Nociones basicas sobre geometria esferica

Baloni, Hector Emanuel Octubre 2011 Buenos Aires, Argentina

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[object Object],Llamaremos rectas a estos círculos máximos, y únicamente a ellos.

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[object Object],[object Object],Donde es el ángulo entre los vectores y

[object Object],Pertenecen a . Un triangulo se llama a veces “pequeño triangulo”

[object Object],[object Object],Teorema del coseno Teorema del seno

[object Object],[object Object],Las rectas tangentes en A los lados AB y AC son distintos y se cortan en A. Luego definen un plano, que es tangente a la esfera en A. Definimos ahora como el ángulo entre estas dos rectas en este plano. De la misma manera se definen los ángulos y correspondientes a los vértices B y C.

Podemos suponer R=1, pues una dilatación de centro O(el centro de la esfera) y factor 1/R transforma a la esfera de radio R en una de radio 1, y al triangulo original en uno nuevo con los mismos ángulos , , y a , b , c Supongamos primero que ABC tiene un ángulo recto en C y que los lados a y b miden menos de π /2. consideremos el plano perpendicular a OA que pasa por B. llamamos E y D los puntos de intersección de este plano con las rectas OA y OC respectivamente. En el triangulo BDE rectángulo en D tenemos.

[object Object],[object Object],[object Object],Luego, como supusimos = π /2 y en particular , tenemos

[object Object],Supongamos ahora que a ≥ π /2 , y consideremos el punto de intersección B´ de las rectas AB y CB, es decir B´es el punto diametralmente opuesto de B. como d (B,B´) = π (recodar que supusimos R=1), tenemos d (B,C) ‹ π ⁄2

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