Cours Algèbre - CAPES -

Algèbre
CAPES-Mathématiques Fatiha AKEF
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
ENSET - Mohemmadia

Plan Général
2F. AKEF
› Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes
› Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis
› Chapitre 3 : Anneaux
› Chapitre 4 : Algèbre linéaire

Chapitre 1 :
Homomorphisme de groupes
I. Classe modulo un sous-groupe
II. Structure du groupe quotient
III. Décomposition canonique d’un
homomorphisme de groupe
IV. Groupe cyclique
V. Groupe symétrique
VI. Centre d’un groupe
VII. Généralisation du 1er théorème
d’isomorphisme
 Chapitre 1 :
Homomorphisme de
groupes
 Chapitre 2 :
Résultats sur les
groupes finis
 Chapitre 3 :
Anneaux
 Chapitre 4 :
Algèbre linéaire
ALGÈBRE

CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE
GROUPES
4F. AKEF
Soit f un groupe quelconque, H unsous-groupe de G et une relation binaire définie de G par :
› x R y  x-1.yH, x, yG
› x-1 étant l’inverse de x.
1)Proposition :
› R est une relation d’équivalence
› xG, la classe de x est
I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE

GROUPES
5F. AKEF
Démonstration :

GROUPES
6F. AKEF
2) Définition : Soit, la classe xH (respectivement. la classe Hx) est appelée la classe à
gauche de x (respectivement la classe à droite de x) modulo H.
3) Définition : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G, H est dit distingué dans G (normal
ou invariant)
Si pour tout on a :
4) Théorème (LAGRANGE) :
Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G.
Alors l’ordre de H divise l’ordre de G.

GROUPES
7F. AKEF
Théorème (LAGRANGE) :
› Démonstration après le Lemme :
Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G.
Soit, alors :
0(H) = cardxH = cardHx.
Démonstration: f : H→ xH Démonstration du théorème :
y→ xy
*f surjective par construction
*soient y et y’H tel que f(y)=f(y’)
⇒ xy = xy’ ⇒ y=y⇒ f injective
f: H→ Hx
y→ y.x

GROUPES
8F. AKEF

GROUPES
9F. AKEF

GROUPES
11F. AKEF
Soit G un groupe, H un sous-groupe et R une relation d’équivalence définie sur G par :
› Soit l’ensemble quotient.
1) Problème :
› A quelles conditions peut-on définir une loi de composition interne (*) sur l’ensemble
quotient à partir de la loi de G ?
› A quelles conditions la loi* définie par :
(cl(x),cl(y)) cl(x)*cl(y)=cl(x.y)
est une application ?
II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT

GROUPES
12F. AKEF
soient x,yG
Notation :H ∇ G signifie H sous-groupe distingué de G.

GROUPES
13F. AKEF
Démonstration :
* Condition nécessaire : d’après ce qui précède
* Condition suffisante : on suppose que H ∇ G
  *  est une L.C.I (loi de composition interne) soient x, et soient xcl(x), y’cl(y)

GROUPES
14F. AKEF
Définition :
› Le groupe ( G/R *) est noté par G/H et il est appelé le groupe quotient de G par H.
› Par convention : cl(x)*cl(y)=cl(x).cl(y) si G est noté multiplicativement.
› cl(x) * (cl(y) = cl(x)+cl(y) si G est noté additivement.
›
› 3) Définition :
› Soit G un groupe et Rune relation d’équivalence sur G.
› On dit que R est compatible à gauche (respectivement à droite) avec la loi du groupe
si x Ry ⇒ zxR zy, ∀zG (respectivement x Ry ⇒ xzR yz, ∀zG)
› On dit que est compatible avec la loi du groupe si elle est compatible à gauche et à droite.

GROUPES
15F. AKEF
Exercice :
› Soit G un groupe, H un sous-groupe de G et R, R’ deux relations d’équivalence sur G définies
par :
› x Ry  x-1 yH
› x R’y  xy-1H
› Montrer que est compatible à gauche avec la loi du groupe et est compatible à droite avec
la loi du groupe.
4) Proposition :
› Soient G un groupe et R une relation d’équivalence compatible avec la loi du groupe, alors il
existe H un sous-groupe distingué de G tel que :
› x Ry  x-1 yH xy-1H

GROUPES
16F. AKEF
Démonstration :
Soit e élément neutre de G, soit H = cl(e)
›  H est un sous-groupe de G ?
Soit x,yH xy-1H ?
5) Théorème :
Soit G un groupe. Alors il existe une
correspondance bunivoque entre les
sous-groupes distingués de G et les
relations d’équivalence compatibles avec
la loi du groupe G.
A = H tel que HG∇
B =  R tel que R relation d’équivalence sur
G compatible avec la loi de G

GROUPES
18F. AKEF
1) Rappels :
Soient G et G’ deux groupes, e élément neutre de G, e’ élément neutre de G’, soit f un
homomorphisme de G dans G’ :
› f : G G’
› ∀x, y G : f(xy) = f(x)f(y)
› Exemple : soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G.
› Soit G/H le groupe quotient.
› Alors s : G G/H est un homomorphisme de groupe (s : surjection canonique)
s(xy)=cl(xy)=cl(x).cl(y)=s(x).s(y).
I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN
HOMOMORPHISME DE GROUPE

GROUPES
19F. AKEF
2)Résultats :
a)f(e)=e’
b)f(x-1)=[f(x)]-1
c)Kerf = x E G tel que f(x)=e’ est un sous-groupe distingué de G.
d) Soient G un groupe et g un homomorphisme de G’ dans G, alors gof est un
homomorphisme de G dans G.
e)Soit H un sous-groupe de G (respectivement H∇G), alors f(H) est un sous-groupe de G’
(respectivement f(H)∇ f(G))
En particulier f(G) est un sous-groupe de G’
f)Soit H’ un sous-groupe de G’ (respectivement H’∇G’), alors f-1(H’) est un sous-groupe de
G’(respectivement f-1(H’) ∇G’).
g) finjective Kerf = e

GROUPES
20F. AKEF

GROUPES
21F. AKEF
4 - Théorème :
› Sous les hypothèses ci-dessus, il existe un et un seul isomorphisme de G/H sur f(G) tel que
le diagramme suivant soit commutatif :

GROUPES
22F. AKEF

GROUPES
24F. AKEF
1)Rappel :
› Soient G un groupe et A une partie non vide de G. Le plus petit sous-groupe de G contenant A
est appelé sous-groupe de G engendré par A.
› Notation :(A) = sous-groupe de G engendré par A.
› B=F tel que F sous-groupe de G avec AF
2) Proposition :
Soient G un groupe et AG, A
Alors (A) =xG tel que x1 ,x2,……, xrG
Avec xiA ou A
et
x = x1 x2……, xr
IV - GROUPE CYCLIQUE

GROUPES
25F. AKEF

GROUPES
26F. AKEF
3) Définition :
› Soit G un groupe etA , A fini, A 
› Alors (A) est dit de type fini
›
Remarque : un groupe de type fini n’est nécessairement pas fini.
Exemple : le groupe aditif engendré par 1 , donc de type fini alors que est infini.
4) Définition :
› Soit G un groupe. G est cyclique s’il existe xG
› tel quex engendre G.
› (i.e. ∀yG ,rtel que y = xr)

GROUPES
27F. AKEF
5) Proposition :
› Soit G un groupe cyclique. Soit x son générateur. Alors G est :
› Soit isomorphe à ( Z ,+) et par conséquent infini.
› Soit n* tel queG≃ ( ,+) et par conséquent G est fini d’ordre n, xn=e.
› Si xP=e alors p=0 ou n/p et G =e, x, x2,…, xn-1
Démonstration :
› On considère l’application f définie par :

GROUPES
28F. AKEF
6) Proposition:
› Soit G un groupe fini (non nécessairement cyclique)
› Soit n = 0(G)
› Alors ∀ xG, xn = e
Démonstration :
› Soit xG et soit (x)
› Soit m=q((x))⇒(d’après le théorème de LAGRANGE)
7) Définition:
› Soit G un groupe fini et soit xG. L’ordre de x est 0((x)).

GROUPES
30F. AKEF
Soient (Sn, o) le groupe de permutation de n éléments.
Sn=, :1,…,n→1,…,n et bijective
Card Sn = n!
1) Définition et notation :
Soit Sn,est dite transposition si :
i,jtel que
 (i) = j et (j) = i
 (h) = h ∀ h1,…, n, h  i et h  j
Notation : =tij = t ji
Remarque :
V- GROUPE SYMÉTRIQUE

GROUPES
31F. AKEF
2) Proposition :
› Le groupe Sn engendré par l’ensemble de ses transpositions est équivalent à :

GROUPES
32F. AKEF

GROUPES
34F. AKEF
Soit G un groupe et e son élément neutre.
Soit A le groupe des automorphismes de G
A = f : G → G tel que fisomorphisme
1) Définition :
Soit C(G ) l’ensemble défini par : C(G) = xG tel quexy = yx, ∀yG
C(G) est appelé le centre de G.
Soit xG, soit fx l’application définie par :
› fx=(yy) = x(yy’)x-1=xy(x-1x)y’x-1
› = (xyx-1’).(xy’x-1) = fx ( y) fx ( y)
›  fx( y) = e ⇒ xyx-1= e ⇒y = x-1x⇒y = edonc fx injective
› Soit yG fx (x-1yx) = x(x-1yx)x-1 = y donc fxsurjective
› ∀ xG fxautomorphisme de G appelé automorphisme intérieur.
› Soit A’ défini par :
› A’ =f tel que  xG : f=fx
VI - CENTRE D’UN GROUPE

GROUPES
35F. AKEF
VI - CENTRE D’UN GROUPE
Exemple :C(S3) ?
› les sous-groupes distingués de S3 sont : e,
H4=e, 1, 2
› C1 ne commute pas avec tous les éléments de S3,
donc C(S3) =e

GROUPES
37F. AKEF
Soient G et G deux groupes (e élément neutre de G et e’ élément neutre de G)
H sous-groupe distingué de G
Hsous-groupe distingué de G
f homomorphisme de G dans G’
s la surjection canonique de G  G/H
s’ la surjection canonique de G’  G’/H’
1)Théorème :
Sous les hypothèses ci-dessus on a :
VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME
D’ISOMORPHISME

GROUPES
38F. AKEF
Démonstration :
⇒/ On suppose que H  f-1(H’)
g=sof
clH(x) = , xG
clH’(y) =, yG ‘
D’ISOMORPHISME

GROUPES
39F. AKEF
2) Cas particulier :
D’ISOMORPHISME

GROUPES
40F. AKEF
3) 2ème théorème d’isomorphisme :
Soient G un groupe. H un sous-groupe distingué de G
a)KH sous-groupe de G et H distingué de KH
b)Le groupe H⋂K est sous-groupe distingué de K
D’ISOMORPHISME

GROUPES
41F. AKEF
4) Corollaire :
› Sous les hypothèses du théorème précédent, on a :
D’ISOMORPHISME

GROUPES
42F. AKEF
5) 3ème théorème d’isomorphisme
Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G.
› Alors :
D’ISOMORPHISME

Chapitre 2 :
Résultats sur les groupes finis
I. Groupe opérant sur un ensemble
II. Groupes de SYLOW
 Chapitre 1 :
Homomorphisme de
groupes
 Chapitre 2 :
Résultats sur les
groupes finis
 Chapitre 3 :
Anneaux
 Chapitre 4 :
Algèbre linéaire
ALGÈBRE

CHAPITRE 1 :
44F. AKEF
1) Définition :
› Soient G un groupe et E un ensemble.On dit
que G opère ( à gauche) sur E si on peut
définir une application de GE dans E :
› * : GEE
› (g, x) gx tel que :
i)xE ex = x
ii)g, gGxGg(gx)= (gg)x
› Si en plus “” vérifie :
iii)x, yE , gG tel que y = gx
› On dit que G opère
transitivement sur E.
I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
Exemples :
a) G opère sur lui-même par la loi du groupe.
GGG
(g, g’) gg = gg’ (transitivement)
b)G opère sur lui-même par
GGG
(g, g’) ggg-1 = gg
i)gG e e = ege-1 = g
ii) g gg″)= g (gg″g-1)= g(gg″g1) .g-1 = (gg)g(gg)-1
=(gg)g
On dit que G opère lui-même par automorphisme
intérieur.

CHAPITRE 1 :
45F. AKEF
2)Définition :
Soit G un groupe opérant sur E par l’opération .
Soit x  E. On appelle stabilisateur de x (ou normalisateur de x) que l’on note Nx :
› Nx=  gG tel que gx = x
› et on appelle orbite de x que l’on note x :
› x = gx, gG
› N.B : Nx G et x E
3) Proposition :
Soit G un groupe opérant sur un ensemble E (par l’opération )
Soit x E, alors :
› Nx = g/gx = x est un sous-groupe de G.

CHAPITRE 1 :
46F. AKEF
Démonstration :

CHAPITRE 1 :
47F. AKEF

CHAPITRE 1 :
48F. AKEF
6) Cas particulier : L’équation des classes.
› G fini et G opère sur G par automorphisme intérieur.
› xGNx = gGtel quegx g-1 = x
› x = gx g-1 , gG
› G : Nx = 1 gGgx g-1 = x
› gGgx = xg xC(G)
xx
« L’équation des classes »

CHAPITRE 1 :
50F. AKEF
1) Théorème :
› Soit G un groupe cyclique fini d’ordre n, alors mtel quem/n, il existe H sous-groupe de G
tel que (H) = m.
› Démonstration : G = (x) = e, x, x²,…, xn-1
› m/n ⇒k* tel que n = mk
› Soit H = (xk) et soit l = (xk)
› ⇒ k l = mk ⇒ l = m
II - GROUPES DE SYLOW

CHAPITRE 1 :
51F. AKEF
2)Théorème :
› Soit G un groupe fini d’ordre n. Soit un nombre premier tel que p/n.
› Alors b* N tel que , il existe un sous-groupe de G d’ordre pb.
Démonstration : nN*
› p/n n = ma (m,) = 1
› on va montrer que a tel que 1aa, il existe H sous-groupe de G tel que 0(H) = pa’.
Démonstration par récurrence :
 Si n= le théorème est vérifié.
 Hypothèse de récurrence : on suppose que le théorème est vérifié pour tout groupe G
d’ordre < n.
Soit G un groupe d’ordre n, n = ma, (m,) = 1
 Si G est cyclique (théorème précédent)
 Si G est commutatif (non cyclique)

CHAPITRE 1 :
52F. AKEF
Démonstration par récurrence :

CHAPITRE 1 :
53F. AKEF
3) Définition :
› Soit G un groupe d’ordre fini n, soit p un nombre premier divisant n.
› On pose n = mpa avec (m, p) = 1
› Alors tout sous-groupe de G d’ordre une puissance de p est appelé un p-sous-groupe de G.
› Tout p-sous-groupede G d’ordre pa est appelé p-sous-groupe de SYLOW de G.
Remarque : Soit P un p-sous-groupe de Sylow
› Soit P = xPx-1, xG 
› xPx-1P xPx-1 est p-sous-groupe de Sylow
› En effet :(P)= (xPx-1) ⇒(xPx-1)=pa

CHAPITRE 1 :
54F. AKEF
4) Théorème :
› Soient G un groupe fini d’ordre n et un nombre premier tel que p/n
› On pose n = m pa((m, p) = 1)
› Soit P un p-sous-groupe de Sylow. Alors  (NP) = m’ pa avec m’/m.
› (NP= xG  xPx-1= P et tout p-sous-groupe de NP est contenu dans P.
Démonstration :
› PNPp-sous-groupe de NP
› (P)(NP)  a (NP)
› (NP)= m’a()

CHAPITRE 1 :
55F. AKEF
5) Théorème de Sylow :
› Soient G un groupe fini d’ordre n et p un nombre premier tel que p/n
› On pose n = mp, (m, p) = 1
› Alors :i) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans p-sous-groupe de Sylow
› ii) Tous lesp-sous-groupes de SylowdeG sontconjugués tel que ( P, P p-sous-
groupe de Sylow de G, xGtel que P = xPx1).
› iii) Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G est congru à 1 modulo p.
› iv) Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G divise n.

CHAPITRE 1 :
56F. AKEF
› 5) Théorème de Sylow:
Démonstration :
› i) Soit H p-sous-groupe de G, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G.
› P = xPx-1, xG
› NP = xG / xPx1 = P
› (NP) =mp,
› Card P =G : NP
›  Card P =m/m ,
› ii) Soit P et P deux p-sous-groupes de Sylow
› P  p-sous-groupe de Sylow  P  p-sous-groupe.
› On fait opérer P  sur p (comme précédemment on remplace H par P )
› il existe P ″ p tel que P P ″ P  = P ″
› P ″ pxG tel que P ″ = x P x1 .
› xG tel que P  = x P x1.

CHAPITRE 1 :
57F. AKEF
› 5) Théorème de Sylow: Démonstration :

Chapitre 3 : Anneaux
I. Relation d’équation : suivant un sous
anneau
II. Opérateur idéaux
III. homomorphisme d’anneau
IV. Caractéristique d’un anneau
V. Anneaux de fractions
VI. Divisibilité dans un anneau intègre
VII. Anneaux Noethériens
 Chapitre 1 :
Homomorphisme de
groupes
 Chapitre 2 :
Résultats sur les
groupes finis
 Chapitre 3 :
Anneaux
 Chapitre 4 :
Algèbre linéaire
ALGÈBRE

CHAPITRE 3 : ANNEAUX
59F. AKEF
› Soit A un ensemble muni de 2 lois internes notés + et .
› A est dit un anneau si :
i) A muni de + est un groupe commutatif
ii) la loi .est associative dans A.
iii) la loi .est distributive par rapport à la loi + c’est à dire ∀ x, y, z A :
› x(y+z) = xy + xz
› et (x+y)z = xz + yz
› - Si en plus la loi .est commutative, alors A est un anneau commutatif
› - Si en plus la loi .admet un élément neutre A est un anneau unitaire
› - Si (A-{o},.) est un groupe, alors (A, +, .) est un corps
› - Si ∀x , yH avec on a : xy  0, alors A est dit intègre
› -Si  xA, x o  yA, y  0 et xy= 0 alors x est dit un diviseur de 0
RAPPELS

61F. AKEF
› (A,+,.) un anneau et I un sous-anneau de A si :
› (I, +) sous-groupe de A et si la loi .est interne dans I.
› Soit R la relation d’équivalence sur A défini par x R yx.yI
Problème :
› A quelles conditions sur I on peut définir surune loi interne à partir de la loi .de A
I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS
ANNEAU

62F. AKEF
Définition :
› Soit (A, +, .)un anneau. Soit I A, I est dit idéal à gauche de A (resp à droite) si (I, +)
est un groupe
› I idéal de A (idéal bilatère de A) si I idéale à gauche et à droite de A.
Théorème :
› Soit A un anneau et I sous-anneau de A.
ANNEAU

63F. AKEF
ANNEAU

64F. AKEF
Proposition :
› Soit A un anneau, I idéal de A et R la
relation d’équivalence définie sur A par :
› x R y  x-y I
› Alors R est compatible avec les 2 lois
(+ et .) de l’anneau A.
ANNEAU
Démonstration :
On sait que R est compatible avec (+) (voir
propriété).
Soient x, y, zA tel que
x R y, zxRzyet xzRyz ?
zx -zy = z(x-y)I (xRy et I idéal) zx R zy
xz – yz = (x-y) zI xz R yz

65F. AKEF
Proposition :
› Il existe une correspondance biunivoque entre les relations d’équivalence définies sur A et compatible
avec les lois de A et les idéals de A.
Démonstration :
› Soit ℑ=idéale de A et R=relation d’équivalence sur A compatible avec les lois de A
› Soit  : ℑ R
› I  RI :xRIyx-yI
› injective? I, Iℑ tel que RI = RI.
› Soit xIxRI0 xRI’0 xI donc
›  surjective? Soit I =(I =  xA/ xR 0),
› I =  ℑ, on sait que I sous-groupe additive de A.
› xA, aI xaI et axI ?
› aI  a R 0xa R x0 x0 R 0 xaI
› de même pour axI.
› est surjective
›  Dansla suite de ce chapitre et sauf mention contraire, tous les anneaux seront supposés
compatibles et unitaires.
ANNEAU

67F. AKEF
› Soit A un anneau et ℑ l’ensemble des idéaux de A.
› L’intersection quelconque d’éléments de ℑ est un élément de I.
II - OPÉRATEUR IDÉAUX
Soit A un anneau et S une partie non vide de
A. L’idéal de A engendré par S est définit
comme le plus petit idéal de A contenant S.
On peut vérifier facilement que c’est
l’intersection de tous les idéals de A qui
contiennent S.

68F. AKEF
Proposition :
› Soit A un anneau, S une partie non vide de A et A(S) l’idéal de A engendre par S. Alors

69F. AKEF
Démonstration :

70F. AKEF
Définition :
› Soit A un anneau et I un idéalde A.Alors I est dite de type fini si  S une partie fini non vide de
A tel que A(S) = I
Définition :
Soit A un anneau et I un idéal de A
› Alors I est dit premier si et seulement si I  A et si I vérifie
›  x, y  A / xyI alors xI ou yI
› I est dit maximal si et seulement si I  A et si I vérifie :
› Si J idéal de A tel que
alors J=A
 I est dit primaire si et seulement si I  A et si I vérifie :
› x, y  I tel que x.yI et xI alors n  IN* tel que ynI

71F. AKEF
Théorème :
› Soit A anneau , I idéal de A. Alors si I  A, ℳ idéal maximal de A tel que I ℳ
Définition :
› Soit (E, <) un ensemble ordonné, alors E est dit inductif si toute chaine de E admet une borne
supérieur
› (ie (Ai)iI est une chaine de E si AiE, iI et si i,jI alors Ai<Aj ou Aj< Ai).
Axiome de Zorn : tout ensemble inductif admet un élément maximal

72F. AKEF
 R

74F. AKEF
› Soient A et A’ deux anneaux, f applicationde A dans A’
› f est un homomorphisme d’anneau si f (x+y) = f(x) + f(x) + f(y) et
f(xy) = f(x)f(y) ∀x,yA
Exemple : Soit A anneau et I idéal de A alors
› s : A est un homomorphisme d’anneau
› x= x+I
Propriétés :
A, A’deux anneaux et f homomorphisme d’anneaudeA dans A’ Alors :
a)f(OA) = OA’
b)Kerf est idéal de A
c) f(A) est un sous-anneau de A’
d)I idéal de A⇒ f1(I) idéal de A.
e)si f injective et si A intègre alors f(A) est intègre.
f) si f injective et si A corps alors f(A) corps.
III - HOMOMORPHISME D’ANNEAU

75F. AKEF
Démonstration :
b)Kerf sous-groupe additif de A
Soit xA, yKerf
f(xy) = f(x) f(y) = f(u).OA’ = OAxyKerf
1er Théorème d’isomorphe concernant les anneaux
› Soient A et A’ deux anneaux, f homomorphisme de A dans A!

76F. AKEF

78F. AKEF
› Soit A anneau , 1Aélément neutre par multiplication.
› Soit : Z A
IV - CARACTÉRISTIQUE D’UN ANNEAU

79F. AKEF
Proposition :
Soit A anneau intègre, alors la caractéristique de A est soit nulle, soit un nombre premier.
Démonstration :
Z/noZ = (Z)
› comme A est intègre, (Z) est intègre.
›  Z/noZ intègre noZ idéal premier de Z.
› no = o ou no premier
Corollaire:
La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier.
IV - CARACTÉRISTIQUE D’UN ANNEAU

81F. AKEF
Soit A anneau intègre (A commutatif et unitaire)
Problème :  ? K corps et homomorphisme d’anneau injectif de A dans K
› tel que zK (x, y)AA* tel que
› z =  (x) (y)-1 (A*=nA tel que x  OA)
Existence de K :
› Sur A A* on définit la relation binaire R par :
› (x,y) R (x, y) xy = yx
› R relation d’équivalence
›  Transitivité : (x, y)R (x, y) et (x, y)R (x, y)
› - si x= 0  en effet xy =yxxy = OA x = OA(yOA)
› de x = 0  (x, y) R (x, y).
I - ANNEAUX DE FRACTIONS

82F. AKEF
Proposition : (A  A*/R*,+,.) est un corps.

83F. AKEF
Théorème :
Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire)
› Alors K un corps unique à un isomorphisme près et  un homomorphisme injectif
de A dans K tel que :
› zK (x, y)AA* z =(x) (y)1
› Le corps est appelé le corps de fractions de A.
› On plonge A dans K en identifiant xA et(x)K.
› zK, (x, y)  AA*tel que : z = xy1=(x/y).

85F. AKEF
1 ) Divisibilité dans un anneau intègre (A commutatif et unitaire)
› Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire), soit U(A) le groupe des éléments inversible
de A (groupe des unités de A).
Définition : Soient a, b, on dit que a divise b (ou a diviseur de b) et on écritsi : xA tel que b
= ax.
› Remarque : Soit aAuU(A) on a : u/a et ua /a
› a, bA bAaA
Définitions :
* Soient a, bA, on dit que a est un diviseur propre de b si :
› au(A) et a ubxU(A)
* Soit aA, aOA, alors a est dit irréductible sia n’admet que des diviseurs propres.
* Soient a, bA, on dit que a et b sont étrangers si a et b n’admettent aucun diviseur
propre commun.
* Soient a, bA, on dit que a et b sont associés si a/b et b/a.
VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE

86F. AKEF
Remarque :
› * la relation R définie dans A par : x R y  x et y sont associés et R est une relation
d’équivalence.
› * Soient a, bA tel que a et b sont associés alors :
› uU(A) tel que a = ub.
Définition : Soit a1, …, anA et d, mA
› On dit que d est p.g.c.d de a1, …, an si :
i) d/ai i1, …, n
ii)xA tel que x/ai (1 i  n) alors x/d
› On dit que m est un p.p.c.m de a1, …, an si :
i)Ri/m i1, …, n
ii)xA telque ai/x (i1, …, n) on a : m/x

87F. AKEF
2) Anneaux principaux :
› Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire)
Définition : A est dit principal si : I idéal de A, aA tel que I = aA
Proposition : Soit pA, p  OA, A anneau principal.
› pA est premier  p est irréductible pA maximal
Démonstration : pA premier  ? p irréductible
› pA premier pA A  p n’est pas inversible
› Soit x un diviseur de p yA tel que xy= p
› pA premier  xpA ou ypA .
 xpA x = px (x A) pxy = p xy = 1  xU(A)
 si ypA y = py (y A) xpy’ = p xy’= 1A xU(A).
› Pirréductible pAmaximal ?
› P irréductible P U(A)pA A

88F. AKEF
Corollaire : dans un anneau principal, tout idéal premier est maximal.
Proposition :Soit A un anneau principal et a1, …, anA.
› Alors  d et m A tel que d est un p.g cd de a1, …, an et m un ppcm de a1, …, an.
Démonstration : Soit a1A+… + anA(est un idéal de A)
A un anneau principaldA, tel que a1A+… + anA = dA
i-i1, …, n,aiAdA d/ai
ii-Soit xAtel que x/ai ( i1, …, n).
x/aiaiA xA ( i1, …, n).
dAxA x/d
(montrer que m est un p.p.c.mde a1, …, an)

89F. AKEF
Proposition : Soit A un anneau principal et( Ij)jIN une famille d’idéaux de A tel que IoI1 …
InIn+1
› AlorsnoIN telqueIno = Im ; m no.
Démonstration : soit
› J est un idéal de A en effet :
› Soient x, y In, mINtel que :
xIn et yIm ,on suppose que In Im
x, yImx- yImx- yJ
› Soit a Aet xJnINtel que : xIn axIn axJ
aAtel que J = aA
noIN telque J =
et m  noon a : = Im ( Im J Im)

90F. AKEF
Proposition :Soit A un anneau principal. Soit xA tel que x  OA et x  U(A). Alors :
i) uU(A), P1…, Prdes éléments irréductibles de A tel que x = up1… pr.
ii) si x = up1… pr = vq1…, qs avec q1… ,qséléments irréductibles de A, alors r = s et  R
Srtel que Pi et qR(i)sont associés.
Démonstration existence : xA (x OA , x U(A)).
 On suppos eque x ne s’écrit pas comme i) :
› Soit xo et yoA des diviseurs propres de x tel que x = xoyo.
›  On suppose que xone s’écrit pas comme i donc :
xo = x1y1 avec Axo Ax1
Axo Ay1
Ainsi de suite n va construire une suite S croissante infinie d’idéaux de A.
Ceci contredit la propriété précédente.

91F. AKEF
› Unicité : x A, x OA, x U(A). On suppose que x = up1… pr = vq1…, qs
› u,vU(A), p1…, pr, q1,…, qs d’éléments irréductible de A.
› On suppose que r  s On supose que r < s
› uv-1. p1…, pr = q1,…, ps p1/q1,…, qs
uU(A) (U(A) est groupe par la
multiplication).
Soit u-1l’inverse de u.
1A = u-1 qir+1… qis
qir+1…, qisU(A)
Ceci est impossible (car ils sont
tous irréductible)

92F. AKEF
Définition :
Soit A un anneau (commutatif et unitaire) intègre, A est dit factoriel si xA, x OAet x U(A), x
vérifie (i) et (ii) de la propriété précédente.
› Corollaire :
Tout anneau principal est factoriel
Proposition :
Soit A un anneau factoriel, soit pA, p OA
› Alors p est irréductible pAest premier.

93F. AKEF
Démonstration :
/ p irréductible. Soient x, y A tel que : xypA et xpA.
xypAzA tel que xy = pz
si x est inversible alors ypA
si x n’est pas inversible :
Soit x = up1…pr décomposition de x en facteur irréductible, alors pi et p ne sont pas associés
i 1,…, r 
 (d’aprèsi et ii)ypA
/pA idéal premier  p U(A).
Soit x diviseur de p yA tel que p = xy x pA ou y pA (pA premier).
si x pAzA tel que x = pz  p = pzy yU(A)  x = y-1pU(A)
ypAzA tel que y = pz p = xpz xU(A)

95F. AKEF
Définition : Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre.
› A est dit noethérien si tout ensemble non vide d’idéal de A ( A) admet un élément
maximal.
Proposition : Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre. Alors il y a  entre :
i) A noethérien
ii) Tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments de A.
iii) Toute suite croissante d’idéal de A est stationnaire.
VII - ANNEAUX NOETHÉRIENS

Chapitre 4 : Algèbre linéaire
I. Quotient d’un espace vectoriel par un
sous-espace vectoriel.
II. Réduction des matrices carrées
 Chapitre 1 :
Homomorphisme de
groupes
 Chapitre 2 :
Résultats sur les
groupes finis
 Chapitre 3 :
Anneaux
 Chapitre 4 :
Algèbre linéaire
ALGÈBRE

CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE
97F. AKEF
Dans toute la suite et sauf mention contraire K sera un corps commutatif.
* Soient E un espace vectoriel sur K et Fun sous-groupe de E.
On considère la relation définie sur E par :
›  x, y E x R y  x – y F
Soit E/R l’ensemble quotient clp(x) =x-. (x  F)
› Théorème :
I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN
SOUS-ESPACE VECTORIEL.

98F. AKEF
Démonstration :
› /On suppose quemuni de + et estun espace vectorielsur K

99F. AKEF
Proposition :
› Soient E un espace vectoriel sur k, Fun sous espace vectoriel de E et

100F. AKEF

101F. AKEF
2ème théorème d’isomorphisme concernant les espaces vectoriels :
› Soit E un espace vectoriel sur k et F, G deux sous espaces vectoriels de E.

102F. AKEF
3ème théorème d’isomorphisme concernant les espaces vectoriels :
› Soient E un espace vectoriel sur k et F un sous espace vectoriel de E.

CHAPITRE 1 :
104F. AKEF
II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES

CHAPITRE 1 :
105F. AKEF
Proposition :
› E un espace vectoriel sur K, soit lK, uK(E).
› Vl = {xE tel que u(x) = l x}.
› Alors Vl est un sous espace vectoriel de E.
› Si la une valeur propre pour u alors Vl { oE}.
Définition :
› uK(E)l valeur propre pour u alors Vl est appelé le sous espace vectoriel propre associé à la
valeur propre l

CHAPITRE 1 :
106F. AKEF

CHAPITRE 1 :
107F. AKEF

CHAPITRE 1 :
108F. AKEF
Exemple :
› E espace vectoriel de dimension finie sur K.
› { e1, … ,en } base de E

CHAPITRE 1 :
109F. AKEF
› 2) Polynôme Caractéristique associé à une matrice carrés :
› Mn(K) l’ensemble des matrices carré à coefficient de K, soit AMn(K),

CHAPITRE 1 :
110F. AKEF
Définition :
› Soient A, AMn(K)
› A et Asont dites semblables si :PMn(K), P inversible tel que : A = PAP-1.
Proposition :Soit A et AMn(K).
› A et A semblables PA(X) = PA(X).
Démonstration :
› A, A semblablePinversiblesMn(K) tel que A = PAP1
› PA(X) = det (A – XIn) = det(PAP1 – X (PInP1)
› = det (p(AXIn) P1)
› = det pdet (AXIn) det (P1)
› = det (A’ - XIn)
› = PA’(X)

CHAPITRE 1 :
111F. AKEF
3) Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme :
(d’un espace vectoriel de dimension finie sur K)
Diagonalisation :
› Soit E espace vectoriel sur K.dimK E = n, uℒK(E).
› B et Bdeux bases de E : A = MB(u), A = MB(u)
›  PMn(K), P inversible tel que :
› A = PAP1A et Asont semblablesPA(X) = PA(X)
Définition :
› PA(X) est appelé polynôme Caractéristique associé à u
Notation : PA(X) = Pu(X)
› tr(u) = tr(A)
*Le polynôme caractéristique associé à u est indépendant de la base choisie.

CHAPITRE 1 :
112F. AKEF
Proposition :
› E espace vectoriel de dimension finie sur K, uℒK(E),lK
› l valeur propre pour u Pu(l) = 0
Démonstration :
› l valeur propre pour u (u - lI) mon injective
› de t(A – IE)= 0  Pu(l) = 0
Définition :
› uℒK(E)(E espace vectoriel de dimension finie sur K)
› u est dit diagonalisable, s’il existe B base de E tel que MB(u) soit diagonale.
› Soit AMn(K), A est dite diagonalisable si A est semblable àune matrice diagonale.

CHAPITRE 1 :
113F. AKEF
Théorème :
› Soit E espace vectoriel de dimension finiesur K ; (dimk E = n)
› uℒK(E), Pu(X) polynôme caractéristique associé à u
› On suppose qu’l1, …, lrK deux à deux distincts tel que :
› Pu(l) = (l1 - X)a1 … (lr)aret (a1+ … + ar = n)(1 i  r)
› Alors :i) 1 dimK V li ai
ii)dim V li = ai  E = V l1  V l2...  V lr
iii)dimV li=ai u diagonal(1i  r)

CHAPITRE 1 :
114F. AKEF

CHAPITRE 1 :
115F. AKEF
Théorème :
› Soit E unespace vectoriel. de dimension finie n sur K et uℒK(E ). Alors :
› u diagonalisable l1 …, lr deux à deux différents tel que :
› Pu(X) = (1 – X)a1 … .(r– X)ar.
› a1 + … + ,ar = n et dimV li = a1
Démonstration :
›  /déjà montré
› / u diagB = {e1, … , en} base de Etel que
MB(u) est diagonalisable
› l1 , …, Xn K tel que

CHAPITRE 1 :
116F. AKEF
Exemple :E espace vectoriel Sur de dimension 2. u, u’ℒIR(E ).
› B = {e1, …,e2} base de E.

CHAPITRE 1 :
117F. AKEF
Définition : Soit E un espace vectoriel.de dimension finie sur K, uℒK(E) u est dit trigonable s’il existe
une base B de E tel que MB(u) est trigonale (triangulaire).
Théorème :
› Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K et uLK(E).
› Alors : u est trigonable Pu(X) se décompose en produit de facteurs de premier degré.
› c.à.d l1, …, ln K tel que :
› Pu (X) = (l1- X) … (ln - X) où les li sont non nécessairement distincts deux à deux.
Démonstration :
› / u trigonal B base de E tel que MB(u) est trigonal.
›  B base de E tel que :
›  Pu (X) = (l11- X) … (lnn - X)
› / Démonstration par récurrence sur dim E :
› n = 1 (évident)

CHAPITRE 1 :
118F. AKEF
Hypothèse de récurrence :
On suppose que si H est un espace vectoriel de dimension n – 1 sur K et si f uℒK(H) est tel que
Pf(X) se décompose en produit de facteur du 1er degré.
Alors f est trigonalisable :
 Etel que dimK E = n , uℒK(E ) et Pu(X) se décompose en produit de facteur du 1er degré.
 l valeur propre de E
 e1oE tel que u(e1) = l e1. soit F = b e1,b  K sous espace vectoriel de E, dim F = 1
 G sous espace vectoriel de E tel que E = F G ; dim G = n – 1
 b =  e1,… ,ek base de G.
Soit uℒ(G, E) u =et p : E = F G G
(x + y ) y
v = pouℒK(G)
B =  e1,… ,en base de E.

CHAPITRE 1 :
119F. AKEF

CHAPITRE 1 :
120F. AKEF
On remarque que : Pu (X) = (l- X) Pu (X)
› d’après les hypothèses on a : Pu (X) se décompose en produit de facteur de 1er d°  Pu (X) ….
› Donc l21… ln K tel que : Pu (X) = (l2- X) ….(ln- K)
›  (d’après les hypothèses de récurrence que v est trigonale
› B = f21,… ,fn base de Gtel que : MB(v) soit trigonale
› B″ = e1, f2,… ,fn base de E
› Cherchons MB’(v), u(e1) = le1.
› soit i2, … , nv(fi) = b2ifa+ bzif3+ … + biifi
› or p surjective b1i K telque (fi) = b1ie1 + b21f2 + … + biifi.

CHAPITRE 1 :
121F. AKEF
› 4)Réduction de Jordan
› Soit F espace vectoriel sur K.,uLK(E )
› On pose :

CHAPITRE 1 :
122F. AKEF
› Définition : Q est appelé polynôme minimal normalisé
› Théorème :(Cayley – Hamilton).
› Soit E un ev. de dim finie sur K et mLK(E ) et Pu(X) le polynôme caractéristique de u alors Xu
(P) = Pu(u) = 0 ie le polynôme minimal de u divise Pu (X) 

CHAPITRE 1 :
123F. AKEF
› Démonstration du théorème : (Cayley – Hamilton).
› Soit B = {e1, …, en} base de E (dimKE = n)
› Soit A = MB(u) = (aij) 1 i,j n et soit B = (bij) = aijij X
› Pu(X) = det B ? Pu(X) ej= 0 j{1, …, n} ?

CHAPITRE 1 :
124F. AKEF
Théorème :
› Soient E un espace vectoriel de dimension fini sur un corps commutative K,uℒk(E) etQu le polynôme
minimal normalisé de u. Alors si est valeur propre de u, le polynôme (X ) divise Qu (c’est à dire est
racine deQu (X))
Démonstration :
› valeur propre de u xE x  OE tel que u(x) = x

CHAPITRE 1 :
125F. AKEF
› Lemme :
› Soit E un espace vectoriel sur un corps commutative K, uℒk(E), PK[X}, P  0. On
suppose qu’il existe P1, …, PrK[X] deux à deux premières entre eux tel que :
› P = P1 … Pr .AlorsKerP(u) = Ker P1(u)  … kerPr(u) .

CHAPITRE 1 :
126F. AKEF
› Théorème :
› Soit E espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K,uℒk(E) et Pu (X)le
polynôme caractéristique de x. Alors F1 …Fr des sous-espaces vectoriels de E tel que :
› i) E = F1…Fr .
› ii) u(Fi)  Fi (i{1, …., r}
› iii) pour i{1, …., r} et ui = ℒk(E) , Bi base de Fi et Mi =
alors :

CHAPITRE 1 :
127F. AKEF
Démonstration :
› i) K[X] factorielP1, ..., Pr polynômes irréductibles de K[X] non associés deux à
deux tel que :

CHAPITRE 1 :
128F. AKEF
› Remarque et définition :
› E espace vectoriel sur K (corps commutatif) n = dimK E
› uℒk(E) , Pu le polynôme caractéristique de u. On suppose que :

CHAPITRE 1 :
129F. AKEF
Théorème :
› E espace vectoriel de dimension fini sur un corps commutatif K, uℒk(E), alors u
diagonale 1, …, rK, deux à deux distincts tel que :
› Qu(X) = (X 1) …(X r) .
Démonstration : Exemples :
› K corps commutatif, E espace vectoriel de dimension finie sur K

CHAPITRE 1 :
130F. AKEF
Endomorphisme nilpotents - Réduction de Jordan :
› Dans tout le paragraphe : E espace vectoriel de dimension finie n sur K (corps commutatif).
Définition :
› Soit uℒk(E), u est dit nilpotent s’il existe kℕ* tel que : uk = 0.
› u est dit nilpotent d’indice k si uk = 0 et uk1 0 .
› pℕ* tel que Qu(X) = Xp p est l’indice de nilpotent de u.
Remarque :
› Si nilpotent et si degQu 1  u non diagonalisable. Un endomorphisme nilpotent non nul
n’est jamais diagonalisable.
Remarque :
› Si uℒk(E) et si Pu(X) = (X)n u nilpotent.

CHAPITRE 1 :
131F. AKEF
Proposition :
› Soit uℒk(E), on suppose qu’il existe xE, x  OE et kℕ* tel que :uk (x) = 0 et uk1 (x)  0
alors :
1)Le système B = {uk1 (x), uk2 (x), …, u(x), x} est libre.
2) Le sous-espace vectoriel F engendré par B est stable par u.

CHAPITRE 1 :
132F. AKEF

CHAPITRE 1 :
133F. AKEF
Définition :
› Une matrice qui a la forme ci-dessus est appelé matrice nilpotente de Jordan.
Remarque :
› Si uLK(E), tel que l’indice de nilpotent de u est n(n = dimKE)(indice de nilpotence)
› B base E tel que MB(u) est une matrice de Jordan d’ordre n.
Théorème :
› uLK(E), tel que u soit nilpotente d’indice k. Alors B base E tel que :
› Avec  i1, … , r Mi est une matrice de Jordan d’ordre ni :
› n1 n2… nr
› n1 = k et r = dimker u

CHAPITRE 1 :
134F. AKEF
Lemme 1 : mêmes hypothèses que le théorème.
› i0, … ,k ;
› 0  = Fo F1 …. Fk-1 et u (Fi+1)  Fi 0 i  k-1
Démonstration :
› F0 F1 … Fk-1Fk(évident)
›  x Fi+1  ui+1 (x) = 0 ui(u(x)) = 0
›  u(x) Fiu(Fi+1)  F
› Supposons qu’il existe i 0, … , k-1 + q Fi+1 = Fi
›  xE : uk(x) = 0  ui+1 (uk-i-1(x)) = 0
› xE , uk-i-1(x)  Fi+1 =, or Fi+1 = Fi
› xE ui(uk-i-1(x)) = 0 xEuk- 1(x) = 0
› Ceci contredit le fait que k est l’indice de nilpotent de u.

CHAPITRE 1 :
135F. AKEF
Lemme 2 : mêmes hypothèses que le théorème
› et soiti1, … ,k, Fi= Ker uiet F un sous-espace vectoriel de T tel que F Fi= 0, alors
u(F)  Fi-1 = 0 et la restitution de u à F est injective (c’est à dire : F  u(F)
isomorphisme d’espace vectoriel.)
Démonstration :
› Soityu(F)  Fi-1
›  xF, tel que : y = u(x) et ui-1(y) = 0
› ui-1(u(x)) = 0ui(x) = 0
› xFi x F Fi= 0 x = 0 y = 0 (y = u(x).
› Soit xF tel que u(x) = 0 ui(u) = 0 x = 0

CHAPITRE 1 :
136F. AKEF
Lemme 3 :mêmes hypothèses que le théorème.
› Fi = Ker ui, 0 ≤ i ≤ k
› alors  G1, … ,Gkdes sous-espaces vectoriels de E tel que :
(1) i1, … ,k; Fi = Fi1Gi
(2)u(Gi)  Gi1 et la restriction de u à Gi est inj
Démonstration :
› fk-1 Fk = E
› Soit Gksous-espace vectoriel de E = Fk = Fk-1Gk
› Gk Fk-1 = 0 u(Gk)  Fk-2 = 0 (Lemme 2)
› GkFk (Gk) Fk-1 (Lemme 1)
›  Gk-1un sous-espace vectoriel de E tel que u(Gk)  Fk-1 et Fk-2 Gk-1 =Fk-1 d’après lemme
2 on a : restriction de u à Gkest injective.

CHAPITRE 1 :
137F. AKEF

CHAPITRE 1 :
138F. AKEF
La démonstration du théorème découle du lemme 3.
Remarque :

CHAPITRE 1 :
139F. AKEF
Cas général :

CHAPITRE 1 :
140F. AKEF

CHAPITRE 1 :
141F. AKEF

CHAPITRE 1 :
142F. AKEF

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