1. APLICACIÓN DE DERIVADAS
DERIVADAS POR DEFINICIÓN
ALGEBRA DE DERIVADAS
ELABORADO POR:
ESTUDIANTES GRADO 11-A 2009
INTITUTO TECNICO INDUSTRIAL SAN JUAN BOSCO
CONTRATACION-SANTANDER
12 DE Noviembre de 2009
ONCE “A”

2. APLICACIÓN DE DERIVADAS Y ALGEBRA DE
DERIVADAS
I. Solucionar los siguientes problemas de aplicación de derivadas,
realizando la derivada de la función principal de las dos formas (por
definición y utilizando algebra de derivadas).
 Halla los números positivos cuyo producto sea 100 y su suma sea
mínima.
100.  baarea
minimo ba
b100
100. ba b10
b
a
100

b
a
100

b
b
p 
100
10a
b
bb
bp


)1(100.0
1
100
2



b
bp 10;10Rta  ba
2
100 b

3.  halla dos números positivos tales que su producto sea 54 y su suma
sea mínima
b
a
ba
imoba
ba
54
54.
min
54.




1
54
1
)1(54.0
54
2
2







b
bp
b
b
bp
b
b
p
348.7
348.7
54
348,7
54
54 2





a
a
b
b
b
348.7;348.7Rta  ba
 Halla dos números tales que su diferencia sea 30 y su producto sea
minino.
ba
ba
imoba
ba




30
30
min.
30.
15
30
230
230
30
).30(
2






b
b
b
b
bbp
bbp
bbp
15
15Rta
15
))15(30(




b
a
a
a

4.  Halla dos números positivos tales que su producto sea 900 y su suma
sea mínima
b
a
ba
imaba
ba
900
900.
min
900.




1
900
1
)1(900.0
900
2
2







b
bp
b
b
bp
b
b
p
30
30
900
900
900 2




a
a
b
b
30;30Rta  ba
 La suma del numero y el quíntuplo de otro debe ser 70 ¿Qué numero
debe ser para que su producto sea mínimo?
2
570
5702
7052
min.
y
x
yx
yx
imoyx





yyp
yyp
yyp
y
y
p
y
y
p
535
25,235
).5,235(
.
2
5
2
70
).
2
570
(
2












Rta= 𝒙 = 𝟏𝟕, 𝟓; 𝒚 = 𝟕
5,17
2
)7(570
7
5
35
535






X
X
y
y
y

5.  La suma de tres números positivos es 30. El primero mas el doble
del segundo, mas el triplo del tercero suman 60. ¿Cuáles ser los
números para que su producto sea máximo?
cb
cb
cb
cb
cbcb
cba
imocba
ca
cba
230
302
30602
60230
6032)30(
30
min..
60)(2
30









32
2
230
))(230(
))(230(max
0
3030
30230
aap
aaap
aaaimo
ac
ca
ca
cca







10
10
10
Rta
10
))10(230(
10
660 2








c
b
a
b
b
a
aaap
 Se debe construir una canal horizontal con una lámina de 8cm de
ancho, doblando verticalmente hacia arriba partes iguales en ambos
costados ¿Cuántos centímetros debe doblarse la lámina para
obtener una canal de capacidad máxima?
yx
yxa
yxa
28
82
.



 
2
4
8
48
048
48)(
2.8
).28
2







y
y
y
y
yaP
yya
yya
4
)2(28
28



x
x
yx
Rta= debe doblarse 2
cm en cada lado para
que la canal tenga
capacidad máxima:

6.  Construye una caja de base cuadrada y sin tapa cuya área sea
2
100 cm ¿Qué dimensiones debe tener para que su volumen sea
máximo?
       
32
2
2
2
2
2
440100
).440100(
.4210210
.)210(
.
210
100)2(
..
yyyv
yyyv
yyyv
yyv
yxv
yx
xy
yxxvol








3
20
3
5
210
3
5
)12(2
)100)(12(4(-80)(-80)-
cuadraticalasolucionase
1008012
1280100)(
2
2
2













x
x
y
y
yyp
yyvP
Rta= las dimensiones que la caja debe
tener para que su volumen sea máximo
son: base
3
20
x ; altura
3
5
y

7.  Se quiere fabricar un recipiente de forma cilíndrica con base
circular y de volumen igual a 2
32cm ¿Qué dimensiones debe tener
para que el material utilizado sea mínimo?
r
r
ro
aP
r
r
a
r
r
r
a
rr
r
a
.2
)1.64().(
)(
.
64
.
.
.64
..2.
.
32
2
2
2
2
22
2



















2
2
2
.
32
h
32..
.).2.(
r
hrvol
rrharea






167704381.2
)167704381.2(
32
167704281.2
18591636.103
2
64
.64
.2
64
0.2
64
23
2
2








h
h
r
r
rr
r
r
r
r





Rta: las dimensiones para que el material usado sea mínimo son: r167704281.2 ;
y 167704381.2h

8.  Con una hoja cuadrada de 9cm de lado se desea hacer una caja abierta
del mayor volumen posible, recortando un cuadrado en cada uno de sus
cuatro vértices. Halla las
Dimensiones de los cuadrados.
      
 
 
  v
xx
xx
xxxx
xxvol





3
22
2
22
32x-81x
.436x-81
.184x18x-81
.924929
)29).(29(
9185565.0
08196
09681
9681)(
2
2
2




x
x
xvP
Rta= las dimensiones de los cuadrados
es de
9185565.0 cm

9.  Halla dos números cuya suma sea 60 de forma que el producto de uno de
ellos por el cuadrado del otro sea máximo.
 
 
 
432
22
2
22
222
1203600
.1203600
6023600
max.y-60
y-60x
60yx)2
max.x.x.y)1
yyy
yyy
yy
y
imoyx






  
 
30
3060
30
360
47200
36047200
043607200
43607200
2
3
23
32
32








x
X
y
y
yy
yyy
yyy
yyyyP
𝑅𝑡𝑎 = 𝑥 = 30; 𝑦 = 30
 ¿Qué numero positivo sumado a su inverso da lugar a la suma mínima?
2
1.1
1
mínimo
2
1
x
x


2
2
1
1
0
1
1
x
x


1
12


x
x
Rta= el numero positivo
que sumado a su inversa da
lugar a la suma mínima es 1
 Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal, sin tapa, que tenga
una capacidad de
3
1dm encuentra las dimensiones que debe tener este
recipiente para que la cantidad de material utilizado sea mínimo.

10.      
  r
r
ap
r
r
r
aP
r
r
a
r
r
r
a
rr
r
a
.2
2000
.2
1.2000.0
.
2000
.
.
.2000
..2.
.
1000
2
2
2
2
2
2
22
2























 
2
2
2
.
1000
1000..
..2.
r
h
hrvol
rrharea






 
h
h
r
r
r
rr
r
r
r








82784063.6
82784063.6
1000
82784063.6
3098.3183
2
2000
.2000.2
2000
0.2
2000
2
3
3
2
2




Rta= las dimensiones que debe tener el cilindro son 82784063.6r y h82784063.6

11. DERIVADAS POR DEFINICION.
1) x
x

100
 
 
 
 
  
  2
100
100
0
.
100100100
0
100100
0
100
lim
lim
lim
x
xf
xhxh
h
h
xf
h
xhx
hxx
h
xf
h
xhx
h
xf
x
xf















 
   
 
 
  1
0
0
0
lim
lim
lim










xf
h
h
h
xf
h
xhx
h
xf
h
xhx
h
xf
xxf
  xf 2
100
x

+1
___________________________________________________________

12. 2) 2
30 bbfx 
        
     
 
   230
0
3023030
0
3023030
0
3030
lim
lim
lim
222
22
22
h
hbh
h
xf
h
bbhbhhbb
h
xf
h
bbhbhbhb
h
xf
h
bbhbhb
xf











  bbxf 230 
__________________________________________________________

13. 3)   2
4 xxxf 
       
 
 
   
  xxf
h
h
xf
h
h
xf
h
xxhxh
h
xf
h
xxhxhx
h
xf
24
h-2x-4h
0
h-2xh-4h
0
42x-4h4x
0
44
0
lim
lim
lim
lim
2
222
22











________________________________________________________________

14. 4)   32
1025 xxxxf 
         
       
 
   
  2
22
32322322
32322322
3232
32025
33x10h-20x-25h
0
102533102010x-25h25x
0
1025332x10-25h25x
0
102510hx25
0
lim
lim
lim
lim
xxxf
h
hxh
h
xf
h
xxxhxhhxxhxh
h
xf
h
xxxhxhhxxhxh
h
xf
h
xxxhxhx
h
xf













__________________________________________________________

15. 5)   432
1203600 yyyxf 
         
 
     
 
 
   
 
  32
32
322322
422333222
4324223
34322322
432
422334322322
432432
4360y-7200y
4360y-7200y
0
644120360360y-3600h7200yh
0
6441203603603600h7200yh
0
12036064
4120360360120360072003600y
0
1203600
644331202y3600
0
1203600120hy3600
0
lim
lim
lim
lim
lim
lim
yxf
y
h
xf
h
hhyyhyhyh
h
xf
h
hhyyhhyhyhhy
h
xf
h
yyyhhyyh
hyyhyhhyyhyh
h
xf
h
yyy
hhyyhhyyhyhhyyhyh
h
xf
h
yyyhyhy
h
xf




















