1. O documento apresenta 23 exercícios sobre vetores que abordam conceitos como soma, diferença, módulo, coordenadas e colinearidade de vetores.
2. Os exercícios incluem determinar coordenadas de vetores, verificar propriedades algébricas e geométricas e calcular expressões envolvendo vetores.
3. Figuras geométricas como losango, hexágono e paralelepípedos são usadas para representar situações e definir vetores nos exercícios.
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
Ft 6 vetores
1. ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
6ª Ficha de Trabalho- Vetores
MATEMÁTICA – A
10º Ano
2012/2013
1 - ABCD é um losango:
a) Indique quantos segmentos orientados podemos
definir:
com os lados do losango;
com os vértices do losango.
b) Indique quantos vetores distintos podemos definir:
com os lados do losango;
com os vértices.
2 – Indique as componentes e as coordenadas de cada um dos vetores representados na
figura.
3 – Considere os pontos : A(3;2) ; B(3;3) ; C(5;3) ; D(4;4) ; E(5;5) ; F(5;6) ; G(4;7) ;
H(2;6) ; I(3;5) e J(1;6).
a) Justifique que BA FE .
b) Escreva as coordenadas de : JH ; BD ; AC ; GD e HF
4 – No referencial o . n. (O, i , j ) represente o vector:
a) 3i 5 j ;
b) de coordenadas (0;1) ;
c) de coordenadas (3;2) ;
d) de coordenadas (2;0) .
Página 1 de 4
2.
5 – Sendo v CD , v ( 1;3 ) e D (1;0) , determine as coordenadas de C.
6 – Dados A (1;5) e B (6;3) ,determine as coordenadas de M , sabendo que OM AB .
7 – O paralelogramo ADLI está dividido em seis paralelogramos geometricamente
iguais.
a) Com os elementos da figura, indique::
dois segmentos orientados equipolentes;
dois vetores com a mesma direcção, o
mesmo sentido e comprimentos diferentes;
dois vetores simétricos;
b) Observe a figura e complete de modo a
obter proposições verdadeiras:
b.2) E ....... J
b.1) F HD ......
b.5) BC ........ BC b.6) AL ..... 0
b.9)
b.10)
2 AB .....
b.3) IJ KC ......
b.4) ....... BJ AJ
b.7) AB AC ...... b.8) AC LI .....
FG CB ....
8 – Considere os pontos P2;1 , Q5;2 , R3;1 e S 3;1 .
Determine as coordenadas de:
a)
b) PQ RS
Q QR
c) R 3QS
d) PP PS
1
1
1
9 – Considere os pontos A 3; , B 2; , C ;0 e D 2;3 . Determine as
2
3
2
coordenadas do ponto P sabendo que :
a) OP AB
b) OP CD
c) AP AB BC
d) PB AC 2 BD
10 – Sendo a , b e c três vetores quaisquer do plano, simplifique:
1
4 5
a) 2 a - b - 3 a b
b) 2 a b - 8 c
c) 2a c c a
2
3
3
11 – Considere os vetores a 5i 3 j , b 2i j , c 2i e d 5 j num referencial
o .m. O, i, j . Determine as coordenadas de cada um dos vetores:
1
a) a b c d
b) a b c d
c) 2 a b c
a 2b c
d)
2
e) a b c
1 2
i) b c d
2
5
f)
a b c
g) a b c
h) a b d
j) a 2 b 3 c
Página 2 de 4
3. 12 - AB é um diâmetro de uma circunferência de centro C.
Sabendo que A 1;3 e C 2;0 , determine as coordenadas de B.
13 – Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições:
a) A soma de dois vetores é um vetor;
b) A soma de um ponto com um vetor é um vetor;
c) O produto de um número real, não nulo, por um vetor, é um vetor com a mesma
direcção;
d) O produto de um número real, não nulo, por um vetor, é um vetor com o mesmo
sentido.
14 – Determine a norma dos vetores:
a) u 3;0
e)
3 2
b
2 ; 2
b) v 0;5
c) w 1;2
3 1
d) a
2 ; 2
f) AB em que A0;3 e B3;0
15 – Verifique se são colineares os seguintes pares de vetores:
2
a) u 4;1 e v (8;2 )
b) u ;1 e v (4;1)
3
3
c) u 2 i e v i
d) u i j e v 3 i 3 j
5
16 – Para cada um dos seguintes pares de vetores, determine x de modo que sejam
colineares:
a) a 2; x e b 20;30
c) a 5; x e b 0;0
b) a x;2 e b 0;16
d) a 3x 1;1 5x e b 2; 3
17 – Num referencial o .m. O, i , j é dado o vetor a 3 i 5 j . Determine pelas suas
coordenadas o vetor:
a) colinear com a e com o triplo do seu comprimento;
b) colinear com a , com o sentido oposto ao de a e o dobro do seu comprimento;
c) que tem a mesma direcção de a e a terça parte do seu comprimento.
18 – Determine, num referencial o .n. O, i , j , as coordenadas dos vetores:
a) u colinear com o vetor v 3 i 4 j e de norma 4;
b) x colinear com o vetor u 1, 3 e de norma 10;
c) v colinear com o vetor u 4, 3 , de norma 12 e com sentido oposto a u .
Página 3 de 4
4. 19- a) Verifique se o hexágono ABDFGI da
figura é regular;
b) Averigúe se os vetores AF e BD têm
a mesma direcção;
c) Determine os números reais k e s de
modo que:
HE k GF
FD s BG
d) Determine a área do hexágono.
20 – Considere num referencial o .n. O; e ; f ; g
o vetor u 3e f 4 g . Calcule:
os pontos M (1;2;5) , N (2;0;3) e
a) As coordenadas do vetor MN ;
1
b) As componentes do vetor 2u MN ;
2
c) As coordenadas do ponto A onde está aplicado o representante do vetor u que
termina em M;
d) As coordenadas do vetor x colinear com u e de norma 52 ;
e) As coordenadas do ponto médio de MN .
21 – Averigúe se são colineares os vetores a 0.1; 3; 5 e b =
0.12;
3.6; 6 .
22 – Calcule a ordenada de um vetor a 2; y;6 sabendo que a sua norma é 7.
D
N
C
23 – A figura representa 2 paralelepípedos iguais
com a face MNPQ comum.
1. Calcule:
A
a) EA PG
B
M
b) AB DH
c) Q HP 2 NC
H
P
G
2. Sendo H a origem do referencial H E; H P; H D
os eixos coordenados,
HE HP 1 e HD 2 HP .
E
Q
F
Indique as coordenadas de : M , B , C, HB , PC
GC , HB PC , 2GC 3HB .
Página 4 de 4