1. O número Fi, a Razão Áurea e a Seqüência de Fibonacci
Eni Aparecida Sivera Bertolini
A razão áurea é um dos assuntos – em Matemática – que chama muito a
atenção. Existem muitas curiosidades sobre o assunto, como por exemplo, ela
aparece nas galáxias, na torre símbolo da cidade de Toronto no Canadá, na
Última Ceia pintada por Leonardo da Vinci.
O Matemático Italiano Leonardo de Pisa nasceu na Itália por volta de 1175 e
ficou conhecido como Fibonacci, pois era filho de um comerciante italiano
chamado Bonaccio. A partir da publicação do livro do Ábaco em 1202,
Fibonacci tornou-se famoso, principalmente devido aos inúmeros temas
desenvolvidos nesse trabalho. Nele aparecem estudos sobre o clássico
problema de reprodução de um casal de coelhos, o qual foi a base para o
estabelecimento da célebre seqüência dos números de Fibonacci.
O problema era assim: Um casal de coelhos procriam uma vez por mês, esses
filhotes demoram 2 meses para crescer e geram um novo casal de coelhos. Ao
longo de 12 meses, quantos coelhos serão gerados a partir de um único casal?
Como resposta, temos: no 1º mês – 01 casal; no 2º mês – 01 casal; no 3º mês
– 02 casais; no 4º mês – 03 casais; no 5º mês – 05 casais; no 6º mês – 08
casais; no 7º mês – 13 casais; no 8º mês – 21 casais; no 9º mês – 34 casais;
no 10º mês – 55 casais; no 11º mês – 89 casais e no 12º mês – 144 casais.
O interessante dessa resposta é que existe uma seqüência com uma
propriedade curiosa,conhecida como Seqüência de Fibonacci. O resultado da
soma é obtido através da soma dos dois números anteriores. Veja só:
1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34 ...
Esse estudo de Fibonacci aparece em outras situações: As abelhas vivem em
colônias chamadas Colméias e nem todas tem pai e mãe. O macho da família
de abelhas, chamado zangão, é chocado de ovos não fertilizados
(partogênese), em função disso, cada zangão não tem pai, mas têm um avô
por parte materna. Em cada colméia há funções bem definidas: A Rainha tem
como única função pôr ovos. A única função dos zangões é fecundar a Rainha.
Como nascem de ovos não fecundados, apenas têm mães.

2. Analisando a árvore genealógica de um zangão, verificamos que o nº de
ascendentes de uma abelha, quer macho, quer fêmea é a seqüência de
Fibonacci.
O número do ouro, cujo símbolo é a letra grega Fi é extraído da sequência de
Fibonacci e representa diretamente uma constante de crescimento. A partir da
descoberta de Fibonacci, os cientistas começaram a estudar a natureza em
termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas:
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de
Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...) na qual cada número é a soma dos
dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior.
Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez
maior.
O número Fi também conhecido como a “Divina Proporção” não é mais do que
um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é
considerado por muitos o símbolo da harmonia.
A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos
numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e
outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou
proporção divina.
No Egito as pirâmides foram construídas tendo em conta a razão áurea: a
razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande
pirâmide é igual ao número de ouro.
Cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo; a de baixo era 1,618
maior que a pedra de cima, que era 1,618 maior que a 3ª fileira e assim por
diante.
Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro de Rhind que
mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado
aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático
na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita
hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma
«razão sagrada» que se crê ser o número de ouro.
No mundo vegetal, o número Fi e a seqüência de Fibonacci surgem em muitas
situações, o modo como as sementes de um girassol estão dispostas, assim
como na organização das sementes na coroa das flores. Outro bom exemplo é
o abacaxi, essa deliciosa fruta, onde podemos ver as espirais formadas pelos
gomos da casca. Cada gomo tem a forma aproximada de um hexágono e
participa de três espirais que se cruzam. Formando o menor ângulo com o eixo
do abacaxi, 8 espirais paralelas circulam a fruta. Com um ângulo maior, são 13
espirais paralelas e com ângulo maior ainda, são 21 espirais. Ou seja, 8, 13 e
21 que são números sucessivos na seqüência de Fibonacci.
Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus
galhos. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com esses

3. números A planta Achillea ptarmica possui estas características. Os botânicos
acreditam que essa disposição permita melhor aproveitamento da luz solar e
maior exposição às gotas da chuva.
É espantosa a grande quantidade de situações onde a seqüência de Fibonacci
aparece no reino animal como nas espirais de uma Concha Nautilus, nos
chifres de cabras da montanha, nos marfins de elefantes, no rabo do cavalo
marinho e outros.
Podemos ver Fi espalhado por todo o nosso corpo: É só medir a distância que
vai do alto da cabeça até o chão, e depois dividir o resultado pela distância do
umbigo até o chão. Ao medirmos a distância de um ombro até a ponta dos
dedos, e depois dividir pela distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos,
obtemos o PHI. Ou mesmo medindo a distância dos quadris até o chão, e
dividindo pelo joelho até o chão. Veremos PHI nos nós dos dedos, nos
artelhos, na divisão da coluna vertebral...
Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem
Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci. A excelência dos desenhos de Da Vinci
revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão
áurea, que garante perfeição, beleza e harmonia únicas.
O retângulo áureo é um objeto matemático que marca forte presença no
domínio das artes, notadamente na arquitetura, na pintura e até na publicidade.
Até mesmo nas situações mais práticas do nosso cotidiano encontramos
aproximações do retângulo de ouro, como por exemplo, o formato dos cartões
de crédito, bilhetes de identidade, assim como a forma retangular da maior
parte dos nossos livros.
Outra característica geométrica importante refere-se às propriedades do
retângulo áureo. Se construirmos um retângulo cujos lados estejam na
proporção áurea e dentro dele desenharmos um quadrado a partir de seu
menor lado, o retângulo restante também será áureo. O processo pode ser
repetido indefinidamente, resultando sempre num novo retângulo áureo.
Construindo um quarto de circunferência em cada quadrado obtêm-se uma
espiral logarítmica que se curva de forma simétrica e contínua para o interior do
retângulo. Talvez por isso muitos chamem esse processo de “janela para o
infinito”.
O retângulo áureo é muito conhecido devido à proporcionalidade existente
entre suas partes. Quando se constroem sucessivamente quadrados cujos
lados são números de Fibonacci, os retângulos obtidos são cada vez mais
próximos de retângulos áureos.
O nautilus é um molusco que possui uma concha de estrutura espiralada. Esta
espiral apresenta um formato espiral que se encaixa aproximadamente a um
retângulo áureo Observando a estrutura interna da concha do nautilus,
podemos notar a igualdade entre ela e a espiral construída a partir da
seqüência de Fibonacci.

4. Podemos encontrar ou aplicar o retângulo áureo e a Seqüência de Fibonacci
nos mais diversos elementos que compõem o mundo, sejam em seres vivos,
fenômenos da natureza, acontecimentos, operações, análises, etc.
Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possível
encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas
copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores.
Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes
das flores, em frutos e pinhas. Ou seja, ao nosso redor na natureza
na vida.
Na pintura do renascimento destaca-se um dos quadros mais célebres de
Leonardo da Vinci: a Mona Lisa, que apresenta o retângulo áureo em múltiplos
locais: (a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é
um retângulo áureo; (b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos
olhos, o novo retângulo obtido também e (c) as dimensões do quadro também
representam a razão áurea.
Construído, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo
representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que
contem a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e
harmoniosa. Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção
deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do
nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).
Muitos arquitetos que viveram depois de Fídias usaram o retângulo de ouro
como base para suas construções arquitetônicas, como por exemplo, a
Catedral de Notre Dame .
Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema
épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias
da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes
maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.
Pitágoras de Samos (582 a.C. - 497 a.C.) é considerado o fundador da
geometria teórica. Em seus pensamentos sobre a estrutura do universo, razões
e proporções, ele elaborou uma teoria que vinculava a música, o espaço e os
números. Na música, existem artigos que relacionam as composições de
Mozart, Bethoveen (Quinta e Nona Sinfonia), Schubert e outros com a razão
áurea. Pode-se verificar que até mesmo a construção de instrumentos, como
por exemplo, o violino, está relacionado com a proporção áurea.
Podemos então utilizar as palavras de Pitágoras: “Tudo está organizado
segundo os números e as formas matemáticas”. A Matemática está presente
na Natureza, na Música, na Arte, na Arquitetura, em praticamente tudo.