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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE EXTENSÃO “MATEMÁTICA PARA CONCURSOS”
Material...
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UNIDADE I – Números naturais, fatoração e divisibilidade
Problema inicial
Dois mercados vendem sabonete pelo mesmo preço...
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Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Justificativa: Os algar...
4
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último
algari...
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Questões – Números Naturais - Primeira Parte
1. Um homem de negócios tem seu capital
aplicado em um banco. Sabendo que e...
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Números naturais – mais questões
1. (Operário Geral) Assinale a alternativa que
corresponde a três dezenas de milhar, se...
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6. (Prominp) A cidade de Cariacica tem 356 mil
habitantes. O número de habitantes dessa
cidade é
a) igual a meio milhão....
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Múltiplos, divisores e números primos - Questões
1. (Adaptado de CMF) Dois alunos receberam um
desafio matemático de enc...
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9. (Adaptado de CMF) Num jogo chamado Zoom,
as peças do jogo possuem os seguintes nomes,
valores e numerações:
NOME VALO...
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17. (DMAE) A alternativa que apresenta somente
números primos é
a) 1, 2, 3, 5 e 7.
b) 2, 3, 5, 7 e 9.
c) 1, 3, 5, 7 e 1...
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“O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto final”
(Zenão de Eléia )
UNIDADE II - Números Decimais...
12
Um pouco de História...
Imagine-se na Europa do século XVI. O comércio aumentava e os cálculos também. No entanto, os
c...
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2) Considere a seguinte reportagem extraída da Revista Veja, São Paulo, 23/01/02:
Como um cachorro-quente completo é ve...
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Unidades de Medida
A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por longo tempo cada
país...
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Questões:
4) Uma vasilha cheia de água pesa 14,5 kg e vazia
4 dag. Nessas condições, se ela contém x litros
de água, en...
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12) (AUXILIAR DE ENFERMAGEM) Uma sopa
em pacote tem 70g de massa, sendo 36,5g de
glicídios, 6g de lipídios, 15g de sal ...
17
Consideremos o quadrado da figura ao lado
como sendo uma unidade, a área hachurada
corresponde a uma parte em dez da un...
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Podemos ainda considerar 3,1 como
10
31
e 4,45 como
100
445
, e escrever a mesma operação da seguinte
maneira:
10
31
x
...
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Divisão de decimais
Divisão de inteiro por inteiro
Exemplo: dividindo 27 por 4:
unidades décimos centésimos
27 4
24 uni...
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Divisão de número decimal por número inteiro
Vamos dividir 7,5 por 2.
Considerando que quando multiplicamos dividendo e...
21
Exercícios:
5) Um segmento de reta mede 5,4cm. Um
estudante desenhou um segmento de reta com a
metade desse comprimento...
22
12) A evolução da luz: as lâmpadas LED já
substituem com grandes vantagens a velha
invenção de Thomas Edison. A tecnolo...
23
UNIDADE III – Frações
Problema
1) (Revista do Professor de Matemática – 1982) Um fazendeiro que vive num terreno quadra...
24
Receitas de culinária:
Bolo de Chocolate:
o chocolate granulado
o ¼ xícara de chocolate em pó
o 1 lata de leite condens...
25
Fração
Vimos que, ao dividir em partes iguais uma unidade, uma ou mais dessas partes reunidas
constituem uma fração. As...
26
Consideremos, agora, uma unidade u e as frações
6
4
e
12
8
desta unidade:
6
4
12
8
No primeiro caso, dividimos a unidad...
27
Soma e Subtração de Frações
Vamos considerar a seguinte adição de frações:
3
1
2
1
+
2
1
3
1
Como
2
1
e
3
1
não represe...
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7) Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 de
hora e uma válvula o esvazia em 1/4 de hora. Com
as duas abertas, em quant...
29
Multiplicação de frações
A multiplicação de números fracionários está associada à idéia de se considerar uma
fração de ...
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Vejamos um outro exemplo:
3
2
de
5
3
:
Para entender melhor este produto, vamos examinar dois exemplos numéricos, envol...
31
Divisão de frações
A divisão envolvendo números fracionários está ligada à idéia de verificar “quantos
cabem”. Vejamos ...
32
Exercícios
15) (Epe-2007) Gabriel fez refresco misturando
100 ml de suco concentrado e 500 ml de água. Como
o refresco ...
33
Quando num dado fenômeno (ou experimento) aleatório, com número de resultados
possíveis finito, consideramos que todo e...
34
22) A figura representa dois quadrados
concêntricos, de lados paralelos, e a área da
região sombreada é 80 cm².
Sabendo...
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UNIDADE IV – Porcentagens e proporções
A porcentagem é muito comum no nosso dia-a-dia. Ela se faz presente quando falam...
36
Como calcular porcentagens
Método 1) Um dos métodos mais utilizados para calcular porcentagem é a regra de três.
Devemo...
37
Uma idéia importante relacionada à porcentagem é a de proporção. É a ferramenta que
usamos quando aplicamos a regra de ...
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Exercícios
1) Calcule 15% de 70.
2) Calcule 0,5% de 80.
3) 70 corresponde a 40% de qual valor?
4) 32 equivale a que por...
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Descontos e acréscimos
No nosso cotidiano, é muito comum nos depararmos com as frases: “promoção de natal:
25% de desco...
40
14) Se eu comprei uma ação de um clube por
R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a
taxa percentual de lucro obtida?...
41
Matemática financeira
Matemática financeira é o campo da Matemática que lida com o dinheiro. Sua aplicação é vista em
e...
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Para calcular o valor total dos juros produzidos, vamos pensar no nosso exemplo:
MÊS VALOR INICIAL JUROS NO MÊS VALOR F...
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30) (TRF – 2005) Indique qual o capital que
aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês
rende R$ 96,00 em 40 dias.
a...
44
Generalizando, temos que:
em que:
M = montante
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo
Substituindo a fórmula acima em ...
45
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Vamos agora aprofundar um pouco mais o estudo das proporções.
Como v...
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Exercícios
38) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de
trabalho. Quanto receberia se tivesse
trabalhado 8 dias a mai...
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UNIDADE V - Números Negativos
De onde vieram os números negativos?
Os números negativos passaram tempos difíceis ao lon...
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• Inflação
• Crescimento da população
• Balança eletrônica
• O que significa a balança estar marcando -69g?
• Quantas g...
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Zero relativo
Chamamos de zero relativo um ponto de referência que indica que existe algo antes e depois
dele, como por...
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• Saldo de gols
Quando o saldo de gols é igual a zero, o número de gols feitos é igual ao número de gols sofridos.
Isso...
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Exercícios:
1. O saldo bancário de Carolina estava em
R$ -55,26. O gerente do banco estava cheio de
tarefas e acabou po...
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x y z
a -12 16 -4
b 8 0 -8
c 4 -16 12
Escopa do Zero
1. Jogar em grupos de 2 a 4 jogadores.
2. Escolhe-se um dos jogado...
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GABARITO E DICAS PARA A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Unidade I – Números Naturais
Primeira Parte (página 5)
Questão 1: Letr...
54
Questão 9: Letra D
• João Pedro coleciona apenas peças cuja
numeração é um múltiplo de 7, portanto
devemos relacionar o...
Apostila Matemática para Concursos   UFRGS-Erotide
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Frações, números decimais e negativos.

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  1. 1. 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA CURSO DE EXTENSÃO “MATEMÁTICA PARA CONCURSOS” Material elaborado por: Erotide Rodrigues Pereira Fabiana Cristina Staub Cacuri Gabriela Fernandes Peralvo Vergara Jairo Luiz Silveira Filho Maria Josefina Dutrenit Dergam Raquel da Silveira Smidt Roben Roges da Silva Martins Wagner Pinto Bonneau com a colaboração de Daniel da Rosa Mesquita Tiago Schnornberger Luciane Führ sob a supervisão da Profª Elisabete Búrigo Outubro de 2009
  2. 2. 2 UNIDADE I – Números naturais, fatoração e divisibilidade Problema inicial Dois mercados vendem sabonete pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções: Mercado A: compre 4 peças e leve 5. Mercado B: compre 4 peças e pague 3. Qual deles oferece o maior desconto? ☺ Passos para a resolução de problemas: • Realizar a leitura para o reconhecimento da questão; • Realizar a leitura novamente com mais atenção para retirar os dados que julgamos mais importantes. • Ler novamente, agora para identificar as operações que serão realizadas, interpretando a questão para descobrir a pergunta a ser respondida. Neste passo, devemos manter a atenção, pois poderá haver uma ou mais operações envolvidas. • Fazer uma estimativa do resultado, excluindo as alternativas (se houver) com resultados absurdos. • Efetuar as operações, chegando ao resultado final. • Verificar se o resultado obtido é satisfatório para a solução da questão. Problema sobre divisibilidade Um número é divisível por 5, por 6 e por 9. Cada algarismo deste número é uma unidade maior que o algarismo à sua direita. Quais quantidades de algarismos que este número poderá ter? ☺ Critérios de divisibilidade: Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Justificativa: Podemos trabalhar apenas com o último algarismo, pois ao subtrairmos as unidades restam as dezenas, múltiplos de 10, que são divisíveis por dois. Exemplo: 786 = 780 + 6 = 78×10 + 6 = 78×5×2 + 3×2 = (78×5 + 3)×2
  3. 3. 3 Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Justificativa: Os algarismos do número correspondem aos restos das divisões dos seus valores relativos por 9, 99, 999... Como 9, 99, 999... são divisíveis por 3, para que o número seja divisível por 3, a soma dos restos dessas divisões deve ser divisível por 3. Exemplo: 471: 4 + 7 + 1 = 12 e sabemos que 12 = 4 × 3, então 471 é divisível por 3. • 471 = 400 + 70 + 1 400 = 4×100 70 = 7×10 1 = 0 + 1 = 4× (99 + 1) = 7× (9 + 1) = 0×3 + 1 = 4× (33×3 + 1) = 7× (3×3 + 1) = 0 + 1 = (4×33) ×3 + 4 = (7×3) ×3 + 7 = 1 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Justificativa: É suficiente analisarmos somente o número formado pelos dois últimos algarismos, pois ao subtrairmos as unidades e dezenas, restam apenas centenas, que são divisíveis por 4, pois 100 = 25×4. Exemplo: 3356 = 3300 + 56 = 33×100 + 56 = 33×25×4 + 14× 4 = (33×25 + 14) × 4 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. Justificativa: Analogamente ao critério de divisibilidade por 2, temos que ao subtrairmos as unidades, restam as dezenas, múltiplos de 10, que também são divisíveis por 5 visto que 10 = 2×5. Assim, é suficiente analisar a divisibilidade do algarismo das unidades. Exemplo: 3485 = 3480 + 5 = 348×10 + 5 = 348×2×5 + 5 = (348×2 + 1) ×5 Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Justificativa: Todo múltiplo de 6 também é múltiplo de 3 e 2, pois 6 = 2×3. Exemplo: 858 é divisível por 2, pois termina em 8. 858 é divisível por 3, pois 8 + 5 + 8 = 21 é divisível por 3. Então 858 é divisível por 6: 858 = 143 × (2×3) = 143 × 6
  4. 4. 4 Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar num número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Exemplo: 525 52 – (5×2) = 52 – 10 = 42 42 = 7×6, então 525 é múltiplo de 7. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. Justificativa: Ao subtrairmos as centenas, dezenas e unidades de um número, ficamos com os milhares ou os múltiplos de 1000, que são divisíveis por 8, pois 1000 = 125×8. Exemplo: 5136 = 5000 + 136 = 5×1000 + 136 = 5×125×8 + 17×8 = (5×125 + 17) ×8 Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Justificativa: Análogo ao critério de divisibilidade por 3, ou seja, os algarismos do número correspondem aos restos das divisões dos seus valores relativos por 9, 99, 999... Como 9, 99, 999... são divisíveis por 9, para que o número seja divisível por 9, a soma dos restos dessas divisões deve ser divisível por 9. Exemplo: • 774: 7 + 7 + 4 = 18 e temos que 18 = 2 × 9, então 774 é divisível por 9. • 774 = 700 + 70 + 4 700 = 7×100 70 = 7×10 4 = 0 + 4 = 7× (99 + 1) = 7× (9 + 1) = 0×9 + 4 = 7× (11×9 + 1) = 7× (1 × 9 + 1) = 0 + 4 = (7×11) ×3 + 7 = (7 × 1) ×9 + 7 = 4 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplo: 3430 = 3000 + 400 + 30 = 3×1000 + 4×100 + 3×10 = 3×10³ + 4×10² + 3×10 ☺Números primos: Número primo é todo número que possui apenas dois divisores, isto é, ele é divisível por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 13, 17,... O número 1 não é primo.
  5. 5. 5 Questões – Números Naturais - Primeira Parte 1. Um homem de negócios tem seu capital aplicado em um banco. Sabendo que este capital dobra toda semana e na 16ª semana ele chegou a $ 1 milhão, em que semana atingiu $ 500 mil? a) 11ª semana b) 12ª semana c) 13ª semana d) 14ª semana e) 15ª semana 2. (Adaptado de OBM) Uma panela pesa 645g e a outra 237g. A cozinheira divide 1kg de carne entre as duas panelas, de modo que as duas, com seus conteúdos, ficam com o mesmo peso. Quanto ela colocou de carne em cada panela? a) 204g e 796g b) 254g e 746g c) 256g e 744g d) 296g e 704g e) 318g e 682g 3. (Operário Geral) Um terreno retangular tem noventa metros de perímetro, e seu lado maior mede trinta metros. O comprimento do lado menor é, em metros: a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10 4. (EPCAR) Três candidatos ao 1o ano do Curso Preparatório de Cadetes da Aeronáutica de 2001 fizeram um cursinho preparatório intensivo. Sabendo-se que o candidato A teve aulas do dia 20/06 ao dia 05/07, o candidato B, do dia 30/06 ao dia 09/07 e o candidato C, do dia 01/07 ao dia 25/07, a opção que indica o número de dias em que pelo menos um candidato estava participando do cursinho é: a) 10 b) 15 c) 16 d) 25 e) 36 5. (IBGE) A média aritmética simples de três números naturais e consecutivos é 24. O produto desses números será: a) 9240 b) 10624 c) 10626 d) 12144 e) 13800 6. (CMF) Para realizar uma visita ao parque botânico, utilizou-se um ônibus escolar no qual viajaram cinquenta e oito alunos, dos quais vinte e dois eram do sexo masculino e quarenta e oito estavam sentados. Sabe-se que três alunos do sexo masculino viajaram em pé. Então, o número de alunos do sexo feminino que viajaram em pé foi: a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9 Leia o anúncio abaixo, publicado em certo jornal, para responder à questão 7. 7. (IBGE) Uma pessoa resolve pegar um empréstimo de R$15.000,00 para pagar como informado no anúncio. Quanto essa pessoa pagará de juros, em reais? a) 1.600,00 b) 2.600,00 c) 3.200,00 d) 4.800,00 e) 5.200,00
  6. 6. 6 Números naturais – mais questões 1. (Operário Geral) Assinale a alternativa que corresponde a três dezenas de milhar, sete milhares, quatro centenas, nove dezenas e duas unidades. a) 39.742. b) 37.942 c) 37.492. d) 39.472. e) 37.792. 2. (IBGE) Observando-se o cronograma de trabalho do Censo 2000 do IBGE, verificamos que uma certa atividade inicia-se em 07/06/99 (segunda-feira), primeiro dia de trabalho, e termina em 28/06/99, último dia de trabalho. Considerando-se dia útil todos os dias da semana exceto sábado e domingo, a duração desta atividade, em dias úteis, é: a) 15 d) 19 b) 16 e) 22 c) 17 3. (Adaptada de Prominp) Em dez dias de trabalho, um funcionário de uma firma de cobrança arrecadou R$12.366,00. Se tivesse conseguido todos os dias a mesma quantia, quantos reais ele teria recebido por dia? a) 123,66 b) 1.023,66 c) 1.236,60 d) 2.366,00 e) 123.660,00 4. (Supervisor da Guarda Portuária) Balança comercial reflete saúde da economia (...) “Além de chegarmos ao quinto posto entre os maiores Estados brasileiros exportadores de carne de bovinos desossada, é muito expressivo o fato de termos condições de, no próximo ano, ultrapassar Minas Gerais no item volume embarcado, neste segmento”, explica Petisco. Em números, foram 38.080 toneladas de produtos cárneos exportadas pelo Porto de Porto Velho entre 1° de janeiro e 30 de junho (...). Minas Gerais exportou 40.765 toneladas (...). Disponível em: http://www.soph.ro.gov.br (adaptado) De acordo com o texto acima, quantas toneladas de produtos cárneos Minas Gerais exportou a mais do que o Porto de Porto Velho? a) 2.685 b) 7.885 c) 8.725 d) 12.685 e) 18.725 5. (IBGE) A tabela abaixo apresenta a previsão do tempo para a cidade de Rio Claro, de 25 de fevereiro a 2 de março de 2009. Max(ºC) Min(ºC) A maior diferença entre as temperaturas máxima e mínima é observada no dia a) 26/02 b) 27/02 c) 28/02 d) 01/03 e) 02/03
  7. 7. 7 6. (Prominp) A cidade de Cariacica tem 356 mil habitantes. O número de habitantes dessa cidade é a) igual a meio milhão. b) menor do que meio milhão. c) maior do que meio milhão. d) entre meio milhão e um milhão. e) maior do que um milhão. 7. (DMAE) O valor relativo do algarismo 7, no número 4378, equivale a a) 7 unidades. b) 70 dezenas. c) 7 centenas. d) 70 unidades. e) 70 centenas. 8. (ANP) Uma exposição de arte recebeu 510 visitantes, todos pagantes. Alguns pagaram R$ 6,00 pelo ingresso e outros R$ 3,00, gerando uma arrecadação de R$ 2.490,00. Quantos foram os visitantes que pagaram ingressos de R$ 3,00? a) 190 b) 210 c) 250 d) 280 e) 320 9. (EPCAR) Numa prova de Matemática, havia dois problemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim a cada prova só poderia ser atribuído zero, 5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10, 25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tiraram nota zero é a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 10. (CMF) As idades de duas pessoas somam 80 anos. Subtraindo-se 15 anos da idade da mais velha e acrescentando à idade da mais nova, as idades tornam-se iguais. A idade de cada uma delas é, respectivamente: a) 65 anos e 15 anos b) 60 anos e 20 anos c) 55 anos e 25 anos d) 50 anos e 30 anos e) 45 anos e 35 anos 11. (CMF) Numa subtração, quando somamos 20 unidades ao minuendo e subtraímos 12 unidades do subtraendo, o resto aumentará de: a) 8 unidades b) 12 unidades c) 18 unidades d) 20 unidades e) 32 unidades 12. (CMF Adaptado) Em um curso preparatório, há 35 alunos, sendo 16 mulheres. O professor perguntou se preferiam assistir aulas pela manhã ou à tarde. Assim, 25 alunos, dos 12 homens, responderam que preferiam pela manhã. Com esses dados podemos corretamente concluir que o número de mulheres que preferem à tarde é: a) 7 b) 3 c) 16 d) 10 e) 13 13. (IBGE) “A fundação da cidade de Rio Claro ocorreu em 10 de junho de 1827 e, em 1845, a cidade tornou-se município. (...) Localizada a leste do Estado de São Paulo, a cidade está distante da capital 157 km em linha reta.” Se, viajando-se pelas rodovias Bandeirantes, Anhanguera e Washington Luiz percorre-se 173 km para se chegar de Rio Claro à capital, qual é, em km, a diferença entre esta distância rodoviária e a distância em linha reta? a) 14 b) 16 c) 20 d) 24 e) 26
  8. 8. 8 Múltiplos, divisores e números primos - Questões 1. (Adaptado de CMF) Dois alunos receberam um desafio matemático de encontrar o maior número pelo qual podemos dividir 52 e 73 para encontrar, respectivamente, restos 7 e 13. Se eles calcularam corretamente, encontraram: a) 5 b) 15 c) 13 d) 52 e) 73 2. (DMAE) Ao multiplicar-se um número natural por 4, e ao resultado obtido somar-se 3 unidades, teremos um valor: a) Primo. b) Divisível por 5. c) Múltiplo de 7. d) Par. e) Ímpar. 3. (UFRGS) Se p é o produto de todos os números primos menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de p é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9 4. (Adaptado de CMF) A equipe ALFA recebeu a tarefa de calcular a área de um campo de futebol. Sabe-se que o comprimento é o triplo de sua largura, e que para cercar este campo de formato retangular com 3 voltas de arame, foram gastos 720m de arame. Daí, concluímos que o campo tem uma área de: a) 2.100 m2 b) 2.500 m2 c) 2.400 m2 d) 2.700 m2 e) 2.800 m2 5. (UFRGS) Na promoção de venda de um produto cujo custo unitário é de R$ 5,00 se lê: “leve 3 pague 2”. Usando as condições da promoção, a economia máxima que poderá ser feita na compra de 188 itens deste produto é de: a) R$ 290,00 b) R$ 302,00 c) R$ 310,00 d) R$ 320,00 e) R$ 322,00 6. (IBGE) Um recenseador do IBGE gastou 18 horas para pesquisar um determinado número de domicílios. Se ele gastasse 2 minutos a menos em cada domicílio, levaria 15 horas para pesquisar a mesma quantidade de domicílios. O número de domicílios pesquisados é: a) 66 b) 90 c) 180 d) 360 e) 660 7. (CMF) O menor número que é múltiplo de 15 e também é divisor de 30 é: a) 3 b) 5 c) 15 d) 30 e) 450 8. (CMF) Um aluno ao tentar multiplicar um número por 50 multiplicou-o por 5 (esqueceu de colocar o zero a direita do produto), cometendo um erro no resultado de 15.615 para menos. O número que o aluno devia ter multiplicado por 50 era: a) 231 b) 257 c) 347 d) 357 e) 473
  9. 9. 9 9. (Adaptado de CMF) Num jogo chamado Zoom, as peças do jogo possuem os seguintes nomes, valores e numerações: NOME VALOR NUMERAÇÃO PEÇAS Mega Zoom 5 pontos 80 até 99 Hiper Zoom 4 pontos 60 até 79 Super Zoom 3 pontos 40 até 59 Zoom 2 pontos 1 até 39 O aluno João Pedro, um grande jogador, coleciona apenas as peças cuja numeração é um múltiplo de 7. Como sua coleção está completa, ele acumulou: a) 52 pontos b) 50 pontos c) 48 pontos d) 46 pontos e) 44 pontos 10. (Adaptado de CMF) Viviane, quando está de férias, costuma bronzear-se uma hora doze minutos e vinte e cinco segundos, diariamente. Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios solares, durante três dias? a) 12.105 b) 13.135 c) 12.035 d) 13.035 e) 12.125 11. (Adaptado de CMF) Dividindo-se certo número por 17, obtêm-se o quociente 13 e o resto 4. Se adicionarmos 7 ao dividendo e mantivermos o mesmo divisor, encontraremos o mesmo quociente, porém um novo resto. A soma do número inicial com o novo resto é igual a: a) 225 b) 232 c) 238 d) 231 e) 236 12. (Adaptado de CMF) Qual o número que é maior que 199 e menor que 251, é divisível por 2, por 3, e por 5 e, no entanto não é divisível por 7? a) 230 b) 240 c) 220 d) 210 e) 250 13. (IBGE) A cidade de Rio Claro tem, aproximadamente, 190 mil habitantes. Nessa cidade, um em cada cinco habitantes tem, no máximo, 10 anos de idade. Quantos são os habitantes de Rio Claro que têm mais de 10 anos de idade? a) 19 mil b) 38 mil c) 72 mil d) 144 mil e) 152 mil 15. (Prominp) Uma fábrica produz 15.800 eletrodomésticos por mês. Qual será sua produção em 7 meses? a) 63.200 b) 74.000 c) 94.800 d) 110.600 e) 126.400 16. (DMAE) O número 18432a8 deve ter a letra a substituída por um algarismo que o torne um múltiplo de 3. Nessas condições, a soma de todos os algarismos distintos, que podem assumir o valor de a, é a) 5. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12.
  10. 10. 10 17. (DMAE) A alternativa que apresenta somente números primos é a) 1, 2, 3, 5 e 7. b) 2, 3, 5, 7 e 9. c) 1, 3, 5, 7 e 11. d) 2, 3, 5, 7 e 11. e) 0, 1, 2, 3 e 5. 18. (Supervisor da Guarda Portuária) Um navio atracou no Porto de Santos quando faltavam 15 minutos para o meio-dia e, 55 minutos mais tarde, começou a ser descarregado. A que horas esse navio começou a ser descarregado? a) 11h 50 min. b) 12h 10 min. c) 12h 30 min. d) 12h 40 min. e) 13h 10 min. 19. (Prefeitura Municipal de Manaus/AM) Cinco garotos brincavam de par ou ímpar, para soma dos números escolhidos de zero a cinco. Se todos escolheram números ímpares, o resultado foi um número: a) Múltiplo de 5. b) Primo. c) Ímpar. d) Par. e) N.D.A. 20. (OBM) O resultado da soma do maior número natural, de três algarismos, que é divisível por oito, com o menor número natural, de dois algarismos, que é divisível por 9, é: a) 1802 b) 1509 c) 1800 d) 1010 e) 2200 21. (FUB) Vinte e quatro dúzias de ovos foram embaladas em bandejas para serem levadas até a feira. Em cada bandeja cabe uma dúzia e meia de ovos. Ao todo foram usadas: a) 24 bandejas b) 18 bandejas. c) 16 bandejas. d) 14 bandejas. e) 12 bandejas. 22. (SANEAGO) Considere o maior número de 4 dígitos que seja divisível por 7. Quanto devo acrescentar a ele para que seja divisível por 8? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. (Agente de Controle de Zoonoses) Considere dois rolos de barbante, um com 192 m e outro com 300 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é: a) 40. b) 42. c) 39. d) 41. e) 38. 24. (UFRGS) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material por unidade produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem lucro de R$ 800,00? a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
  11. 11. 11 “O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto final” (Zenão de Eléia ) UNIDADE II - Números Decimais “Morre a mulher mais alta do mundo. Sandy Allen tinha 2,31 metros, 53 anos e estava doente” Jornal O Globo “Estudo diz: Usain Bolt faria 9,55s se não desacelerasse” Globo esporte.com “Inter leva 1,25 gols por jogo” Zero Hora “Temperatura bate recorde histórico no Rio Grande do Sul. Em Jaguarão os termômetros marcaram 42,6 °C” Folha online “Ladrões levam 122,3 milhões de reais de joalheria inglesa” Diário Gaúcho Natureza posicional É importante observar o valor posicional dos algarismos. Exemplo: o número 361 3 6 1 Aqui o 1 vale uma unidade ou 1 Aqui o 6 vale 6 dezenas ou 60 Aqui o 3 vale 3 centenas ou 300 Para ler números decimais é necessário, primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal. Exemplo: Gastei esse ano R$ 180,82 em livros. 1 3 0 , 8 2 Aqui o 2 vale 2 centésimos Aqui o 8 vale 8 décimos Aqui o 0 vale 0 unidades Aqui o 3 vale 3 dezenas ou 30 Aqui o 1 vale 1 centena ou 100 Questão: Quantos números existem entre o 361 e o 362?
  12. 12. 12 Um pouco de História... Imagine-se na Europa do século XVI. O comércio aumentava e os cálculos também. No entanto, os computadores e as calculadoras eletrônicas não existiam, pois só surgiram séculos depois. Muitos comerciantes e funcionários encarregados de arrecadar impostos faziam contas usando ábacos. Poucos conheciam as técnicas de cálculo escrito, e os números com vírgula não existiam. Naquela época, uma simples soma de quantias de dinheiro podia oferecer dificuldades. Em vez de somar quantias como R$ 3,35 com R$ 2,40 com R$ 5,12 etc., era preciso somar 5/12 ducados mais 1/4 ducados mais 1/20 ducados, o ducado (moeda de ouro utilizada em vários países da Europa naquela época) A soma de frações dá muito mais trabalho que a soma de números decimais. Suponha uma soma desse tipo com 30 ou 40 parcelas! Seria um trabalho imenso! Dificuldades como essa fizeram com que muita gente procurasse outra maneira de representar quantidades fracionárias. Em 1579, o francês Francois Viète, um dos mais importantes matemáticos de sua época, publicou um livro em que fazia defesa do uso de frações decimais. Porém, a maneira como ele as escrevia não era a que utilizamos hoje. Antes de Viète, outras pessoas, já haviam tido idéias parecidas. Entretanto, aparentemente ele foi o primeiro a defender a nova escrita, recomendando a todos os matemáticos o uso de décimos, centésimos, etc. Muito importante também foi a contribuição do engenheiro holandês Simon Stevin. Em 1585, ele publicou um livreto com sete páginas mostrando uma nova maneira de escrever as frações decimais e ensinando as pessoas a fazer contas com elas. Além disso, insistia em que a unidade monetária deveria ser dividida em centavos para que não fosse necessário o uso de frações decimais. Texto extraído de “Matemática para Todos” de Imenes e Lellis, Editora Scipione, 2006. Soma e subtração de números decimais Importante: Quando aprendemos a efetuar as operações de adição e subtração de números naturais, consideramos o valor posicional dos algarismos, somando unidades com unidades, dezenas com dezenas... A importância de se considerar o valor posicional do algarismo continua valendo para estas operações com os números decimais. Questões 1) Faça uma escala de densidades*, escrevendo os nomes dos elementos do menos denso para o mais denso. Elementos Densidade (g/cm³) Hidrogênio 0,0001664 Nitrogênio 0,00008375 Oxigênio 0,001332 Cloro 0,00295 * Duzentos quilos de chumbo cabem numa mochila. Duzentos quilos de isopor encheriam sete salas de aula como esta. Dizemos então que a densidade do chumbo é maior que a do isopor. Chamamos de densidade a razão entre quantidade de matéria e espaço ocupado por ela. Se um material tem densidade 2 g/cm³, então um cubo com 1 cm³ desse material pesa 2 g. Na tabela acima, são dadas as densidades dos elementos em condições normais de temperatura e pressão, isto é, 1 atmosfera e 25 ºC.
  13. 13. 13 2) Considere a seguinte reportagem extraída da Revista Veja, São Paulo, 23/01/02: Como um cachorro-quente completo é vendido só por 50 centavos? Pão, duas salsichas, purê, maionese, batata palha e milho, mais ketchup e mostarda à vontade. Tudo por 50 centavos. Esse é o preço do cachorro-quente na maioria dos dogueiros do centro da cidade. Eles têm o mesmo fornecedor: a empresa Féxlix, que vende em média 280 pães por dia pra cada dogueiro, a 10 centavos cada um. Alencar Pereira de Menezes, dono de um carrinho na Praça da República há cinco anos, consegue um lucro de 32%. Parece pouco mais não é. "Nós não vendemos barato demais. É o pessoal dos Jardins que quer ter muito lucro", diz. Veja quanto custa cada item: Pão de hot-dog R$ 0,10 2 salsichas R$ 0,13 20 gramas de purê R$ 0,013 35 gramas de maionese R$ 0,028 8 gramas de milho R$ 0,018 6 mililitros de ketchup R$ 0,007 3 mililitros de mostarda R$ 0,002 8,5 gramas de batata palha R$ 0,041 TOTAL R$ ......... LUCRO R$ ......... a) Qual o total da despesa com um cachorro-quente? b) De quanto será o lucro por unidade? 3) “Brasileiro cresce tanto que está tão alto quanto o japonês”. “Os brasileiros do Sul já podem dizer que chegaram à altura das mulheres alemãs, mas, de Minas Gerais para cima, ainda será preciso 1 centímetro para alcançarem os homens japoneses. Essas conclusões resultam de estudo divulgado pela Organização Mundial da Saúde, segundo o qual a altura média dos brasileiros passou nos últimos dez anos de 1,66 m para 1,70 m, de São Paulo para o Sul, e de 1,61 m para 1,65 m, de Minas Gerais para o Norte. Com esse aumento de 4 cm em dez anos, os brasileiros, na média geral, têm hoje a altura dos ingleses do século XI, ao menos a julgar pelas armaduras medievais existentes do Museu de Londres, quase todas de manequim 44.” Reportagem postada no site abril.com, em março de 1998. O que se pode concluir do texto acima? a) Em média, homens japoneses são mais baixos que os brasileiros de Minas pra cima. b) De Minas pra cima os brasileiros cresceram menos que de São Paulo para o Sul nos últimos dez anos. c) Os ingleses do século XI se alimentavam mal. d) Dez anos atrás brasileiros do Sul eram mais altos que os japoneses de hoje. e) Nenhuma das anteriores.
  14. 14. 14 Unidades de Medida A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si. Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Surgiu assim o metro, definido como unidade de comprimento que deveria corresponder a uma determinada fração da circunferência da Terra (1/40.000.000). Até 1861, no Brasil utilizavam-se as unidades e medidas de Portugal (vara, braça, quintal...), mas sem que fossem rigorosamente cumpridas. Em 1862 o sistema Métrico Francês foi adotado por todo o Império, mas somente em 1872 foi aprovado e regulamentado. No século XX, a difusão das calculadoras eletrônicas tornou essas medidas ainda mais populares. Fonte: Inmetro. Situações práticas relacionadas ao nosso cotidiano incluem as medidas de comprimento. Determinadas profissões exigem conhecimento detalhado dos procedimentos de medidas, entre alguns profissionais podemos destacar: engenheiro, pedreiro, pintor, serralheiro, marceneiro, comerciante de tecidos, costureiro, alfaiate, entre outros. Confusão na conversão de medidas causa prejuízo de US$ 125 milhões à NASA. (Folha de São Paulo - 17/12/1999) O Prêmio de “erro do ano” vai para a Nasa, segundo a revista "Science". O troféu para o erro crasso do ano foi para a agência espacial norte-americana pelos cálculos errados com a sonda Mars Climate Orbiter. Essa sonda espacial deveria ter enviado para a Terra informações importantes sobre o clima e a atmosfera de Marte. Mas não deu certo, e o motivo foi uma bagunça de cálculos feita ao misturar tanto unidades do sistema métrico como do sistema inglês. O Sistema Internacional de Unidades usa o "newton" como medida da força que, agindo sobre um corpo de massa igual a 1 kg, lhe dá a aceleração de 1 m/s². Em vez de guiar a sonda na delicada aproximação de Marte usando apenas newtons por segundo, também se empregou libras por segundo. O resultado foi um fracasso espetacular. Equivalências no Sistema Internacional de Unidades 1 metro é igual a: •1.000 milímetros (mm) •100 centímetros (cm) •10 decímetros (dm) •0,1 decâmetro (dam) •0,01 hectômetro (hm) •0,001 quilômetro (km) 1 quilograma (kg) é igual a: •1.000.000 miligramas (mg) •100.000 centigramas (cg) •10.000 decigramas (dg) •1.000 gramas (g) •100 decagramas (dag) •10 hectogramas.(hg) 1 litro é igual a: •1 dm³ •1000 cm³ •0,001 m³ Outras unidades de comprimento: -polegada/in: 2,54 cm -pé/ft: 30,48 cm -jardas/yd: 91,44 cm -milhas/mi: 1,6 km -légua: 4,83 km Outras unidades de massa: -grama/g -tonelada/t: 1000 kg -arroba/@: 14,689 kg -onça/Oz: 28,35g Outras unidades de capacidade: -metro cúbico/m³ -galão/Gal: 3,79 litros -barril/bbl: 158,99 litros -onça/fl. Oz: 28,41 ml
  15. 15. 15 Questões: 4) Uma vasilha cheia de água pesa 14,5 kg e vazia 4 dag. Nessas condições, se ela contém x litros de água, então o valor de x é: a) 14,90. b) 10,50. c) 14,10. d) 14,46. 5) Assinale a alternativa que contém, respectivamente, símbolos de unidades de comprimento, capacidade e massa. a) kg – cm cg. b) km – cL – m. c) cg – mL – mm. d) dm – g – c– mL. e) hg – cL – hm. 6) Considere que uma minhoca inglesa adulta pode percorrer uma milha em duas semanas, parando em média 10 horas por dia para descansar durante os doze primeiros dias e 8 horas nos dois últimos. Considere ainda que esta página possui 20 cm de largura. Quanto tempo aproximadamente a referida minhoca levará para atravessá-la de um lado ao outro, se não parar nenhuma vez? a) 5 horas. b) 50 min. c) 15 min. d) 1 min e 30 s. e) 15 s. 7) Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido? a) 0,2 m³. b) 0,48 m³. c) 4,8 m³. d) 20 m³. e) 48 m³. 8) Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura. Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha. a) a sua altura. b) o comprimento do maior animal do mundo, a baleia azul, que é cerca de 29 metros. c) a altura do edifício mais alto do mundo, o Petronas Tower, que tem 88 andares. d) a altura do pico mais alto do mundo, o Monte Everest, que é 8848 metros. e) a distância do planeta Terra à Lua, que é muito maior que todas as alternativas anteriores. 9) (IBGE) Certo nadador levou 150 segundos para completar uma prova de natação. Esse tempo corresponde a a) um minuto e meio. b) dois minutos. c) dois minutos e meio. d) três minutos. e) três minutos e meio. 10) (DMAE) O valor relativo do algarismo 7, no número 4378, equivale a: a) 7 unidades. b) 70 dezenas. c) 7 centenas. d) 70 unidades. e) 70 centenas. 11) (COLÉGIO MILITAR) A jovem aluna Aline sempre gostou de resolver problemas envolvendo sistema métrico decimal. Aline sabe que o perímetro de um determinado triângulo é 0,187m e dois de seus lados tem 0,51dm e 92mm, logo o terceiro mede, em centímetros: a) 3,4. b) 4,4. c) 3,6. d) 4,3. e) 5,4.
  16. 16. 16 12) (AUXILIAR DE ENFERMAGEM) Uma sopa em pacote tem 70g de massa, sendo 36,5g de glicídios, 6g de lipídios, 15g de sal e a massa restante, em gramas, de proteínas. O número de gramas de proteínas corresponde a: a) 10,5. b) 11,5. c) 12,5. d) 13,5. e) 14,5. 13) (AGENTE DE SAÚDE) A duração de uma prova de fórmula 1 foi de 1,45 horas. Assinale a alternativa que corresponde a essa duração, em horas, minutos e segundos. a) 1 h 23 min 30 s. b) 1 h 27 min 0 s. c) 1 h 22 min 56 s. d) 1 h 40 min 5 s. e) 1 h 29 min 35 s. 14) (OPERÁRIO GERAL) Pedro pagou com uma nota de R$ 50,00 a compra de dois refrigerantes, por R$ 2,25 cada unidade, e dois cachorros-quentes a R$ 5,60 cada um. O troco recebido por Pedro foi de: a) R$ 24,30. b) R$ 31,30. c) R$ 34,70. d) R$ 32,70. e) R$ 34,30. 15) Um troféu formado por cinco recipientes cúbicos foi construído da seguinte maneira: sob o cubo de lado 10 cm foi soldado o cubo de lado 20 cm, sob este foi soldado o cubo de lado 30 cm, e assim por diante. Toda a superfície externa desse troféu deverá ser coberta com um certo tipo de revestimento. Quantos metros quadrados desse revestimento serão necessários? a) 1,5 . b) 2,5 . c) 2,7. d) 2,75. e) 3. Problema Em uma fruteira estão disponíveis os preços por quilo dos alimentos e uma balança. Você precisa controlar o valor da compra para saber se pode comprar todos os alimentos, se é necessário diminuir ou se pode aumentar a quantidade dos alimentos. Após as pesagens foi construída a tabela abaixo: Fruta/verdura/legume Preço por quilo (reais) Peso (kg) tomate 2,48 0,564 melancia 0,65 5,858 vagem 2,68 0,347 batata 1,87 1,843 cenoura 0,99 3,987 Qual será o gasto total? Se o dinheiro disponível para compra é de R$ 10,00 reais, será possível levar todos os itens listados na tabela? Multiplicando por potências de 10 Para realizarmos multiplicações de números decimais é essencial o entendimento das multiplicações por potências de dez.
  17. 17. 17 Consideremos o quadrado da figura ao lado como sendo uma unidade, a área hachurada corresponde a uma parte em dez da unidade, o que chamamos de um décimo. Na figura abaixo cada décimo foi dividido em dez partes iguais. Multiplicando por potências de 10: Vamos observar a multiplicação 3,1 x 10: 3,1 x 10 = (3,0 + 0,1) x 10 = 3,0 x 10 + 0,1 x 10 = 30 + 1 = 31 A área hachurada da figura ao lado corresponde à décima parte de um décimo, isto é, um centésimo da unidade. Podemos concluir que 0,1 x 0,1 = 0,01 Sabemos que 0,1 vale 1 décimo (uma parte em dez da unidade), assim, multiplicando 0,1 por 10 temos 1 unidade. Da mesma maneira: 2,57 x 100 = 2,57 x 10² = 257 45,6781 x 1000 = 45,6781 x 10³ = 45678,1 Multiplicação de número decimal por inteiro e de número decimal por decimal Exemplo: Como calcular 3,1 x 4,45 ? Chamemos “y” o resultado da multiplicação 3,1 por 4,45. Então: 3,1 x 4,45 = y (3,1 x 10) x (4,45 x 100) = y x 10 x 100 31 x 445 = y x 1000 13795 = y x 1000 13795/1000 = y 13,795 = y Ao multiplicarmos um número decimal por 10, deslocamos a vírgula uma casa para a direita, ao multiplicarmos por 10² deslocamos duas casas e assim sucessivamente: deslocamos a vírgula para a direita o mesmo número de casas do expoente da potência de dez.
  18. 18. 18 Podemos ainda considerar 3,1 como 10 31 e 4,45 como 100 445 , e escrever a mesma operação da seguinte maneira: 10 31 x 100 445 = 10010 44531 × × = 1000 13795 = 13,795 Visualizando a multiplicação de decimais 0,3 x 0,2 = 0,06 Três décimos (três partes em dez) vezes dois décimos (duas partes em dez) equivalem a seis centésimos (seis partes em cem). Método prático para a multiplicação de números decimais Exercícios: 1) (Admissão ao Mestrado do PPGEP-UFRGS) Qual das opções abaixo equivale a 0,00127? a) 1,27 x 10 b) 1,27 x 0,10 c) 1,27 x 0,01 d) 1,27 x 0,001 e) 1,27 x 0,0001 2) André comprou material para sua loja, conforme abaixo discriminado: Itens Quantidades Valor Parafusos 10 kg R$ 1,2 o quilo Pregos 20 kg R$ 0,85 o quilo Lixas 30 unid. R$ 0,55 a unidade Verniz 02 latas R$ 6,50 a unidade Limas 10 unid. R$ 1,50 a unidade Em qual item ele pagou o valor mais alto? 3) Quantos metros quadrados tem uma superfície retangular de lados 30 e 40 cm? 4) A “terra” é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real vale o mesmo que um “terra”. Mas quem compra com “terra” paga mais barato. O preço do pãozinho é R$ 0,15, ou 0,10 “terra” e o quilo da mortadela, que custa R$ 7,25, é vendido por 5,30 “terra”. Comparado ao real, qual será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 200g de mortadela, pagando com “terra”? a) 0,25 b) 0,59 c) 0,80 d) 1,15 e) 1,46 Na multiplicação de números decimais, multiplicamos os dois fatores como se fossem números naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.
  19. 19. 19 Divisão de decimais Divisão de inteiro por inteiro Exemplo: dividindo 27 por 4: unidades décimos centésimos 27 4 24 unidades décimos centésimos 03 6 unidades décimos centésimos 30 4 28 unidades décimos centésimos 02 7 unidades décimos centésimos 20 4 20 unidades décimos centésimos 00 5 Da divisão de 27 por 4 temos como quociente 6 e resto 3. Mas 3 inteiros correspondem a 30 décimos, e dividindo 30 décimos por 4 temos como quociente 7 décimos e como resto 2 décimos. Dois décimos equivalem a 20 centésimos, e dividindo 20 centésimos por 4 temos como quociente 5 centésimos. Então, como solução da divisão, temos: 6 unidades + 7 décimos + 5 centésimos = 6 + 0,7 + 0,05 = 6,75. unidades décimos centésimos 27 4 24 unidades décimos centésimos 03 6 7 5 30 28 02 20 20 00
  20. 20. 20 Divisão de número decimal por número inteiro Vamos dividir 7,5 por 2. Considerando que quando multiplicamos dividendo e divisor por um mesmo número o quociente não sofre alterações, vamos multiplicá-los por dez até os transformar em números inteiros. Então: 20 75 102 1057 2 57 = × × = ,, . A partir daí podemos proceder como na divisão de inteiro por inteiro. Divisão de inteiro por decimal e de decimal por decimal Procederemos da mesma maneira. Consideremos a divisão de 1,75 por 2,5. Multiplicam-se os dois termos por 100. 250 175 10052 100751 52 751 = × × = , , , , Como 250 é maior que 175, vamos considerar 175 como 1750 décimos. A partir daí procedemos como na divisão de inteiro por inteiro, lembrando que a resposta será dada em décimos. Método prático para a divisão de números decimais Visualizando a divisão de decimais Queremos dividir três por cinco décimos: 3 ÷÷÷÷ 0,5 = Quantas vezes um segmento de 0,5 unidades de medida cabe em um segmento de 3 unidades de medida? 3 ÷÷÷÷ 0,5 = 6 Interessante perceber que a divisão não implica necessariamente em um resultado menor que o dividendo. Questão: Você pode explicar em que divisões o resultado será menor que o dividendo? Multiplicamos dividendo e divisor por potências de dez até transformá-los ambos em números inteiros. Procedemos à divisão, questionando sempre a coerência do resultado.
  21. 21. 21 Exercícios: 5) Um segmento de reta mede 5,4cm. Um estudante desenhou um segmento de reta com a metade desse comprimento e outro com o dobro. Assinale as medidas corretas de cada segmento de reta traçado: a) 14 mm e 27 mm b) 27 mm e 54 mm c) 27 mm e 108 mm d) 54mm e 108mm 6) Índice de Massa Corpórea (IMC) é o índice que relaciona o peso e a altura de um indivíduo, e é usado pela Organização Mundial de Saúde (OMS) para verificar as condições de nutrição das populações. Para obter esse índice, basta dividir o peso do indivíduo em quilos pelo quadrado da altura em metros. O IMC ideal está entre 18,5 e 25. Abaixo de 18,5 Desnutrição. De 25 a 30 Acima do peso. Acima de 30 Obesidade. Fonte: OMS. Segundo esta tabela, como é classificada uma pessoa com 72 kg e 1,60 m de altura? 7) (vunesp) Um relatório de 20 páginas foi fotocopiado na papelaria próxima da escola, onde fotocópias normais, em preto e branco, custam R$ 0,30 cada uma, e as coloridas custam R$ 1,50 cada uma. Foi feita uma cópia de cada página, sendo algumas delas coloridas, e o total gasto foi R$ 15,60. Assim, pode-se concluir que só as cópias coloridas custaram: a) R$ 13,50. b) R$ 12,00. c) R$ 10,50. d) R$ 9,00. e) R$ 7,50. 8) Entre 1986 e 1989, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é: 1 real = 2.750.000.000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura: a) 26,4km b) 264km c) 26.400km d) 264.000km e) 2.640.000km 9) Para recobrir um piso de uma sala retangular de 4,5m por 5,5m com lajotas de 50cm de lado, serão necessárias, aproximadamente: a) 50 lajotas b) 100 lajotas c) 200 lajotas d) 300 lajotas 10) (OBM-2005)-Platina é um metal muito raro, mais raro até do que o ouro.Sua densidade é 21,45 3g/cm³ .Supondo que a produção mundial de platina foi cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50 anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objetivo cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história. a) uma caixa de sapatos b) uma piscina c) um edifício de dez andares d) o monte pascal e) a lua 11) Um pacote de papel contém 600 folhas no formato retangular 40 cm por 36 cm. Se cada folha pesa 60 g/m² e a transportadora cobra R$ 5,00 por kg, então, a firma cobrará pelo pacote: a) R$ 2,59. b) R$ 25,92. c) R$ 43,20. d) R$ 4,32
  22. 22. 22 12) A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison. A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto. Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia. Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente. A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor reflete a duração dessa lâmpada é o: a) dia. b) ano. c) decênio. d) século. e) milênio. 13) (Prefeitura de São Paulo) Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia De 1 a 49 $ 0,10 50 ou mais $ 0,09 Segundo os dados da tabela, uma pessoa que dispõe daquantia exata de R$ 4,70 para fazer cópias de um mesmo original poderá solicitar no máximo a) 47 cópias. b) 49 cópias. c) 52 cópias. d) 53 cópias. e) 54 cópias. 14) IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) é um índice que serve de comparação entre os países, com objetivo de medir o grau de desenvolvimento econômico e a qualidade de vida oferecida à população. Este índice é calculado com base em dados econômicos e sociais. O IDH vai de 0 (nenhum desenvolvimento humano) a 1 (desenvolvimento humano total). Quanto mais próximo de 1, mais desenvolvido é o país. Colocação no Ranking de IDH de alguns países: (Dados referentes a 2008) 1º - Noruega - 0,971 2º - Austrália - 0,970 3º - Islândia - 0,969 4º - Canadá - 0,966 5º - Irlanda - 0,965 6º - Países Baixos - 0,964 7º - Suécia - 0,963 8º - França - 0,961 9º - Suíça - 0,960 10º - Japão - 0,960 13º - Estados Unidos - 0,956 75º - Brasil - 0,813 Fonte: Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (ONU) Em 2007 o IDH brasileiro era 0,807. Se o Brasil mantiver em média este mesmo crescimento anual, em que ano chegará ao índice 0,971 (atual índice da Noruega)? a) entre 2010 e 2020 b) entre 2020 e 2030 c) entre 2030 e 2040 d) entre 2040 e 2050 e) entre 2150 e 2160 15) Uma torneira pingando leva 3 horas para encher um recipiente, outra torneira leva 6 horas para encher o mesmo recipiente, e este recipiente com a válvula aberta leva 12 horas para esvaziar. Quanto tempo levará para encher esse recipiente com as 2 torneiras pingando e a válvula aberta? a) Uma hora e 30 min. b) Uma hora e 54 min. c) Duas horas e 24 min. d) Três horas. e) Três horas e 45 min.
  23. 23. 23 UNIDADE III – Frações Problema 1) (Revista do Professor de Matemática – 1982) Um fazendeiro que vive num terreno quadrado decide aposentar-se. Ele retém para si um quarto do terreno, como na figura e doa o resto para seus quatro filhos. Como se pode dividir o terreno a ser doado de modo que cada filho receba uma porção de mesmo tamanho e forma? Onde Encontramos as Frações no Dia-Dia 3 1 150 50 = Art. 1.351 da Lei 10.931/04: “Depende da a aprovação de 2/3 (dois terços) dos condôminos a alteração da convenção; a mudança da destinação do edifício, ou da unidade imobiliária, depende da aprovação pela unanimidade dos condôminos.” Copo Medidor Caixa de Luz Chave de Boca 1/4"x5/16” Marcador Analógico Meia 7/8
  24. 24. 24 Receitas de culinária: Bolo de Chocolate: o chocolate granulado o ¼ xícara de chocolate em pó o 1 lata de leite condensado Massa: o 3 xícaras de creme de arroz o 1½ xícara de leite o 1½ xícara de óleo o 2 xícaras de açúcar o 1 colher (sopa) de fermento em pó o 6 ovos o 1 xícara de chocolate em pó o ¾ xícara de amido de milho (maisena) Recheio: o 1 pote de doce de leite A Unidade Fracionária Consideramos uma tira de cartolina com um determinado comprimento: Dividindo-se a tira de cartolina em dois pedaços de igual comprimento, cada uma destas partes será a metade da tira, ou um meio da tira: Se, no entanto, dividirmos esta mesma tira de cartolina em três pedaços de igual comprimento, cada uma das partes é um terço da tira: As expressões um meio, um terço, etc. , pois indicam cada uma das partes em que um determinada unidade foi dividido. Analogamente, dividindo-se a mesma tira em 4 partes iguais, em 5 partes iguais, em 6 partes iguais, etc., cada uma das partes será chamada um quarto       4 1 , um quinto       5 1 , um sexto       6 1 da tira, etc. 2 1 Um meio Um meio = 2 1 2 1 Um terço = 3 1 3 1 3 1 3 1 Um terço
  25. 25. 25 Fração Vimos que, ao dividir em partes iguais uma unidade, uma ou mais dessas partes reunidas constituem uma fração. Assim, considerando como um todo a unidade u e dividindo-a em 5 partes iguais, cada uma dessas partes corresponde a um quinto de u: Se, no entanto, considerarmos três destas partes, teremos a fração três quintos de u: As frações são representações dos números racionais. O conjunto dos números racionais é representado por Q, onde: Q =       ≠∈∈ 0dZdZn d n ,, Representação fracionária: d n , onde n é o numerador e d é o denominador, sendo n e d inteiros e d ≠ 0. Frações Equivalentes Observe as seguintes frações de uma unidade u: 2 1 4 2 10 5 Veja que todas essas frações indicam a mesma parte da unidade considerada, ou seja, meia unidade. Dizemos que as frações 2 1 , 4 2 e 10 5 são frações equivalentes, pois representam a mesma parte de um todo. Um quinto = 5 1 Três quintos= 5 3
  26. 26. 26 Consideremos, agora, uma unidade u e as frações 6 4 e 12 8 desta unidade: 6 4 12 8 No primeiro caso, dividimos a unidade em 6 partes iguais e consideramos 4 delas; no segundo caso, dividimos a unidade em 12 partes iguais e consideramos 8 delas. Embora as representações fracionárias sejam diferentes, note que, em ambas as frações, a parte da unidade considerada foi a mesma. Portanto, as frações 6 4 e 12 8 são equivalentes, são numerais diferentes para um mesmo número fracionário. Vamos, agora, considerar a fração 6 4 e multiplicar o numerador e o denominador desta fração por 2: 12 8 2 2 6 4 =× Como cada 6 1 da unidade corresponde a 12 2 da mesma unidade, então 12 8 2 2 6 4 6 4 =×= De um modo geral, partindo de uma mesma unidade e dividindo-a, por exemplo, em 7 partes e considerando 3 destas partes, obtém-se a mesma porção da unidade que corresponde a uma divisão em 14 partes e a consideração de 6 delas, ou a uma divisão em 21 partes e a consideração de 9 delas, e assim por diante. Frações como 7 3 , 14 6 , 21 9 ,... são equivalentes. Da equivalência de frações, podemos enunciar a propriedade fundamental das frações: Exercícios: 2) (Cesgranrio) Ordenando as frações p = 24 13 , q = 3 2 e r = 8 5 , obtemos: a) p<r<q b) q<p<r c) r<p<q d) q<r<p e) r<q<p 3) (Dmae-2007) O número 0,44 pode ser representado pela fração: a) 25 11 b) 10 44 c) 1000 44 d) 100 22 e) 44 4 4) Qual fração representa o triângulo sombreado em relação ao maior quadrado representado na figura? Multiplicando-se ou dividindo-se o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se uma fração equivalente à fração original.
  27. 27. 27 Soma e Subtração de Frações Vamos considerar a seguinte adição de frações: 3 1 2 1 + 2 1 3 1 Como 2 1 e 3 1 não representam partes iguais da unidade, precisamos encontrar frações equivalentes a 2 1 e 3 1 que tenham o mesmo denominador, quando então teremos a unidade dividida em um mesmo número de partes nas duas frações consideradas. Na prática, dizemos que estamos reduzindo as frações ao mesmo denominador. 6 3 3 3 2 1 =× 6 2 2 2 3 1 =× 6 3 2 1 = 6 2 3 1 = 6 5 6 3 6 2 De maneira análoga, efetuamos a subtração: 2 1 6 5 − 6 3 2 1 = 6 2 3 1 = 6 5 Regra: Mais Questões: 5) (Prominp-2008) Paulo percorreu 2/5 de uma pista de atletismo que tem 200 metros de comprimento. Quantos metros faltam para chegar ao final da pista? a) 140 b) 120 c) 100 d) 80 e) 40 6) (Oficial de Transportes – RS/2004) Na troca de óleo dos carros que atendeu em uma semana, um frentista utilizou 24 litros desse produto. Quantas latas de ¼ de litro de óleo ele utilizou? a) 48 b) 72 c) 144 d) 120 e) 96 6 5 6 2 6 3 3 1 2 1 =+=+ 6 2 6 3 6 5 2 1 6 5 =−=− Para somar ou subtrair frações devemos encontrar frações equivalentes de modo que as frações consideradas fiquem com o mesmo denominador. Operamos com as frações equivalentes, somando ou subtraindo apenas os numeradores e mantendo o denominador comum.
  28. 28. 28 7) Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 de hora e uma válvula o esvazia em 1/4 de hora. Com as duas abertas, em quanto tempo o reservatório ficará completamente cheio? 8) (Dmae-2007) Em um depósito do DMAE, há um certo número de hidrantes. Se forem retiradas 16 unidades, ainda restarão 3/4 da quantidade inicial existente. Portanto, o número total de hidrantes existentes no depósito, antes da retirada, era de: a) 48. b) 56. c) 64. d) 72. e) 86. 9) (Ufrgs-1998) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu produto é 15. O valor da soma BA 11 + é a) 5 1 b) 3 1 c) 2 1 d) 3 e) 5 10) Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas? 11) (SENAC-Pernanbuco/2008) Na merenda escolar, o SENAC utiliza sucos de frutas locais, em garrafas, e distribui para seus alunos em copos. Sabe-se que 18 4 de uma garrafa enchem 12 10 de um copo. Então, para enchermos 30 copos, precisamos de: a) 6 garrafas b) 7 garrafas c) 8 garrafas d) 9 garrafas e) 5 garrafas 12) Um mecânico precisava medir a distância x entre os centros dos furos da peça representada abaixo. Qual foi a medida obtida em polegadas? 13) (Admissão ao mestrado do PPGEP-UFRGS) Se 7 2 = − p qp , então p q é igual a: a) 5 2 b) 7 5 c) 1 d) 5 7 e) 2 7 14) (Educador Penitenciário - Amapá 2002) Um recipiente completamente cheio de óleo pesa 2 kg. Se o óleo ocupasse 1/4 do volume do recipiente, o peso total se reduziria a 875 g. O peso do recipiente vazio, em gramas, é igual a: a)250 b)480 c)500 d)630 e)700
  29. 29. 29 Multiplicação de frações A multiplicação de números fracionários está associada à idéia de se considerar uma fração de algo. Vamos examinar dois casos: a fração de um inteiro e a fração de fração. Multiplicação de número inteiro por fração Considerando a multiplicação de 3 2 por 9. Podemos interpretar este produto com a pergunta: ”Quanto é 3 2 de 9?”. O significado desta operação é tomar duas vezes 3 1 de 9 , ou seja: - para obter 3 1 de 9, divide-se 9 em 3 partes iguais: 9 ÷3 = 3 - para obter 3 2 de 9 tomam-se duas dessas partes: 2 ×3 = 6 Assim, temos que: 3 2 de 9 = 3 1 2× de 9 = 3 9 2× Mas 6 3 18 3 92 3 9 1 2 3 9 2 == × =×=× . Multiplicação de fração por fração Consideremos a multiplicação de 2 1 por 4 1 . Isto significa que devemos tomar a metade de um quarto da unidade. Vamos primeiro representar 4 1 da unidade: Agora, vamos representar a metade de 4 1 , ou 2 1 de 4 1 . Assim, temos que: cada 4 1 da unidade foi dividido em duas metades, de modo que temos agora 8 metades da unidade. Cada metade é 8 1 da unidade. 2 1 de 4 1 = 8 1 42 1 = × . 8 1
  30. 30. 30 Vejamos um outro exemplo: 3 2 de 5 3 : Para entender melhor este produto, vamos examinar dois exemplos numéricos, envolvendo grandezas discretas e grandezas contínuas. Grandeza discreta Temos uma classe com 15 alunos. Os 5 3 desses alunos correspondem a 9 alunos, e 3 2 de 9 alunos são 6 alunos. Agora basta saber a fração da classe que corresponde a 6 alunos: 1 classe → 15 alunos 5 1 da classe → 3 alunos 5 2 da classe → 6 alunos Como 6 alunos correspondem a 5 2 da classe e também correspondem a 3 2 de 5 3 dos alunos da classe, concluímos que: 5 2 5 3 3 2 =× Grandeza contínua Agora, num outro exemplo, vamos representar no papel quadriculado as frações 15 10 3 2 = e 15 9 5 3 = : Fazendo a intersecção das áreas sombreadas, obtemos 3 2 de 5 3 : 5 2 15 6 5 3 3 2 ==× Ou seja, 5 2 5 3 3 2 =× . Da multiplicação de duas frações, podemos enunciar a propriedade fundamental: O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.
  31. 31. 31 Divisão de frações A divisão envolvendo números fracionários está ligada à idéia de verificar “quantos cabem”. Vejamos alguns exemplos. Divisão de inteiro por fração Exemplo: 2 1 4 ÷ Neste exemplo, em que dividimos 4 inteiros por 2 1 , vamos verificar quantos meios “cabem” em 4 inteiros: Em 4 inteiros cabem 8 metades. Podemos também concluir que : 8 1 8 22 18 2 1 2 8 2 1 4 2 2 2 1 4 == ÷ ÷ =÷=÷×=÷ Divisão de fração por fração Exemplo: 4 1 2 1 ÷ Nesta divisão, vamos verificar quantas vezes a fração 4 1 “cabe” em 2 1 : Como podemos observar, 4 1 “cabe” 2 vezes em 2 1 . Podemos também concluir que: 2 1 2 44 12 4 1 4 2 4 1 2 1 2 2 4 1 2 1 == ÷ ÷ =÷=÷×=÷ Exemplo: 11 2 11 6 ÷ Interpretamos essa divisão verificando quantas vezes a fração 11 2 “cabe” na fração 11 6 : Como podemos observar, 11 2 ”cabe” 3 vezes em 11 6 , logo, 3 1 3 1111 26 11 2 11 6 == ÷ ÷ =÷ . Uma regra também usada na divisão é a de multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda. Esta regra está baseada no seguinte: - dividir por 3 1 equivale a multiplicar por 3; - dividir por 3 2 equivale a multiplicar por 3 e dividir por 2; - em geral, dividir por uma fração b a , com b ≠ 0, equivale a multiplicar por b e dividir por a. Para dividirmos uma fração por outra podemos encontrar frações equivalentes de modo que o numerador e o denominador da primeira sejam divisíveis pelo numerador e denominador da segunda. Após, dividimos numerador por numerador e denominador por denominador. 4 1 4 1 2 1 11 6 11 2 11 2 11 2
  32. 32. 32 Exercícios 15) (Epe-2007) Gabriel fez refresco misturando 100 ml de suco concentrado e 500 ml de água. Como o refresco ficou aguado, sua mãe resolveu acrescentar mais suco concentrado à mistura, até que a quantidade de suco correspondesse a 5 1 da quantidade de refresco. A mãe de Gabriel precisou acrescentar uma quantidade de suco: a) menor do que 20 ml. b) entre 20 ml e 30 ml. c) entre 30 ml e 40 ml. d) entre 40 ml e 50 ml. e) maior do que 50 ml. 16) (Admissão ao mestrado do PPGEP-UFRGS) Num certo grupo de pessoas, 8 3 das pessoas são homens e 3 2 dos homens têm olhos castanhos. Se 4 3 das pessoas têm olhos castanhos, então qual fração do grupo é constituída por mulheres que não têm olhos castanhos? a) 8 1 b) 16 3 c) 4 1 d) 16 5 e) 8 3 17) (SENAC-PE/2008) Foi realizada no auditório do SENAC uma grande reunião, ocupando 17 7 da sua capacidade. O palestrante, achando que tinha pouca gente, pediu à platéia que determinasse o número que era preciso somar aos dois termos da fração, para obter, como resultado, a fração 4 3 . Foi então que Andreza Gomes, presente à reunião, destacou- se dizendo: “Senhor palestrante, esse problema é comum e o número procurado é exatamente: a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 18) (Ufrgs-2002) Os 50 3 de um dia correspondem a: a) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos. b) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos. c) 1 hora, 26 minutos e 28 segundos. d) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos. e) 1 hora e 44 minutos. Probabilidades Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos se sairá “cara” ou “coroa”. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais). Exemplos: São aleatórios os fenômenos: • lançamento de um dado “não viciado”.. • resultado de um jogo de roleta. • número de pessoas que ganharão na megasena. Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer. A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos que são usados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
  33. 33. 33 Quando num dado fenômeno (ou experimento) aleatório, com número de resultados possíveis finito, consideramos que todo evento elementar tem a mesma ”chance” de ocorrer, a probabilidade de ocorrer A, indicada por p(A), é um número que mede esta chance e é dado por: número de resultados favoráveis número total de resultados possíveis p(A)= Exemplo: Consideramos o experimento aleatório de lançamento de uma moeda perfeita. Qual é a probabilidade de sair cara? Tanto “sair cara” como “sair coroa” têm a mesma chance de ocorrer. Assim, temos: - número de resultados possíveis = 2 - número de resultados favoráveis = 1 ∴p(A) = 2 1 Como %50 100 50 2 1 == , temos que, no lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é 2 1 ou 50%. Questões 19) No lançamento de um dado perfeito, qual a probabilidade de sair número maior que 4? a) 5 2 b) 2 1 c) 4 1 d) 3 1 e) 5 3 20) (UFRGS-2006) Considere o tabuleiro de 16 casas, com 8 casas brancas e 8 casas pretas, representado na figura abaixo. Três peças serão dispostas ao acaso sobre o tabuleiro, cada uma delas dentro de uma casa, ocupando, assim, três casas distintas. A probabilidade de que as três peças venham a ocupar três casas de mesma cor é: a) 10 1 b) 5 1 c) 4 1 d) 3 1 e) 2 1 21) (Adaptada Ufrgs-2005) O produto de dois números é 32 e sua soma é 12. A razão entre o menor e o maior deles é: a) 8 3 b) 3 c) 2 3 d) 2 1 e) 3 8
  34. 34. 34 22) A figura representa dois quadrados concêntricos, de lados paralelos, e a área da região sombreada é 80 cm². Sabendo que o lado do quadrado menor mede 3 2 da medida do lado maior, então a soma dos perímetros dos dois quadrados, em cm, vale: a) 56 b) 68 c) 72 d) 76 e) 80 23) Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 7 3 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 8 5 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ? 24) Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário? 25) O número natural A, ao ser multiplicado por 3 2 , fica alterado de 20 unidades. O número natural B, ao ser dividido por 5 1 , fica alterado de 120 unidades. Então A+B é igual a: a) 230 b) 140 c) 130 d) 100 e) 90 X X Y Y
  35. 35. 35 UNIDADE IV – Porcentagens e proporções A porcentagem é muito comum no nosso dia-a-dia. Ela se faz presente quando falamos em descontos ou acréscimos de preços, quanto representa uma parte de um valor, entre outras utilidades. Exemplos: •Cerca de 10% das pessoas são canhotas, mas, devido à discriminação, a proporção declarada era de 3% no início do século 20. "A influência ambiental é decisiva em eventualmente converter um canhoto em falso destro ou em definir um indivíduo sem determinação inata óbvia na expressão de uso de membros", afirma Luiz Eugênio de Mello, professor de neurofisiologia da Universidade Federal de São Paulo. (http://www.bancodeescola.com/canhoto.htm) •Dieese: preço do açúcar sobe 63,96% em um ano. Nos últimos 12 meses, encerrados em outubro deste ano, enquanto o Índice do Custo de Vida (ICV) acumulou taxa de 4%, o preço do açúcar apresentou expressiva variação de 63,96% e o do álcool aumentou 10,64%. (http://www.estadao.com.br/noticias/geral,dieese-preco-do-acucar-sobe-6396-em-12-meses,461707,0.htm) •Voe com até 70% de desconto, em todo o país. Desconto para vôos nacionais e internacionais. (site: produto.mercadolivre.com.br) •Anefac: 64% vão utilizar o 13º salário para quitar dívidas Uma pesquisa realizada pela Associação Nacional dos Executivos de Finanças Administração e Contabilidade (Anefac) e divulgada nesta terça-feira (10/11) aponta que 64% dos brasileiros vão utilizar o 13º salário este ano para pagar dívidas. Em segundo lugar ficou a opção daqueles que vão usar parte do 13º para compras, com 17%. Em terceiro lugar veio aqueles que pretendem economizar o dinheiro extra para quitar as despesas de início de ano, como IPTU e IPVA, com 10%. Entre os que pretendem usar o 13º para quitar dívidas, 40% vão destinar os recursos para cobrir o cheque especial, 29% vão quitar dívidas do cartão de crédito, 10% vão retirar o nome de cadastros de proteção ao crédito e outros 10% vão quitar prestações em atraso no comércio. (...) A pesquisa da entidade foi realizada com 624 consumidores durante o mês de outubro deste ano. (http://economia.terra.com.br/noticias/noticia.aspx?idNoticia=200911101736_RED_78539953&idtel=) Quando falamos em porcentagem, uma idéia muito importante está presente na palavra. “Por cento” quer dizer “por cem”, em outras palavras significa dividir por 100. Então, podemos pensar em porcentagem como uma outra representação de frações e decimais. Abaixo, vemos alguns exemplos: 1% = 70% = = 0,7 30% = = 0,3 123% = = 1,23 66% = 247% = 9,347%= 0,31%=
  36. 36. 36 Como calcular porcentagens Método 1) Um dos métodos mais utilizados para calcular porcentagem é a regra de três. Devemos colocar os valores em colunas de acordo com o tipo de grandeza. No exemplo abaixo teremos, respectivamente, a coluna da porcentagem e a coluna dos números (16 é o total e x é o valor que queremos descobrir). Calcule 25% de 16. 100 16 25 b Multiplicando em cruz, temos: 100 x b = 25 x 16 b = 100 1625× b = 4. Logo, 4 corresponde a 25% de 16. Método 2) Vamos calcular a mesma porcentagem, apenas multiplicando 25/100 ou 0,25 por 16. Isso se justifica, pois, como a porcentagem é uma fração de denominador 100, se dividirmos o nosso valor total (no caso o 16) por 100, estaremos descobrindo a centésima parte dele e podemos representar por 16 100 1 100 16 ×= = 1% de 16. Como queremos 25% de 16, temos que considerar 25 vezes o valor       × 16 100 1 . Assim, teremos: 25 x       16 100 1 x , mas como a multiplicação é associativa, podemos multiplicar primeiro 100 1 por 25 e depois o resultado por 16, ou seja, 16x 100 1 x25       . Logo, podemos representar essa porcentagem como 100 25 x 16 = 0,25 x 16 = 4. Portanto, 4 são 25% de 16. Resumindo: O método 2 nos mostra algo interessante. Se quisermos encontrar a porcentagem de um valor, basta multiplicar esse valor pela representação fracionária ou decimal dessa porcentagem, dessa forma, podemos pensar diretamente: 25% de 16 = 0,25 x 16. Exemplo 1: Calcule 35% de 70. × 100 35 70 = 0,35 70 = 24,5. Então 24,5 são 35% de 70. 25% de 16 = 25 x       16x 100 1 = 16x 100 1 x25       = 100 25 x 16 == 0,25 x 16 = 4
  37. 37. 37 Uma idéia importante relacionada à porcentagem é a de proporção. É a ferramenta que usamos quando aplicamos a regra de três, por exemplo. Siga o raciocínio abaixo: Exemplo 2: Calcule 75% de 160. Quando armamos a regra de três, fazemos o seguinte: 160 100% y 75% Assim, encontramos o valor de y, que é 120. A idéia de proporção está presente, implicitamente, como vemos no esquema abaixo. 160-------------------100% 120--------------------75% Se multiplicarmos a linha de cima por 0,75, encontraremos a linha de baixo, mantendo assim a idéia de proporção. Como sabemos que porcentagem é proporção, vimos que 160 está para 120 assim como 100 está para 75. Isso representa, em outras palavras, que: 75 100 120 160 = Exemplo 3: Em uma turma de 52 alunos, 13 vão à escola de bicicleta. Qual a porcentagem de alunos dessa turma que vão para a escola de bicicleta? Vamos descobrir qual a proporção de alunos que vão de bicicleta, em relação aos alunos totais. Para isso, usaremos uma divisão (razão). = 0,25 que representa 25%. Logo, 25% dos alunos dessa sala vão à escola de bicicleta. Note que na regra de três isso também se confirma: 52 100% 13 Y% Multiplicando cruzado, 52 x Y = 13 x 100 Y = x 100 y = 0,25 x 100 y = 25. Assim, 13 é 25% de 52 e 13 está para 52 assim como 25 está para 100. Podemos dizer também que 52 13 = 250 100 25 4 1 ,== = 25% Curiosidades: • Qual valor é maior: 24% de 60 ou 60% de 24? • Quanto é 30% de 70%?
  38. 38. 38 Exercícios 1) Calcule 15% de 70. 2) Calcule 0,5% de 80. 3) 70 corresponde a 40% de qual valor? 4) 32 equivale a que porcentagem de 160? 5) Em um colégio há 5.200 alunos e 45% são meninas. Então, a quantidade de meninos é: a) 2.740 b) 2.850 c) 2.830 d) 2.860 e) n. d. a. 6) (FUVEST) (10%)2 é: a) 100% b) 1% c) 0,1% d) 10% e) 0,01% 7) (Agente administrativo fiscal-Paulista/PE - adaptado ) No interior de Pernambuco, 30% da população é formada por pessoas sem escolaridade. Sabendo-se que esse número de pessoas sem escolaridade corresponde a 63.000 pessoas, qual o total da população desse interior? a) 63.000 b) 210.000 c) 170.000 d) 90.000 e) 18.900 8) “A cada dia o trânsito de São Paulo mata em média 4,3 pessoas (...). São 2 pedestres, 1,3 motociclistas, 0,8 condutor/passageiro, e 0,2 ciclistas mortos por dia.” (Adaptado do O Estado de São Paulo, 8/09/08). De acordo com os dados, dentre as pessoas mortas diariamente com o trânsito de São Paulo, a porcentagem de motociclistas é de, aproximadamente: a) 34% b) 32% c) 30% d) 28% e) 26% 9) (Agente administrativo fiscal - Paulista/PE) Numa sala de aula, 15% dos alunos torcem pelo Sport, 35%, pelo Santa Cruz e 20 pessoas pelo Náutico. Quantos alunos há nesta sala, sabendo-se que todos torcem por somente um desses times? a) 100 b) 90 c) 70 d) 50 e) 40 10) (Agente administrativo fiscal - Paulista/PE) Numa indústria trabalham 345 homens. Esse número corresponde a 57,5% do total de empregados. Ao todo, trabalham nessa indústria: a) 500 empregados. b) 600 empregados. c) 700 empregados. d) 400 empregados. 11) (UFSM) Se nesta prova de matemática de 40 questões objetivas, um vestibulando errar 12 questões, o percentual de acertos será: a) 4,8% b) 12% c) 26% d) 52% e) 70%
  39. 39. 39 Descontos e acréscimos No nosso cotidiano, é muito comum nos depararmos com as frases: “promoção de natal: 25% de desconto em todas as peças da loja” ou “os juros desse financiamento são de 2% ao mês”. Justamente, nesse contexto, encontramos a utilização mais comum do conceito de porcentagem. Porém, apesar de encontrarmos palavras diferentes, as idéias anteriores não mudam. Apenas devemos considerar que juros aumentam o valor e descontos diminuem. Exemplo 1: Se um produto custa 250 reais e conseguimos um desconto de 30%, precisamos pensar o seguinte: não pagaremos o valor total do produto, mas sim 70% dele. Para se convencer disso, segue o raciocínio: 250 – (30% de 250) = 250 – (0,3 250) Colocando 250 em evidência, teremos: 250 (1 – 0,3) = 250 0,7 Assim, estaremos calculando 70% do valor, como definido acima. Exemplo 2: Para a realização de um empréstimo, o banco oferece a seguinte proposta ao seu cliente: 5000 reais divididos em 10 meses, com juros simples de 5% ao mês. Isso quer dizer que, ao invés de pagar 500 reais por mês, o cliente pagaria 500 reais MAIS 5% de 500. Em outras palavras, estaremos pagando 105% do valor do produto. Pense na resolução abaixo: 500 + (5% de 500) = 500 + (0,05 500) Colocando o 500 em evidência; 500 (1 + 0,05) = 500 1,05 = 525 Assim, chegamos ao valor pretendido calculando 105% do valor inicial. Dessa forma, o cliente tomou 5000 reais e pagou 5250 reais, que é 105% de 5000. Curiosidades: • Um desconto de 20% sucedido de outro desconto de 10% resulta num desconto de 30%? • Se um produto teve um acréscimo de 40% e em seguida um desconto de 40%, o preço dele voltou ao valor inicial? Exercícios 12) (ACAFE) Um artigo está sendo vendido com 15% de desconto sobre o preço de tabela. Então, para calcular o valor a ser pago pelo artigo, o preço de tabela deve ser: a) multiplicado por 0,15 b) multiplicado por 0,85 c) dividido por 0,15 d) dividido por 85 e) multiplicado por 85 13) (UCPEL) Um lojista vende um chapéu por R$ 234,00, com lucro de 30%. Então o preço de custo do chapéu é: a) R$ 200,00 b) R$ 180,00 c) R$ 190,00 d) R$ 210,00 e) n.d.a.
  40. 40. 40 14) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? a) 15% b) 20% c) 25% d) 10% e) 50% 15) (ACAFE) Um comerciante marcou o preço de venda de uma mercadoria computando um lucro de 18% sobre o preço de custo. Se, em uma promoção, ele der 18% de desconto sobre o preço de venda, concluímos que: a) ganhará dinheiro. b) perderá dinheiro. c) empatará. d) é impossível determinar, pois não se conhece o preço de venda da mercadoria. e) é impossível determinar, pois não se conhece o preço de custo da mercadoria. 16) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 25% b) 26% c) 44% d) 45% e) 50% 17) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu um aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é de: a) 2,56x b) 1,6x c) 160x d) 2,6x e) 3,24x 18) Acrescentando 22% a R$ 980, teremos: a) R$ 1.145,60 b) R$ 1.195,60 c) R$ 1.097,43 d) R$ 1.002,00 19) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço de tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço da tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 70,00, no cartão sairia por: a) R$ 130,00 b) R$ 110,00 c) R$ 101,00 d) R$ 98,00 e) R$ 77,00 20) (PUC) Um consumidor apressado adquire um automóvel por R$ 10.000,00, pagando um ágio de 30%. O preço de tabela do carro é, em reais: a) 7.000,00 b) 7.692,30 c) 8.333,00 d) 9.700,00 e) 9.969,70 21) (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida de sua altura em 20%, a área desse retângulo é aumentada em: a) 20% b) 22% c) 30% d) 32% e) 40% 22) (ULBRA) O número que somado aos seus 35% vale 162 é: a) 42 b) 100 c) 120 d) 135 e) 270 23) (UFRGS) Uma mercadoria foi comprada por R$ 660,00 a ser paga em três vezes. Se fosse à vista, o comerciante daria 20% de desconto. Qual foi a percentagem do acréscimo sobre o preço à vista que o freguês pagou? a) 15% b) 20% c) 25% d) 28% e) 30%
  41. 41. 41 Matemática financeira Matemática financeira é o campo da Matemática que lida com o dinheiro. Sua aplicação é vista em empréstimos bancários, aplicações financeiras, compras parceladas, cartões de crédito, bolsa de valores entre outras situações. O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma relação entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso acontecia devido ao valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos. Antes do estudo, vamos nos familiarizar com os termos usados seguindo um exemplo cotidiano: Exemplo: Uma pessoa vai ao banco e pega emprestado R$ 15.000,00, a uma determinada taxa, para ser pago dentro de 1 ano. No final desse ano, o valor pago ao banco por essa pessoa foi de R$ 18.500,00. Esse exemplo mostra uma diferença entre o valor pedido de empréstimo e o valor pago. Essa diferença é devida aos juros proporcionados pela taxa imposta sobre o empréstimo inicial. Denominamos de montante o valor final do dinheiro após todo o processo de juros. Assim, vemos que a relação abaixo é verdadeira: em que M = montante; J = juros; C = capital No nosso exemplo, o nosso montante é de R$ 18.500,00. O capital, ou seja, o dinheiro sobre os quais os juros foram aplicados, é R$ 15.000,00. A diferença de entre o valor pago e o valor pedido no empréstimo caracteriza os juros, no caso, J = R$ 18.500,00 – R$ 15.000,00 J = R$ 3.500,00 Tipos de juros Os juros são divididos em simples e compostos. Juros simples O sistema baseado em juros simples é o mais vantajoso para quem compra algo por financiamento ou pede dinheiro emprestado, por exemplo. Essa vantagem se diz pelo fato de que os juros cobrados são sempre os mesmos em todos os meses das prestações, mantendo assim uma linearidade. Exemplo: Uma aplicação financeira, baseada em um sistema de juros simples, no valor de R$ 5.000,00 a uma taxa de 3% ao mês (a.m.) durante um período de 5 meses produzirá um montante e um total de juros de .... Primeiro, o exemplo diz que o sistema de juros é simples, logo vamos pensar nas definições. Como os juros são simples, ele será igual todos os meses. Se a taxa é de 3% a.m., significa dizer que todo o mês, o valor dos juros cobrado será de 3% do capital, no caso 3% de R$ 5.000,00. Já sabemos calcular isso, e o valor encontrado é de R$ 150,00 (0,03. 5000). Isso significa que todos os meses serão cobrados R$ 150,00 a mais no valor da prestação devido aos juros. M = J + C J = M – C
  42. 42. 42 Para calcular o valor total dos juros produzidos, vamos pensar no nosso exemplo: MÊS VALOR INICIAL JUROS NO MÊS VALOR FINAL 1 5.000 5.000 X 0,03 = 150 5.150 2 5.150 5.000 X 0,03 = 150 5.300 3 5.300 5.000 X 0,03 = 150 5.450 4 5.450 5.000 X 0,03 = 150 5.600 5 5.600 5.000 X 0,03 = 150 5.750 Assim, vimos que o montante foi de R$ 5.750,00 e o valor dos juros é de R$ 750,00. Vamos pensar como o valor total de juros foi calculado. Primeiro, descobrimos o valor mensal dos juros. Fizemos isso aplicando a taxa de juros sobre o capital através de um produto, como visto em porcentagem. Em seguida, somamos esse valor tantas vezes quanto o período de tempo determinou, no caso 5 vezes, como mostra o esquema abaixo: J = (5.000 X 0,03) +(5.000 X 0,03) + (5.000 X 0,03) + (5.000 X 0,03) + (5.000 X 0,03) Essa é a soma de cinco parcelas iguais, logo segue que: J = (5.000 X 0,03) X 5 Generalizando, podemos calcular o total de juros simples pela seguinte fórmula: em que: i = taxa de juros e t = período de tempo Como vimos que M = C + J, podemos substituir J e teremos: M = C + (C.i.t) Pondo C em evidência, teremos Observações: * Para fins de cálculo, nunca utilize a taxa i na forma de porcentagem, mas sim na forma decimal ou fracionária. * Veja se a taxa e o período de tempo estão na mesma unidade. Caso contrário, converta uma delas em função da outra. Recomendado é converter o tempo. * Em matemática financeira, o mês comercial tem 30 dias e o ano comercial tem 360 dias. É o usual em cálculos para converter datas. O ano civil tem 365 dias. Exercícios: 24) (PUC, adaptada) – Uma aplicação financeira feita hoje com juros simples de 40% ao ano, será resgatada daqui a um ano por 70 mil reais. A quantia aplicada em reais foi de: a) 55 mil b) 70 mil c) 50 mil d) 42 mil e) 45 mil 25) Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? 26) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação. 27) Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6% a.m., rendeu juros de R$ 2.688,00. 28) Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples? 29) (Prova 2009/2. Matemática financeira UFRGS) Sérgio aplicou R$ 5.000,00 durante 4 anos e 2 meses, a uma certa taxa mensal e simples. No fim da aplicação, resgatou o dobro do valor aplicado. Encontre a taxa mensal e simples da aplicação. J = C.i.t -> fórmula de juros simples M = C.(1 + i.t) -> fórmula do montante simples
  43. 43. 43 30) (TRF – 2005) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 31) (TRF – 2005) - Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 32) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? 33) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Juros compostos O sistema de juros compostos é o mais usado no mercado financeiro. Isso se deve ao fato de ser menos vantajoso para quem paga, sendo assim mais vantajoso para quem recebe. O sistema de juros compostos se caracteriza por ser cumulativo, ou seja, os juros irão incidir sobre o valor da prestação anterior, gerando assim um valor líquido maior. Essa é a diferença com relação aos juros simples, em que os juros são sempre os mesmos todos os meses. Exemplo: Um produto no valor de R$ 2000,00 foi comprado em quatro prestações com 5% ao mês de juros compostos. Calcule o valor total pago ao fim das quatro prestações. A relação M = C + J continua valendo. Vimos na definição que os juros compostos incidem sobre o valor da prestação anterior, assim vamos pensar parcela por parcela: MÊS VALOR INICIAL JUROS VALOR FINAL 1 R$ 2000,00 5% de 2000 = 100 R$ 2100,00 2 R$ 2100,00 5% de 2100 = 105 R$ 2205,00 3 R$ 2205,00 5% de 2205 = 110,25 R$ 2315,25 4 R$ 2315,25 5% de 2315,25 = 115,76 R$ 2431,01 Assim, vimos que o nosso montante composto é de R$ 2431,01. Como M = C +J, segue que: J = M – C J = 2431,01 – 2000 J= R$ 431,01 Os juros são a diferença entre o valor final após a incidência de juros (montante) e o valor inicial (capital). Vamos agora tentar deduzir um cálculo para o montante composto. No nosso exemplo, vimos que o montante foi obtido quando fizemos acréscimos de juros sobre juros no nosso capital. O cálculo feito na tabela acima foi: 2000 X (1 + 0,05) X (1 + 0,05) X (1 + 0,05) + (1 + 0,05) Fazemos incidir acréscimos de 5% em todas as parcelas. Como (1 + 0,05) aparece multiplicado 4 vezes, podemos então escrever como uma potência. 2000 X ( )40501 ,+ = 2431,01
  44. 44. 44 Generalizando, temos que: em que: M = montante C = capital i = taxa de juros t = tempo Substituindo a fórmula acima em M = C + J, temos: Exercício resolvido: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 37.000,00 à taxa composta de 4,1% a.m. após 60 dias. Vamos primeiro identificar quais são os valores apresentados no problema: i = 4,1% ao mês = 0,041 O tempo é de 60 dias. Como a taxa está ao mês e o tempo em dias, temos que transformar o tempo conforme manda a taxa. Como o mês comercial tem 30 dias, 60 dias serão 2 meses. Assim, t = 2. C = R$ 37.000,00 M = ? Queremos encontrar o valor do montante, pois é o valor do capital após ter sido aplicada uma taxa de juros após um determinado período de tempo. Usando a fórmula do montante, teremos: M = C ( )ti1 + M = 37000 ( )204101 ,+ M = 37000 (1,041)2 M = 37000 (1,083) M = R$ 40071,00 Exercício resolvido: Um empréstimo de R$ 3.000,00 será pago em 3 parcelas mensais com uma taxa composta de 2% a.m. calcule o valor dos juros. Identificando os valores: i = 2% ao mês = 0,02 t = 3 meses C = 3000 J = ? Usando a fórmula dos juros compostos, temos que: J = C [ ( )ti1 + – 1] J = 3000 [ ( )30201 ,+ -1] J = 3000 [(1,02)3 – 1] J = 3000 [(1,061) – 1] J = 3000 [0,061] J = R$ 183 Exercícios: 34) Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. 35) Para um capital de R$ 25.000,00 aplicados durante 90 dias aos juros compostos de 5% a.m., calcular o montante. Dica: a taxa e o tempo têm que estar na mesma unidade. O mês tem 30 dias. 36) Um determinado capital, aplicado a juros compostos de 40% ao ano durante 4 anos resultou num montante de R$ 10.000,00. Encontre o capital. M = C ( )ti1 + -> fórmula do montante composto J = C [( )ti1 + – 1] -> fórmula do juro composto
  45. 45. 45 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Vamos agora aprofundar um pouco mais o estudo das proporções. Como vimos anteriormente, grandezas proporcionais são aquelas que crescem ou decrescem através da multiplicação ou divisão pelo mesmo número (o fator da proporção). Dessa forma, uma proporção é uma igualdade entre duas divisões (razões). Esse tipo de proporção é chamado de Proporção Direta. Exemplos: 1) Se uma pessoa gasta 600 calorias andando de bicicleta a cada hora, quanto gastará em 5 horas mantendo a mesma velocidade? 5 x 1 600 = , assim 5.600 = x e então x = 3000 calorias. 2) Mantendo uma mesma velocidade, um carro percorre 500 Km em 10 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 30 horas? 30 x 10 500 = 10x = 500.30 e assim x = 1500 Km Além da proporção direta, temos outra relação entre razões que chamamos de Proporção Inversa. Ela aparece quando uma grandeza varia na razão inversa à da outra; nesse caso enquanto uma grandeza cresce a outra decresce. Exemplo: Quatro pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Em quantos dias 10 pedreiros farão o serviço, considerando que todos trabalhem de forma igual? Temos: pedreiros dias 4 300 10 x Nesse caso, não podemos multiplicar em cruz, como estávamos fazendo, pois encontraríamos a resposta de 750 dias. Porém, se tivermos 10 pedreiros, não é possível que demorem mais tempo do que apenas 4. Além disso, sabemos que as grandezas são inversamente proporcionais: se dobrarmos o número de pedreiros, o serviço será feito em metade do tempo; se triplicarmos o número de pedreiros, o serviço será feito em um terço do tempo e assim por diante. Temos três maneiras de resolver essa questão: a) Invertemos uma das colunas e multiplicamos em cruz (para isolar o x): 300 x 10 4 = , obtendo 4 . 300 = 10. x Assim chegamos a 120 dias. Nesse caso, precisamos inverter uma coluna para manter a equivalência das frações, uma vez que sabemos que a nova quantidade de dias (120) será menor do que a anterior (300), na mesma razão em que 4 está para 10. b) Ou, ao invés de multiplicar em cruz, multiplicamos diretamente: 4 300 10 x 4 . 300 = 10 . x E assim, logicamente, chegamos ao mesmo resultado: 120 dias. Isso se justifica, pois nesse exemplo, estamos calculando a quantidade de dias que precisamos para construir a casa de acordo com a situação atual que temos (4 . 300 = 1200 dias) e depois podemos pensar em quantos dias precisaríamos se fossem 10 pedreiros: 1200/10 = 120 dias). c) Ou, ainda, observamos que ao aumentar o número de pedreiros de 4 para 10, o fator de multiplicação foi 2,5 , pois 4 x 2,5 = 10 (pois 10 ÷ 4 = 2,5). Assim, para calcular o tempo necessário, devemos usar a razão inversa, isto é, devemos dividir 300 por 2,5. Mas 300 ÷ 2,5 = 120.
  46. 46. 46 Exercícios 38) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhado 8 dias a mais? a) R$ 12.300,00 b) R$ 10.400,00 c) R$ 11.300,00 d) R$ 13.100,00 e) R$ 13.200,00 39) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro? 40) (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00. b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00. c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00. d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00. e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00. 41) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura? a) 290m b) 390m c) 490m d) 590m e) 690m 42) Para alimentar 6 cães Fila Brasileiro são necessários 400 kg de ração em um mês. Quantos cães, da mesma raça e mesma demanda alimentar, podem ser alimentados com 600 kg de ração no mesmo período? a) 4 b) 9 c) 25 d) 30 43) Se 4 técnicos gastam 60 horas para montar uma certa máquina, 12 técnicos gastariam quantas horas para montar essa mesma máquina? a) 60 horas; b) 30 horas; c) 20 horas; d) 40 horas; 44) Três caminhões transportam 300m³ de pedras. Para transportar 1500m³ de pedras, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários? 45) Um trabalho é feito por 21 teares em certo tempo, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para realizar o mesmo trabalho no mesmo tempo? 46) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 47) Todo dia, em uma empresa, chegam 300 fichas que devem ser digitadas no computador. Atualmente 5 pessoas fazem esse serviço em 3h. Se forem colocadas mais 10 pessoas, o tempo para digitar essas 300 fichas será de: a) 1h; b) 2h; c) 3h; d) 6h; 48) Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 20 caminhões com capacidade de 4m3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 5m3 , quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
  47. 47. 47 UNIDADE V - Números Negativos De onde vieram os números negativos? Os números negativos passaram tempos difíceis ao longo da História da Matemática. Eles apareceram pela primeira vez na China antiga. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de carneiros, nem campos com comprimento negativo. Enquanto a noção de número estivesse ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser, naturalmente, concebidos nem aceitos. Mas eles teimavam em aparecer nas soluções dos problemas. A situação mudou a partir do Século XVIII, quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos orientados de sentidos opostos. Hoje, os números negativos fazem parte do nosso quotidiano. Onde encontramos os números negativos? • Fuso horário • Painel do elevador • Balanço de uma empresa Vendas industriais de aparelhos domésticos Variação percentual Linha branca Jul-ago-set/94 e Jul-ago-set/95 Refrigeradores 15,06 % “Freezers” verticais -4,97 % Congl./Conser. Horiz. 42,61 % Lavadoras automáticas -18,18 % Fogões -0,17 % Condicionadores de ar 83,45 %
  48. 48. 48 • Inflação • Crescimento da população • Balança eletrônica • O que significa a balança estar marcando -69g? • Quantas gramas têm um objeto colocado sobre a balança sendo que o marcador indica -32g? • Qual será a variação de peso quando o marcador indicar 18g? • O que indica o “zero” na balança?
  49. 49. 49 Zero relativo Chamamos de zero relativo um ponto de referência que indica que existe algo antes e depois dele, como por exemplo: • A.C – 0 – D.C.: Chamamos de ano “zero” o ano do nascimento de Cristo. O tempo não começa no ano zero, de modo que o ano zero é arbitrário(relativo) e não um ponto inicial que represente “nenhum tempo” ou a ausência de tudo. • Altitudes O nível do mar é a altitude zero, mas não existe nada abaixo deste nível? • Temperatura Utilizamos como unidade de medida no termômetro a escala Celsius. Nela, o zero indica o ponto de congelamento da água. Na cidade de Gramado, por exemplo, quando a temperatura ficar abaixo de zero, poderemos brincar na neve. Existem outros sistemas de medidas de temperatura que são a escala Fahrenheit e a escala Kelvin. Nesta última, não existem valores abaixo de zero, portanto, nela o zero é absoluto.
  50. 50. 50 • Saldo de gols Quando o saldo de gols é igual a zero, o número de gols feitos é igual ao número de gols sofridos. Isso não significa que a equipe não fez nenhum gol. • Conta corrente Neste exemplo, podemos dizer que a condição do zero depende do tipo de conta do indivíduo. Se em sua conta ele não possuir limite de crédito, quando não houver mais dinheiro, o zero será absoluto. Mas se sua conta possuir limite de crédito, então o zero será relativo. Para pensar... •Em que dia constata-se a menor dívida? •Que cálculo foi feito para que no dia 30 o saldo estivesse em R$ -55,26?
  51. 51. 51 Exercícios: 1. O saldo bancário de Carolina estava em R$ -55,26. O gerente do banco estava cheio de tarefas e acabou por fazer uma grande confusão: Carol havia solicitado que fosse feito o pagamento de uma fatura de luz no valor de R$ 138,44 através de sua conta corrente. Logo em seguida, outro cliente solicitou ao mesmo gerente que fosse feito o pagamento de uma fatura de água no valor de R$ 79,50, também debitando em conta corrente. O gerente realizou a operação toda na conta de Carol. Quando ele percebeu a confusão, realizou um estorno do valor errado. a) Ao debitar todo dinheiro da conta de Carolina, de quanto ficou o saldo total? b) Para a realização do estorno, que conta o gerente teve que fazer, sem sua calculadora? Qual o novo saldo da conta de Carolina? c) Carolina não quer mais dever ao banco, e para isso deverá creditar um valor em sua conta. Que valor é esse? Como fica esse cálculo? 2. (OBMEP) Num quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. Verifique! 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Complete os cinco números que faltam para que o quadrado abaixo seja um quadrado mágico. -12 -4 0 4 Multiplicação de números relativos Supondo que a e b são números positivos, o que acontece se eu multiplicar: • a x b? • a x (-b)? • (–a) x b • (-a) x (-b)? Vamos pensar: 3 × (-3) = 523 2 × (-3) = 1 × (-3) = 0 × (-3) = (-1) × (-3) = Exercício: 3. (PPGEP - UFRGS) Se x e y são números negativos, qual das opções abaixo corresponde, certamente, a um número negativo? a) –x + y b) [-(xy)]2 c) (x - y)2 d) [-(xy)]³ e) x/y
  52. 52. 52 x y z a -12 16 -4 b 8 0 -8 c 4 -16 12 Escopa do Zero 1. Jogar em grupos de 2 a 4 jogadores. 2. Escolhe-se um dos jogadores para embaralhar e distribuir as cartas. 3. Inicialmente o jogador-distribuidor vira as 4 primeiras cartas colocando-as no centro da mesa. 4. A seguir distribui 3 cartas para cada jogador. 5. O primeiro a jogar escolhe uma de suas cartas de modo que possa formar, com aquelas da mesa, uma adição que resulte “zero”. Por exemplo: se em sua mão estiver a carta (-3) rse na mesa estiverem as cartas (-2), (-7), (+5), (+8), ele poderá formar “zero” usando as cartas da mesa (-2) e (+5). As três cartas são recolhidas para o monte deste jogador. 6. O segundo jogador dá seqüência à jogada procedendo da mesma forma. E assim procedem os demais. 7. Caso um jogador não consiga combinar uma de suas cartas com aquelas da mesa de modo a obter soma “zero”, o jogador simplesmente deposita uma de suas cartas no centro da mesa dando seqüência ao jogo. 8. Quando um jogador conseguir combinar com uma de suas cartas uma soma “zero” com todas as da mesa, este jogador limpa a mesa e diz-se que ele fez ESCOPA. Para melhor indicar a escopa feita ele coloca uma carta transversalmente no seu monte. 9. Não havendo cartas na mesa, o jogador seguinte apenas deposita no centro da mesa uma de suas cartas e passa sua vez. 10. Completada a primeira rodada (isto é, quando todos os jogadores ficarem sem nenhuma carta na mão) serão distribuídas mais três cartas para cada jogador. Isso será repetido até que o baralho acabe. 11. Contagem de pontos: Terminado o jogo, pode-se combinar que cada ESCOPA vale 2 pontos e cada 5 cartas valem 1 ponto. Por exemplo: se um jogador fez uma ESCOPA (2 pontos) e recolheu 14 cartas (2 pontos) terá conseguido 4 pontos. Desafio Um detetive persegue um assassino nas escadas de um edifício. O detetive está no degrau x e o assassino está no degrau y. Não conto quanto é x nem y, mas deixo uma pista: x – y = -5. Agora responda: eles estão subindo ou descendo a escada? Respostas dos exercícios: Questões sobre extrato: A menor dívida ocorre no dia 30, pois neste dia o saldo final está em R$ -55,26.Para atingir o saldo de R$ -55,26, pega-se o saldo final do dia anterior (R$ -65,26) e desse saldo, somam-se e subtraem- se os valores relativos aos movimentos na conta: -65,26 + 130 + 10 – 120 - 10 = -55,26. 1. a) O saldo ficou de R$ -273,20, pois do saldo inicial, subtraímos os valores debitados: -55,26 – 138,44 – 79,50 = -273,20 b) O novo saldo de Carol é R$ -193,70, porque o gerente teve que retirar R$ 79,50 que foi debitado indevidamente: -273,20 –(-79,50) = -273,20 + 79,50 = -193,70 ; c) O valor a ser creditado é de R$ 193,70, pois: -193,70 + x = 0 → x = 193,70. 2. Como temos na diagonal secundária, 4 + 0 – 4 = 0, então o valor “mágico” deste quadro é zero. 3. Alternativa D. Como x e y são negativos, xy será um número positivo. Então –xy é negativo. Toda potência de expoente ímpar terá o mesmo sinal da base, portanto [-(xy)]³será sempre negativo. Desafio: não existe número negativo de degraus, portanto, para x – y dar um resultado negativo, então y terá que ter um valor maior que x. Com isso poderemos verificar que eles estão subindo, porque y > x.
  53. 53. 53 GABARITO E DICAS PARA A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Unidade I – Números Naturais Primeira Parte (página 5) Questão 1: Letra E Questão 2: Letra D Questão 3: Letra D Questão 4: Letra E Questão 5: Letra E Questão 6: Letra D • Qual o total de alunos que viajaram em pé? • Se, desse total, 3 eram do sexo masculino, então quantos eram do sexo feminino? Questão 7: Letra D • Lembre que juros é o valor que pagamos a mais do valor inicial. Números Naturais - mais questões (páginas 6 e 7) Questão 1: Letra C Questão 2: Letra B • Qual o total de dias? • Quantos dias têm uma semana? Sabendo isso você poderá calcular quantas semanas cabem neste total de dias. • Não esqueça de descontar os sábados e domingos. Questão 3: Letra C Questão 4: Letra A Questão 5: Letra A Questão 6: Letra B Questão 7: Letra B • O valor relativo de um número é representado pelo valor do algarismo seguido de tantos zeros quantos sejam os algarismos que o sucedem no número. Questão 8: Letra A • Chamamos de x o número de pessoas que pagaram R$ 3,00 e de y o número de pessoas que pagaram R$ 6,00. Então, temos que: x + y = 510 pessoas foram à exposição. • Se “x” pessoas pagam R$ 3,00 mais “y” pessoas pagam R$ 6,00, resulta em R$ 2490,00 arrecadados, então: 3x + 6y = 2490 • Agora que estruturamos as duas equações, podemos encontrar o número de visitantes que pagaram R$ 3,00 isolando o x da primeira equação. Questão 9: Letra B • Nesta questão temos que anotar TUDO que for dado. Depois, podemos montar um diagrama de conjuntos para enxergar melhor e inter-relacionar os valores. 10 pessoas acertaram as duas questões: • Seguir completando o diagrama com os dados fornecidos na questão. Questão 10: Letra C • Vamos chamar a pessoa mais velha de A e a mais nova de B, assim podemos estruturar equações como no exercício 8 para chegarmos ao resultado. Questão 11: Letra C Questão 12: Letra E • Lembre-se que, os termos de uma subtração recebem os seguintes nomes: a - b = c, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e c é o resto. Questão 13: Letra B Múltiplos, divisores e números primos – (p. 8 a 10) Questão 1: Letra B Questão 2: Letra E Questão 3: Letra A Questão 4: Letra D Questão 5: Letra C Questão 6: Letra B Questão 7: Letra C Questão 8: Letra C • Vamos chamar de a o número que o aluno multiplicou por 5 e de b o resultado que encontraria se multiplicasse por 50. A intenção do aluno era fazer a x 50 = b, mas por engano fez a x 5 = b – 15615. • Agora que encontramos duas equações, podemos descobrir o valor do número que o aluno devia ter multiplicado por 50.
  54. 54. 54 Questão 9: Letra D • João Pedro coleciona apenas peças cuja numeração é um múltiplo de 7, portanto devemos relacionar o número de múltiplos de 7 e suas respectivas pontuações. Questão 10: Letra D • Para resolver este problema, devemos transformar todos os dados informados para a mesma unidade de tempo. Questão 11: Letra E • Lembre-se que, os termos de uma divisão recebem os seguintes nomes: a = b x q + r, onde: a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto. Questão 12: Letra B • Dê uma estudada nos critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5 que estão nas páginas 1 e 2 da apostila. Questão 13: E • Divida os habitantes em cinco grupos iguais e aplique a informação de que um em cada cinco habitantes tem, no máximo, 10 anos de idade. Questão 15: D Questão 16: E • Lembre-se que para um número ser divisível por 3, a soma de todos os seus algarismos deve ser divisível por 3. Questão 17: D Questão 18: D Questão 19: C • Como são cinco meninos e todos escolheram números ímpares, teremos uma soma de cinco números ímpares. Questão 20: D • Sabemos que 10000 é o menor número natural de cinco algarismos e também divisível por 8. • 9 é maior número de um algarismo que é divisível por 9. Questão 21: C Questão 22: E Questão 23: D • Na fatoração dos números 300 e 192, encontramos as seguintes relações: 300 = 12 x 25 192 = 12 x 16 • Agora, analise estas informações para chegar ao resultado. Questão 24: E • Uma peça tem o custo de 15,00 + 600,00 = 615,00 reais. • n peças custam = 15,00 x n + 600,00 reais. • E o valor recebido será = 85,00 x n + 600,00 reais. Unidade II – Números Decimais Primeira parte (p. 12 a 16) Questão 6: Letra D • Quantas horas a minhoca demorou para percorrer uma milha (1600km)? • E se ela não tivesse parado para descansar, quanto tempo teria levado? • Então, quantos metros ela pode percorrer em uma hora? E em 15 minutos? Questão 7: Letra A • Quantos decímetros tem um metro? • Vamos considerar que um metro cúbico equivale a um cubo fomado por quadrados cujos lados medem 1 m. • Tente esboçar um cubo de 1 m³. • Quantos dm³ cabem em 1 m³? • Lembre que 1 dm³ equivale a um litro. Questão 8: Letra D Questão 9: Letra C Questão 10: Letra D Questão 11: Letra B Questão 12: Letra C Questão 13: Letra B • Quantos minutos têm 0,5 horas? Questão 14: Letra E Questão 15: Letra D  

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