Capitulo de continuidad

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CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
.- Continuidad de una función en un punto
Sea RRAf →⊆: y sea Ax ∈0
Decimos que f es continua en un punto 0x si se verifican las 3 condiciones siguientes:
i) )(
0
xflímxx→
∃ (que la función tenga límite en el punto 0x ), esto implica que existan los
límites laterales y que sean iguales.
ii) )( 0xf∃ , (que la función esté definida en el punto 0x ).
iii) )()( 0
0
xfxflímxx
=
→
(que el valor del límite coincida con el valor que toma la función en el
punto 0x ).
Si no se verifica alguna de estas 3 condiciones decimos que la función no es continua en el punto
0x , o bien, que la función tiene una discontinuidad en el punto 0x .
Si nos fijamos en la tercera condición, aplicando la definición de límite, podemos establecer que:
f es continua en 0x si, y solo si εδδε <−∈<−>∃>∀ )()(:/00 00 xfxfAxyxx
Damos, a continuación, otra definición alternativa de continuidad de una función en un punto:
Sea RRAf →⊆: y sea Ax ∈0
f es continua en 0x si, y solo si, )()( 00
0
xfhxflím
h
=+
→
Si llamamos hxx += 0 nos queda la siguiente definición de continuidad de una función en un
punto:
f es continua en 0x si, y solo si,
)()( 0
0
xfxflím
xx
=
→
- Ejemplo:
Dada la función



−≥
−<−
=
1
112
)( 3
xsix
xsix
xf
Estudia la continuidad de la función en el punto 1−=x
Como en el punto 1−=x cambia la expresión analítica de la función, estudiamos los límites
laterales:
( )
( ) ⇒





−==
−=−=
++
−−
−→−→
−→−→
1)(
312)(
3
11
11
xLímxfLím
xLímxfLím
xx
xx
Como )()(
11
xfLímxfLím
xx +−
−→−→
≠ ⇒ )(
1
xfLím
x −→
∃
⇒
⇒ f no es continua en el punto 1−=x
(ya que no se cumple la condición i)
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Continuidad lateral:
Sea RRAf →⊆: y sea Ax ∈0
f es continua por la izquierda en el punto 0x si, y solo si,
)()( 0
0
xfxflím
xx
=
−
→
De igual manera, f es continua por la derecha en el punto 0x si, y solo si,
)()( 0
0
xfxflím
xx
=
+
→
Evidentemente para que una función sea continua en un punto tiene que ser continua por la
derecha y por la izquierda en dicho punto.
- Continuidad en un intervalo:
Sea RRAf →⊆: .
Decimos que f es continua en un intervalo ( ) Aba ⊂, si, y solo si, es continua en todos y cada
uno de los puntos del intervalo ( )ba , .
Decimos que f es continua en un intervalo [ ] Aba ⊂, si, y solo si, f es continua en ( )ba , y
es continua por la derecha en el punto a y continua por la izquierda en el punto b .
Decimos que f es continua en todo su dominio cuando es continua en todos y cada uno de los
puntos de su dominio de definición.
Por ejemplo, las funciones polinómicas son funciones continuas en todo R.
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.
.
0x
)( 0xf
0x
)( 0xf.

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Tipos de discontinuidad.
1) Discontinuidad evitable:
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto 0x cuando el límite de la función en
ese punto existe y es finito pero no coincide con el valor que toma la función en ese punto, o bien
la función no está definida en ese punto.
Vemos ambas situaciones gráficamente:
Caso 1.
)(
0
xflímxx→
∃ y es finito. )( 0xf∃ , (la función esté definida en el punto 0x ).
Pero,
)()( 0
0
xfxflímxx
≠
→
3)1(2)(
1
=≠=
→
fxfLím
x
Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto 1=x
Caso 2.
)(
0
xflímxx→
∃ y es finito.
)( 0xf∃ , (la función no está definida en el punto 0x ).
NOTA: Este tipo de discontinuidad se dice evitable porque se puede evitar redefiniendo
nuevamente la función, haciendo que el valor que tome la función en el punto 0x coincida con el
valor del límite de la función en ese punto.
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2) Discontinuidad de salto (o de primera especie):
a) Con salto finito
Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto finito,
en un punto 0x cuando existen los límites laterales en ese punto y son finitos pero no coinciden.
Se llama salto a la diferencia, en valor absoluto, entre los límites laterales.
1)(1)(
22
=≠−= +−
→→
xfLímxfLím
xx
b) Con salto infinito.
Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto
infinito, en un punto 0x cuando uno de los límites laterales sea finito y el otro infinito, o bien,
cuando ambos límites laterales sean infinitos.
Este tipo de discontinuidad viene marcada por la existencia de una asíntota vertical.
+∞=−∞= +−
→→
)()(
22
xfLímyxfLím
xx
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3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie):
Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda especie) en un punto 0x
cuando uno o los dos límites laterales no existen.
Por ejemplo:
La función
x
senxf
π
=)( tiene una discontinuidad esencial en el punto 0=x
NOTA: Algunos autores clasifican las discontinuidades en evitables y no evitables, reuniendo en este
segundo grupo todas aquellas discontinuidades que no son evitables (1ª y 2ª especie).
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS.
TEOREMA DE BOLZANO.
Sea )(xf una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba , , y toma valores de distinto signo
en los extremos del intervalo, )()( bfsignoafsigno ≠ , entonces existe al menos un punto
( )bax ,0 ∈ tal que 0)( 0 =xf .
TEOREMA DE WEIERSTRASS.
Sea )(xf una función continua en un intervalo cerrado [ ]ba , , entonces f alcanza el máximo
y el mínimo absoluto en dicho intervalo.
TEOREMA DE DARBOUX.
Sea )(xf una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba , , y tal que )()( bfaf ≠ .
Entonces )(xf toma cualquier valor k comprendido entre )(af y )(bf , al menos una vez
en un punto interior del intervalo ( )ba , , es decir:
( ) )()()()()(/, afkbfóbfkafconkcfbac <<<<=∈∃
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EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto 1−=x



−>+
−≤+−
=
1
11
)( 2
xsixx
xsix
xf
Para que una función f sea continua en un punto 0x se tienen que verificar las 3 condiciones
siguientes:
i) )(
0
xflímxx→
∃ (que la función tenga límite en el punto 0x ), esto implica que existan los
límites laterales y que sean iguales.
ii) )( 0xf∃ , (que la función esté definida en el punto 0x ).
iii)
)()( 0
0
xfxflímxx
=
→
(que el valor del límite coincida con el valor que toma la función en el
punto 0x ).
Como en el punto 1−=x cambia la expresión analítica de la función, estudiamos los límites
laterales:
( ) ( ) 2111)(
11
=+−−=+−= −−
−→−→
xLímxfLím
xx
( ) ( ) ( ) 01111)(
22
11
=−=−+−=+= ++
−→−→
xxLímxfLím
xx
Como )()(
11
xfLímxfLím
xx +−
−→−→
≠ ⇒ )(
1
xfLím
x −→
∃ ⇒ f no es continua en el punto
1−=x (ya que no se cumple la condición i)
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8. http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm
2. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto 2=x



>−
≤−
=
212
21
)(
2
xsix
xsix
xf
Como en el punto 2=x cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los
límites laterales:
( ) 31)( 2
22
=−= −−
→→
xLímxfLím
xx
( ) 312)(
22
=−= ++
→→
xLímxfLím
xx
Como )()(
22
xfLímxfLím
xx +−
→→
= ⇒ )2()(
2
fxfLím
x
=∃
→
⇒ f es continua en el punto
2=x
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9. http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm
3. Dada la función
4
2
)( 2
2
−
+
=
x
xx
xf determina los puntos de discontinuidad y clasifícalos.
Una función racional esta definida ℜ∈∀x excepto para aquellos valores de x para los cuales
se anula el denominador.
Por tanto, hallamos los valores de x para los cuales se anula el denominador:
⇒=− 042
x 2442
±=±=⇒= xx
)2()2( −∃∃ fyf (la función no está definida en los puntos 22 −== xyx , por tanto no
es continua en dichos puntos.
Para clasificar los puntos de discontinuidad tenemos que ver como se comporta la función en las
proximidades de esos puntos. Esa información me la da el estudio del límite.
En 2−=x
( )
( ) ( ) ( ) 2
1
4
2
222
2
0
0
4
2
222
2
2
=
−
−
=
−
=
−⋅+
+⋅
==







−
+
−→−→−→ x
x
Lím
xx
xx
Lím
x
xx
Lím
xxx
Nota: También podíamos haber resuelto el límite aplicando la regla de L'Hôpital.
Como
)(
2
xflímx −→
∃ y es finito, y )2(−∃ f (la función no está definida en el punto 2−=x
), se concluye que la función tiene una discontinuidad evitable en el punto 2−=x .
En 2=x
04
2
2
2
2
K
x
xx
Lím
x
=







−
+
→
(estudiamos los límites laterales)
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.

10. http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm
∞−==







−
+
−→ −
0
8
4
2
2
2
2 x
xx
Lím
x
y ∞+==







−
+
+→ +
0
8
4
2
2
2
2 x
xx
Lím
x
Con lo que la función tiene una discontinuidad de salto (con salto infinito) en el punto 2=x , ya
que ambos limites laterales son infinitos.
4. Estudia la continuidad de la siguiente función, y redefínela, si es posible, de forma que sea
continua en todo R.





−=
−≠
+
−
=
23
2
2
4
)(
2
xsi
xsi
x
x
xf
3)2( =−f
Vemos el valor que toma la función en las proximidades del punto 2−=x
( ) ( )
( )
( ) 42
2
22
0
0
2
4
22
2
2
−=−=
+
−⋅+
==







+
−
−→−→−→
xLím
x
xx
Lím
x
x
Lím
xxx
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o

11. http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm
Como 3)2(4
2
42
2
=−≠−=







+
−
−→
f
x
x
Lím
x
⇒ la función tiene una discontinuidad evitable en el
punto 2−=x .
Este tipo de discontinuidad se puede salvar asignando a )2(−f el valor del límite de la función
cuando x tiende hacia -2, es decir asignando a )2(−f el valor -4.
Redefinimos la función, de manera que sea continua en todo R.





−=−
−≠
+
−
=
24
2
2
4
)(
2
xsi
xsi
x
x
xf
5.- Determina el valor del parámetro k para que la siguiente función sea continua en todo .ℜ
(Justifica la respuesta).




−>+
−≤−
=
11
11
)(
2
xsixk
xsix
xf
Representa gráficamente la función para el valor de k que has obtenido.
Solución:
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o
.

12. http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm
En ( )1, −∞− es una función polinómica (parábola), por tanto es continua en este intervalo.
En ( )∞− ,1 es una línea recta de pendiente k , por tanto también es continua en este intervalo.
El único problema de continuidad se presenta en el punto 1−=x , donde cambia la expresión
analítica de la función.
Para que f sea continua en el punto 1−=x se tiene que cumplir que:
)()(
11
xfLímxfLím
xx +−
−→−→
=
( )
( ) 




+−=+=
=−=
++
−−
−→−→
−→−→
11)(
01)(
11
2
11
kxkLímxfLím
xLímxfLím
xx
xx
⇒ 110 =⇒+−= kk
http://www.guiaruralcantabria.com/matematicas/index.htm 12