Sistpart2012

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CARRERA: LIC . QUIMICA.
DEPARTAMENTO DE FISICA PROFESORA: CECILIA TOLEDO V
FACULTAD DE CIENCIA SEGUNDO SEMESTRE DEL 2012

SISTEMA DE PARTICULAS

INTRODUCCION

Hasta el momento se ha analizado cuerpos tomados como partículas, estudiando la
cinemática, la dinámica de los cuerpos considerados como partículas. Este modelo de
partícula nos permite resulta útil ya que se ha trabajado principalmente con traslación. La
situación no resulta tan fácil de analizar cuando el cuerpo se ve sometido a vibración, a
rotación. Para esta situación se debe orientar el análisis como un sistema de partículas

Ahora analizaremos el movimiento de un sistema de
partículas, éste puede estar formado por dos o más
partículas sometidas a fuerzas internas debida a la
interacción entre ellas, y a fuerzas externas debido a la
acción de agentes externos al sistema.

DEFINICIONES

CENTRO DE MASA (C.M.)

Para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas, se define un punto
representativo del sistema llamado centro de masa, el cual se comporta como si toda la
masa del sistema estuviera concentrada en él y las fuerzas externas estuviesen actuando
sobre ese punto.


POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA (rCM )

Consideremos un sistema de n partículas cada una de 
m1 r1
masa constante m1 ,m2 ,...,mn , cuyas respectivas  
   r4 rcm
posiciones en un instante t son r1,r2 ,...,rn , respecto de
m4
un sistema de referencia inercial. 
rn
O
La posición del centro de masa está dada por: mn
m3 
   r2
 m1 r1  .. .....  mn rn r3 m2
rCM 
m1  m2  .....  mn

ctoledo@usach.cl DEPARTAMENTO DE FISICA - UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 1

n

 m
i 1
i ri
(1) rCM  n

m i 1
i

Esta ecuación es válida para una distribución discreta de masa.
La ubicación del centro de masa es independiente del sistema de coordenadas que se usa
para localizarlo, sólo depende de las masas de las partículas y de las posiciones relativas de
las partículas entre sí.

El vector posición del centro de masa depende del sistema de referencia que se usa para
localizarlo.

Para una distribución continua de masa, como lo es el sistema de partículas que forman un
cuerpo rígido, también se puede determinar el centro de masa. Para obtenerlo, supongamos
que se divide el cuerpo en n pequeños elementos de masa  mi , cuyas posiciones son

aproximadamente ri . Luego, la posición del centro
de masa de acuerdo a la ecuación (1) es: mi

n
 
 
i 1
 mi ri O
ri
rCM  n

i 1
 mi
Para un valor más exacto de la posición del centro de masa, se aumenta el número n de
pequeños elementos, disminuyendo la masa de los mi .

Cuando n tiende a infinito, mi tiende a cero y la posición del centro de masa es:
 
   mi ri   r dm
rCM  lim  rCM  ;  dm  M
 mi  0
  mi  dm
En coordenadas cartesianas, las componentes toman la forma:

1 1 1
x CM   x dm ; yCM  M  y dm ; z CM  z dm
M M

De acuerdo a la definición de la densidad () , el diferencial de masa se puede expresar
como dm   dV expresión que será útil para poder determinar el centro de masa de los
cuerpos.


El centro de masa de cuerpos homogéneos que tienen punto, línea o plano de simetría, se
encuentra en el punto de simetría, o en un punto de la línea de simetría , o en un punto del
plano de simetría.

Demuestre que para una barra delgada homogénea de masa M y largo L, el centro de masa
se encuentra en L/2.

Determine la posición del centro de masa de los siguientes cuerpos homogéneos : una placa
triangular, un cono, una pirámide.

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
z
m1 m2
Analizaremos el movimiento de un sistema de n
partículas de masa m1 , m2 ,....., mn y cuya masa
total es M, siendo m4 mn
M   mi m3
y
x
  
Sean r1, r2 ,...........rn las respectivas m5
o
posiciones en un instante t respecto de un sistema
de referencia inercial. De la definición de c.m. dada
en la ecuación (1) se tiene que:

   
M rCM  m1 r1  m2 r2  .....mn rn

derivando esta ecuación respecto del tiempo y recordando que mi es constante, se obtiene:

   
drCM dr1 dr2 drn
M  m1  m2  .....  mn
dt dt dt dt

En esta ecuación:

 
drCM  dri 
 v CM y  vi luego:
dt dt

    mi vi
(2) M vCM   mi vi , entonces v CM 
M

Recordemos que el producto mv es el momentum lineal o cantidad de movimiento lineal de
una partícula, luego la ecuación (2), se puede expresar como:

 
M vCM   pi


 
Si  pi  Psist , entonces

 
(3) Psist.  M v CM

Siendo Psist el momento lineal del centro de masa del sistema de partículas.

La ecuación (3) expresa que el momento lineal del sistema es el mismo que el de una
partícula de masa M que se mueve con la velocidad del centro de masa.

Si se deriva la ecuación (2), respecto del tiempo, se encuentra que:

 
M a CM   mi ai
 
De acuerdo con el segundo Principio de Newton, se tiene que mi ai  Fi es la fuerza
resultante sobre la partícula iésima, luego:

   
M a c.m  F  F2  .....  Fn
1
 
M a c.m   Fi

Es decir, la masa del sistema de partículas multiplicada por la aceleración de su centro de
masa, es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas internas y externas, que obran sobre
el grupo de partículas.

De acuerdo al tercer Principio de Newton, las fuerzas internas actúan de a pares y su

resultante es nula. Luego, la sumatoria de las fuerzas Fi representa solamente la resultante

de las fuerzas externas que obran sobre el sistema de partículas y la designaremos por Fext.
, luego:

 
(4) Fext.  M aCM

Esta ecuación expresa que el centro de masa de un sistema de masa constante M, se mueve
como si toda la masa estuviera concentrada en dicho punto y todas las fuerzas externas se
aplicaran en él.


 dvCM
Como aCM  y M es constante, la ecuación (3), puede escribirse de la
dt
forma siguiente:
 
d Psist. d(MvCM ) d  
 (M vCM )  Fext. ó
dt dt dt



dPsist 
(5)  Fext.
dt

Esta ecuación expresa que sólo las fuerzas externas pueden cambiar la cantidad de
movimiento lineal del sistema de masa constante.

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
LINEAL O MOMENTUM LINEAL
 
Analicemos un sistema sobre el cual la fuerza externa sea nula (Fext.  0) luego en la
ecuación (5)


dP 
0
dt

esto implica que la cantidad de movimiento lineal del sistema P es constante, lo que a su vez
implica que el centro de masa del sistema permanece en reposo, o se moverá con movimiento

rectilíneo uniforme (v  cte.) . Este principio es aplicable a muchas situaciones físicas
importantes.

El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal P , es correcto aún en la
física atómica y nuclear, aún cuando la mecánica newtoniana no lo es (Revisar capítulo 9.6
del Resnick).

El principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal es el segundo de los
grandes principios de conservación. El primero que se analizó, fue el de la conservación de la
energía mecánica, ambos principios tienen algo semejante: ''en un sistema que esté
cambiando, existe algún aspecto que permanece inalterado''.

En el caso del principio de conservación de la energía mecánica, su valor permanece
constante cuando las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas, y las fuerzas
no conservativas no realizan trabajo. En la conservación de la cantidad de movimiento lineal

P , ésta se conserva si la fuerza externa resultante es nula.

CHOQUES
Se analizará la mecánica de los choques de las partículas, ésto se hará a partir del principio
de conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía mecánica.


En el estudio físico, son importantes los fenómenos de choque; así es como gran parte de la
información que se tiene acerca de las partículas atómicas y nucleares se obtiene a partir
de ellos. A una mayor escala, las propiedades de los gases se pueden entender mejor en
función de los choques entre las partículas.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando se produce un choque entre partículas, durante éste actúa una gran fuerza en un
lapso breve de tiempo. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja que, en
general, no es posible determinar. A este tipo de fuerza se les llama fuerzas impulsivas.

El gráfico muestra cómo puede variar el módulo de una fuerza impulsiva de dirección
constante, en función del tiempo.
F

De la ecuación (5) tenemos que :

I
 
dp  Fext. dt
0 t
t1 t2
De aquí podemos obtener el cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo durante un
choque integrando en el tiempo que dura el choque, esto es:

P2  t2    t2 

 dp   F dt ; P2  P1   Fdt
P1 t1 t1


Al segundo miembro de la ecuación se le llama impulso y se designa con I , es decir

 t2 
I   F dt
t1

  
De la expresión I  p podemos decir que el impulso I que recibe un cuerpo es igual al
cambio de la cantidad de movimiento lineal de él. Se debe hacer notar que el efecto de
cualquier otra fuerza no impulsiva, en ese intervalo de tiempo, puede no considerarse, pues
su efecto es despreciable.

FENOMENO DE CHOQUE O COLISIONES

Cuando dos partículas se aproximan, la interacción mutua que se provocan altera su
movimiento, el cual produce un intercambio de cantidad de movimiento lineal y energía,
entonces se dice que ha habido una colisión, lo que no significa necesariamente que hayan
estado en contacto físico en un sentido microscópico. El choque de dos esferas de billar o


dos carros, en el cual se produce contacto físico, corresponde a una colisión macroscópica
(Revisar el capítulo 9-7 del Alonso y Finn).

Analizaremos los tipos de choques desde el punto de vista macroscópico.

Consideremos dos esferas de masas m1 y m2 que se interactúan durante un intervalo de
tiempo  t . Durante ese lapso de tiempo y de acuerdo al tercer Principio de Newton ambas
esferas se ejercen fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto.

 
F21 m m F12
El cambio de momentum lineal para cada partícula es:

 t2 
p1  t 1 F21 dt (6)
 t2 
p2   F12  dt (7)
t1

 
Si no actúan otras fuerzas sobre las partículas, p1 y p2 representan el cambio total del
momentum lineal de cada partícula.

 
Como F12  F21 al reemplazar en (6) se tiene:

 t2 
p1    F12  dt
t1

y sumando esta expresión con la ecuación (7), obtenemos:

  
 p1   p 2  0

Este resultado expresa que la cantidad de movimiento total del sistema se conserva
constante.

  
Si p1 y p 2 son los momentum de las esferas inmediatamente antes del choque y, p '1 y

p '2 los momentum inmediatamente después del choque, entonces la última ecuación se
expresa como:

   
p1  p2  p '1  p '2

Esta ecuación expresa que la cantidad de momentum lineal del sistema se conserva
constante en ausencia de fuerzas externas, de esto se deduce que las fuerzas que actúan



durante el choque son fuerzas internas, es decir, no cambia el momentum lineal p del
sistema.

En la realidad, en todo choque existen fuerzas externas como la fuerza de gravedad, la
fuerza de fricción, pero es admisible no tomar en cuenta dichas fuerzas durante el choque
y suponer la conservación de la cantidad de movimiento, inmediatamente antes y después
del choque, las fuerzas externas se puedan despreciar frente a las fuerzas impulsivas de
choque.

CLASIFICACION DE CHOQUES

I. Los choques pueden clasificarse de acuerdo a la línea de choque, entendiendo por línea
de choque a la recta perpendicular común a las superficies de contacto durante el choque,
Esta clasificación es:
m1
a) Choque Central:

Es aquel que ocurre cuando el centro de masa de los cm
 m2
cm
cuerpos, están sobre la línea de choque.
b) Choque Excéntrico:
Los centros de masas no están en la línea de choque
(figura 1 y 2 )


c
(1 (2
cm
cm

cm

El choque central se puede a su vez clasificar en :

a.1) Choque Frontal : v1 
m1 v2
m
Es aquel en que las velocidades de las partículas
antes y después del impacto tienen la dirección de
la línea de choque.

a.2) Choque Lateral u Oblicuo:

v2
Es aquel en que una o ambas partículas se mueven en 
v1
direcciones diferentes en la línea de choque.


II. Los choques también pueden clasificarse comparando la energía mecánica del
sistema justo antes y justo después del choque.

a) Choque Elástico:

La energía mecánica del sistema inmediatamente antes y después del choque son
iguales.

b) Choque inelástico y choque plástico o perfectamente inelástico:

En estos choques, no hay conservación de la energía cinética. Para el caso del choque
plástico los cuerpos después del impacto tiene la misma velocidad (siguen juntos).

Esta última clasificación es válida para todo tipo de choque central. Los choques
elástico, inelástico y plástico pueden ser identificados por medio del coeficiente de
restitución ''e'' el cual permite medir el grado de elasticidad de un choque.

La relación que define el coeficiente de restitución, fue propuesta por Newton y es de
v 1  v '2
'

la siguiente forma: e
v1  v 2

Siendo v1, v 2 las componentes de las velocidades de las partículas inmediatamente
antes del choque, en la dirección de la línea de choque; v1' y v2 componentes de las
'

velocidades después del choque, en la dirección de la línea de choque.

El coeficiente de restitución toma valores entre 0 y 1.

a) Para un choque elástico e = 1

b) Para un choque inelástico 0 e1

c) Para un choque plástico e = 0

En un choque frontal elástico hay conservación de la cantidad de movimiento lineal P y de
la energía del sistema, a partir de esto, ''demuestre'' que la velocidad relativa de la
partícula conserva su magnitud pero cambia de sentido y que el coeficiente de restitución
vale 1.
Demuestre que cuando se deja caer una pelota desde una altura h1 chocando contra el suelo
y esta rebota verticalmente hasta una altura h 2 , el coeficiente de restitución es:


h
2
e
h
1
Demuestre que la energía disipada en un choque plástico frontal entre dos cuerpos de
masas m1 y m2 cuyas rapideces antes del choque son v1 y v2 respectivamente, es:

1 m1m2
(v 2  v1)2
2 m1  m2

Averigue acerca del péndulo balístico (Revisar capítulo 10.4 del Resnick).

EJEMPLO 1

Un sistema está formado pordos partículas A y B de masas mA=4kg y mB=2kg ubicadas en un
plano horizontal suave OXY. En t = 0, las posiciones y las velocidades de las partículas son
(4,0) m ; ((5,0)m/s para la partícula A y (6.0)m ; (-2,0) m/s para la partícula B.
Si las partículas chocan frontal e inelásticamente siendo e = 0,6 el coeficiente de
restitución, calcule:

a) Posición y velocidad del centro de masa en t = 0. y

b) Fuerza media que actúa sobre mB durante el choque,
Plano
si el tiempo que dura la interacción es de 0,01 s .

A B
c) Variación de energía cinética del sistema.
 
x
DESARROLLO

n 
 m r  
 i i  m r m r
a) rc.m  i1 ; rCM  A A B B
M m m
A B

 4 ( 4, 0)  2 (6, 0)   14 
rCM   rCM   , 0 m
6  3 

n
  
 m v i i
 m v m v
v CM  i 1
; vCM  A A B B
M m m
A B

 4 (5, 0)  2 (2, 0)  8 
v CM   vCM   , 0  m/ s
6 3 


b) La definición de impulso nos da la siguiente expresión:
 
I   F  dt

Si consideramos la fuerza media que actúa sobre la partícula, se tiene que


   I
I  FM   t luego: FM 
t

Por otra parte, el impulso se puede medir a través de la variación de la cantidad de
 
movimiento que experimenta la partícula impactada, es decir: I   p

Para calcular la fuerza media que actúa sobre mB , es necesario entonces, de acuerdo a los
datos dados, calcular el impulso a través de la variación de la cantidad de movimiento que
éste experimenta. Necesitamos conocer la velocidad de mB después del impacto.
En el choque hay conservación del momentum lineal, luego:

   
mB vB  mA v A  mA v 'A  mB v 'B

4 (5 , 0 )  2 ( 2 , 0 )  4 ( v ' A , 0 )  2 ( v 'b , 0 )

 16  4v 'A  2v 'B (1)

Por otra parte, el coeficiente de restitución e nos permite encontrar otra ecuación con las
mismas incógnitas de (1).

v'A  vB
'
(v'A  vB )
'
e  0, 6  
v A  vB 5  ( 2)

4, 2   v'A  vB
'
(2)

De (1) y (2), se tiene que:

v 'A  1, 27 m / s y '
vB  5, 47 m / s
  
Luego, pB  m (v 'B  vB )


 pB  2  (5, 47 ; 0)  (2 ; 0) 


pB  (14, 94 ; 0) kg  m / s


 (14, 94 ; 0) 
Luego FMB   FMB  (1494 , 0)N
0.01

¿Cuánto es el valor de la fuerza media que actúa sobre la partícula A ?

c) El choque es inelástico, luego K sist.  K 'sist

1 2 1 2 1
Ko  mA v A  mB vB K final  mA v'A  mB vB2
2 '

2 2 2

Reemplazando los valores para las masas y las rapideces se tiene que la energía cinética
inicial es de 54J y la final es de 33,15J.

Luego hay una pérdida de 20,85 J debido a la colisión.

EJEMPLO 2
y
ˆ
Un cuerpo se mueve con velocidad v  vi , y en el
instante que pasa por el origen O, se desintegra m
en dos fragmentos m1 y m2 los cuales salen 
formando los ángulos  y  que muestra la v 
O  x
figura. Determine las rapideces de los m
fragmentos después de la desintegración y la
energía liberada en la desintegración.

DESARROLLO

El cuerpo se desintegra debido a la acción de un agente interno, puede llamársele explosivo,

el cual libera energía, produciendo fuerzas internas. Se cumple que el momentum lineal (PA )

del sistema inmediatamente antes de la desintegración es igual al momentum lineal (PD )
inmediatamente después de la desintegración.

 
1. PA  PD Despreciando la masa del explosivo:
 
2. PA  mv ; m  m1  m2
  
3. PD  m1 v1  m2 v 2 en esta ecuación.

4. v1  v1 cos  ˆ  v1 sen  ˆ
i j

5. v 2  v 2 cos  i  v 2 sen  ˆ
ˆ j

Combinando las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5), se obtiene:

(m1  m2 ) v  m1v1 cos   m2 v 2 cos 
0  m1 v1 sen   m2 v 2 sen 
Resolviendo este sistema, se obtienen expresiones para calcular v1 y v 2 .

b) Sea  K la energía liberada en la desintegración.

 K  KD  K A , siendo K A la energía cinética del sistema justo antes de la desintegración
y KD la energía cinética del sistema justo después de la desintegración. Las respectivas
expresiones de KD y K A , son:

1 2 1 2 1
KD  m1 v1  m2 v 2 y KA  (m1  m2 )v 2
2 2 2
Compruebe que v1  11 (m / s) y v 2  21 (m / s) y  K  50 J si:

v  13 m / s   56º
m 1  370 g   2 1º
m 2  450 g

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sobre una superficie horizontal suave se desplazan con velocidades constantes tres
partículas A, B y C de masas 3, 4 y 1 kg. , respectivamente. En t=0 las velocidades de A y B
son [5;0] y [-3,0] m/s respectivamente y la posición de C es (0;4) m. En t=2 s las tres
partículas chocan en el punto O (0,0) en un choque plástico. Calcular:

a) Velocidad de la partícula B después del impacto.
b) Fuerza media que actúa sobre la partícula A durante el choque si este duró
2  103 s .

2. Una barra AB de largo L = 0,5 m y masa despreciable, une a las esferas A y B de masas
mA  1 kg y mB  3 kg . El sistema se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa

suave. En el instante t = 0, se aplican sobre las partículas las fuerzas FA  16 ˆ N
i y
  
FB  20 ˆ N como se indica en la figura. Si las fuerzas FA
j y FB se mantienen constantes
en magnitud y dirección, independiente del movimiento del sistema, determinar:

a) La aceleración del centro de masa. y
b) La posición del centro de masa 2 s después de aplicadas

FB
las fuerzas.
c) La dirección del movimiento del centro de masa. 
FA x
3. El isótopo Ra 226 de Radio, tiene una masa de 3, 8 10 22 g .

Este núcleo atómico se desintegra radiactivamente, dando una partícula  (núcleo de He,
masa 6, 7 1024 g ) y el isótopo RN222 del Radón (m  3, 7 1022 g) . En esta explosión la
partícula  sale disparada con una velocidad de 1, 5  109 cm / s . ¿Cuál es la rapidez del
isótopo de radón?

4. A un extremo de una barra de 40 cm de longitud y
masa despreciable se fija una masa m1  3 kg , y al
otro extremo una masa m2  1 kg . La barra se coloca m
verticalmente sobre un plano horizontal sin
rozamiento en un punto P y se suelta. A qué distancia
de P choca la masa m1 al suelo, si cae en el sentido
indicado con la flecha?
m
5. Un hombre de masa M está parado en el extremo
P
de un tablón de masa m=M/3 y largo L en reposo
sobre una superficie horizontal lisa. Si el hombre camina hacia el otro extremo del tablón,
demostrar que habría recorrido una distancia D = L/4 respecto de la superficie.

L

6. La figura muestra un bloque A de masa 2 kg. que se encuentra comprimiendo 0,1 m a un

resorte de constante elástica k por medio de la fuerza F . En t=0 deja de actuar la fuerza

F y el bloque se desplaza por la pista "suave" OQ para ir a impactar frontalmente con una
velocidad de 4 ˆ m / s a otro bloque, B de masa 2 kg. el cual se desplaza con velocidad
i
constante de 8 ˆ m / s . Si el coeficiente de restitución es 0,5. Calcule:
i
y


A F B
x
O
Q
a) Cantidad de movimiento lineal del sistema después del impacto.
 
b) v 'A y v 'B después del impacto.
c) Impulso que actúa sobre A durante el choque.
d) Variación de energía cinética del sistema, durante el choque.


7. Un proyectil se dispara con un cañón que forma un ángulo de 45º con la horizontal y con
una rapidez de salida de 400 m/s. En el punto más alto de su trayectoria, el proyectil
explota en dos fragmentos de igual masa, un fragmento cae verticalmente. A qué distancia
del cañón cae el otro fragmento al suelo?

8. Un resorte liviano de largo natural L = 18 cm y constante elástica k=2 N/cm está unido
por sus extremos a dos bloques A y B de masas mA  2 kg y mB  3 kg , tal como lo
indica la figura.
El resorte se comprime en  o  6 cm y se deja
libre al sistema sobre una mesa horizontal suave.
Determinar las velocidades de los bloques A y B en A B
el instante en que el resorte recupera su largo
x
natural .

9. Un bloque A de masa mA  2 kg desliza, sin roce en una mesa, con
 ˆ
velocidad v A  10 i
m / s . Directamente en frente a él y moviéndose en la misma dirección
y sentido hay un bloque B de masa mB  5 kg que se mueve con rapidez vB  3 m / s .
A la parte posterior de B va fijo un resorte sin masa, de constante elástica K=1120 N/m, tal
como se observa en la figura. Cuál es la máxima compresión que sufre el resorte, cuando
chocan los bloques dado que el resorte no se dobla y siempre obedece la Ley de Hooke?

VB
10. Un neutrón y su núcleo de carbono chocan
frontal y elásticamente. La masa del neutrón es
m y la del núcleo de carbono es M = 12m. Si el A B
 ˆ x
neutrón incide con v  v o i sobre el núcleo de
carbono en reposo, determine la velocidad del neutrón después del choque.

11. La figura muestra una pista horizontal con el tramo AB liso y BC rugoso. El bloque
m1  4 kg impacta frontalmente con una rapidez de 5 m/s al bloque m2 el que está en
reposo en el punto 0. Las velocidades de los bloques m1 y m2 inmediatamente después
del impacto son 3, 4 ˆ m / s
i ˆ
y 6, 4 i m / s respectivamente. Si el coeficiente de roce
cinético entre los bloques y el tramo BC es 0,2 , calcule:

m m
A O C
B
a) Coeficiente de restitución del choque.
b) Velocidad del centro de masa del sistema, justo después del choque.
c) Distancia a que se encuentran separados los bloques cuando se detienen en el
plano rugoso.


12. Un péndulo de largo l = 1.8 m y masa mA  4 kg ,se encuentra en reposo, como muestra
la figura. Una partícula mB  6 kg se desplaza sobre una superficie horizontal lisa, siendo
su energía cinética equivalente a 1/6 de la energía potencial del péndulo. Cuando se
encuentra en la posición (1.8,0) se suelta mA y luego impacta frontalmente a mB en el
punto P, siendo el coeficiente de restitución de 0,5. Calcule:

y

0 A
a) las velocidades de A y B inmediatamente g x
después del choque.
b) Energía disipada durante el choque.
c) Altura que alcanza A después del choque.
B P

13. Un carrito B de masa 2 kg. está en reposo sobre una pista horizontal a 10m de una pared
rígida C.
El carrito A de masa m= 10 kg., se mueve con velocidad constante de 10 ˆ m / s chocando
i
con B que, posteriormente, choca con C. (Considerar choques elásticos).

¿ Dónde chocarán A y B por segunda vez? ¿Cuál es la velocidad de B después del segundo
choque con A? C
A B
x
RESPUESTAS

1. a) (3/8 ; -1/4)m/s 2. a) (4 ; 5) m/s2 b) [8,375 ; 10]m
b) [-6937,5 ; - 375]N c) 51° 20'
3. 2.72 x 10-7 cm/s 4. - 10 cm
6. a) -8 i kg m/s b) A' : 5 i m/s ; B' :1 i m/s
c) -18 i Ns d) -54 J
7. 24 km 8. A: -0,47 i m/s ; B : 0,31 i m/s
9. 0,25 m 10) a) (-1,6 ; -1,2)m ; b) 0,465 i m/s. c) - 1.35 i N.s
11. - 11/13 v0 12. a) 0.6 b) 4 i m/s c) 7,35 m
13. a) A : 1,2 i m/s ; B : -2,8 i m/s
b) 57,6 J c) h = 0,072 m
14. d = 4,286 m de C ; B" : 200/9 i m/s


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