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4.0 I SISTEMI DI RIFERIMENTO
O’
S’
So
S
O Fig. 4.0.1
Chiamiamo sistema di riferimento un origine O e un sistema di assi cartesiani a partire dal quale
facciamo le nostre misure.
Relativamente alla figura in questione, l’osservatore fermo O descrive posizione e moto dello
squalo a partire dal suo riferimento trovando che la posizione è data dal vettore S, mentre dal
sistema di riferimento sulla barca O’ lo squalo viene visto in S’.
Esempio 1: l’osservatore fermo in O dice che lo squalo si trova in una posizione per cui il vettore S
ha coordinate (10,2), mentre l’osservatore O’ sulla nave dice che il vettore posizione è S’ con
coordinate (5,-1). Notiamo come l’osservatore fermo in O veda lo squalo davanti a lui (2 in
direzione asse y positivo) mentre O’ lo vede dietro (1 in direzione negativa del suo asse y e dunque
y = -1).
Qual è la relazione tra S e S’?
Se osserviamo bene la figura possiamo sicuramente notare che S si ottiene come somma vettoriale
di So e S’ usando la regola punta – freccia; la relazione ricercata è dunque:
S = So+S’ (4.0.1)
PROBLEMA: l’osservatore O’ sulla nave vede lo squalo in S’ (5,-1) e l’osservatore fermo a terra
vede la nave in So (5,3). Trovare la posizione S dello squalo secondo O.
SVOLGIMENTO: S = So + S’ e dunque S = (5+5 , 3-1) = (10,2), come detto nell’esempio 1
Vogliamo trovare ora la relazione tra le velocità dello squalo come misurate da O e da O’.
Per far questo abbiamo bisogno di una comodissima relazione matematica che coinvolge i simboli
∆.
Supponiamo che J e K siano due grandezze fisiche e di voler fare dei calcoli sulla grandezza Q data
da
Q=J+K (4.0.2).
Se vogliamo calcolare la variazione ∆Q = Qf – Qi (f ed i stanno per “finale” ed “iniziale”) usando la
(4.0.2), dobbiamo fare così
∆Q = (Jf + Kf) – (Ji + Ki) = Jf + Kf – Ji – Ki = (Jf – Ji ) + (Kf – Ki) = ∆J + ∆K (4.0.3)
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Possiamo tradurre (4.0.3) con questa regola:
il delta della somma è la somma dei delta.
Una relazione analoga vale per il delta della differenza di due grandezze.
Torniamo al nostro problema delle velocità: calcolare la velocità V dello squalo come misurata da
O conoscendo la velocità Vo della nave rispetto a O e la velocità V’ dello squalo rispetto alla nave.
(4.0.1) ci dice che S = So + S’. Se facciamo i delta e usiamo quanto detto sopra abbiamo che
∆S = ∆So + ∆S’ (4.0.4)
Dividendo tutto per ∆t e ricordando che ∆S/∆t è la definizione di velocità abbiamo
∆S/∆t = ∆So/∆t + ∆S’/∆t (4.0.5) ovvero
V = Vo + V’ (4.0.6)
Questa è proprio la relazione cercata:
la velocità dello squalo misurata da terra (osservatore O) è data dalla somma vettoriale fra la
velocità della nave misurata da terra (Vo) e la velocità dello squalo misurata dalla nave (V’).
Chiameremo Vo velocità di trascinamento essendo questa infatti la velocità dello squalo misurata
da terra (osservatore O) se lo squalo fosse fermo rispetto alla nave (V’=0).
Questo traduce in pratica il concetto che se un treno viaggia a 100 Km/h rispetto alla stazione e noi
siamo fermi sul treno, allora anche noi ci muoviamo a 100 Km/h rispetto alla stazione grazie al
trascinamento che ci fornisce il moto del treno.
ESEMPIO: supponiamo che la nave viaggi rispetto a terra con una velocità Vo = (10, 20) e che lo
squalo sia fermo rispetto alla nave (V’ = (0,0)). Qual è la velocità dello squalo rispetto a terra?
Usiamo (4.0.6):
V = (10, 20) + (0, 0) = (10, 20)
È dunque evidente che lo squalo fermo rispetto alla nave possiede rispetto a terra proprio la velocità
di trascinamento.
E veniamo alla questione più importante e delicata, ovvero alla relazione fra le accelerazioni dello
squalo misurate da terra e misurate dalla nave.
Partiamo dalla relazione (4.0.6) V = Vo + V’ e facciamone il delta fra gli istanti iniziale e finale:
∆V = ∆Vo + ∆V’ (4.0.7)
Dividiamo per ∆t:
∆V/∆t = ∆Vo/∆t + ∆V’/∆t (4.0.8)
Ricordando che ∆V/∆t = a, possiamo scrivere la precedente come:
a = ao + a’ (4.0.9)
e dire che
l’accelerazione misurata da terra a si ottiene sommando l’accelerazione misurata dalla nave a’ e
l’accelerazione di trascinamento ao (accelerazione che la nave ha rispetto a terra).
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4.1 LA SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA E I SISTEMI DI
RIFERIMENTO INERZIALI
La legge
F = m⋅a (4.1.1)
è importantissima perché spiega la causa delle accelerazioni:
a destra abbiamo l’effetto (il moto accelerato), a sinistra la causa (la forza).
Le forze della natura sono di quattro tipi:
- GRAVITAZIONALE
- ELETTROMAGNETICA
- NUCLEARE FORTE (quella che “tiene insieme” i nuclei atomici)
- NUCLEARE DEBOLE (responsabile di alcuni tipi di radioattività)
e, perché su un corpo agisca una forza, nelle vicinanze (magari non troppo) deve essere
rintracciabile un altro corpo che interagisca con quello in esame tramite una delle 4 forze
fondamentali sopra elencate.
ESEMPIO: se sono nello spazio e sento su di me una forza, guardando bene troverò (da qualche
parte) un pianeta o una stella che esercitano su di me quella forza.
Succede però, nella vita di tutti i giorni, che ci si trovi in situazioni ove rintracciare l’origine delle
forze è francamente molto difficile.
ESEMPIO: mentre con l’auto acceleriamo, gli oggetti sul sedile vengono spinti all’indietro; se
freniamo vengono spinti in avanti. La causa dell’accelerazione in avanti o all’indietro degli oggetti
non è affatto rintracciabile nell’interazione tramite una delle 4 forze fondamentali con corpi vicini.
Queste accelerazioni misteriose, poi, spariscono non appena l’auto si fermi o percorra una strada
con moto rettilineo uniforme.
ESEMPIO: sulla MIR gli astronauti galleggiano, ovvero non sono sottoposti a forze. Eppure, se
guardano fuori dall’oblò, vedono la terra, per cui la forza di gravità dovrebbero sentirla! Ne
deducono che deve esserci su di loro una forza misteriosa uguale e contraria alla gravità e che non
trova una spiegazione nell’interazione con oggetti vicini.
ESEMPIO: uno col pallino della dieta si pesa anche in ascensore; siccome trova che pesa di meno
quando l’ascensore accelera scendendo e di più quando sale, decide di fare le scale quando deve
salire e di usare l’ascensore solo per scendere. Qual è la causa della variazione del peso, visto che
l’unica forza dovuta a corpi vicini è quella di gravità (dovuta alla vicinanza col pianeta terra)?
Nei tre esempi le osservazioni venivano tutte fatte da sistemi di riferimento (origine + assi cartesiani
a partire dai quali si fanno le misure) che acceleravano (nell’esempio della MIR che gira nello
spazio intorno alla terra l’accelerazione è quella centripeta che hanno tutti i corpi che girano)
rispetto alla terra.
Le forze misteriose sparivano non appena il moto accelerato del sistema di riferimento cessava
(auto e ascensore fermi o in moto rettilineo uniforme).
È lecito dunque pensare che l’origine delle forze misteriose non sia inquadrabile in una delle quattro
interazioni fondamentali, ma stia piuttosto nell’accelerazione del proprio sistema di riferimento
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4. Iss Romero – Albino (Bg) – © 2001/2002 - Prof. F. Rota – Classe 4 Liceo Socio Psico Pedagogico – Materiale di supporto alle lezioni
rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, ovvero rispetto ad una sistema di riferimento nel
quale ogni accelerazione è spiegabile con una interazione delle quattro fondamentali.
Nella pratica i sistemi inerziali sono quelli fermi od in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle
fisse (ovvero a quelle stelle così lontane dalla terra da apparire ferme).
Vediamo di trovare il legame esistente tra forze fittizie e accelerazione del sistema di riferimento.
L’eq. (4.0.9) ci dice che l’accelerazione di un corpo (esempio: squalo) misurata nel sistema
inerziale (misurata da terra) è uguale all’accelerazione di trascinamento (l’accelerazione della nave
rispetto alla terra ferma) più l’accelerazione a’ del corpo misurata dal sistema non inerziale
(l’accelerazione dello squalo misurata dalla nave in moto accelerato). Possiamo riscrivere
l’equazione in questo modo:
aINERZ = aRIF + aMIS (4.1.2)
ovvero l’accelerazione aINERZ dell’oggetto nel sistema inerziale uguaglia accelerazione aRIF di
trascinamento del sistema non inerziale più l’accelerazione aMIS misurata a partire dal sistema non
inerziale.
PROBLEMA: un cane su un treno corre incontro al padrone con accelerazione di 0,5 m/s2 . Nello
stesso tempo il treno accelera rispetto alla stazione con accelerazione pari a 1 m/s2 . Quale è
l’accelerazione del cane rispetto alla stazione?
SVOLGIMENTO: l’accelerazione del cane rispetto alla stazione sarà la somma dell’accelerazione
del treno rispetto alla stazione più l’accelerazione del cane rispetto al treno (formula (4.1.2)).
Dunque sarà un’accelerazione di 1,5 m/s2 .
L’eq. (4.1.2) è equivalente a questa:
aMIS = aINERZ - aRIF (4.1.3)
che, moltiplicata per la massa m dell’oggetto di cui si sta descrivendo il moto, diviene:
m⋅aMIS = m⋅aINERZ - m⋅aRIF (4.1.4)
Questa formula è fatta da prodotti massa per accelerazione, che per la (4.1.1) sappiamo essere
equivalenti a forze:
• m⋅aMIS rappresenta la forza effettivamente misurata nel sistema di riferimento in moto accelerato
(sistema non inerziale);
• m⋅aINERZ, essendo misurata in un sistema inerziale (fermo rispetto alle stelle fisse), rappresenta
la forza vera agente sull’oggetto, ovvero rappresenta una forza che ha per causa una delle 4
interazioni fondamentali della natura;
• - m⋅aRIF rappresenta una forza che ha come unica “causa” il moto accelerato del sistema di
riferimento ove vengono fatte le misure (nave, aereo, treno, auto che si muovono con
accelerazione aRIF rispetto alle stelle fisse).
Riscriveremo dunque (4.1.4) così:
FMIS = FVERA + FFITT (4.1.5)
con FFITT = - m⋅aRIF (4.1.6)
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5. Iss Romero – Albino (Bg) – © 2001/2002 - Prof. F. Rota – Classe 4 Liceo Socio Psico Pedagogico – Materiale di supporto alle lezioni
che rappresenta una forza fittizia dovuta esclusivamente al fatto di fare misure in un sistema di
riferimento che accelera, e non ad una delle 4 interazioni fondamentali.
Il nome fittizia non deve trarci in inganno:
questo tipo di forze (tipo la forza centrifuga) vengono realmente “sentite” dagli oggetti; l’unica
differenza con le forze vere (tipo gravità) è che le forze fittizie spariscono non appena il sistema di
riferimento (treno, aereo, nave…) smette di accelerare: dovrebbe essere invece ben chiaro che una
forza vera tipo la gravità non sparisce se la nave si ferma!
ESEMPIO: un’auto accelera verso destra con accelerazione pari a 2 m/s2 . Quale forza “sente” un
oggetto di 3 Kg appoggiato al sedile?
L’oggetto è sottoposto a forze vere e forze
fittizie: vero è il peso del corpo (bilanciato
R dalla reazione del piano d’appoggio); fittizia è
la forza dovuta all’accelerazione del sistema di
FFITT
riferimento:
poiché le forze vere si bilanciano fra loro
(4.1.5) diviene
P
FMIS = FFITT = -3 Kg⋅2 m/s2 = -6 N.
FIG. 4.1.1 Se l’auto accelera verso sinistra dunque il
corpo è spinto dalla forza fittizia verso destra.
ESEMPIO: un uomo con massa 70 Kg si pesa all’interno di un ascensore che sta scendendo con
accelerazione 2 m/s2 . Qual è il peso misurato dalla bilancia?
Mentre l’uomo scende accelerando è sottoposto, oltre alla forza peso
“vera”, anche ad una forza fittizia data da (4.1.6) ovvero da
FFITT = -70 Kg⋅2 m/s2 = -140 N = - 14 Kgp .
Questa forza fittizia verso l’alto si sottrae alla forza peso verso il basso di
modo che la forza misurata FMIS vale
FFITT
FMIS = 70 Kgp – 14 Kgp = 56 Kgp
P La bilancia misura dunque una forza peso di 56 Kgp e l’uomo che si pesa
nell’ascensore che accelera verso il basso crede di avere una massa di 56
Kg invece che di 70.
Cosa succederebbe se l’ascensore accelerasse salendo?
FIG. 4.1.2
ESEMPIO: gli astronauti sulla MIR galleggiano nello spazio come se non fossero sottoposti a forze.
Questo vuol dire che nel loro sistema di riferimento FMIS vale zero. Come è possibile, visto che
dovrebbero essere sottoposti alla forza “vera” di gravità dovuta alla terra?
È possibile perché si trovano in un sistema di riferimento che ruota intorno alla terra, e dunque
dotato di accelerazione centripeta diretta verso la terra.
Per loro l’eq. (4.1.5) diventa:
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6. Iss Romero – Albino (Bg) – © 2001/2002 - Prof. F. Rota – Classe 4 Liceo Socio Psico Pedagogico – Materiale di supporto alle lezioni
0 = GRAVITÀ -m⋅ac (4.1.7)
FFITT
ove ac è l’accelerazione centripeta. Poiché ac è diretta
verso la terra, -m⋅ac è opposta alla gravità e permette
il completo bilanciamento tra gravità e forza fittizia
indicato dalla (4.1.7).
P
FIG. 4.1.3
6/6