1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS
Profesor: Efraín Vásquez Millán.
TALLER No 5. Métodos iterativos del álgebra lineal
1. Obtenga x ∞ y x 2 para los siguientes vectores.
3 t
a. x = (3, −4, 0, 2)
b. x = (2, 1, −3, 4)t
c. x = (sin k, cos k, 2k )t , para un entero positivo k
4 2
d. x = ( k+1 , k2
, k 2 e−k )t para un entero positivo k
2. Encuentre el límite de las siguientes sucesiones si son convergentes.
1 −2 t
a. x(k) = ( k , e1−k , k2
)
1
b. x(k) = (ek cos k, k sin k , 3 + k −2 )t
2 √
c. x(k) = (ke−k , cos k , k 2 + k − k)t
k
1
k2 +1
d. x(k) = (e k , 1−k2
, ( k12 )(1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1)))t
3. Obtenga . ∞ para las matrices siguientes
10 15
a. A =
0 1
 
2 −10 0
b. A = −1 2 −1
0 −1 2
 
4 −1 7
c. A = −1 4 0
−7 0 4
4. Los sistemas lineales siguientes Ax=b tienen a x como solución real y a x como una solución aproxi-
mada. Calcule x − x ∞ y Ax − b ∞
1
a. 2 x1 + 1 x2 =
3
1
63
1
3 x1 + 1 x2 =
4
1
168
x = ( 7 , − 1 )t
1
6 x = (0· 142, −0· 166)t
1

2. b. 0· 04x1 + 0· 01x2 − 0· 01x3 = 0· 06
0· 2x1 + 0· 5x2 − 0· 2x3 = 0· 3
x1 + 2x2 + 4x3 = 11
x = (1· 827586, 0· 6551724, 1· 965517)t x = (1· 8, 0· 64, 1· 9)t
5. La norma de Frobenius se define para una matriz A de n × n por medio de
n n 1
2
A F = |aij |2
i=1 j=1
Obtenga la norma de Frobenius para la matriz
 
4 −1 7
A = −1 4 0
−7 0 4
6. Considere las matrices siguientes:
  
1 2 1 1 −1 2 0
2 −1 0 1 0
A= B= C= 1
2 D = 2 3 2 E =  0 3 4
−1 2 1 1 2 0
1 1 2 0 0 7
a. Calcule el radio espectral de las matrices dadas.
b. ¿Cuáles de las matrices dadas son convergentes?.
c. Obtenga . 2 de las matrices dadas.
7. Compruebe que si A es simétrica entonces A 2 = ρ(A).
8. Dados los siguientes sistemas lineales
3x1 − x2 + x3 = 1
3x1 + 6x2 + 2x3 = 0
3x1 + 3x2 + 7x3 = 4
10x1 − x2 =9
−x1 + 10x2 − 2x3 = 7
−2x2 + 10x3 = 6
10x1 + 5x2 =6
5x1 + 10x2 − 4x3 = 25
−4x2 + 8x3 − x4 = −11
−x3 + 5x4 = −11
2

3. a. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Jacobi usando x(0) = 0.
b. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Gauss-Seidel usando x(0) = 0.
c. Aplique el método de Jacobi para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3 , usando
x(0) = 0.
d. Aplique el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3 ,
usando x(0) = 0.
3