, la centr´ ıfuga tardar´ en detenerse 7.5s. a FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 202 / 352
  • 574. PROBLEMA 55Una polea de 10cm de radio instalado en un motor, est girando a 50 rev y sdisminuye su velocidad uniformemente a 30 rev en 8s. Calcular la saceleraci´n angular del motor. o FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 203 / 352
  • 575. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 576. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 577. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 578. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 579. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 580. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 581. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s 4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 582. PROBLEMA 55 (Respuesta)Tenemos como datos: 1 Radio de la polea r = 10cm; 2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 rev ; s 3 Velocidad angular final ωf = 30 rev ; s 4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final t = 8s. FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 204 / 352
  • 583. PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α= tSustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuaci´n anterior tenemos: o α= FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 205 / 352
  • 584. PROBLEMA 55 (Respuesta)Para encontrar la aceleraci´n angular podemos usar la siguiente ecuaci´n: o o ωf − ω0 α=