Método de la Secante desarrollado por los estudiantes del octavo módulo de la carrera de Ingeniería en Sistemas de la Universidad Nacional de Loja

1. Módulo: Gestión de Redes y Administración de Centros de Cómputo<br />Fecha:Lunes, 05 de Abril de 2010<br />Grupo:No. 2<br />Integrantes: Anita Campoverde<br />Yanela Rios<br />Iliana Vargas<br />Fabricio Flores<br />Eduardo Lima<br />Germán Salas <br />Julio Benítez<br />Ángel Valdez<br />Carlos Vivanco<br />Título.<br />Método de la Secante<br />Contenido.<br />Método de la Secante<br />En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.<br />El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada.<br />El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1), f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula.<br />Etimología<br />La palabra “Secante” viene del latín: secans-tís, de secante: cortar. En geometría, línea recta que corta a una circunferencia, parábola, elipse, etc… <br />La palabra secante tiene un homónimo, pues también se refiere como adjetivo a las propiedades de ciertas sustancias de absorber por ejemplo la humedad, como el “Papel Secante” qué usábamos en la escuela, como así también a compuestos químicos que se agregan a las pinturas u otras sustancias para acelerar su secado o “curado”.<br />Definición<br />La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. <br />Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante empleando para saber la respuesta de ésta operación se emplea en matemáticas la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:<br />Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. <br />Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. <br />El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión: <br />Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración: <br />Figura: Representación geométrica del método de la secante.<br />En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representa geométricamente este método. <br />En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson. <br />Forma de hacerlo: <br />Primero hay que definir algunos conceptos como: <br />Xn: es el valor actual de X <br />Xn- 1: es el valor anterior de X <br />Xn+1: es el valor siguiente de X <br />Para simplificar la formula que se usa en este método se dirá que: <br />A=Xn-1 <br />B=Xn+1 <br />C=Xn <br />Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raíz. <br />Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C. <br />Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f©. Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la formula B=((Af©)-(C(f(A)))/(f©-f(A)). <br />A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la fórmula para seguir con el método. Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de f(Xn). <br />Supóngase que se tiene la ecuación X3–2X2 + 8X-9 <br /> Xn f(Xn)<br />A 10 871 <br />C 15 3036 <br />B 7.9884 437.054 <br />Como se ve en la tabla de valores, los 2 primeros puntos que se dieron, o sea A y C, son 10 y 15, y se saco su respectiva f(X) y se puso en su lugar, después para sacar B se uso la formula dada arriba y se obtuvo su f(X), ahora lo único que se tiene que hacer para seguir con el método es imaginariamente bajar las letras que están a la izquierda un lugar abajo, así el que era C se convierte en A y A se ignora ahora, el que era B ahora es C y B queda vacio para seguir con el método. <br />El método sigue hasta que el valor absoluto de f(Xn) sea igual a 0, pero realmente nunca pasa, así que se fija al principio un valor cercano a 0 para llegar a el, por ejemplo 0.001, y cuando en f(Xn) haya un valor menor o igual a 0.001, el método termina y la raíz que se estaba buscando queda en el ultimo valor de Xn. <br />El método se define por la relación de recurrencia:<br /> <br />Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.<br />Pseudocódigo del método de la secante para encontrar las raíces, en Matlab<br />Ejemplo 1<br />Usar el método de la secante para aproximar la raíz de fx=e-x2-x , comenzando<br />con x0 = 0 , x1 = 1 y hasta que ∈r ≤1% .<br />Fig 4. Primera iteración para la fx=e-x2-x, con x0 = 0 , x1 = 1, aplicando el método de la secante<br />Solución<br />Se Tiene que f (x0 ) = 1 y f (x1) = −0.632120558, que se sustituye en la fórmula de la<br />secante para calcular la aproximación x2<br />Xn= Xn-1-Xn-1-Xn-2fXn-1-fXn-2fXn-1= 0.612699837<br />Con un error aproximado de:<br />∈r=X2-X1X2 100%=63.2 %<br />Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:<br />Aprox. a la raíz Error aprox.<br /> 01 100%<br />0.612699837 63.2%<br />0.653442133 6.23%<br />0.652917265 0.08%<br />De lo cual se concluye que la aproximación a la raíz es:<br />x4 = 0.652917265<br />Ejemplo 2Usar el método de la secante para aproximar la raíz de , comenzando con y , y hasta que . <br />SoluciónTenemos los valores y , que sustituímos en la fórmula de la secante para obtener la aproximación : <br />Con un error aproximado de: <br />Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: <br />Aprox. a la raíz Error aprox. 0 1 100% 0.823315073 21.4% 0.852330280 3.40% 0.853169121 0.09% <br /> Ventajas:<br />Gracias a este método se puede eliminar el problema de calcular la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, y cuya derivada es muy compleja.<br />Con el método de la secante no se requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, es decir, evita el cálculo de la derivada.<br />En este método no se requiere de la segunda derivada.<br />En muchos casos el valor de la raíz no puede ser calculado analíticamente y hay que recurrir a un método numérico. Existen varias formas en este método por ejemplo el Método Iterativo que es el más robusto.<br />En este método no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos. Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de f(Xn). <br />El método de la secante procede independientemente de los signos de la función, es decir, no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. A diferencia del método del regula falsi que si lo hace. <br />Este método casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando, es decir, se va acomodando hasta que encuentra la raíz.<br />El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta).<br />Con este método resulta más sencillo evaluar el coste computacional de derivar la función de estudio.<br />El método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson.<br />Desventajas <br />El método de la secante al ser un proceso iterativo, corre el mismo riesgo que el método de Newton-Raphson de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa va a la segura. <br />Newton vs. Secante<br />El método de Newton, cuando converge, lo hace cuadráticamente, a costa de evaluar la derivada en cada paso.<br />Sin usar la derivada, el método de la secante proporciona convergencia superlineal.<br />Las ecuaciones polinómicas pueden resolverse por el método de Newton, puesto que la derivada se obtiene fácilmente.<br />Conclusiones.<br />El método de la secante se basa en el método de Newton, donde no se requiere calcular la derivada.<br />Resulta más sencillo calcular las raíces con el método de la secante que con el método de Newton debido que con la secante se parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta).<br />Se puede realizar el algoritmo en MATLab para encontrar las raíces por medio del método de la secante.<br />La elaboración de videos, material didáctico, etc, contribuyo notablemente para el rápido aprendizaje de este método. <br />Bibliografía.<br />quot;
http://es.wikipedia.org/wiki/Secantequot;
<br />http://docentes.uacj.mx/qtapia/AN/Unidad2/secante.htm<br />http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secante<br />http://miguelcrux.blogspot.com/2009/01/metodos-numericos-metodo-de-la-secante.html<br />http://www.faqmania.com/ficheros/adjuntos/yacerque_200709152918_42068100_secante.pdf<br />http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotachira/vermig/CLASE1.pdf<br />http://etimologias.dechile.net/?secante<br />