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Notas de aula. Cálculo 1. Aula 2

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  1. 1. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo Aula 2 – Definição de Limite e propriedadesDEFINIÇÃOSeja um intervalo aberto ao qual pertence o número real . Seja uma funçãodefinida para x  I  a . Dizemos que o limite de f  x  , quando tende a , é eescrevemos lim f  x   L , se para todo 0 , existir 0 tal que se 0 x  a  então x af  x   L  .  lim f  x   L  0, 0 0 x  a   f  x   L  x a Problema 6. Use a definição de limite e demonstre que .SoluçãoDevemos mostrar que, para qualquer , existe tal que: | | |( ) |Notemos que |( ) | | | | | | |Assim, se escolhermos , teremos: | | | |( ) |De fato se | | | | | | | | |( ) |Problema 7. Demonstre usando a definição que:a)b)03 de março de 2013. Prévia.
  2. 2. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de MeloPara outros exemplos mais sofisticados ver referência.Se não fossem as propriedades que listaremos adiante, todas as questões de limitedeveriam ser resolvidas pela definição, um trabalho enfadonho e engenhoso.UNICIDADE DO LIMITE1 Se lim f  x   L1 e lim f  x   L2 então L1  L2 . x a x aEste teorema garante que o limite é único. Vale relembrar que a imagem da funçãopode não coincidir com o limite em dado ponto.Na aula anterior foram realizadas algumas operações intuitivamente. No entanto é devital importância que se tenham estas propriedades a seguir, pois são elas garantemcertas operações na resolução de problemas envolvendo limitesPROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO2 Se é a função definida por f  x   c , c  R , x  R , então limc  c . x a3 Se c  R e lim f  x   L então lim c  f  x   c  lim f  x   c  L . x a x a   x a 4 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   L  M . x a x a x a5 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   L  M . x a x a x a  Lema 1. lim f  x   L se, e somente se, lim f  x   L  0 . x a x a  Lema 2. lim f  x   L e lim g  x   0 então lim  f  g x   0 . x a x a x a6 Se lim f  x   L e lim g  x   M então lim  f  g x   LM . x a x a x aGeneralizando:  n  nSe lim fi  x   Li então lim   fi   x    Li , i  Z , 1  i  n .  x a x a  i1  i103 de março de 2013. Prévia.
  3. 3. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo n O símbolo  f (lê-se: Produtória dos fatores f , com i  Z i 1 i i  , 1  i  n ) e significa: nf  f  f i1 i 1 2  f3  ...  fn .)7 Se lim f  x   L então lim  f n  x   Ln,n  Z . x a x a Lema 3. Se lim f  x   L  0 então ,N 0 x  a   f  x  N . x a 1 1 Lema 4. Se lim g  x   M  0 então lim  . x a x a g  x  M f L8 Se lim f  x   L e lim g  x   M  0 x a x a então lim    x   x a .  g M9 Se lim f  x   L e lim n f  x   n L , L  0 e i  Z ou L0 x a x a e n é ímpar.LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL n10 Se f  x   a0  a1x  a2 x2  ...  an xn   ai xi , , então i 0 n   lim  ai xni   f  a  .x a  i 0 Em particular, .ReferênciasIEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de matemáticaelementar-8: limites, derivadas e noções de integral. São Paulo: Atual, 2005.03 de março de 2013. Prévia.

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